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Semana 1 angulo trigonometrico x

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1
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
CEPUNS
Ciclo 2018-III
TRIGONOMETRÍA
“ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO’’
Docente: Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez
ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO
Ángulo Trigonométrico: Es aquel que
se genera por la rotación de un rayo
alrededor de un punto fijo llamado
vértice, desde una posición inicial
hasta otra posición final; debiendo
considerar que esta rotación se
efectúa en un solo plano. De esta
forma, debemos considerar dos tipos
de rotación.
Posición inicial
Posición final
O
A
B Posición inicial
Posición final
A
C
vértice vértice
Giro horario
(o sentido horario)
Giro antihorario
(o sentido antihorario)
α
β
O
Consideraciones:
1. Para sumar y restar ángulos
trigonométricos, se debe procurar
tenerlos en un solo sentido; de
preferencia anti horario. Para ello, se
recomienda el cambio de sentido así:
A
B
O
α
A
B
O
-α
⇨
La rotación que genera un ángulo
trigonométrico puede hacerse de
manera indefinida en cualquiera de los
dos sentidos mencionados.
1. Sistema Sexagesimal (Ingles): Es aquel
que tiene como unidad a un grado
sexagesimal (1°), que viene a ser la
360ava parte del ángulo de una vuelta.
Esto es:
1° =
1 vuelta
360
⇒ 1 vuelta = 360°
También, tenemos sus sub – unidades:
1° = 60′ | 1′ = 60′′ | 1° = 3600′′
2. Sistema Centesimal (Francés): Es aquel
que tiene como unidad a un grado
centesimal (1g
), que viene a ser los
400 ava parte del segundo de una
vuelta. Esto es:
1g
=
1 vuelta
400
⇒ 1 vuelta = 400g
También, tenemos sus sub – unidades:
1g
= 100m | 1′
= 100s | 1g
= 10000s
3. Sistema Radial o Circular
(Internacional): Es aquel que tiene
como unidad a un radial (1 rad) , que
viene a ser la medida de un ángulo
central en una circunferencia cuando el
arco que subtiende mide igual que el
radio de la circunferencia.
Esto es:
Si: L = R ⇒ θ = 1 rad
Además:
1 vuelta = 2π rad
Semana Nº 1
Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
2
O θ
A
B
L
R
R
R
Consideraciones:
1. 1 rad > 1° > 1g
2. 360° = 400g
= 2π rad ⟹
180° = 200g
= π rad
3. 180° = 200g
⟹ 9° = 10g
⟹
27′
= 50m
⟹ 81′′
= 250s
4. α = x° y′
z′′
= x° + y′
+ z′′
β = xg
ym
zs
= xg
+ ym
+ zs
PROBLEMA RESUELTO
Si 36,345° se puede expresar como
U°N′I′′ calcule U+N+I.
Resolución:
Primero se descompone la parte entera y
decimal de 36,345° = 36° + 0,345°.
La medida de 0,345° la llevamos a
minutos sexagesimales, empleando el
factor de conversión:
36,345° = 36,345° (
60′
1°
)
⟶ 36,345° = 20,7′
Descomponiendo la parte entera y
decimal de 20,7′
= 20′
+ 0,7′.
0,7′
= 0,7′
(
60′′
1′
)
Luego, el ángulo 36,345° queda
expresado como:
36,345° = 36°20′
42′′
= U°N′I′′.
Identificamos los términos y deducimos:
U=36; N=20; I=42
U+N+I=98.
Fórmula General de Conversión:
Es la relación que existe entre los
números de grados sexagesimales (S),
grados centesimales (C) y el número de
radianes (R) que contiene un grado
trigonométrico. En el gráfico, tenemos:
α So=Cg=Rrad
S
180
=
C
200
=
R
π
S
9
=
C
10
=
20R
π
= 𝒌
⇒ S = 9𝒌; C = 10𝒌 ; R =
π
20
𝒌
PROBLEMA DE CLASE
1) Calcular el equivalente en
sexagesimales de:
I).
3𝜋
10
𝑟𝑎𝑑
II).
