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Guia derivadas

Guia derivadas

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1
Licenciado Ysmael González – v 1.0 - https://sites.google.com/site/ydavgonzalez/
DERIVADAS DE FUNCIONES DE UNA
VARIABLE
AUTOR:
LICENCIADO YSMAEL D. GONZÁLEZ H.
SANTAANA DE CORO, JULIO DE 2015
REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL
“FRANCISCO DE MIRANDA”
DEPARTAMENTO DE FÍSICA Y MATEMÁTICA
2
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RECTAS TANGENTES
Conociendo el concepto de límite se puede dar una definición matemática de recta tangente
a una curva 𝑦 = 𝑓(𝑥) en el punto 𝑃(𝑥0, 𝑓(𝑥0) de la curva. Si se considera el punto 𝑄(𝑥, 𝑓(𝑥))
sobre la curva que sea diferente de 𝑃 y se calcula la pendiente 𝑚 𝑝𝑞 de la recta secante que
pasa por 𝑃 y 𝑄:
𝑚 𝑝𝑞 =
𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥0)
𝑥 − 𝑥0
Si se hace que 𝑥 tienda a 𝑥0, entonces el punto 𝑄 se moverá a lo largo de la curva y se acercara
al punto 𝑃. Si la recta secante que pasa por 𝑃 y 𝑄 tiende a una posición límite cuando
𝑥 → 𝑥0, entonces se considerará esta posición como la posición de la recta tangente en 𝑃.
Dicho de otra manera, si la pendiente 𝑚 𝑝𝑞 de la recta secante que pasa por 𝑃 y 𝑄 tiende a un
límite cuando 𝑥 → 𝑥0, entonces se considerara que ese límite es la pendiente 𝑚 𝑝𝑞 de la recta
tangente en 𝑃. Se llega a la siguiente definición.
𝑃(𝑥0, 𝑓(𝑥0)
𝑄(𝑥, 𝑓(𝑥))
𝑦 = 𝑓(𝑥)
Recta tangente
Recta secante
3
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Definición 1: Suponga que 𝑥0 está en dominio de la función 𝑓. La recta tangente a la curva
𝑦 = 𝑓(𝑥) en el punto 𝑃(𝑥0, 𝑓(𝑥0) es la recta con ecuación
𝑦 − 𝑓(𝑥0) = 𝑚 𝑡𝑎𝑛(𝑥 − 𝑥0)
donde
𝑚 𝑡𝑎𝑛 = lím
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥0)
𝑥 − 𝑥0
siempre y cuando el límite exista. Para abreviar, también se le llamara la recta tangente a
𝑦 = 𝑓(𝑥) en 𝑥0.
Ejemplo: use la definición anterior para encontrar la ecuación de la recta tangente a la
parábola 𝑦 = 𝑥2
en el punto 𝑃(1,1).
𝑚 𝑡𝑎𝑛 = lim
𝑥→1
𝑓(𝑥) − 𝑓(1)
𝑥 − 1
𝑚 𝑡𝑎𝑛 = lim
𝑥→1
𝑥2
− 1
𝑥 − 1
𝑚 𝑡𝑎𝑛 = lim
𝑥→1
(𝑥 − 1)(𝑥 + 1)
𝑥 − 1
𝑚 𝑡𝑎𝑛 = lim
𝑥→1
(𝑥 + 1) = 2
Luego, la recta tangente a 𝑦 = 𝑥2
en (1,1) tiene la ecuación
𝑦 − 1 = 2(𝑥 − 1)
𝑦 = 2𝑥 − 1
Hay una fórmula alternativa de expresar la fórmula de la definición 1que es común usar si se
hace que ℎ denote la diferencia ℎ = 𝑥 − 𝑥0 entonces decir que 𝑥 → 𝑥0 es equivalente a decir
ℎ → 0 por lo que la formula puede reescribirse en términos de 𝑥0 y ℎ como
𝑚 𝑡𝑎𝑛 = lím
ℎ→0
𝑓(𝑥0 + ℎ) − 𝑓(𝑥0)
ℎ
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DEFINICIÓN DE LA FUNCIÓN DERIVADA
En la sección anterior se demostró que si el límite
lím
ℎ→0
𝑓(𝑥0 + ℎ) − 𝑓(𝑥0)
ℎ
Existe, entonces puede interpretarse como la pendiente a la recta tangente a la curva 𝑦 =
𝑓(𝑥) en el punto 𝑥 = 𝑥0, este límite es tan importante que tiene una notación especial:
𝑓′(𝑥0) = lím
ℎ→0
𝑓(𝑥0 + ℎ) − 𝑓(𝑥0)
ℎ
Puede pensarse en 𝑓′
(léase 𝑓′
prima) como una función cuya entrada es 𝑥0 y cuya salida es
el número 𝑓′(𝑥0) que representa la pendiente de la recta tangente a 𝑦 = 𝑓(𝑥) en el punto 𝑥 =
𝑥0, para enfatizar esta definición se sustituye 𝑥0 por 𝑥 y se enuncia la siguiente definición.
