Se ha denunciado esta presentación.
Utilizamos tu perfil de LinkedIn y tus datos de actividad para personalizar los anuncios y mostrarte publicidad más relevante. Puedes cambiar tus preferencias de publicidad en cualquier momento.
Materi.
1). Logika Proposisi.
a). Pengenalan Informal
b). Penghubung Logis (Operator, Functor)
c). Tabel Kebenaran dp Form...
Buku Teks.
Edmund Burke and Eric Foxley , 1996 ; “Logic and Its Applications” ,
Prentice Hall .
Buku Referensi .
1). Arind...
Logika Proposisional
Pengenalan Informal

Andaikan p dan q variabel yang menyajikan proposisi logis. Mereka
menyajikan per...
Logika Proposisional
Pengenalan Informal

Logika adalah suatu system berbasis proposisi.
Suatu proposisi adalah suatu pern...
Logika Proposisional
Pengenalan Informal

Variabel-variabel tersebut diatas dihubungkan dengan mengguna
kan penghubung log...
Logika Proposisional
Pengenalan Informal

Perhatikan kalimat-kalimat sebagai berikut :
1) Tutuplah pintu itu
2) Dilarang m...
Permainan.
The Statement/Proposition Game
“Gajah lebih besar daripada tikus.”
Apakah ini suatu pernyataan?

yes

Apakah in...
Permainan.
The Statement/Proposition Game
“520 < 111”

Apakah ini suatu pernyataan ?

yes

Apakah ini suatu proposisi?

ye...
Permainan.
The Statement/Proposition Game
“y > 5”
Apakah ini suatu statement?

yes

Apakah ini suatu proposisi?

no

Nilai...
Permainan.
The Statement/Proposition Game
“Hari ini Jan. 28 and 99 < 5.”

Apakah suatu statement?

yes

Apakah ini suatu p...
Permainan.
The Statement/Proposition Game
“Please do not fall asleep.”

Apakah ini suatu pernyataan?

no

Ia adalah suatu ...
Permainan.
The Statement/Proposition Game
“Jika gajah berwarna merah,
Mereka dapat sembunyi dibawah pohon perdu.”

Apakah ...
Permainan.
The Statement/Proposition Game
“x < y if and only if y > x.”

Apakah ini suatu pernyataan?

Apakah ini suatu pr...
Logika Proposisional
Pengenalan Informal

Definisi .
Proposisi adalah kalimat deklaratif (atau pernyata an) yang
memiliki ...
Logika Proposisional
Pengenalan Informal

Jika atom-atom akan dikombinasikan untuk memperoleh proposisi baru
maka diperluk...
Logika Proposisional
Penggandeng Logis (Logical Connectives)

1) Negasi (not)
Jika p sebarang proposisi, pernyataan “not p...
Logika Proposisional
Penggandeng Logis (Logical Connectives)

2) Konjungsi/conjunction (and)
Konjungsi adalah suatu operat...
Logika Proposisional

Penggandeng Logis (Logical Connectives)

p

q

T
T
F
F

p

T
F
T
F

q
T
F
F
F

Tabel kebenaran juga ...
Logika Proposisional
Penggandeng Logis (Logical Connectives)

Bentuk terakhir ini hanya dapat digunakan hanya untuk fungsi...
Logika Proposisional
Penggandeng Logis (Logical Connectives)

3) Disjungsi (or)
Disjungsi yang juga ada yang menyebut deng...
Logika Proposisional
Penggandeng Logis (Logical Connectives)

p

q

p

T
T
F
F

T
F
T
F

q

T
T
T
F

Sifat :
1) Komutatif ...
Logika Proposisional
Penggandeng Logis (Logical Connectives)
• Perhatikan bahwa terdapat dua pengertian or yaitu “inclusif...
Logika Proposisional
Penggandeng Logis (Logical Connectives)

4) Implikasi (Implication)
Arti dp pernyataan “If p then q” ...
Logika Proposisional
Penggandeng Logis (Logical Connectives)

p q

T
T
F
F

T
F
T
F

p

q

T
F
T
T

Pernyataan berikut ada...
Logika Proposisional
Penggandeng Logis (Logical Connectives)

Untuk penjelasan ini maka perhatikan kalimat :

“Jika Anita ...
Logika Proposisional
Penggandeng Logis (Logical Connectives)

p

q

T
T
F
F

T
F
T
F

kondisional konversi
p q
q p

T
F
T
...
Logika Proposisional
Penggandeng Logis (Logical Connectives)

Perhatikan bahwa : pernyataan p q selalu mempunyai tabel
keb...
Resume
, , ,→
p
p
s
p r
q
.

T
F
.

p

T
T
F
F

T
F
T
F

q

T
T
T
F

p
Negasi

.

q

F
T
p

q

p

q
Disjungsi

p q

T
T
F
...
Resume

p q

T
T
F
F

T
F
T
F

p

q

Kondi
sional
p q

F
F
T
T

F
T
F
T

T
F
T
T

Kon
versi
q p

T
T
F
T

Inver
si
p
q

T
...
Logika Proposisional
Penggandeng Logis (Logical Connectives)

5) Ekuivalensi
Pernyataan “ p ekuivalen dengan q” mempunyai ...
Logika Proposisional
Penggandeng Logis (Logical Connectives)

p q
T
T
F
F

T
F
T
F

p

q

T
F
F
T

Sifat :
1) Komutatif ; ...
Logika Proposisional
Penggandeng Logis (Logical Connectives)

Perhatikan bahwa ia juga dapat dipikirkan sebagai pernyataan...
Logika Proposisional
Penggandeng Logis (Logical Connectives)
Notasi jumlahan dan produk seperti pada aljabar maka didapat ...
Logika Proposisional
Penggandeng Logis (Logical Connectives)

Prioritas Operator
Terkuat monadika ( )
Untuk diadika terkua...
Soal-Soal
Mana yang pernyataan dan mana yang bukan
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.

Tasikmalaya adalah ibukota propinsi Jawa Ba...
Soal-soal
1. Tuliskan kalimat dibawah ini dengan simbol logika
a. Saya akan berlibur ke Bali hanya jika saya lulus ujian
b...
Soal-soal

2. Tentukan nilai kebenaran pernyataan-pernyataan dibawah ini :
a. Jika Jakarta bukan ibukota RI, maka 9 juga b...
Soal-soal
3. Tentukan nilai kebenaran daripada :
a. Syarat perlu dan cukup agar 7 merupakan bilangan prima adalah
Kebumen ...
Logika Informasi
Materi.
1). Logika Proposisi.
a). Pengenalan Informal
b). Penghubung Logis (Operator, Functor)
c). Tabel ...
Logika Proposisional

(Notasi operator logis/functor)

Operator

Notasi lainnya

Burke

Kuliah
Daliyo

Konjungsi

p &q

p....
Logika Proposisional

(Notasi Polandia/Tabel Kebenaran)
Notasi Polandia juga disebut Lukasiewics atau sebagai notasi bebas...
Logika Proposisional

(Notasi Polandia/Tabel Kebenaran)
Catatan. (Untuk Notasi Polandia)
1).Perhatikan bahwa pada masing-m...
Logika Proposisional

(Notasi Polandia/Tabel Kebenaran)
Lukasiewicz (Notasi Polandia) menggunakan operator dengan huruf be...
Logika Proposisional

(Notasi Polandia/Tabel Kebenaran)
Beberapa Contoh.

