El documento presenta información sobre ecuaciones e inecuaciones trigonométricas. Explica cómo resolver ecuaciones trigonométricas utilizando identidades trigonométricas y cómo determinar el conjunto de soluciones de inecuaciones trigonométricas mediante la representación gráfica de las funciones involucradas. También incluye ejemplos y problemas resueltos sobre estas temáticas.

1. 1
Centro Preuniversitario de la UNS S-12 Ingreso Directo
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
CEPUNS
Ciclo 2015-II
TRIGONOMETRÍA
“ECUACIONES E INECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS”
Objetivos:
 Discrimar información relevante, sintetizar y construir conocimientos para resolver
problemas con Identidades trigonométricas.
 Resolver ecuaciones trigonométricas utilizando identidades trigonométricas.
ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
Son igualdades condicionales donde la variable (x) o
arcos de la forma (ax + b) se encuentran afectados
de algún operador trigonométrico como el seno,
coseno, etc.
Es de la forma :
Donde el valor principal (Vp) es el valor del ángulo o
arco (ax + b) definido en el "rango" de la función
trigonométrica inversa.
De (*) :
Además N debe pertenecer al dominio de la
función trigonométrica; a y b son constantes reales
con .
Ejemplo : De las ecuaciones trigonométricas
elementales, con sus respectivos valores
principales :
*
*
*
EXPRESIONES GENERALES DE TODOS LOS
ARCOS QUE TIENEN LA MISMA FUNCIÓN
TRIGONOMÉTRICA
Obs : Vp = ArcSen(N)
Obs : Vp = ArcCos(N)
Obs : Vp = ArcTan(N)
INECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS
Inecuación Trigonométrica: Es una desigualdad
condicional que involucra funciones trigonométricas
por lo menos una.
Ejemplos:
* Sen2x > Cosx
* Tan2x + Cot2x > Cscx
*
*
Inecuación Trigonométrica Elemental : Una
inecuación trigonométrica se llamará elemental,
cuando es de la forma :
Ejemplos:
*
*
F.T. (ax + b) = N ............... (*)
Vp = Arc F.T. (N)
0a 
32
3ArcSenVp
2
3x3Sen 








3
2
2
1ArcCosVp
2
1
4
x2Cos 









 
4
)1(ArcTanVp1
85
x3Tan 




 
ECUACIÓN SOLUCIÓN
Zk;Vp1)(KxNSenx:Si K

ECUACIÓN SOLUCIÓN
ZK;Vp2KxNCosx:Si  
ECUACIÓN SOLUCIÓN
ZK;VpKxNTanx:Si 
4
1xSenxCosxCosxSen 33

3
1x2Sen 
incógnita:xa ,)Kx.(T.F 

2
3x2Cos 
1x3Tan 
Semana Nº 12
2
1
y
5
6

6
1
1
2
x
2
1
)x(g 
f(x)= Senx

2. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
2
Centro Preuniversitario de la UNS S-12 Ingreso Directo
Resolución de una Inecuación Trigonométrica
Elemental:
Se estila seguir dos métodos:
Resolver:
Método I:
En la circunferencia trigonométrica, ubicamos
todos los arcos "x" cuyos senos sean mayores que
, así:
Método II :
Graficamos en un mismo sistema coordenado las
funciones:
Los puntos de intersección en un periodo del Senx :
osea en , se obtienen con :
PROBLEMAS DE CLASE
1. El número de soluciones menores que 360º de
la ecuación : 𝐶𝑠𝑐2
𝑥 = 𝐶𝑡𝑔𝑥 + 1, es igual a:
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
3º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2014 - III
2. En el sistema:
{
𝐶𝑜𝑠2𝑥 − 𝐶𝑜𝑠2𝑦 = 1
𝑥 + 𝑦 =
5𝜋
6
Calcule y, si 𝑘𝜖𝑍
A)
𝜋
3
− 𝑘𝜋 B)
𝜋
4
+ 𝑘𝜋 C)
3𝜋
4
− 𝑘𝜋 D)
5𝜋
6
+ 𝑘𝜋 E)
2𝜋
3
+ 𝑘𝜋
3º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2014 - II
3. Resolver: 1 + 𝐶𝑜𝑠𝑥 = (𝐶𝑜𝑠𝑥 + 𝑆𝑒𝑛𝑥)2
A) 10º B) 20º C) 30º D) 45º E) 60º
3º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2013 - III
4. Al resolver la ecuación :
2
3
3..3  xCosSenxCosxxSen
A) 15º B) 20º C) 30º D) 40º E) 60º
EXAMEN ORDINARIO – UNS 2013 - I
5. Los valores de x, Comprendidos entre 0 y 2,
que satisfacen la ecuación: 1
15
3



