Mecánica I: Movimiento lineal, dinámica y principios de Lagrange

Mecánica I
N. J. Martinic
Universidad Mayor de San Andrés
Editorial Mongo 2003

Índice general
1. Movimiento Lineal 9
1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2. La Dinámica del Movimiento Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3. El Concepto de la Integral de la Energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4. Las Leyes de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.5. Reseña Bibliográﬁca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.5.1. La Mecánica de Landau y Lifschitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.5.2. La Mecánica de Sommerfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.5.3. La Mecánica Clásica del Goldstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.5.4. La Mecánica de Symon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.5.5. La Mecánica de Slater y Frank . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2. Movimiento en el Plano y Espacio 27
2.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2. Dinámica del Punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3. Momento Angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.4. Sistemas Conservativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.5. Potenciales Mas Conocidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.6. El Movimiento Planetario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.7. Las Leyes de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.8. La Solución de la ecuación de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.8.1. El Sol en Reposo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.8.2. La Conservación de la Energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.9. Reseña Histórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3. Grados de Libertad, Trabajos Virtuales 47
3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2. Los Grados de Libertad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.3. Trabajos Virtuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4 ÍNDICE GENERAL
4. El Principio de D’Alembert 59
4.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.2. Las ecuaciones de Lagrange (1a Especie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5. Las Ecuaciones de Lagrange 69
5.1. El Cálculo de Variaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.1.1. La Ecuación de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.2. El Lagrangiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
6. Lagrange y Hamilton 77
6.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
6.2. Las Ecuaciones de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
6.3. Las Ecuaciones de Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
6.3.1. Derivación de las ecuaciones de Hamilton a partir del principio variacional . . . . . . . . . . . . 83
6.3.2. Derivación de las ecuaciones de Hamilton a partir de las ecuaciones de Lagrange . . . . . . . . . 84
6.4. Tranformaciones Canónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.5. Variables Canónicamente Conjugadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
7. Hamilton-Jacobi 89
7.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
7.2. Sistemas Conservativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
7.3. Hamilton-Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
7.3.1. Sistemas Conservativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
7.4. El Problema de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
7.4.1. Solución de la Ecuación de Hamilton-Jacobi por Separación de Variables . . . . . . . . . . . . . 95
7.5. Mecánica Cuántica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
8. Mecánica del Rígido 99
8.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
8.2. La Mecánica de las Partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
8.2.1. Fuerza y Movimiento del Centro de Masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
8.3. Angulos de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
8.4. Cinemática del Rígido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
8.5. Los Parámetros de Klein-Cayley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
8.6. Las matrices de variables dinámicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
8.7. Klein-Cayley y los ángulos de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
8.8. Las Matrices de Pauli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

ÍNDICE GENERAL 5
9. Mecánica del Rígido II 117
9.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
9.2. Momentos de Inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
9.2.1. Transformaciones de un tensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
9.2.2. El Momento Angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
9.3. Las Ecuaciones de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
9.3.1. Trompo Pesado y Simétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
9.3.2. El Péndulo Esférico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
10. Las Oscilaciones Forzadas 139
10.1. oscilaciones forzadas sin amortiguamientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
10.2. Las oscilaciones atenuadas libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
10.3. Oscilaciones forzadas con atenuación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
A. Las Ecuaciones de Lagrange de 1a Especie 145
A.1. Ejercicio resuelto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
A.2. Dinámica del Péndulo Matemático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

Preámbulo
Este es un curso completo de mecánica para estudiantes de ciencias y por supuesto
de carreras técnicas. El presente texto ha sido enriquecido con varios semestres de
enseñanza en diversas universidades, aunque con un centro de gravedad geográfica
en la ciudad de La Paz.
El contenido está previsto para un semestre universitario de cuatro horas de clases
por semana y otras dos de prácticas con un asistente que administra fundamen-
talmente los problemas y la manipulación de los problemas numéricos mediante
ordenadores. El estudiante debe conocer medianamente el análisis matemático, el
matricial y tensorial. Debe tener conocimiento práctico de uno o dos lenguajes de
programación, de preferencia el C y el FORTRAN.
La filosofía del curso se halla en preparar al estudiante a los cursos de mecánica
de fluídos y la mecánica cuántica. La doble visión de principios variacionales y
el método histórico-inductivo es enfatizada en el texto. Es conocimiento ortodoxo
de que la bibliografía en el sujeto –por lo menos durante medio siglo!, es más que
suficiente como para vetar la aparición de textos noveles en la arena pedagógica
a este nivel universitario. Sin embargo, parece que la bibliografía existente se
hubiera congelado con los excelentes libros de dominio público. No obstante ello,
no existen prácticamente nuevas ediciones, ni ediciones baratas, de estos textos
por razones incomprensibles. Nosotros creemos que es necesario introducir los
medios informáticos para realzar el valor intrínseco de aquellos libros dándoles
un valor agregado moderno.
Esta obra está dedicada a los estudiantes de la UMSA
La Paz agosto 2003

Capítulo 1
Movimiento Lineal
1.1. Introducción
El concepto epistemológico de la disciplina llamada mecánica se halla fundamen-
tada luego de la aparición del libro de Newton, Principiae Mathematica en el siglo
XVII. Hasta entonces sólo se habia considerado la mecánica como un capítulo de
la Fisica de Aristóteles. Aunque los eruditos de la edad media así como del rena-
cimiento lo enseñaban como una “ciencia” semejante a otras como la alquimia, la
anatomia, etc...
Fue Newton quien sintetizó los conceptos de movimiento que ya se hicieron mo-
dernos a través de los trabajos de Galileo, Copérnico y Kepler. Se sabía perfecta-
mente que la fuerza era la fuente del incremento de la velocidad. Se había hecho
el gran paso de considerar a la ciencia de la mecánica confrontándola con obser-
vaciones de cuerpos celestes, o por lo menos de comprobar esas ideas en algunos
experimentos propuestos y realizados por los hombres de ciencia. Sin embargo,
fue Newton quien propuso, cuantitativamente, que la tasa de la cantidad de movi-
miento era generada por una fuerza exterior. Siendo la cantidad de movimiento el
producto de la masa de una partícula multiplicada por la velocidad de la misma.
Obviamente que le concepto de velocidad ya se lo tenía muy bien deﬁnido desde
los tiempos de Aristóteles mientras que el concepto de masa era introducido justo
para permitir esta deﬁnición.
Fue entonces que se comienza a hablar de leyes inmutables y universales. Las
fuerzas gravitacionales entre los cuerpos celestes, como la tierra y el sol, pueden

10 Movimiento Lineal
escribirse en función de la ubicación de estos cuerpos. Recíprocamente una vez
conocido estas fuerzas en una ubicación dada, se puede calcular cuantitativamente
el valor de la aceleración de estos cuerpos.
El estudio presente se ocupará de clasificar los conceptos en juego en esta rama de
la ciencia, independiente de la existencia de ideas modernas por las cuales las pre-
sente leyes de la mecánica quedarán un poco cambiadas tanto como interpretación
como de definición de las variables dinámicas en la mecánica cuántica.
Sin embargo, el estudio de la mecánica cuántica u ondulatoria se basa genética-
mente en el aparato formal de la mecánica tal como estudiamos a continuación.
Los conceptos de energía, momento angular, momento lineal .. . serán traslada-
dos con ciertos cambios sistemáticos y conceptuales en la cuántica. Por otro lado,
no se cambiará la mecánica, clásica, en los problemas tradicionales a las que ha
estado sometido antes del siglo XX. El cambio visible en la concepción cuántica
aparece para el mundo subatómico, tal como lo entendemos ahora, e incluso pa-
ra el límite en el que la mecánica clásica evita esos entornos es posible pasar en
forma contínua desde una mecánica cuántica, moderna y atómica, a una mecáni-
ca clásica. Por otro lado, vale la pena mencionar el pequeño cambio que se debe
hacer en la mecánica clásica para su validez desde el punto de vista de la rela-
tividad (restringida). No hay prácticamente cambio conceptual en los principios
de la mecánica si se desea abarcar dicha mecánica relativista restringida, bastan-
do considerar los principios de la relatividad dentro del esquema de la mecánica
analítica.
Es por lo tanto imprescindible el conocimiento profundo de la mecánica tradicio-
nal desde todo punto de vista.
1.2. La Dinámica del Movimiento Lineal
Consideremos una partícula definida sólo mediante su posición. Por el momento
no consideramos su componente dinámica, esto es su masa. Sea por ejemplo un
cuerpo pesado que cae debido a la gravedad. Se deduce que la variación de la
velocidad, dv/dt, se denomina aceleración. Además, debido a los conocimientos
del cálculo, se puede esciribr, donde x es la coordenada del cuerpo
a =
dv
dt
=
d2
x
dx2
(1.1)

1.2 La Dinámica del Movimiento Lineal 11
la deﬁnición de la segunda ley de Newton es: La fuerza que actúa sobre el cuerpo
es igual a la tasa de variación [con respecto del tiempo] de la cantidad de movi-
miento, mv es decir,
F =
d
dt
mv (1.2)
la masa m, que para la relatividad restringida no es constante aunque si lo es para
el caso clásico. En el caso relativista, m = m0√
1−v2/c2
, donde c es la velocidad
de la luz en el vacío y m0 es la masa en reposo, que es una constante universal
para cada cuerpo. Dicha velocidad tomaremos en lo que sigue como c ∼ 3 ×
1010
cm/s. Desde el punto de vista de la mecánica, el momento lineal, o cantidad
de movimiento p = mv debe tener en cuenta la masa relativista. Como se ve el
cambio en la segunda ley de Newton no es muy grande.
Si, en la ecuación 1.2 se conoce F el objetivo del cálculo presente es el de sumi-
nistrar la abscisa x en función de t haciendo uso de cualquier tipo de conocimiento
técnico en matemáticas.
Infelizmente, la dependencia de F puede depender no sólo de la abscissa x, sino
que del tiempo t e incluso de la velocidad v o en el peor de los casos de todas estas
variables.
Fuerza constante La ecuación 1.2 se puede integrar rápidamente para lo
cual necesitamos constantes arbitrarias, como cualquier estudiante de cálcu-
lo sabe. El resultado es, si F =constante,
x = x0 + v + v0(t − t0) +
1
2
F
m
(t − t0)2
(1.3)
donde m es una constante asi como v0 y t0.
Fuerza variable dependiente del t asi como de x y dx/dt cada vez en su-
mando. La ecuación resultante es
m¨x + a ˙x + kx = F(t) (1.4)
donde los puntos sobre la variable x implica derivadas con respecto al tiem-
po para un punto, mientras que para dos signiﬁca derivadas segundas con
respecto al tiempo dos veces.

Si, en el caso mas simple, no hay dependencia de F con respecto a t diga-
mos F(t) = 0, entonces hablamos de oscilaciones libres. En la ecuación
1.4 el tercer término de la izquierda implica una “ley” de Hooke, esto es,
existe una fuerza de restitución (colocándolo al segunto término) que hace
que el cuerpo sienta un coeficiente de restitución que tiende a empujar al
cuerpo hacia la posición de equilibrio, en este caso x = 0. Llevando el se-
gundo término al segundo miembro de la ecuación 1.4 se obtiene una fuerza
“activa” F = −adx/dt que produce una resistencia viscosa al movimiento
del cuerpo.
La solución de la ecuación diferencial lineal 1.4, se encuentra mediante las
constantes r± = −a/2m ± (a/2m)2 − k/m de tal modo que la solución
general de 1.4 es
x = A+er+t
+ A−er−t
(1.5)
Cuando la solución de la ecuación característica posee una sola raiz, es de-
cir p+ = p− = p = −a/2m, entonces se dice que la solución ofrece solo
una atenuación, la solución general siempre tiene dos constantes arbitrarias,
entonces x = (A + Bt) exp(pt). Esa atenuación recibe el nombre de ate-
nuación crítica. La atenuación es la disminución exponencial que define la
función exp(−|p|t). Cuando la atenuación es menor que la atenuación crí-
tica, es decir cuando las amplitudes de las oscilaciones no disminuyen mas
rápidamente que la atenuación crítica, los valores de r± son conjugados
complejos entre si.
La solución teórica de más arriba se muestra en la figura 1.1. En la ilustra-
ción de la izquierda se muestra el esquema tanto de la fuerza de restitución
del resorte, así como la de fricción.
Ahora bien, ya que las soluciones para x deben ser reales, entonces la solu-
ción general debera ser real, con lo que los coeficientes A± de la solución
1.5, también deberán ser entre si complejos conjugados. En esos casos, lla-
mamos jω = (a/2m)2 − k/m donde j =
√
−1, obteniéndose finalmente
x = Re Ae−(a/2m)t
ejωt
(1.6)
donde |A| ≡ 2|A±|. Las dos constantes arbitrarias se pueden escribir como
A0 y φ en la nueva expresión siguiente

velocidad
friccion
k
m
posición,u.a.
tiempo, u.a.
Figura 1.1: A la izquierda el esquema que da origen a la ecuación diferencial 1.4:
el resorte que se encuentra gracias al cociente k/m, mientras que el rozamiento
que interviene con la constate −a/m. A la derecha la topología general de las
soluciones para el caso en que las soluciones posean sólo una raiz.
x = A0e−(a/2m)t
cos(ωt + φ) (1.7)
además, se debe escribir las ecuaciones de movimiento en función de cons-
tantes físicas como x0, la posición inicial, o bien una posición a un tiempo
ﬁjo t0 lo cual es similar al presente análisis, y como v0 como la velocidad
inicial a un tiempo inicial (en el presente cálculo al tiempo t = 0) dando
ambas constantes físicas como funciones de las constantes A0 y φ de mas
arriba. Del modo siguiente
x0 = A0 cos φ
v0 = −A0
a
2m
cos φ − Aω sin φ (1.8)
es fácil visualizar la variación de x en función del tiempo t.
Caída Libre. Se sabe que la fuerza exterior es una constante F = −mg. El
signo se debe a que se toma la dirección positiva del eje de coordenadas a lo
largo del cenit. Entonces, de acuerdo a lo anterior, ¨x = −g, donde la masa
se considera constante, y que la aceleración de la gravedad se halla inmerso
en la variable g. Elegimos v = 0 para la posición inicial y x = h para dicha
posición. Quedando entonces con simple integracion
˙x = −gt x = h −
g
2
t2
(1.9)

