INTERVALOS DE CONFIANZA    YADIRA AZPILCUETA GARCIABa-k.com
Estimación por intervaloLas medias o desviaciones estándar calculadas de una muestra se denominanESTADÍSTICOS, podrían ser...
P(Z<= - Zexcel ) = alfa/2                             P(Z>= + Zexcel ) = alfa/2                      Intervalo de confianz...
Desv. Estándar X multiplicador de nivel de confianza deseado Za/2Por Ejemplo:Si la media de la muestra es 100 y la desviac...
El ancho del intervalo de confianza decrece con la raiz cuadrada del tamaño de lamuestra.Ejemplo:Dadas las siguientes resi...
Ejemplo1Los siguientes datos representan las edades que tenían al momento de morir porenfermedad una muestra de 20 persona...
Ejemplo 2Los tiempos de reacción, en mili segundos, de 17 sujetos frente a una matriz de 15estímulos fueron los siguientes...
Ejemplo 3- En una muestra de 65 sujetos las puntuaciones en una escala de extroversióntienen unamedia de 32,7 puntos y una...
Ejemplo 4Con los datos del problema 1, calcule a un nivel de confianza del 90% un intervalode confianza para la varianza e...
Ejemplo 5Calcula un intervalo de confianza, con un 90%, para el número total, N, de ranasdel estanque del problema anterio...
Ejemplo 6los miembros de una cooperativa de viviendas tienen las siguientes edades:42 60 60 38 60 63 21 66 56 57 51 57 44 ...
Edad               xi                  ni                  xini20-29              25                  14                  ...
Ejemplo 7Queremos estimar, con un nivel de confianza del 99%, la proporción de alumnosde cierto instituto que tienendos o ...
Ejemplo 8El 65% de los alumnos de cierta localidad utiliza con regularidad la biblioteca delpueblo. Halla un intervalo ene...
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Intervalos de confianza (2)

  1. 1. INTERVALOS DE CONFIANZA YADIRA AZPILCUETA GARCIABa-k.com
  2. 2. Estimación por intervaloLas medias o desviaciones estándar calculadas de una muestra se denominanESTADÍSTICOS, podrían ser consideradas como un punto estimado de la media ydesviación estándar real de población o de los PARAMETROS.¿Qué pasa si no deseamos una estimación puntual como media basada en unamuestra, qué otra cosa podríamos obtener como margen, algún tipo de error? “Un Intervalo de Confianza”ESTIMADOR PUNTUAL: Utiliza un número único o valor para localizar unaestimación del parámetro.ESTIMADOR POR INTERVALO DE CONFIANZA: Denota un rango dentro delcual se puede encontrar el parámetro y el nivel de confianza que el intervalocontiene al parámetro.LIMITES DE CONFIANZA: Son los límites del intervalo de confianza inferior (LIC)y superior (LSC), se determinan sumando y restando a la media de la muestra Xun cierto número Z (dependiendo del nivel o coeficiente de confianza) de erroresestándar de la media  X .
  3. 3. P(Z<= - Zexcel ) = alfa/2 P(Z>= + Zexcel ) = alfa/2 Intervalo de confianza donde se encuentra el parámetro con un NC =1-aINTERPRETACIÓN DEL INTERVALO DE CONFIANZA: Tener un 95% deconfianza en que la media poblacional real y desconocida se encuentra entre losvalores LIC y LSC.NIVEL DE SIGNIFICANCIA = 1- INTERVALO DE CONFIANZA = ERROR TIPO 1= ALFA¿Cómo obtenemos un intervalo de confianza? Estimación puntual + error de estimación¿De dónde viene el error de estimación?