4𝜋
9
𝑟𝑎𝑑
A) 45° 𝑦 90° B) 48° 𝑦 86°
C) 36° 𝑦 80° D) 18° 𝑦 76°
E) 54° 𝑦 80°
2) Del gráfico, determinar una relación
entre 𝛼, 𝛽 𝑦 𝜃.
(x5;y5)
(x4
θ
α
β
A) 𝛼 − 𝛽 + 𝜃 = −360° B) 𝛼 + 𝛽 − 𝜃 = 360°
C) 𝛼 + 𝛽 + 𝜃 = 360° D) 𝛼 − 𝛽 − 𝜃 = 360°
E) 𝛼 + 𝛽 − 𝜃 = −360°
Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
3
3) Simplificar: 𝐸 =
𝑏 𝑔(5𝑏) 𝑚
7𝑏 𝑚
A) 11 B) 13 C) 15 D) 17 E) 19
4) Calcular 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 sabiendo que:
𝐴°𝐵′
𝐶′′
= 7°42′
38′′
+ 19°34′51′′
A) 70 B) 71 C) 72 D) 73 E) 74
5) Si expresamos la medida angular
(18,235)° en su forma 𝑎°𝑏’𝑐’’, la
siguiente suma 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 es:
A) 38 B) 29 C) 36 D) 47 E) 42
6) Del gráfico , calcular
𝑦
𝑥
(x5;y5)
(x4;y4) (x3;y3)
(x2;y2)
(x1;y1)……...
(xn;yn)
S
θ
α
β
X°
xg
Y’
A) −
1
6
B) −6 C) 6 D)
1
3
E) −
1
3
7) Reducir: 𝐸 =
1 𝑔
10 𝑚 +
10
3′ +
1 𝑚
2 𝑠
A) 10 B) 40 C) 50 D) 70 E) 80
8) Del gráfico, lo correcto es:
y
x
A) 𝑥 + 𝑦 = 360° B) 𝑥 − 𝑦 = 360°
C) 𝑥 + 𝑦 = 180° D) 𝑥 − 𝑦 = 180°
E) 𝑥 − 𝑦 = 270°
9) Evalué: 𝑀 =
1 𝑔+2 𝑔+3 𝑔+4 𝑔+⋯ 2018 𝑔
10+20+30+40+⋯ 20180
A) 9 B) 10 C)
9
10
D)
10
9
E)
9
5
10) Si se cumple que: 37,98° <> 𝐴𝐵̅̅̅̅ 𝑔
𝐵𝑂̅̅̅̅ 𝑚
;
determinar el valor de: 𝑀 = 𝐴2
− 𝐵2
A) 10 B) 14 C) 16 D) 12 E) 18
11) Sabiendo que:
(
1°21′
3′ ) (
2°15′
5′ ) (
4°3′
30′ ) <> 𝑎0̅̅̅̅ 𝑔
𝑏𝑐̅̅̅ 𝑚
𝑑𝑒̅̅̅ 𝑠
Calcular: 𝑀 =
𝑏+𝑑+9+𝑒
𝑎+𝑐+4
A) 1 B) 2 C)
1
2
D)
1
3
E) 3
12) Dadas las siguientes medidas
angulares : 𝛼 = 0,5236 𝑟𝑎𝑑;
𝛽 = 30 𝑔
50 𝑚
; 𝜃 = 270
25′
de
ordenar de menor a mayor.
(𝜋 = 3,1416)
A) 𝛽 < 𝜃 B) 𝜃 < 𝛽 < 𝛼
C) 𝛼 < 𝛽 < 𝜃 D) 𝜃 < 𝛼 < 𝛽
E) 𝛼 < 𝜃 < 𝛽
13) Si se cumple: (5𝑥 + 6) 𝑜
<> (10𝑥 + 4) 𝑔
,
calcule el valor de x
A)
1
5
B) 2 C)
3
5
D) 3 E) 5
14) Siendo S y C lo convencional para una
medida angular, indique el valor de:
𝑀 = √
𝜋𝑆 + 𝜋𝐶 + 20𝑅
0,2(𝜋𝐶 − 𝜋𝑆)
A) 5 B) ±5 C) 10 D) ±10 E) 20
15) El promedio de los números
convencionales de una medida
angular resulta (380 + 𝜋). Calcule la
medida del ángulo en el sistema
centesimal.