senx
senx
A)
3
2
3

y B)
3
2
6

y C)
6
5
6

y
d)
6
7
4

y e)
6
2
5

y
EXAMEN ORDINARIO – UNS 2012 - II
2
1Senx 
2
1
Zn;n2
6
5;n2
6
x
Zn;n2
6
5xn2
6
6
5x
62
1Senx



El conjunto solución general será :
2
1
y
5
6

6
x + y = 12 2
Zn;n2
6
5;n2
6
x
Zn;n2
6
5xn2
6
6
5x
62
1Senx



El conjunto solución general será :
= 12
2
1g(x)Senx)x(f 
 2;0
2
1Senx)x(g)x(f 
6
5x
6
x 
2
1
y
5
6

6
1
1
2
x
2
1
)x(g 
f(x)= Senx

3. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
3
Centro Preuniversitario de la UNS S-12 Ingreso Directo
6. Si : y son los dos primeros valores
positivos de "x" que verifican :
,
Calcule : ,
si :
a) b) c) 1 d) e)
7. Resolver: tgx +tg2x + tg3x =0 e indique el
conjunto solución ; K Z
a )
2
K b)
6
K c)
12
K d)
3
K e)  
8
.12

k
8. Resuelva la inecuación e indique el número de
soluciones:  4;0,4cos42
 xxxsen
a) 1 b)2 c)3 d) 4 e) 5
9. Determinar el conjunto solución de:
|Sen2x| + 2 = 2(|Senx| + |Cosx|)
a)
2kπ
3
b)
kπ
3
c)
kπ
4
d)
2kπ
5
e)
kπ
2
10.Resolver la inecuación: Cosx < Sen
π
6
Para x en [0; 2𝜋]
a) [−
𝜋
3
;
𝜋
3
] b) 〈
𝜋
3
;
5𝜋
3
〉 c) ∅
d) [
𝜋
2
;
3𝜋
2
] e) FD
11.Resolver el intervalo de 〈0; 2𝜋〉 la inecuación:
−
1
2
< Cosx <
1
2
a) x ∈ 〈
π
3
;
π
4
〉 ∪ 〈
3π
4
; π〉
b) x ∈ [
π
3
;
2π
3
〉 ∪ 〈
4π
3
;
5π
3
]
c) x ∈ 〈
π
3
;
π
4
〉 d) x ∈ [0;
π
4
〉 e) x ∈ 〈
π
4
;
3π
4
〉
12.Resuelva :
,
a) b)
c) d) e)
13.obtener todos los valores de “x” que satisfacen
a inecuación:
 xx cos.3213cos8 3

a)
93
2,
93
2

 nn
b)
12
5
3
,
123

 nn
c)
3
2,
63
2



 nn
d)
183
2,
183
2

 nn
e)
6
,
6



  nn
14.Determinar todos los valores de “x” que
satisfacen a inecuación
Zkxxxsenxsen  ;
2
1
cos.3cos.3 33
a)





 
4

k b)





 
2

k c)







42
k
d)







82
k e)







62
k
15.Determinar un conjunto solución de la ecuación:
Znxsenxsen  ,34412 3
a)





 
124
n b)





 
63
n c)





 
2

n
d)





 
248
n e)





