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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
                      CEPUNS
                                             Ciclo 2013-II
                                          TRIGONOMETRÍA
                                          “Sector Circular”                             Semana Nº 2

SECTOR CIRCULAR                                                     l : longitud de arco
Es aquella porción de círculo limitado por dos                         : Número de radianes del ángulo
radios y un arco de circunferencia                                  central
                                                                    r: radio de la circunferencia
                                                           Ejemplo:
                                                               Del gráfico mostrado, calcular la longitud
                                                               de arco       (l), siendo 0: centro.




    De la figura se obtiene:
A0B Sector Circular
                                                               Solución:
                                                                l=    . 18
                                                                    6
                                                               l = 3 cm
Longitud de Arco (l); Es aquella en unidades de
longitud de un arco de circunferencia, se calcula          PROPIEDAD:
mediante el producto del número de radianes
del ángulo central y el radio de la
circunferencia.
                                                                                        A1       L1
     Deducción: Sea la circunferencia con
     centro en “0” y radio “r” comparando la                                            A2       L2
     longitud de arco y el ángulo central como                                             (Radio constante)
     se muestra en la figura siguiente:
                                                           Área Del Sector Circular: El área de un
                                                           Sector Circular se calcula mediante el producto
                                                           del número de radianes del ángulo con el radio
                                                           de la circunferencia elevado al cuadrado
                                                           dividido entre dos.
                                                                Deducción:


    Teniendo en cuenta el significado
    geométrico de 1rad. se tiene:
  Longitud de Arco Ángulo Central
    l                             rad.
    r                              1 rad.
    De donde se obtiene        l=   .r.                        Comparando (por regla de tres simple)
                                                           Área de un Sector Circular Ángulo Central
    Donde:
                                                                 r2                            2 rad.

                                                       1
Centro Preuniversitario de la UNS                   S-02                              Ingreso Directo
Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez                     WWW.lobo-de-fama.blogspot.com                                Trigonometría.
    S                                               rad.           En esta figura el número de vueltas que da la
    Resolviendo se obtiene:                                        rueda de radio (r) al desplazarse desde “A”
              r2   también: S             lr       l2              hasta “B” se calcula:
     S                                         S
              2                           2        2                                                   L ;                   g
    Ejemplo:                                                            nv
                                                                                  lc       ;
                                                                                                   g       n
    Del gráfico mostrado, calcular el área del
                                                                                 2 r                   r                 2
    sector A0B. 0: centro.                                         (lc : longitud descrita por el centro de la rueda).

                                                                   (*) Cuando una rueda (aro, disco) va rodando sobre
                                                                   una superficie curva.



    Solución:
            62
    S     .
        3 2
    S = 6 cm2

Área del Trapecio Circular:
                                                                             R     r                                     R       r
                                                                    n                                        n
                                                                             2 r                                         2 r

                                                                   (*) Ruedas unidas por una faja o en contacto.




                            L1       L2
                   S                       d
                                 2
                   S        SCOD SAOB
Valor numérico del ángulo central                                  Se cumple:
                                                                                                1r1 = 2r2
   = L1       L2   ; (0 <    <2 )
                                                                                               n1r1 = n2r2
          d
                                                                                                L1 = L2

NÚMERO DE VUELTAS (nv): El número de
                                                                   (*) Ruedas unidades por sus centros.
vueltas que da una rueda de radio “r” al
desplazarse (sin resbalar) se calcula mediante
el cociente de la longitud que describe el centro
de la rueda dividido entre 2 r. (perímetro de la
rueda).




                                                                   Se cumple:          1   =   2       n1 = n2      L1       L2
                                                                                                                    r1       r2



                                                              2
Centro Preuniversitario de la UNS                          S-02                                        Ingreso Directo
Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez                       WWW.lobo-de-fama.blogspot.com                                                         Trigonometría.