A) 200 𝑔
B) 300 𝑔
C) 400 𝑔
D) 500 𝑔
E) 600 𝑔
16) Calcule el valor de x sabiendo que se
cumple: [
(𝑥+3)0
5 𝑔 ]
𝑂
<> [
(4𝑥−18)0
15 𝑔 ]
𝑔
A) 39 B) 40 C) 41 D) 42 E) 43
Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
4
17) Si 𝑎 𝑟𝑎𝑑 𝑦 𝑏 𝑟𝑎𝑑 son
complementarios y se cumple
𝑎 =
𝜋
4
+
2𝑆
3
; 𝑏 =
𝜋
5
−
𝐶
2
; S y C son lo
convencional. Calcule la medida del
ángulo en radianes.
A)
𝜋
10
𝑟𝑎𝑑 B)
𝜋
20
𝑟𝑎𝑑 C) [
𝜋
5
]
2
𝑟𝑎𝑑
D) [
𝜋
10
]
2
𝑟𝑎𝑑 E) [
𝜋
100
]
2
𝑟𝑎𝑑
18) En base a los datos de la figura,
calcule (
10𝑥
3
)
𝑔
en radianes.
A)
3𝜋
4
𝑟𝑎𝑑 B)
2𝜋
3
𝑟𝑎𝑑 C)
𝜋
6
𝑟𝑎𝑑
D)
𝜋
5
𝑟𝑎𝑑 E)
𝜋
4
𝑟𝑎𝑑
19) Siendo S, C y R lo convencional para
una medida angular y se cumple:
𝑆+𝐶+𝑅
38𝑅
=
40𝑅
𝜋
+
𝐶−𝑆
2(𝑆+𝐶)
Calcule la medida del ángulo en radianes.
A)
1
2
𝑟𝑎𝑑 B)
1
3
𝑟𝑎𝑑 C)
1
4
𝑟𝑎𝑑
D)
1
5
𝑟𝑎𝑑 E)
1
6
𝑟𝑎𝑑
20) Del gráfico, calcule x+y.
A) 7 B) 5 C) 4 D) 6 E) 8
21) Si (30, 34)º = 𝐴º𝐵′𝐶",
Calcule A+B+C
A) 74 B) 90 C) 85 D) 80 E) 75
22) Reduzca la siguiente expresión
1 𝑔
1 𝑚
1 𝑚 +
2 𝑔
2 𝑚
2 𝑚 +
3 𝑔
3 𝑚
3 𝑚 +
4 𝑔
4 𝑚
4 𝑚 + ⋯
202 𝑔
202 𝑚
202 𝑚
101
A) 102 B) 200 C) 101 D) 100 E) 202
23) De la siguiente igualdad
𝑎 𝑔
𝑏 𝑚
𝑐 𝑠
= 45 𝑔
28 𝑚
63 𝑠
+ 28 𝑔
63 𝑚
45 𝑠
+ 63 𝑔
45 𝑚
28 𝑠
Calcule a – b – c
A) 32 B) 60 C) 54 D) 64 E) 52
24) Si 𝐿1 // 𝐿2 , calcule 𝑎.
