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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA                                                y                 Se define:


                         CEPUNS
                                                                             P(x ;y )
                                                                                  o o
                                                                                            yo                        yo          xo
                                                                                                              Sen           Cot
                                                                                                                        r         yo
                                                                                    r                                 xo
                                             Ciclo 2012-III                                                   Cos                  r
                                                                                                                            Sec
                                                                                                                        r         xo
                                                                                        '                              yo          r
                                         TRIGONOMETRÍA                       xo                      x        Tan
                                                                                                                      xo
                                                                                                                            Csc
                                                                                                                                  yo


                               “F.T. de Ángulos Especiales”                                               Semana Nº 04
                                                             Para determinar el valor de las R.T. de un ángulo en
Definiciones                                                 posición normal, tomaremos un punto perteneciente
Previas:                                                     a su lado final.
                                                                                                         y                             Se defin
                                                                             P(x ;y )
                                                                                   o o
I. ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL                                                                             yo                            Sen
Llamado también en posición canónica o estándar.
Es aquél ángulo trigonométrico cuyo vértice coincide                                        r
con el origen del sistema cartesiano y su lado inicial                                                                                 Cos
coincide con el eje "x" positivo. Cuando un ángulo,
está en posición normal, el lado final puede estar en                                            '
uno de los cuadrantes, en cuyo caso se dice que éste                        xo                                              x          Tan
pertenece a tal cuadrante.
Del gráfico:                                 y                           Se define:
                           y P(xo ;yo )                                          yo                              xo
                                             y                           Sen                         Cot
                                               o
                                                                                   r                              yo
                                     r                                           xo
                                                                         Cos                                      r
                                                                                                     Sec
Lado Fina l                                                                        r                             xo
                                            ' (+ )                                yo
                             xo                              x           Tan                                      r
                                                                                                     Csc
                                                                                 xo                              yo
                 Vértice                     x
                                     Lado Inicial
                                                                       r     x2 y2
                                                                     *         o   o
*       : es un ángulo en posición normal
                                                                     * α´: se denomina ángulo de referencia
*        IIC ;         0
                   y                                         Signos de las                                                   R.T.
                                                             en                                                              los
                            Lado Inicial                     cuiadrantes
    Vértice                                                  Dependiendo del cuadrante al que perntenezca un
                                    x
                                                             ángulo en posicion normal, sus R.T. pueden ser
                                (-)                          positivas o negativas. Es asi como se obtiene el cuadro
                                                             adjunto
Lado Final

* β : Es un ángulo en posición normal
*       IIIC ;      0

Definición de las
Razones
Trigonométricas:


                                                         1
Centro Preuniversitario de la UNS                    S-04                                                Ingreso Directo
Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez                                                                                      Trigonometría.

Propiedad:                                                                        0º   90º         180º      270º 360º
Si   es un ángulo en posición normal positivo y                        SEN       0        1          0       -1            0
menor que una vuelta entonces se cumple:
    Si     I                      0 < < 90º                            COS        1       0         -1           0         1

     Si     II                      90º<     <180º                     TAN       0     ND            0       ND            0
     Si     III                     180º <    < 270º                   COT       ND       0         ND        0            ND
     Si     IV                      270º <    < 360º                   SEC        1       ND        -1       ND            1
Ángulos                                                             CSC ND          1               ND       -1            ND
Cuadrantales                                                 Nota: N.D. no definido
Son ángulos en posición normal, cuyo lado final
coincide con cualquiera de los semiejes del                  Ángulos
sistema cartesiano. Los ángulos cuadrantales no              Coterminales:
pertenecen a cuadrante alguno, simplemente son               Son aquellos ángulos trigonométricos que poseen el
                                                             mismo vértice, el mismo lado inicial y final.
ángulos frontera.
                                                             Ejemplo:
                                                             i)                                                                 ii)
                                                                                                                     Lado
                                                                                                                     inicial
                                                                   Lado
                                                                   final

                                                                                                   Vértice

Forma General                                                                                                                         P(x ;x
                                                                                                                                         o
                                                                                       y
< Cuadrantal = 90º.k ; k
i)                           Z                               ii)
También
                                               Lado
                                               inicial
<Cuadrantal = k     ;k   Z
    Lado       2
   final
Observación: para determinar si un ángulo es                                                                           x
cuadrantal, se divide entre 90º ó     rad . según
                                    2
                                  Vértice
corresponda; si el resultado de la división es un
                                                                               P(x ;x )
numero entero, significa que dicho < es cuadrantal.                           o o
                                                             Se tiene que:
                                                             * α      y : son coterminales
Razones                                                      * Ф y β: son coterminales (están en P. N.)