Definición 2. La función 𝑓′ definida por la fórmula
𝑓′(𝑥) = lím
ℎ→0
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ
Recibe el nombre de la derivada de 𝑓 con respecto a 𝑥. El domino de 𝑓′ coniste en todas
las 𝑥 en el domino de 𝑓para las que el límite existe.
El termino derivada se usa debido a que la función 𝑓′ deriva de 𝑓 por un proceso de límite.
Cuando la variable independiente es 𝑥 la operación derivación suele denotarse también por
𝑓′(𝑥) =
𝑑
𝑑𝑥
[𝑓(𝑥)] O 𝑓′(𝑥) = 𝐷 𝑥[𝑓(𝑥)]
En el caso en que hay una variable dependiente 𝑦 = 𝑓(𝑥), la derivada suele denotarse
también
𝑓′(𝑥) =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
O 𝑓′(𝑥) = y′(𝑥)
5
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TÉCNICAS BÁSICAS DE DERIVACIÓN
Teorema 1. La derivada de una función constantes es 0
Si 𝑓(𝑥) = 𝑐 entonces 𝑓′(𝑥) = 0
Ejemplo:
𝑑
𝑑𝑥
[4] = 0
Teorema 2. (La regla de la potencia)
Si 𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑛
entonces 𝑓′(𝑥) = 𝑛𝑥 𝑛−1
Ejemplo:
𝑑
𝑑𝑥
[𝑥2] = 2x
𝑑
𝑑𝑥
[
1
𝑥4
] =
𝑑
𝑑𝑥
[𝑥−4] = −4𝑥−4−1
= −4𝑥−5
= −
4
𝑥5
Teorema 3. Derivada de una función por una constante
Si 𝑓(𝑥) = 𝑐. (𝑔(𝑥)) entonces 𝑓′(𝑥) = 𝑐. (𝑔′(𝑥))
Ejemplo:
Si 𝑓(𝑥) = 4. 𝑥2
entonces 𝑓′(𝑥) = 4 . 2𝑥 = 8𝑥
Teorema 4. Derivadas de sumas y diferencias, sean 𝑢(𝑥) y 𝑣(𝑥) funciones diferenciables.
Si 𝑓(𝑥) = 𝑢(𝑥) + 𝑣(𝑥) entonces 𝑓′(𝑥) = 𝑢′(𝑥) + 𝑣′(𝑥)
Si 𝑓(𝑥) = 𝑢(𝑥) − 𝑣(𝑥) entonces 𝑓′(𝑥) = 𝑢′(𝑥)
− 𝑣′(𝑥)
Ejemplo:
Si 𝑓(𝑥) = 𝑥3
− 5𝑥2
entonces 𝑓′(𝑥) = 3𝑥2
− 10𝑥
6
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Teorema 5. Regla del producto, sean 𝑢(𝑥) y 𝑣(𝑥) funciones diferenciables.
Si 𝑓(𝑥) = 𝑢(𝑥) ∙ 𝑣(𝑥) entonces 𝑓′(𝑥) = 𝑢′
(𝑥) ∙ 𝑣(𝑥) + 𝑣′(𝑥) ∙ 𝑢(𝑥)
Ejemplo:
Si 𝑓(𝑥) = (𝑥2
− 5) (𝑥 − 1) luego
𝑓′(𝑥) = (2𝑥)(𝑥 − 1) + 1 ∙ (𝑥2
− 5) = 2𝑥2
− 2𝑥 + 𝑥2
− 5
𝑓′(𝑥) = 3𝑥2
− 2𝑥 − 5
Teorema 6. Regla del cociente, sean 𝑢(𝑥) y 𝑣(𝑥) funciones diferenciables.
