SlideShare una empresa de Scribd logo
1 de 9
Descargar para leer sin conexión
Cálculo Diferencial
Derivada de funciones
Logarítmicas G.III
En esta guía veremos Ejercicios resueltos que implican funciones
Logarítmicas.

Innovación y Futuro
Jair Ospino Ardila
Resolver 𝑓 𝑥 = ln

𝑓 𝑥 = ln

1+𝑥

1+ 𝑥
1− 𝑥

1−𝑥

Para resolver este ejercicio debemos
utilizar una de las propiedades de los
logaritmos.
𝑗

Dónde: ln

𝑚

= ln 𝑗 – ln 𝑚

Si reemplazamos seria:
𝑓 𝑥 = ln 1 + 𝑥 − ln 1 − 𝑥
Derivamos
Como derivada de ln 𝑢 =

𝑢′
𝑢

𝑓′ 𝑥 =

1
(−1)
−
1+ 𝑥 1− 𝑥

𝑓′ 𝑥 =

1
1
+
1+ 𝑥 1− 𝑥

𝑓′ 𝑥 =

𝑓 𝑥 = ln 1 + 𝑥 − ln 1 − 𝑥

1− 𝑥+1+ 𝑥
(1 + 𝑥)(1 − 𝑥)

Simplificamos y efectuamos
multiplicación en el denominador
1+1
𝑓′ 𝑥 =
1 − 𝑥 + 𝑥 − 𝑥2
𝑓′ 𝑥 =

Solución𝑓 ′ 𝑥

2
1 − 𝑥2

Todas unidas

http://innovacionyfuturo.wordpress.com

jairospino@ingenieros.com
Resolver 𝑓 𝑥 = ln

1+𝑥 2

𝑓 𝑥 = ln

1−𝑥 2

1 + 𝑥2
1 − 𝑥2

Para resolver este ejercicio debemos
utilizar una de las propiedades de los
logaritmos.
𝑗

Dónde: ln

𝑚

= ln 𝑗 – ln 𝑚

Si reemplazamos seria:
𝑓 𝑥 = ln 1 + 𝑥 2 − ln 1 − 𝑥 2
Derivamos
𝑓 𝑥 = ln 1 + 𝑥 2 − ln 1 − 𝑥 2
𝑢′

Como derivada de ln 𝑢 = 𝑢
𝑓′ 𝑥 =

2𝑥
(−2𝑥)
−
2
1+ 𝑥
1 − 𝑥2

𝑓′ 𝑥 =

2𝑥
2𝑥
+
1 + 𝑥2 1 − 𝑥2

𝑓′ 𝑥 =

2𝑥 1 − 𝑥 2 + 2𝑥(1 + 𝑥 2 )
(1 + 𝑥 2 )(1 − 𝑥 2 )

efectuamos multiplicaciones
𝑓

′

2𝑥 − 2𝑥 3 + 2𝑥 + 2𝑥 3
𝑥 =
(1 − 𝑥 2 + 𝑥 2 − 𝑥 4 )

Solución 𝑓 ′ 𝑥

simplificamos
𝑓′ 𝑥 =

4𝑥
1 − 𝑥4

Todas unidas

http://innovacionyfuturo.wordpress.com

jairospino@ingenieros.com
Resolver

𝑓 𝑥 = 𝑥 ln 𝑥

𝑓 𝑥 = 𝑥 ln 𝑥

Para resolver este ejercicio debemos
utilizar la derivada de un producto junto
con la derivada de un logaritmo.
Ver ( JM4 ) y ( JM6 ) de la Guía I.

𝑓 𝑥 = 𝑚∗ 𝑢
𝑓 ′ 𝑥 = 𝑚′ ∗ 𝑢 + 𝑚 ∗ 𝑢′
Derivando tendríamos

1
𝑓′(𝑥) = 1 ln 𝑥 + 𝑥
𝑥

Solución 𝑓 ′ 𝑥

𝑓′(𝑥) = ln 𝑥 + 1

Todas unidas

http://innovacionyfuturo.wordpress.com

jairospino@ingenieros.com
Resolver 𝑓 𝑥 = ln

𝑒 𝑥 +1
𝑒 𝑥 −1

𝑒𝑥 +1
𝑓 𝑥 = ln 𝑥
𝑒 −1

Para resolver este ejercicio debemos
utilizar una de las propiedades de los
logaritmos.
Dónde: ln

𝑗
𝑚

= ln 𝑗 – ln 𝑚

Si reemplazamos seria:
𝑓 𝑥 = ln 𝑒 𝑥 + 1 − ln 𝑒 𝑥 − 1
Derivamos
Como derivada de ln 𝑢 =

𝑢′
𝑢

𝑓 𝑥 = ln 𝑒 𝑥 + 1 − ln 𝑒 𝑥 − 1

𝑒𝑥
𝑒𝑥
𝑓 𝑥 = 𝑥
− 𝑥
𝑒 +1
𝑒 −1
′

𝑒 𝑥 𝑒 𝑥 − 1 − 𝑒 𝑥 (𝑒 𝑥 + 1)
𝑓 𝑥 =
𝑥
(𝑒 + 1)(𝑒 𝑥 − 1)
′

𝑓′ 𝑥 =

𝑒2𝑥 − 𝑒 𝑥 − 𝑒2𝑥 − 𝑒 𝑥
𝑒2𝑥 − 𝑒 𝑥 + 𝑒 𝑥 − 1

𝑓′ 𝑥 =

−𝑒 𝑥 − 𝑒 𝑥
𝑒2𝑥 − 1

−2𝑒 𝑥
𝑓 𝑥 = 2𝑥
𝑒 −1
′

Solución 𝑓 ′ 𝑥

Todas unidas

http://innovacionyfuturo.wordpress.com

jairospino@ingenieros.com
Resolver 𝑓 𝑥 = ln(𝑥 + 1 + 𝑥 2 )

𝑓 𝑥 = ln 𝑥 + 1 + 𝑥 2

Para resolver este ejercicio debemos
utilizar una de las propiedades de los
logaritmos.