Trigonométricas
                                                             Propiedades:
de       Ángulos
Cuadrantales                                                 Si α y        son coterminales se cumple que:
                                                             I.                                                                         II.

                                                                       -      = 360º n         ;     n       Z




                                                         2
Centro Preuniversitario de la UNS                    S-04                                                Ingreso Directo
Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez                                                                                     Trigonometría.
 II.                                                              3)    Del gráfico, calcular:            E 3Tan           1
                                                                                                                   y
            R.T. ( ) = R.T.( )
                                                                                                       53º
Observacion: en forma practica para determinar
si dos angulos son coterminales:
Restamos dichos angulos , dividimos entre 360º o
2 rad. y si el resultado es un numero entero ,                                                                                 x
entonces los angulos son coterminales.                                   a) 0 b) 1      c) – 1         d) 2     e) – 2

                                                                                        
R.T. de  Ángulos                                                  4)    Si: Cos      0, 3 y        IIC
Negativos:                                                               Calcular: E     Tan   2
                                                                                                       Sec
                                                                         a) 1 b) 2       c) 3          d) 4     e) 5
Sen (- ) = - sen              ;    Cos (- ) = cos
Tg (- ) = - tg               ;     Ctg (- ) = - Ctg               5)    Simplificar:
Sec (- ) = Sec               ;     Csc (-   )= - Csc                           (a   b)2 Sen 3            (a    b)2 Cos 5
                                                                           L                       2
                                                                                    aSen 3  bCos 2
                                                                                          2        2
                                                                         a) 2a b) - 2a c) 4a d) - 4a                     e) - 4b
¡Muy importante!
                                  Y                               6)     Si el lado final de un ángulo canónico " " pasa
            Q (–b;a )                                                   por los puntos      P(m+n; n) y Q(n;m-n),
                                                                                         2
                                                P (a ;b)                 Calcular: K Cot    Tan 2
                                                                         a) 2    b) 4  c) 6       d) 8                 e) 12
                                                  X
                                                                  7) Dos ángulos coterminales son entre sí como 2
             R(–a ; –b)                                              es a 11. Calcular la medida del mayor de dichos
                                                                     ángulos, si el menor se encuentra comprendido
                                        M(b;–a )                     entre 90° y 180°.
                                                                     a) 858° b) 825° c) 880° d) 902° e) 935°
PROBLEMA DE CLASE
                                                                  8) Determinar el signo en cada cuadrante de:
1) Si (-3;-4) es un punto de lado terminal de y                           1 cos
                                                                     E               sen
    (5;-12) es un punto de lado terminal de ,                            sen . cos
    Calcular: Sec    Sec                                             a) ++++ b) +-++ c) +-+- d) -+-+ e) --++
              Csc Csc
   a) 1,56     b) 25,6 c) 3,56 d) 4,56 e) N.A.                    9) El producto de cinco razones trigonométricas
                                                                     de un ángulo que pertenece al segundo
2)      Sabiendo que " " es un ángulo positivo menor                 cuadrante es dos. Calcular la suma de su seno y
       que una vuelta perteneciente al IIIC señale el                coseno.
                        Q    Sen       Cos 2    Tan 3                   3 5 b)        5 c) 1 3 d)                                   3 5
                                   2        3        5             a)                                            3 1           e)
       signo de:
                                                                         5           5      2                     2                  5
         a) (+)             b) (-)        c) (+) o (-)
         d) (+) y (-)       e) No se puede precisar.
                                                                  10) “C” es el radio vector de un punto P(a;b), tal
                                                                     que:

                                                              3
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Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez                                                                                                          Trigonometría.

    asen         b cos         C                                                            d)     54 7           e)     27 7
    Si “ ” es la medida de un ángulo en posición
    normal. Hallar en función de a, b y c.                                               16) En la figura mostrada si OA = AB,                   B(1;7) .
   T Tan               Cot                                                                   Calcular ctg
   a) 3         b) 1         c) 2          d) 4        e) 5

11) Si:               3
          Tg    x
           17         4
     Calcular el valor de:                             19
                                               Ctg                x
                                                        34

     a) 3       b)      3     c)      4        d) 4                   e)    1
           4            4             3              3                      2

