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Tema Inecuaciones

Resolución de Inecuaciones de Primer , segundo y grado mayor de 2.

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TEMA
INECUACIONES
Profesor: Juan Sanmartín
Matemáticas
 Inecuaciones de Primer Grado
 Inecuaciones de Segundo Grado.
 Inecuaciones de Grado Mayor que dos
Recursos subvencionados por el…
Primer Grado
0 bax
Al igual que en una ecuación, pasamos las x
para un lado y lo que no tiene x para el otro
La forma de una ecuación de primer grado puede ser de la siguiente:
La solución de una inecuación no va a ser un número concreto, sino un
intervalo, es por lo que, debemos tener en cuenta el primer tema de este
curso.
0 bax0 bax
0 bax
495325392  xxxxx
Ejemplo
¡¡¡ATENCIÓN!!! . Al tener que despejar la x y multiplicar o dividir por un
número negativo, la desigualdad invierte su sentido.
4
1
4
4 


 xxx
444  xxx
En ambos casos tiene que dar
el mismo resultado
1 2 3 4 5
Podemos comprobarlo pasando la x
para el otro lado y el número para el
sitio donde está la x
Solución de la inecuación
 4,
Ejemplo
12
52
3
13
3
42 



 xxx
   
12
52
12
134
12
424
12
52
3
13
3
42 









 xxxxxx
12
52
12
412
12
168 



 xxx
45162128  xxx
18
7
x
-3 -2 -1 0 17
18
Solución de la inecuación
718 x







18
7
,
52412168  xxx
4
72
2
2
1 



x
x
x
x
Resuelve
Resolvemos…
728224  xxxx
¡¡¡ATENCIÓN!!! .El signo negativo delante de la fracción, cambia el signo del numerador de la misma.
4
728
4
224
4
72
2
2
1 







xxxxx
x
x
x
4
9
94  xx
-3 -2 -1 0 1
-9
4






 ,
4
9
Solución de la inecuación
Cambiamos el sentido
de la desigualdad
272284  xxxx
01032
 xxEjemplo








10c
3b
1a
Planteamos la ecuación a partir de la inecuación dada
 






2
4093
12
101433 2
x



2
493
x
22
2
4
2
73
11 

 xx
55
2
10
2
73
22 



 xx
Importante, hay que tener en cuenta el signo
01030103 22
 xxxx
Segundo Grado





5x
2x
2
1
-5 2
6 0 3
01032
 xx
    08101836106366
2
x
Tramo I Tramo II Tramo III
Se cumple
    010100300
2
x
    081099103333
2
x Se cumple
No se cumple
SOLUCIÓN:     ,25, 
En el Tramo I se cumple la desigualdad y por lo tanto es solución de la inecuación
En el Tramo II no se cumple la desigualdad y por lo tanto no es solución de la inecuación
En el Tramo III se cumple la desigualdad y por lo tanto es solución de la inecuación
Representamos
los puntos en la
recta real.
Tomamos puntos representativos de cada tramo
Ejemplo









1c
4b
4a
Planteamos la ecuación a partir de la inecuación dada
Importante, hay que tener en cuenta el signo
0144 2
 xx
 






8
16164
42
14444
2
x
01440144 22
 xxxx
2
2
4
2
04


x
Obtenemos una única solución al
ser la raíz cero
2x 
2
0 3
Tramo I Tramo II
Se cumple
SOLUCIÓN:  2
En el Tramo I se cumple la desigualdad y por lo tanto es solución de la inecuación
En el Tramo II se cumple la desigualdad y por lo tanto es solución de la inecuación
Representamos
el punto en la
recta real.
Tomamos puntos representativos de cada tramo0144 2
 xx
    01104040
2
x
    02511236134340
2
x Se cumple
La inecuación se cumple en toda la recta real
menos en 2, ya que en ese punto vale 0
094 2
x
Resuelve la siguiente inecuacióm…
Resolvemos…
4
9
4
92
 xx
2
3
4
9
2 x
2
3
4
9
1 x
La raíz de una fracción es la raíz del numerador entre la raíz del denominador (propiedades
de los radicales)
94094 22
 xx








2
3
x
2
3
x
2
1
-3
2
3
22 0 2
  079242
2
x
Tramo I Tramo II Tramo III
Se cumple
Se cumple
No se cumple
SOLUCIÓN: 











 ,
2
3
2
3
, 
En el Tramo I se cumple la desigualdad y por lo tanto es solución de la inecuación
En el Tramo II no se cumple la desigualdad y por lo tanto NO es solución de la inecuación
En el Tramo III se cumple la desigualdad y por lo tanto es solución de la inecuación
Representamos
los puntos en la
recta real.
Tomamos puntos representativos de cada tramo
094 2
x
  099040
2
x
  079242
2
x
0123 2
 xxResuelve la siguiente inecuación
Donde…
 






6
1242
32
13422
2
x
6
82 
x La ecuación no tiene solución ya que la raíz negativa no existe.