  4. 4. Desv. Estándar X multiplicador de nivel de confianza deseado Za/2Por Ejemplo:Si la media de la muestra es 100 y la desviación estándar es 10, el intervalo deconfianza al 95% donde se encuentra la media para una distribución normal es: 100 + (10) X 1.96 => (80.4, 119.6) 1.96 = Z0.025El 95% de Nivel de Confianza significa que sólo tenemos un 5% de oportunidad deobtener un punto fuera de ese intervalo.Esto es el 5% total, o 2.5% mayor o menor. Si vamos a la tabla Z veremos quepara un área de 0.025, corresponde a una Z de 1.960. C. I. Multiplicador Za/2 99 2.576 95 1.960 90 1.645 85 1.439 80 1.282Para tamaños de muestra >30, o  conocida usar la distribución NormalPara muestras de menor tamaño, o  desconocida usar la distribución t
  5. 5. El ancho del intervalo de confianza decrece con la raiz cuadrada del tamaño de lamuestra.Ejemplo:Dadas las siguientes resistencias a la tensión: 28.7, 27.9, 29.2 y 26.5 psiEstimar la media puntualX media = 28.08 con S = 1.02Estimar el intervalo de confianza para un nivel de confianza del 95% (t = 3.182 conn-1=3 grados de libertad) Xmedia±3.182*S/√n = 28.08±3.182*1.02/2=(26.46, 29.70)
  6. 6. Ejemplo1Los siguientes datos representan las edades que tenían al momento de morir porenfermedad una muestra de 20 personas de un pueblo:80 90 85 82 75 58 70 84 87 81 87 61 73 8485 70 78 95 77 52Hallar un intervalo de confianza del 95 % para la varianza poblacional de la edadde muerte.n = 20a= .05Intervalo de confianza del 95 % para 2 será de la forma: 19 s 2 19 s 2 ( 2 , 2 ) .975  .025 2  8.9065  .2  32 .8523 975 .025El intervalo de confianza del 95 % para la varianza poblacional será (70.6253,260.507).
  7. 7. Ejemplo 2Los tiempos de reacción, en mili segundos, de 17 sujetos frente a una matriz de 15estímulos fueron los siguientes: 448, 460, 514, 488, 592, 490, 507, 513, 492,534,523, 452, 464, 562, 584, 507, 461Suponiendo que el tiempo de reacción se distribuye Normalmente, determine unintervalo deconfianza para la media a un nivel de confianza del 95%.Solución:Mediante los cálculos básicos obtenemos que la media muestral vale 505,35 y ladesviación típica 42,54.Buscando en las tablas de la t de Student con 16 grados de libertad, obtenemosque el valor que deja por debajo una probabilidad de 0,975 es 2,12Sustituyendo estos valores en la expresión del intervalo de confianza de la mediatenemos:(505,35 - 2,12 · 42,54 / 4 ,, 505,35 + 2,12 · 42,54 / 4)operando( 482,80 ,, 527,90 )
  8. 8. Ejemplo 3- En una muestra de 65 sujetos las puntuaciones en una escala de extroversióntienen unamedia de 32,7 puntos y una desviación típica de 12,64.a) Calcule a partir de estos datos el correspondiente intervalo de confianza, a unnivel del90%, para la media de la población.b) Indique, con un nivel de confianza del 95%, cuál sería el máximo error quepodríamoscometer al tomar como media de la población el valor obtenido en laestimación puntual.Solución:a) Buscando en las tablas de la t de Student obtenemos que el valor que deja pordebajo una Probabilidad del 95% es 1,671 (aproximadamente). Sustituyendo losvalores de esta muestra en la expresión del intervalo de confianza obtenemos:( 32,7 - 1,671 · 12,64 / 8 ,, 32,7 + 1,671 · 12,64 / 8 ) operando( 30,06 ,, 35,34 )b) En las tablas de la t de Student encontramos que el valor de la variable quedeja por debajo una probabilidad de 0,975 es 2. En consecuencia a un nivel deconfianza del 95% la media de la población puede valer32,7 ± 2 · 12,64 / 8Luego el máximo error que se puede cometer, a este nivel de confianza, es: 3,16
  9. 9. Ejemplo 4Con los datos del problema 1, calcule a un nivel de confianza del 90% un intervalode confianza para la varianza e indique cual sería el máximo error por exceso ypor defecto que podría cometerse utilizando el estimador insesgado de lavarianza.Solución:Mediante cálculos básicos obtenemos que la varianza de la muestra vale 1809,29y la cuasi varianza 1922,37En las tablas de la Ji-cuadrado encontramos que el valor que deja por debajo unaprobabilidad de 0,05 es 7,96 y que 26,30 deja por debajo una probabilidad de0,95.Sustituyendo en la expresión del intervalo de confianza para la varianza tenemos:( 17 · 1809,29 / 26,30 ,, 17 · 1809,29 / 7,96 ) operando( 1169,50 ,, 3864,06 )Por tanto el error por defecto sería 1922,37 - 3864,06 = -1941,69 y el error porexceso 1922,37 – 1169,50 = 752,87.