Infix

Polandia

p

r)

KpAqr

(p

q)

r

AKpqr
...
Logika Proposisional

(Notasi Polandia/Tabel Kebenaran)
Beberapa Contoh.

1). p

q

2). p

r

(p

3). AEqNqq

q

s dapat d...
Logika Proposisional
(Notasi operator logis/functor)

Contoh :

1. Notasi Polandia
: Epq
Disajikan dalam notasi yang lain....
Logika Proposisional
(Notasi operator logis/functor)
Contoh :

Notasi Polandia
: E CKpqr CpCpr
Disajikan dalam notasi yang...
Logika Proposisional
(Notasi operator logis/functor)

Contoh

((p q) r)
(Kpq)
r)
C(Kpq)r
C(Kpq)r
C(Kpq)r
C(Kpq)r
C(Kpq)r

...
Logika Proposisional

(Notasi operator logis/functor)
Prioritas dp Operator.
Seperti pd ungkapan dlm ilmu hitung, maka did...
Logika Proposisional

(Notasi operator logis/functor)
Operator yang mempunyai prioritas sama dilakukan dengan urutan dari ...
Logika Proposisional
(Tabel Kebenaran dp Formula)

Bagaimana membangun tabel kebenaran :
Satu tabel kebenaran dapat ditent...
Logika Proposisional
(Tabel Kebenaran dp Formula)

Untuk bentuk yang lebih komplek adalah :
( (p

q)

(( p)

( q)))

Uruta...
Logika Proposisional
(Tabel Kebenaran dp Formula)

Untuk formula dengan 3 variabel maka akan didapat 2^3 = 8 baris
, untuk...
Logika Proposisional
[Tabel Kebenaran (TK) Identis]

Simbol =T berarti bahwa pada tabel kebenaran, dua formula mempu
nyai ...
Logika Proposisional
[Interpretasi dan Model]

Andaikan P adalah formula proposisi ( perhatikan disini digunakan
huruf mur...
Logika Proposisional [ Interpretasi dan Model ]

Andaikan S suatu himpunan daripada formula proposisi, suatu inter
pretasi...
Logika Proposisional
[interpretasi dan Model]

p q
I1
I2
I3
I4

T
T
T
T

F
T
T
T

T
T
F
T

r
T
T
F
F

s

p
F
T
T
T

q

q
T...
Logika Proposisional

[Tautologi, Absurditi dan Formula Campur]
Tautologi

Sebarang formula yang selalu bernilai kebenaran...
Logika Proposisional

[Tautologi, Absurditi dan Formula Campur]

Contoh :

karena untuk

p

p adalah Tautologi

I1 : p = T...
Logika Proposisional
[Tautologi, Absurditi dan Formula Campur]
Tabel dari kebenaran p

p adalah :

p
T

p
F

F

T

Tabel d...
Logika Proposisional

[Tautologi, Absurditi dan Formula Campur]
Perhatikan hubungan antara metasimbol =T dng ╞ yang dapat ...
Logika Proposisional
[Tautologi, Absurditi dan Formula Campur]

Tautologi
Dikatakan bahwa dua formula P dan Q adl Ekuivale...
Logika Proposisional
[Tautologi, Absurditi dan Formula Campur]
Absurditi/Kontradiksi

Sebarang formula yang selalu bernila...
Logika Proposisional
[Tautologi, Absurditi dan Formula Campur]
Absurditi/Kontradiksi

Contoh :

( p

p) dan (p

p)

adalah...
Logika Proposisional
[Tautologi, Absurditi dan Formula Campur]
Formula Campur

Sebarang formula yang, tergantung pada nila...
Logika Proposisional
[Tautologi, Absurditi dan Formula Campur]
Formula Campur

p
1
T
T
F
F

(
4 2
T F
T T
F F
T T

q
1 3
T...
Logika Proposisional
Definisi Valid, Satisfiable, Contradictory, Implies, Equivalent, Consistent
( Zohar Manna and Richard...
Logika Proposisional

Definisi Valid, Satisfiable, Contradictory, Implies, Equivalent, Consistent
( Zohar Manna and Richar...
Logika Proposisional
[Penggandeng Logis lainnya]

Fungsi Kebenaran/Truth Functions

Fungsi Kebenaran (kadang disebut suatu...
Logika Proposisional
[Penggandeng Logis lainnya]
Operator Monadika

Terdapat 4 (=2^2) kemungkinan tabel-kebenaran untuk
op...
Logika Proposisional
[Penggandeng Logis lainnya]
Operator Diadika

p

q

g0 g 1 g2 g3 g4 g5 g6 g7 g8 g9 h0 h1 h2 h3 h4 h5
...
Logika Proposisional
[Penggandeng Logis lainnya]
Operator Diadika

p

q

g0 g1 g2 g3 g4 g5 g6 g7 g8 g9 h0 h1 h2 h3 h4 h5

...
Logika Proposisional
[Penggandeng Logis lainnya]
Operator Triadika

Operator triadika mempunyai 3 (tiga) operand. Dari 256...
Logika Proposisional

[Penggandeng Logis lainnya]

Operator Triadika

1) Disjungsi terkondisi;
Ditulis [p,q,r] , diartikan...
Logika Proposisional

[Penggandeng Logis lainnya]

Operator Triadika

2) Inkompatibelitas terkondisi;
Ditulis [[p,q,r]] , ...
Logika Proposisional

[Penggandeng Logis lainnya]

Operator Triadika
p
1
T
T
T
T
F
F
F
F

4
T
T
T
F
F
F
T
F

Ternyata bahw...
Logika Proposisional

[Penggandeng Logis lainnya]
Operator Triadika

3) L2 Mayoritas;
Ditulis L2(p,q,r) , disini operand a...
Logika Proposisional

[Penggandeng Logis lainnya]
Operator Triadika

4) L1 Paling sedikit satu ;
Ditulis L1(p,q,r) , disin...
Logika Proposisional

[Penggandeng Logis lainnya]
Operator Triadika

4) L3 Paling sedikit tiga ;
Ditulis L3(p,q,r) , disin...
Logika Proposisional

[Penggandeng Logis lainnya]
Fungsi Kebenaran

Teorema :
Sebarang fungsi kebenaran f(p1 ,p2 , . . . p...
Pengertian Logika Informatika
Pengertian Logika Informatika
Próxima SlideShare
Cargando en…5
×

