3. Indice i
Indice
Prologo vii
1 Introduccion al uso de los ordenadores 1
Objetivos :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 1
1.1 Introduccion ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 1
1.2 Tipos de ordenadores :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 1
1.3 Ordenadores digitales :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 3
1.4 Software ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 6
1.5 Bibliograf a:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 7
2 Introduccion a los sistemas operativos 9
Objetivos ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 9
2.1 Introduccion :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 9
2.2 Estructura de directorios ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 10
2.3 Edicion de un archivo :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 11
2.4 Manipulacion de cheros ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 12
2.4.1 Sintaxis de comandos ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 13
2.4.2 Comodines ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 14
2.4.3 Especi cacion de directorios :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 14
2.5 Utilizacion del entorno Windows ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 16
2.5.1 Los elementos del entorno Windows ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 17
2.5.2 Las ventanas del Windows :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 21
2.6 Introduccion al manejo de Excel :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 23
2.6.1 Paso 1: Introduccion de constantes :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 25
2.6.2 Paso 2: Introduccion de formulas ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 26
4. ii Metodos numericos
2.6.3 Paso 3: Arrastre de formulas:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 27
2.6.4 Paso 4: Modi cacion dinamica ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 28
2.6.5 Representacion gra ca:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 29
2.6.6 Importacion de resultados:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 30
2.7 Bibliograf a
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 35
3 Introduccion a la programacion FORTRAN 37
Objetivos:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 37
3.1 Introduccion::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 37
3.2 Fases del desarrollo de un programa en FORTRAN ::::::::::::::::::::::::::::::: 37
3.3 Organizacion general de un programa en FORTRAN ::::::::::::::::::::::::::::: 39
3.3.1 Normas de escritura de un programa en FORTRAN ::::::::::::::::::::::::::: 39
3.3.2 Elementos de un programa en FORTRAN ::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 40
3.4 Constantes y variables en FORTRAN :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 41
3.4.1 Constantes y variables enteras :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 42
3.4.2 Constantes y variables reales
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 43
3.4.3 Constantes y variables complejas :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 45
3.4.4 Constantes y variables logicas ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 47
3.4.5 Constantes y variables alfanumericas :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 48
3.4.6 Sentencia IMPLICIT ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 49
3.5 Funciones en FORTRAN ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 50
3.6 Sentencias de entrada{salida en FORTRAN :::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 51
3.7 Sentencias de control en FORTRAN :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 53
3.7.1 La sentencia IF::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 54
3.7.2 La sentencia GO TO::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 55
3.7.3 El bloque DO{ENDDO ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 57
3.8 Bibliograf a
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 61
4 Numero, algoritmo y errores 63
Objetivos:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 63
4.1 Introduccion::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 63
4.2 Numero :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 64
4.2.1 Almacenamiento de los numeros enteros ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 65
4.2.2 Almacenamiento de los numeros reales :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 67
5. Indice iii
4.2.3 Over ow y under ow ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 69
4.3 Algoritmo :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 70
4.4 Errores :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 72
4.4.1 Error absoluto, error relativo y cifras signi cativas :::::::::::::::::::::::::::: 72
4.4.2 Clasi cacion de los errores :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 75
4.5 Propagacion del error :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 76
4.5.1 Conceptos previos :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 76
4.5.2 Propagacion del error en la suma ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 78
4.5.3 Propagacion del error en la resta :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 79
4.5.4 Propagacion del error en el producto :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 80
4.5.5 Propagacion del error en la division ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 80
4.5.6 Propagacion del error en una funcion ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 81
4.6 Analisis de perturbaciones :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 82
4.7 Bibliograf a :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 87
5 Ceros de funciones 89
Objetivos :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 89
5.1 Introduccion ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 89
5.1.1 Calculo de ra ces cuadradas ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 90
5.1.2 Como jugar al billar en una mesa circular ::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 90
5.2 Metodo de la biseccion ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 92
5.3 Criterios de convergencia ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 96
5.4 Metodo de Newton ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 98
5.4.1 Deduccion anal tica del metodo de Newton :::::::::::::::::::::::::::::::::::: 98
5.4.2 Deduccion gra ca del metodo de Newton :::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 99
5.5 Metodo de la secante :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 102
5.6 Gra cas de convergencia :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 103
5.7 Aspectos computacionales: las funciones externas FUNCTION en FORTRAN :::::: 104
5.8 Bibliograf a ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 115
6 Una introduccion a los metodos gaussianos para sistemas
lineales de ecuaciones 117
Objetivos ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 117
