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SEMANA 8

TEORÍA DE ECUACIONES
1.

3.

2 x
  2x  x ; x  C
x 2

Calcule “k” para que la ecuación
se reduzca a una de primer grado.

A) 

2k  3 3kx  2

 2k  3
x 1
x 1
A) -2
D) 2

B) -3
E) 3

Halle x2 en :

4
3

B)

D) -3

3
4

C) x  C

E) -4

RESOLUCIÓN

C)1



4.

RESOLUCIÓN

x2  4  4x2  2x2  5x2  2x2  4
4
3x2  4  x2 
3
RPTA.: C
Resolver en “x”

2k  3x  1  3kx  2x  1  2k  3 x2  1

a  bx a  bx 
abx

  ab
ab 
 ab

a  b 


2kx2  2kx  3x  3kx2  3kx  2x  2
= 2kx2  2k  3x2  3

A) -2
D) 3

5kx2  kx  5x  1  2kx2  3x2  2k  3
3kx2  3x2  k  5 x  2k  2  0

3k  3 x

2

 k  5 x  2k  2  0

 3k  3  0  k  1
RPTA.: C
2.

xn x m

1
n
m
mn
m  n
n
E)
nm
C)

RESOLUCIÓN




ab x = 2 ab
x=2

Si x1;x2;x3 son las raíces de la

x3  n  1 x2  2nx  n  3  0

m
nn

xm  mn  nx  mn  mn
x(m  n)  mn
mn
mn
x

m  n m  n
RPTA.: C

RPTA.: C

ecuación

Calcule:  x1  1  x2  1  x3  1
A) 1
D) 4

RESOLUCIÓN



  a  bx  a  b    a  bx  a  b   abx


 ab
a  b a  b



a  b 

B) n
D)

C) 2

5.

Calcule el valor de x en:

A) m

B) 1
E) a + 2b

B) 2
E) -1

C) -3

RESOLUCIÓN
Por cardano:
*

x1  x2  x3   n  1

*

x1x2  x1x3  x2x3  2n

*



x1x2x3   n  3

lo pedido es : 1  x1  x2  x3  

x1x2  x1x3  x2x3  x1x2x3  3
RPTA.: C
6.

Si la ecuación paramétrica en “x”
presenta
infinitas
soluciones
calcule el valor de a + b.

RESOLUCIÓN

x  0  x  0 (no)

ax  1  2x  b2
A) -2
D) -2

B) 2
E) -3

C) 3

RESOLUCIÓN
b2  1
 a  2 x  b  1  x 
a2
2
a = 2  b  1  b  1
a + b = 3  a +b = + 1
RPTA.: C



2



7.

9.

A) 2
D) 2 y 4

x2  2x  7  0
a2  5 b2  5

Calcule
a1
b 1
B) 2
E) 7





C) 4



8.

a2  2a  7  0  a2  5  2a  2
a2  5
 2  b2  2b  7  0
a1
b2  5
2
b 1
a²  5 b²  5

4
a1
b 1

10.



Si 3  2 2 es una raíz irracional

Si:

7
2

C) 1

x1  3  2 2  x2  3  2 2

de la ecuación x1  x2  x3 

11
2

6



A) Tiene 5 soluciones
B) Tiene 4 soluciones

B) 8
E) *

RESOLUCIÓN



C) la suma de las soluciones es

 4   0
2  2  8  0
   4    2  0    4
2
RPTA.: C

A) 4
D) 7

RPTA.: C

1

x  2  x  3  x  2    2   0
x


D) es incompatible
E) 3 soluciones

C) -4 y 2

de: 2x3  11x2  mx  n
m,n  , calcule el valor: nm

¿Qué podemos afirmar acerca de
esta ecuación?

x

B) 4 y -2
E) 2

RESOLUCIÓN

RESOLUCIÓN


Calcule el valor de  si la ecuación
de segundo grado
 4    x2  2   x  1  0; tiene
solución única.

Si a y b son las soluciones de la
ecuación cuadrática

A) 3
D) 5

x  2  0 (no)
x 3  0  x  3
1
1
2  0  x 
x
2
1 7
x1  x2  3  
2 2
RPTA.: C

x3 

1
2

n
n1
2
m
luego: x1x2  x1x3  x2x2 
2
además: x1x2x3  

2


11.

m = 4

RESOLUCIÓN

4

1 1



x2  1  x   1

RPTA.: C

Encontrar el conjunto de solución
de:

4x 



9x4  7x2
9x2
x2
9x2  2

1
1
2  x 
4
x 2
x 2

A) 2

B) 1;2

C) 

14.

x  2  4x-x=4+2
3x  6
x2
Pero x  2  x  
RPTA.: C

2
25
1
D)
25

B) -9
E)

C)

5x

2



4
9

2
3



ax  bx  c  0
están en P.A.  9b2  100 ac


9  k  4  100 1 4k  ; k  0





3k  20 k  12  0
4
k
 k  36
9



2



15.