1. Ejercicio: La dependencia de la abscisa en función del tiempo, recibe el
nombre de horaria del movimiento, mientras que la dependencia de la velo-
cidad dx
dt
en función del tiempo recibe el nombre de odógrafa del movimiento.
Encuentre ambas curvas para el caso del problema de caída libre. Los datos
iniciales del problema son por un lado la aceleración de la gravedad, g y por
otro las condiciones del movimiento propiamente dichas, a saber una veloci-
dad inicial y una posición inicial.
Como ya se ha visto en la expresión 1.9 las dos funciones son, una cuadrática en
el tiempo y la otra lineal en la misma variable. En la figura 1.2 se exhibe ambas
curvas. Se ha tomado como condiciones iniciales v0 = −1 m/s y la posición
inicial x0 = 5 m; por otro lado, por sencillez se ha tomado g = 10 m/s2
.
−8
−4
0
4
−0.5 0 0.5
velocidad,m/s
tiempo, s
−8
0
8
−2 −1 0 1 2
posición,m
tiempo, s
Figura 1.2: A la izquierda la odógrafa del movimiento, mientras que a la derecha
la horaria del mismo. El tiempo inicial implica el valor de las magnitudes para el
tiempo t = 0 s, empero, es posible extrapolar a tiempos negativos, esto es, antes
de ahora, y los positivos que implica el futuro.
2. Ejercicio: En la expresión 1.4, sabiendo que k
m
= 0,554 s−2
, y que a)
a
m
= 0,34 s−1
, b) a
m
= 0,554 s−1
encuentre la horaria y hodógrafa del mo-
vimiento
Como quiera que es necesario utilizar paquetes ortodoxos para resolver las ecua-
ciones diferenciales en mecánica, se presenta a continuación el listado del progra-
ma principal, escrito en Fortran, que resuelve dicho problema. En la figura 1.3 se
dan las gráficas pedidas.
C RKGS-SYSTEM OF 1ST ORDER DIFF. EQNS.
C

CÑewton equation with friction
C y1’ = y(2) WITH Y1(0) = 0
C y2’ = -(g/l)y(2)-(k/m)(y(1)) WITH Y2(0) = -2.3
C
EXTERNAL FCN
EXTERNAL OUTPUT
DIMENSION Y(2),DERY(2),AUX(8,2),PARAM(5)
common/one/v0,gsll,xkslm,PI
common/two/mongo
C
C INITIALIZATION
mongo=0
V0=20.
xkslm=0.554
C gsll=0.34
gsll=0.14
Y(1)=V0
Y(2)=-2.3
C Y(2)=-8.3
PI=atan(1.)*4
PARAM(1)=.0
PARAM(2)=60.0
PARAM(3)=0.01
PARAM(4)=1.E-5
DERY(1)=.6
DERY(2)=.4
C DERY WEIGHTING FACTORS FOR ERRORS
ÑDIM=2
CALL RKGS(PARAM,Y,DERY,
*NDIM,IHLF,FCN,OUTPUT,AUX)
STOP ’successful!’
END
SUBROUTINE FCN(X,Y,DERY)
DIMENSION Y(*),DERY(*)
common/one/v0,gsll,xkslm,PI
DERY(1)=Y(2)
DERY(2)=-gsll*Y(2)-xkslm*Y(1)
RETURN

END
SUBROUTINE OUTPUT(X,Y,DERY,
*IHLF,NDIM,PARAM)
DIMENSION Y(*),DERY(*),PARAM(*)
common/two/mongo
mongo = mongo+1
if(mongo/50*50.eq.mongo)
*WRITE(*,102) X,Y(1),Y(2),IHLF
102 FORMAT(1x,F10.2,2(1PE17.8,1x),I7)
RETURN
END
C g77 velo.f rkgs.f
La rutina ortodoxa utilizada se basa en la solución de ecuaciones diferenciales por
el método de Runge-Kutta. Esta rutina se encuentra listada en cualquier libro de
análisis numérico. Los estudiantes que así lo deseen pueden copiar dicha rutina
llamada <rkgs.f>pueden solicitar al autor de este trabajo.
Más adelante, ver 1.18, se encuentra analíticamente una solución similar a la dada
numéricamente aquí. Existe sin embargo, una diferencia y es que el rozamiento es
proporcional al cuadrado de la velocidad.
−10
0
10
20
0 30 60
posición,m
tiempo, s
−10
0
10
0 30 60
velocidad,m/s
tiempo, s
Figura 1.3: En la ilustración de la izquierda, se exhibe la horaria del movimiento,
con las condiciones iniciales elegidas apropiadamente, a saber, la posición inicial
en la ordenada a 20 m y la velocidad inicial dada por v0 = −2,3 m/s. A la
derecha la odógrafa del movimiento. Se ha dibujado sólo uno de cada 20 puntos
calculados.

1.3 El Concepto de la Integral de la Energía 17
1.3. El Concepto de la Integral de la Energía
Si suponemos que la fuerza depende sólo de la posición, que es una suposición
razonable en muchos casos, entonces es posible integrar directamente la ecuación
1.2, quedando
m
t
0
dx
dt
d2
x
dt2
dt =
t
0
F(ξ)
dξ
dt
dt (1.10)
en vista de que en la ecuación 1.10, se puede escribir el integrando del primer
miembro como 1/2 d/dt(dx/dt)2
, la expresión 1.10 se transforma en
m
2
v2
−
m
2
v2
0 =
x
x0
F(ξ)dξ (1.11)
donde las velocidades y posiciones iniciales se han tomado como x0 y v0 especti-
vamente. Por otro lado, definimos a una función potencial V (x), como el trabajo
con signo contrario de “otra” fuerza opuesta a la anterior que la produce, es decir1
V (x) − V0(x) = −
x
x0
F(ξ)dξ (1.12)
igualando las expresiones 1.11 y 1.12, se obtiene finalmente
1
2
mv2
+ V (x) =
1
2
mv2
0 + V (x0) ≡ E (1.13)
que no es otra cosa que la suma de la energía cinética, tradicionalmente escrito
como T = 1/2 mv2
y la “energía” potencial que acabamos de definir. Como
se ve, ambas sumatorias, independiente del punto en que el cuerpo se encuentre,
siempre dan un número E.
Volviendo el ejercicio anterior de la caida libre, encontramos que la energía poten-
cial se escribe como dV = mg dx, (obsérvese el cambio de signo para la fuerza),
dando como consecuencia V (x) = mgx. Por otro lado, T = 1/2 mv2
, se obtiene
de 1.13,
1
alternativamente se puede decir que existe una función potencial tal que su gradiente cambiado
de signo sea igual a la fuerza F(x)

1
2
mv2
+ mgx = mgh = E (1.14)
lo que implica haber tomado que para la posición inicial el cuerpo se encuentra a
una altura h y con una velocidad v0 = 0, de donde se obtiene para la velocidad
ﬁnal (para cuando arrive al piso, esto es, x = 0) v =
√
2gh.
En vista de la introducción de este nuevo concepto analicemos ejemplos
Caída Libre en el Aire. Como es usual asumimos que la resistencia del
aire a la caída de un cuerpo depende de la velocidad de éste. Es mas, de
acuerdo a la ley de fricción introducida por Newton, podemos pensar que
dicha resistencia es proporcional al cuadrado de la velocidad. Es decir
F(x) = −mg + av2
(1.15)
aplicando la segunda ecuación de Newton se obtiene
dv
dt
= −g +
a
m
v2
= −g(1 −
a
gm
v2
) (1.16)
donde se puede observar que el sentido de la aceleración de la gravedad
se halla opuesto a la fuerza de fricción. Ahora bien, separando variables y
haciendo uso de la descomposición en fracciones simples se obtiene
−gdt =
dv
2
[
1
1 − a/gmv
+
1
1 + a/gmv
] =
1
2 a/gm
ln[
1 + a/gmv
1 − a/gmv
]
(1.17)
de donde se obtiene
a/gm v = −
sinh( a/gm gt)
cosh( a/gm gt)
= − tanh( a/gm gt) (1.18)
debido a que existe un valor límite para tanh(x) que se aproxima a 1, se
puede obtener una velocidad máxima para el cuerpo, a saber |v| = gm/a.

Por otro lado, si se descompone en serie de Taylor la tangente hiperbólica
se obtiene
v = −gt[1 −
a
3m
gt2
] (1.19)
de donde se puede ver la dependencia cúbica entre la velocidad y el tiempo
para valores pequeños de ag/mt.
3. Ejercicio: Haciendo uso de una rutina apropiada, encontrar la hora-
ria de movimiento del problema de la caída libre en el aire.
El Oscilador Armónico Por deﬁnición, el oscilador es el movimiento de
un cuerpo con masa deﬁnida y constante que es solicitado por una fuerza
proporcional a su desplazamiento y dirigida en la dirección del centro de
desplazamiento. Es decir F = −kx. Utilizando la conservación de la ener-
gía se obtiene, por un lado, dV = −Fdx = 1/2 kdx2
, lo que da para una
integración entre 0 y x V (x) = k/2 x2
, de donde haciendo uso la conserva-
ción de la energía se obtiene
1
2
mv2
+
1
2
kx2
= E (1.20)
dando las condiciones iniciales, para t = 0, se suministra digamos, x = a y
v = 0, de tal modo que en el punto t = 0 la energía E valga 1/2 ka2
. De la
ecuación 1.20 se obtiene
(
dx
dt
)2
=
k
m
(a2
− x2
)
k
m
dt =
dx
√
a2 − x2
(1.21)
con una cuadratura, se obtiene con las condiciones iniciales indicadas mas
arriba, llamando, como es costumbre ω = k/m
ωt = arcsin(
x
a
) −
π
2
(1.22)

lo que da el resultado buscado
x = a cos(ωt) (1.23)
ω no es otra cosa que el número de vibraciones de 2π por unidad de tiempo.
Si se llama T el período de oscilación y ν la frecuencia se ve que ω =
2π/T = 2πν. Obviamente que no es necesario recurrir a la conservación de
la energía para resolver este problema.
4. Ejercicio: Encontrar la solución de la ecuación del resorte sin tener
en cuenta la conservación de la energía
La Fuerza que depende del inverso de la distancia al cuadrado. En este
caso, que es el de la gravitación universal, se puede escribir la ecuación
de Newton como sigue, caso de un meteorito, o un cohete que sale de la
atmósfera terrestre sin rozamiento.
m
d2
r
dt2
= −
mMG
r2
(1.24)
con las constantes usuales, m, la masa del cuerpo que se halla atraída por
la atracción gravitatoria de una cuerpo celeste de masa M y G la constante
de la gravitación universal. La distancia a la que se encuentra el cuerpo se
define, en una dimensión, como r. (Ver figura 1.4). Para evitar utilizar el
valor de la constante de gravitación G decimos que el valor de la fuerza a la
distancia de la superficie del cuerpo celeste, que es esférico, se confunde con
la llamada aceleración de la gravedad multiplicada por la masa del cuerpo; o
sea, gm = mMG/a2
, donde a es el radio del cuerpo celeste. Para fijar ideas
diremos que se trata de la tierra. Entonces, encontremos la energía potencial
dV = +mga2 dr
r2
(1.25)
efectuando una cuadratura, empero, con los límites de integración entre
el valor que nos interesa y otro a una distancia ∞. Quedando finalmente
V (x) = −mga2
/r. Utilizando entonces la conservación de la energía con
las condiciones iniciales indicadas queda