Propiedad                                                                                  R

                                                                                  R
                                                                  R
                                                                                                       7S
                                                  R                                   5S
                                                                      3S
                                                              S
                                              0
                                                          R               R           R        R
PROBLEMA RESUELTOS

1) Halle el área sombreada:                                       A                                                                                        g
   a)                                             C                                                    º
   b) 2                                                                                                                                         R2

     c) 3                                                                                                   R1
                       o       30º                            6
     d) 4
                                                                                      En una bicicleta se cumple que:
     e) 5                                                                              1R1 = 2R2

RESOLUCIÓN                                        D                                    ºR1 = ( g)R2
                                                                      B                             9
                                                                                        ºR1    º       R2
                                                                      A                            10
                                          a           C                               R1    9
                                                                                      R 2 10
                                                                                                                                                    RPTA.: C
                           o    30º                           6

Sx = S             S                                                                  3) Se tienen dos ruedas conectadas por una
             AOB       COD            b
                                                  D
                                                                                      faja; si hacemos girar la faja, se observa
Sx           a²        b²                                             B               que las ruedas giran ángulos que suman
         2         2                                                                  144º. Determine la diferencia de los
                                                                                      números de vueltas que dan estas ruedas
Sx         a² b²                                                                      si sus radios miden 3 m y 5 m
         2
         1                                                                            a) 1                 b) 1               c) 1 d)           1 e) 1
Sx            6²                                                                           3                     8              9               4    10
         2 6                                                                          RESOLUCIÓN
         36                                                                                                                                 1   +    2   = 144º
Sx
          12
Sx       3                                                                                                                          5
                                                  RPTA.: C                                     3

2) Se tiene una bicicleta cuyas ruedas
tienen por radios R1 y R2 (R1 < R2); cuando                                                L1 = L2               1R1      =   2R2
la rueda menor gira º la mayor gira g.                                                                               R2        V1       5
                                                                                                            1
¿En qué relación se encuentra los radios?
                                                                                                                     R1        V2       3
a) 3              b) 8         c) 9 d)         3 e) 9                                                       2

     7              13               10       10    4
RESOLUCIÓN                                                                             1           2        144 1
Si 1 y 2 son los ángulos que giran la rueda                                           2            2        180 2
menor y mayor respectivamente.



                                                                              3
Centro Preuniversitario de la UNS                                     S-02                                                      Ingreso Directo
Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez                                      WWW.lobo-de-fama.blogspot.com                                    Trigonometría.
                                                                                                                         B
               2                2
V1     V2              8k                    V1       V2       2k
               5                5                                                                                        r
                               1                                   1
                       k                     V1       V2       2                                                     A
                               20                                  20                                                                   L
                                                                1




                                                                                                           r
                                                               10




                                                                                                         0
                                                                                                       24
                                                                 RPTA.: E

4) Halle el número de vueltas que da la
rueda de radio (r = 1) al ir de la posición A                                                                                    B
hasta la posición B.
                                                                                       De la figura:
                                                                                        L        24
                                                                                       241r     240r
                                    20
                                                                                                 L = 24,1
                                                                        o                                                                   RPTA.: B
         r
                   A                     o                      B           r
                                                                                       6) En la figura, el trapecio circular ABCD y
       a) 85  b) 9                      c) 10         d) 10,5           e) 11          el sector circular COD tienen igual área.
       RESOLUCIÓN                                                                      Halle: m
             RECORRIDA                                                                        n
#V
        2 r                                                                            a)   2
                                                                                                                                                A
Sabemos: r = ( ) (21) = 21                                                                 2                                    D
   # vueltas = 21                                                                      b)   1
               2 1                                                                          2
                                                                                                           o                           m                n
       #v = 10,5
                                                                   RPTA.: D            c)   2
                                                                                       d)   2                                     C
5) De la figura mostrada, la rueda de radio                                                                                                  B
r, gira sin resbalar sobre la superficie de                                            e) 1
radio 240 r. ¿Cuál es la longitud recorrida                                            RESOLUCIÓN
por el centro de la rueda hasta que el punto
B este en contacto con la superficie de la
curva, si: m AOB = 120º, r = 18u?
                               B                                                                                         S                          n
                                    r
                                                                                                               rad               m          S

                           A
                                                                                                                 m²
                                                                                            menor : S
                                                                                                                 2
                                             B
                                                                                                                  n²
                            240 r                          A                                mayor : 2S
                                                                                                                  2
a)24          b) 24,1              c)24,2             d) 24,3           e) 24,4                     1           m²
RESOLUCIÓN                                                                                          2           n²
                                                                                                   1             m             m        2
L AB   =     240º                  18u           24
                    180                                                                                2         n             n        2
                                                                                                                                            RPTA.: A


                                                                                   4
Centro Preuniversitario de la UNS                                               S-02                                         Ingreso Directo
Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez                         WWW.lobo-de-fama.blogspot.com                                                  Trigonometría.
7) Se tiene un sector circular y un                                     Si AOB es sector circular.
cuadrado, con equivalente área e igual
perímetro; luego la medida, en radianes, de
su ángulo central correspondiente resulta
ser:
A)1 rad B) 2 rad C) 1      D)4rad E) 1 rad
                       rad
                     2                4
RESOLUCIÓN