RPTA.: C





5x  1

x3  

2

C)

29
50



 1 5x2  1  0

x1  

Si: las raíces de:

1
2
1
E)
4
B)

Factorizando:

RESOLUCIÓN
4



1  0

RESOLUCIÓN

progresión aritmética.

D) 36

2

Si: x1;x2;x3;x4 son raíces de la

A)

Calcule el menor valor de k, si las
raíces
de
la
ecuación
x4  k  4 x2  4k  0 ; están en

A) -4

 x

ecuación: 10x4  7x2  1  0
4
4
4
4
Calcule el valor de x1  x2  x3  x4

RESOLUCIÓN

12.

+2
-1

RPTA.: C

E) 4

D) 2



2  0



5x  1





2x  1

1

x2 

5
1

x4 

2

2x  1  0

1
5
1
2

1
1 1 1

 
25 25 4 4
2 1 29
4
4
4
4
x1  x2  x3  x4 
 
25 2 50
RPTA.: C
4
4
4
4
x1  x2  x3  x4 

Luego de resolver:

x2  x  1 

1
x2  x  1

2
3

13.

Indique una
ecuación.

solución

de

la

x
Señale el menor valor de  
2

9x4  7x2  2  0
A) – 9
D) 3

B) – 2
E) -3

C) – 1

1
4

B) 

D) 4

E) 2

A)

1
4

C) 

1
8
D) 2

RESOLUCIÓN
2

x  x 1  1  x  x  2  0
 x  2  x  1  0
x  2  x  1

RESOLUCIÓN
De:

x3  mx2  18  Cs  ; ; 

3



1
 1 
 2   8



x3  nx2  12  Cs  ; ; 

RPTA.: C
16.

Por cardano –

Resuelve la ecuación



2x  1  3 x  4  5 e indique el
valor de x2
A) 4

B) 3

D) 19

E)

Sea:



3

además:

1
4

    18
 3


    12

2

x  4  a  x  a3  4



2 a  4 1  a  5

2 a  7  5  a;  a  5


al cuadrado miembro a miembro



2a3  7  25  a2  10a
2a3  a2  10a  32  0



2



-32

4

2

10
6

32

3

16

0

Si: 3  25 es una raíz
ecuación:

A) 2
D) 4

a  2 a2  3a  16  0

B) 3
E) 7

RESOLUCIÓN

a=2



E) 5



x2 x3  bx2  cx  34  0
3



x4 2x48



x=4
nos piden : x2  16

RPTA.: C
17.

x2  0 ( raíz doble)
x3  bx2  cx  34  0
Si x1  3  5i  x2  3  5i
Por cardano:

Dadas las ecuaciones

x  mx  18  0; x  nx  12  0

x1x2x3  34

que tienen dos raíces comunes
señale el valor de m.

34 x3  34  x3  1

3

A) -3

2

3

B) 3

de la

x5  bx4  cx3  34x2  0 Calcule
el valor de “b” ; b y c R

aquí a R



18m3  18  m  1
RPTA.: C

18.

-1

   3m

27m3  9m3  18  0

3

2

  3k    2k
en (I): - k = m
En la ecuación:



3

=-m
      m ...(I)
=0



C) 16

RESOLUCIÓN


E) -2

2

C) 1

Además: x1  x2  x3  b
6 + -1 =b  b = 5

RPTA.: C
19.

Resolver:

x2  4x  8  x2  4x  4  2x2  8x  12
A) x = 2
D) x = 3

B) x = 1
E) x = 0

C) x = -2

RESOLUCIÓN
2

x  4x  6  n  n  2  n  2  2n
al cuadrado m.a.m:

n  2  n  2  2 n2  4  2n

(I)

20.

2

2n  2 n2  4  2n
n2  4  n  2 n  0
 n=2
luego : x2  4x  6  2
x2  4x  4  0
2
 x  2  0  x  2
RPTA.: C
Halle “k” para que la diferencia de
raíces sea uno.