12) El lado final de un ángulo en posición normal,                                          a) - 4/3     b) - ¾        c) - 1/7 d) -7 e)         5 2
    cuya medida es pasa por el punto (3,-7).
  Calcular: E     58 cos     sen                                                         17) De la figura mostrada calcular:               9tg
                                                                                                                                     E
   a) -1         b) -2       c) -3         d) -4          e) -5                                                                             tg

13) Si    es la medida de un ángulo en posición
    normal, además:
                                          2
     sen     sen    0 ; tg tg   0 ; cos       0
                                          3
     Calcular: F   5 .ctg  Sec
   a) -1         b) -2       c) -½             d) ½               e) 1

14) De la figura mostrada, obtener el valor de:
        E Tan                Tan
                                                                                            a) – 49     b) -9 c) 1        d) 9      e) 49

                                                                                         18) De la figura mostrada, calcular: F= 3sec2 - tg




     a) 12            b) 25         c) 7          d)      7            e)       25
           25            12               12             12                     12
                                                                                            a) 7      b) 9 c) 11       d) 13     e) 15
15) Si:
                         1                                                               19) De la figura mostrada si P(a;-b), calcular el
                       1 4
                                                                                             valor de: E = tg .tg
                                               sen ; 3
                  1
        Cos 2     2    2            cos                                     2
                                                             2

    Calcular: F          16 ctg           cos
   a)      73 7               b)     67 7                    c)       61 7

                                                                                     4
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                                                                               3) De la figura mostrada; calcular: F = Sec .Csc




                   2                    2                        2
a)-1 b)       b               c)    a        d)    1 e) b
              a                     b                        a
                                                                                    a) – 5/2         b) – 3/2 c) -1             d) ½         e) 3/2
20) Si    es la medida de un ángulo en posición
    normal, además; Cos = 0,25; 270º < < 360º,                                 4) Para dos ángulos coterminales se cumple que
    Calcular         Sec   Csc                                                    dos veces el menor es a la suma de ellos como
                F
                       1 Ctg                                                      13 es a 23. Hallar la medida del menor si se
   a)      2 15             b) -4       c) 2          d) 4       e) 5 15          sabe que está comprendida entre 400° y 500°.
                                                                                         A) 405°        B)420°        C)468° D)434° E) 476°
PROBLEMA DE REPASO
                                                                               5) La suma de dos ángulos coterminales es igual a
1) De la figura mostrada, calcular: F= Ctg .ctg                                   540°. Calcular la medida del menor de ellos si el
                                                                                  mayor está comprendido entre 500° y 800°.
                                                                                  a) -80° b)-100° c) -90° d) 270°       e)720


                                                                               6) Sabiendo que (sen                     sen      2 ; indicar un valor
                                                                                                                                2
                                                                                     de Ctg si y solo si
                                                                                    a)        3    b)      2     c)         3 d)        15       e)   15
                                                                                                                                       15
   a) -1     b) -2 c) -3            d) -4          e) -6
                                                                               7)    Del siguiente gráfico, calcular:
2) De la figura mostrada, simplifique:                                                    E       10 Sen       12 Cot

        M    sen               . cos(       ).Ctg (    )                                                                y
                        2




                                                                                                                                             x



                                                                                                                                   (1;-3)
   a)   2.sen          b)     2.Cos           c)      2                                  a) 0       b) 1        c) 2          d) 3      e) 4
                                                        .sen
                                                      2
   d)   2                    e)     2Tg
                                     .
          .Cos
        2


                                                                           5
Centro Preuniversitario de la UNS                                     S-04                                                    Ingreso Directo
Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez                                                                                          Trigonometría.
                                                                          16) Si: ABCD es un cuadrado, calcular "Tg ".
8)    Por el punto P( 2; 5 ) pasa el lado final de un
     ángulo en posición normal cuya medida es "α".
     Calcular: Cos α.
       a) -1/2 b) -2/3 c) -3/4 d) -4/3 e) -3/2


            Sen           2
9)   Si:                  3 y α e IIIC.