0
r
r
F
Figura 1.4: El origen es el centro del cuerpo celeste, el cuerpo de masa m se halla
atraída hacia el centro del cuerpo celeste de acuerdo a la ley de la gravitación
universal. No olvidar que el movimiento es lineal
m
2
(
dr
dt
)2
−
mga2
r
= E = −
mga2
R
dr
dt
= a 2g(
1
r
−
1
R
) (1.26)
de donde se puede despejar el valor del tiempo t. Quedando
t =
1
a
√
2g
dr
1
r
− 1
R
(1.27)
donde R es la posición inicial donde el meteorito se encontraba en reposo
desde donde iniciará su caída hacia la tierra. Los casos mas simples son,
por un lado, R = ∞ y r = a, es decir un meteorito cae desde “arriba” a la
superﬁcie de la tierra con una velocidad de v =
√
2ga.
Ahora bien, si el meteorito no cae desde una distancia muy grande, entonces
R = a + h y r = a, donde h << a. Descomponiendo en Taylor se tiene,
v = 2gh (1 −
h
2a
+ . . .) (1.28)

1.4. Las Leyes de Newton
1. Primera Ley
Todo cuerpo material permanece en el estado de reposo o bien posee un
movimiento uniforme y rectilíneo a no ser que se le soliciten fuerzas exte-
riores.
2. Segunda Ley
La tasa del momento lineal es proporcional a las fuerzas exteriores que ac-
túan sobre el cuerpo. Dicha tasa es un incremento de la velocidad por unidad
de tiempo y que posee la dirección y sentido de las fuerzas exteriores. Se
sobre entiende, como se ha dicho antes que el momento lineal o la canti-
dad de movimiento es el producto de la masa por la velocidad del cuerpo.
Cuantitativamente quiere decir F = ˙p
3. Tercera Ley
Acción es igual a la reacción. Las fuerzas que ejerce un cuerpo sobre otro
son iguales y de sentido contrario a la que éste ejerce sobre aquel.
1.5. Reseña Bibliográfica
Ha pasado casi medio siglo desde que aparecieron los libros clásicos de Mecánica.
Las colecciones de Landau y Lifchitz, el Goldstein, libros clásicos sobre este su-
jeto. En ese entonces los estudios de física, o mejor científicos, prometían mucho
más de lo que se ha obtenido en esas carreras. Los estudios llamados superiores
en los países del tercer mundo han conocido varios avatares. Desde la proposición
que la ciencia era un camino para combatir el subdesarrollo hasta la actual en la
que el concepto científico está supeditado a la llamada globalización política se ha
conocido diversas hermenéuticas para justificar y alentar a la juventud en las vías
de estudios científicos.
Sin embargo, admitamos que el concepto de globalización es la base de los estu-
dios en ciencia. No sólo ahora en el marco popular de tal “filosofía” que se puede
resumir como un monopolio del conocimiento aceptado y aceptable para todos los
que estudian ciencia, con aquello que es indispensable: bibliografías ortodoxas, un
idioma casi monopolista como lo fuera antes el latín y ahora parece ser el inglés,
tecnologías universales como la de los ordenadores, el “internet”, el intercambio

1.5 Reseña Bibliográfica 23
académico que no conoce fronteras ya sea geográficas, raciales o ideológicas, las
revistas, sean estas virtuales o no, forman la base de la globalización científica.
Por otro lado analizando las bibliografías en Mecánica se puede enumerar una
serie de conceptos que disputan a los sobre-entendidos sobre la bondad de las bi-
bliografías ortodoxas. Es prácticamente imposible encontrar re-ediciones de los
libros que justamente vamos a reseñar bibliográficamente. Las ediciones Aguilar
del Goldstein parece que ha caido en el olvido muy posiblemente por que dicho
libro se encuentra en exceso en las bibliotecas públicas. Incluso las editoriales en
lengua inglesa no han permitido ediciones “paperback” de estos libros reputados
de serios y exitosos. En el tercer mundo, felizmente, gracias a medias por la apa-
rición de los aparatos de reproducción electrónica-fotográfica (también llamadas
fotocopiadoras en nuestro medio) y un cierto respeto a la piratería justificable só-
lamente por la ausencia de fondos para reconocer una propiedad intelectual los
libros en cuestión están a disposición de los estudiantes. La colección de los 10
Landaus, la 4a edición en lengua francesa por la editorial Mir antes de la heca-
tombe soviética en mi poder (la original rusa salió a luz en julio del 1957 con 9
tomos), parece ser la sobreviviente de esos tiempos heroicos de una cierta moda
que desaparece en este siglo XXI.
A continuación se inicia una reseña de algunos de estos libros dirigidos al público
estudiantil.
1.5.1. La Mecánica de Landau y Lifschitz
Landau L., Lifchitz E., Mécanique, 4a Edición, Mir Ed., Moscú, 1988
Se trata de introducir la mecánica mediante el principio de mínima acción, apa-
reciendo casi en las primeras páginas las ecuaciones de Lagrange. Introduce in-
mediátamente también Lagrangianos relativistas (relatividad restringida). Menos
mal que no habla del Hamiltoniano en el primer capítulo. Los teoremas de con-
servación son enfatizados, así como las colisiones, y las pequeñas oscilaciones. El
todo se completa con un análisis exhaustivo de la mecánica del rígido para con-
cluir con las ecuaciones de Hamilton-Jacobi. El concepto de Hamiltoniano juega
un papel importante a lo largo del volumen. Existen problemas resueltos (75 en la
4a edición francesa) con mucha sagacidad. Faltan ejercicios propuestos. Se trata
de un libro repudado de denso y tal vez un poco difícil.

1.5.2. La Mecánica de Sommerfeld
Sommerfeld, A., Mechanics, Academic Press, Nueva York, 1952
Aparecido por vez primera en septiembre del 1942, la colección de la física teó-
rica de 6 tomos entre los que sobresale la mecánica. La tradición europea del
enciclopedismo hace posible este tipo de colecciones, muy rara vez emulado en
las Américas. La aparición de esta colección se halla en el esquema de la llamada
física teórica, que era nos imaginamos, vista como una rama más bien de las ma-
temáticas que de la física experimental. Hoy en día dicho caliﬁcativo no deja de
ser un pié de página. Se trata de un libro muy didáctico, con un énfasis en el méto-
do inductivo desde las leyes de Newton, pasando clásicamente de la dinámica del
punto material hasta los conceptos de energía y potencial para resolver, con gran
facilidad, el problema de dos cuerpos. A continuación ataca la mecánica de los
sistemas de partículas, los trabajos virtuales, para ingresar a través de las fuerzas
de D’Alembert a las ecuaciones de Lagrange de 1a y 2a especie. El cuerpo rígido
merece particular atención al ser un erudito en la materia ya que este autor junto a
F. Klein ha escrito un tratado sobre el sujeto. Finalmente toda la teoría variacional
y de Hamilton se encuentra discutida con un énfasis para preparar al estudiante
a la mecánica cuántica, sujeto muy conocido por este profesor de Heisenberg en
la Universidad de Munich. Existen una sesentena de ejercicios resueltos de muy
buena calidad.
1.5.3. La Mecánica Clásica del Goldstein
Goldstein H., Classical Mechanics, 3d Printing, 1966, Addison Wes-
ley, Reading Mass.
Libro clásico, o por lo menos reputado de tal. Su primera edición apareción en
1950. Posee una decena de ejercicios propuestos por capítulo muy al estilo ame-
ricano. Las ecuaciones de Lagrange se encuentran discutidos inmediátamente en
el primer capítulo luego de un análisis de los conceptos de grados de libertad, de
fuerzas, y de las leyes de Newton. Es un libro de casi 400 páginas con una tipo-
grafía excelente, siendo su notación aceptada por todos a partir de la aparición del
libro. El principio de Hamilton se encuentra en el segundo capítulo. Cubre todos
los sujetos clásicos e incluso introduce en un capítulo la teoría de la relatividad
restringida con una formulación covariante. Las ecuaciones de Hamilton y las de

1.5 Reseña Bibliográfica 25
Hamilton-Jacobi son tratadas con cierta profundidad. Termina el texto con la for-
mulación Lagrangiana de los sistemas contínuos. Obviamente que en la época de
la aparición del libro se pensaba que un fluído era un sistema con infinitos grados
de libertad.
Se trata de un libro que posee más reputación de ser un libro de texto entre los
estudiantes que ser estudiado realmente.
1.5.4. La Mecánica de Symon
Symon K. R., Mechanics, 2d Edition, Addison Wesley, 1960, Rea-
ding, Mass.
Es un libro de apenas 40 años, como se vé de todos modos un libro relativamente
viejo. Se trata de una obra muy al estilo americano, relativamente “facil” en la
tradición clásica de introducir el sujeto. Es decir, primero la dinámica del pun-
to, luego de un sistema de partículas, el rígido, la gravitación para introducir en
los últimos capítulos Lagrange, Hamilton. No existen los principios variaciona-
les, tampoco las ecuaciones de Hamilton-Jacobi. Posee muchos más ejercicios
propuestos (con las respuestas para las preguntas impares) que los otros libros. Es
mas bien un libro para ingenieros que para científicos, aunque no es demasiado
técnico tampoco.
1.5.5. La Mecánica de Slater y Frank
Slater J. C., Frank N. H., Mechanics, 1947, New York, McGraw-Hill
Otro libro relativamente viejo, su primera edición es de 1947. Se trata de otro libro
que forma parte de una colección clásica de la llamada entonces Física Teórica.
Se trata de un muy buen libro con una introducción clásica del sujeto, punto ma-
terial, sistema de partículas, las ecuaciones de Lagrange y Hamilton, aunque no la
ecuación de Hamilton-Jacobi ni los principios variacionales. Posee sin embargo
elasticidad e introducción a la teoría de los fluidos. Es una obra a consultar aún
hoy día ya que sus ideas son muy claras.

Capítulo 2
Movimiento en el Plano y Espacio
2.1. Introducción
A partir de ahora se va introducir el concepto de geometría diferencial para que
se pueda exhibir el concepto de análisis vectorial como la base de la cinemática
en mas de una dimensión. Es oportuno mencionar sin embargo que si se domina
pasablemente el álgebra vectorial, la mecánica de más de una dimensión no ofrece
mayores dificultades de comprensión.
A continuación introducimos las fórmulas de Fresnet para entender adecuádamen-
te los conceptos de relaciones geométricas útiles en la cinemática.
Empecemos con la definición geométrica de una curva en el espacio de tres di-
mensiones, sea r = r(t) la ecuación de una curva en tres dimensiones. Se sobre
entiende que r es un vector cuyo orígen está elegido arbitrariamente y cuyo punto
final se encuentra sucesivamente en todos los punto de la curva en cuestión, ver
figura 2.1. Si se define como el cuadrado de un elemento de arco de la curva a la
expresión ds2
, entonces
ds2
= dr2
= [
dr
dt
]2
dt2
(2.1)
si en la expresión 2.1 se pudiese encontrar t(s), o su inverso digamos s(t), po-
dríamos elegir el parámetro s, es decir el arco de la curva, como el argumento
especial de otra función vectorial dada por

28 Movimiento en el Plano y Espacio
r
r+dr
ds
t+dt
O
t,s
s 0
Figura 2.1: La magnitud escalar s se puede medir a partir de s0. Aquel punto coin-
cide con un tiempo t medido en un reloj cualquiera. El incremento vectorial entre
t y t + dt depende de los vectores r y r + dr, mientras que ds se halla medido a
lo largo de la curva que une estos dos últimos puntos
r = R(s) (2.2)
encontrando, mediante una simple derivación vectorial
t(s) =
dR
ds
(2.3)
se ve inmediatamente que el módulo de |t| = 1, por la deﬁnición de derivada de
una función vectorial con respecto a su argumento cuando éste es la longitud a lo
largo de la curva. Ello involucra que t2
= 1, o lo que es lo mismo, derivando t · t,
t·
dt
ds
= 0 (2.4)
lo que la expresión 2.4 implica es que tanto t como dt/ds son perpendiculares
entre si.
Deﬁnamos una normal n, como un vector unitario, del modo siguiente
dt
ds
= κn (2.5)
donde κ es la curvatura.

