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Centro Preuniversitario de la UNS S-04 Ingreso Directo
x
y
P( )x ;y
o o
r
xo
yo

'
Se define:
o
o
o
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x
y
Tan
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

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Csc
x
r
Sec
y
x
Cot



UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
CEPUNS
Ciclo 2015-I
TRIGONOMETRÍA
“F.T. de Ángulos Especiales”
Lic.. Rodolfo Carrillo V. Edgar Fernández C
Objetivos:
 Discrimar información relevante, sintetizar y construir conocimientos para
resolver problemas con funciones trigonométricas de ángulos especiales.
 Calcular el valor de las razones trigonométricas de un ángulo en posición
Normal, aplicando definiciones, propiedades y criterios vistos en clase.
Definiciones Previas:
I. ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL
Llamado también en posición canónica o estándar.
Es aquél ángulo trigonométrico cuyo vértice coincide
con el origen del sistema cartesiano y su lado inicial
coincide con el eje "x" positivo. Cuando un ángulo,
está en posición normal, el lado final puede estar en
uno de los cuadrantes, en cuyo caso se dice que éste
pertenece a tal cuadrante.
Del gráfico:
* : es un ángulo en posición normal
*
* β : Es un ángulo en posición normal
*
Definición de las Razones
Trigonométricas:
Para determinar el valor de las R.T. de un ángulo en
posición normal, tomaremos un punto perteneciente
a su lado final.
Lado Final
Lado Inicial
Vértice
 (+ )
x
y

0;IIC 
Lado Final
Lado InicialVértice
(-)
x
y

0;IIIC 
x
y
P( )x ;y
o o
r
xo
y
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
'
Se defin
Tan
Cos
Sen



Semana Nº 04
Lic.. Rodolfo Carrillo V. Edgar Fernández C Trigonometría.
2
Centro Preuniversitario de la UNS S-04 Ingreso Directo

*
* α´: se denomina ángulo de referencia
Signos de las R.T. en los cuiadrantes
Dependiendo del cuadrante al que pertenezca un
ángulo en posición normal, sus R.T. pueden ser
positivas o negativas. Es así como se obtiene el cuadro
adjunto
Propiedad:
Si  es un ángulo en posición normal positivo y
menor que una vuelta entonces se cumple:
Si   I  0 <  < 90º
Si   II  90º<  <180º
Si   III  180º <  < 270º
Si   IV  270º <  < 360º
Ángulos Cuadrantales
Son ángulos en posición normal, cuyo lado final
coincide con cualquiera de los semiejes del
sistema cartesiano. Los ángulos cuadrantales no
pertenecen a cuadrante alguno, simplemente son
ángulos frontera.
Forma General
< Cuadrantal = 90º.k ; Zk 
También
<Cuadrantal =
2
k ; Zk 
Observación: para determinar si un ángulo es
cuadrantal, se divide entre 90º ó .
2
rad
 según
corresponda; si el resultado de la división es un
número entero, significa que dicho < es cuadrantal.
Razones Trigonométricas de Ángulos
Cuadrantales
Nota: N.D. no definido
Ángulos Coterminales:
Son aquellos ángulos trigonométricos que poseen el
mismo vértice, el mismo lado inicial y final.
Ejemplo:
x
y
y
o

Se define:
o
o
o
o
x
y
Tan
r
x
Cos
r
y
Sen



o
o
o
o
y
r
Csc
x
r
Sec
y
x
Cot



2
o
2
o
yxr 
0º 90º 180º 270º 360º
SEN 0 1 0 -1 0
COS 1 0 -1 0 1
TAN 0 ND 0 ND 0
COT ND 0 ND 0 ND
SEC 1 ND -1 ND 1
CSC ND 1 ND -1 ND

Vértice
Lado
inicial
Lado
final
i) ii)
P( ;x x
o
Lic.. Rodolfo Carrillo V. Edgar Fernández C Trigonometría.
3
Centro Preuniversitario de la UNS S-04 Ingreso Directo

