Equações Diferenciais Lineares de Ordem Superior 1) O documento discute problemas de valor inicial e de contorno para equações diferenciais lineares de ordem superior, apresentando definições e teoremas sobre a existência e unicidade de soluções para esses problemas. 2) Também apresenta conceitos como independência linear, wronskiano e conjunto fundamental de soluções para equações diferenciais homogêneas. 3) Discutem-se ainda soluções gerais para equações diferenciais homogêneas e não-homogêneas.

1. Equações Diferenciais Lineares de Ordem Superior
Problemas de valor inicial e de valor de contorno
Problema de valor inicial
Para uma equação diferencial de n-ésima ordem, o problema
dny
Resolva: an ( x) n
dx
d n 1y
dy
an 1 ( x) n 1 ... a1 ( x)
dx
dx
a0 ( x) y
Sujeita a: y( x0 ) y0 , y´(x0 ) y0´,...,y (n 1) ( x0 ) y0 (n 1)
g ( x)
(1)
Em que y0, y0´, ...y0(n-1) são constantes arbitrárias, é chamado de um problema
de valor inicial. Os valores específicos y(x0) = y0, y´(x0) = y0´, ..., y(n-1)(x0) =
y0(n-1) são chamados de condições iniciais. Procuramos uma solução em algum
intervalo I contendo x0.
No caso de uma equação linear de segunda ordem, uma solução para o
problema de valor inicial
a 2 ( x)
d2y
dx 2
a1 ( x)
dy
dx
a0 ( x) y
g ( x),
y ( x0 )
y0 ,
y´( x0 )
y0 ´ ,
é uma função que satisfaça a equação diferencial em I cujo gráfico passa pelo
ponto (x0, y0) com inclinação igual a y0´.
O próximo teorema nos fornece condições suficientes para a existência
de uma única solução para (1).
- Teorema – Existência de uma Única Solução
Sejam an(x), an-1(x), …, a1(x), a0(x) e g(x) são contínuas em um intervalo I
com an(x) 0 para todo x neste intervalo. Se x = x0 é algum ponto deste
intervalo, então existe uma única solução y(x) para o problema de valor inicial
(1) neste intervalo.

2. - Definição – Dependência Linear
Dizemos que um conjunto de funções f1(x), f2(x), ..., fn(x) é linearmente
dependente em um intervalo I se existem constantes c1, c2, ..., cn não todas
nulas, tais que
c1 f1 ( x) c2 f 2 ( x) ... cn f n ( x)
0
para todo x no intervalo.
- Definição – Independência Linear
Dizemos que um conjunto de funções f1(x), f2(x), ..., fn(x) é linearmente
independente em um intervalo I se ele não é linearmente dependente no
intervalo.
Wronskiano
O seguinte teorema proporciona condição suficiente para a
independência linear de n funções em um intervalo. Supomos que cada função
seja diferenciável pelo menos n – 1 vezes.
- Teorema – Critério para Independência Linear de Funções
Suponha que f1(x), f2(x), ..., fn(x) sejam diferenciáveis pelo menos n – 1 vezes.
Se o determinante
f1 ,......f 2 ,......... f n
,
f1´,.....f 2 ´,........ f n ´
,
:::
f1
( n 1)
, f2
( n 1)
,..., f n
( n 1)
for diferente de zero em pelo menos um ponto do intervalo I, então as funções
f1(x), f2(x), ..., fn(x) serão linearmente independentes no intervalo.

3. O determinante do teorema precedente é denotado por
W ( f1 ( x), f 2 ( x),..., f n ( x))
é chamado de Wronskiano das funções.
- Corolário
Se f1(x), f2(x), ..., fn(x) possuem pelo menos n – 1 derivadas e são linearmente
dependentes em I, então
W ( f1 ( x), f 2 ( x),..., f n ( x))
0
para todo x no intervalo.
Soluções para Equações Lineares
Equações Homogêneas
Uma equação diferencial de n – ésima ordem da forma
a n ( x)
dny
dx n
a n 1 ( x)
dn 1
dx n 1
... a1 ( x)
dy
dx
a0 ( x) y
0
(3)
g ( x),
(4)
é chamada de homogênea, enquanto
an ( x)
dny
dx n
an 1 ( x)
dn 1
dy
... a1 ( x)
a0 ( x ) y
n 1
dx
dx
com g(x) não identicamente zero, é chamada de não – homogênea.
A palavra homogênea neste contexto não se refere aos coeficientes
como sendo funções homogêneas.

