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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
CEPUNS
Ciclo 2018-II
TRIGONOMETRÍA
“ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO’’
Docente: Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez
ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO
Ángulo Trigonométrico: Es aquel que
se genera por la rotación de un rayo
alrededor de un punto fijo llamado
vértice, desde una posición inicial
hasta otra posición final; debiendo
considerar que esta rotación se
efectúa en un solo plano. De esta
forma, debemos considerar dos tipos
de rotación.
Posición inicial
Posición final
O
A
B Posición inicial
Posición final
A
C
vértice vértice
Giro horario
(o sentido horario)
Giro antihorario
(o sentido antihorario)
α
β
O
Consideraciones:
1. Para sumar y restar ángulos
trigonométricos, se debe procurar
tenerlos en un solo sentido; de
preferencia anti horario. Para ello, se
recomienda el cambio de sentido así:
A
B
O
α
A
B
O
-α
⇨
La rotación que genera un ángulo
trigonométrico puede hacerse de
manera indefinida en cualquiera de los
dos sentidos mencionados.
1. Sistema Sexagesimal (Ingles): Es aquel
que tiene como unidad a un grado
sexagesimal (1°), que viene a ser la
360ava parte del ángulo de una vuelta.
Esto es:
1° =
1 vuelta
360
⇒ 1 vuelta = 360°
También, tenemos sus sub – unidades:
1° = 60′ | 1′ = 60′′ | 1° = 3600′′
2. Sistema Centesimal (Francés): Es aquel
que tiene como unidad a un grado
centesimal (1g
), que viene a ser los
400 ava parte del segundo de una
vuelta. Esto es:
1g
=
1 vuelta
400
⇒ 1 vuelta = 400g
También, tenemos sus sub – unidades:
1g
= 100m | 1′
= 100s | 1g
= 10000s
3. Sistema Radial o Circular
(Internacional): Es aquel que tiene
como unidad a un radial (1 rad) , que
viene a ser la medida de un ángulo
central en una circunferencia cuando el
arco que subtiende mide igual que el
radio de la circunferencia.
Esto es:
Si: L = R ⇒ θ = 1 rad
Además:
1 vuelta = 2π rad
Semana Nº 1
Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
2
O θ
A
B
L
R
R
R
Consideraciones:
1. 1 rad > 1° > 1g
2. 360° = 400g
= 2π rad ⟹
180° = 200g
= π rad
3. 180° = 200g
⟹ 9° = 10g
⟹
27′
= 50m
⟹ 81′′
= 250s
4. α = x° y′
z′′
= x° + y′
+ z′′
β = xg
ym
zs
= xg
+ ym
+ zs
PROBLEMA RESUELTO
Si 36,345° se puede expresar como
U°N′I′′ calcule U+N+I.
Resolución:
Primero se descompone la parte entera y
decimal de 36,345° = 36° + 0,345°.
La medida de 0,345° la llevamos a
minutos sexagesimales, empleando el
factor de conversión:
36,345° = 36,345° (
60′
1°
)
⟶ 36,345° = 20,7′
Descomponiendo la parte entera y
decimal de 20,7′
= 20′
+ 0,7′.
0,7′
= 0,7′
(
60′′
1′
)
Luego, el ángulo 36,345° queda
expresado como:
36,345° = 36°20′
42′′
= U°N′I′′.
Identificamos los términos y deducimos:
U=36; N=20; I=42
U+N+I=98.
Fórmula General de Conversión:
Es la relación que existe entre los
números de grados sexagesimales (S),
grados centesimales (C) y el número de
radianes (R) que contiene un grado
trigonométrico. En el gráfico, tenemos:
α So=Cg=Rrad
S
180
=
C
200
=
R
π
S
9
=
C
10
=
20R
π
= 𝒌
⇒ S = 9𝒌; C = 10𝒌 ; R =
π
20
𝒌
PROBLEMA DE CLASE
1. Reduzca la expresión
1°+2°+3°+⋯+2014°
1 𝑔+2 𝑔+3 𝑔+⋯+2014 𝑔
A)
10
9
B)
9
10
C) ½ D) 1 E) 2
2. Obtenga el valor de la expresión
90° + 60 𝑔
+
𝜋
5
𝑟𝑎𝑑
𝜋
5
𝑟𝑎𝑑 + 50 𝑔
A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1
3. En la figura, halle x.
A) 4 B) 6 C) 8 D) 12 E) 10
4. Se tienen dos ángulos
complementarios y uno excede al otro
en 50º. Halle el menor ángulo en
grados sexagesimales.