2.1 Introducción 29
Nuevamente, se tiene un vector n que es unitario, esto es, n · n = 1, muy posi-
blemente que la derivada de ese vector con respecto del arco s sea un vector que
se encuentre en forma perpendicular a la normal n, aunque con componentes a lo
largo de la tangente t y también a lo largo de una vector que llamaremos a con-
tinuación bi-normal, b. La definición de este vector bi-normal es b = t × n, es
decir
dn
ds
= αt + τb (2.6)
y como se ve de la definición del vector binormal se trata de un vector también
unitario como los otros dos la tangente y la normal. De las definiciones los tres
vectores forman una terna cartesiana ortogonal, como la que estamos acostumbra-
dos en un sistema Oxyz. Como quiera que la normal y la tangente son ortogonales,
entonces, de derivar d(t · n)/ds se obtiene
t ·
dn
ds
+ n ·
dt
ds
= 0 (2.7)
ello implica, haciendo uso las anteriores ecuaciones 2.6 y 2.5 se obtienen α = −κ.
Por otro lado el coeficiente τ de la expresión 2.5 recibe el nombre de coeficiente
de torsión.
Finalmente, es posible demostrar que la derivada del vector binormal con respecto
el arco de la curva se convierte en el producto del coeficiente de torsión multipli-
cado por el vector normal. A continuación resumiremos las tres ecuaciones de
Fresnet
dt
ds
= κn (2.8)
dn
ds
= −τb − κt (2.9)
db
ds
= τn (2.10)
5. Ejercicio:
Para considerar el tipo de cálculo indicado en las fórmulas de Fresnet busquemos la trayectoria dada por una

y
x
z
y
x
z
tn
b
Figura 2.2: A la izquierda, una vista de una hélice. El radio vector apunta a una
posición con coordenadas polares con acimut: 4π+π
4
. A la derecha se ha dibujado
la terna de Fresnet para un punto con acimut: 3π
2
.
hélice, ver ﬁgura 2.2. Ello se realiza mediante el movimiento de un cuerpo con una velocidad angular ω en un
plano que al mismo tiempo se mueve perpendicular a dicho plano hacia arriba. Si consideramos el sistema carte-
siano tal que la velocidad hacia arriba es el sentido del eje positivo oz y por otro lado que el movimiento circular
proyectado sobre el plano xy de tal modo que cuando el tiempo es t = 0 el móvil se encuentra sobre el eje de las
abscisas. Se asume que el radio de la circunferencia es a, entonces las coordenadas cartesianas del movimiento
son
x = a cos ωt (2.11)
y = a sin ωt (2.12)
z = vt (2.13)
para poder encontrar el parámetro s basta encontrar
ds = dx2
+ dy2
+ dz2
= [ ˙x2
+ ˙y2
+ ˙z2
]dt2
= (a2
ω2
+ v2
)dt2
(2.14)
entonces
tx = dx
ds
= −
aω
√
a2ω2 + v2
sin ω
s
√
a2ω2 + v2
(2.15)
ty = dy
ds
=
aω
√
a2ω2 + v2
cos ω
s
√
a2ω2 + v2
(2.16)
tz = dz
ds
=
v
√
a2ω2 + v2
(2.17)
como se puede comprobar |t| = 1.
Sabemos que el vector n es proporcional a la derivada del vector tangente t en función de s. Ello implica

2.2 Dinámica del Punto 31
κnx = dtx
ds
= −
aω2
a2ω2 + v2
cos ω
s
√
a2ω2 + v2
(2.18)
κny =
dty
ds
= −
aω2
a2ω2 + v2
sin ω
s
√
a2ω2 + v2
(2.19)
κnz = 0 (2.20)
de donde se ve laramente que κ = −aω2/(a2ω2 + v2), y que
nx = cos ω s√
a2ω2+v2
(2.21)
ny = sin ω s√
a2ω2+v2
(2.22)
nz = 0 (2.23)
ya que |n| = 1.
Finalmente, calculando el producto vectorial entre el vector tangente y el vector normal se obtiene el vector
bi-normal, a saber
bx = − v√
a2ω2+v2
sin ω s√
a2ω2+v2
(2.24)
by = v√
a2ω2+v2
cos ω s√
a2ω2+v2
(2.25)
bz = − aω√
a2ω2+v2
(2.26)
2.2. Dinámica del Punto
La segunda ley de Newton se representa como
F =
dp
dt
(2.27)
donde F es la fuerza exterior que actua sobre la partícula cuyo momento lineal es
p. La velocidad v está expresada como dr/dt. Como antes si llamamos la longitud
de la curva a partir de un valor ﬁjo, aunque arbitrario, s entonces,
dr
dt
= tv (2.28)
donde v = |v| y t es la tangente unitaria como se ha explicado antes. Es facil darse
cuenta de que ds/dt = d|(∆r)|/dt.

Si la masa es constante entonces la expresión de la segunda ley de Newton se
escribe como
m
d2
r
dt2
= F (2.29)
mediante una segunda derivada a la expresión 2.28 reemplazando en 2.29,
mκv2
n + m
dv
dt
t = F = F⊥ + F t = F⊥n + F t (2.30)
lo que involucra que la fuerza paralela al movimiento genera una aceleración tan-
gencial dada por ya sea d2
s/dt2
o bien |dv/dt|, mientras que la fuerza normal
genera una aceleración normal que es igual a la curvatura ya descrita multiplicada
por la velocidad al cuadrado.
6. Ejercicio:
Sea el caso de un movimiento parabólico. Se trata de un cuerpo que inicia su movimiento con una velocidad
inicial con una inclinación con respecto al eje horizontal de un ánguno α. Se pretende encontrar no sólo la acele-
ración con sus dos componentes, sino que además se busca el triedro de Fresnet.
Por un lado, las ecuaciones de movimiento, que se integran desde las ecuaciones de Newton, considerando la
masa m constante
y = v sin α · t − 1
2
gt2 (2.31)
x = v cos α · t (2.32)
sólo necesitamos esas dos ecuaciones ya que el movimiento es plano. Las dos ecuaciones 2.31 y 2.32 son las
ecuaciones paramétricas de la horaria. Derivando ambas ecuaciones se encuentra las ecuaciones paramétricas de
la hodógrafa, a saber
˙y = v sin α − gt (2.33)
˙x = v cos α (2.34)
Por otro lado para resolver este problema se necesita, por un lado la curvatura de la trayectoria, es decir, κ
expresada en las fórmulas de Fresnet de mas arriba. Para ello basta encontrar la velocidad de la partícula en
todo punto. Basta derivar, con respecto de t en ambas expresiones 2.31 y 2.32. Dicha velocidad es un vector
cuya magnitud no es por supuesto la unidad en general. Bastará dividir dicho vector por el módulo del mismo y
encontrar el vector tangente t. Es decir
ty = v sin α−gt
√
v2+g2t2−2gtv sin α
(2.35)
tx = v cos α√
(2.36)
tz = 0 (2.37)

2.3 Momento Angular 33
obsérvese que en estas ecuaciones no se ha escrito el vector tangente en función del parámetro longitud de la
curva. Eso a veces no es posible hacerlo en forma compacta. Una vez que se tiene dicho vector, el derivar en
función del parámetro longitud de la curva s hay que realizarla en cadena, lo que resulta ser muy laborioso ya
que se encuentra la raiz en el denominador de las expresiones del vector t. Sin embargo, el encontrar la curvatura
de curvas planas (en cuyo caso el vector bi-normal es el versor k del eje Oz, que es perpendicular al plano de
la parábola y la torsión se anula) es automático cuando la curva está escrita en función de un parámetro, en este
caso el tiempo t. La fórmula de la curvatura de estas curvas está dada por 1
κ = ±
˙xÿ − ˙y¨x
[ ˙x2 + ˙y2]3
(2.38)
Por lo tanto, en vista de que la normal es escrita con las mismas componentes que la tangente, excepto un signo
cambiado (para que se pueda verificar que son normales entre si), los otros versores del triedro de Fresnet se
escribe como
n = −tyi + txj (2.39)
b = k (2.40)
donde los versores i, j, k son los versores cartesianos.
Finalmene la aceleración se escribe como
a = d
dt
v2 + g2t2 − 2gtv sin α (2.41)
a⊥ = gv cos α
√
(2.42)
7. Ejercicio: En el ejercicio anterior, encuentre numéricamente los valores de
la aceleración tangencial y la normal, para el cuerpo a un tiempo t = 0,3 s
sabiendo que el tiro inclinado posee una inclinación de 60◦
y que a la posición
inicial se encontraba en el origen de coordenadas Cartesianas que se muestra
en la figura 2.3
2.3. Momento Angular y Momento
de las Fuerzas
Se define el momento angular L como
1
G. B. Thomas, Calculus and Analytic Geometry, Addison-Wesley, pp. 588, London 1960

0
5
0 5
y,m
x, m
tn
v0 v0=10.8 m/s
Figura 2.3: Encuentre la aceleración tangencial y normal para los datos que se
muestran en la ilustración para la posición indicada con un círculo. Se mues-
tra asimismo el versor tangente y el normal en esta ilustración de acuerdo a las
fórmulas 2.35, 2.36, 2.37 y 2.39
L = r × p (2.43)
donde r es el radio posición de la partícula. Hay que insistir en que se debe respetar
el órden de los factores. En forma análoga se deﬁne el momento de las fuerzas
exteriores como
N = r × F (2.44)
Tomando en cuenta el momento en la ecuación 2.27 se encuentra
r × F = N = r×
d
dt
mv (2.45)
por otro lado, se sabe que la derivada de un producto vectorial es igual a la derivada
del primer factor vectorial el segundo mas el primer factor vectorial la derivada
del segundo factor. Por lo tanto, d
dt
r × v = v × v + r × a; sin embargo, el primer
término del segundo miembro es óbviamente igual a cero, por lo tanto
d
dt
r × p = r×
d
dt
p ≡ r × F (2.46)

2.4 Sistemas Conservativos 35
es decir
d
dt
L = N (2.47)
esta ecuación 2.47 es la reﬂección especular del primer principio de Newton.
Si los momentos de las fuerzas exteriores se anulan, esto es, N=0, entonces, como
la derivada con respecto del tiempo del momento angular se anula, se saca como
consecuencia, el momento angular, L, se mantiene constante. Recordemos el pri-
mer principio de Newton, si las fuerzas exteriores F=0, entonces, de acuerdo a la
expresión 2.27, el momento lineal p= constante.
2.4. Sistemas Conservativos
Como se ha deducido en una dimensión ver capítulo 1, sección 1.3 es necesario
introducir los conceptos de energía potencial en el movimiento descrito por el
álgebra vectorial. En primer lugar, siempre que las fuerzas que actúan sobre los
cuerpos sólo dependan de la posición entonces es posible hablar de sistemas con-
servativos. Dado un cuerpo (que supondremos pequeño desde el punto de vista de
sus dimensiones geométricas en tres dimensiones) al cual se solicita una fuerza
F, por un lado podemos encontrar una magnitud dinámica que depende de sus
características cinemáticas, tales como sus velocidades ademas de sus masas, que
en lo que sigue se considera constante. Para ello basta integrar la segunda ley de
Newton 2.27 multiplicada escalarmente por dr y nos concentramos con el segun-
do miembro, entonces, si asumimos que la trayectoria pasa desde el punto 1 al
punto 2, donde en ésta última el cuerpo posee una velocidad v2 mientras que en
aquel punto posee v1,
m
2
1
dv
dt
· dr = m
2
1
dv
dt
· dvdt =
m
2
2
1
d
dt
v2
dt (2.48)
como se ve de la ecuación 2.27, el primer miembro no es otra cosa que la energía
de la partícula cuando es trasladada desde el punto 1 al punto 2 a lo largo de la
trayectoria por la fuerza exterior F. Esa energía o trabajo se puede representar
mediante W12, por lo que la identidad entre esta deﬁnición y la integral de 2.48 da
W12 =
m
2
[v2
2 − v2
1] = T2 − T1 (2.49)

en la expresión 2.49 se ha reemplazado el producto de la masa por la velocidad al
cuadrado en un punto dado por la fórmula compacta T.
Aqui vale la pena una digresión. Se ve con más claridad aqui que cuando la tra-
yectoria del móvil es cerrada, (por mas que sea alabeada), la expresión 2.49 se
hace cero: El trabajo desde el punto dado a lo largo de una trayectoria cerrada
hasta llegar al mismo punto es cero. Ello se representa con una integral curvilínea
F·dr = 0 (2.50)
entonces se dice que el trabajo por la fuerza exterior es cero en un camino ce-
rrado. Entonces el sistema es conservativo. Por otro lado, es posible demostrar
(teorema de Stockes) que en esos casos la fuerza exterior posee un rotor que se
anula. Como consecuencia, existe entonces una función escalar, llamada energía
potencial del sistema tal que
F = − V (r) (2.51)
en esas circunstancias de acuerdo al capítulo 1, sección 1.3 ecuación 1.13, se
puede introducir una constante en ese sistema, llamada Energía y que se suele
representar por la letra E. Se había dicho entonces que se denomina la energía
potencial al trabajo de una fuerza similar a la exterior F pero de signo contrario,
es decir
V1 − V2 = −
2
1
F·dr (2.52)
que igualando con 2.49 se tiene
V1 − V2 = T2 − T1 E ≡ T1 + V1 = T2 + V2 (2.53)
8. Ejercicio:
Demostrar por cálculo directo que la energía E es constante en dos puntos cualesquiera de la trayectoria de
una tiro inclinado.
Por un lado, sabemos que al iniciar el tiro inclinado, esto es t = 0 s la velocidad inicial, que posee una inclinación
de un ángulo α, es v = v2
0 cos2 α + v2
0 sin2 α, ver ﬁgura 2.3. Por otro lado, cuando el proyectil se encuentra
en la cima de su movimiento parabólico es fácil de encontrar que v0 sin α = gt, anulando la ecuación 2.33.
En la posición inicial, la energía es (la energía potencial V (y) depende sólo de la altura del piso y)