      Calcular: E    5 (Tan    Sec )
      a) -1    b) -2       c) -3 d) 2                    e) 3
                                                                             a) -7/3         b) -7/2    c)-3/7 d)-2/7 e) -4/7
10) Indicar el signo de cada expresión:
                                                                          17) Si tg           2    4    8
     I. Sen200ºTan240º                                                                   1                    ...... ;
     II. Cos120ºTan100º                                                                       3    9   27
     III. Sen150ºCos340º
                                                                          Además       IIIC, calcular:
                                                                                                             10 cos           tg
     a) +, +, +    b) -, -, -    c) -, +, +
                                                                            a) 2      b)-2    c)-1/2 d)1/2                   e)N.A.
     d) +, -, -    e) +, -, +
                                                                          18) Si ABCD es un cuadrado, hallar tg
11) ¿A qué cuadrante pertenece " ", si: Tan                     0 y
    Cos 0 .
      a) IC b) II              c) IIIC       d) IV   e) IC y IIC

                              2
12) una raíz de la ecuación: x 2x 3 0 es un
   valor de "Tanα", si:         IIIC . Calcular:

     E      10 (Sen        Cos )
      a) -1       b) -2         c) -3    d) -4       e) -5
                                                                             a) 2     b)-2        c)-1/2 d)1/2               e)N.A.
13) Si: α y β son medidas de ángulos coterminales
   y se cumple que: Tan α <0 y |Cos β |=-Cos β. ¿A                                                                             tg
   qué cuadrante pertenece " β "?                                         19) Del la figura hallar: sen             cos
     a) IC b) IIC c) IIIC d) IVC e) IC y IIC
                                                                                                       sen          cos        tg

14) Si:        IV , determine el signo de:
          Tan (1 Cos )
     E
           Sen    Cos
      a) + b) - c) + ó - d) - y + e) Todas correctas

15) Con ayuda del gráfico mostrado, calcular:
           3 Cos (        ) Sen (        )
     E                6
                     3 Sen (        )                                        a) 2     b)-2        c)-1/2 d)1/2               e) 3
                                2

                                                                          20) Indicar los signos de las                      siguientes
                                                                             expresiones en el orden F. G. H.
                                                                                                                         3
      a) 1/2         b) 2/3         c) 3/4 d) 4/3       e) 3/2                      Sec 285 º Tan2 138 º Sen 210 º
                                                                               F
                                                                                         Csc 3 215 º Ctg 338 º

                                                                      6
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Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez                                                                                                 Trigonometría.
                                                      3
            Sen 3 260 º Ctg 2 115 º Cos116 º
     G
                                            2
                    Csc195 º Tan 336º
                                                3                             25) Calcular:
            Sen195 º Ctg 340 º Csc128 º
      H                                                                                        (a  b)2 Sec 360 º (a b)2 Cos180
                                        3                                                 E
                   Tg135 º Sec 298 º                                                                      2abCsc 270
     a) - , +, -         b) - , - , +           c) - , - , -                       a) 1       b) 2    c) 3 d) -3 e) -2
     d) +, - , -         e) +, +, +
                                                                                                      | Cscx | 4 Sen        0
21) Del gráfico, calcule: " Tan " .                                           26) Si: x       IVC y                    6
                          y
                                                                                   Calcular: E = Senx +          3 Cosx
                                                                                   a) 1 b) 1/2 c) 1/3             d) 2/3          e) 3/2

                                                      x



                                            (2;-3)                            27) Calcular: E 25Sen              Tan , a partir de la

     a) ½     b) 2/3        c) ¾        d) 4/3     e) 3/2                        figura mostrada:
                                                                                                            y

                                                                                                                           (24;7)

                                                                f( )
22) Si: f(x)=Senx+Cos2x+Tan4x. Calcular: 2                                                                                        x
     a) 0     b) 1   c) 2   d) -1     e) -2

                                                                                               (-4;-8)
                                                                                   a) 1       b) 3       c) 5   d) 7       e) 9

                     4 Sen         1     1        1        1
23) Siendo:          5             4    28       70       130
      Cos          Cos

     Calcular: K 2Sen 3Cos
     a) 1   b) – 1 c) 2 d) – 2                        e) - 3




24) Por el punto P( 2 ; 7 ) pasa por el final de un
    ángulo en posición normal cuya medida es " ".