Si 𝑓(𝑥) =
𝑢(𝑥)
𝑣(𝑥)
entonces 𝑓′( 𝑥) =
𝑢′(𝑥).𝑣(𝑥)−𝑣′(𝑥).𝑢(𝑥)
[𝑣(𝑥)]2
Ejemplo:
Si 𝑓(𝑥) =
(𝑥2−5)
(𝑥−1)
luego
𝑓′(𝑥) =
2𝑥 ∙ (𝑥 − 1) − 1 ∙ (𝑥2
− 5)
(𝑥 − 1)2
𝑓′(𝑥) =
2𝑥2
− 2𝑥 − 𝑥2
+ 5
(𝑥 − 1)2
𝑓′(𝑥) =
𝑥2
− 2𝑥 + 5
(𝑥 − 1)2
Teorema 7. Regla de la cadena, sean 𝑢(𝑥) y 𝑣(𝑥) funciones diferenciables.
Si 𝑓(𝑥) = 𝑢(𝑣(𝑥)) entonces 𝑓′( 𝑥) = 𝑢′(𝑣( 𝑥)) ∙ 𝑣´(𝑥)
Ejemplo:
Si 𝑓(𝑥) = (𝑥2
− 5)2
luego 𝑢( 𝑥) = 𝑥2
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− 5

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Guia derivadas

  • 1. 1 Licenciado Ysmael González – v 1.0 - https://sites.google.com/site/ydavgonzalez/ DERIVADAS DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE AUTOR: LICENCIADO YSMAEL D. GONZÁLEZ H. SANTAANA DE CORO, JULIO DE 2015 REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL “FRANCISCO DE MIRANDA” DEPARTAMENTO DE FÍSICA Y MATEMÁTICA
  • 2. 2 Licenciado Ysmael González – v 1.0 - https://sites.google.com/site/ydavgonzalez/ RECTAS TANGENTES Conociendo el concepto de límite se puede dar una definición matemática de recta tangente a una curva 𝑦 = 𝑓(𝑥) en el punto 𝑃(𝑥0, 𝑓(𝑥0) de la curva. Si se considera el punto 𝑄(𝑥, 𝑓(𝑥)) sobre la curva que sea diferente de 𝑃 y se calcula la pendiente 𝑚 𝑝𝑞 de la recta secante que pasa por 𝑃 y 𝑄: 𝑚 𝑝𝑞 = 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥0) 𝑥 − 𝑥0 Si se hace que 𝑥 tienda a 𝑥0, entonces el punto 𝑄 se moverá a lo largo de la curva y se acercara al punto 𝑃. Si la recta secante que pasa por 𝑃 y 𝑄 tiende a una posición límite cuando 𝑥 → 𝑥0, entonces se considerará esta posición como la posición de la recta tangente en 𝑃. Dicho de otra manera, si la pendiente 𝑚 𝑝𝑞 de la recta secante que pasa por 𝑃 y 𝑄 tiende a un límite cuando 𝑥 → 𝑥0, entonces se considerara que ese límite es la pendiente 𝑚 𝑝𝑞 de la recta tangente en 𝑃. Se llega a la siguiente definición. 𝑃(𝑥0, 𝑓(𝑥0) 𝑄(𝑥, 𝑓(𝑥)) 𝑦 = 𝑓(𝑥) Recta tangente Recta secante
  • 3. 3 Licenciado Ysmael González – v 1.0 - https://sites.google.com/site/ydavgonzalez/ Definición 1: Suponga que 𝑥0 está en dominio de la función 𝑓. La recta tangente a la curva 𝑦 = 𝑓(𝑥) en el punto 𝑃(𝑥0, 𝑓(𝑥0) es la recta con ecuación 𝑦 − 𝑓(𝑥0) = 𝑚 𝑡𝑎𝑛(𝑥 − 𝑥0) donde 𝑚 𝑡𝑎𝑛 = lím 𝑥→𝑥0 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥0) 𝑥 − 𝑥0 siempre y cuando el límite exista. Para abreviar, también se le llamara la recta tangente a 𝑦 = 𝑓(𝑥) en 𝑥0. Ejemplo: use la definición anterior para encontrar la ecuación de la recta tangente a la parábola 𝑦 = 𝑥2 en el punto 𝑃(1,1). 