1c
2b
3a
Como no tenemos punto de inflexión, comprobamos si la desigualdad se cumple o no en toda la recta real.
011230 2
 xxx La inecuación no tiene solución
0123 2
 xx
6
154
4
3
2
52 222




 xxxxxxResuelve
12
3082
12
93
12
30126 222




 xxxxxx
30829330126 222
 xxxxxx
030309812236 222
 xxxxxx
  0130132
 xxxx
00 1  xx
13013 2  xx
Calculamos el m.c.m. para obtener denominador común
El signo negativo cambia la fracción
0132
 xx
Planteamos ahora
la ecuación





13x
0x
2
1
0 13
1 2 14
    01413111311
2
x
Tramo I Tramo II Tramo III
No se cumple
No se cumple
Se cumple
SOLUCIÓN:  13,0
En el Tramo I NO se cumple la desigualdad y por lo tanto NO es solución de la inecuación
En el Tramo II se cumple la desigualdad y por lo tanto es solución de la inecuación
En el Tramo III NO se cumple la desigualdad y por lo tanto NO es solución de la inecuación
Representamos
los puntos en la
recta real.
Tomamos puntos representativos de cada tramo0132
 xx
    02226421322
2
x
    01518219614131414
2
x
Ecuaciones de grado mayor que 2
01213 234
 xxxx Descomponemos la ecuación
en factores.
041
1233
01211
12111
0121121
1211211
1211311







     043111213 234
 xxxxxxxx
Aplicamos RUFFINI para
factorizar la ecuación
01213 234
 xxxx
Paso 2.- Obtenemos los factores e igualamos a cero..
    












04
03
01
01
04311
x
x
x
x
xxxx
404
303
101
101
4
3
2
1




xx
xx
xx
xx
Solución
     043111213 234
 xxxxxxxx
4
3
1
1
4
3
2
1




x
x
x
x
+1 +4-1-3
4 2 0
Tramo I Tramo II Tramo III
Tomamos puntos representativos de cada tramo
Tramo IV Tramo V
2 5
        0124124413444
234
x
        018122213222
234
x
        012120013000
234
x
En el Tramo I se cumple la desigualdad y por lo tanto es solución de la inecuación
En el Tramo II NO se cumple la desigualdad y por lo tanto NO es solución de la inecuación
En el Tramo III se cumple la desigualdad y por lo tanto es solución de la inecuación
        030122213222
234
x
        0192125513555
234
x
En el Tramo IV NO se cumple la desigualdad y por lo tanto NO es solución de la inecuación
En el Tramo V se cumple la desigualdad y por lo tanto es solución de la inecuación
SOLUCIÓN:
      ,11,13, 
FIN DE TEMA
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Tema Inecuaciones