    Calcular: 7 Csc .
     a) 1     b) 2    c) 3                  d) -3         e) -2




                                                                          7
Centro Preuniversitario de la UNS                                      S-04                                        Ingreso Directo

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Razones trigonométricas de ángulos especiales

  • 1. UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA y Se define: CEPUNS P(x ;y ) o o yo yo xo Sen Cot r yo r xo Ciclo 2012-III Cos r Sec r xo ' yo r TRIGONOMETRÍA xo x Tan xo Csc yo “F.T. de Ángulos Especiales” Semana Nº 04 Para determinar el valor de las R.T. de un ángulo en Definiciones posición normal, tomaremos un punto perteneciente Previas: a su lado final. y Se defin P(x ;y ) o o I. ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL yo Sen Llamado también en posición canónica o estándar. Es aquél ángulo trigonométrico cuyo vértice coincide r con el origen del sistema cartesiano y su lado inicial Cos coincide con el eje "x" positivo. Cuando un ángulo, está en posición normal, el lado final puede estar en ' uno de los cuadrantes, en cuyo caso se dice que éste xo x Tan pertenece a tal cuadrante. Del gráfico: y Se define: y P(xo ;yo ) yo xo y Sen Cot o r yo r xo Cos r Sec Lado Fina l r xo ' (+ ) yo xo x Tan r Csc xo yo Vértice x Lado Inicial r x2 y2 * o o * : es un ángulo en posición normal * α´: se denomina ángulo de referencia * IIC ; 0 y Signos de las R.T. en los Lado Inicial cuiadrantes Vértice Dependiendo del cuadrante al que perntenezca un x ángulo en posicion normal, sus R.T. pueden ser (-) positivas o negativas. Es asi como se obtiene el cuadro adjunto Lado Final * β : Es un ángulo en posición normal * IIIC ; 0 Definición de las Razones Trigonométricas: 1 Centro Preuniversitario de la UNS S-04 Ingreso Directo
  • 2. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría. Propiedad: 0º 90º 180º 270º 360º Si es un ángulo en posición normal positivo y SEN 0 1 0 -1 0 menor que una vuelta entonces se cumple: Si I 0 < < 90º COS 1 0 -1 0 1 Si II 90º< <180º TAN 0 ND 0 ND 0 Si III 180º < < 270º COT ND 0 ND 0 ND Si IV 270º < < 360º SEC 1 ND -1 ND 1 Ángulos CSC ND 1 ND -1 ND Cuadrantales Nota: N.D. no definido Son ángulos en posición normal, cuyo lado final coincide con cualquiera de los semiejes del Ángulos sistema cartesiano. Los ángulos cuadrantales no Coterminales: pertenecen a cuadrante alguno, simplemente son Son aquellos ángulos trigonométricos que poseen el mismo vértice, el mismo lado inicial y final. ángulos frontera. Ejemplo: i) ii) Lado inicial Lado final Vértice Forma General P(x ;x o y < Cuadrantal = 90º.k ; k i) Z ii) También Lado inicial <Cuadrantal = k ;k Z Lado 2 final Observación: para determinar si un ángulo es x cuadrantal, se divide entre 90º ó rad . según 2 Vértice corresponda; si el resultado de la división es un P(x ;x ) numero entero, significa que dicho < es cuadrantal. o o Se tiene que: * α y : son coterminales Razones * Ф y β: son coterminales (están en P. N.) Trigonométricas Propiedades: de Ángulos Cuadrantales Si α y son coterminales se cumple que: I. II. - = 360º n ; n Z 2 Centro Preuniversitario de la UNS S-04 Ingreso Directo