𝑚 𝑡𝑎𝑛 = lim 𝑥→1 𝑓(𝑥) − 𝑓(1) 𝑥 − 1 𝑚 𝑡𝑎𝑛 = lim 𝑥→1 𝑥2 − 1 𝑥 − 1 𝑚 𝑡𝑎𝑛 = lim 𝑥→1 (𝑥 − 1)(𝑥 + 1) 𝑥 − 1 𝑚 𝑡𝑎𝑛 = lim 𝑥→1 (𝑥 + 1) = 2 Luego, la recta tangente a 𝑦 = 𝑥2 en (1,1) tiene la ecuación 𝑦 − 1 = 2(𝑥 − 1) 𝑦 = 2𝑥 − 1 Hay una fórmula alternativa de expresar la fórmula de la definición 1que es común usar si se hace que ℎ denote la diferencia ℎ = 𝑥 − 𝑥0 entonces decir que 𝑥 → 𝑥0 es equivalente a decir ℎ → 0 por lo que la formula puede reescribirse en términos de 𝑥0 y ℎ como 𝑚 𝑡𝑎𝑛 = lím ℎ→0 𝑓(𝑥0 + ℎ) − 𝑓(𝑥0) ℎ
  • 4. 4 Licenciado Ysmael González – v 1.0 - https://sites.google.com/site/ydavgonzalez/ DEFINICIÓN DE LA FUNCIÓN DERIVADA En la sección anterior se demostró que si el límite lím ℎ→0 𝑓(𝑥0 + ℎ) − 𝑓(𝑥0) ℎ Existe, entonces puede interpretarse como la pendiente a la recta tangente a la curva 𝑦 = 𝑓(𝑥) en el punto 𝑥 = 𝑥0, este límite es tan importante que tiene una notación especial: 𝑓′(𝑥0) = lím ℎ→0 𝑓(𝑥0 + ℎ) − 𝑓(𝑥0) ℎ Puede pensarse en 𝑓′ (léase 𝑓′ prima) como una función cuya entrada es 𝑥0 y cuya salida es el número 𝑓′(𝑥0) que representa la pendiente de la recta tangente a 𝑦 = 𝑓(𝑥) en el punto 𝑥 = 𝑥0, para enfatizar esta definición se sustituye 𝑥0 por 𝑥 y se enuncia la siguiente definición. Definición 2. La función 𝑓′ definida por la fórmula 𝑓′(𝑥) = lím ℎ→0 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) ℎ Recibe el nombre de la derivada de 𝑓 con respecto a 𝑥. El domino de 𝑓′ coniste en todas las 𝑥 en el domino de 𝑓para las que el límite existe. El termino derivada se usa debido a que la función 𝑓′ deriva de 𝑓 por un proceso de límite. Cuando la variable independiente es 𝑥 la operación derivación suele denotarse también por 𝑓′(𝑥) = 𝑑 𝑑𝑥 [𝑓(𝑥)] O 𝑓′(𝑥) = 𝐷 𝑥[𝑓(𝑥)] En el caso en que hay una variable dependiente 𝑦 = 𝑓(𝑥), la derivada suele denotarse también 𝑓′(𝑥) = 𝑑𝑦 𝑑𝑥 O 𝑓′(𝑥) = y′(𝑥)
  • 5. 5 Licenciado Ysmael González – v 1.0 - https://sites.google.com/site/ydavgonzalez/ TÉCNICAS BÁSICAS DE DERIVACIÓN Teorema 1. La derivada de una función constantes es 0 Si 𝑓(𝑥) = 𝑐 entonces 𝑓′(𝑥) = 0 Ejemplo: 𝑑 𝑑𝑥 [4] = 0 Teorema 2. (La regla de la potencia) Si 𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑛 entonces 𝑓′(𝑥) = 𝑛𝑥 𝑛−1 Ejemplo: 𝑑 𝑑𝑥 [𝑥2] = 2x 𝑑 𝑑𝑥 [ 1 𝑥4 ] = 𝑑 𝑑𝑥 [𝑥−4] = −4𝑥−4−1 = −4𝑥−5 = − 4 𝑥5 Teorema 3. Derivada de una función por una constante Si 𝑓(𝑥) = 𝑐. (𝑔(𝑥)) entonces 𝑓′(𝑥) = 𝑐. (𝑔′(𝑥)) Ejemplo: Si 𝑓(𝑥) = 4. 