2.5 Potenciales Mas Conocidos 37
Cuadro 2.1: Principales potenciales conservativos
secuencia fuerza Potencial dimension
1 caida mgz 1,2
libre
2 oscilador kr2
1,2,3
armónico
3 gravitación −ga2
/r 1,2
universal
4 Coulomb ±me2
/r 1,2
E =
m
2
v2
0 + 0 (2.54)
en la cima de la parábola, t = v0 sin α/g que reemplazando en la hodógrafa del movimiento, 2.33, sale, vy = 0
y vx = v0 cos α de la expresión 2.34. Por otro lado, la energía potencial es en la cima (ya que en el piso es 0)
V = gmh ≡ m
2
v2
0 − 1
2
mv2
x = 1
2
mv2
0 sin2 α, entonces
E =
m
2
v2
0 cos2
α +
m
2
v2
0 sin2
α (2.55)
que es el mismo resultado anterior. En cualquier otro punto la energía E posee el mismo valor.
2.5. Potenciales Mas Conocidos
Es oportuno presentar un cuadro sinóptico de cada tipo de fuerza (que sea conser-
vativa por supuesto) y su correspondiente [energía] potencial. En la Tabla 2.1 se
muestra las variables r o z. Cuando se trata de un problema bidimensional, enton-
ces, se considera el eje Oz en la dirección del nadir local. Mientras que la variable
r es el módulo de un vector posición ya sea en un plano o bien en el espacio.
Un oscilador armónico, en una dimensión signiﬁca que el móvil oscila a lo largo
de un centro de oscilación, esto es, un movimiento de vaivén. En dos dimensiones
y tres dimensiones, el potencial se expresa como
V (x, y) =
1
2
kxx2
+
1
2
kyy2
(2.56)

V (x, y, z) =
1
2
kxx2
+
1
2
kyy2
+
1
2
kzz2
(2.57)
donde los coeficientes k son constantes. Hay que pensar que el movimiento del
móvil frente a estas fuerzas puede ejecutar trayectorias cerradas.
En cuanto a los potenciales que dependen de 1/r, donde r(x, y) o bien 1/x para
dos y una dimensiones respectivamente, pueden producir órbitas cerradas (elipses
en general) o bien abiertas (hiperbólicas o parabólicas). Debido a la existencia de
este tipo de potenciales (los llamados potenciales centrales) el movimiento resulta
ser plano en el peor de los casos.
2.6. El Movimiento Planetario
Como quiera que la fuerza de la gravitación universal posee una dirección desde
el cuerpo celeste, digamos la tierra, hacia otro, digamos el sol, el momento de las
fuerzas gravitacionales debe ser cero ya que el producto vectorial de dos vectores
paralelos se anulan. Ello quiere decir que el momento angular L del sistema de
esos dos cuerpos es constante como se ha visto antes. Al ser L constante el pro-
ducto vectorial del radio vector y el momento lineal del sistema siempre deben
estar en un plano: El movimiento es plano. Tomemos el plano del papel como el
plano del movimiento. Ello involucra que sólo el eje cartesiano x, y se pondrá en
juego. U otro sistema plano como el polar con las variables r y φ.
Por otro lado, si bien se trata de dos cuerpos, para introducir un esquema de cálcu-
lo apropiado, supondremos que uno de ellos, digamos el sol, permanece siempre
fijo. Eso no es posible ni en la realidad ni se hace plausible ya que el sol posee
una masa finita y que por el tercer principio de Newton el efecto de la tierra sobre
el sol debe ser idéntido al del sol sobre la tierra. Ello involucra que el sol tam-
bien debe dejar de estar en reposo o con velocidad constante. Oportunamente se
verá que en un sistema de partículas como el que nos ocupa, hay que separar la
discusión de estos dos cuerpos como si se tratara de uno solo y que se mueve con
respecto al centro de masa de ambos. Sólo que hay que cambiar ligeramente la
masa del cuerpo estudiado. Para hacer una historia largo corta, y evitar este tipo
de problemas, diremos que el sol se halla inmóvil en su lugar todo el tiempo.

2.7 Las Leyes de Kepler 39
C C’
M
N
a
b
c
Figura 2.4: la elipse con sus dos semi-ejes y la excentricidad =c/a
2.7. Las Leyes de Kepler
Las leyes de Kepler, indican fundamentalmente que las trayectorias de los planetas
en nuestro sistema solar siguen órbitas elípticas. La geometría de una elipse está
dada por la definición de los puntos geométricos donde la suma de las distancias
a dos puntos fijos, llamados focos de la elipse posee un valor fijo. Esa distancia
se denomina 2a, donde a será el semieje mayor de la elipse, ver figura 2.4. Los
dos puntos fijos del que se habla están indicados con los símbolos de un pequeño
círculo en la figura. El foco de la izquierda es la posición del sol, mientras que el
extremo del vector CM se encuentra la tierra.
El origen del sistema coordenado Cartesiano de la figura 2.4 se encuentra en el
centro geométrico de la elipse. La distancia b recibe el nombre de semieje menor
de la elipse. La distancia c es la distancia del centro al foco de la elipse. Es posible
demostrar que c =
√
a2 − b2. A su vez se denomina excentricidad de la elipse al
cociente de la distancia focal (al centro de la elipse) sobre el eje mayor de una
elipse. Es decir
=
c
a
(2.58)
La ecuación de una elipse en ese sistema de coordenadas, se escribe como

x2
a2
+
y2
b2
= 1 (2.59)
como se puede deducir rapidamente. Por otro lado, conviene escribir dicha cónica
en el sistema de coordenas polares del plano. El semieje positivo comienza no en
el centro de la elipse sinó en el foco de la izquierda. el radio vector, r, apunta a
todos los puntos de la elipse, en este caso la ecuación de una elipse se escribe
r =
a(1 − 2
)
1 + cos θ
(2.60)
En la figura 2.4 se puede ver que cuando θ = π/2 el radio vector posee una
distancia b × b/a, ya que se sabe que a2
= b2
+ c2
por lo que la distancia CN =
b2
/a.
2.8. La Solución de la ecuación de Newton
Por un lado, se tiene que el momento de las fuerzas de gravitación es nulo. Ya que
de acuerdo a la gravitación universal, la ley de atracción entre cuerpos celestes se
escribe como (en el sistema de referencia de la figura 2.4, donde el origen está en
el punto C)
F = −G
M m
r3
r (2.61)
obsérvese que el signo menos indica que hay atracción.
Es facil de ver que el momento de las fuerzas exteriores con respecto al origen de
la figura 2.4 es nulo. Se define el momento angular como
L = r × p (2.62)
derivando la ecuación 2.62 se obtiene dos términos uno de los cuales es óbvia-
mente cero ya que la derivada de r es paralela al momento lineal; mientras que
la otra es el momento de las fuerzas centrales, ver 2.61, ya que el momento de ˙p
es, de acuerdo a la segunda ley de Newton, el momento de las fuerzas exteriores,
que sale cero en vista de que tanto la fuerza como el radio vector son paralelos.

2.8 La Solución de la ecuación de Newton 41
Ello involucra que, al permanecer L constante, r apunta siempre a un plano per-
pendicular al momento angular . En consecuencia el movimiento del planeta está
en un plano
2.8.1. El Sol en Reposo
Los planetas se encuentran realizando un movimiento bi-dimensional, digamos en
la eclíptica. Como quiera que la masa del sol es 300 mil veces más grande que la
de la tierra, e incluso 320 veces mas grande que el planeta Jupiter –el mayor de
nuestro sistema solar, suponemos que el sol no se mueve. Por otro lado, debido
a la ley de la gravitación universal, r × F = 0. De acuerdo a la constancia del
momento angular, se tiene
L = r × p = const. (2.63)
Si denominamos velocidad aerolar a la variación de la superﬁcie de un sector
elíptico por unidad de tiempo como r × v/2, implica que
r × p = 2m
dS
dt
(2.64)
llamando C = 2dS/dt, se obtiene
dS =
1
2
r2
dφ 2
dS
dt
= r2 ˙φ = C (2.65)
de donde se obtiene, ˙φ = C/r2
.
La primera ley de Kepler dice: Los planetas describen órbitas elípticas alrededor
del sol, el que ocupa uno de los focos de la elipse.
La segunda ley de Kepler dice: El radio vector de los planetas barre áreas iguales
en tiempos iguales. Derivemos la primera ley de Kepler. En el sistema de coorde-
nadas del sistema de referencia polar se puede encontar las componentes de las
velocidades como
d ˙x
dt
= −
GM
r2
cos φ (2.66)
d ˙y
dt
= −
GM
r2
sin φ (2.67)

Multiplicando ambos miembros de las expresiones 2.66 y 2.67 por 1
˙φ
y con la
ayuda de la expresión 2.65 se obtiene
d ˙x
dφ
= −
GM
C
cos φ (2.68)
d ˙y
dφ
= −
GM
C
sin φ (2.69)
que es fácil de integrar, en efecto, llamando las constantes de integración A y B
respectivamente se tiene
˙x = −
GM
C
sin φ + A (2.70)
˙y = +
GM
C
cos φ + B (2.71)
Finalmente, gracias a la expresión 2.65, es posible integrar la ecuación de Newton
para el problema de dos cuerpos con el sol en reposo aunque de tal modo que
la variable independiente sea la variable φ y no el tiempo t. Para ello basta ha-
cer un cambio de variable de las coordenadas Cartesianas a las polares del modo
siguiente
x = r cos φ y = r sin φ (2.72)
derivando ambas ecuaciones 2.72 con respecto al tiempo se tiene
˙x = ˙r cos φ − r ˙φ sin φ = −
GM
C
sin φ + A (2.73)
˙y = ˙r sin φ + r ˙φ cos φ = +
GM
C
cos φ + B (2.74)
eliminando ˙r entre ambas ecuaciones se encuentra (multiplicando la expresión
2.73 por sin φ y la otra 2.74 por cos φ, luego restando ambas expresiones)
r ˙φ =
GM
C
− A sin φ + B cos φ (2.75)