Pengertian Logika Informatika

Salahsatu materi tentang matakuliah Logika Informatika

  • Sé el primero en comentar

Pengertian Logika Informatika

  1. 1. Materi. 1). Logika Proposisi. a). Pengenalan Informal b). Penghubung Logis (Operator, Functor) c). Tabel Kebenaran dp Formula. d). Penghubung Logis yang lain. e). Memanipulasi Formula Proposisinal. f). Negasi dp Formula Proposisional. g). Argumen.
  2. 2. Buku Teks. Edmund Burke and Eric Foxley , 1996 ; “Logic and Its Applications” , Prentice Hall . Buku Referensi . 1). Arindama Singh , 2004 ; “Logics For Computer Science ”, Prentice Hall of India. 2). Manna, Z and Waldinger, R., 1985 , “ The Logical Basis for Computer Programming” , Addison-Wesley Publishing Company. Inc. 3). Suprapto, Logika Informatika, 2003, “Logika Informatika (Dasar-dasar Logika untuk Pemrograman Komputer & Perancangan Komputer) ”, Penerbit Gava Media Yogyakarta. 4). Setiadi Rachmat, 2004 , “ Pengantar Logika Matematika”, Penerbit Informatika Bandung.
  3. 3. Logika Proposisional Pengenalan Informal Andaikan p dan q variabel yang menyajikan proposisi logis. Mereka menyajikan pernyataan seperti misalnya : 1. Saya mempunyai uang 2. Benda ini tenggelam dalam air 3. Kotak ini berisi cabe 4. Bangkok adalah ibukota negara Vietnam 5. Ir.Sukarno adalah presiden pertama RI 6. “Kotagede” mempunyai 9 huruf. 7. Saya lapar 8. Benda ini padat 9. India merupakan suatu negara 10. 1 + 101 = 110 Masing-masing dapat bernilai satu dari nilai kebenaran yang tetap yaitu T(rue) atau F(alse)
  4. 4. Logika Proposisional Pengenalan Informal Logika adalah suatu system berbasis proposisi. Suatu proposisi adalah suatu pernyataan (statement) yang dapat ber”nilai” Benar (true) atau Salah (false) dan tidak keduanya. Dikatakan bahwa nilai kebenaran daripada suatu proposisi adl salah satu dari benar (true disajikan dng T) atau salah (false disajikan dengan F). Dalam untaian digital (digital circuits) disajikan dng 0 dan 1
  5. 5. Logika Proposisional Pengenalan Informal Variabel-variabel tersebut diatas dihubungkan dengan mengguna kan penghubung logis yang disebut operator atau functor. Sebagai contoh : 1) Saya mempunyai uang dan saya lapar 2) Jika balok mempunyai berat jenis lebih besar dari 1 maka ia (ba lok) akan tenggelam diair. 3) Ir. Sukarno presiden pertama RI dan ia proklamator negara RI 4) Saya berangkat kantor naik becak atau naik angkot. 5) Lampu mobil mati karena plentongnya mati atau kabelnya pu tus.
  6. 6. Logika Proposisional Pengenalan Informal Perhatikan kalimat-kalimat sebagai berikut : 1) Tutuplah pintu itu 2) Dilarang merokok 3) Nilai daripada x terletak diantara nol dan satu Kalimat-kalimat tersebut tidak dimasukkan dalam pembicaraan kita karena mereka tidak dapat ber “nilai” benar ataupun salah se dang yang terakhir tidak dimasukkan disini tetapi masuk dalam lo gika predikat karena ada variabel x yang nilainya belum ditentu kan.
  7. 7. Permainan. The Statement/Proposition Game “Gajah lebih besar daripada tikus.” Apakah ini suatu pernyataan? yes Apakah ini suatu proposisi? yes Apa nilai kebenaran daripada proposisi tersebut? true
  8. 8. Permainan. The Statement/Proposition Game “520 < 111” Apakah ini suatu pernyataan ? yes Apakah ini suatu proposisi? yes Apa nilai kebenaran daripada proposisi tersebut? false
  9. 9. Permainan. The Statement/Proposition Game “y > 5” Apakah ini suatu statement? yes Apakah ini suatu proposisi? no Nilai kebenarannya tergantung pada nilai daripada y , tetapi nilai ini tidak diberikan (not specified). Kita sebut tipe pernyataan ini suatu fungsi proposisional atau kalimat terbuka.
  10. 10. Permainan. The Statement/Proposition Game “Hari ini Jan. 28 and 99 < 5.” Apakah suatu statement? yes Apakah ini suatu proposition? yes What is the truth value of the proposition? false
  11. 11. Permainan. The Statement/Proposition Game “Please do not fall asleep.” Apakah ini suatu pernyataan? no Ia adalah suatu permintaan. Apakah ini merupakan proposisi? Only statements can be propositions. no
  12. 12. Permainan. The Statement/Proposition Game “Jika gajah berwarna merah, Mereka dapat sembunyi dibawah pohon perdu.” Apakah ini suatu pernyataan? yes Apakah ini suatu proposisi? yes Apa nilai kebenaran daripada proposisi tersebut? Probably false
  13. 13. Permainan. The Statement/Proposition Game “x < y if and only if y > x.” Apakah ini suatu pernyataan? Apakah ini suatu proposisi? yes yes …karena nilai kebenarannya tidak tergantung pada nilai yang diberikan untuk x dan y Apa nilai kebenaran dp proposisi tsb? true
  14. 14. Logika Proposisional Pengenalan Informal Definisi . Proposisi adalah kalimat deklaratif (atau pernyata an) yang memiliki hanya satu nilai kebenaran yaitu banar saja atau salah saja, akan tetapi tidak keduanya. Proposisi yang bukan hasil kombinasi dari proposisi-proposisi disebut atom.
  15. 15. Logika Proposisional Pengenalan Informal Jika atom-atom akan dikombinasikan untuk memperoleh proposisi baru maka diperlukan operator logika atau operator sambung yang dilambangkan dng simbol : 1). 2). 3). 4). 5). 6). : “not”, atau “negasi” ( simbol lain adl ~ ) : “and”, atau “konjungsi” ( simbol lain adl &) : “or” , atau “disjungsi” atau “inclusive or” : “xor”, atau “exclusive or” : “implies”, atau “Jika … maka…”, atau “implikasi kondisional” : “jika dan hanya jika”, atau “bikondisional”
  16. 16. Logika Proposisional Penggandeng Logis (Logical Connectives) 1) Negasi (not) Jika p sebarang proposisi, pernyataan “not p” atau “negasi dp p” akan bernilai F jika p bernilai T dan sebaliknya. Dan ditulis dengan p ( “ ” disebut operator unary/monadika) dan akan digambarkan dng tabel kebenaran sebagai berikut : p p T F F T