     Condiciones:
i)   S    =S            LR
                                    a²
                         2                                              a) ½         b) ¾    c) 2/3 d) ¼                      e) 1

                   R.L = 2a²                                            3) Se tienen dos circunferencias concéntricas, en
                                                                        las que se inscribe un ángulo central
ii) Perímetro = Perímetro                                               determinando longitudes de arco sobre dichas
                                                                        circunferencias de 80cm y 45cm respectivamente.
         2R + L = 4a                                                                     r
                                                    a                             F 16       2
                                                                        Calcule;         R     siendo r y R los radios de
                                                                        las circunferencias (r<R).
                                                                        a) 7 b)8             c) 9   d)10 e) 11
                                    a               S        a
                                                                        4) Se tiene un sector circular cuya longitud de
                                                                        arco es numéricamente igual a la mitad del área
                                                                        de un cuadrado, cuyo lado es igual al radio del
                                                                        sector. ¿Cuánto mide la longitud de arco del
                                                    a
     (2R+L)²=16a² (2R+L)² = 8(2a²)                                      sector, si la medida del ángulo central expresado
     4R² + 4R.L + L² = 8(R.L)                                           en radianes, toma su mayor valor entero posible?.
     4R² 4R.L +L² = 0                                                   a)12     b)24       c) 48    d)72     e) 144
     (2R L)² = 0   2R L = 0
     2R = L   2R = R       =2                                           5) En la figura se muestran las A1, A2 y A3, que
                               RPTA.: B                                 están en progresión aritmética, además
                                                                               LEF     a         LCD              b         L AB        c
PROBLEMA DE CLASE                                                                           ,                           y
                                                                                            b2        a   2


                                                                               Calcular:         c2           .
1) Calcule: M        S2        S3                                                                                            A
                          S1                                                                                            C
Donde S1, S2 y S3 son las áreas de las regiones                                                            E

sombreadas                                                                                            A1
                                                                                                                                  A3


                                                                                                              F
                                                                                                                        D
                                S2                                                                                                B
               2
                        S1                                                     a) ½        b) 2/3                 c)2        d)        3    e) 3–1
                                               S3
                                                                        6) Se tiene un triángulo equilátero de lado 9m.
                                                                        ubicado sobre una pista horizontal, si el
     A) 12 B) 13             C) 1 D) 5 + 2 E) 5              2          triángulo empieza a girar sin resbalar (ver
          7         2           12                                      gráfica) , hasta que el punto A vuelva a tocar el
                                                                        piso otra vez; calcular el espacio recorrido por
2)   Del gráfico, determinar LAB
                               
                                                                        dicho punto.
                                        LMPN
                                           




                                                                    5
Centro Preuniversitario de la UNS                                S-02                                                   Ingreso Directo
Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez                               WWW.lobo-de-fama.blogspot.com                                            Trigonometría.
                                                                                11) En el grafico mostrado r = 1 y R = 3 , además
                                                                                O es el centro del sector circular AOB, entonces el
                                                                                perímetro de la región sombreada es:




  a) 5 m b) 9                  m c) 10           m d) 12   m e) 15   m

7) En el sistema adjunto. ¿Cuánto medirá el
ángulo (en radianes) que se debe girar para que
                                                                                 a) 2              b) 11           c) 5           d) 7        e) 3
los centros de las esferas A y B se encuentren
                                                                                                            3            3             3
a la misma altura si inicialmente dicha
diferencia de alturas es de 14 unidades?.                                       12) Determine el número de vueltas que da la
                                            5u                                  rueda de ir de A hacia B. Si AC = CD = 9 r/2 ,
                                                                                R = 9r

                                            2u




                       A                                                        a) 6             b) 5             c) 3                 d) 8       e) 9

                                                  B
                                                                                13) ¿Cuánto deben girar las poleas mostradas
       a) 0,5          b) 1            c) 1,5      d) 2    e) 2,5
                                                                                para que la esferita baje 3m y cuánto debe ser el
                                                                                radio r, Si R = 2m ?
8) Una bicicleta avanza barriendo la rueda
mayor un ángulo de 360º, en ese instante qué
ángulo habrá girado la rueda menor si la relación
de sus radios es de 1 a 4.
 a) 720º b) 1080º c)1440º d)450º e) 90º