4

15
1
Se tiene que:
* α y  : son coterminales
* Ф y β: son coterminales (están en P. N.)
Propiedades:
Si α y  son coterminales se cumple que:
Observacion: en forma practica para determinar
si dos angulos son coterminales:
Restamos dichos angulos , dividimos entre 360º o
2rad. y si el resultado es un numero entero ,
entonces los angulos son coterminales.
R.T. de Ángulos Negativos:
Sen (- ) = - sen  ; Cos (- ) = cos 
Tg (- ) = - tg  ; Ctg (- ) = - Ctg 
Sec (- ) = Sec  ; Csc (-  )= - Csc 
¡Muy importante!
PROBLEMA RESUELTOS
1) Si “b” es un ángulo de 4to cuadrante y
24
cosb
25
 , Halle:
V 5senb 6tgb 12secb  
A) 12,85 B) 12,15 C) 10,35 D) 9,35 E) 8,35
RESOLUCIÓN
24
cosb ;
25
 b  4to C.
7
senb
25
 
7
tgb
24
 
Se pide:
7 7 25
V 5 6 12
25 24 24
     
         
     
V 9,35 RPTA.: D
2) Si: 2 1
cos , IV C
16
   
Calcule: sec csc
M
1 ctg
  

 
A) 15
4
B)
1
4
C) 15
4
 D)
1
4
 E) 4
RESOLUCIÓN
1
cos
4
  IVC 
sec csc sec csc
M M
1 ctg 1 ctg

     
  
   
Lado
nicial
ii)
P( ; )x x
o o
x
y
I. II.
 - = 360ºn ; n Z R.T. ( ) = R.T.( )
II.
R.T. ( ) = R.T.( )
Y
X
Q(–b;a)
P(a;b)
R(–a; b)–
M(b;–a)

+ -
25 7
b
24
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4
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4 4
1 15M
1
1
15



1
4 1
5
M
 
 
 

1
1
5
 
 
 
M 4 
RPTA.: E
3) Halle: ctg
A) 5
4
B) 5
4
 C) 3
4
D) 7
4
 E) 1
4
RESOLUCIÓN
x
Ctg
y
 
   
 
7
Ctg
4
   RPTA.: D
4) Las medidas de dos ángulos coterminales son
proporcionales a los número 5 y 2. Además la
medida del mayor ellos está comprendida entre
1000º y 1700º; halle la suma de medidas de
dichos ángulos.
A) 1880º B) 1860º C) 1680º D) 1660º E) 1200º
RESOLUCIÓN
 Sean “” y “  ” ( >  ) las medidas de los 2
ángulos coterminales, luego:
360º n    ….......(i);
"n"

5
2

 

… (ii)
(ii) en (i):
5k - 2k = 360º x n  k = 120ºx n
”k” en (ii):  ...(iii)
* 1000º <  < 1700º  1000º<600º
x n < 1700º  n= 2
”n” en (iii) :
  +  = 1680º
RPTA.: C
PROBLEMA DE CLASE
1) Si ctg = -4 ,  IV C. calcular :

 2
13
17
cos
senR 
a) 0 b)1 c) -1 d) 2 e) -2
2º EXAMEN SUMATIVO 2010 - III
2) El producto de cinco razones trigonométricas
de un ángulo que pertenece al segundo
cuadrante es dos. Calcular la suma de su seno y
coseno.
a)
5
53 b)
5
5
 c)
2
31 d)
2
13  e)
5
53