  17. 17. Logika Proposisional Penggandeng Logis (Logical Connectives) 2) Konjungsi/conjunction (and) Konjungsi adalah suatu operator binary atau diadika (diadic). Jika p dan q suatu proposisi, pernyataan p and q akan bernilai kebenaran T jika dan hanya jika kedua p dan q mempunyai nilai kebenaran T, dan ditulis dengan p q dimana operatornya terletak diantara kedua variabel (operand) tsb dan mempunyai tabel kebenaran seperti terlihat pada slide berikut :
  18. 18. Logika Proposisional Penggandeng Logis (Logical Connectives) p q T T F F p T F T F q T F F F Tabel kebenaran juga dapat disajikan dng suatu bentuk dua di mensi sebagai berikut : p q T F p T F T F F F q
  19. 19. Logika Proposisional Penggandeng Logis (Logical Connectives) Bentuk terakhir ini hanya dapat digunakan hanya untuk fungsi dua variabel Perhatikan bahwa untuk kalimat “Benda ini berwarna merah” dan “Benda ini berwarna putih” jika digandeng dengan “and” maka berbunyi “Benda ini berwarna merah “and” putih” yang artinya lain dengan “Benda ini berwarna merah and Benda ini berwarna putih”, jelaskan !! Sifatnya : 1) Komutatif ( p q = q p) 2) Asosiatif ( (p q) r = p (q r) ) Operand daripada suatu kunjungsi juga disebut dng conjunct.
  20. 20. Logika Proposisional Penggandeng Logis (Logical Connectives) 3) Disjungsi (or) Disjungsi yang juga ada yang menyebut dengan alternatif yang ber sesuaian dengan bentuk “ Salah satu dari … atau ….” (“Either.. Or..) . Pernyataan “p or q” bernilai T jika dan hanya jika salah satu p atau q (atau keduanya) bernilai T, dan ditulis : p q dan mempunyai tabel kebenaran seperti pada slide berikut.
  21. 21. Logika Proposisional Penggandeng Logis (Logical Connectives) p q p T T F F T F T F q T T T F Sifat : 1) Komutatif ( p 2) Asosiatif ( (p q q) =q r=p p (q ) r) )
  22. 22. Logika Proposisional Penggandeng Logis (Logical Connectives) • Perhatikan bahwa terdapat dua pengertian or yaitu “inclusif or” dan “exclusive or”. Sebagai contoh : • “Pintu rumah terbuka” or “jendela rumah terbuka”. Hal tersebut dapat keduanya • “Suta pergi kekantor naik becak” or “Suta pergi kekantor naik angkot”. Hal tersebut tidak mungkin keduanya. • Contoh pertama “or inclusive” dan disimbolkan dengan • Contoh kedua “or exclusive” atau “non-equivalen” dan disimbol kan dengan ( atau XOR atau )
  23. 23. Logika Proposisional Penggandeng Logis (Logical Connectives) 4) Implikasi (Implication) Arti dp pernyataan “If p then q” atau “p implies q” atau “q if p” atau “p hanya jika q” atau “q sarat perlu untuk p” atau “p sarat cukup untuk q” adalah T jika salah satu dari p bernilai T dan q ber nilai T atau jika p bernilai F. Jika tidak demikian, yaitu p bernilai T dan q bernilai F, maka nilai F. Ditulis : p q dan tabel kebenarannya seperti pada slide berikut (ada yang menggu nakan simbol )
  24. 24. Logika Proposisional Penggandeng Logis (Logical Connectives) p q T T F F T F T F p q T F T T Pernyataan berikut adalah sama : 1). “If p then q” 2). “p implies q” 3). “q if p” 4). “p hanya jika q” 5). “q sarat perlu untuk p” 6). “p sarat cukup untuk q”
  25. 25. Logika Proposisional Penggandeng Logis (Logical Connectives) Untuk penjelasan ini maka perhatikan kalimat : “Jika Anita pergi keluar negeri maka ia mempunyai passport” Penjelasannya adalah sebagai berikut : 1) Jika Anita keluar negeri ( T ) dan Ia mempunyai passport (T), maka legal (T) 2) Jika Anita keluar negeri (T) dan Ia tidak mempu nyai passport (F), maka illegal (F) 3) Jika Anita tidak keluar negeri (F) dan ia mempu nyai passport (T), maka legal (T) 4) Jika Anita tidak keluar negeri (F) dan ia tidak mempunyai passport (F), maka legal (T)
  26. 26. Logika Proposisional Penggandeng Logis (Logical Connectives) p q T T F F T F T F kondisional konversi p q q p T F T T T T F T inversi kontrapositif p q q p T T F T T F T T
  27. 27. Logika Proposisional Penggandeng Logis (Logical Connectives) Perhatikan bahwa : pernyataan p q selalu mempunyai tabel kebenaran dng ( p) q dan juga dengan (p q), (buat tabel kebe narannya) Contoh penggunaannya : Buktikan bahwa jika x bilangan real maka jika x^2 bilangan gasal maka x bilangan gasal. Bukti andaikan x genap maka x = 2n dimana n sebarang bilangan real. X^2 = (2n)^2= 4n^2 = 2(2n^2) yang juga bilangan genap. Sehingga didapat, dengan kontraposistif, terbukti.
  28. 28. Resume , , ,→ p p s p r q . T F . p T T F F T F T F q T T T F p Negasi . q F T p q p q Disjungsi p q T T F F T F T F p T F T T q T T F F T F T F T F F F Konjungsi Implikasi (berarti : If p then q atau p implai q atau q if p atau p hanya jika q, atau q sarat perlu p)
  29. 29. Resume p q T T F F T F T F p q Kondi sional p q F F T T F T F T T F T T Kon versi q p T T F T Inver si p q T T F T Kontra Posisi q p T F T T
  30. 30. Logika Proposisional Penggandeng Logis (Logical Connectives) 5) Ekuivalensi Pernyataan “ p ekuivalen dengan q” mempunyai nilai kebenar an T jika dan hanya jika p dan q mempunyai nilai kebenaran yg sama ditulis dengan simbol : p q dan tabel kebenarannya seperti pada slide berikut ( ada yang menggunakan simbol )
  31. 31. Logika Proposisional Penggandeng Logis (Logical Connectives) p q T T F F T F T F p q T F F T Sifat : 1) Komutatif ; ( p q = q p) 2) Asosiatif ; ( (p q) r=p (q r) ) 3) Pernyataan (p q) mempunyai tabel kebenaran yang sama dengan pernyataan p q (Tunjukan)
  32. 32. Logika Proposisional Penggandeng Logis (Logical Connectives) Perhatikan bahwa ia juga dapat dipikirkan sebagai pernyataan “ p jika dan hanya jika q” Pernyataan p q disebut juga dengan bikondisional daripada p dan q, sebab ia selalu mempunyai tabel kebenaran sama-dng p q =T (p Ditulis dengan p q) q =T (p (q q) p) atau (p (p q) q) (p q)
  33. 33. Logika Proposisional Penggandeng Logis (Logical Connectives) Notasi jumlahan dan produk seperti pada aljabar maka didapat : n pi ; i=1 n pi i=1 n v pi ; i=1