2x2  k  1 x  k  1  0

A) - 2
D) 1

B) -3
E) 2

C) 11

RESOLUCIÓN
x1  x2  x1  x2 

k  1

2



1

b2  4ac
a

 4 2  k  1
2

2





2  k  2k  1  8k  8
4  k2  10k  7
k2  10k  11  0
k  11 (k  1)  0
k = 11



k = -1

RPTA.: C

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Semana 8 cs

  • 1. SEMANA 8 TEORÍA DE ECUACIONES 1. 3. 2 x   2x  x ; x  C x 2 Calcule “k” para que la ecuación se reduzca a una de primer grado. A)  2k  3 3kx  2   2k  3 x 1 x 1 A) -2 D) 2 B) -3 E) 3 Halle x2 en : 4 3 B) D) -3 3 4 C) x  C E) -4 RESOLUCIÓN C)1  4. RESOLUCIÓN x2  4  4x2  2x2  5x2  2x2  4 4 3x2  4  x2  3 RPTA.: C Resolver en “x” 2k  3x  1  3kx  2x  1  2k  3 x2  1 a  bx a  bx  abx    ab ab   ab a  b   2kx2  2kx  3x  3kx2  3kx  2x  2 = 2kx2  2k  3x2  3 A) -2 D) 3 5kx2  kx  5x  1  2kx2  3x2  2k  3 3kx2  3x2  k  5 x  2k  2  0 3k  3 x 2  k  5 x  2k  2  0  3k  3  0  k  1 RPTA.: C 2. xn x m  1 n m mn m  n n E) nm C) RESOLUCIÓN   ab x = 2 ab x=2 Si x1;x2;x3 son las raíces de la x3  n  1 x2  2nx  n  3  0 m nn xm  mn  nx  mn  mn x(m  n)  mn mn mn x  m  n m  n RPTA.: C RPTA.: C ecuación Calcule:  x1  1  x2  1  x3  1 A) 1 D) 4 RESOLUCIÓN    a  bx  a  b    a  bx  a  b   abx    ab a  b a  b   a  b  B) n D) C) 2 5. Calcule el valor de x en: A) m B) 1 E) a + 2b B) 2 E) -1 C) -3 RESOLUCIÓN Por cardano: * x1  x2  x3   n  1 * x1x2  x1x3  x2x3  2n *  x1x2x3   n  3 lo pedido es : 1  x1  x2  x3   x1x2  x1x3  x2x3  x1x2x3  3 RPTA.: C
  • 2. 6. Si la ecuación paramétrica en “x” presenta infinitas soluciones calcule el valor de a + b. RESOLUCIÓN x  0  x  0 (no) ax  1  2x  b2 A) -2 D) -2 B) 2 E) -3 C) 3 RESOLUCIÓN b2  1  a  2 x  b  1  x  a2 2 a = 2  b  1  b  1 a + b = 3  a +b = + 1 RPTA.: C  2   7. 9. A) 2 D) 2 y 4 x2  2x  7  0 a2  5 b2  5  Calcule a1 b 1 B) 2 E) 7   C) 4  8. a2  2a  7  0  a2  5  2a  2 a2  5  2  b2  2b  7  0 a1 b2  5 2 b 1 a²  5 b²  5  4 a1 b 1 10.  Si 3  2 2 es una raíz irracional Si: 7 2 C) 1 x1  3  2 2  x2  3  2 2 de la ecuación x1  x2  x3  11 2 6  A) Tiene 5 soluciones B) Tiene 4 soluciones B) 8 E) * RESOLUCIÓN  C) la suma de las soluciones es  4   0 2  2  8  0    4    2  0    4 2 RPTA.: C A) 4 D) 7 RPTA.: C 1  x  2  x  3  x  2    2   0 x  D) es incompatible E) 3 soluciones C) -4 y 2 de: 2x3  11x2  mx  n m,n  , calcule el valor: nm ¿Qué podemos afirmar acerca de esta ecuación? x B) 4 y -2 E) 2 RESOLUCIÓN RESOLUCIÓN  Calcule el valor de  si la ecuación de segundo grado  4    x2  2   x  1  0; tiene solución única. Si a y b son las soluciones de la ecuación cuadrática A) 3 D) 5 x  2  0 (no) x 3  0  x  3 1 1 2  0  x  x 2 1 7 x1  x2  3   2 2 RPTA.: C x3  1 2 n n1 2 m luego: x1x2  x1x3  x2x2  2 además: x1x2x3   2