Derivamos
Como derivada de ln 𝑢 =
1

𝑓′ 𝑥 =

1 + 2 1 + 𝑥2

𝑢′
𝑢

1

1−2

∗ (2𝑥)

𝑥 + 1 + 𝑥2
Solución

𝑓′ 𝑥 =

1+ 𝑥 1+

1
2 −2
𝑥

𝑥 + 1 + 𝑥2
1+

𝑓′ 𝑥 =

𝑓′ 𝑥

𝑥
1+𝑥2

𝑥 + 1 + 𝑥2
1+𝑥2 +𝑥

𝑓′ 𝑥 =

1+𝑥2

𝑥 + 1 + 𝑥2

Transponemos términos

𝑓′ 𝑥 =

1 + 𝑥2 + 𝑥
1 + 𝑥2

Todas unidas

𝑥 + 1 + 𝑥2

Reducimos términos semejantes
𝑓′ 𝑥 =

1

1 + 𝑥2

http://innovacionyfuturo.wordpress.com

jairospino@ingenieros.com
Resolver

𝑓 𝑥 = 𝑙𝑛3 𝑥

𝑓 𝑥 = 𝑙𝑛3 𝑥

Para resolver este ejercicio debemos
tener en cuenta que también podemos
reescribir esta función.

𝑓 𝑥 = ln 𝑥

3

Derivando tendríamos

𝑓 ′ 𝑥 = 3 ln 𝑥

3−1

𝑓 ′ 𝑥 = 3 ln 𝑥

2

∗

∗

1
𝑥

1
𝑥

Si volvemos a reescribirla de tal forma
que nos quede como la estructura
principal.

𝑓

′

Todas unidas

3𝑙𝑛2 𝑥
𝑥 =
𝑥

Solución 𝑓 ′ 𝑥

http://innovacionyfuturo.wordpress.com

jairospino@ingenieros.com
Resolver

1+𝑥

𝑓 𝑥 = ln

𝑓 𝑥 = ln

1−𝑥

1+ 𝑥
1− 𝑥

Para apreciarlo mejor lo podemos
reescribir.

𝑓 𝑥 = ln

1+ 𝑥
1− 𝑥

Para resolver este ejercicio debemos
utilizar una de las propiedades de los
logaritmos.
𝑗

Dónde: ln

= ln 𝑗 – ln 𝑚

𝑚

Si reemplazamos seria:

Solución

𝑓′ 𝑥

𝑓 𝑥 = ln 1 + 𝑥 − ln 1 − 𝑥
Derivamos
𝑢′

Como derivada de ln 𝑢 =
1
2

𝑓′(𝑥) =

1+ 𝑥

1
−1
2

1+ 𝑥

1

𝑓′ 𝑥 =

2

1+ 𝑥

1

∗ 1 −2

1
2

1

−

1+ 𝑥

+

1− 𝑥

2

1
−1
2

∗ −1

1− 𝑥

1− 𝑥

1
2

−

1− 𝑥

Todas Unidas

1

1

𝑓′ 𝑥 =

𝑢

2 1+𝑥

1+ 𝑥

2

+

1−𝑥

1− 𝑥

Transponemos términos
𝑓′ 𝑥 =

1
2

𝑓′ 𝑥 =

1+ 𝑥

1+ 𝑥

+

1
2

1− 𝑥

1− 𝑥

1
1
+
2(1 + 𝑥) 2(1 − 𝑥)

http://innovacionyfuturo.wordpress.com

jairospino@ingenieros.com
𝑓′ 𝑥 =

1 1
1
+
2 1+ 𝑥 1− 𝑥

𝑓′ 𝑥 =

1 1− 𝑥+1+ 𝑥
2 1+ 𝑥 1− 𝑥

𝑓′ 𝑥 =

1
1+1
2 1 − 𝑥 + 𝑥 − 𝑥2

𝑓′ 𝑥 =

1
2
2 (1 − 𝑥 2 )

𝑓′ 𝑥 =

1
1 − 𝑥2

http://innovacionyfuturo.wordpress.com

jairospino@ingenieros.com

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

Dominio y rango de funciones reales
Dominio y rango de funciones realesDominio y rango de funciones reales
Dominio y rango de funciones realesMagiserio
 
Regla de la cadena y regla de la potencia
Regla de la cadena y regla de la potenciaRegla de la cadena y regla de la potencia
Regla de la cadena y regla de la potenciaITCN
 
Differential equation and Laplace Transform
Differential equation and Laplace TransformDifferential equation and Laplace Transform
Differential equation and Laplace TransformKalaiindhu
 
Expresiones Algebraicas
Expresiones AlgebraicasExpresiones Algebraicas
Expresiones AlgebraicasJuliana Isola
 
Capitulo 3 funciones de varias variables
Capitulo 3     funciones de varias variables Capitulo 3     funciones de varias variables
Capitulo 3 funciones de varias variables Paul Borikua
 
Derivación por incrementos
Derivación por incrementosDerivación por incrementos
Derivación por incrementosDanny Sandoval
 
Informe sobre función logarítmica-Dominguez Gimena
Informe sobre función logarítmica-Dominguez GimenaInforme sobre función logarítmica-Dominguez Gimena
Informe sobre función logarítmica-Dominguez GimenaGimena Dominguez
 

La actualidad más candente (20)

Dominio y rango de funciones reales
Dominio y rango de funciones realesDominio y rango de funciones reales
Dominio y rango de funciones reales
 
Derivadas
DerivadasDerivadas
Derivadas
 
La Derivada
La DerivadaLa Derivada
La Derivada
 
Potencia de complejos
Potencia de complejosPotencia de complejos
Potencia de complejos
 
Ecuaciones
EcuacionesEcuaciones
Ecuaciones
 
Funciones racionales
Funciones racionalesFunciones racionales
Funciones racionales
 
