El documento explica cómo dividir un segmento de recta en una razón dada r. Se utilizan triángulos semejantes para derivar fórmulas para determinar las coordenadas del punto P que divide el segmento entre los puntos A y B. Las fórmulas son xr= (rx1+x2)/(1+r) y yr= (ry1+y2)/(1+r). También se presentan ejemplos resueltos para ilustrar cómo aplicar las fórmulas.

1. División de un segmento de recta en una razón dada.
Sean los puntos A(x1, y1) y B(x2, y2) los extremos del segmento AB , si se desea encontrar
el punto P(xr, yr) que divida al segmento de recta en una razón dada r, como se muestra en
la siguiente figura.
Si se proyectan las coordenadas de cada punto hacia los ejes, tenemos los triángulos
semejantes ∆APC y ∆BPE.
Sabemos que dos triángulos son semejantes cuando tienen sus ángulos respectivamente
iguales y sus lados proporcionales. De acuerdo a lo anterior tenemos que:
Al sustituir el valor de cada segmento en términos de x, considerando que:
r =
Se obtiene la siguiente expresión.:
r
y
2
y
1
y
r
y
r
x
2
x
1
x
r
x
r
−
−
=
−
−
=
BE
ED
PE
AC
PB
AP
==
BE
ED
PE
AC
PB
AP
==
E
D
B(x2, y2)
P(xr, yr)
A(x1, y1)
x1 X2xr
y2
yr
y1
xr-x1
x2-xr
y2 -yr
yr -y1
C

2. Para el valor de la abscisa. Para el valor de la ordenada.
r
x
2
x
1
x
r
x
r
−
−
=
r(x2-xr)= xr-x1
rx2-rxr = xr-x1
rx2 +x1 = xr + rxr
rx2 +x1 = xr ( 1+ r )
xr=
)r1(
rx 12
+
+ x
r
y
2
y
1
y
r
y
r
−
−
=
r( y2-yr) = yr-y1
ry2 - ryr = yr - y1
ry2 + y1 = yr + ryr
ry2 +y1 = yr ( 1+ r )
yr=
)r1(
ry 12
+
+ y
Por lo tanto el punto P(xr, yr), que divide a un segmento en una razón dada r se determina:
Un caso particular es cuando el punto P(xr, yr) se encuentran a la mitad del segmento AB ,
esto es que esta en el punto medio, esto implica que AP = PB por lo tanto la razón de
semejanza r =
PB
AP
es r = 1
Así las fórmulas de punto medio P son:
xm= Valor de la abscisa en el punto medio.
ym= Valor de la ordenada en el punto medio.
P(xr, yr) = 





+
+






+
+
)r1(
yyr
,
)r1(
xr x 1212
P( xm, ym) = ( 2
yy
,
2
xx 2121 ++
)

3. Ejemplos resueltos.
Ejemplo 1.
Sea A(5, 3) y B(-3, -3) los extremos del segmento encuentre las coordenadas del punto
P que lo divide a una razón r = 1/3
xr=
)r1(
xrx 12
+
+
xr =
3
1
1
53)(
3
1
+
+−
xr =
3
4
51+−
xr =
3
4
4
xr = 3
4
12
=
yr=
)r1(
yry 12
+
+
yr =
3
1
1
33)(
3
1
+
+−
yr =
3
4
31+−
yr =
3
4
2
yr = 1.5
4
6
=
Por lo tanto P(3, 1.5)
Ejemplo 2.
Los puntos A(-2, 2) y B(4, 2) son los extremos del diámetro de una circunferencia, determine
las coordenadas del centro C que divide en dos partes iguales al segmento .
xm=
2
xx 21 +
xm =
2
42 +−
xm =
xm= 1
ym=
2
yy 21 +
ym =
2
22 +
ym = 2
2
4
=
ym= 2
Por lo tanto las coordenadas del centro son C(1, 2).
AB
AB
1
2
2
=
Lo que significa que la medida de
PA es una tercera parte de la
medida de PB .