  • 3. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría. II. 3) Del gráfico, calcular: E 3Tan 1 y R.T. ( ) = R.T.( ) 53º Observacion: en forma practica para determinar si dos angulos son coterminales: Restamos dichos angulos , dividimos entre 360º o 2 rad. y si el resultado es un numero entero , x entonces los angulos son coterminales. a) 0 b) 1 c) – 1 d) 2 e) – 2  R.T. de Ángulos 4) Si: Cos 0, 3 y IIC Negativos: Calcular: E Tan 2 Sec a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 Sen (- ) = - sen ; Cos (- ) = cos Tg (- ) = - tg ; Ctg (- ) = - Ctg 5) Simplificar: Sec (- ) = Sec ; Csc (- )= - Csc (a b)2 Sen 3 (a b)2 Cos 5 L 2 aSen 3 bCos 2 2 2 a) 2a b) - 2a c) 4a d) - 4a e) - 4b ¡Muy importante! Y 6) Si el lado final de un ángulo canónico " " pasa Q (–b;a ) por los puntos P(m+n; n) y Q(n;m-n), 2 P (a ;b) Calcular: K Cot Tan 2 a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 12 X 7) Dos ángulos coterminales son entre sí como 2 R(–a ; –b) es a 11. Calcular la medida del mayor de dichos ángulos, si el menor se encuentra comprendido M(b;–a ) entre 90° y 180°. a) 858° b) 825° c) 880° d) 902° e) 935° PROBLEMA DE CLASE 8) Determinar el signo en cada cuadrante de: 1) Si (-3;-4) es un punto de lado terminal de y 1 cos E sen (5;-12) es un punto de lado terminal de , sen . cos Calcular: Sec Sec a) ++++ b) +-++ c) +-+- d) -+-+ e) --++ Csc Csc a) 1,56 b) 25,6 c) 3,56 d) 4,56 e) N.A. 9) El producto de cinco razones trigonométricas de un ángulo que pertenece al segundo 2) Sabiendo que " " es un ángulo positivo menor cuadrante es dos. Calcular la suma de su seno y que una vuelta perteneciente al IIIC señale el coseno. Q Sen Cos 2 Tan 3 3 5 b) 5 c) 1 3 d) 3 5 2 3 5 a) 3 1 e) signo de: 5 5 2 2 5 a) (+) b) (-) c) (+) o (-) d) (+) y (-) e) No se puede precisar. 10) “C” es el radio vector de un punto P(a;b), tal que: 3 Centro Preuniversitario de la UNS S-04 Ingreso Directo
  • 4. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría. asen b cos C d) 54 7 e) 27 7 Si “ ” es la medida de un ángulo en posición normal. Hallar en función de a, b y c. 16) En la figura mostrada si OA = AB, B(1;7) . T Tan Cot Calcular ctg a) 3 b) 1 c) 2 d) 4 e) 5 11) Si: 3 Tg x 17 4 Calcular el valor de: 19 Ctg x 34 a) 3 b) 3 c) 4 d) 4 e) 1 4 4 3 3 2 12) El lado final de un ángulo en posición normal, a) - 4/3 b) - ¾ c) - 1/7 d) -7 e) 5 2 cuya medida es pasa por el punto (3,-7). Calcular: E 58 cos sen 17) De la figura mostrada calcular: 9tg E a) -1 b) -2 c) -3 d) -4 e) -5 tg 13) Si es la medida de un ángulo en posición normal, además: 2 sen sen 0 ; tg tg 0 ; cos 0 3 Calcular: F 5 .ctg Sec a) -1 b) -2 c) -½ d) ½ e) 1 14) De la figura mostrada, obtener el valor de: E Tan Tan a) – 49 b) -9 c) 1 d) 9 e) 49 18) De la figura mostrada, calcular: F= 3sec2 - tg a) 12 b) 25 c) 7 d) 7 e) 25 25 12 12 12 12 a) 7 b) 9 c) 11 d) 13 e) 15 15) Si: 1 19) De la figura mostrada si P(a;-b), calcular el 1 4 valor de: E = tg .tg sen ; 3 1 Cos 2 2 2 cos 2 2 Calcular: F 16 ctg cos a) 73 7 b) 67 7 c) 61 7 4 Centro Preuniversitario de la UNS S-04 Ingreso Directo