LA FUNCION CONSTANTE
LA FUNCION CONSTANTELA FUNCION CONSTANTE
LA FUNCION CONSTANTE
 
Regla de la cadena y regla de la potencia
Regla de la cadena y regla de la potenciaRegla de la cadena y regla de la potencia
Regla de la cadena y regla de la potencia
 
Integrales
IntegralesIntegrales
Integrales
 
Differential equation and Laplace Transform
Differential equation and Laplace TransformDifferential equation and Laplace Transform
Differential equation and Laplace Transform
 
Tabla de integrales uts
Tabla de integrales utsTabla de integrales uts
Tabla de integrales uts
 
Expresiones Algebraicas
Expresiones AlgebraicasExpresiones Algebraicas
Expresiones Algebraicas
 
Capitulo 3 funciones de varias variables
Capitulo 3     funciones de varias variables Capitulo 3     funciones de varias variables
Capitulo 3 funciones de varias variables
 
Derivación por incrementos
Derivación por incrementosDerivación por incrementos
Derivación por incrementos
 
Informe sobre función logarítmica-Dominguez Gimena
Informe sobre función logarítmica-Dominguez GimenaInforme sobre función logarítmica-Dominguez Gimena
Informe sobre función logarítmica-Dominguez Gimena
 
Topologia texto u.n
Topologia texto u.nTopologia texto u.n
Topologia texto u.n
 
12 rectas
12 rectas12 rectas
12 rectas
 
Derivadas
DerivadasDerivadas
Derivadas
 
Derivadas Implicitas
Derivadas ImplicitasDerivadas Implicitas
Derivadas Implicitas
 
Clase 1 Calculo Integral.pptx
Clase 1 Calculo Integral.pptxClase 1 Calculo Integral.pptx
Clase 1 Calculo Integral.pptx
 

Destacado

Crear y Eliminar Bases de datos en MySQL Workbench
Crear y Eliminar  Bases de datos en MySQL WorkbenchCrear y Eliminar  Bases de datos en MySQL Workbench
Crear y Eliminar Bases de datos en MySQL WorkbenchJair Ospino Ardila
 
Tipos de datos en MySQL Workbench
Tipos de datos en  MySQL  WorkbenchTipos de datos en  MySQL  Workbench
Tipos de datos en MySQL WorkbenchJair Ospino Ardila
 
Instalacion de MySQL Workbench
Instalacion de MySQL  WorkbenchInstalacion de MySQL  Workbench
Instalacion de MySQL WorkbenchJair Ospino Ardila
 
Aprendizaje basado en problemas
Aprendizaje basado en problemasAprendizaje basado en problemas
Aprendizaje basado en problemasJair Ospino Ardila
 
Derivada de funciones trigonometricas
Derivada de funciones trigonometricas Derivada de funciones trigonometricas
Derivada de funciones trigonometricas Jair Ospino Ardila
 
Reconociendo el administrador del servidor MySQL Workbench
Reconociendo el  administrador  del  servidor MySQL WorkbenchReconociendo el  administrador  del  servidor MySQL Workbench
Reconociendo el administrador del servidor MySQL WorkbenchJair Ospino Ardila
 
Ventana de inicio de MySQL Workbench
Ventana de inicio de MySQL WorkbenchVentana de inicio de MySQL Workbench
Ventana de inicio de MySQL WorkbenchJair Ospino Ardila
 
Crear conexion a servidor en MySQL Workbench
Crear conexion a servidor en  MySQL WorkbenchCrear conexion a servidor en  MySQL Workbench
Crear conexion a servidor en MySQL WorkbenchJair Ospino Ardila
 
Triggers o disparadores en MySQL
Triggers o disparadores en MySQL Triggers o disparadores en MySQL
Triggers o disparadores en MySQL Jair Ospino Ardila
 

Destacado (11)

Crear y Eliminar Bases de datos en MySQL Workbench
Crear y Eliminar  Bases de datos en MySQL WorkbenchCrear y Eliminar  Bases de datos en MySQL Workbench
Crear y Eliminar Bases de datos en MySQL Workbench
 
Tipos de datos en MySQL Workbench
Tipos de datos en  MySQL  WorkbenchTipos de datos en  MySQL  Workbench
Tipos de datos en MySQL Workbench
 
Instalacion de MySQL Workbench
Instalacion de MySQL  WorkbenchInstalacion de MySQL  Workbench
Instalacion de MySQL Workbench
 
Aprendizaje basado en problemas
Aprendizaje basado en problemasAprendizaje basado en problemas
Aprendizaje basado en problemas
 
Derivada de funciones trigonometricas
Derivada de funciones trigonometricas Derivada de funciones trigonometricas
Derivada de funciones trigonometricas
 
Reconociendo el administrador del servidor MySQL Workbench
Reconociendo el  administrador  del  servidor MySQL WorkbenchReconociendo el  administrador  del  servidor MySQL Workbench
Reconociendo el administrador del servidor MySQL Workbench
 
Sistema Masa Resorte
Sistema Masa ResorteSistema Masa Resorte
Sistema Masa Resorte
 
Ventana de inicio de MySQL Workbench
Ventana de inicio de MySQL WorkbenchVentana de inicio de MySQL Workbench
Ventana de inicio de MySQL Workbench
 
Mapa mental
Mapa mentalMapa mental
Mapa mental
 
Crear conexion a servidor en MySQL Workbench
Crear conexion a servidor en  MySQL WorkbenchCrear conexion a servidor en  MySQL Workbench
Crear conexion a servidor en MySQL Workbench
 
Triggers o disparadores en MySQL
Triggers o disparadores en MySQL Triggers o disparadores en MySQL
Triggers o disparadores en MySQL
 

Similar a Derivadas de funciones logaritmicas

Derivadas y su interpretacion
Derivadas y su interpretacionDerivadas y su interpretacion
Derivadas y su interpretacionCristian Sanchez
 
Conceptos básicos de funciones
Conceptos básicos de funcionesConceptos básicos de funciones
Conceptos básicos de funcionesBartoluco
 