  • 3.   11. m = 4 RESOLUCIÓN 4 1 1  x2  1  x   1 RPTA.: C Encontrar el conjunto de solución de: 4x   9x4  7x2 9x2 x2 9x2  2 1 1 2  x  4 x 2 x 2 A) 2 B) 1;2 C)  14. x  2  4x-x=4+2 3x  6 x2 Pero x  2  x   RPTA.: C 2 25 1 D) 25 B) -9 E) C) 5x 2  4 9 2 3  ax  bx  c  0 están en P.A.  9b2  100 ac  9  k  4  100 1 4k  ; k  0    3k  20 k  12  0 4 k  k  36 9  2  15. RPTA.: C   5x  1 x3   2 C) 29 50   1 5x2  1  0 x1   Si: las raíces de: 1 2 1 E) 4 B) Factorizando: RESOLUCIÓN 4  1  0 RESOLUCIÓN progresión aritmética. D) 36 2 Si: x1;x2;x3;x4 son raíces de la A) Calcule el menor valor de k, si las raíces de la ecuación x4  k  4 x2  4k  0 ; están en A) -4  x ecuación: 10x4  7x2  1  0 4 4 4 4 Calcule el valor de x1  x2  x3  x4 RESOLUCIÓN 12. +2 -1 RPTA.: C E) 4 D) 2  2  0  5x  1   2x  1 1 x2  5 1 x4  2 2x  1  0 1 5 1 2 1 1 1 1    25 25 4 4 2 1 29 4 4 4 4 x1  x2  x3  x4    25 2 50 RPTA.: C 4 4 4 4 x1  x2  x3  x4  Luego de resolver: x2  x  1  1 x2  x  1 2 3 13. Indique una ecuación. solución de la x Señale el menor valor de   2 9x4  7x2  2  0 A) – 9 D) 3 B) – 2 E) -3 C) – 1 1 4 B)  D) 4 E) 2 A) 1 4 C)  1 8
  • 4. D) 2 RESOLUCIÓN 2 x  x 1  1  x  x  2  0  x  2  x  1  0 x  2  x  1 RESOLUCIÓN De: x3  mx2  18  Cs  ; ;  3  1  1   2   8   x3  nx2  12  Cs  ; ;  RPTA.: C 16. Por cardano – Resuelve la ecuación  2x  1  3 x  4  5 e indique el valor de x2 A) 4 B) 3 D) 19 E) Sea:  3 además: 1 4     18  3       12  2 x  4  a  x  a3  4  2 a  4 1  a  5 2 a  7  5  a;  a  5  al cuadrado miembro a miembro  2a3  7  25  a2  10a 2a3  a2  10a  32  0  2  -32 4 2 10 6 32 3 16 0 Si: 3  25 es una raíz ecuación: A) 2 D) 4 a  2 a2  3a  16  0 B) 3 E) 7 RESOLUCIÓN a=2  E) 5  x2 x3  bx2  cx  34  0 3  x4 2x48  x=4 nos piden : x2  16 RPTA.: C 17. x2  0 ( raíz doble) x3  bx2  cx  34  0 Si x1  3  5i  x2  3  5i Por cardano: Dadas las ecuaciones x  mx  18  0; x  nx  12  0 x1x2x3  34 que tienen dos raíces comunes señale el valor de m. 34 x3  34  x3  1 3 A) -3 2 3 B) 3 de la x5  bx4  cx3  34x2  0 Calcule el valor de “b” ; b y c R aquí a R  18m3  18  m  1 RPTA.: C 18. -1    3m 27m3  9m3  18  0 3 2   3k    2k en (I): - k = m En la ecuación:  3 =-m       m ...(I) =0  C) 16 RESOLUCIÓN  E) -2 2 C) 1 Además: x1  x2  x3  b
  • 5. 6 + -1 =b  b = 5 RPTA.: C 19. Resolver: x2  4x  8  x2  4x  4  2x2  8x  12 A) x = 2 D) x = 3 B) x = 1 E) x = 0 C) x = -2 RESOLUCIÓN 2 x  4x  6  n  n  2  n  2  2n al cuadrado m.a.m: n  2  n  2  2 n2  4  2n  (I) 20. 2 2n  2 n2  4  2n n2  4  n  2 n  0  n=2 luego : x2  4x  6  2 x2  4x  4  0 2  x  2  0  x  2 RPTA.: C Halle “k” para que la diferencia de raíces sea uno. 2x2  k  1 x  k  1  0 A) - 2 D) 1 B) -3 E) 2 C) 11 RESOLUCIÓN x1  x2  x1  x2  k  1 2  1 b2  4ac a  4 2  k  1 2 2   2  k  2k  1  8k  8 4  k2  10k  7 k2  10k  11  0 k  11 (k  1)  0 k = 11  k = -1 RPTA.: C