A) 1 B) 2 C) 3 D) 2/3 E) 3/2
25) Se crea un nuevo sistema de medición
angular, cuya unidad (1u) es la
séptima parte del ángulo de media
vuelta. Simplifique la expresión
7 𝑢
3
+
2𝜋
3
𝑟𝑎𝑑
7 𝑢
3
+ 50 𝑔
A) 1/2 B) 12/7 C) 1/3 D) 2 E) 3
26) Calcule el equivalente de
54° + 60 𝑔
𝜋
10
𝑟𝑎𝑑
+
5°5′
5′
+
6 𝑔
80 𝑚
10 𝑚
A) 137 B) 135 C) 141 D) 138 E) 140
27) Calcule el valor de la siguiente
expresión
𝑥° + 𝑥′
𝑥 𝑔 − 39𝑥 𝑚
A) 40/27 B) 25/27 C) 50/27
D) 20/27 E) 23/27

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Semana 1 angulo trigonometrico x

  • 1. 1 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA CEPUNS Ciclo 2018-III TRIGONOMETRÍA “ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO’’ Docente: Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO Ángulo Trigonométrico: Es aquel que se genera por la rotación de un rayo alrededor de un punto fijo llamado vértice, desde una posición inicial hasta otra posición final; debiendo considerar que esta rotación se efectúa en un solo plano. De esta forma, debemos considerar dos tipos de rotación. Posición inicial Posición final O A B Posición inicial Posición final A C vértice vértice Giro horario (o sentido horario) Giro antihorario (o sentido antihorario) α β O Consideraciones: 1. Para sumar y restar ángulos trigonométricos, se debe procurar tenerlos en un solo sentido; de preferencia anti horario. Para ello, se recomienda el cambio de sentido así: A B O α A B O -α ⇨ La rotación que genera un ángulo trigonométrico puede hacerse de manera indefinida en cualquiera de los dos sentidos mencionados. 1. Sistema Sexagesimal (Ingles): Es aquel que tiene como unidad a un grado sexagesimal (1°), que viene a ser la 360ava parte del ángulo de una vuelta. Esto es: 1° = 1 vuelta 360 ⇒ 1 vuelta = 360° También, tenemos sus sub – unidades: 1° = 60′ | 1′ = 60′′ | 1° = 3600′′ 2. Sistema Centesimal (Francés): Es aquel que tiene como unidad a un grado centesimal (1g ), que viene a ser los 400 ava parte del segundo de una vuelta. Esto es: 1g = 1 vuelta 400 ⇒ 1 vuelta = 400g También, tenemos sus sub – unidades: 1g = 100m | 1′ = 100s | 1g = 10000s 3. Sistema Radial o Circular (Internacional): Es aquel que tiene como unidad a un radial (1 rad) , que viene a ser la medida de un ángulo central en una circunferencia cuando el arco que subtiende mide igual que el radio de la circunferencia. Esto es: Si: L = R ⇒ θ = 1 rad Además: 1 vuelta = 2π rad Semana Nº 1