  34. 34. Logika Proposisional Penggandeng Logis (Logical Connectives) Prioritas Operator Terkuat monadika ( ) Untuk diadika terkuat ( ), kemudian ( ) dan berikutnya ( ) dan yang lainnya berikutnya lagi seperti misalnya ( ) Contoh : “Saya lapar saya sedih saya bahagia saya telah kenyang ” berarti “(Saya lapar saya sedih) (saya bahagia saya telah kenyang)”
  35. 35. Soal-Soal Mana yang pernyataan dan mana yang bukan 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. Tasikmalaya adalah ibukota propinsi Jawa Barat. Dilarang merokok 119 adalah bilangan bulat Buka pintu Logika informatika adalah mudah Yogya kota pelajar Makanlah yang banyak Sesama cabup tak boleh saling mendahului Buatlah daftar pernyataan sebanyak 50 buah
  36. 36. Soal-soal 1. Tuliskan kalimat dibawah ini dengan simbol logika a. Saya akan berlibur ke Bali hanya jika saya lulus ujian b. Sarat perlu agar 273 habis dibagi 3 adalah 273 merupakan bilang an prima c. Saya akan memberi anda uang apabila saya lulus ujian atau saya mendapat hadiah TTS Jawab a. P = saya berlibur ke Bali, Q = Saya lulus ujian Kalimatnya menjadi : P  Q b. P = 273 habis dibagi 3, Q = 273 merupakan bilangan prima Kalimatnya menjadi : P  Q c. P = Saya memberi Anda uang, Q = Saya lulus ujian, dan R = saya mendapat hadiah TTS Kalimatnya menjadi : (Q R)  P
  37. 37. Soal-soal 2. Tentukan nilai kebenaran pernyataan-pernyataan dibawah ini : a. Jika Jakarta bukan ibukota RI, maka 9 juga bukan bilangan prima b. 2+2 = 2x2 hanya bila 2 =0 c. 2<3 merupakan syarat cukup untuk 2x2 < 3x3 Jawab : a. Benar, karena anteseden salah (Jakarta bukan ibu kota RI) b. Salah, karena anteseden (2+2 = 2x2) benar sedangkan konsekuen nya (2 = 0 ) salah c. Benar, karena konsekuennya (2x2 <3x3) benar
  38. 38. Soal-soal 3. Tentukan nilai kebenaran daripada : a. Syarat perlu dan cukup agar 7 merupakan bilangan prima adalah Kebumen berada di Jawa Timur. b. Apabila 12 habis dibagi 4 ekuivalen dengan 12 bilangan bilangan genap maka (a+b)^2 = a^2 + 2ab +b^2 4. Tuliskan dengan simbol logika kalimat-kalimat dibawah ini : a. Matahari sangat verah dan kelembabannya tidak tinggi b. Jika saya dapat menyelesaikan koreksi saya sebelum makan ma lam dan tidak hujan, maka saya akan pergi nonton tonil c. Jika Anda tidak menjumpai saya besok, berarti saya sudah pergi ke Bandung. d. Syarat perlu dan cukup agar bilangan a merupakan bilangan prima adalah a merupakan bilangan gasal atau sama dng 2
  39. 39. Logika Informasi Materi. 1). Logika Proposisi. a). Pengenalan Informal b). Penghubung Logis (Operator, Functor) c). Tabel Kebenaran dp Formula. d). Penghubung Logis yang lain. e). Memanipulasi Formula Proposisinal. f). Negasi dp Formula Proposisional. g). Argumen.
  40. 40. Logika Proposisional (Notasi operator logis/functor) Operator Notasi lainnya Burke Kuliah Daliyo Konjungsi p &q p.q p q p q Disjungsi p q p+q p q p q Negasi ~p p p’ Implikasi p q p q p q p q Cpq Bi-implikasi p q p q p q p q Epq p p Polan dia Kpq Apq Np
  41. 41. Logika Proposisional (Notasi Polandia/Tabel Kebenaran) Notasi Polandia juga disebut Lukasiewics atau sebagai notasi bebas- kurung atau notasi prefix (+ab) , pada prinsipnya operator diadika me ngawali operand mereka. Selain itu ada notasi postfix (ab+) , yg juga disebut notasi kebalikan polandia, dimana operator muncul sesudah operand. Notasi yang kita gunakan sehari-hari disebut dengan notasi infix ( a+b) Dalam aritmatika didapat contoh sbb : Notasi Infix Notasi Prefix Notasi Postfix p+q +pq pq+ p+qxr +pxqr pqrx+ (p + q) x r x+pqr pq+rx (p x r) + (q + r) +xprxqr prxqrx+ p x ( r + q) x q xpx+rqq prq+xqx ((p + q) + r) + s +++pqrs pq+r+s+ p + (q + (r + s)) +p+q+rs pqrs+++
  42. 42. Logika Proposisional (Notasi Polandia/Tabel Kebenaran) Catatan. (Untuk Notasi Polandia) 1).Perhatikan bahwa pada masing-masing notasi kemunculan setiap variabel mempunyai urutan yang sama. 2). Terlihat bahwa kurung sama sekali tidak digunakan. 3). Tidak perlu adanya prioritas untuk masing-masing operator. 4). Variabel hanya menggunakan satu huruf tunggal. 5). Operator monadika pada notasi infix selalu mendahului operand. 6). Perhatikan formula –pq akan mempunyai dua interpretasi dalam notasi infix yaitu : -(p-q) dan ((-p)-q) sehingga diperlukan simbol khusus yang berbeda untuk monadika negasi, misalnya e.
  43. 43. Logika Proposisional (Notasi Polandia/Tabel Kebenaran) Lukasiewicz (Notasi Polandia) menggunakan operator dengan huruf besar seperti terlihat dibawah ini untuk membedakan dengan variabel. Infix Polandia p p q q Np Apq Kpq p p p p p p q q q q q q Cpq Bpq Epq Rpq Jpq Spq p N – Negasi A – Alternasi (Alternation) K – Konjungsi C – Conditional B – Non-implikasi?? E – Ekuivalen R – Non-Ekuivalen, Exclusif Or?? J – Joint deniel, Nor S – Nand, Incompatibility ??
  44. 44. Logika Proposisional (Notasi Polandia/Tabel Kebenaran) Beberapa Contoh. Infix Polandia p r) KpAqr (p q) r AKpqr (( p) ( q) NANpNq q p (q r p q q) r) s KKKpqrs s)) KpKqKrs ((p p (q (r r ANpANqAKrNpAqNr Sekali tak diperlukan kurung dan konektif utama dapat dilihat segera pada awal dp ekpresi
  45. 45. Logika Proposisional (Notasi Polandia/Tabel Kebenaran) Beberapa Contoh. 1). p q 2). p r (p 3). AEqNqq q s dapat diekpresikan menjadi KKKpqrs atau KpKqKrs (q r s)) diekpresikan KpCApqCCqrs : disajikan dng notasi infix (p ( q)) 4). NCCpqNCqp : disajikan dng notasi infix ((p q) ( (q 5). NCRAqp (r (q q : disajikan dng notasi infix 6). CKpKCpqCNrNqEpNRrq : disajikan dng notasi infix : (p (p q) r q) (p (r p))) p)) q))
  46. 46. Logika Proposisional (Notasi operator logis/functor) Contoh : 1. Notasi Polandia : Epq Disajikan dalam notasi yang lain. a. p q b. p q c. p q 2. Notasi Polandia : CKpqr Disajikan dalam notasi yang lain. C(p q)r = (p q) r 3. Notasi Polandia : CpCpr Disajikan dalam notasi yang lain. Cp (p r) = p (p r) 4. Notasi Polandia : ECKpqrCpCpr Disajikan dalam notasi yang lain