2.8 La Solución de la ecuación de Newton 43
que con la expresión 2.65 se convierte en
1
r
=
GM
C2
−
A
C
sin φ +
B
C
cos φ (2.76)
2.8.2. La Conservación de la Energía
Es normal pensar en la conservación de la energía, cuando existen potenciales que
es el caso para las fuerzas centrales , y tratar de formar la energía cinética y la
potencial haciendo uso de las ecuaciones 2.66 y 2.67, sabiendo que los cocientes
entre la abscisa y la distancia del sol al planeta no es otra cosa que cos φ así como
es el sin φ como el cociente entre la ordenada y la distancia sol-tierra. Multipli-
cando la ecuación 2.66 por ˙x y la ecuación 2.67 por ˙y se obtiene al sumar ambas
ecuaciones
d
dt
1
2
[ ˙x2
+ ˙y2
] = −
1
2
GM
r3
d
dt
[x2
+ y2
] ≡ −
GM
r2
dr
dt
(2.77)
que integrando con respecto a t se tiene la forma clásica de la conservación de la
energía que se denomina E, es decir
1
2
[ ˙x2
+ ˙y2
] −
GM
r
= E (2.78)
Sabiendo que el cuadrado de la velocidad se escribe en coordenadas polares como
˙r2
+ r2 ˙φ2
(2.79)
por lo que, haciendo un cambio de variable independiente de t a φ se tiene, con
s = 1/r
1
2
C2
[(
ds
dφ
)2
+ s2
] − GM s = E (2.80)
que, en vista de que la energía total es constante, derivando con respecto de φ se
obtiene
ds
dφ
[C2
(
d2
s
dφ2
+ s) − GM ] = 0 (2.81)

en vista de que la relación entre el radio vector y la variable φ no puede ser nu-
lo sólo queda que el corchete de la expresión 2.82 se anule. Obteniéndose una
expresión similar a la de un resorte con una fuerza constante, a saber
d2
s
dφ2
+ s =
GM
C2
(2.82)
La solución de esta expresión 2.82 es óbviamente la solución de la expresión
homogénea mas la solución particular de la inhomogénea, que es la constante del
segundo miembro de dicha expresión. Una comparación de esta posible solución
con las constantes arbitrarias y la expresión 2.76 se identiﬁcan inmediátamente.
Ahora se puede intentar buscar los valores de las constantes arbitrarias. Se puede
decir que las derivadas del radio vector con respecto a la variable φ se hace cero
para los valores de φ = 0 y para φ = π. Ello involucra claramente que A = 0.
Por otro lado, para los valores extremos del aphelio y perihelio, ver ﬁgura 2.4,
se puede escribir en función de los valores cinemáticos de la elipse, a saber, los
semiejes y la excentricidad: para el perihelio
rp = a(1 − ε) φ = π (2.83)
y para el aphelio
ra = a(1 + ε) φ = 0 (2.84)
Reemplazando estos valores en la expresión 2.76 se encuentra, para el perihelio y
aphelio respectivamente
φ = π
1
a(1 − ε)
=
GM
C2
−
B
C
(2.85)
φ = 0
1
a(1 + ε)
=
GM
C2
+
B
C
(2.86)
de donde se encuentra
GM
C2
=
1
a(1 − ε)
B
C
= −
ε
a(1 − ε)
(2.87)

2.9 Reseña Histórica 45
de donde se puede encontrar los parámetros de la elipse en función de las cons-
tantes físicos del problema de los dos cuerpos. Por lo tanto la ley de Kepler que
dice que la trayectoria es una elipse se convierte en una realidad.
Ahora, para encontrar la tercera ley de Kepler, basta saber que la velocidad aerolar
en una elipse se puede escribir como el cociente entre la superﬁcie de la elipse
entre el período de revolución de los planetas con un factor 2 para la constante C,
en particular de uno que es, digamos T. Entonces
C = 2
πab
T
≡ 2
πa2
√
1 − ε2
T
(2.88)
elevando al cuadrado esta expresión 2.88 y reemplazando el producto de a(1 −
ε2
) haciendo uso de la primera expresión 2.87 se encuentra la ley que dice Los
cuadrados de los períodos de los tiempos de revolución son proporcionales al
cubo de los semiejes mayores de las órbitas de los planetas, a saber,
T2
a3
=
4π2
GM
(2.89)
2.9. Reseña Histórica
Newton nació en el condado de Lincoln en 1642 era hijo de un hacendado que mu-
rió antes de nacido Isaac Newton. A los 18 años fue enviado a estudiar al Trinity
College en Cambridge. En 1665, cuando la peste asediaba Londres, Cambridge
fue clausurado y paso a estudiar en Woolsthorpe hasta dos años después. Fue ahi
donde probablemente creó las tres disciplinas que le hicieron famoso: la natura-
leza de la luz, el cálculo inﬁnitesimal y la gravitación universal. Permanece en
Cambridge en la vida académica haciendose sentir con distintas publicaciones.
En 1671 construye de sus propias manos un telescopio.
A instancias de Halley, descubridor del cometa que lleva su nombre, escirbe su
Principios Matemáticos de la Filosofía Natural que será publicado en 1687. En
1727 falleció como consecuencia de cálculos renales.
Galileo nació en Pisa en 1564 en el seno de una familia educada, luego de una
juventud autodidacta fue nombrado en 1589 profesor de matemáticas en la uni-
vesidad de Pádua. Fue el fundador del método experimental de la física moderna.

Gracias a la construcción de un telescopio, pudo observar las libraciones de la
luna, descubre los satélites de Jupiter, los anillos de Saturno, las manchas solares,
las fases de Venus, .. .Observaciones que confirmaban las ideas del sistema pla-
netario de Copérnico en detrimento del sistema de Ptolomeo, entonces favorecido
por la autoridad civil y religiosa. Luego de una vida fructífera en publicaciones y
enseñanzas fue citado ante la inquisición en 1632 a un proceso que duró 20 días.
De rodillas tuvo que abjurar de sus ideas científicas. En 1642 murió casi ciego y
bajo la vigilancia de la inquisición.
N. Copérnico, nació en 1473 en Torun, Polonia, hijo de comerciantes ricos. Es-
tudia en las universidades de Cracovia, y luego en Bolognia, Italia. En 1500 se
presenta en Roma y fue nombrado canónico y tuvo la autorización de estudiar en
la universidad de Pádua. Toda su vida se dedicó a observar los planetas. Sólo al
fin de su vida, en 1543, se decidió a publicar su tratado sobre las órbitas de los
planetas. La obra la dedicó al Papa Paul III.
El alemán Kepler nacio en Wurtemberg en 1571 en un hogar muy modesto. Es-
tudió en las universidades de Adelberg y de Tubingen y fue un ardiente defensor
de las ideas de Copérnico. Fue profesor de la universidad de Graz, pero debido a
las persecuaciones religiosas fue echado de Austria en 1600 y se refugió en Pra-
ga, donde fue un discípulo de Ticho Brahe, astrónomo nórdico, y a quien sucedió
en la cátedra de Praga. En 1609 publica su Astronomía Nueva donde enuncia las
dos primeras leyes que llevan su nombre. En 1619 en otra obra Mundo Armónico
publica su tercera ley. En 1630 muere en Regensburg.

Capítulo 3
Grados de Libertad, Trabajos
Virtuales
3.1. Introducción
En esta parte empezamos a abandonar el sistema cartesiano, debido a que cada sis-
tema mecánico se compondrá por muchos puntos materiales además que existen
vínculos (en principio rígidos) entre los puntos materiales. Deseamos encontar
funciones dinámicas del sistema, como por ejemplo la energía del sistema, o el
momento angunlar o la suma de los momentos lineales. Existe un concepto si-
nóptico para determinar sin posibilidad de ambigüedad a un sistema dinámico,
sin referirse a él como si se tratara de un sistema de puntos materiales en una
conﬁguración geométrica dada.
En forma dogmática contamos los puntos materiales que contiene el sistema, ya
que siempre se puede esquematizar un sistema por muy complejo que sea median-
te un número ﬁnito de puntos materiales. Pero, debido a que existen relaciones
geométricas entre los puntos materiales se debe hablar de otro concepto adicional
al de número de puntos materiales. Este concepto se denominará a partir de ahora
vínculo entre los puntos materiales. Veamos un ejemplo, dos puntos unidos por un
vínculo rígido, pueden ser ya sea una barra rígida formada por una continuidad de
puntos materiales, o bien simplemente dos puntos unidos por una barra sin masa,
aunque rígida.
La barra contínua posee una masa m igual a la suma de las dos masas de los
extremos. Si acaso la barra tuviese una masa de tal modo que si bien la masa de

48 Grados de Libertad, Trabajos Virtuales
la barra no tuviera una densidad constante, entonces tendrá un peso solicitado,
no por el centro de la barra, como antes sino en un lugar diferente al del centro
geomtrico de la barra lineal. No obstante eso, siempre se puede considerar esa
barra por dos puntos materiales pero, cada masa con una diferente entre si ya que
el peso debera estar solicitada en un punto diferente al del centro geométrico de la
barra. Si el centro de masa se encuentra a una distancia l de un extremo de la barra
de una longitud total L, entonces la masa próxima al extremo desde donde se mide
l tendra una masa mayor en un factor L/l al de la masa del otro extremo. Como se
ve, una barra uniforme o con una distribución precisa de masa puede reemplazarse
con dos puntos materiales en los extremos. En vez de hablar de la barra siempre se
puede hablar de dos puntos materiales con masas m1 y m2 separados rígidamente
por una distancia L.
En general un sistema mecánico se forma de N puntos materiales, empero, ha-
brán r relaciones entre los puntos materiales. (En el caso de la barra, existen
dos partículas, N = 2 y hay una relación entre ambos puntos, es decir, L =
(x1 − x2)2 + . . .). Entonces, el sistema mecánico posee f = 3N − r grados de
libertad. El número 3 se debe a que cada partícula posee 3 grados de libertad, por
ejemplo las tres coordenadas cartesianas de la partícula.
En el caso de la barra rígida implica que esa barra posee dos grados de liberdad,
f = 3 − 1 = 2.
x
y
x1
x2
A
B
O
M
Figura 3.1: A la izquierda, una barra de longitud dada y que debe permanecer
con los dos extremos sobre la circunferencia rígida. Los grados de libertad del
sistema es sólo 1. A la derecha, una barra apoyada sobre el punto M y uno de
sus extremos sobre la semicircunferencia. En ambos casos hay que encontrar los
grados de libertad y las ecuaciones de vínculo. En cada uno de estos ejercicios la
longitud y masa de la barra están dadas, así como los parámetros geométricos de
la conﬁguración de esos sistemas mecánicos.

9. Ejercicio:
Sea una esfera rígida, de radio R. Encontrar los grados de liberdad de ese sistema mecánico. Por un lado, una
esfera se puede reemplazar por tres puntos en la superficie de la esfera. Por supuesto que hay que elegir esos tres
puntos fuera de un círculo máximo de la misma. Por otro lado, cada punto tiene que satisfacer la ecuación de la
esfera, es decir, para cada punto
x2
i + y2
1 + z2
i = R2
i = 1, 3, 1. (3.1)
Por otro lado, entre cada punto, sobre la esfera, posee una distancia constante entre sí (será una cuerda de una
circunferencia que es a la vez un círculo máximo que pasa por cada dos puntos). Como hay 3 puntos entonces
hay C2
3 = 3 relaciones adicionales.
Por lo tanto, la esfera posee f = 3×3−6 = 3 grados de libertad para la esfera rígida. Ahora bien, si suponemos
que la esfera en vez de estar amarrado al centro de nuestro sistema de coordenadas, dejamos que pueda moverse
libremente, entonces hay que añadir tres grados de libertad más. En consecuencia, una esfera rígida que se mueve
libremente posee 6 grados de libertad.
10. Ejercicio:
Sea una barra que se mueve en un plano de tal modo que siempre sus extremos se encuentren en una circunferen-
cia, ver figura 3.1, izquierda.
La barra siempre es una cuerda de la circunferencia. Una barra puede convertirse en dos puntos (es decir 2×2 = 4
grados de libertad). Se ha multiplicado por 2 debido a que todo el sistema es bidimensional. A eso hay que restarle
un vínculo debido a que la distancia entre los dos puntos es constante. Por otro lado siempre para cada partícula,
ésta se halla sobre la circunferencia, es decir, hay dos condiciones adicionales para cada punto a saber
R = x2
i + y2
i + z2
i (3.2)
donde R es el radio de la circunferencia.
Los 4 grados de libertad se resta los tres vínculos queda con los grados de libertad igual a 1. Esto quiere decir
desde el punto de vista formal, ese sistema es equivalente al de una partícula que se mueve a lo largo de un eje. Ya
que ambos sistemas poseen sólo un grado de libertad. Formalmente, la energía en un caso o en el otro se escribe
como una función de una sola variable. Por supuesto que la forma de dicha función debe ser diferente en un caso
que en el otro.
11. Ejercicio:
Sea una semicircunferencia, con la concavidad hacia arriba. Supongamos una barra, uniforme, debe poseer uno
de sus extremos sobre la semicircunferencia mientras que otro punto cualquiera de la barra debe estar siempre en
contacto con uno de los bordes de la semicirunverencia. Averiguar los grados de libertad del sistema mecánico
asi descrito (ver Fig. 3.1, derecha) asi como escribir todas las ecuaciones de vínculo.
Por un lado suponemos que la barra está definida –de acuerdo a nuestra representación de sistemas mecánicos
através de puntos materiales vinculados, por dos puntos, los cuales están colocados en los puntos A y B de
la barra. Ello involucra 4 grados de libertad. Por otro lado, la barra debe ser rígida. Ello involucra la siguiente
ecuación de vínculo
L = (x1 − x + 2)2 + (y1 − y2)2 (3.3)