A) 20º B) 18º C) 30º D) 27º E) 40º
Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
3
5. Del gráfico mostrado, calcule la
medida del menor ángulo interno.
A) 15º B) 16º C) 18º D) 21º E) 19º
6. Los ángulos a y q miden 15º y 50 𝑔
,
respectivamente. Halle la medida de
𝜃 – 𝛼 en un nuevo sistema cuya
unidad de medida (1 𝑘
) corresponde a
las dos terceras partes del ángulo de
una vuelta.
A) (
1
4
)
𝑘
B) (
5
8
)
𝑘
C) (
1
2
)
𝑘
D) (
1
8
)
𝑘
E) (
2
3
)
𝑘
7. Se tienen dos ángulos suplementarios,
los cuales están en relación de 2 a 3.
Halle el menor de los ángulos en
radianes.
A)
𝜋
3
𝑟𝑎𝑑 B)
𝜋
4
𝑟𝑎𝑑 C)
2𝜋
5
𝑟𝑎𝑑
D)
2𝜋
3
𝑟𝑎𝑑 E)
3𝜋
5
𝑟𝑎𝑑
8. A partir de la igualdad, halle 2x.
[
(2𝑥+5)0
3 𝑔 ]
0
= [
(2𝑥+8)0
3 𝑔 ]
𝑔
A) 10 B) 11 C) 32 D) 12 E) 22
9. Si 𝑎 𝑔
= 𝑏º𝑐′, calcule (
60𝑏+𝑐
𝑎
)
0
en el sistema radial.
A)
3𝜋
10
𝑟𝑎𝑑 B)
2𝜋
5
𝑟𝑎𝑑 C)
𝜋
2
𝑟𝑎𝑑
D)
𝜋
10
𝑟𝑎𝑑 E)
𝜋
5
𝑟𝑎𝑑
10. Del gráfico, calcule x+y.
A) 7
B) 5
C) 4
D) 6
E) 8
11. Si (30, 34)º = 𝐴º𝐵′𝐶",Calcule A+B+C
A) 74 B) 90 C) 85 D) 80 E) 75
12. Reduzca la siguiente expresión
1 𝑔
1 𝑚
1 𝑚 +
2 𝑔
2 𝑚
2 𝑚 +
3 𝑔
3 𝑚
3 𝑚 +
4 𝑔
4 𝑚
4 𝑚 + ⋯
202 𝑔
202 𝑚
202 𝑚
101
A) 102 B) 200 C) 101 D) 100 E) 202
13. De la siguiente igualdad
𝑎 𝑔
𝑏 𝑚
𝑐 𝑠
= 45 𝑔
28 𝑚
63 𝑠
+ 28 𝑔
63 𝑚
45 𝑠
+ 63 𝑔
45 𝑚
28 𝑠
Calcule a – b – c
A) 32 B) 60 C) 54 D) 64 E) 52
14. Si 𝐿1 // 𝐿2 , calcule 𝑎.
A) 1 B) 2 C) 3 D) 2/3 E) 3/2
15. Se crea un nuevo sistema de medición
angular, cuya unidad (1u) es la
séptima parte del ángulo de media
vuelta. Simplifique la expresión
7 𝑢
3
+
2𝜋
3
𝑟𝑎𝑑
7 𝑢
3
+ 50 𝑔
A) 1/2 B) 12/7 C) 1/3 D) 2 E) 3
16. Calcule el valor de la siguiente
expresión
𝑥°+𝑥′
𝑥 𝑔−39𝑥 𝑚
A) 40/27 B) 25/27 C) 50/27
D) 20/27 E) 23/27
17. La diferencia de las medidas de dos
ángulos suplementarios es
𝜋
3
𝑟𝑎𝑑 .