3) Del grafico siguiente; hallar tg  + tg 
37º

37º

(-7;4)
x y
4
4
4 3
4
x
y
Lic.. Rodolfo Carrillo V. Edgar Fernández C Trigonometría.
5
Centro Preuniversitario de la UNS S-04 Ingreso Directo
a) 1 b)2 c) 3 d) 2/3 e) 4
EXAMEN PREFERENTE 2012 - I
4) Sí , y
√ ( ) ; calcular
√ ( ) ( )
a)-1 b)0 c)
√
d) 1 e) 2
5) Si P(a,-2a) es punto del lado terminal del ángulo
en posición normal calcular el valor de:
( )
[ ]
a)- √ b) – 0,5 √ c) √
d) 0,5 √ e) 2√
6) En la figura mostrada, AN = 3NB y las
coordenadas del punto N son (a,0). Si el valor
del área del triángulo OAB es a2
, halla Tg
a)-1 b)0 c)
√
d) 1 e) 2
7) El lado final de un ángulo en posición normal,
cuya medida es  pasa por el punto (3,-7).
Calcular:   senE  cos58
a)-1 b)0 c)
√
d) 1 e) 2
8) Si  es la medida de un ángulo en posición
normal, además:
0
3
2
cos;0;0   tgtgsensen
Calcular:  SecctgF  .5
A) -1 B) -2 C) -½ D) ½ E) 1
9) Si:
    
 2
2
3
;cos
4
1
2
1
2
1
2
















 senCos
Calcular:   cos16  ctgF
A) 773 B) 767 C) 761
D) 754 E) 727
10) Determinar el signo en cada cuadrante de:



sen
sen
E 


cos.
cos1
A) ++++ B) +-++ C) +-+- D) -+-+ E) --++
11) En la figura mostrada si OA = AB, B(1;7) .
Calcular ctg
A) - 4/3 B) - ¾ C) - 1/7 D) -7 E) 25
12) Sean A(-2; -1) , B(4;7) y C(6;-3) los vértices de
un triángulo ABC y K un punto perteneciente al
lado final de una ángulo en posición normal . Si
K Es circuncentro del triángulo ABC .calcula
11Tg 
A) 4/7 B) 3/4 C) 4/3 D) 2 E) 6
13) Calcular dos ángulos coterminales en donde el
mayor es el séxtuplo del menor y su suma está
comprendido entre 1000º y 1050º. Indique el
ángulo mayor.
Lic.. Rodolfo Carrillo V. Edgar Fernández C Trigonometría.
6
Centro Preuniversitario de la UNS S-04 Ingreso Directo
A) 630º B) 680º C) 700º
D) 800º E) 864º
14) De la figura mostrada; calcular:
F = Sec.Csc
A) – 5/2 B) – 3/2 C) -1 D) ½ E) 3/2
15) De la figura mostrada calcular:


tg
tg
E
9

A) – 49 B) -9 C) 1 D) 9 E) 49
16) De la figura mostrada, calcular:
F= 3sec2
 - tg
A) 7 B) 9 C) 11 D) 13 E) 15
17) De la figura mostrada, calcular: F=
Ctg.ctg
A) -1 B) -2 C) -3 D) -4 E) -6
18) De la figura mostrada si P(a;-b), calcular
el valor de: E = tg.tg
A)-1 B)
2







a
b C)
2






b
a D) 1 E)
2






a
b
19) De la figura mostrada, simplifique:
)().cos(.
2







 
 CtgsenM
A) sen.2 B) Cos.2 C) sen.
2
2
Lic.. Rodolfo Carrillo V. Edgar Fernández C Trigonometría.
7
Centro Preuniversitario de la UNS S-04 Ingreso Directo
D) Cos.
2
2 E) Tg.2
20) En la figura mostrada, calcule
 TgSecTg  2
A) -1 B) 1 C) 3/2 D) 3 E) 7
PREGUNTAS DE REPASO
1. Si  es un ángulo en posición normal, se cumple
que
3 sen  + 4 cos  = 0, I sen  I + Sen  = 0.
Calcule





Ctg
Sec
Sec
Ctg
Ctg
A 
A) -11/4 B) -7/4 C) -3/2 D) -3/4 E) 5/4
2. Si es un ángulo relativo del cuarto
cuadrante. Hallar el signo de las
expresiones:
I. cos(- III.
A) (–), (–), (–) B) (–), (–), (+)
C) (–), (+), (–) D)(+), (–), (–)
E) (+), (+), (–)
3. La expresión :
√ √
Es real, hallar el valor de:
u d ‘‘ ’’ á gul cu dr t l
a) 1 b) -1 c) -2
d) 2 e) 3
4. i ‘‘ ’’ u número entero positivo,
calcule el valor de:
[( ) ]
c [( ) ]
a) √ b) √ c) √
d) √ e) √
5. Q es un punto perteneciente a la
circunferencia mostrada, cuya ordenada
es máxima, halle √
. Siendo un ángulo en posición
normal, cuyo lado final pasa por el
punto Q. Además AB=3BC.
x
y
A
B
C
(x+5)2+(y+12)2=169
a)16 b) 19 c) 14
d) √ e) -15
6. Si: ⏟
y . Hallar el valor de:
√
√
( c )
a) 0 b) 1 c) -1
d) -1 e) -2
7. Si 〈 〉 y 〈 〉,
Determine el signo de P, Q y R
sen
2