Integración por sustitución o cambio de variable
Integración por sustitución o cambio de variableIntegración por sustitución o cambio de variable
Integración por sustitución o cambio de variableAndres Mendoza
 
S4 edo homogeneas-exactas-bernoulli
S4 edo homogeneas-exactas-bernoulliS4 edo homogeneas-exactas-bernoulli
S4 edo homogeneas-exactas-bernoulliNeil Sulca Taipe
 
2023_1_CALCULO II_CLASE 2_1.pptx
2023_1_CALCULO II_CLASE 2_1.pptx2023_1_CALCULO II_CLASE 2_1.pptx
2023_1_CALCULO II_CLASE 2_1.pptxMarioPomaSalazar
 
MATEMATICA 1- SEMANA 1. Función de variable real.pdf
MATEMATICA 1- SEMANA 1. Función de variable real.pdfMATEMATICA 1- SEMANA 1. Función de variable real.pdf
MATEMATICA 1- SEMANA 1. Función de variable real.pdfdanielablancop1
 
Teoría y problemas de Integrales Indefinidas MA-II ccesa007
Teoría y problemas de  Integrales Indefinidas  MA-II  ccesa007Teoría y problemas de  Integrales Indefinidas  MA-II  ccesa007
Teoría y problemas de Integrales Indefinidas MA-II ccesa007Demetrio Ccesa Rayme
 
Teoria y Ejercicios Integrales Impropias (2).pdf
Teoria y Ejercicios Integrales Impropias (2).pdfTeoria y Ejercicios Integrales Impropias (2).pdf
Teoria y Ejercicios Integrales Impropias (2).pdfrichardalexandercolm
 
Ecuaciones diferenciales de primer orden
Ecuaciones diferenciales de primer ordenEcuaciones diferenciales de primer orden
Ecuaciones diferenciales de primer ordenNyckyiret Florez
 

Similar a Derivadas de funciones logaritmicas (20)

Derivadas y su interpretacion
Derivadas y su interpretacionDerivadas y su interpretacion
Derivadas y su interpretacion
 
Integracion. bloque-ll
Integracion. bloque-llIntegracion. bloque-ll
Integracion. bloque-ll
 
Conceptos básicos de funciones
Conceptos básicos de funcionesConceptos básicos de funciones
Conceptos básicos de funciones
 
Integración por sustitución o cambio de variable
Integración por sustitución o cambio de variableIntegración por sustitución o cambio de variable
Integración por sustitución o cambio de variable
 
S4 edo homogeneas-exactas-bernoulli
S4 edo homogeneas-exactas-bernoulliS4 edo homogeneas-exactas-bernoulli
S4 edo homogeneas-exactas-bernoulli
 
2023_1_CALCULO II_CLASE 2_1.pptx
2023_1_CALCULO II_CLASE 2_1.pptx2023_1_CALCULO II_CLASE 2_1.pptx
2023_1_CALCULO II_CLASE 2_1.pptx
 
Funciones.pptx
Funciones.pptxFunciones.pptx
Funciones.pptx
 
100411 300
100411 300100411 300
100411 300
 
MATEMATICA 1- SEMANA 1. Función de variable real.pdf
MATEMATICA 1- SEMANA 1. Función de variable real.pdfMATEMATICA 1- SEMANA 1. Función de variable real.pdf
MATEMATICA 1- SEMANA 1. Función de variable real.pdf
 
Teoría y problemas de Integrales Indefinidas MA-II ccesa007
Teoría y problemas de  Integrales Indefinidas  MA-II  ccesa007Teoría y problemas de  Integrales Indefinidas  MA-II  ccesa007
Teoría y problemas de Integrales Indefinidas MA-II ccesa007
 
Integrales ciclicas
Integrales ciclicasIntegrales ciclicas
Integrales ciclicas
 
Transformada de Laplace
Transformada de LaplaceTransformada de Laplace
Transformada de Laplace
 
Guia derivadas
Guia derivadasGuia derivadas
Guia derivadas
 
Taller derivadas
Taller derivadasTaller derivadas
Taller derivadas
 
Guia derivadas
Guia derivadasGuia derivadas
Guia derivadas
 
Trabajo 30 problemas
Trabajo 30 problemasTrabajo 30 problemas
Trabajo 30 problemas
 
Trigonometricas.pdf
Trigonometricas.pdfTrigonometricas.pdf
Trigonometricas.pdf
 
Teoria y Ejercicios Integrales Impropias (2).pdf
Teoria y Ejercicios Integrales Impropias (2).pdfTeoria y Ejercicios Integrales Impropias (2).pdf
Teoria y Ejercicios Integrales Impropias (2).pdf
 
Dominios
DominiosDominios
Dominios
 
Ecuaciones diferenciales de primer orden
Ecuaciones diferenciales de primer ordenEcuaciones diferenciales de primer orden
Ecuaciones diferenciales de primer orden
 

Más de Jair Ospino Ardila

Derivadas de potencias y funciones exponenciales
Derivadas de potencias y funciones exponenciales Derivadas de potencias y funciones exponenciales
Derivadas de potencias y funciones exponenciales Jair Ospino Ardila
 
Calculo Diferencial Tips y conceptos fundamentales
Calculo Diferencial Tips y conceptos fundamentalesCalculo Diferencial Tips y conceptos fundamentales
Calculo Diferencial Tips y conceptos fundamentalesJair Ospino Ardila
 
Crear vistas en microsoft access
Crear vistas en microsoft accessCrear vistas en microsoft access
Crear vistas en microsoft accessJair Ospino Ardila
 
Ejercicios de Calculo Multivariable
Ejercicios de Calculo MultivariableEjercicios de Calculo Multivariable
Ejercicios de Calculo MultivariableJair Ospino Ardila
 
Eliminar virus de acceso directo
Eliminar virus de acceso directoEliminar virus de acceso directo
Eliminar virus de acceso directoJair Ospino Ardila
 