Determine el mayor de ellos.
A) 90º B) 100º C) 120º D) 160º E) 130º
Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
4
18. Si se cumple que (𝑥 + 𝑦)º = (2𝑥 – 𝑦) 𝑔
,
calcule el valor de √11 (
𝑥+𝑦
𝑥−𝑦
) − 2
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
19. Calcule
25°+50 𝑔+
𝜋
3
𝑟𝑎𝑑
64°+40 𝑔+
𝜋
6
𝑟𝑎𝑑
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
20. Simplifique la expresión
𝑎°𝑏′+𝑏°𝑎′
(𝑎+𝑏)′
A) 60 B) 61 C) 100 D) 120 E) 121
21. Calcule el valor de √
78 𝑔
300 𝑚 −
20°
120´
A) 6 B) 7 C) 16 D) 36 E) 4
22. La medida de un ángulo en los
sistemas sexagesimal y centesimal
están representadas por dos números
pares consecutivos. Halle la medida de
dicho ángulo en radianes.
A)
𝜋
12
B)
𝜋
10
C)
𝜋
6
D)
2 𝜋
3
E)
5𝜋
3
23. Si se cumple que
𝜋
64
𝑟𝑎𝑑 = 𝑥º 𝑦′ 𝑧′′ ;
calcule el complemento de (𝑥 +
𝑦 – 𝑧)º en radianes.
A)
4𝜋
9
B)
3𝜋
10
C)
9𝜋
20
D)
𝜋
36
E)
𝜋
40
24. En el gráfico, 𝛼 =
𝜋𝑥
48
𝑟𝑎𝑑; 𝛽 = (
𝑥
2
)
𝑔
𝑦 𝜃 = (56 – 𝑥) º, halle la medida del
ángulo 𝛽 en el sistema radial.
A)
𝜋
4
𝑟𝑎𝑑 B)
𝜋
6
𝑟𝑎𝑑 C)
𝜋
8
𝑟𝑎𝑑 D)
𝜋
5
𝑟𝑎𝑑 E)
𝜋
3
𝑟𝑎𝑑
25. Las medidas de los ángulos internos
de un triángulo ABC son
3𝑥º, 𝑥 𝑔
𝑦
𝜋𝑥
300
rad . ¿Cuál es la medida
del menor ángulo interno del
triángulo?
A) 16º B) 24º C) 36º D) 40º E) 72º
26. Si 𝛼 representa la medida de la
treintava parte de 1º y 𝛽 representa la
veinteava parte de 1 𝑔
, calcule
3𝛼−2𝛽
10𝛽−9𝛼
A) 1/10 B) 1/3 C) 1/15 D) 1/7 E) 3
27. Con los datos que se muestran en el
gráfico, calcule x – y si 2x+3y=35.
A) 5 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12
28. ¿Cuántos radianes se deben aumentar
al ángulo (
11000
3
)
𝑚
para obtener como
resultado 35,25º?
A)
𝜋
80
𝑟𝑎𝑑 B)
3𝜋
75
𝑟𝑎𝑑 C)
171𝜋
41
𝑟𝑎𝑑
D)
𝜋
25
𝑟𝑎𝑑 E)
𝜋
40
𝑟𝑎𝑑
29. La suma de las medidas de dos
ángulos es 4080' y su diferencia es
40 𝑔
. Halle la medida del mayor ángulo
en radianes.
A)
13𝜋
45
𝑟𝑎𝑑 B)
17𝜋
45
𝑟𝑎𝑑 C)
45𝜋
13
𝑟𝑎𝑑
D)
45𝜋
17
𝑟𝑎𝑑 E)
11𝜋
45
𝑟𝑎𝑑
30. Un ángulo mide 𝑎′ 𝑦 𝑏 𝑚
en el sistema
sexagesimal y centesimal,
respectivamente. Si
𝑎𝑏−2𝑎2+𝑏2
𝑏−𝑎
= 208,
calcule la medida en radianes.