  • 5. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría. 3) De la figura mostrada; calcular: F = Sec .Csc 2 2 2 a)-1 b) b c) a d) 1 e) b a b a a) – 5/2 b) – 3/2 c) -1 d) ½ e) 3/2 20) Si es la medida de un ángulo en posición normal, además; Cos = 0,25; 270º < < 360º, 4) Para dos ángulos coterminales se cumple que Calcular Sec Csc dos veces el menor es a la suma de ellos como F 1 Ctg 13 es a 23. Hallar la medida del menor si se a) 2 15 b) -4 c) 2 d) 4 e) 5 15 sabe que está comprendida entre 400° y 500°. A) 405° B)420° C)468° D)434° E) 476° PROBLEMA DE REPASO 5) La suma de dos ángulos coterminales es igual a 1) De la figura mostrada, calcular: F= Ctg .ctg 540°. Calcular la medida del menor de ellos si el mayor está comprendido entre 500° y 800°. a) -80° b)-100° c) -90° d) 270° e)720 6) Sabiendo que (sen sen 2 ; indicar un valor 2 de Ctg si y solo si a) 3 b) 2 c) 3 d) 15 e) 15 15 a) -1 b) -2 c) -3 d) -4 e) -6 7) Del siguiente gráfico, calcular: 2) De la figura mostrada, simplifique: E 10 Sen 12 Cot M sen . cos( ).Ctg ( ) y 2 x (1;-3) a) 2.sen b) 2.Cos c) 2 a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 .sen 2 d) 2 e) 2Tg . .Cos 2 5 Centro Preuniversitario de la UNS S-04 Ingreso Directo
  • 6. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría. 16) Si: ABCD es un cuadrado, calcular "Tg ". 8) Por el punto P( 2; 5 ) pasa el lado final de un ángulo en posición normal cuya medida es "α". Calcular: Cos α. a) -1/2 b) -2/3 c) -3/4 d) -4/3 e) -3/2 Sen 2 9) Si: 3 y α e IIIC. Calcular: E 5 (Tan Sec ) a) -1 b) -2 c) -3 d) 2 e) 3 a) -7/3 b) -7/2 c)-3/7 d)-2/7 e) -4/7 10) Indicar el signo de cada expresión: 17) Si tg 2 4 8 I. Sen200ºTan240º 1 ...... ; II. Cos120ºTan100º 3 9 27 III. Sen150ºCos340º Además IIIC, calcular: 10 cos tg a) +, +, + b) -, -, - c) -, +, + a) 2 b)-2 c)-1/2 d)1/2 e)N.A. d) +, -, - e) +, -, + 18) Si ABCD es un cuadrado, hallar tg 11) ¿A qué cuadrante pertenece " ", si: Tan 0 y Cos 0 . a) IC b) II c) IIIC d) IV e) IC y IIC 2 12) una raíz de la ecuación: x 2x 3 0 es un valor de "Tanα", si: IIIC . Calcular: E 10 (Sen Cos ) a) -1 b) -2 c) -3 d) -4 e) -5 a) 2 b)-2 c)-1/2 d)1/2 e)N.A. 13) Si: α y β son medidas de ángulos coterminales y se cumple que: Tan α <0 y |Cos β |=-Cos β. ¿A tg qué cuadrante pertenece " β "? 19) Del la figura hallar: sen cos a) IC b) IIC c) IIIC d) IVC e) IC y IIC sen cos tg 14) Si: IV , determine el signo de: Tan (1 Cos ) E Sen Cos a) + b) - c) + ó - d) - y + e) Todas correctas 15) Con ayuda del gráfico mostrado, calcular: 3 Cos ( ) Sen ( ) E 6 3 Sen ( ) a) 2 b)-2 c)-1/2 d)1/2 e) 3 2 20) Indicar los signos de las siguientes expresiones en el orden F. G. H. 3 a) 1/2 b) 2/3 c) 3/4 d) 4/3 e) 3/2 Sec 285 º Tan2 138 º Sen 210 º F Csc 3 215 º Ctg 338 º 6 Centro Preuniversitario de la UNS S-04 Ingreso Directo
  • 7. Lic. Rodolfo Carrillo Velásquez Trigonometría. 3 Sen 3 260 º Ctg 2 115 º Cos116 º G 2 Csc195 º Tan 336º 3 25) Calcular: Sen195 º Ctg 340 º Csc128 º H (a b)2 Sec 360 º (a b)2 Cos180 3 E Tg135 º Sec 298 º 2abCsc 270 a) - , +, - b) - , - , + c) - , - , - a) 1 b) 2 c) 3 d) -3 e) -2 d) +, - , - e) +, +, + | Cscx | 4 Sen 0 21) Del gráfico, calcule: " Tan " . 26) Si: x IVC y 6 y Calcular: E = Senx + 3 Cosx a) 1 b) 1/2 c) 1/3 d) 2/3 e) 3/2 x (2;-3) 27) Calcular: E 25Sen Tan , a partir de la a) ½ b) 2/3 c) ¾ d) 4/3 e) 3/2 figura mostrada: y (24;7) f( ) 22) Si: f(x)=Senx+Cos2x+Tan4x. Calcular: 2 x a) 0 b) 1 c) 2 d) -1 e) -2 (-4;-8) a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9 4 Sen 1 1 1 1 23) Siendo: 5 4 28 70 130 Cos Cos Calcular: K 2Sen 3Cos a) 1 b) – 1 c) 2 d) – 2 e) - 3 24) Por el punto P( 2 ; 7 ) pasa por el final de un ángulo en posición normal cuya medida es " ". Calcular: 7 Csc . a) 1 b) 2 c) 3 d) -3 e) -2 7 Centro Preuniversitario de la UNS S-04 Ingreso Directo