  • 2. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría. 2 O θ A B L R R R Consideraciones: 1. 1 rad > 1° > 1g 2. 360° = 400g = 2π rad ⟹ 180° = 200g = π rad 3. 180° = 200g ⟹ 9° = 10g ⟹ 27′ = 50m ⟹ 81′′ = 250s 4. α = x° y′ z′′ = x° + y′ + z′′ β = xg ym zs = xg + ym + zs PROBLEMA RESUELTO Si 36,345° se puede expresar como U°N′I′′ calcule U+N+I. Resolución: Primero se descompone la parte entera y decimal de 36,345° = 36° + 0,345°. La medida de 0,345° la llevamos a minutos sexagesimales, empleando el factor de conversión: 36,345° = 36,345° ( 60′ 1° ) ⟶ 36,345° = 20,7′ Descomponiendo la parte entera y decimal de 20,7′ = 20′ + 0,7′. 0,7′ = 0,7′ ( 60′′ 1′ ) Luego, el ángulo 36,345° queda expresado como: 36,345° = 36°20′ 42′′ = U°N′I′′. Identificamos los términos y deducimos: U=36; N=20; I=42 U+N+I=98. Fórmula General de Conversión: Es la relación que existe entre los números de grados sexagesimales (S), grados centesimales (C) y el número de radianes (R) que contiene un grado trigonométrico. En el gráfico, tenemos: α So=Cg=Rrad S 180 = C 200 = R π S 9 = C 10 = 20R π = 𝒌 ⇒ S = 9𝒌; C = 10𝒌 ; R = π 20 𝒌 PROBLEMA DE CLASE 1) Calcular el equivalente en sexagesimales de: I). 3𝜋 10 𝑟𝑎𝑑 II). 4𝜋 9 𝑟𝑎𝑑 A) 45° 𝑦 90° B) 48° 𝑦 86° C) 36° 𝑦 80° D) 18° 𝑦 76° E) 54° 𝑦 80° 2) Del gráfico, determinar una relación entre 𝛼, 𝛽 𝑦 𝜃. (x5;y5) (x4 θ α β A) 𝛼 − 𝛽 + 𝜃 = −360° B) 𝛼 + 𝛽 − 𝜃 = 360° C) 𝛼 + 𝛽 + 𝜃 = 360° D) 𝛼 − 𝛽 − 𝜃 = 360° E) 𝛼 + 𝛽 − 𝜃 = −360°
  • 3. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría. 3 3) Simplificar: 𝐸 = 𝑏 𝑔(5𝑏) 𝑚 7𝑏 𝑚 A) 11 B) 13 C) 15 D) 17 E) 19 4) Calcular 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 sabiendo que: 𝐴°𝐵′ 𝐶′′ = 7°42′ 38′′ + 19°34′51′′ A) 70 B) 71 C) 72 D) 73 E) 74 5) Si expresamos la medida angular (18,235)° en su forma 𝑎°𝑏’𝑐’’, la siguiente suma 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 es: A) 38 B) 29 C) 36 D) 47 E) 42 6) Del gráfico , calcular 𝑦 𝑥 (x5;y5) (x4;y4) (x3;y3) (x2;y2) (x1;y1)……... (xn;yn) S θ α β X° xg Y’ A) − 1 6 B) −6 C) 6 D) 1 3 E) − 1 3 7) Reducir: 𝐸 = 1 𝑔 10 𝑚 + 10 3′ + 1 𝑚 2 𝑠 A) 10 B) 40 C) 50 D) 70 E) 80 8) Del gráfico, lo correcto es: y x A) 𝑥 + 𝑦 = 360° B) 𝑥 − 𝑦 = 360° C) 𝑥 + 𝑦 = 180° D) 𝑥 − 𝑦 = 180° E) 𝑥 − 𝑦 = 270° 9) Evalué: 𝑀 = 1 𝑔+2 𝑔+3 𝑔+4 𝑔+⋯ 2018 𝑔 10+20+30+40+⋯ 20180 A) 9 B) 10 C) 9 10 D) 10 9 E) 9 5 10) Si se cumple que: 37,98° <> 𝐴𝐵̅̅̅̅ 𝑔 𝐵𝑂̅̅̅̅ 𝑚 ; determinar el valor de: 𝑀 = 𝐴2 − 𝐵2 A) 10 B) 14 C) 