A)
𝜋
100
𝑟𝑎𝑑 B)
𝜋
180
𝑟𝑎𝑑 C)
𝜋
360
𝑟𝑎𝑑
D)
𝜋
200
𝑟𝑎𝑑 E)
𝜋
540
𝑟𝑎𝑑

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Semana 1 angulo trigonometrico

  • 1. 1 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA CEPUNS Ciclo 2018-II TRIGONOMETRÍA “ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO’’ Docente: Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO Ángulo Trigonométrico: Es aquel que se genera por la rotación de un rayo alrededor de un punto fijo llamado vértice, desde una posición inicial hasta otra posición final; debiendo considerar que esta rotación se efectúa en un solo plano. De esta forma, debemos considerar dos tipos de rotación. Posición inicial Posición final O A B Posición inicial Posición final A C vértice vértice Giro horario (o sentido horario) Giro antihorario (o sentido antihorario) α β O Consideraciones: 1. Para sumar y restar ángulos trigonométricos, se debe procurar tenerlos en un solo sentido; de preferencia anti horario. Para ello, se recomienda el cambio de sentido así: A B O α A B O -α ⇨ La rotación que genera un ángulo trigonométrico puede hacerse de manera indefinida en cualquiera de los dos sentidos mencionados. 1. Sistema Sexagesimal (Ingles): Es aquel que tiene como unidad a un grado sexagesimal (1°), que viene a ser la 360ava parte del ángulo de una vuelta. Esto es: 1° = 1 vuelta 360 ⇒ 1 vuelta = 360° También, tenemos sus sub – unidades: 1° = 60′ | 1′ = 60′′ | 1° = 3600′′ 2. Sistema Centesimal (Francés): Es aquel que tiene como unidad a un grado centesimal (1g ), que viene a ser los 400 ava parte del segundo de una vuelta. Esto es: 1g = 1 vuelta 400 ⇒ 1 vuelta = 400g También, tenemos sus sub – unidades: 1g = 100m | 1′ = 100s | 1g = 10000s 3. Sistema Radial o Circular (Internacional): Es aquel que tiene como unidad a un radial (1 rad) , que viene a ser la medida de un ángulo central en una circunferencia cuando el arco que subtiende mide igual que el radio de la circunferencia. Esto es: Si: L = R ⇒ θ = 1 rad Además: 1 vuelta = 2π rad Semana Nº 1
  • 2. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría. 2 O θ A B L R R R Consideraciones: 1. 1 rad > 1° > 1g 2. 360° = 400g = 2π rad ⟹ 180° = 200g = π rad 3. 180° = 200g ⟹ 9° = 10g ⟹ 27′ = 50m ⟹ 81′′ = 250s 4. α = x° y′ z′′ = x° + y′ + z′′ β = xg ym zs = xg + ym + zs PROBLEMA RESUELTO Si 36,345° se puede expresar como U°N′I′′ calcule U+N+I. Resolución: Primero se descompone la parte entera y decimal de 36,345° = 36° + 0,345°. La medida de 0,345° la llevamos a minutos sexagesimales, empleando el factor de conversión: 36,345° = 36,345° ( 60′ 1° ) ⟶ 36,345° = 20,7′ Descomponiendo la parte entera y decimal de 20,7′ = 20′ + 0,7′. 