  10. 10. Ejemplo 5Calcula un intervalo de confianza, con un 90%, para el número total, N, de ranasdel estanque del problema anterior, teniendo en cuenta que la proporción deranas marcadas es p=30/NSOLUCIÓN:Como el intervalo de confianza de ranas marcadas en el ejercicio anterior (igualescondiciones de confianza que en el presente) es (0,02816 ; 0,11184). Esto quieredecir que como 30/N oscila entre ambos extremos del intervalo, ocurre que:30/N = 0,02816, de donde N= 1065,34 y por otra parte, como máximo,30/N=0,11184, de donde N = 268,24. Por tanto nuestro intervalo es (269 , 1065 ).
  11. 11. Ejemplo 6los miembros de una cooperativa de viviendas tienen las siguientes edades:42 60 60 38 60 63 21 66 56 57 51 57 44 45 3530 35 47 53 49 50 49 38 45 28 41 47 42 53 3254 38 40 63 48 33 35 61 47 41 55 53 27 20 2142 21 39 39 34 45 39 28 54 33 35 43 48 48 2753 30 29 53 38 52 54 27 27 43 28 63 41 23 5856 59 60 40 24Elabore una tabla de frecuencias.Calcule la media y la desviación típica.SOLUCIÓN:Para elaborar una tabla de frecuencias es condición imprescindible establecer unaserie de clases o categorías (intervalos) a las que vamos a adjudicar a cada uno delos ochenta miembros de la cooperativa. El investigador puede seguir diferentescriterios en función del objetivo del estudio. Una tabla de frecuencias elaborada apartir de estos datos podría ser la siguiente:Edad n20-29 1430-39 1740-49 2250-59 1860-69 9Total 80Cálculo de la media:Puede calcularse directamente sumando las edades de todos los miembros de lacooperativa y dividiendo por el total que en este caso es ochenta, el resultado esuna media de 43,29. También:
  12. 12. Edad xi ni xini20-29 25 14 35030-39 35 17 59540-49 45 22 99050-59 55 18 99060-69 65 9 585Total 80 3510 , por tanto, podemos decir que la media es de casi 44 años.Cálculo de la desviación típica:Edad xi ni20-29 25 14 -18,875 356,2656 4987,7187530-39 35 17 -8,875 78,7656 1339,0156340-49 45 22 1,125 1,2656 27,8437550-59 55 18 11,125 123,7656 2227,7812560-69 65 9 21,125 446,2656 4016,39063Total 80 12598,75Sx =La desviación típica es de 12,5 años
  13. 13. Ejemplo 7Queremos estimar, con un nivel de confianza del 99%, la proporción de alumnosde cierto instituto que tienendos o más hermanos. ¿De qué tamaño mínimo tendremos que seleccionar lamuestra si admitimos un errormáximo de 0,1? (En otro estudio reciente se obtuvo que esta proporción era de0,4).Solución:Para un nivel de confianza del 99%, tenemos que 1    0,99  z/2 2,575El error máximo que admitimos es E  0,1.Para pr tomaremos el valor del estudio anterior, es decir, pr 0,4.Así, sustituyendo en la expresión anterior, tenemos que:Deberemos tomar, como mínimo, una muestra de 160 alumnos.
  14. 14. Ejemplo 8El 65% de los alumnos de cierta localidad utiliza con regularidad la biblioteca delpueblo. Halla un intervalo enel que se encuentre el 95% de las proporciones de alumnos que utilizan labiblioteca en muestras de tamaño60.Solución:La proporción de alumnos que utilizan la biblioteca, en muestras de 60, sedistribuye según unaPara el 95%, tenemos que 1    0,95  z/2 1,96.El intervalo característico será:(0,65  1,96 · 0,062; 0,65  1,96 · 0,062); es decir:(0,53; 0,77)Esto significa que, en el 95% de las muestras de 60, la proporción está entre 0,53y 0,77

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