9) A partir del gráfico, calcular la longitud
recorrida por la esferita, hasta impactar en CD. Si
AB = BC = 4m. longitud de la rueda es 10m.
a) 5 m                                                                           a) 2            y 2m           b) 3          y 2m         c) 1       y 1m
                                                                                           rad                         rad                    rad
b) 5/2 m                                                                               3                           2                        3
c) 2 m                                                                           d) rad y 2m                                      e) 3     y 3
                                                                                                                                       rad     m
                                                                                                                                     2       2
d) 3 /2 m
e) 8 m                                                                          14) Hallar el área de la región sombreada si AOB
                                                                                                                                                     2
10) Siendo O , O1 centros de los
                                                                                y COD son sectores circulares, donde                                  9   y
sectores circulares , calcular el perímetro
 de la región sombreada.                                                        BC         3m .
 a) 4          b)          R
                                                                                                                                  C
                6 R            4       6                                                                                  A
        3                                   3
c) 2        3R
d)              R     e)                R                                                               O
   4        8              3       6
                3                       2                                                                                     B    D


                                                                            6
Centro Preuniversitario de la UNS                                        S-02                                             Ingreso Directo
Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez                                         WWW.lobo-de-fama.blogspot.com                                  Trigonometría.
    a)                    b)           c)            d)            e)                    4) De la figura mostrada, determinar el
                                                                                         número de vueltas que da una rueda de radio r
15) Calcule la altura en términos de R, a la que                                         para recorrer el circuito MNP.
se encontrará el punto A de la rueda, cuando
éste gire un ángulo de 1305º, desplazándose
sobre una pista horizontal.
                              R



                               A
                                           1 2 2                 1 2 2
                                                 R                     R
              2 1 R
    a)                            b)                       c)
                                             2                     2
                                                                                          a) R      3r    b) R     3r    c) R     3r d) 3R r e) 3R r
              2       2                2        2 1
                          R                         R                                             6r             6r             2r        2r      6r
        d)        2
                                  e)           2


                                                                                         5) La longitud de una circunferencia es (7x +
PROBLEMA DE REPASO
                                                                                         3) m, un ángulo central de x rad, subtiende un
                                                                                         arco de (4x + 1) m, calcular el valor de “x”
1) En el esquema mostrado se tiene que al
                                                                                           a) 1 b) 2 c) 2/7 d) 7/2 e) 1/6
hacer girar la faja, las ruedas A y C giran
longitudes que suman 28          . Determinar
                                                                                         6) En la figura mostrada r1 = 2u , r2 = 4u , r3 =
cuantas vueltas dará la rueda mayor.                                                     3u, r4 = 8u ; si las dos esferitas se encuentran
                                                                                         inicialmente al mismo nivel y la rueda de radio
                                                                                         r1, gira un ángulo de medida 1 rad, entonces la
                                                                                         diferencia de alturas (h), después de este giro
                                                                                         (en u), es:

    a) 1              b)1,5            c) 2             d) 2,5      e) 3

2) El ángulo central que subtiende un arco de
radio 81, mide cº. Si se disminuye dicho ángulo
hasta que mida Sg, ¿Cuánto debe aumentar el
radio para que la longitud de dicho arco no
varíe? (S y C son lo convencional)
 a) 5 b) 15        c) 19 d) 23 e) 31
                                                                                         a) 2.5          b)2            c) 3           d) 3,5     e) 1

3) En la figura adjunta calcule el número de
                                                                                         7) Determinar el valor de “L”
radianes que gira la esfera de radio r al radar de
A hacia B, sobre la superficie curva de radio
                      x
R(R=29r), si                  6 .

                          r                                 r

                          A                     R          B
                                           x
                                                                                            a) 3         b)6     c) 12         d) 15     e) 10

        rad                                                                 rad
 a) 6             b)6 rad c)2,5                     rad d)5 rad e) 5                     8) En la figura, ABC es un triángulo equilátero
                                                                                         de 18cm de perímetro. Hallar la longitud de la


                                                                                     7
Centro Preuniversitario de la UNS                                                 S-02                                         Ingreso Directo
Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez                                      WWW.lobo-de-fama.blogspot.com                                      Trigonometría.
curva que une los puntos D,E,F, y B, sabiendo                                                13) Se tienen dos ruedas en contacto cuyos radios
que BAF, FCE y EBD son sectores circulares.                                                  están en la relación de 2 a 5. Determinar el ángulo
                                                                                             que girará la rueda menor, cuando la rueda mayor
                                                                                             de 4 vueltas.
                                                                                                 a) 4     b) 5    c) 10       d) 20        e) 40

                                                                                             14) Un péndulo se mueve como indica en la
                                                                                             figura. Calcular la longitud del péndulo, si su
                                                                                             extremo recorre 3 m.
                                                                                                  a) 5m                         /12
                                                                                                  b) 6m             4m
  a) 12 cm b)16 cm c)18 cm d)24 cm e) 30 cm
                                                                                                  c) 7m
                                                                                                  d) 8m
9) De la figura, calcular                     S1 ; siendo S1: Área                                                   50g
                                                                                                  e) 9m
                                              S2
del sector AOB y S2: Área del sector COD.