16 D) 12 E) 18 11) Sabiendo que: ( 1°21′ 3′ ) ( 2°15′ 5′ ) ( 4°3′ 30′ ) <> 𝑎0̅̅̅̅ 𝑔 𝑏𝑐̅̅̅ 𝑚 𝑑𝑒̅̅̅ 𝑠 Calcular: 𝑀 = 𝑏+𝑑+9+𝑒 𝑎+𝑐+4 A) 1 B) 2 C) 1 2 D) 1 3 E) 3 12) Dadas las siguientes medidas angulares : 𝛼 = 0,5236 𝑟𝑎𝑑; 𝛽 = 30 𝑔 50 𝑚 ; 𝜃 = 270 25′ de ordenar de menor a mayor. (𝜋 = 3,1416) A) 𝛽 < 𝜃 B) 𝜃 < 𝛽 < 𝛼 C) 𝛼 < 𝛽 < 𝜃 D) 𝜃 < 𝛼 < 𝛽 E) 𝛼 < 𝜃 < 𝛽 13) Si se cumple: (5𝑥 + 6) 𝑜 <> (10𝑥 + 4) 𝑔 , calcule el valor de x A) 1 5 B) 2 C) 3 5 D) 3 E) 5 14) Siendo S y C lo convencional para una medida angular, indique el valor de: 𝑀 = √ 𝜋𝑆 + 𝜋𝐶 + 20𝑅 0,2(𝜋𝐶 − 𝜋𝑆) A) 5 B) ±5 C) 10 D) ±10 E) 20 15) El promedio de los números convencionales de una medida angular resulta (380 + 𝜋). Calcule la medida del ángulo en el sistema centesimal. A) 200 𝑔 B) 300 𝑔 C) 400 𝑔 D) 500 𝑔 E) 600 𝑔 16) Calcule el valor de x sabiendo que se cumple: [ (𝑥+3)0 5 𝑔 ] 𝑂 <> [ (4𝑥−18)0 15 𝑔 ] 𝑔 A) 39 B) 40 C) 41 D) 42 E) 43
  • 4. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría. 4 17) Si 𝑎 𝑟𝑎𝑑 𝑦 𝑏 𝑟𝑎𝑑 son complementarios y se cumple 𝑎 = 𝜋 4 + 2𝑆 3 ; 𝑏 = 𝜋 5 − 𝐶 2 ; S y C son lo convencional. Calcule la medida del ángulo en radianes. A) 𝜋 10 𝑟𝑎𝑑 B) 𝜋 20 𝑟𝑎𝑑 C) [ 𝜋 5 ] 2 𝑟𝑎𝑑 D) [ 𝜋 10 ] 2 𝑟𝑎𝑑 E) [ 𝜋 100 ] 2 𝑟𝑎𝑑 18) En base a los datos de la figura, calcule ( 10𝑥 3 ) 𝑔 en radianes. A) 3𝜋 4 𝑟𝑎𝑑 B) 2𝜋 3 𝑟𝑎𝑑 C) 𝜋 6 𝑟𝑎𝑑 D) 𝜋 5 𝑟𝑎𝑑 E) 𝜋 4 𝑟𝑎𝑑 19) Siendo S, C y R lo convencional para una medida angular y se cumple: 𝑆+𝐶+𝑅 38𝑅 = 40𝑅 𝜋 + 𝐶−𝑆 2(𝑆+𝐶) Calcule la medida del ángulo en radianes. A) 1 2 𝑟𝑎𝑑 B) 1 3 𝑟𝑎𝑑 C) 1 4 𝑟𝑎𝑑 D) 1 5 𝑟𝑎𝑑 E) 1 6 𝑟𝑎𝑑 20) Del gráfico, calcule x+y. A) 7 B) 5 C) 4 D) 6 E) 8 21) Si (30, 34)º = 𝐴º𝐵′𝐶", Calcule A+B+C A) 74 B) 90 C) 85 D) 80 E) 75 22) Reduzca la siguiente expresión 1 𝑔 1 𝑚 1 𝑚 + 2 𝑔 2 𝑚 2 𝑚 + 3 𝑔 3 𝑚 3 𝑚 + 4 𝑔 4 𝑚 4 𝑚 + ⋯ 202 𝑔 202 𝑚 202 𝑚 101 A) 102 B) 200 C) 101 D) 100 E) 202 23) De la siguiente igualdad 𝑎 𝑔 𝑏 𝑚 𝑐 𝑠 = 45 𝑔 28 𝑚 63 𝑠 + 28 𝑔 63 𝑚 45 𝑠 + 63 𝑔 45 𝑚 28 𝑠 Calcule a – b – c A) 32 B) 60 C) 54 D) 64 E) 52 24) Si 𝐿1 // 𝐿2 , calcule 𝑎. A) 1 B) 2 C) 3 D) 2/3 E) 3/2 25) Se crea un nuevo sistema de medición angular, cuya unidad (1u) es la séptima parte del ángulo de media vuelta. Simplifique la expresión 7 𝑢 3 + 2𝜋 3 𝑟𝑎𝑑 7 𝑢 3 + 50 𝑔 A) 1/2 B) 12/7 C) 1/3 D) 2 E) 3 26) Calcule el equivalente de 54° + 60 𝑔 𝜋 10 𝑟𝑎𝑑 + 5°5′ 5′ + 6 𝑔 80 𝑚 10 𝑚 A) 137 B) 135 C) 141 D) 138 E) 140 27) Calcule el valor de la siguiente expresión 𝑥° + 𝑥′ 𝑥 𝑔 − 39𝑥 𝑚 A) 40/27 B) 25/27 C) 50/27 D) 20/27 E) 23/27