𝑥2 entonces 𝑓′(𝑥) = 4 . 2𝑥 = 8𝑥 Teorema 4. Derivadas de sumas y diferencias, sean 𝑢(𝑥) y 𝑣(𝑥) funciones diferenciables. Si 𝑓(𝑥) = 𝑢(𝑥) + 𝑣(𝑥) entonces 𝑓′(𝑥) = 𝑢′(𝑥) + 𝑣′(𝑥) Si 𝑓(𝑥) = 𝑢(𝑥) − 𝑣(𝑥) entonces 𝑓′(𝑥) = 𝑢′(𝑥) − 𝑣′(𝑥) Ejemplo: Si 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 5𝑥2 entonces 𝑓′(𝑥) = 3𝑥2 − 10𝑥
  • 6. 6 Licenciado Ysmael González – v 1.0 - https://sites.google.com/site/ydavgonzalez/ Teorema 5. Regla del producto, sean 𝑢(𝑥) y 𝑣(𝑥) funciones diferenciables. Si 𝑓(𝑥) = 𝑢(𝑥) ∙ 𝑣(𝑥) entonces 𝑓′(𝑥) = 𝑢′ (𝑥) ∙ 𝑣(𝑥) + 𝑣′(𝑥) ∙ 𝑢(𝑥) Ejemplo: Si 𝑓(𝑥) = (𝑥2 − 5) (𝑥 − 1) luego 𝑓′(𝑥) = (2𝑥)(𝑥 − 1) + 1 ∙ (𝑥2 − 5) = 2𝑥2 − 2𝑥 + 𝑥2 − 5 𝑓′(𝑥) = 3𝑥2 − 2𝑥 − 5 Teorema 6. Regla del cociente, sean 𝑢(𝑥) y 𝑣(𝑥) funciones diferenciables. Si 𝑓(𝑥) = 𝑢(𝑥) 𝑣(𝑥) entonces 𝑓′( 𝑥) = 𝑢′(𝑥).𝑣(𝑥)−𝑣′(𝑥).𝑢(𝑥) [𝑣(𝑥)]2 Ejemplo: Si 𝑓(𝑥) = (𝑥2−5) (𝑥−1) luego 𝑓′(𝑥) = 2𝑥 ∙ (𝑥 − 1) − 1 ∙ (𝑥2 − 5) (𝑥 − 1)2 𝑓′(𝑥) = 2𝑥2 − 2𝑥 − 𝑥2 + 5 (𝑥 − 1)2 𝑓′(𝑥) = 𝑥2 − 2𝑥 + 5 (𝑥 − 1)2 Teorema 7. Regla de la cadena, sean 𝑢(𝑥) y 𝑣(𝑥) funciones diferenciables. Si 𝑓(𝑥) = 𝑢(𝑣(𝑥)) entonces 𝑓′( 𝑥) = 𝑢′(𝑣( 𝑥)) ∙ 𝑣´(𝑥) Ejemplo: Si 𝑓(𝑥) = (𝑥2 − 5)2 luego 𝑢( 𝑥) = 𝑥2 y 𝑣( 𝑥) = 𝑥2 − 5
  • 7. 7 Licenciado Ysmael González – v 1.0 - https://sites.google.com/site/ydavgonzalez/ 𝑓′(𝑥) = 2(𝑥2 − 5) ∙ (2𝑥) 𝑓′(𝑥) = 4𝑥2 − 20𝑥 Teorema 8. Potencia de una función. Sea 𝑢(𝑥) una función diferenciable. Si 𝑓(𝑥) = [𝑢(𝑥)] 𝑛 entonces 𝑓′(𝑥) = 𝑛 ∙ [𝑢(𝑥)] 𝑛−1 ∙ 𝑢′ Ejemplo: Si 𝑓(𝑥) = (𝑥3 − 𝑥)3 luego 𝑓′(𝑥) = 3(𝑥3 − 𝑥)2 ∙ (3 𝑥2 − 1) 𝑓′(𝑥) = 3(𝑥6 − 2𝑥4 +𝑥2 ) ∙ (3 𝑥2 − 1) 𝑓′(𝑥) = 3(3𝑥8 − 6𝑥6 +3𝑥4 −𝑥6 + 2𝑥4 −𝑥2 ) 𝑓′(𝑥) = 3(3𝑥8 − 7𝑥6 + 5𝑥4 −𝑥2 ) 𝑓′(𝑥) = 9𝑥8 − 21𝑥6 + 15𝑥4 −3𝑥2 ) Esta regla constituye un caso especial de la regla de la potencia donde 𝑢(𝑥) es 𝑥. DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICA, LOGARITMICAS Y EXPONENCIALES Teorema 9. Derivadas de funciones trigonométricas, sea 𝑢(𝑥) una función diferenciable. Si 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑢(𝑥)) entonces 𝑓′(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠(𝑢(𝑥)) ∙ 𝑢´(𝑥) Si 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠(𝑢(𝑥)) entonces 𝑓′(𝑥) = −𝑠𝑒𝑛(𝑢(𝑥)) ∙ 𝑢´(𝑥) Si 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑎𝑛(𝑢(𝑥)) entonces 𝑓′(𝑥) = 𝑠𝑒𝑐2 (𝑢(𝑥)) ∙ 𝑢´(𝑥) Si 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑐(𝑢(𝑥)) entonces 𝑓′(𝑥) = 𝑠𝑒𝑐(𝑢(𝑥)) ∙ 𝑡𝑎𝑛(𝑢(𝑥)) ∙ 𝑢´(𝑥) Si 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑡(𝑢(𝑥)) entonces 𝑓′(𝑥) = −𝑐𝑠𝑐2 (𝑢(𝑥)) ∙ 𝑢´(𝑥) Si 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑠𝑐(𝑢(𝑥)) entonces 𝑓′(𝑥) = −𝑐𝑠𝑐(𝑢(𝑥)) ∙ 𝑐𝑜𝑡(𝑢(𝑥)) ∙ 𝑢´(𝑥)