  47. 47. Logika Proposisional (Notasi operator logis/functor) Contoh : Notasi Polandia : E CKpqr CpCpr Disajikan dalam notasi yang lain. Cari tanda dominan : E yang sama dengan Ruas kiri (dr ) : C Kpq r Tanda dominan : C yang sm dng Tanda berikutnya : K yg sm dng ( ada dengan &) didapat : p q C (p q) r didapat : (p q) r Ruas kanan (dr ) : C p Cpr didapat : C p (p r) di dapat : p (p r) Akhirnya didapat : ((p q) r) (p (p r))
  48. 48. Logika Proposisional (Notasi operator logis/functor) Contoh ((p q) r) (Kpq) r) C(Kpq)r C(Kpq)r C(Kpq)r C(Kpq)r C(Kpq)r ((p r) q ((p r) q ((p r) q (((p (Nr)) q) (Kp(Nr) q) (Kp(Nr) (Nq)) (C(Kp(Nr)(Nq)) E(C(Kpq)r(C(Kp(Nr)(Nq))) E C Kpq r C Kp N r N q
  49. 49. Logika Proposisional (Notasi operator logis/functor) Prioritas dp Operator. Seperti pd ungkapan dlm ilmu hitung, maka didalam operator logika pun terdapat prioritas sebagai berikut : 1). Operator mempunyai prioritastertinggi 2). Operator berprioritas berikutnya 3). Operator berprioritas berikutnya 4). Operator berprioritas berikunya 5). Dan seterusnya operator yang lain termasuk dan seterusnya. Contoh 1). p q r s dapat diinterpretasikan sebagai (p q) (r s) 2). p q akan diinterpretasikan dengan ( p) q 3). “Saya lapar” dan “saya malas” atau “Saya bahagia” dan “Saya telah makan enak” diartikan sebagai ????
  50. 50. Logika Proposisional (Notasi operator logis/functor) Operator yang mempunyai prioritas sama dilakukan dengan urutan dari kiri ke kakan seperti terlihat dalam contoh dibawah ini > Contoh 1). Diartikan sebagai : q r (((((p q) r) p 2). p q Diartikan sebagai : ??????????. r s t s) s u v t) p u) r v t
  51. 51. Logika Proposisional (Tabel Kebenaran dp Formula) Bagaimana membangun tabel kebenaran : Satu tabel kebenaran dapat ditentukan dengan mengambil setiap kombinasi yang mungkin daripada nilai kebenaran daripada semua variabel yang terlibat dan kemudian mengevaluasi efek daripada se tiap operator Sebagai contoh : (( p) q) p q p T T F F T F T F F F T T (( p) T F T T q)
  52. 52. Logika Proposisional (Tabel Kebenaran dp Formula) Untuk bentuk yang lebih komplek adalah : ( (p q) (( p) ( q))) Urutan evaluasinya menjadi : ( (p 3 1 F F T T T T F F 2 q) 1 (( 4 T F F F T F T F T T T T 2 p) 1 ( 3 2 q))) 1 F F T T T T F F F T T T F T F T T F T F
  53. 53. Logika Proposisional (Tabel Kebenaran dp Formula) Untuk formula dengan 3 variabel maka akan didapat 2^3 = 8 baris , untuk 4 variabel didapat 2^4 = 16 baris. Sebagai contoh : ( 3 F (( p (p 1 T F T T T T T T q) q) 2 1 T T T T F F F F (( p) T T F F F F F F ( r))) (( 4 T T F F T T F F p) 2 1 F F F T T T T T T F F F T T T T ( 3 F T T T F F F F T F T T T T T 2 F T F T F T F T r))) 1 T F T F T F T F
  54. 54. Logika Proposisional [Tabel Kebenaran (TK) Identis] Simbol =T berarti bahwa pada tabel kebenaran, dua formula mempu nyai nilai kebenaran yang sama (identik). Contoh : 1) (p q) 2) (p q) 3) p q 4) p q 5) p ( p =T =T =T =T q) =T ( p) ( q) ( p) ( q) p q (p q) (p p q ; buatlah TK nya. ; buatlah TK nya. ; buatlah TK nya. q) ; buatlah TK nya ; buatlah TK nya
  55. 55. Logika Proposisional [Interpretasi dan Model] Andaikan P adalah formula proposisi ( perhatikan disini digunakan huruf murda/capital untuk menyajikan suatu formula sedang huruf kecil untuk variabel proposisi). Suatu interpretasi daripada P adalah suatu penugasan (assignment) daripada nilai kebenaran pada semua variabel proposisi ( pemberian nilai kebenaran) yg muncul pada P. Perhatikan bahwa setiap baris pada tabel kebenaran adalah suatu interpretasi. Untuk setiap interpretasi maka P mempunyai nilai kebe naran (lihat bahwa setiap baris P mempunyai nilai T atau F)
  56. 56. Logika Proposisional [ Interpretasi dan Model ] Andaikan S suatu himpunan daripada formula proposisi, suatu inter pretasi disebut model daripada S jika setiap anggauta daripada S ber nilai kebenaran T untuk interpretasi tersebut. Contoh : Andaikan S adalah himpunan dp formula proposisi : {p q,q r,r s} dan interpretasi : I1 : {p=T,q=F,r=T,s=T} ; I2 : { p=T, q=T,s =T , r=T} ; I3 : {p=T,q=T,r=F,s=F} ; I4 : { p=T, q=T,r =T, s=F} ; Interpretasi yang mana yang merupakan model dp S ? Gambarkan ta bel kebenarannya.
  57. 57. Logika Proposisional [interpretasi dan Model] p q I1 I2 I3 I4 T T T T F T T T T T F T r T T F F s p F T T T q q T T T r r s T T F Dari tabel diatas maka interpretasi yang merupakan model daripada S adalah I2 dan I3. Perhatikan karena I1 sudah memberikan nilai kebe naran F untuk p q maka dua yang lain tak perlu dievaluasi, karena je las bahwa I1 bukan model.
  58. 58. Logika Proposisional [Tautologi, Absurditi dan Formula Campur] Tautologi Sebarang formula yang selalu bernilai kebenaran T, tak tergantung pada nilai kebenaran daripada variabel-variabel proposisinya, dise but tautologi, dan dikatakan sebagai tautologis atau valid. Suatu tautologi adalah suatu formula proposisional yang mengam bil nilai T untuk setiap interpretasi yang mungkin. Semua entri da lam kolom pada tabel kebenaran yang merupakan kolom nilai for mula tersebut bernilai kebenaran T.
  59. 59. Logika Proposisional [Tautologi, Absurditi dan Formula Campur] Contoh : karena untuk p p adalah Tautologi I1 : p = T, maka p p = T I2 : p = F, maka p p = T dan tak ada lagi interpretasi lain. Untuk menyatakan bahwa suatu formula adalah suatu tautologi/valid maka dituliskan dengan menggunakan metasimbol ╞ , maka contoh diatas menjadi : ╞ ( p p)
  60. 60. Logika Proposisional [Tautologi, Absurditi dan Formula Campur] Tabel dari kebenaran p p adalah : p T p F F T Tabel dari kebenaran p p ( p ( (q p p T T p)) adalah : p (q p)) 1 5 2 1 4 1 3 2 1 T F F T F T F F T T F F T F F F F T F F T F T T T T F F F T F T F F T F