sec
2

Lic.. Rodolfo Carrillo V. Edgar Fernández C Trigonometría.
8
Centro Preuniversitario de la UNS S-04 Ingreso Directo
c( ) t( )
( ) c
c c c
a)(-),(-),(-) b)(-),(+),(+)
c) (+),(+),(+) d)(-),(-),(+)
e)(+),(-),(-)
8. Del grafico mostrado, calcular el valor
de: | c | t| |
x
y
(2Tan ; -Sec )
a) √ b) √ c)√
d) √ e) 1
9. Indicar el valor de verdad de las
siguientes proposiciones:
I. | | ||
II. | | ||
III. | | ||
a) VVV b) VFF c) FVV
d) FFF e) N.A
10. Del gráfico , halle
x
y
(1;a)
y=x2
a) 1 b) √ c) 2
d)
√
e) √
11. Si es un ángulo agudo , hallar todos los
v l r d ‘‘ ’’ p r qu l xpr ió :
√ √
Resulte un número real
a) [ ] b)[ 〉 c) [ ]
d) [ ] e)[ 〉
12. Si: . ¿A que es igual?
√
√
a) b)
c) 3/2 d) 5/2 e) 1/2
13. En el grafico mostrado el área del
triángulo AOB es igual al área del
triángulo DCB. Hallar el valor de:
c
y
xA
B
C
D
O
a) 1/2 b) 1/3 c) √
d) √ e) √
14. Sabiendo que cos =
4
1 , 270º <  < 360º
Entonces el valor de la expresión