  • 1. TEMA INECUACIONES Profesor: Juan Sanmartín Matemáticas  Inecuaciones de Primer Grado  Inecuaciones de Segundo Grado.  Inecuaciones de Grado Mayor que dos Recursos subvencionados por el…
  • 2. Primer Grado 0 bax Al igual que en una ecuación, pasamos las x para un lado y lo que no tiene x para el otro La forma de una ecuación de primer grado puede ser de la siguiente: La solución de una inecuación no va a ser un número concreto, sino un intervalo, es por lo que, debemos tener en cuenta el primer tema de este curso. 0 bax0 bax 0 bax 495325392  xxxxx Ejemplo
  • 3. ¡¡¡ATENCIÓN!!! . Al tener que despejar la x y multiplicar o dividir por un número negativo, la desigualdad invierte su sentido. 4 1 4 4     xxx 444  xxx En ambos casos tiene que dar el mismo resultado 1 2 3 4 5 Podemos comprobarlo pasando la x para el otro lado y el número para el sitio donde está la x Solución de la inecuación  4,
  • 4. Ejemplo 12 52 3 13 3 42      xxx     12 52 12 134 12 424 12 52 3 13 3 42            xxxxxx 12 52 12 412 12 168      xxx 45162128  xxx 18 7 x -3 -2 -1 0 17 18 Solución de la inecuación 718 x        18 7 , 52412168  xxx
  • 5. 4 72 2 2 1     x x x x Resuelve Resolvemos… 728224  xxxx ¡¡¡ATENCIÓN!!! .El signo negativo delante de la fracción, cambia el signo del numerador de la misma. 4 728 4 224 4 72 2 2 1         xxxxx x x x 4 9 94  xx -3 -2 -1 0 1 -9 4        , 4 9 Solución de la inecuación Cambiamos el sentido de la desigualdad 272284  xxxx
  • 6. 01032  xxEjemplo         10c 3b 1a Planteamos la ecuación a partir de la inecuación dada         2 4093 12 101433 2 x    2 493 x 22 2 4 2 73 11    xx 55 2 10 2 73 22      xx Importante, hay que tener en cuenta el signo 01030103 22  xxxx Segundo Grado
  • 7.      5x 2x 2 1 -5 2 6 0 3 01032  xx     08101836106366 2 x Tramo I Tramo II Tramo III Se cumple     010100300 2 x     081099103333 2 x Se cumple No se cumple SOLUCIÓN:     ,25,  En el Tramo I se cumple la desigualdad y por lo tanto es solución de la inecuación En el Tramo II no se cumple la desigualdad y por lo tanto no es solución de la inecuación En el Tramo III se cumple la desigualdad y por lo tanto es solución de la inecuación Representamos los puntos en la recta real. Tomamos puntos representativos de cada tramo
  • 8. Ejemplo          1c 4b 4a Planteamos la ecuación a partir de la inecuación dada Importante, hay que tener en cuenta el signo 0144 2  xx         8 16164 42 14444 2 x 01440144 22  xxxx 2 2 4 2 04   x Obtenemos una única solución al ser la raíz cero
  • 9. 2x  2 0 3 Tramo I Tramo II Se cumple SOLUCIÓN:  2 En el Tramo I se cumple la desigualdad y por lo tanto es solución de la inecuación En el Tramo II se cumple la desigualdad y por lo tanto es solución de la inecuación Representamos el punto en la recta real. Tomamos puntos representativos de cada tramo0144 2  xx     01104040 2 x     02511236134340 2 x Se cumple La inecuación se cumple en toda la recta real menos en 2, ya que en ese punto vale 0
  • 10. 094 2 x Resuelve la siguiente inecuacióm… Resolvemos… 4 9 4 92  xx 2 3 4 9 2 x 2 3 4 9 1 x La raíz de una fracción es la raíz del numerador entre la raíz del denominador (propiedades de los radicales) 94094 22  xx
  • 11.         2 3 x 2 3 x 2 1 -3 2 3 22 0 2   079242 2 x Tramo I Tramo II Tramo III Se cumple Se cumple No se cumple SOLUCIÓN:              , 2 3 2 3 ,  En el Tramo I se cumple la desigualdad y por lo tanto es solución de la inecuación En el Tramo II no se cumple la desigualdad y por lo tanto NO es solución de la inecuación En el Tramo III se cumple la desigualdad y por lo tanto es solución de la inecuación Representamos los puntos en la recta real. Tomamos puntos representativos de cada tramo 094 2 x   099040 2 x   079242 2 x
  • 12. 0123 2  xxResuelve la siguiente inecuación Donde…         6 1242 32 13422 2 x 6 82  x La ecuación no tiene solución ya que la raíz negativa no existe.          1c 2b 3a Como no tenemos punto de inflexión, comprobamos si la desigualdad se cumple o no en toda la recta real. 011230 2  xxx La inecuación no tiene solución 0123 2  xx
  • 13. 6 154 4 3 2 52 222      xxxxxxResuelve 12 3082 12 93 12 30126 222      xxxxxx 30829330126 222  xxxxxx 030309812236 222  xxxxxx   0130132  xxxx 00 1  xx 13013 2  xx Calculamos el m.c.m. para obtener denominador común El signo negativo cambia la fracción 0132  xx Planteamos ahora la ecuación
  • 14.      13x 0x 2 1 0 13 1 2 14     01413111311 2 x Tramo I Tramo II Tramo III No se cumple No se cumple Se cumple SOLUCIÓN:  13,0 En el Tramo I NO se cumple la desigualdad y por lo tanto NO es solución de la inecuación En el Tramo II se cumple la desigualdad y por lo tanto es solución de la inecuación En el Tramo III NO se cumple la desigualdad y por lo tanto NO es solución de la inecuación Representamos los puntos en la recta real. Tomamos puntos representativos de cada tramo0132  xx     02226421322 2 x     01518219614131414 2 x
  • 15. Ecuaciones de grado mayor que 2 01213 234  xxxx Descomponemos la ecuación en factores. 041 1233 01211 12111 0121121 1211211 1211311             043111213 234  xxxxxxxx Aplicamos RUFFINI para factorizar la ecuación 01213 234  xxxx
  • 16. Paso 2.- Obtenemos los factores e igualamos a cero..                  04 03 01 01 04311 x x x x xxxx 404 303 101 101 4 3 2 1     xx xx xx xx Solución      043111213 234  xxxxxxxx
  • 17. 4 3 1 1 4 3 2 1     x x x x +1 +4-1-3 4 2 0 Tramo I Tramo II Tramo III Tomamos puntos representativos de cada tramo Tramo IV Tramo V 2 5         0124124413444 234 x         018122213222 234 x         012120013000 234 x En el Tramo I se cumple la desigualdad y por lo tanto es solución de la inecuación En el Tramo II NO se cumple la desigualdad y por lo tanto NO es solución de la inecuación En el Tramo III se cumple la desigualdad y por lo tanto es solución de la inecuación
  • 18.         030122213222 234 x         0192125513555 234 x En el Tramo IV NO se cumple la desigualdad y por lo tanto NO es solución de la inecuación En el Tramo V se cumple la desigualdad y por lo tanto es solución de la inecuación SOLUCIÓN:       ,11,13, 
  • 19. FIN DE TEMA Busca enlaces a otras páginas relacionadas con el tema en… www.juansanmartin.net