0,7′ = 0,7′ ( 60′′ 1′ ) Luego, el ángulo 36,345° queda expresado como: 36,345° = 36°20′ 42′′ = U°N′I′′. Identificamos los términos y deducimos: U=36; N=20; I=42 U+N+I=98. Fórmula General de Conversión: Es la relación que existe entre los números de grados sexagesimales (S), grados centesimales (C) y el número de radianes (R) que contiene un grado trigonométrico. En el gráfico, tenemos: α So=Cg=Rrad S 180 = C 200 = R π S 9 = C 10 = 20R π = 𝒌 ⇒ S = 9𝒌; C = 10𝒌 ; R = π 20 𝒌 PROBLEMA DE CLASE 1. Reduzca la expresión 1°+2°+3°+⋯+2014° 1 𝑔+2 𝑔+3 𝑔+⋯+2014 𝑔 A) 10 9 B) 9 10 C) ½ D) 1 E) 2 2. Obtenga el valor de la expresión 90° + 60 𝑔 + 𝜋 5 𝑟𝑎𝑑 𝜋 5 𝑟𝑎𝑑 + 50 𝑔 A) 5 B) 4 C) 3 D) 2 E) 1 3. En la figura, halle x. A) 4 B) 6 C) 8 D) 12 E) 10 4. Se tienen dos ángulos complementarios y uno excede al otro en 50º. Halle el menor ángulo en grados sexagesimales. A) 20º B) 18º C) 30º D) 27º E) 40º
  • 3. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría. 3 5. Del gráfico mostrado, calcule la medida del menor ángulo interno. A) 15º B) 16º C) 18º D) 21º E) 19º 6. Los ángulos a y q miden 15º y 50 𝑔 , respectivamente. Halle la medida de 𝜃 – 𝛼 en un nuevo sistema cuya unidad de medida (1 𝑘 ) corresponde a las dos terceras partes del ángulo de una vuelta. A) ( 1 4 ) 𝑘 B) ( 5 8 ) 𝑘 C) ( 1 2 ) 𝑘 D) ( 1 8 ) 𝑘 E) ( 2 3 ) 𝑘 7. Se tienen dos ángulos suplementarios, los cuales están en relación de 2 a 3. Halle el menor de los ángulos en radianes. A) 𝜋 3 𝑟𝑎𝑑 B) 𝜋 4 𝑟𝑎𝑑 C) 2𝜋 5 𝑟𝑎𝑑 D) 2𝜋 3 𝑟𝑎𝑑 E) 3𝜋 5 𝑟𝑎𝑑 8. A partir de la igualdad, halle 2x. [ (2𝑥+5)0 3 𝑔 ] 0 = [ (2𝑥+8)0 3 𝑔 ] 𝑔 A) 10 B) 11 C) 32 D) 12 E) 22 9. Si 𝑎 𝑔 = 𝑏º𝑐′, calcule ( 60𝑏+𝑐 𝑎 ) 0 en el sistema radial. A) 3𝜋 10 𝑟𝑎𝑑 B) 2𝜋 5 𝑟𝑎𝑑 C) 𝜋 2 𝑟𝑎𝑑 D) 𝜋 10 𝑟𝑎𝑑 E) 𝜋 5 𝑟𝑎𝑑 10. Del gráfico, calcule x+y. A) 7 B) 5 C) 4 D) 6 E) 8 11. Si (30, 34)º = 𝐴º𝐵′𝐶",Calcule A+B+C A) 74 B) 90 C) 85 D) 80 E) 75 12. Reduzca la siguiente expresión 1 𝑔 1 𝑚 1 𝑚 + 2 𝑔 2 𝑚 2 𝑚 + 3 𝑔 3 𝑚 3 𝑚 + 4 𝑔 4 𝑚 4 𝑚 + ⋯ 202 𝑔 202 𝑚 202 𝑚 101 A) 102 B) 200 C) 101 D) 100 E) 202 13. De la siguiente igualdad 𝑎 𝑔 𝑏 𝑚 𝑐 𝑠 = 45 𝑔 28 𝑚 63 𝑠 + 28 𝑔 63 𝑚 45 𝑠 + 63 𝑔 45 𝑚 28 𝑠 Calcule a – b – c A) 32 B) 60 C) 54 D) 64 E) 52 14. Si 𝐿1 // 𝐿2 , calcule 𝑎. A) 1 B) 2 C) 3 D) 2/3 E) 3/2 15. Se crea un nuevo