Ctg
CscSec


1
, es:
a) 0,25 b)0,50 c) 2,5 d) 4,00 e) 4,50
2º EXAMEN SUMATIVO 2009 - III

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  • 1. 1 Centro Preuniversitario de la UNS S-04 Ingreso Directo x y P( )x ;y o o r xo yo  ' Se define: o o o o x y Tan r x Cos r y Sen    o o o o y r Csc x r Sec y x Cot    UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA CEPUNS Ciclo 2015-I TRIGONOMETRÍA “F.T. de Ángulos Especiales” Lic.. Rodolfo Carrillo V. Edgar Fernández C Objetivos:  Discrimar información relevante, sintetizar y construir conocimientos para resolver problemas con funciones trigonométricas de ángulos especiales.  Calcular el valor de las razones trigonométricas de un ángulo en posición Normal, aplicando definiciones, propiedades y criterios vistos en clase. Definiciones Previas: I. ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL Llamado también en posición canónica o estándar. Es aquél ángulo trigonométrico cuyo vértice coincide con el origen del sistema cartesiano y su lado inicial coincide con el eje "x" positivo. Cuando un ángulo, está en posición normal, el lado final puede estar en uno de los cuadrantes, en cuyo caso se dice que éste pertenece a tal cuadrante. Del gráfico: * : es un ángulo en posición normal * * β : Es un ángulo en posición normal * Definición de las Razones Trigonométricas: Para determinar el valor de las R.T. de un ángulo en posición normal, tomaremos un punto perteneciente a su lado final. Lado Final Lado Inicial Vértice  (+ ) x y  0;IIC  Lado Final Lado InicialVértice (-) x y  0;IIIC  x y P( )x ;y o o r xo y o  ' Se defin Tan Cos Sen    Semana Nº 04
  • 2. Lic.. Rodolfo Carrillo V. Edgar Fernández C Trigonometría. 2 Centro Preuniversitario de la UNS S-04 Ingreso Directo  * * α´: se denomina ángulo de referencia Signos de las R.T. en los cuiadrantes Dependiendo del cuadrante al que pertenezca un ángulo en posición normal, sus R.T. pueden ser positivas o negativas. Es así como se obtiene el cuadro adjunto Propiedad: Si  es un ángulo en posición normal positivo y menor que una vuelta entonces se cumple: Si   I  0 <  < 90º Si   II  90º<  <180º Si   III  180º <  < 270º Si   IV  270º <  < 360º Ángulos Cuadrantales Son ángulos en posición normal, cuyo lado final coincide con cualquiera de los semiejes del sistema cartesiano. Los ángulos cuadrantales no pertenecen a cuadrante alguno, simplemente son ángulos frontera. Forma General < Cuadrantal = 90º.k ; Zk  También <Cuadrantal = 2 k ; Zk  Observación: para determinar si un ángulo es cuadrantal, se divide entre 90º ó . 2 rad  según corresponda; si el resultado de la división es un número entero, significa que dicho < es cuadrantal. Razones Trigonométricas de Ángulos Cuadrantales Nota: N.D. no definido Ángulos Coterminales: Son aquellos ángulos trigonométricos que poseen el mismo vértice, el mismo lado inicial y final. Ejemplo: x y y o  Se define: o o o o x y Tan r x Cos r y Sen    o o o o y r Csc x r Sec y x Cot    2 o 2 o yxr  0º 90º 180º 270º 360º SEN 0 1 0 -1 0 COS 1 0 -1 0 1 TAN 0 ND 0 ND 0 COT ND 0 ND 0 ND SEC 1 ND -1 ND 1 CSC ND 1 ND -1 ND  Vértice Lado inicial Lado final i) ii) P( ;x x o