                                                                                             15) De la figura mostrada determinar el número
                                                                                             de vueltas que da la rueda de radio “r” en su
                                                                                             recorrido de A hasta B (R=7r).
                                                                                                a) 2    b) 3     c) 4         d) 5    e) 6

                                                                                                          r

                                                                                                      A

 a)         a       b)    a     c)       a        d)       a        e)        a
        a       b        a b         a       2b        a       2b        2a       b
                                                                                                                  R
                                                                                                                      135º
                                                                                                                                    B        r
10) Dado un trapecio circular cuyo perímetro                                                                                  R
mide 20cm. Halle el valor máximo, en cm2, de su
                                                                                             16) Cuánto avanza la rueda de la figura adjunta si
área.
                                                                                             el punto “A” vuelve a tener contacto otras 7 veces
      a) 12cm2                 b) 16cm2                c) 20cm2                              y al detenerse el punto “B” está es contacto con el
      d) 25cm2                                         e) 30cm2                              piso (r=12u).
                                                                                             a) 88
                                                                                                                       B
11) Del gráfico adjunto, calcular                                   el        área           b) 92
sombreada, si se sabe que: MN=4m                                                  M
                                                                                             c) 172
    a) 2 m2                                                                                                              120º
    b)   m2                                                                                  d) 168
    c) 4 m2                                                                                  e) 184
    d)     m2
        2                        45
                                                                                                                                     A
    e) 3 m2                      º                                                           17) Del gráfico hallar “x+y”
                                                                                  N
                                                                                                              x
12) Los radios de las ruedas de una bicicleta, son
entre sí como 3 es a 4. Calcular el número de                                                  a
vueltas que da la rueda mayor cuando la rueda                                                                                                       y
menor gire 8 radianes.
   a) 2     b) 3         c) 4     d) 6      e) 8

                                                                                                   a) a   b) 2a       c) 3a       d) 4a     e) 5a



                                                                                         8
Centro Preuniversitario de la UNS                                                     S-02                                    Ingreso Directo

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Sector Circular y Número de Vueltas