sistema de medición angular, cuya unidad (1u) es la séptima parte del ángulo de media vuelta. Simplifique la expresión 7 𝑢 3 + 2𝜋 3 𝑟𝑎𝑑 7 𝑢 3 + 50 𝑔 A) 1/2 B) 12/7 C) 1/3 D) 2 E) 3 16. Calcule el valor de la siguiente expresión 𝑥°+𝑥′ 𝑥 𝑔−39𝑥 𝑚 A) 40/27 B) 25/27 C) 50/27 D) 20/27 E) 23/27 17. La diferencia de las medidas de dos ángulos suplementarios es 𝜋 3 𝑟𝑎𝑑 . Determine el mayor de ellos. A) 90º B) 100º C) 120º D) 160º E) 130º
  • 4. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría. 4 18. Si se cumple que (𝑥 + 𝑦)º = (2𝑥 – 𝑦) 𝑔 , calcule el valor de √11 ( 𝑥+𝑦 𝑥−𝑦 ) − 2 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 19. Calcule 25°+50 𝑔+ 𝜋 3 𝑟𝑎𝑑 64°+40 𝑔+ 𝜋 6 𝑟𝑎𝑑 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 20. Simplifique la expresión 𝑎°𝑏′+𝑏°𝑎′ (𝑎+𝑏)′ A) 60 B) 61 C) 100 D) 120 E) 121 21. Calcule el valor de √ 78 𝑔 300 𝑚 − 20° 120´ A) 6 B) 7 C) 16 D) 36 E) 4 22. La medida de un ángulo en los sistemas sexagesimal y centesimal están representadas por dos números pares consecutivos. Halle la medida de dicho ángulo en radianes. A) 𝜋 12 B) 𝜋 10 C) 𝜋 6 D) 2 𝜋 3 E) 5𝜋 3 23. Si se cumple que 𝜋 64 𝑟𝑎𝑑 = 𝑥º 𝑦′ 𝑧′′ ; calcule el complemento de (𝑥 + 𝑦 – 𝑧)º en radianes. A) 4𝜋 9 B) 3𝜋 10 C) 9𝜋 20 D) 𝜋 36 E) 𝜋 40 24. En el gráfico, 𝛼 = 𝜋𝑥 48 𝑟𝑎𝑑; 𝛽 = ( 𝑥 2 ) 𝑔 𝑦 𝜃 = (56 – 𝑥) º, halle la medida del ángulo 𝛽 en el sistema radial. A) 𝜋 4 𝑟𝑎𝑑 B) 𝜋 6 𝑟𝑎𝑑 C) 𝜋 8 𝑟𝑎𝑑 D) 𝜋 5 𝑟𝑎𝑑 E) 𝜋 3 𝑟𝑎𝑑 25. Las medidas de los ángulos internos de un triángulo ABC son 3𝑥º, 𝑥 𝑔 𝑦 𝜋𝑥 300 rad . ¿Cuál es la medida del menor ángulo interno del triángulo? A) 16º B) 24º C) 36º D) 40º E) 72º 26. Si 𝛼 representa la medida de la treintava parte de 1º y 𝛽 representa la veinteava parte de 1 𝑔 , calcule 3𝛼−2𝛽 10𝛽−9𝛼 A) 1/10 B) 1/3 C) 1/15 D) 1/7 E) 3 27. Con los datos que se muestran en el gráfico, calcule x – y si 2x+3y=35. A) 5 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12 28. ¿Cuántos radianes se deben aumentar al ángulo ( 11000 3 ) 𝑚 para obtener como resultado 35,25º? A) 𝜋 80 𝑟𝑎𝑑 B) 3𝜋 75 𝑟𝑎𝑑 C) 171𝜋 41 𝑟𝑎𝑑 D) 𝜋 25 𝑟𝑎𝑑 E) 𝜋 40 𝑟𝑎𝑑 29. La suma de las medidas de dos ángulos es 4080' y su diferencia es 40 𝑔 . Halle la medida del mayor ángulo en radianes. A) 13𝜋 45 𝑟𝑎𝑑 B) 17𝜋 45 𝑟𝑎𝑑 C) 45𝜋 13 𝑟𝑎𝑑 D) 45𝜋 17 𝑟𝑎𝑑 E) 11𝜋 45 𝑟𝑎𝑑 30. Un ángulo mide 𝑎′ 𝑦 𝑏 𝑚 en el sistema sexagesimal y centesimal, respectivamente. Si 𝑎𝑏−2𝑎2+𝑏2 𝑏−𝑎 = 208, calcule la medida en radianes. A) 𝜋 100 𝑟𝑎𝑑 B) 𝜋 180 𝑟𝑎𝑑 C) 𝜋 360 𝑟𝑎𝑑 D) 𝜋 200 𝑟𝑎𝑑 E) 𝜋 540 𝑟𝑎𝑑