Calculo superior para ingenieros Gamma Beta
Calculo superior para ingenieros Gamma BetaCalculo superior para ingenieros Gamma Beta
Calculo superior para ingenieros Gamma BetaJair Ospino Ardila
 
Creación de tablas y relaciones en mysql workbench
Creación de tablas y relaciones en mysql workbenchCreación de tablas y relaciones en mysql workbench
Creación de tablas y relaciones en mysql workbenchJair Ospino Ardila
 
Creación de tablas y relaciones en MySQL y SQL yog
Creación de tablas y relaciones en MySQL y SQL yogCreación de tablas y relaciones en MySQL y SQL yog
Creación de tablas y relaciones en MySQL y SQL yogJair Ospino Ardila
 
Creación de tablas y relaciones en MySQL y wamp server
Creación de tablas y relaciones en MySQL y  wamp serverCreación de tablas y relaciones en MySQL y  wamp server
Creación de tablas y relaciones en MySQL y wamp serverJair Ospino Ardila
 
consultas en Access no coincidentes
consultas en Access no coincidentesconsultas en Access no coincidentes
consultas en Access no coincidentesJair Ospino Ardila
 
Solución de Ecuaciones Diferenciales en Simulink
Solución de Ecuaciones Diferenciales en SimulinkSolución de Ecuaciones Diferenciales en Simulink
Solución de Ecuaciones Diferenciales en SimulinkJair Ospino Ardila
 

Más de Jair Ospino Ardila (17)

Cuerpos geométricos
Cuerpos geométricosCuerpos geométricos
Cuerpos geométricos
 
Derivadas de potencias y funciones exponenciales
Derivadas de potencias y funciones exponenciales Derivadas de potencias y funciones exponenciales
Derivadas de potencias y funciones exponenciales
 
Calculo Diferencial Tips y conceptos fundamentales
Calculo Diferencial Tips y conceptos fundamentalesCalculo Diferencial Tips y conceptos fundamentales
Calculo Diferencial Tips y conceptos fundamentales
 
Crear vistas en microsoft access
Crear vistas en microsoft accessCrear vistas en microsoft access
Crear vistas en microsoft access
 
Ejercicios de Calculo Multivariable
Ejercicios de Calculo MultivariableEjercicios de Calculo Multivariable
Ejercicios de Calculo Multivariable
 
Eliminar virus de acceso directo
Eliminar virus de acceso directoEliminar virus de acceso directo
Eliminar virus de acceso directo
 
Ecuaciones diferenciales
Ecuaciones diferencialesEcuaciones diferenciales
Ecuaciones diferenciales
 
Calculo superior para ingenieros Gamma Beta
Calculo superior para ingenieros Gamma BetaCalculo superior para ingenieros Gamma Beta
Calculo superior para ingenieros Gamma Beta
 
Funcion beta
Funcion betaFuncion beta
Funcion beta
 
Función gamma
Función gammaFunción gamma
Función gamma
 
Distribución de frecuencia
Distribución de frecuenciaDistribución de frecuencia
Distribución de frecuencia
 
Creación de tablas y relaciones en mysql workbench
Creación de tablas y relaciones en mysql workbenchCreación de tablas y relaciones en mysql workbench
Creación de tablas y relaciones en mysql workbench
 
Creación de tablas y relaciones en MySQL y SQL yog
Creación de tablas y relaciones en MySQL y SQL yogCreación de tablas y relaciones en MySQL y SQL yog
Creación de tablas y relaciones en MySQL y SQL yog
 
Creación de tablas y relaciones en MySQL y wamp server
Creación de tablas y relaciones en MySQL y  wamp serverCreación de tablas y relaciones en MySQL y  wamp server
Creación de tablas y relaciones en MySQL y wamp server
 
consultas en Access no coincidentes
consultas en Access no coincidentesconsultas en Access no coincidentes
consultas en Access no coincidentes
 
Solución de Ecuaciones Diferenciales en Simulink
Solución de Ecuaciones Diferenciales en SimulinkSolución de Ecuaciones Diferenciales en Simulink
Solución de Ecuaciones Diferenciales en Simulink
 
Full text search
Full text search Full text search
Full text search
 

Último

ERAS Y PERIODOS DEL TIEMPO GEOLOGICO.pptx
ERAS Y PERIODOS DEL TIEMPO GEOLOGICO.pptxERAS Y PERIODOS DEL TIEMPO GEOLOGICO.pptx
ERAS Y PERIODOS DEL TIEMPO GEOLOGICO.pptxduquemariact
 
Syllabus Temas Selectos de Mate-2024.docx
Syllabus Temas Selectos de Mate-2024.docxSyllabus Temas Selectos de Mate-2024.docx
Syllabus Temas Selectos de Mate-2024.docxLorenaCovarrubias12
 
INFORME DE LA EVALUACION DIAGNOSTICA DE COMUNICACION (1).docx
INFORME DE LA EVALUACION DIAGNOSTICA DE COMUNICACION (1).docxINFORME DE LA EVALUACION DIAGNOSTICA DE COMUNICACION (1).docx
INFORME DE LA EVALUACION DIAGNOSTICA DE COMUNICACION (1).docxMarializJharoMoriz
 
IMÁGENES SUBLIMINALES EN LAS PUBLICACIONES DE LOS TESTIGOS DE JEHOVÁ
IMÁGENES SUBLIMINALES EN LAS PUBLICACIONES DE LOS TESTIGOS DE JEHOVÁIMÁGENES SUBLIMINALES EN LAS PUBLICACIONES DE LOS TESTIGOS DE JEHOVÁ
IMÁGENES SUBLIMINALES EN LAS PUBLICACIONES DE LOS TESTIGOS DE JEHOVÁdavidterri38
 
Salvando mi mundo , mi comunidad , y mi entorno
Salvando mi mundo , mi comunidad  , y mi entornoSalvando mi mundo , mi comunidad  , y mi entorno
Salvando mi mundo , mi comunidad , y mi entornoday561sol
 