  • 1. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA CEPUNS Ciclo 2013-II TRIGONOMETRÍA “Sector Circular” Semana Nº 2 SECTOR CIRCULAR l : longitud de arco Es aquella porción de círculo limitado por dos : Número de radianes del ángulo radios y un arco de circunferencia central r: radio de la circunferencia Ejemplo: Del gráfico mostrado, calcular la longitud de arco (l), siendo 0: centro. De la figura se obtiene: A0B Sector Circular Solución: l= . 18 6 l = 3 cm Longitud de Arco (l); Es aquella en unidades de longitud de un arco de circunferencia, se calcula PROPIEDAD: mediante el producto del número de radianes del ángulo central y el radio de la circunferencia. A1 L1 Deducción: Sea la circunferencia con centro en “0” y radio “r” comparando la A2 L2 longitud de arco y el ángulo central como (Radio constante) se muestra en la figura siguiente: Área Del Sector Circular: El área de un Sector Circular se calcula mediante el producto del número de radianes del ángulo con el radio de la circunferencia elevado al cuadrado dividido entre dos. Deducción: Teniendo en cuenta el significado geométrico de 1rad. se tiene: Longitud de Arco Ángulo Central l rad. r 1 rad. De donde se obtiene l= .r. Comparando (por regla de tres simple) Área de un Sector Circular Ángulo Central Donde: r2 2 rad. 1 Centro Preuniversitario de la UNS S-02 Ingreso Directo
  • 2. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez WWW.lobo-de-fama.blogspot.com Trigonometría. S rad. En esta figura el número de vueltas que da la Resolviendo se obtiene: rueda de radio (r) al desplazarse desde “A” r2 también: S lr l2 hasta “B” se calcula: S S 2 2 2 L ; g Ejemplo: nv lc ; g n Del gráfico mostrado, calcular el área del 2 r r 2 sector A0B. 0: centro. (lc : longitud descrita por el centro de la rueda). (*) Cuando una rueda (aro, disco) va rodando sobre una superficie curva. Solución: 62 S . 3 2 S = 6 cm2 Área del Trapecio Circular: R r R r n n 2 r 2 r (*) Ruedas unidas por una faja o en contacto. L1 L2 S d 2 S SCOD SAOB Valor numérico del ángulo central Se cumple: 1r1 = 2r2 = L1 L2 ; (0 < <2 ) n1r1 = n2r2 d L1 = L2 NÚMERO DE VUELTAS (nv): El número de (*) Ruedas unidades por sus centros. vueltas que da una rueda de radio “r” al desplazarse (sin resbalar) se calcula mediante el cociente de la longitud que describe el centro de la rueda dividido entre 2 r. (perímetro de la rueda). Se cumple: 1 = 2 n1 = n2 L1 L2 r1 r2 2 Centro Preuniversitario de la UNS S-02 Ingreso Directo
  • 3. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez WWW.lobo-de-fama.blogspot.com Trigonometría. Propiedad R R R 7S R 5S 3S S 0 R R R R PROBLEMA RESUELTOS 1) Halle el área sombreada: A g a) C º b) 2 R2 c) 3 R1 o 30º 6 d) 4 En una bicicleta se cumple que: e) 5 1R1 = 2R2 RESOLUCIÓN D ºR1 = ( g)R2 B 9 ºR1 º R2 A 10 a C R1 9 R 2 10 RPTA.: C o 30º 6 Sx = S S 3) Se tienen dos ruedas conectadas por una AOB COD b D faja; si hacemos girar la faja, se observa Sx a² b² B que las ruedas giran ángulos que suman 2 2 144º. Determine la diferencia de los números de vueltas que dan estas ruedas Sx a² b² si sus radios miden 3 m y 5 m 2 1 a) 1 b) 1 c) 1 d) 1 e) 1 Sx 6² 3 8 9 4 10 2 6 RESOLUCIÓN 36 1 + 2 = 144º Sx 12 Sx 3 5 RPTA.: C 3 2) Se tiene una bicicleta cuyas ruedas tienen por radios R1 y R2 (R1 < R2); cuando L1 = L2 1R1 = 2R2 la rueda menor gira º la mayor gira g. R2 V1 5 1 ¿En qué relación se encuentra los radios? R1 V2 3 a) 3 b) 8 c) 9 d) 3 e) 9 2 7 13 10 10 4 RESOLUCIÓN 1 2 144 1 Si 1 y 2 son los ángulos que giran la rueda 2 2 180 2 menor y mayor respectivamente. 3 Centro Preuniversitario de la UNS S-02 Ingreso Directo