  • 8. 8 Licenciado Ysmael González – v 1.0 - https://sites.google.com/site/ydavgonzalez/ Ejemplo: Si 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) entonces 𝑓′(𝑥) = cos(𝑥) Si 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠(𝑥3) entonces 𝑓′(𝑥) = −𝑠𝑒𝑛(𝑥3) ∙ (𝑥3)′ = −3𝑥2 𝑠𝑒𝑛(𝑥3) Si 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑠𝑐(𝑠𝑒𝑛(𝑥)) entonces 𝑓′(𝑥) = −𝑐𝑠𝑐(𝑠𝑒𝑛(𝑥))𝑐𝑜𝑡(𝑠𝑒𝑛(𝑥))𝑐𝑜𝑠(𝑥) Teorema 10. Derivadas de funciones logarítmicas, sea 𝑢(𝑥) una función diferenciable Si 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛(𝑢(𝑥)) entonces 𝑓′(𝑥) = 𝑢´(𝑥) 𝑢(𝑥) Si 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔 𝑏(𝑢(𝑥)) entonces 𝑓′(𝑥) = 𝑢´(𝑥) 𝑢(𝑥)∙ 𝑙𝑛𝑏 Ejemplo: Si 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛(𝑥3) entonces 𝑓′(𝑥) = 3𝑥2 𝑥3 = 3 𝑥 Si 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔10(𝑥2) entonces 𝑓′(𝑥) = 2𝑥 𝑥3∙ln(10) = 2 𝑥∙ln(10) Teorema 10. Derivadas de funciones exponenciales, sea 𝑢(𝑥) una función diferenciable Si 𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑢(𝑥) entonces 𝑓′(𝑥) = 𝑒 𝑢(𝑥) ∙ 𝑢′(𝑥) Si 𝑓(𝑥) = 𝑏 𝑢(𝑥) entonces 𝑓′(𝑥) = 𝑏 𝑢(𝑥) ∙ ln(𝑏) ∙ 𝑢′(𝑥) Ejemplos: Si 𝑓(𝑥) = 𝑒4𝑥 entonces 𝑓′(𝑥) = 𝑒4𝑥 ∙ 4 = 4𝑒4𝑥 Si 𝑓(𝑥) = 10 𝑥2 entonces 𝑓′(𝑥) = 10 𝑥2 ∙ ln(10) ∙ 2𝑥 = 2𝑥 ln(10) 10 𝑥2
  • 9. 9 Licenciado Ysmael González – v 1.0 - https://sites.google.com/site/ydavgonzalez/ DERIVACIÓN IMPLICITA Se dice que una ecuación de la forma 𝑦 = 𝑓(𝑥) define a 𝑦 explícitamente como una función de 𝑥 porque la variable 𝑦 aparece sola e uno de los lados de la ecuación. Sin embargo, en ocasiones las funciones están definida por ecuaciones en las que 𝑦 no está sola en uno de los lados de la ecuación; por ejemplo, la ecuación 𝑦𝑥 + 𝑦 + 1 = 𝑥 No es de la forma 𝑦 = 𝑓(𝑥) pero si define a 𝑦 como una función de 𝑥 ya que puede reescribirse como 𝑦 = 𝑥 − 1 𝑥 + 1 Por lo tanto la ecuación 𝑦𝑥 + 𝑦 + 1 = 𝑥 define a 𝑦 implícitamente como una función de 𝑥. En general, no es necesario resolver una ecuación para 𝑦 en términos de 𝑥 para poder derivar las funciones definidas implícitamente por la ecuación. Ejemplo: Utilice la derivación implícita para encontrar 𝑑𝑦 𝑑𝑥 si 5𝑦2 + 𝑠𝑒𝑛(𝑦) = 𝑥2 Es posible derivar ambos lados tratando a 𝑦 como una función derivable de 𝑥 (aún no especificada). 