Descripción del Proceso de corte y soldadura
Descripción del Proceso de corte y soldaduraDescripción del Proceso de corte y soldadura
Descripción del Proceso de corte y soldaduraJose Sanchez
 
Biografía del General Eloy Alfaro Delgado
Biografía del General Eloy Alfaro DelgadoBiografía del General Eloy Alfaro Delgado
Biografía del General Eloy Alfaro DelgadoJosé Luis Palma
 
Apunte de clase Pisos y Revestimientos 2
Apunte de clase Pisos y Revestimientos 2Apunte de clase Pisos y Revestimientos 2
Apunte de clase Pisos y Revestimientos 2Gonella
 
Presentacionde Prueba 2024 dsdasdasdsadsadsadsadasdasdsadsa
Presentacionde Prueba 2024 dsdasdasdsadsadsadsadasdasdsadsaPresentacionde Prueba 2024 dsdasdasdsadsadsadsadasdasdsadsa
Presentacionde Prueba 2024 dsdasdasdsadsadsadsadasdasdsadsaFarid Abud
 
PRUEBA APTITUD CONTRALORIA- examen 1.pdf
PRUEBA APTITUD CONTRALORIA- examen 1.pdfPRUEBA APTITUD CONTRALORIA- examen 1.pdf
PRUEBA APTITUD CONTRALORIA- examen 1.pdfRobertoCarlo15
 
Tema 13a. Catabolismo aerobio y anaerobio 2024
Tema 13a.  Catabolismo aerobio y anaerobio  2024Tema 13a.  Catabolismo aerobio y anaerobio  2024
Tema 13a. Catabolismo aerobio y anaerobio 2024IES Vicent Andres Estelles
 
4003R - Dosificación 1ER GRADO_3ER PERIODO 2024.pdf
4003R - Dosificación 1ER GRADO_3ER PERIODO 2024.pdf4003R - Dosificación 1ER GRADO_3ER PERIODO 2024.pdf
4003R - Dosificación 1ER GRADO_3ER PERIODO 2024.pdfPercyTrillington1
 
Buenas Practicas de Manufactura para Industria Farmaceutica
Buenas Practicas de Manufactura para Industria FarmaceuticaBuenas Practicas de Manufactura para Industria Farmaceutica
Buenas Practicas de Manufactura para Industria FarmaceuticaMarco Camacho
 

Último (20)

ERAS Y PERIODOS DEL TIEMPO GEOLOGICO.pptx
ERAS Y PERIODOS DEL TIEMPO GEOLOGICO.pptxERAS Y PERIODOS DEL TIEMPO GEOLOGICO.pptx
ERAS Y PERIODOS DEL TIEMPO GEOLOGICO.pptx
 
Syllabus Temas Selectos de Mate-2024.docx
Syllabus Temas Selectos de Mate-2024.docxSyllabus Temas Selectos de Mate-2024.docx
Syllabus Temas Selectos de Mate-2024.docx
 
Unidad 1 | Metodología de la Investigación
Unidad 1 | Metodología de la InvestigaciónUnidad 1 | Metodología de la Investigación
Unidad 1 | Metodología de la Investigación
 
Mimos _
Mimos                                       _Mimos                                       _
Mimos _
 
INFORME DE LA EVALUACION DIAGNOSTICA DE COMUNICACION (1).docx
INFORME DE LA EVALUACION DIAGNOSTICA DE COMUNICACION (1).docxINFORME DE LA EVALUACION DIAGNOSTICA DE COMUNICACION (1).docx
INFORME DE LA EVALUACION DIAGNOSTICA DE COMUNICACION (1).docx
 
IMÁGENES SUBLIMINALES EN LAS PUBLICACIONES DE LOS TESTIGOS DE JEHOVÁ
IMÁGENES SUBLIMINALES EN LAS PUBLICACIONES DE LOS TESTIGOS DE JEHOVÁIMÁGENES SUBLIMINALES EN LAS PUBLICACIONES DE LOS TESTIGOS DE JEHOVÁ
IMÁGENES SUBLIMINALES EN LAS PUBLICACIONES DE LOS TESTIGOS DE JEHOVÁ
 
Salvando mi mundo , mi comunidad , y mi entorno
Salvando mi mundo , mi comunidad  , y mi entornoSalvando mi mundo , mi comunidad  , y mi entorno
Salvando mi mundo , mi comunidad , y mi entorno
 
Descripción del Proceso de corte y soldadura
Descripción del Proceso de corte y soldaduraDescripción del Proceso de corte y soldadura
Descripción del Proceso de corte y soldadura
 
Sesión La guerra detrás de todas las guerras
Sesión  La guerra detrás de todas las guerrasSesión  La guerra detrás de todas las guerras
Sesión La guerra detrás de todas las guerras
 
Biografía del General Eloy Alfaro Delgado
Biografía del General Eloy Alfaro DelgadoBiografía del General Eloy Alfaro Delgado
Biografía del General Eloy Alfaro Delgado
 
Apunte de clase Pisos y Revestimientos 2
Apunte de clase Pisos y Revestimientos 2Apunte de clase Pisos y Revestimientos 2
Apunte de clase Pisos y Revestimientos 2
 
Presentacionde Prueba 2024 dsdasdasdsadsadsadsadasdasdsadsa
Presentacionde Prueba 2024 dsdasdasdsadsadsadsadasdasdsadsaPresentacionde Prueba 2024 dsdasdasdsadsadsadsadasdasdsadsa
Presentacionde Prueba 2024 dsdasdasdsadsadsadsadasdasdsadsa
 
PRUEBA APTITUD CONTRALORIA- examen 1.pdf
PRUEBA APTITUD CONTRALORIA- examen 1.pdfPRUEBA APTITUD CONTRALORIA- examen 1.pdf
PRUEBA APTITUD CONTRALORIA- examen 1.pdf
 