  • 3. Lic.. Rodolfo Carrillo V. Edgar Fernández C Trigonometría. 3 Centro Preuniversitario de la UNS S-04 Ingreso Directo  4  15 1 Se tiene que: * α y  : son coterminales * Ф y β: son coterminales (están en P. N.) Propiedades: Si α y  son coterminales se cumple que: Observacion: en forma practica para determinar si dos angulos son coterminales: Restamos dichos angulos , dividimos entre 360º o 2rad. y si el resultado es un numero entero , entonces los angulos son coterminales. R.T. de Ángulos Negativos: Sen (- ) = - sen  ; Cos (- ) = cos  Tg (- ) = - tg  ; Ctg (- ) = - Ctg  Sec (- ) = Sec  ; Csc (-  )= - Csc  ¡Muy importante! PROBLEMA RESUELTOS 1) Si “b” es un ángulo de 4to cuadrante y 24 cosb 25  , Halle: V 5senb 6tgb 12secb   A) 12,85 B) 12,15 C) 10,35 D) 9,35 E) 8,35 RESOLUCIÓN 24 cosb ; 25  b  4to C. 7 senb 25   7 tgb 24   Se pide: 7 7 25 V 5 6 12 25 24 24                       V 9,35 RPTA.: D 2) Si: 2 1 cos , IV C 16     Calcule: sec csc M 1 ctg       A) 15 4 B) 1 4 C) 15 4  D) 1 4  E) 4 RESOLUCIÓN 1 cos 4   IVC  sec csc sec csc M M 1 ctg 1 ctg               Lado nicial ii) P( ; )x x o o x y I. II.  - = 360ºn ; n Z R.T. ( ) = R.T.( ) II. R.T. ( ) = R.T.( ) Y X Q(–b;a) P(a;b) R(–a; b)– M(b;–a)  + - 25 7 b 24
  • 4. Lic.. Rodolfo Carrillo V. Edgar Fernández C Trigonometría. 4 Centro Preuniversitario de la UNS S-04 Ingreso Directo 4 4 1 15M 1 1 15    1 4 1 5 M        1 1 5       M 4  RPTA.: E 3) Halle: ctg A) 5 4 B) 5 4  C) 3 4 D) 7 4  E) 1 4 RESOLUCIÓN x Ctg y         7 Ctg 4    RPTA.: D 4) Las medidas de dos ángulos coterminales son proporcionales a los número 5 y 2. Además la medida del mayor ellos está comprendida entre 1000º y 1700º; halle la suma de medidas de dichos ángulos. A) 1880º B) 1860º C) 1680º D) 1660º E) 1200º RESOLUCIÓN  Sean “” y “  ” ( >  ) las medidas de los 2 ángulos coterminales, luego: 360º n    ….......(i); "n"  5 2     … (ii) (ii) en (i): 5k - 2k = 360º x n  k = 120ºx n ”k” en (ii):  ...(iii) * 1000º <  < 1700º  1000º<600º x n < 1700º  n= 2 ”n” en (iii) :   +  = 1680º RPTA.: C PROBLEMA DE CLASE 1) Si ctg = -4 ,  IV C. calcular :   2 13 17 cos senR  a) 0 b)1 c) -1 d) 2 e) -2 2º EXAMEN SUMATIVO 2010 - III 2) El producto de cinco razones trigonométricas de un ángulo que pertenece al segundo cuadrante es dos. Calcular la suma de su seno y coseno. a) 5 53 b) 5 5  c) 2 31 d) 2 13  e) 5 53  3) Del grafico siguiente; hallar tg  + tg  37º  37º  (-7;4) x y 4 4 4 3 4 x y
  • 5. Lic.. Rodolfo Carrillo V. Edgar Fernández C Trigonometría. 5 Centro Preuniversitario de la UNS S-04 Ingreso Directo a) 1 b)2 c) 3 d) 2/3 e) 4 EXAMEN PREFERENTE 2012 - I 4) Sí , y √ ( ) ; calcular √ ( ) ( ) a)-1 b)0 c) √ d) 1 e) 2 5) Si P(a,-2a) es punto del lado terminal del ángulo en posición normal calcular el valor de: ( ) [ ] a)- √ b) – 0,5 √ c) √ d) 0,5 √ e) 2√ 6) En la figura mostrada, AN = 3NB y las coordenadas del punto N son (a,0). Si el valor del área del triángulo OAB es a2 , halla Tg a)-1 b)0 c) √ d) 1 e) 2 7) El lado final de un ángulo en posición normal, cuya medida es  pasa por el punto (3,-7). Calcular:   senE  cos58 a)-1 b)0 c) √ d) 1 e) 2 8) Si  es la medida de un ángulo en posición normal, además: 0 3 2 cos;0;0   tgtgsensen Calcular:  SecctgF  .5 A) -1 B) -2 C) -½ D) ½ E) 1 9) Si:       2 2 3 ;cos 4 1 2 1 2 1 2                  senCos Calcular:   cos16  ctgF A) 773 B) 767 C) 761 D) 754 E) 727 10) Determinar el signo en cada cuadrante de:    sen sen E    cos. cos1 A) ++++ B) +-++ C) +-+- D) -+-+ E) --++ 11) En la figura mostrada si OA = AB, B(1;7) . Calcular ctg A) - 4/3 B) - ¾ C) - 1/7 D) -7 E) 25 12) Sean A(-2; -1) , B(4;7) y C(6;-3) los vértices de un triángulo ABC y K un punto perteneciente al lado final de una ángulo en posición normal . Si K Es circuncentro del triángulo ABC .calcula 11Tg  A) 4/7 B) 3/4 C) 4/3 D) 2 E) 6 13) Calcular dos ángulos coterminales en donde el mayor es el séxtuplo del menor y su suma está comprendido entre 1000º y 1050º. Indique el ángulo mayor.