donde las coordenas cartesianas en el plano definen cada partícula. Además L es la longitud de la barra.
Por otro lado, el punto M posee las coordenadas xM = R, yM = 0 en un sistema Cartesiano apropiado. R
es el radio de la semicircunferencia. Por un lado, el punto A, con coordenadas, digamos, x1, y1 debe satisfacer
la ecuación de la semicircunferencia. Si asumimos que el centro del sistema Cartesiano se halla en el centro
geométrico de la semicircunferencia, entonces la ecuación de vínculo número dos será
R2
= x2
1 + y2
1 (3.4)
finalmente, los tres puntos A, M, B están en una línea recto, lo que es lo mismo
0 = det
x1 y1 1
xM yM 1
x2 y2 1
ésta expresión mas las ecuaciones 3.3 y 3.4 son las ecuaciones de vínculo solicitadas. Por lo tanto los grados de
libertad del sistema mecánico indicado alcanza a 1
3.2. Los Grados de Libertad
A continuación, una vez encontrado el número de grados de libertad de un sistema
mecánico se debe identificar a la variable o variables que definen completamente
el sistema. Habrán tantas variables, ahora con el adjetivo de variables generaliza-
das, como grados de libertad posee el sistema.
En el ejercicio de la figura 3.1, derecha, de la sección anterior se puede definir
como variable generalizada –que en número será una sola, a cualquiera de las
cuatro coordenadas cartesianas de los extremos de la barra AB. También –cosa
que es habitual, se buscará otra variable generalizada de acuerdo a la experiencia
del que desea trabajar con el sistema mecánico. Por ejemplo, el ángulo θ formado
por el radio vector que define el punto A desde el centro geométrico de la semi-
circunferencia. En general, existen tantas variables generalizadas como uno puede
imaginarlos. Empero, todas ellas están relacionadas mediante funciones apropia-
das.
Una vez identificado la(s) variable(s) generalizada(s), que se denominarán tra-
dicionalmente por las variables qi, las demás coordenadas, ya sean Cartesianas,
Polares, ..., se pueden escribir en función de la(s) variable(s) generalizada(s) qi.
12. Ejercicio:

3.2 Los Grados de Libertad 51
Suponiendo que en la figura 3.1, derecha, se considera como coordenada generalizada a la abscisa del punto A,
es decir, q = x1, encontrar las coordenadas Cartesianas de los extremos de la barra en función de q.
Se puede ver que las siguientes tres coordenadas Cartesianas se escriben en función de q
y1 = ± R2 − q2 (3.5)
y2 = (
L
R
− 1) R2 − q2 (3.6)
x2 = q ± L2 − (y2(q) − R2 − q2)2 (3.7)
donde cada variable Cartesiana de los extremos de la barra se puede escribir como funciones de la coordenada
generalizada q.
Ahora bien, si se deja desplazar a las coordenadas generalizadas una variación δq
el sistema dinámico puede alcanzar otra configuración geométrica, aunque com-
patible a la dinámica del sistema.
Los vínculos se nominan holonómicos, cuando es posible encontrar las expresio-
nes compactas de mas arriba, a saber las formas 3.5, 3.6 y 3.7. Diferenciando estas
expresiones con respecto a la variable qi se tiene, para cada F(q)
ΣiGi(q)δqi = 0 Gi ≡
∂F
∂qi
(3.8)
donde qi son cada uno de los grados de libertad del sistema. Cuando es posible
escribir funciones Gi(qi) entonces se llama un sistema holonómico como se ha
dicho, empero, si no existe las funciones Gi(qi) entonces el sistema se dice no-
holonómico. Este tipo de vínculos se definen cuando existen r condiciones de
vínculo de órden infinitesimal, aunque no en forma finita, entonces el sistema se
dice no holonómico. Una moneda que rueda sin deslizarse es un ejemplo de este
tipo de sistemas.
En efecto en la figura 3.2 se exhiben dos ilustraciones esquemáticas, la de la iz-
quierda donde se dan las 5 coordenadas generalizadas del sistema, a saber, los tres
ángulos de la ilustración, a saber, φ, θ y ψ. A ello hay que añadir las coordenadas
(digamos Cartesianas) del punto de contacto. Las variaciones de las coordenadas
generalizadas Cartesianas, esto es, δx y δy de la ilustración de la derecha de la
figura 3.2, se pueden escribir como
δx = a cos ψ · δφ δy = a sin ψ · δφ (3.9)

θ
ψ x
y
z
φ
δ
δ ψ
x
y
x
y
Figura 3.2: A la izquierda, una moneda que rueda sobre la trayectoria indicada
en el sistema de referencia. Los tres ángulos indicados mas las coordenadas del
plano x, y, del punto de contacto de la moneda, forman los 5 grados de libertad
de una moneda que se mueve de acuerdo a una ley dada. A la derecha se ha vuelto
a dibujar la trayectoria en un punto cualquiera. Se puede volver a notar el ángulo
φ de la ilustración de la izquierda.
donde a es el radio de la moneda. Ahora bien, los 5 grados de libertad del movi-
miento se transforman en sólo tres. Obviamente en un movimiento inﬁnitesimal
ya que para esos casos se encuentra las dos ecuaciones de vínculo dados por las
dos ecuaciones 3.9.
Ahora bien, se verá a continuación que no existe una función a la que derivan-
do en función de las (4, ya que θ, al rodar la moneda, puede considerarse como
independiente de las demás) coordenadas generalizadas se pueda encontar una
compatibilidad con las diferenciales dadas por el expresión 3.9. En efecto, supon-
gamos que exista, es decir, f(x, y, φ, ψ), tomando diferenciales se encuentra
δf =
∂
∂x
fδx +
∂
∂y
fδy +
∂
∂φ
fδφ +
∂
∂ψ
fδψ (3.10)
reemplazando las variaciones de las coordenadas Cartesianas con ayuda de la ex-
presión 3.9 se tiene
δf =
∂
∂x
fa cos ψδψ +
∂
∂y
fa sin ψδφ +
∂
∂φ
fδφ +
∂
∂ψ
fδψ (3.11)
Como quiera que las variaciones δφ y δψ son independientes entre sí, se puede
anular ambos, quedando ∂
∂ψ
f = 0. Para que esto ocurra, se puede dejar de anular
δφ por lo que debe cumplirse que su coeﬁciente se anule, es decir

3.3 Trabajos Virtuales 53
a
∂
∂x
f cos ψ + a
∂
∂y
f sin ψ +
∂
∂φ
= 0 (3.12)
Derivando la expresión 3.12 con respecto a ψ, y en vista de que se cumple ∂
∂ψ
f =
0 se escribe
−a
∂
∂x
f sin ψ + a
∂
∂y
f cos ψ = 0 (3.13)
volviendo a derivar la expresión 3.13 se tiene
a
∂
∂x
f cos ψ + a
∂
∂y
f sin ψ = 0 (3.14)
por lo tanto,
∂
∂x
f =
∂
∂y
f =
∂
∂φ
f = 0 (3.15)
por lo que no existe la tal función f.
3.3. Trabajos Virtuales
Supongamos que se tiene el sistema mecánico de la ﬁgura 3.1, derecha. Sabemos
que en cada extremo de la barra, si ésta es homogénea, se encuentra dos masas
puntuales de masa igual a la mitad de la masa total de la barra. Escribamos to-
das las variables en función de la coordenada generalizada. Esta vez tomemos al
ángulo AOM = α como la coordenada generalizada. Una variación de la coor-
denada generalizada puede deslizar al punto A sobre la semicircunferencia, de tal
modo que el punto M sea siempre un punto común entre la semicircunferencia y
la barra. Existe naturalmente el peso de cada cuerpo como la fuerza acción sobre
el sistema. Debemos aclarar que además de estas fuerzas existen otras, llamadas
fuerzas reacción, pero que empero, no aportan con un trabajo positivo ya que la
tensión de la barra no puede deformar a la misma. Tampoco la fuerza de reacción
sobre la semicircunferencia en el punto A puede aportar ya que siempre se coloca
perpendicular a la circunferencia en el punto dado. Lo que implica que al variar

la posición del punto A la fuerza de reacción en dicho punto siempre está perpen-
dicular al posible movimiento de la barra en ese punto. Como la fuerza reacción
en A siempre se halla perpendicular al movimiento, la fuerza no produce trabajo.
En el punto M también hay una reacción, pero que debe ser perpendicular en ca-
da momento al movimiento de la barra en ese punto, dando también un trabajo de
dicha fuerza de reacción igual a cero. A las fuerzas de reacción denominaremos
indistintamente ya sea fuerzas de reacción o fuerzas interiores del sistema, en opo-
sición a las fuerzas exteriores, esto es, activas que originan cualquier movimiento
real o virtual en el sistema.
13. Ejercicio:
Sea el sistema de la figura fig3-1, derecha. Encuentre los trabajos virtuales que las fuerzas exteriores realizan en
ese sistema de un grado de libertad.
Tomemos otra variable como la variable generalizada. Buscamos, naturalmente aquella variable que nos permita
utilizar un mínimo de dificultad en encontrar los trabajos pedidos. Para ello definamos a la coordenada generaliza-
da al ángulo AOM = α. Supongamos que el “piso” se encuentre en una recta paralela a la horizontal y que pase
por el punto 0. Las fuerzas exteriores a cada una de las masas de los extremos de la barra sólo podrán producir
trabajo siempre que la ordenada de cada masa se mueva desde la posición A, digamos que se encuentre a la altura
del piso (ordenada=y1) hasta una altura y1 + δy1, donde y1 es la altura del móbil sobre el piso. No olvidar que
dicha altura puede ser positiva o negativa.
Por otro lado, el triángulo A0M es un triáguno isósceles. ello involucra que los dos ángulos en A y M son iguales
entre si e iguales a π/2 − α/2. Los trabajos virtuales de las fuerzas activas, serán mg/2 × δy1 + mg/2 × δy2.
Se ve claramente que la expresión de y1(α) y y2(α) son las siguientes
y1 = R sin(π − α) (3.16)
y2 = L sin(
π
2
−
α
2
) − R (3.17)
Por lo tanto, los trabajos realizados por las fuerzas que actúan sobre cada uno de los extremos de la barra son
m
2
g δ[R sin α + L cos
α
2
− R] (3.18)
m
2
g [R cos α −
L
2
sin
α
2
] δα (3.19)
éstas expresiones deben ser iguales a cero, de donde, resolviendo esta ecuación trascendente se tiene
sin
α
2
= −
L
8R
± (
L
8R
)2 +
1
2
(3.20)
en la ecuación 3.20 se puede calcular el valor de la coordenada generalizada, para el caso del equilibrio.

0
A
B
N M
m1g m2g
Figura 3.3: Una semiesfera de radio R donde se encuentra una barra de longitud
L y de masa M aunque con su centro de masa a una distancia l1 del extremo A
de la barra y a la distancia l2 del extremo B. Se desea encontrar la posición de
equilibrio del sistema.
Como se ve se debe multiplicar la(s) fuerza(s) exterior(es) por la diferencial de las
funciones de vínculo apropiadas para el punto de aplicación de la masa puntual
correspondiente. Como quiera que buscar cada punto material y su fuerza exterior
implica un producto de la fuerza en cuestión por una coordenada apropiada (en el
caso que nos ocupa había que multiplicar por la δyi y no por la δxi, por ejemplo)
tal vez es mejor utilizar expresiones escalares. La expresión escalar mas óbvia es
la energía-potencial V (qi). De ese modo se matan dos pájaros de un tiro.
En efecto, por un lado, las fuerzas son el gradiente del potencial (cambiado de
signo, claro está), empero debido a que las fuerzas existen independientes de
los vínculos, sólo aparecen las derivadas con respecto a las ordenadas, es decir
∂V/∂yi, ya que el potencial de la fuerza peso, sólo depende de dichas ordenadas.
Por lo tanto en forma automática aparecerá sólo las derivadas con respecto a las
ordenadas yi y al hacer una derivada en cadena se tiene ∂V/∂qi sin necesidad de
preocuparse cuál de las ordenadas hay que diferenciar. La derivada en cadena ha-
ce desaparecer todo intermediario ya sea la ordenada o la abscisa. Sólo queda una
derivada parcial con respecto de los grados de libertad. Estas derivadas deben ser
iguales a cero. Ese es el algoritmo de los trabajos virtuales.
Esta manera de calcular no deja de ser lógica, ya que los grados de libertad de
algún modo se dan cuenta de que los responsables de todo movimiento virtual
(o real) provienen de las fuerzas exteriores. Aunque la coordenada generalizada
sea perpendicular a la fuerza peso, dicho desplazamiento (virtual) sólo es posible
gracias a las fuerzas exteriores. La elección de la coordenada generalizada no tiene