Act#25 TDLab. Eclipse Solar 08/abril/2024
Act#25 TDLab. Eclipse Solar 08/abril/2024Act#25 TDLab. Eclipse Solar 08/abril/2024
Act#25 TDLab. Eclipse Solar 08/abril/2024
 
Tema 13a. Catabolismo aerobio y anaerobio 2024
Tema 13a.  Catabolismo aerobio y anaerobio  2024Tema 13a.  Catabolismo aerobio y anaerobio  2024
Tema 13a. Catabolismo aerobio y anaerobio 2024
 
Acuerdo segundo periodo - Grado Noveno.pptx
Acuerdo segundo periodo - Grado Noveno.pptxAcuerdo segundo periodo - Grado Noveno.pptx
Acuerdo segundo periodo - Grado Noveno.pptx
 
4003R - Dosificación 1ER GRADO_3ER PERIODO 2024.pdf
4003R - Dosificación 1ER GRADO_3ER PERIODO 2024.pdf4003R - Dosificación 1ER GRADO_3ER PERIODO 2024.pdf
4003R - Dosificación 1ER GRADO_3ER PERIODO 2024.pdf
 
Buenas Practicas de Manufactura para Industria Farmaceutica
Buenas Practicas de Manufactura para Industria FarmaceuticaBuenas Practicas de Manufactura para Industria Farmaceutica
Buenas Practicas de Manufactura para Industria Farmaceutica
 
ecosistemas: energia y dinamica (1).pptx
ecosistemas: energia y dinamica (1).pptxecosistemas: energia y dinamica (1).pptx
ecosistemas: energia y dinamica (1).pptx
 
AO TEATRO, COM ANTÓNIO MOTA! _
AO TEATRO, COM ANTÓNIO MOTA!             _AO TEATRO, COM ANTÓNIO MOTA!             _
AO TEATRO, COM ANTÓNIO MOTA! _
 