  • 6. Lic.. Rodolfo Carrillo V. Edgar Fernández C Trigonometría. 6 Centro Preuniversitario de la UNS S-04 Ingreso Directo A) 630º B) 680º C) 700º D) 800º E) 864º 14) De la figura mostrada; calcular: F = Sec.Csc A) – 5/2 B) – 3/2 C) -1 D) ½ E) 3/2 15) De la figura mostrada calcular:   tg tg E 9  A) – 49 B) -9 C) 1 D) 9 E) 49 16) De la figura mostrada, calcular: F= 3sec2  - tg A) 7 B) 9 C) 11 D) 13 E) 15 17) De la figura mostrada, calcular: F= Ctg.ctg A) -1 B) -2 C) -3 D) -4 E) -6 18) De la figura mostrada si P(a;-b), calcular el valor de: E = tg.tg A)-1 B) 2        a b C) 2       b a D) 1 E) 2       a b 19) De la figura mostrada, simplifique: )().cos(. 2           CtgsenM A) sen.2 B) Cos.2 C) sen. 2 2
  • 7. Lic.. Rodolfo Carrillo V. Edgar Fernández C Trigonometría. 7 Centro Preuniversitario de la UNS S-04 Ingreso Directo D) Cos. 2 2 E) Tg.2 20) En la figura mostrada, calcule  TgSecTg  2 A) -1 B) 1 C) 3/2 D) 3 E) 7 PREGUNTAS DE REPASO 1. Si  es un ángulo en posición normal, se cumple que 3 sen  + 4 cos  = 0, I sen  I + Sen  = 0. Calcule      Ctg Sec Sec Ctg Ctg A  A) -11/4 B) -7/4 C) -3/2 D) -3/4 E) 5/4 2. Si es un ángulo relativo del cuarto cuadrante. Hallar el signo de las expresiones: I. cos(- III. A) (–), (–), (–) B) (–), (–), (+) C) (–), (+), (–) D)(+), (–), (–) E) (+), (+), (–) 3. La expresión : √ √ Es real, hallar el valor de: u d ‘‘ ’’ á gul cu dr t l a) 1 b) -1 c) -2 d) 2 e) 3 4. i ‘‘ ’’ u número entero positivo, calcule el valor de: [( ) ] c [( ) ] a) √ b) √ c) √ d) √ e) √ 5. Q es un punto perteneciente a la circunferencia mostrada, cuya ordenada es máxima, halle √ . Siendo un ángulo en posición normal, cuyo lado final pasa por el punto Q. Además AB=3BC. x y A B C (x+5)2+(y+12)2=169 a)16 b) 19 c) 14 d) √ e) -15 6. Si: ⏟ y . Hallar el valor de: √ √ ( c ) a) 0 b) 1 c) -1 d) -1 e) -2 7. Si 〈 〉 y 〈 〉, Determine el signo de P, Q y R sen 2  sec 2 
  • 8. Lic.. Rodolfo Carrillo V. Edgar Fernández C Trigonometría. 8 Centro Preuniversitario de la UNS S-04 Ingreso Directo c( ) t( ) ( ) c c c c a)(-),(-),(-) b)(-),(+),(+) c) (+),(+),(+) d)(-),(-),(+) e)(+),(-),(-) 8. Del grafico mostrado, calcular el valor de: | c | t| | x y (2Tan ; -Sec ) a) √ b) √ c)√ d) √ e) 1 9. Indicar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. | | || II. | | || III. | | || a) VVV b) VFF c) FVV d) FFF e) N.A 10. Del gráfico , halle x y (1;a) y=x2 a) 1 b) √ c) 2 d) √ e) √ 11. Si es un ángulo agudo , hallar todos los v l r d ‘‘ ’’ p r qu l xpr ió : √ √ Resulte un número real a) [ ] b)[ 〉 c) [ ] d) [ ] e)[ 〉 12. Si: . ¿A que es igual? √ √ a) b) c) 3/2 d) 5/2 e) 1/2 13. En el grafico mostrado el área del triángulo AOB es igual al área del triángulo DCB. Hallar el valor de: c y xA B C D O a) 1/2 b) 1/3 c) √ d) √ e) √ 14. Sabiendo que cos = 4 1 , 270º <  < 360º Entonces el valor de la expresión   Ctg CscSec   1 , es: a) 0,25 b)0,50 c) 2,5 d) 4,00 e) 4,50 2º EXAMEN SUMATIVO 2009 - III