  61. 61. Logika Proposisional [Tautologi, Absurditi dan Formula Campur] Perhatikan hubungan antara metasimbol =T dng ╞ yang dapat dili hat pada contoh dibawah ini : Menggunakan ╞ ╞p ╞ (p q) ╞ (p q) ╞ ( (p )) ( p) (q p) ( p) ( q) (( p) ( q)) menggunakan =T p p =T ( q =T q (p q) =T ( ( (p q)) =T (( p) p p) ( q) p) ( q)) Baris pertama kiri dibaca : p ( p) adl suatu tautologi, kanan : Formula p mempunyai tabel kebenaran sm-dng formula ( p)
  62. 62. Logika Proposisional [Tautologi, Absurditi dan Formula Campur] Tautologi Dikatakan bahwa dua formula P dan Q adl Ekuivalen Logis jika ekuivalen logisnya ‘ P Q’ adl suatu tautologi ( yang dapat dika takan juga dengan bahwa mereka mempunyai tabel kebenaran yang sama) Dikatakan bhw suatu formula P implai logis suatu formula Q jika implikasi logis mereka ‘ P Q’ adalah tautologi.
  63. 63. Logika Proposisional [Tautologi, Absurditi dan Formula Campur] Absurditi/Kontradiksi Sebarang formula yang selalu bernilai kebenaran F, tak tergantung pada nilai kebenaran dp variabel-variabel proposisinya, disebut Absurditi atau Kontradiksi atau Unsatisfiable dan dikatakan sbg Absurditi atau Invalid. Suatu Absurditi adalah suatu formula proposisional yang ber nilai F untuk setiap interpretasi yg mungkin. Semua entri dalam kolom Pada tabel kebenaran yang merupakan kolom nilai formula tersebut bernilai kebenaran F.
  64. 64. Logika Proposisional [Tautologi, Absurditi dan Formula Campur] Absurditi/Kontradiksi Contoh : ( p p) dan (p p) adalah absurditi/kontradiksi karena untuk : I1 : p = T, maka ( p I2 : p = F, maka ( p p) = F p) = F dan tak ada lagi interpretasi lain. Perhatikan bahwa suatu formula proposisional P yg adalah suatu absur diti, maka formula P adalah suatu Tautologi, begitu pula sebaliknya. Jika sebarang formula P adalah suatu absurditi, maka ditulis : ╞ P
  65. 65. Logika Proposisional [Tautologi, Absurditi dan Formula Campur] Formula Campur Sebarang formula yang, tergantung pada nilai kebenaran dp vari abel-variabelnya, dapat bernilai baik nilai T maupun nilai F dise but suatu formula campur, atau ada yang menyebut contingent. Contoh : Tentukan yang mana yang tautologi, absurditi atau formula cam pur : a) p ( q p) ; b) p ( p (q p) ; c) p ( p (q p)).
  66. 66. Logika Proposisional [Tautologi, Absurditi dan Formula Campur] Formula Campur p 1 T T F F ( 4 2 T F T T F F T T q 1 3 T T F T T T F F 2 F F T T p 1 T T F F p) 1 T T F F 5 T T T T ( 2 F F T T p 1 T T F F p 1 T T F F 5 F F F F 4 F F T T ( 2 F F T T (q 1 T F T F p 1 T T F F 3 F T T T 4 F F T T 2 F F T T (q 1 T F T F p 1 T T F F 3 F F T F 2 F F T T p 1 T T F F
  67. 67. Logika Proposisional Definisi Valid, Satisfiable, Contradictory, Implies, Equivalent, Consistent ( Zohar Manna and Richard Waldinger) Valid , Tautology, Satisfiable, dan Contradictory Suatu formula P dikatakan valid/benar jika ia true/benar untuk setiap interpretasi (I) daripada P. Formula- formula valid daripada logika proposional disebut Tautologi. Suatu formula P dikatakan satisfiable/dapat-puas jika ia true dibawah suatu interpretasi (I) daripada P. Suatu formula P dikatakan kontradiksi/ contradictory ( unsatis fiable/ tak terpenuhi) jika ia false dibawah setiap/ semua inter pretasi (I) daripada P. Catatan : pada bukunya Zohar Manna and Richard Waldinger formula ditulis dengan sentence/closed formula.
  68. 68. Logika Proposisional Definisi Valid, Satisfiable, Contradictory, Implies, Equivalent, Consistent ( Zohar Manna and Richard Waldinger) Implies, Equivalent, dan Consistent Suatu kalimat P implies suatu kalimat Q jika, untuk sebarang Interpretasi (I) daripada P dan Q, jika P true untuk I maka Q true untuk I. Dua kalimat P dan G ekuivalen/ equivalent jika setiap interpre tasi (I) untuk P dan G , P mempunyai nilai kebenaran yang sama dengan nilai kebenarannya G. Seperangkat kalimat P1,P2,P3,…. Dikatakan konsisten jika terdapat suatu interpretasi untuk P1,P2,P3,…. Dibawah mana setiap Pi bernilai true. Catatan : Kalimat/sentence adl formula tertutup/closed formula (buku Logic for Computer Science, Arindama Singh, hal 59)
  69. 69. Logika Proposisional [Penggandeng Logis lainnya] Fungsi Kebenaran/Truth Functions Fungsi Kebenaran (kadang disebut suatu operator logis) adalah suatu fungsi yang mengambil nilai-kebenaran se bagai argumen dan selalu menghasilkan salah satu dari nilai T atau nilai F. Suatu fungsi kebenaran dapat mempu nyai sejumlah operand (kadang-kadang disebut argumen atau tempat). Suatu fungsi dengan satu operand disebut suatu fungsi kebenaran monadika ( ).Jika mempunyai dua operand disebut dengan fungsi kebenaran diadika ( , , , ), jika tiga triadika ( If… then … else … ) .
  70. 70. Logika Proposisional [Penggandeng Logis lainnya] Operator Monadika Terdapat 4 (=2^2) kemungkinan tabel-kebenaran untuk operator-monadika (terdapat dua entri dalam tabel-kebe naran masing-masing T dan F) yg dapat dilihat dibawah ini : p f0 f1 f2 f3 f0(p) : f0(T) = F f0(F) = F T F F F F T T F T T f2(p) : f2(T) = T f2(F) = F Empat kolom tersebut adalah : 1) f0 : Suatu fungsi yang hasilnya selalu F (falsum) 2) f1 : Operator negasi (lihat dibagian terdahulu) 3) f2 : Suatu fungsi yang bernilai seperti p (assertium) 4) f3 : Suatu fungsi yang hasilnya selalu T (Verum) f1(p) : f1(T) = F f1(F) = T f3(p) : f3(T) = T f3(F) = T
  71. 71. Logika Proposisional [Penggandeng Logis lainnya] Operator Diadika p q g0 g 1 g2 g3 g4 g5 g6 g7 g8 g9 h0 h1 h2 h3 h4 h5 T T F F T F T F F F F F F F F T F F T F F F T T F T F F F T F T F T T F F T T T T F F F T F F T T F T F T F T T T T F F T T F T h5 : verum ( suatu tautologi diadika ) ; (h5(p,q) = T) g0 : falsum (fungsi diadika yang selalu bernilai F) h2 : bernilai sama dengan p ; (h2(p,q) = p) ; (h0(p,q) = q) h0 : bernilai sama dengan q g3 : negasi daripada p, selalu bernilai sm-dng p) g5 : negasi daripada q, selalu bernilai sm-dng q) 10 (sepuluh) sisanya dibicarakan berikut ini T T T F T T T T