  • 4. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez WWW.lobo-de-fama.blogspot.com Trigonometría. B 2 2 V1 V2 8k V1 V2 2k 5 5 r 1 1 k V1 V2 2 A 20 20 L 1 r 10 0 24 RPTA.: E 4) Halle el número de vueltas que da la rueda de radio (r = 1) al ir de la posición A B hasta la posición B. De la figura: L 24 241r 240r 20 L = 24,1 o RPTA.: B r A o B r 6) En la figura, el trapecio circular ABCD y a) 85 b) 9 c) 10 d) 10,5 e) 11 el sector circular COD tienen igual área. RESOLUCIÓN Halle: m RECORRIDA n #V 2 r a) 2 A Sabemos: r = ( ) (21) = 21 2 D # vueltas = 21 b) 1 2 1 2 o m n #v = 10,5 RPTA.: D c) 2 d) 2 C 5) De la figura mostrada, la rueda de radio B r, gira sin resbalar sobre la superficie de e) 1 radio 240 r. ¿Cuál es la longitud recorrida RESOLUCIÓN por el centro de la rueda hasta que el punto B este en contacto con la superficie de la curva, si: m AOB = 120º, r = 18u? B S n r rad m S A m² menor : S 2 B n² 240 r A mayor : 2S 2 a)24 b) 24,1 c)24,2 d) 24,3 e) 24,4 1 m² RESOLUCIÓN 2 n² 1 m m 2 L AB = 240º 18u 24 180 2 n n 2 RPTA.: A 4 Centro Preuniversitario de la UNS S-02 Ingreso Directo
  • 5. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez WWW.lobo-de-fama.blogspot.com Trigonometría. 7) Se tiene un sector circular y un Si AOB es sector circular. cuadrado, con equivalente área e igual perímetro; luego la medida, en radianes, de su ángulo central correspondiente resulta ser: A)1 rad B) 2 rad C) 1 D)4rad E) 1 rad rad 2 4 RESOLUCIÓN Condiciones: i) S =S LR a² 2 a) ½ b) ¾ c) 2/3 d) ¼ e) 1 R.L = 2a² 3) Se tienen dos circunferencias concéntricas, en las que se inscribe un ángulo central ii) Perímetro = Perímetro determinando longitudes de arco sobre dichas circunferencias de 80cm y 45cm respectivamente. 2R + L = 4a r a F 16 2 Calcule; R siendo r y R los radios de las circunferencias (r<R). a) 7 b)8 c) 9 d)10 e) 11 a S a 4) Se tiene un sector circular cuya longitud de arco es numéricamente igual a la mitad del área de un cuadrado, cuyo lado es igual al radio del sector. ¿Cuánto mide la longitud de arco del a (2R+L)²=16a² (2R+L)² = 8(2a²) sector, si la medida del ángulo central expresado 4R² + 4R.L + L² = 8(R.L) en radianes, toma su mayor valor entero posible?. 4R² 4R.L +L² = 0 a)12 b)24 c) 48 d)72 e) 144 (2R L)² = 0 2R L = 0 2R = L 2R = R =2 5) En la figura se muestran las A1, A2 y A3, que RPTA.: B están en progresión aritmética, además LEF a LCD b L AB c PROBLEMA DE CLASE , y b2 a 2 Calcular: c2 . 1) Calcule: M S2 S3 A S1 C Donde S1, S2 y S3 son las áreas de las regiones E sombreadas A1 A3 F D S2 B 2 S1 a) ½ b) 2/3 c)2 d) 3 e) 3–1 S3 6) Se tiene un triángulo equilátero de lado 9m. ubicado sobre una pista horizontal, si el A) 12 B) 13 C) 1 D) 5 + 2 E) 5 2 triángulo empieza a girar sin resbalar (ver 7 2 12 gráfica) , hasta que el punto A vuelva a tocar el piso otra vez; calcular el espacio recorrido por 2) Del gráfico, determinar LAB  dicho punto. LMPN  5 Centro Preuniversitario de la UNS S-02 Ingreso Directo
  • 6. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez WWW.lobo-de-fama.blogspot.com Trigonometría. 11) En el grafico mostrado r = 1 y R = 3 , además O es el centro del sector circular AOB, entonces el perímetro de la región sombreada es: a) 5 m b) 9 m c) 10 m d) 12 m e) 15 m 7) En el sistema adjunto. ¿Cuánto medirá el ángulo (en radianes) que se debe girar para que a) 2 b) 11 c) 5 d) 7 e) 3 los centros de las esferas A y B se encuentren 3 3 3 a la misma altura si inicialmente dicha diferencia de alturas es de 14 unidades?. 12) Determine el número de vueltas que da la 5u rueda de ir de A hacia B. Si AC = CD = 9 r/2 , R = 9r 2u A a) 6 b) 5 c) 3 d) 8 e) 9 B 13) ¿Cuánto deben girar las poleas mostradas a) 0,5 b) 1 c) 1,5 d) 2 e) 2,5 para que la esferita baje 3m y cuánto debe ser el radio r, Si R = 2m ? 8) Una bicicleta avanza barriendo la rueda mayor un ángulo de 360º, en ese instante qué ángulo habrá girado la rueda menor si la relación de sus radios es de 1 a 4. a) 720º b) 1080º c)1440º d)450º e) 90º 9) A partir del gráfico, calcular la longitud recorrida por la esferita, hasta impactar en CD. Si AB = BC = 4m. longitud de la rueda es 10m. a) 5 m a) 2 y 2m b) 3 y 2m c) 1 y 1m rad rad rad b) 5/2 m 3 2 3 c) 2 m d) rad y 2m e) 3 y 3 rad m 2 2 d) 3 /2 m e) 8 m 14) Hallar el área de la región sombreada si AOB 2 10) Siendo O , O1 centros de los y COD son sectores circulares, donde 9 y sectores circulares , calcular el perímetro de la región sombreada. BC 3m . a) 4 b) R C 6 R 4 6 A 3 3 c) 2 3R d) R e) R O 4 8 3 6 3 2 B D 6 Centro Preuniversitario de la UNS S-02 Ingreso Directo