Derivadas de funciones logaritmicas

  • 1. Cálculo Diferencial Derivada de funciones Logarítmicas G.III En esta guía veremos Ejercicios resueltos que implican funciones Logarítmicas. Innovación y Futuro Jair Ospino Ardila
  • 2. Resolver 𝑓 𝑥 = ln 𝑓 𝑥 = ln 1+𝑥 1+ 𝑥 1− 𝑥 1−𝑥 Para resolver este ejercicio debemos utilizar una de las propiedades de los logaritmos. 𝑗 Dónde: ln 𝑚 = ln 𝑗 – ln 𝑚 Si reemplazamos seria: 𝑓 𝑥 = ln 1 + 𝑥 − ln 1 − 𝑥 Derivamos Como derivada de ln 𝑢 = 𝑢′ 𝑢 𝑓′ 𝑥 = 1 (−1) − 1+ 𝑥 1− 𝑥 𝑓′ 𝑥 = 1 1 + 1+ 𝑥 1− 𝑥 𝑓′ 𝑥 = 𝑓 𝑥 = ln 1 + 𝑥 − ln 1 − 𝑥 1− 𝑥+1+ 𝑥 (1 + 𝑥)(1 − 𝑥) Simplificamos y efectuamos multiplicación en el denominador 1+1 𝑓′ 𝑥 = 1 − 𝑥 + 𝑥 − 𝑥2 𝑓′ 𝑥 = Solución𝑓 ′ 𝑥 2 1 − 𝑥2 Todas unidas http://innovacionyfuturo.wordpress.com jairospino@ingenieros.com
  • 3. Resolver 𝑓 𝑥 = ln 1+𝑥 2 𝑓 𝑥 = ln 1−𝑥 2 1 + 𝑥2 1 − 𝑥2 Para resolver este ejercicio debemos utilizar una de las propiedades de los logaritmos. 𝑗 Dónde: ln 𝑚 = ln 𝑗 – ln 𝑚 Si reemplazamos seria: 𝑓 𝑥 = ln 1 + 𝑥 2 − ln 1 − 𝑥 2 Derivamos 𝑓 𝑥 = ln 1 + 𝑥 2 − ln 1 − 𝑥 2 𝑢′ Como derivada de ln 𝑢 = 𝑢 𝑓′ 𝑥 = 2𝑥 (−2𝑥) − 2 1+ 𝑥 1 − 𝑥2 𝑓′ 𝑥 = 2𝑥 2𝑥 + 1 + 𝑥2 1 − 𝑥2 𝑓′ 𝑥 = 2𝑥 1 − 𝑥 2 + 2𝑥(1 + 𝑥 2 ) (1 + 𝑥 2 )(1 − 𝑥 2 ) efectuamos multiplicaciones 𝑓 ′ 2𝑥 − 2𝑥 3 + 2𝑥 + 2𝑥 3 𝑥 = (1 − 𝑥 2 + 𝑥 2 − 𝑥 4 ) Solución 𝑓 ′ 𝑥 simplificamos 𝑓′ 𝑥 = 4𝑥 1 − 𝑥4 Todas unidas http://innovacionyfuturo.wordpress.com jairospino@ingenieros.com
  • 4. Resolver 𝑓 𝑥 = 𝑥 ln 𝑥 𝑓 𝑥 = 𝑥 ln 𝑥 Para resolver este ejercicio debemos utilizar la derivada de un producto junto con la derivada de un logaritmo. Ver ( JM4 ) y ( JM6 ) de la Guía I. 𝑓 𝑥 = 𝑚∗ 𝑢 𝑓 ′ 𝑥 = 𝑚′ ∗ 𝑢 + 𝑚 ∗ 𝑢′ Derivando tendríamos 1 𝑓′(𝑥) = 1 ln 𝑥 + 𝑥 𝑥 Solución 𝑓 ′ 𝑥 𝑓′(𝑥) = ln 𝑥 + 1 Todas unidas http://innovacionyfuturo.wordpress.com jairospino@ingenieros.com
  • 5. Resolver 𝑓 𝑥 = ln 𝑒 𝑥 +1 𝑒 𝑥 −1 𝑒𝑥 +1 𝑓 𝑥 = ln 𝑥 𝑒 −1 Para resolver este ejercicio debemos utilizar una de las propiedades de los logaritmos. Dónde: ln 𝑗 𝑚 = ln 𝑗 – ln 𝑚 Si reemplazamos seria: 𝑓 𝑥 = ln 𝑒 𝑥 + 1 − ln 𝑒 𝑥 − 1 Derivamos Como derivada de ln 𝑢 = 𝑢′ 𝑢 𝑓 𝑥 = ln 𝑒 𝑥 + 1 − ln 𝑒 𝑥 − 1 𝑒𝑥 𝑒𝑥 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 𝑥 𝑒 +1 𝑒 −1 ′ 𝑒 𝑥 𝑒 𝑥 − 1 − 𝑒 𝑥 (𝑒 𝑥 + 1) 𝑓 𝑥 = 𝑥 (𝑒 + 1)(𝑒 𝑥 − 1) ′ 𝑓′ 𝑥 = 𝑒2𝑥 − 𝑒 𝑥 − 𝑒2𝑥 − 𝑒 𝑥 𝑒2𝑥 − 𝑒 𝑥 + 𝑒 𝑥 − 1 𝑓′ 𝑥 = −𝑒 𝑥 − 𝑒 𝑥 𝑒2𝑥 − 1 −2𝑒 𝑥 𝑓 𝑥 = 2𝑥 𝑒 −1 ′ Solución 𝑓 ′ 𝑥 Todas unidas http://innovacionyfuturo.wordpress.com jairospino@ingenieros.com
  • 6. Resolver 𝑓 𝑥 = ln(𝑥 + 1 + 𝑥 2 ) 𝑓 𝑥 = ln 𝑥 + 1 + 𝑥 2 Para resolver este ejercicio debemos utilizar una de las propiedades de los logaritmos. Derivamos Como derivada de ln 𝑢 = 1 𝑓′ 𝑥 = 1 + 2 1 + 𝑥2 𝑢′ 𝑢 1 1−2 ∗ (2𝑥) 𝑥 + 1 + 𝑥2 Solución 𝑓′ 𝑥 = 1+ 𝑥 1+ 1 2 −2 𝑥 𝑥 + 1 + 𝑥2 1+ 𝑓′ 𝑥 = 𝑓′ 𝑥 𝑥 1+𝑥2 𝑥 + 1 + 𝑥2 1+𝑥2 +𝑥 𝑓′ 𝑥 = 1+𝑥2 𝑥 + 1 + 𝑥2 Transponemos términos 𝑓′ 𝑥 = 1 + 𝑥2 + 𝑥 1 + 𝑥2 Todas unidas 𝑥 + 1 + 𝑥2 Reducimos términos semejantes 𝑓′ 𝑥 = 1 1 + 𝑥2 http://innovacionyfuturo.wordpress.com jairospino@ingenieros.com
  • 7. Resolver 𝑓 𝑥 = 𝑙𝑛3 𝑥 𝑓 𝑥 = 𝑙𝑛3 𝑥 Para resolver este ejercicio debemos tener en cuenta que también podemos reescribir esta función. 𝑓 𝑥 = ln 𝑥 3 Derivando tendríamos 𝑓 ′ 𝑥 = 3 ln 𝑥 3−1 𝑓 ′ 𝑥 = 3 ln 𝑥 2 ∗ ∗ 1 𝑥 1 𝑥 Si volvemos a reescribirla de tal forma que nos quede como la estructura principal. 𝑓 ′ Todas unidas 3𝑙𝑛2 𝑥 𝑥 = 𝑥 Solución 𝑓 ′ 𝑥 http://innovacionyfuturo.wordpress.com jairospino@ingenieros.com
  • 8. Resolver 1+𝑥 𝑓 𝑥 = ln 𝑓 𝑥 = ln 1−𝑥 1+ 𝑥 1− 𝑥 Para apreciarlo mejor lo podemos reescribir. 𝑓 𝑥 = ln 1+ 𝑥 1− 𝑥 Para resolver este ejercicio debemos utilizar una de las propiedades de los logaritmos. 𝑗 Dónde: ln = ln 𝑗 – ln 𝑚 𝑚 Si reemplazamos seria: Solución 𝑓′ 𝑥 𝑓 𝑥 = ln 1 + 𝑥 − ln 1 − 𝑥 Derivamos 𝑢′ Como derivada de ln 𝑢 = 1 2 𝑓′(𝑥) = 1+ 𝑥 1 −1 2 1+ 𝑥 1 𝑓′ 𝑥 = 2 1+ 𝑥 1 ∗ 1 −2 1 2 1 − 1+ 𝑥 + 1− 𝑥 2 1 −1 2 ∗ −1 1− 𝑥 1− 𝑥 1 2 − 1− 𝑥 Todas Unidas 1 1 𝑓′ 𝑥 = 𝑢 2 1+𝑥 1+ 𝑥 2 + 1−𝑥 1− 𝑥 Transponemos términos 𝑓′ 𝑥 = 1 2 𝑓′ 𝑥 = 1+ 𝑥 1+ 𝑥 + 1 2 1− 𝑥 1− 𝑥 1 1 + 2(1 + 𝑥) 2(1 − 𝑥) http://innovacionyfuturo.wordpress.com jairospino@ingenieros.com
  • 9. 𝑓′ 𝑥 = 1 1 1 + 2 1+ 𝑥 1− 𝑥 𝑓′ 𝑥 = 1 1− 𝑥+1+ 𝑥 2 1+ 𝑥 1− 𝑥 𝑓′ 𝑥 = 1 1+1 2 1 − 𝑥 + 𝑥 − 𝑥2 𝑓′ 𝑥 = 1 2 2 (1 − 𝑥 2 ) 𝑓′ 𝑥 = 1 1 − 𝑥2 http://innovacionyfuturo.wordpress.com jairospino@ingenieros.com