4. - Teorema – Princípio da Superposição – Equações Homogêneas
Sejam y1, y2, ..., yk soluções para a equação diferencial linear de n – ésima
ordem homogênea (3) em um intervalo I. Então, a combinação linear
y
c1 y1 ( x) c2 y 2 ( x) ... ck y k ( x),
(5)
em que os ci, i = 1, 2, ..., k são constantes arbitrárias, é também uma solução
no intervalo.
- Corolários
(A) Um múltiplo y = c1y1(x) de uma solução y1(x) para uma equação
diferencial linear homogênea é também uma solução.
(B) Uma equação diferencial linear homogênea sempre possui a solução
trivial y = 0.
- Teorema – Critério para Independência Linear de Soluções
Sejam y1, y2, ...., yn n soluções para a equação diferencial linear homogênea de
n – ésima ordem (3) em um intervalo I. Então, o conjunto de soluções é
linearmente independente em I se e somente se
W ( y1 , y 2 ,..., y n )
0
para todo x no intervalo.
- Definição – Conjunto Fundamental de Soluções
Qualquer conjunto y1, y2, ...., yn de n soluções linearmente independentes para
a equação diferencial linear homogênea de n – ésima ordem (3) em um
intervalo I é chamado de conjunto fundamental de soluções no intervalo.

5. - Teorema
Sejam y1, y2, ...., yn n soluções linearmente independentes para a equação
diferencial linear homogênea de n – ésima ordem (3) em um intervalo I.
Então, toda solução Y(x) para (3) é uma combinação linear das n soluções
independentes y1, y2, ...., yn ou seja, podemos encontrar constantes C1, C2, ...,
Cn, tais que
y
C1 y1 ( x) C 2 y 2 ( x) ... C n y n ( x).
- Teorema – Existência de um Conjunto Fundamental
Existe um conjunto fundamental de soluções para a equação diferencial linear
homogênea de n – ésima ordem (3) em um intervalo I.
- Definição – Solução Geral – Equações Homogêneas
Sejam y1, y2, ...., yn n soluções linearmente independentes para a equação
diferencial linear homogênea de n – ésima ordem (3) em um intervalo I. A
solução geral para a equação no intervalo é definida por
y
C1 y1 ( x) C2 y 2 ( x) ... Cn y n ( x),
em que os ci, i = 1, 2, ..., n são constantes arbitrárias.
- Teorema
Sejam y1, y2, ...., yn soluções para a equação diferencial linear homogênea de
n – ésima ordem (3) em um intervalo I e seja yp qualquer solução para a
equação não – homogênea (4) no mesmo intervalo. Então,
y
c1 y1 ( x) c 2 y 2 ( x) ... c k y k ( x)
y p ( x)
é também uma solução para a equação não – homogênea no intervalo para
quaisquer constantes c1, c2, ..., ck.

6. - Teorema
Seja yp uma dada solução para a equação diferencial linear não – homogênea
de n – ésima ordem (4) em um intervalo I e sejam {y1, y2, ..., yn} um conjunto
fundamental de soluções para a equação homogênea associada (3) no
intervalo. Então, para qualquer solução Y(x) de (4) em I, podemos encontrar
constantes C1, C2, ..., Cn tais que
Y
C1 y1 ( x) C 2 y 2 ( x) ... C n y n ( x)
y p ( x).
- Definição – Solução Geral – Equações Não-Homogêneas
Seja yp uma dada solução para a equação diferencial linear não-homogênea de
n – ésima ordem (4) em um intervalo I e seja
yc
c1 y1 ( x) c 2 y 2 ( x) ... c n y n ( x)
a solução geral para a equação homogênea associada (3) no intervalo. A
solução geral para a equação não-homogênea no intervalo é definida por
y
c1 y1 ( x) c 2 y 2 ( x) ... c n y n ( x)
y p ( x)
y c ( x)
y p ( x).
- Teorema – Princípio de Superposição – Equações Não-homogêneas
Sejam yp1, yp2, ..., ypk k soluções particulares para a equação diferencial linear
de n – ésima ordem (4) em um intervalo I, correspondendo a k funções
distintas g1, g2, ..., gk. Isto é, suponha que ypi seja uma solução particular para
a equação diferencial correspondente
a n ( x) y ( n )
a n 1 ( x) y ( n
1)
... a1 ( x) y´ a 0 ( x) y
em que i = 1, 2, ..., k. Então,
yp
y p1 ( x)
y p 2 ( x) ...
y pk ( x)
g i ( x),