porqué interferir con este movimiento.
Existen pues dos maneras de trabajar con los trabajos virtuales, aunque en am-
bos casos, hay que encontrar la variable o variables generalizadas, qi; en el caso
clásico hay que buscar realmente el producto escalar entre la fuerza exterior y el
desplazamiento virtual δqi, lo que involucra por un lado encontrar el tamaño del
desplazamiento virtual δqi y multiplicado por el coseno del ángulo entre la fuerza
exterior y el vector desplazamiento viertual. Al ﬁnal hay que trabajar con una de-
rivada con respecto el desplazamiento virtual multiplicado por δqi. La otra manera
es un esquema de tipo completamente escalar. Hay que buscar la energía-potencial
del sistema, luego derivar dicha función con respecto a cualquier variable gene-
ralizada e igualar a cero. Si hay una sola, entonces la solución se encuentra de
la ecuación igualada a cero. Si hay varias coordenadas generalizadas entonces se
encuetra el equilibrio de resolver el sistema de 3 × N − r ecuaciones.
14. Ejercicio:
Encuentre la posición de equilibrio del sistema mecánico de la Fig. 3.1, derecha, utilizando la energía potencial
del sistema.
Utilizando α como el grado de libertad del sistema se encuentra la energía potencial de los dos puntos materiales
como V = m/2 × gy1 + m/2 × gy2. Derivando esta expresión con respecto a q se obtiene el problema similar
al del ejercicio 4.
15. Ejercicio:
Encontrar la posición de equilibrio del sistema de la ﬁgura 3.3. Se trata de una barra de densidad de masa no
homogénea que posee un centro de masa a una distancia l1 del extremo A de la barra. Utilice el principio de los
trabajos virtuales.
En primer lugar se deduce que se trata de un sistema de un grado de libertad. Elijamos la coordenada generalizada
q = θ al ángulo que forma el punto B con respecto el eje horizontal cuyo orígen se ubica en el centro geométrico
0 de la semiesfera.
El triángulo 0AB es un triángulo isósceles. Mediante los datos L, la longitud de la barra y el radio R de la
semiesfera se puede encontrar el ángulo α, el ángulo que subtiende a la barra AB como
α = 2 arc cos(
L
2R
) (3.21)
La suma de los trabajos virtuales se puede escribir como
l2
L
mgj · δq1 +
l1
L
mgj · δq2 = 0 (3.22)

donde, la relación li/L asume que la barra homogénea se ha reemplazado por dos masas diferentes a la mitad
de la masa total m de la barra. La fracción sirve para identiﬁcar el centro de masa de la barra con la suma de las
masas de los dos puntos materiales en los extremos de la barra.
Por otro lado, las fuerzas exteriores siempre se hallan dirigidos hacia abajo, como sucede con las fuerzas de
gravedad. Los desplazamientos virtuales, o posibles son siempre a lo largo de la circunferencia. Por otro lado el
ángulo entre las fuerzas y la tangente a la curva son respectivamente para los extremos A y B π − θ − α y π − θ.
Reemplazando el producto escalar entre las fuerzas y los desplazamientos se tiene
l2
L
mg · Rδθ cos(α + θ) +
l1
L
mg · Rδθ cos θ = 0 (3.23)
de donde se puede encontrar la solución para la variable generalizada θ. Vale la pena mencionar que hay que tener
cuidado con los signos de los términos de los trabajos virtuales, por otro lado hay que sumar magnitudes escalares
aunque es laborioso darse cuenta cuál de los términos puede ser positivo y cuál negativo. Es decir, saber en qué
caso existe un ángulo agudo entre la fuerza exterior o activa y en qué caso el ángulo es obtuso.
16. Ejercicio:
Resolver el mismo ejercicio de la ﬁgura 3.3 pero teniendo en cuenta sólo las derivadas parciales de la energía
potencial.
En este caso, hay que sumar dos energías potenciales de cada masa. A saber, la distancia al piso multiplcado por
la masa de cada partícula por la gravedad g. Para la partícula en A se tiene la masa de la partícula multiplicado
por g y R sin(π − α − θ). La otra partícula en B además de su masa hay que multiplicar por g y R sin(θ). Por
lo tanto derivando la energ’ıa potencial e igualando a cero
∂
∂θ
V (θ) =
l2
L
cos(θ + α) +
l1
L
cos(θ) = 0 (3.24)
de donde se puede obtener
tan θ =
l1 + l2 cos α
l2 sin α
(3.25)
como en el caso anterior.
En ningún caso se ha considerado las fuerzas interiores o de reacción por las razo-
nes discutidas más arriba. Existe una razón adicional que tal vez es útil mencionar.
Todas las fuerzas de tensión interna poseen fuerzas opuestas e iguales dos a dos.
Por lo tanto, aunque el desplazamiento de las “partículas” generado por ambas
tensiones producen “trabajos” que se anulan dos a dos.

Capítulo 4
El Principio de D’Alembert
4.1. Introducción
Desde el punto de vista dinámico la segunda ley de Newton dice que un cuerpo ya
sea se encuentra en reposo o bien provisto de un movimiento uniforme. Se trata
óbviamente de una resitencia a una tasa de movimiento. Esta resistencia recibe el
nombre de Fuerza Inercial. Se puede pues, pensar que en forma dinámica existe
un equilibrio vectorial de fuerzas entre la fuerza inercial y las fuerzas exteriores
que son la causa del movimiento. Esta fuerza, si bien en su concepción académi-
ca puede considerarse como ﬁcticia, tiene una realidad a toda prueba. Cuando un
vehículo frena, los ocupantes del mismo se sienten como si una fuerza les empuja-
ra hacia adelante. Lo propio sucede, aunque en sentido inverso, cuando ese mismo
vehículo arranca del reposo. En ambos casos la fuerza activa frena, o acelera al
vehículo.
La más conocida fuerza inercial es la fuerza centrífuga. Ya que cuando los ocupan-
tes de un vehículo que maniobra una curva entonces éstos se sienten empujados
hacia “afuera”. La única fuerza activa que hace que el vehículo siga una trayecto-
ria circular es la fuerza centrípeta, que tiene el mismo sentido que la aceleración
centrípeta, dirigida hacia el centro de curvatura de la trayectoria. Mientras que
la fuerza centrífuga se dirige en sentido opuesto. La fuerza de Coriolis es otro
ejemplo de fuerza inercial.
D’Alembert, en su Traité de Dynamique, 1758, separó los puntos materiales so-
bre los cuales existen fuerzas, tanto aplicadas o exteriores asi como ésta fuerza de

60 El Principio de D’Alembert
inercia y ﬁnalmente las fuerzas de reacción, que provienen de los vínculos pre-
sentes en el sistema mecánico. Como ya hemos visto antes, en esas condiciones,
el trabajo realizado por estas fuerzas es equivalente al trabajo realizado por las
fuerzas exteriores y las de inercia ya que las reacciones no producen trabajo. En-
tonces, el resultado equivalente a los trabajos virtuales de la estática en el caso
dinámico será
Σk(Fk + FR
k ) · δrk = 0 (4.1)
mg
Pendulo Fisico
Figura 4.1: Se ilustra un momento dado del péndulo cuando su posición está sobre
la posición de equilibrio. Se muestra asimismo la fuerza acción sobre el cuerpo
que es el peso del cuerpo.
como se vió en estática, las fuerzas de reacción no producen trabajo. Si se tiene
un sistema con n partículas entonces, en coordenadas cartesianas se podrá escribir
4.1 como
Σk=n
k=1 (Xk − mk ¨xk)δx + . . . (4.2)

donde Xk, Yk, Zk son las componentes cartesianas de la fuerza activa que actúan
sobre cada partícula. La fuerza de D’Alembert está escrito como menos la masa
por la aceleración y los desplazamientos δx, . . . compatibles con sus vínculos. A
continuación veamos un ejemplo.
17. Ejercicio:
Sea un péndulo simple, ver fig. 4.1. Utilizando la ecuación del equilibrio dinámico encuentre la ecuación de
movimiento de un péndulo físico. Datos la longitud del hilo y la masa del péndulo.
En primer lugar encontremos la fuerza exterior, ésta es F=(0, −mg), por otro lado, haciendo uso de la coordenada
generalizada, θ, se escribe en las coordenadas Cartesianas de la figura como x = −a sin θ y y = −a cos θ.
Debemos calcular la fuerza de D’Alembert, a saber,
−m¨x = −a cos θ ¨θ + a sin θ ˙θ2
(4.3)
−mÿ = +a sin θ ¨θ + a cos θ ˙θ2
(4.4)
luego, hay que encontrar el desplazamiento virtual, δr = δx, δy. Con una doble derivada se encuentra
δx = −a cos θ δθ (4.5)
δy = +a sin θ δθ (4.6)
(4.7)
multiplicando escalarmente entre la fuerza de inercia y el desplazamiento virtual sale
¨θ + (
g
a
)2
sin θ = 0 (4.8)
18. Ejercicio:
Sea un proyectil, el llamado tiro inclinado, que sólo posee una fuerza exterior que actúa sobre el móvil. En este
caso, F = 0, −mg donde las constantes son las habituales. Es oportuno indicar que el sistema posee dos grados
de libertad. Es automático el buscar las dos variables generalizadas como las coordenadas Cartesianas del móvil.
En estas condiciones el desplazamiento virtual (que no tiene porqué estar sobre la trayectoria!) se escribe como
δr = δx, δy. Obsérvese asimismo que el tiempo, en los desplazamientos virtuales, no interviene. La fuerza de
D’Alembert es automática: FR = −m¨x, − mÿ. De donde se saca la ecuación de equilibrio dinámico
(0 − m¨x)δx + (−mg − mÿ)δy = 0 (4.9)
Ahora bien, se debe asumir por un lado que las coordenadas generalizadas son independientes entre si. Ello
involucra que se puede asumir los valores de los desplazamientos virtuales como se deseee. Por ejemplo yo deseo
que cuando uno de los desplazamientos es diferente de cero, el otro elijo que sea igual a cero, de ese modo se
puede encontrar de una sóla ecuación 4.9 dos ecuaciones independientes a saber

62 El Principio de D’Alembert
−m¨x = 0 (4.10)
−mg − mÿ = 0 (4.11)
De las dos ecuaciones diferenciales se obtiene todos los parámetros del tiro inclinado, la forma de la trayectoria,
.. .
19. Ejercicio: Dada la configuración mecánica de la figura 4.2, izquierda, en-
cuentre la posición de equilibrio, los datos se encuentran indicados en la figu-
ra, la incógnita es φ
20. Ejercicio: Idem para la derecha de la figura 4.2. El punto A puede resba-
lar sin rozamiento. Los datos además del radio de la circunferencia son los
dos pesos P y W
l
a
W
φ
WP
A
Figura 4.2: En ambas ilustraciones hay que encontrar la posición de equilibrio.
21. Ejercicio: Sea una barra de longitud l = a + b de peso W, se apoya sobre
los dos planos inclinados, definidos con sus ángulos α y β, encuentre la posi-
ción de equilibrio de la barra. Ver figura 4.3, ilustración izquierda
22. Ejercicio: Una barra de longitud l = a + b se apoya sobre una pared y el
otro extremo sobre una superficie circular como indica la figura 4.3, ilustra-

4.2 Las ecuaciones de Lagrange (1a Especie) 63
ción de la derecha, encuentre la posición de equilibrio
a
b
W
α β
R
W
a
b
Figura 4.3: En ambas ilustraciones hay que encontrar la posición de equilibrio.
4.2. Las ecuaciones de Lagrange (1a Especie)
Consideremos en este momento una serie de masas discretas, por ejemplo m1, m2, . . .,
cada una de ellas están sujetas a vínculos holonómicos através de las siguientes
relaciones de vínculo
φ1 = 0, φ2 = 0, . . . (4.12)
El número de grados de libertad está dado por 3n − r, con n el número de las
masas, mientras que r son el número de ecuaciones de vínculo. En primera ins-
tancia tomemos las coordenadas Cartesianas. Cada una de las n partículas poseen
tres coordenadas Cartesianas. Las fuerzas, en general, estarán actuando sobre cada
una de las masas. Llamando las tres componentes con las letras X1, X2, X3 ma-
yúscula, y colocando un subíndice para que identiﬁque a cada una de las masas se
tiene, de acuerdo a la ecuación dinámica estudiada (no olvidar que sólo tomamos
en cuenta las fuerzas activas), se tiene
Σ3n
k=1 (Xk − mk ¨xk)δxk = 0 (4.13)
donde se ha colocado subíndice supérﬂuo a la masa, ya que cada tres valores
consecutivos de k poseen la misma masa. Ahora bien, se tiene como se dijo mas
arriba, r ecuaciones de vínculo. Si diferenciamos cada una de ellas se tiene

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