  72. 72. Logika Proposisional [Penggandeng Logis lainnya] Operator Diadika p q g0 g1 g2 g3 g4 g5 g6 g7 g8 g9 h0 h1 h2 h3 h4 h5 T T F F T F T F F F F F F F F T F F T F F F T T F T F F F T F T F T T F F T T T T F F F T F F T T F T F T F T T T T F F T T F T T T T F T T T T g6 : Operator “non-equivalent”, “Exclusive Or” (disajikan dengan , , atau , atau XOR); p q =T (p q) (p q) =T (p q) (q p) g1 : NOR, Joint denial, Pierce’s arrow ( ), negasi dp disjoint p q =T (p q) = p q g7 : Operator “NAND”, “Incompatibility”, “Stroke”, “fungsi stroke Sheffer”, (simbol / atau ), negasi dp konjungsi p/q =T (p q) = p q ; (p/q) = (p q) g4,g2 : fungsi “non implikasi” ( disajikan dengan ) p q =T (p q) p q =T p ( q)
  73. 73. Logika Proposisional [Penggandeng Logis lainnya] Operator Triadika Operator triadika mempunyai 3 (tiga) operand. Dari 256 (= 28), pada saat ini hanya beberapa yang dapat langsung dimanfaatkan. Operator triadika ini sulit untuk disimbolkan, seperti misalnya operator “If…then…else…” disini variabel nya berupa titik-titik. Beberapa operator triadik adalah : 1) Kondisi terkondisi (conditioned disjunction). If…then…else… disimbolkan [p,q,r] 2) Inkompatibel terkondisi dengan simbol [[p,q,r]] 3) L2 (mayoritas) ; L2(p,q,r) =T (p q) (q r) (r p); bernilai T jika paling sedikit dua atu lebih argumen bernilai T 4) L1 (Paling sedikit satu); dst
  74. 74. Logika Proposisional [Penggandeng Logis lainnya] Operator Triadika 1) Disjungsi terkondisi; Ditulis [p,q,r] , diartikan jika q bernilai T hasilnya adalah nilai p dan jika nilai F maka hasilnya adalah nilai q. Jika ditulis dengan “If-then-else” maka menjadi “If q then p else r”. Jika disajikan dengan tabel kebenaran adalah : [p,q,r] =T (q 4 T T T F F F T F p 1 T T T T F F F F q 1 T T F F T T F F p) r 1 T F T F T F T F ( q r) (q 1 T T F F T T F F 2 T T F F F F F F p) 1 T T T T F F F F 4 T T T F F F T F ( 2 F F T T F F T T q 1 T T F F T T F F 3 F F T F F F T F r) 1 T F T F T F T F
  75. 75. Logika Proposisional [Penggandeng Logis lainnya] Operator Triadika 2) Inkompatibelitas terkondisi; Ditulis [[p,q,r]] , ada kaitannya dengan disjungsi terkon disi diartikan jika q bernilai T hasilnya adalah nilai p dan jika nilai F maka hasilnya adalah nilai q. Jika disajikan dengan tabel kebenaran adalah : [[p,q,r]] =T (q 4 F F F T T T F T p q 1 1 F T F T F F F F T T T T T F T F r 1 F T F T F T F T p) ( q (q 1 T T F F T T F F r) 3 F F F F T T F F ( 2 F F F F T T T T p)) 1 T T T T F F F F 4 F F F T T T F T (( 2 F F T T F F T T q) 1 T T F F T T F F 3 F F F T F F F T ( 2 F T F T F T F T r)) 1 T F T F T F T F
  76. 76. Logika Proposisional [Penggandeng Logis lainnya] Operator Triadika p 1 T T T T F F F F 4 T T T F F F T F Ternyata bahwa : Tkond 4 F F F T T T F T p q 1 1 F T F T F F F F T T T T T F T F q 1 T T F F T T F F r 1 T F T F T F T F [p,q,r] =T r 1 F T F T F T F T (q 1 T T F F T T F F 2 T T F F F F F F p) 1 T T T T F F F F 4 T T T F F F T F ( 2 F F T T F F T T q 1 T T F F T T F F 3 F F T F F F T F r) 1 T F T F T F T F [[p,q,r]] , Disj-tkond = negasi Inkomptbl(q 1 T T F F T T F F 3 F F F F T T F F ( 2 F F F F T T T T p)) 1 T T T T F F F F 4 F F F T T T F T (( 2 F F T T F F T T q) 1 T T F F T T F F 3 F F F T F F F T ( 2 F T F T F T F T r)) 1 T F T F T F T F
  77. 77. Logika Proposisional [Penggandeng Logis lainnya] Operator Triadika 3) L2 Mayoritas; Ditulis L2(p,q,r) , disini operand adalah argumen daripa da fungsi. Dimana fungsi bernilai T jika dan hanya jika 2 (dua) atau lebih daripada argumennya bernilai T. L2 di artikan dengan “Paling sedikit dua”. Tabel kebenaran nya adalah : L2(p,q,r) =T (p q) (q r) (r p) 4 T T T F T F F F 3T 2T 2T 1T 2T 1T 1T 0T p 1 T T T T F F F F q 1 T T F F T T F F r 1 T F T F T F T F (p 1 T T T T F F F F 2 T T F F F F F F q) 1 T T F F T T F F 3 T T F F T F F F (q 1 T T F F T T F F 2 T F F F T F F F r) 1 T F T F T F T F 4 T T T F T F F F (r 1 T F T F T F T F 2 T F T F F F F F p) 1 T T T T F F F F
  78. 78. Logika Proposisional [Penggandeng Logis lainnya] Operator Triadika 4) L1 Paling sedikit satu ; Ditulis L1(p,q,r) , disini operand adalah argumen daripa da fungsi. Dimana fungsi bernilai T jika dan hanya jika 1 (satu) atau lebih daripada argumennya bernilai T. L1 di artikan dengan “Paling sedikit satu”. Tabel kebenaran nya adalah : L1(p,q,r) =T (p q r) 4 T T T T T T T F 3T 2T 2T 1T 2T 1T 1T 0T p 1 T T T T F F F F q 1 T T F F T T F F r 1 T F T F T F T F p 1 T T T T F F F F 2 T T T T T T F F q 1 T T F F T T F F 3 T T T T T T T F r 1 T F T F T F T F
  79. 79. Logika Proposisional [Penggandeng Logis lainnya] Operator Triadika 4) L3 Paling sedikit tiga ; Ditulis L3(p,q,r) , disini operand adalah argumen daripa da fungsi. Dimana fungsi bernilai T jika dan hanya jika 3 (tiga) argumennya bernilai T. L3 diartikan dengan “Paling sedikit tiga”. Tabel kebenarannya adalah : L3(p,q,r) =T (p 4 T F F F F F F F 3T 2T 2T 1T 2T 1T 1T 0T p 1 T T T T F F F F q 1 T T F F T T F F r 1 T F T F T F T F q r) p 1 T T T T F F F F 2 T T F F F F F F q 1 T T F F T T F F 3 T F F F F F F F r 1 T F T F T F T F
  80. 80. Logika Proposisional [Penggandeng Logis lainnya] Fungsi Kebenaran Teorema : Sebarang fungsi kebenaran f(p1 ,p2 , . . . pn) dari n variabel pro posisional p1 , p2 . . . pn selalu dapat diekspresikan dalam ben tuk fungsi kebenaran diadika dan monadika. Pembuktiannya dengan menggunakan induksi. Contoh dalam disjungsi terkondisi adalah : f(p1,p2,...,pn) =T [f1(p2 ,...,pn) ,p1 , f2(p2,...,pn)]

×