𝑑 𝑑𝑥 [5𝑦2 + 𝑠𝑒𝑛( 𝑦)] = 𝑑 𝑑𝑥 [𝑥2 ] 5 𝑑 𝑑𝑥 [𝑦2 ] + 𝑑 𝑑𝑥 [𝑠𝑒𝑛( 𝑦)] = 2𝑥 5 (2𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 ) + 𝑐𝑜𝑠( 𝑦) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 2𝑥 10𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 𝑐𝑜𝑠( 𝑦) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 2𝑥 Resolviendo para 𝑑𝑦 𝑑𝑥 se obtiene Se usa aquí la regla de la cadena porque 𝑦 es una función de 𝑥.
  • 10. 10 Licenciado Ysmael González – v 1.0 - https://sites.google.com/site/ydavgonzalez/ (10𝑦 + 𝑐𝑜𝑠( 𝑦)) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 2𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 2𝑥 10𝑦 + 𝑐𝑜𝑠( 𝑦) DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR La segunda derivada: La derivada 𝑓′ de la función 𝑓 recibe el nombre de primera derivada de la función. El adjetivo primera sirve para distinguir esta derivada de las otras relacionadas con una función. El orden de la misma es 1. La segunda derivada 𝑓′′ de una función es la derivada de la primera. En 𝑥 se denota por 𝑑2 𝑦 𝑑𝑥2 o bien 𝑓′′(𝑥), la segunda derivada se determina aplicando las mismas reglas de la diferenciación que se usaran para calcular la primera derivada. 𝒇(𝒙) 𝒇′(𝒙) 𝒇′′(𝒙) 𝑥6 6𝑥5 30𝑥4 𝑥2 − 5𝑥 + 6 2𝑥 − 5 2 𝑒 𝑥 𝑒 𝑥 𝑒 𝑥 ln(𝑥) 1 𝑥 − 1 𝑥2 Derivadas de orden superior Definición 3: Derivada de n-ésimo orden. La derivada de n-ésimo orden de 𝑓, denotada por 𝑓(𝑛) , se encuentra al diferenciar la derivada de orden 𝑛 − 1 en 𝑥, es decir, 𝑓(𝑛) (𝑥) = 𝑑 𝑑𝑥 [𝑓(𝑛−1) (𝑥)] Ejemplo: Dada 𝑓(𝑥) = 𝑥5 − 5𝑥4 + 𝑥3 − 3𝑥2 + 𝑥 − 12 𝑓′(𝑥) = 5𝑥4 − 20𝑥3 + 3𝑥2 − 6𝑥 + 1
  • 11. 11 Licenciado Ysmael González – v 1.0 - https://sites.google.com/site/ydavgonzalez/ 𝑓′′(𝑥) = 20𝑥3 − 60𝑥2 + 6𝑥 − 6 𝑓′′′(𝑥) = 60𝑥2 − 120𝑥 + 6 𝑓(4) (𝑥) = 120𝑥 − 120 𝑓(5) (𝑥) = 120 𝑓(6) (𝑥) = 0 Todas las demás derivadas de orden superior serán también0.
  • 12. 12 Licenciado Ysmael González – v 1.0 - https://sites.google.com/site/ydavgonzalez/ REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Anton, H., Bivens, I. y Davis, S. (2010) Cálculo de una variable: Trascedentes tempranas. 2° Edición (pp. 165-255) Budnick, F. (2007) Matemáticas aplicadas para administración, economía y ciencias sociales. 4° edición (pp. 728-767)