7. é uma solução particular para
a n ( x) y ( n )
a n 1 ( x) y ( n
1)
... a1 ( x) y´ a 0 ( x) y
g1 ( x)
g 2 ( x) ...
g k ( x).
Construindo Uma Segunda Solução a partir de uma Solução Conhecida
Caso Geral - Redução de Ordem
a 2 ( x) y´´ a1 ( x) y´ a 0 ( x) y
0
(1)
Dividindo a equação (1) por a2(x), esta toma a forma padrão
y´´ P( x) y´ Q( x) y
(2)
0
em que P(x) e Q(x) são contínuas em algum intervalo I. Vamos supor ainda
que y1(x) seja uma solução conhecida para (2) em I e que y1(x)
0 para todo
x no intervalo. Se definirmos y u ( x) y1 ( x) , segue-se que
y´´ Py´ Qy
y´ uy1´ y1u´
y´´ uy1´´ 2 y1´u´ y1u´´
u[ y1´´ Py1´ Qy 1 ] y1u´´ (2 y1´ Py1 )u´ 0.
|
[zero]
Isso implica que devemos ter
y1u´´ (2 y1´ Py1 )u´ 0
ou
0, (3)
y1 w´ (2 y1´ Py1 ) w
desenvolvendo encontramos
w
Integrando novamente u c1
u´ c1
e
Pdx
y1
2
Pdx
e
2
y1 ( x)
dx c 2 , e portanto

8. y
u ( x) y1 ( x)
c1 y1 ( x)
P ( x ) dx
e
dx c 2 y1 ( x).
2
y1 ( x)
Escolhendo c2 = 0 e c1 = 1, concluímos que uma segunda solução para a
equação (2) é satisfeita.
Agora, y1(x) e y2(x) são linearmente independentes, pois
y1 ...y1
W ( y1 ( x), y 2 ( x))
y1´..
e
Pdx
e
y1
2
dx
Pdx
y1´
y1
Pdx
e
Pdx
e
y1
2
dx
é diferente de zero em qualquer intervalo em que y1(x) seja diferente de zero.
Equações Lineares Homogêneas com Coeficientes Constantes
Considerando o caso especial da equação de segunda ordem
ay´´ by´ cy
0
(2)
Equação Auxiliar
Se tentarmos uma solução da forma y = emx, então y´ = memx e y´´ = m2e,mx;
assim a equação (2) torna-se
am 2 e mx
bmemx
ce mx
0 ou e mx (am 2
bm c)
0.
Como emx nunca se anula para valores reais de x, então a única maneira de
fazer essa função exponencial satisfazer a equação diferencial é escolher m de
tal forma que ele seja raiz da equação quadrática
am 2
bm c
0
(3)

9. Essa última equação é chamada de equação auxiliar ou equação
característica da equação diferencial (2). Consideramos três casos, a saber: as
soluções para a equação auxiliar correspondem a raízes reais distintas, raízes
reais iguais e raízes complexas conjugadas.
CASO I – Raízes Reais Distintas
e m1 x e
y1
e m2 x .
y2
CASO II – Raízes Reais Iguais
y
c1e m1x
c 2 xe m1x .
CASO III – Raízes Complexas Conjugadas
2
e
0 são reais e i = - 1.
y
C1e (
i )x
C2 e (
i )x
.
Para este fim, usamos a fórmula de Euler:
ei
y
cos
c1e ax cos x c 2 e ax sen x
i sen
e ax (c1 cos x c 2 sen x).