6.1 Consideraciones generales ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 117
6. iv Metodos numericos
6.1.1 Introduccion::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 117
6.1.2 Planteamiento general ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 119
6.1.3 Resolucion algebraica: metodo de Cramer :::::::::::::::::::::::::::::::::::: 119
6.1.4 Resolucion numerica: un enfoque global :::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 121
6.2 Metodos directos :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 124
6.2.1 Introduccion::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 124
6.2.2 Sistemas con solucion inmediata ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 125
Matriz diagonal:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 125
Matriz triangular superior
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 125
Matriz triangular inferior
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 126
6.2.3 Metodos de eliminacion :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 126
Metodo de Gauss :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 126
Metodo de Gauss-Jordan ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 131
Analisis matricial del metodo de Gauss: Gauss compacto ::::::::::::::::: 133
6.2.4 Metodos de descomposicion :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 138
Introduccion
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 138
Metodo de Crout ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 140
Metodo de Cholesky ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 143
Metodos LDU y LDLT ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 144
6.3 Bibliograf a::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 145
7 Programacion y aspectos computacionales de los sistemas
lineales de ecuaciones 147
Objetivos ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 147
7.1 Programacion ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 147
7.1.1 Dimensionamiento de matrices ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 147
7.1.2 Programacion estructurada: subrutinas :::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 152
7.2 Sistemas con solucion inmediata: programacion :::::::::::::::::::::::::::::::::: 157
7.2.1 Matriz diagonal::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 157
7.2.2 Matriz triangular inferior
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 158
7.3 Consideraciones sobre la memoria ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 160
7.3.1 Tipos de memoria ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 160
7.3.2 Dimensionamiento dinamico ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 161
7.4 Almacenamiento de matrices :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 165
7. Indice v
7.4.1 Almacenamiento por defecto en FORTRAN :::::::::::::::::::::::::::::::::: 165
7.4.2 Almacenamiento por las y por columnas :::::::::::::::::::::::::::::::::::: 166
Almacenamiento por columnas ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 166
Almacenamiento por las :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 167
7.4.3 Matrices simetricas o matrices triangulares ::::::::::::::::::::::::::::::::::: 168
Matriz triangular superior:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 168
7.4.4 Matrices en banda ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 169
7.4.5 Almacenamiento en skyline :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 173
7.4.6 Almacenamiento compacto :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 176
Almacenamiento comprimido por las :::::::::::::::::::::::::::::::::::: 176
Producto de matriz por vector :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 177
7.5 Bibliograf a::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 177
8 Aplicaciones al calculo integral 179
Objetivos ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 179
8.1 Introduccion :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 179
8.2 El metodo de las aproximaciones rectangulares :::::::::::::::::::::::::::::::::: 182
8.3 El metodo compuesto del trapecio ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 183
8.4 Extension al calculo de volumenes ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 187
8.5 Apendice ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 189
8.6 Bibliograf a::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 191
9 Aplicaciones al calculo diferencial 193
Objetivos ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 193
9.1 Introduccion :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 193
9.1.1 Ecuacion diferencial ordinaria de primer orden ::::::::::::::::::::::::::::::: 193
9.1.2 Ecuaciones diferenciales ordinarias de orden superior a uno ::::::::::::::::::: 194
9.1.3 Reduccion de una EDO de orden a un sistema de EDOs de primer orden
n n : 195
9.2 El metodo de Euler ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 197
9.3 El metodo de Heun ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 201
9.4 Extension a un sistema de EDOs de primer orden ::::::::::::::::::::::::::::::: 203
9.5 Apendice ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 204
9.6 Bibliograf a::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 207
8. vi Metodos numericos
10 Resolucion de los problemas propuestos 209
Objetivos ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 209
10.1 Problemas del cap tulo 2 :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 209
10.2 Problemas del cap tulo 3 :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 215
10.3 Problemas del cap tulo 4 :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 221
10.4 Problemas del cap tulo 5 :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 233
10.5 Problemas del cap tulo 6 :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 244
10.6 Problemas del cap tulo 7 :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 250
10.7 Problemas del cap tulo 8 :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 268
10.8 Problemas del cap tulo 9 :::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: 273
9. Prologo vii
Prologo
Este libro presenta una breve introduccion a los metodos numericos. Abarca desde la in-
troduccion a los ordenadores y la programacion en lenguaje FORTRAN hasta las aplicaciones,
haciendo una incursion en los metodos numericos propiamente dichos.
De hecho, todos los temas del libro se tratan de forma basica. Solo al abordar los metodos
directos para sistemas lineales de ecuaciones se profundiza mas, buscando dar una base solida,
puesto que es uno de los temas fundamentales en metodos numericos para ingenier a.
Las erratas y errores son completamente atribuibles a los autores. Sin embargo, los aciertos,
tanto en el enfoque como en el contenido, son de todos los profesores que participan y han
participado en las asignaturas de metodos numericos que impartimos. Seguramente, de entre
todos ellos, el mas se~alado es Manuel Casteleiro, maestro de todos nosotros.
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