  • 7. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez WWW.lobo-de-fama.blogspot.com Trigonometría. a) b) c) d) e) 4) De la figura mostrada, determinar el número de vueltas que da una rueda de radio r 15) Calcule la altura en términos de R, a la que para recorrer el circuito MNP. se encontrará el punto A de la rueda, cuando éste gire un ángulo de 1305º, desplazándose sobre una pista horizontal. R A 1 2 2 1 2 2 R R 2 1 R a) b) c) 2 2 a) R 3r b) R 3r c) R 3r d) 3R r e) 3R r 2 2 2 2 1 R R 6r 6r 2r 2r 6r d) 2 e) 2 5) La longitud de una circunferencia es (7x + PROBLEMA DE REPASO 3) m, un ángulo central de x rad, subtiende un arco de (4x + 1) m, calcular el valor de “x” 1) En el esquema mostrado se tiene que al a) 1 b) 2 c) 2/7 d) 7/2 e) 1/6 hacer girar la faja, las ruedas A y C giran longitudes que suman 28 . Determinar 6) En la figura mostrada r1 = 2u , r2 = 4u , r3 = cuantas vueltas dará la rueda mayor. 3u, r4 = 8u ; si las dos esferitas se encuentran inicialmente al mismo nivel y la rueda de radio r1, gira un ángulo de medida 1 rad, entonces la diferencia de alturas (h), después de este giro (en u), es: a) 1 b)1,5 c) 2 d) 2,5 e) 3 2) El ángulo central que subtiende un arco de radio 81, mide cº. Si se disminuye dicho ángulo hasta que mida Sg, ¿Cuánto debe aumentar el radio para que la longitud de dicho arco no varíe? (S y C son lo convencional) a) 5 b) 15 c) 19 d) 23 e) 31 a) 2.5 b)2 c) 3 d) 3,5 e) 1 3) En la figura adjunta calcule el número de 7) Determinar el valor de “L” radianes que gira la esfera de radio r al radar de A hacia B, sobre la superficie curva de radio x R(R=29r), si 6 . r r A R B x a) 3 b)6 c) 12 d) 15 e) 10 rad rad a) 6 b)6 rad c)2,5 rad d)5 rad e) 5 8) En la figura, ABC es un triángulo equilátero de 18cm de perímetro. Hallar la longitud de la 7 Centro Preuniversitario de la UNS S-02 Ingreso Directo
  • 8. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez WWW.lobo-de-fama.blogspot.com Trigonometría. curva que une los puntos D,E,F, y B, sabiendo 13) Se tienen dos ruedas en contacto cuyos radios que BAF, FCE y EBD son sectores circulares. están en la relación de 2 a 5. Determinar el ángulo que girará la rueda menor, cuando la rueda mayor de 4 vueltas. a) 4 b) 5 c) 10 d) 20 e) 40 14) Un péndulo se mueve como indica en la figura. Calcular la longitud del péndulo, si su extremo recorre 3 m. a) 5m /12 b) 6m 4m a) 12 cm b)16 cm c)18 cm d)24 cm e) 30 cm c) 7m d) 8m 9) De la figura, calcular S1 ; siendo S1: Área 50g e) 9m S2 del sector AOB y S2: Área del sector COD. 15) De la figura mostrada determinar el número de vueltas que da la rueda de radio “r” en su recorrido de A hasta B (R=7r). a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 r A a) a b) a c) a d) a e) a a b a b a 2b a 2b 2a b R 135º B r 10) Dado un trapecio circular cuyo perímetro R mide 20cm. Halle el valor máximo, en cm2, de su 16) Cuánto avanza la rueda de la figura adjunta si área. el punto “A” vuelve a tener contacto otras 7 veces a) 12cm2 b) 16cm2 c) 20cm2 y al detenerse el punto “B” está es contacto con el d) 25cm2 e) 30cm2 piso (r=12u). a) 88 B 11) Del gráfico adjunto, calcular el área b) 92 sombreada, si se sabe que: MN=4m M c) 172 a) 2 m2 120º b) m2 d) 168 c) 4 m2 e) 184 d) m2 2 45 A e) 3 m2 º 17) Del gráfico hallar “x+y” N x 12) Los radios de las ruedas de una bicicleta, son entre sí como 3 es a 4. Calcular el número de a vueltas que da la rueda mayor cuando la rueda y menor gire 8 radianes. a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) 8 a) a b) 2a c) 3a d) 4a e) 5a 8 Centro Preuniversitario de la UNS S-02 Ingreso Directo