 
244
n
16.Sume las tres primeras soluciones positivas de
la ecuación:
a) 135º b) 180º c) 165º d) 160º e) 210º
17.Resuelva inecuación:
   ;2,cos44
xxxsen
a)
3
4
;
3
5 

b)
6
7
;
6
11 

c)
12
13
;
6
7 

d)
12
13
;
2
3 

e)
4
5
;
4
7 

18.Hallar el valor de: ‘‘a’’ para los cuales la
ecuación : Sen4
x − 2Cos2
x + a2
= 0
Tiene soluciones reales.
a) |a| > 2 b)|a| ≤ √2
c) |a| >
1
2
d) |a| < 0 e) |a| = 2
1
x
2
x
1CosxxSen2
2

)xx(Sen 12

21
xx 
2
3
2
1
2
1
2
3
6|x2Cotx2Tan|)x2Cotx2Tan(
2
 Zk 





 
84
k





 
82
k





 
4
k





 
16
k





 
88
k
)x3Cosx5Cos(3x3Senx5Sen 

4. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría.
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Centro Preuniversitario de la UNS S-12 Ingreso Directo
PROBLEMAS DE REPASO
1. Resolver el sistema de ecuaciones:
Senx + Seny = Sen(x + y) … … … (1)
|𝑥| + |𝑦| = 1 … … . . . (2)
Señale el número de soluciones.
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
2. Si: ,0x resuelve la inecuación:
    0112  ctgxtgxsenxsenx
a)





 ;
6
5
6
;0
b)
6
5
;
6
 c)




6
5
;
6

d)









26
5
;
6
 e)






26
5
;
6

3. Resuelva
0
1cos32cos
22



xx
xsen ,si 2,0x
a)
6
5
;
6
 b)
6
11
;
6
 c)
4
5
;
4

d)
3
5
;
3
 e)
4
3
;
4

4. ¿Cuál es el ángulo menor que 90º tal que el
triple de su tangente es igual al doble de su
coseno?
A) 45º B) 60º C) 75º D) 15º E) 30º
5. Resolver:
Determinar la suma de soluciones mayores de
0º y menores de 270º.
A) 360º B) 450º C) 230º D)540º E) 270º
6. Resolver:
A) B)
C) D) E)
7. Al resolver la ecuación trigonométrica
dar la suma de soluciones en
A) B) C) D) E)
8. Calcular la suma de soluciones de:
para x entre 0º y 360º.
A) 90º B) 180º C) 270º
D) 450º E) 540º
9. Cuál de los cinco ángulos que se indican
enseguida es una solución de la ecuación:
A) 90º B) 270º
C) 180º D) 360º E) 450º
10. Indicar la solución principal de:
A) B) C)
D) E)
19.Si el determinante de la matriz:
C = [
Senx Sen3x Sen5x
Sen2x Sen4x Sen6x
1 1 1
]
Es: 0,5Sen2x
Hallar “x” (𝑛 ∈ 𝑍)
a) {
nπ
2
} b) {nπ + (−1)n π
6
}
c){nπ − (−1)n π
6
} d) a y b e) a y c
20.Resolver la inecuación:
Senx − Sen3x > 0 ; x ∈ [0; π]
a) 𝑥 ∈ 〈0;
𝜋
4
〉 ∪ 〈
3𝜋
4
; 𝜋〉
b) 𝑥 ∈ [0;
𝜋
4
〉 ∪ 〈
3𝜋
4
; 𝜋]
c) 𝑥 ∈ 〈0;
𝜋
4
〉 d) 𝑥 ∈ [0;
𝜋
4
〉 e) 𝑥 ∈ 〈
𝜋
4
;
3𝜋
4
〉
21.Resolver e indicar el número de soluciones en
〈0; 2𝜋〉 de la ecuación:
Cosx = (2 − Tanx)(1 + Senx)
A) 2 B) 4 C) 3 D) 1 E) No existen soluc.
Tg(45º x) Cos2x 
Tg(x ) Tg(x ) Tg2x, (k )
8 8
 
    
k ; k
8

  k ; k
8

 
k
; k
2 8
 
 2k ; k
8

  k ; k
8

 
x
Sen Cosx
2

0;2 .  
6 4 3 2 
Sen2x Cosx 0 
Cosx Secx 2 
4 4 2
Cos x Sen x
2
 
12

9

8

6

4
