El documento presenta el binomio de Newton, una fórmula para desarrollar potencias de binomios de la forma (a + b)n. Explica que los coeficientes de cada término siguen la secuencia del triángulo de Pascal y cómo este triángulo se construye a partir de los números combinatorios mediante el uso de factoriales. Finalmente, muestra ejemplos del desarrollo de potencias de binomios usando esta fórmula.

1. CAPÍTULO 1
EL BINOMIO DE NEWTON
a  b  a  b a  b  a  ab  b a 
b
a  b  a  b a  b  a  a b  ab  b a 
b
a ab ab ab b
1
Contenido del capítulo:
 El triángulo de Pascal.
 Números combinatorios.
 El binomio de Newton.
Resultados del Aprendizaje:
1. Calcula potencias de binomios.
2. Determina un término cualquiera del desarrollo de un binomio
EL BINOMIO DE NEWTON
El binomio de Newton es una fórmula que se utiliza para hacer el desarrollo de la potencia de un
binomio elevado a una potencia cualquiera de exponente natural. Es decir, se trata de una fórmula
para desarrollar la expresión:
a  bn , n.
Es conveniente hacer observar aquí que a y b pueden ser números, letras o expresiones algebraicas
cualesquiera.
Así, también podremos desarrollar, por ejemplo, expresiones como: 2 3 , n x  2 3  , n xz  y
3 5  , n a  b etc.
Veamos el desarrollo de algunas potencias de a  b :
 0 a  b 1
 1 a  b  a  b
a  b2  a  ba  b  a2  ab  b2 (cuadrado de la suma)
 3  2    2 2  
3 3 2 3 2 3
a ab ab b
   
(cubo de la suma)
 4  3    3 3 2 3
2 3  
4 3 22 3 4
4 6 4 .
    

2. Utilizando el último resultado, si a  2x y b  3, se sigue que:
 2 x  3 4   2 x 4  4  2 x 3  3  6  2 x 2  3 2  4  2 x
  3 3 
3
4
4 3 2
x x x x
16 96 216 216 81.
    
Se observa que los coeficientes de cada polinomio resultante siguen la siguiente secuencia:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
Se observa además que las potencias del primer sumando del binomio, es decir a, comienzan por n
y en cada sumandovan disminuyendo de uno en uno hasta llegar a 0. Por el contrario, las potencias
del segundo sumandodel binomio, es decir b, empiezan en 0 y van aumentando de uno en uno
hasta llegar a n.
La estructura en el triángulo anterior recibe el nombre de Triángulo de Pascal o Triángulo de
Tartaglia.
Observe que el vértice superior es un 1 y que la segunda fila son siempre dos “unos”. A partir de
latercera fila, el método de construcción es el siguiente:
 Primer número: 1.
 Números siguientes: la suma de los dos que se encuentran inmediatamente por encima.
 Último número: 1.
Observe también, además de que cada fila empiece y termine por 1, que los números que aparecen
formanuna fila simétrica, o sea, el primero es igual al último, el segundo igual al penúltimo, el
tercero igualal antepenúltimo, etc.
De esta forma sería fácil hallar  5 a  b :
 La fila siguiente del triángulo sería: 1 5 10 10 5 1
 Los coeficientes, según lo comentado anteriormente seguirían la siguiente secuencia:
a5b0 a4b1 a3b2 a2b3 ab4 a0b5 o también a5 a4b a3b2 a2b3 ab4 b5
2
Por tanto:
a  b5  a5  5a4b 10a3b2 10a2b3  5ab4  b5.
La construcción del triángulo anterior no es así por capricho, o por casualidad, sino que es
consecuenciade la definición de número combinatorio.
Para definir un número combinatorio es preciso saber con anterioridad lo que es el factorial de un
número, n!, que se define de la siguiente forma:
0!1; que se lee “cero factorial”;
n! nn 1n  2321; que se lee “ n factorial”:
Por ejemplo:
 1!1

3.  3! 321 6
 4! 4321 24
 6! 654321 720
 12!121110987654321 479001600.
Este último factorial se ha realizado con una calculadora (¡busque la tecla que hace esta operación!).
 
  
 
Un número combinatorio es un número natural de la forma , donde
n n
m m n m
 
     
 
 
 
   
   
   
     
     
     
       
       
       
3
n
n m
m
y se lee “ n sobre
m”. Para obtenerlo se aplica la siguiente fórmula:
! .
 
! !
Veamos algunos ejemplos:
0 0! 1.
0 0! 0 0 !
 
        
 
1 1! 1.
0 0! 1 0 !
1 1! 1.
1 1! 1 1 !
 
        
 
      
2 2! 1.
0 0! 2 0 !
 
        
 
2 2! 2.
1 1! 2 1 !
2 2! 1.
2 2! 2 2 !
 
        
 
      
3 3! 1.
0 0! 3 0 !
 
        
 
3 3! 3.
1 1! 3 1 !
3 3! 3.
2 2! 3 2 !
 
        
 
      
3 3! 1.
3 3! 3 3 !
 
        
 
4 4! 1.
0 0! 4 0 !
4 4! 4.
1 1! 4 1 !
 
        
 
      
4 4! 6.
2 2! 4 2 !
 
        
 
4 4! 4.
3 3! 4 3 !
4 4! 1.
4 4! 4 4 !
 
        
 
      
5 5! 10.
3 3! 5 3 !
 
        
 
8 8! 56.
5 5! 8 5 !
 
      
Teniendo en cuenta la definición de número combinatorio y, si con los ejemplos anteriores has
entendido cómo se utiliza la fórmula, será fácil comprender que el Triángulo de Pascal o Triángulo
de Tartaglia es, de hecho, el siguiente:
0
0
1 1
0 1
2 2 2
0 1 2
3 3 3 3
0 1 2 3
4 4 4 4 4
0 1 2 3 4
         
         
         

4. El hecho de que las dos primeras filas sean siempre “unos”, así como la razón por la que el primer y
el último número de las demás son también “unos”, se debe a las dos siguientes propiedades:
n n n n n
 
           
! ! ! !1
n n n n
n n n n n
n n n n n n n
 
           
! ! ! ! 1.
n n n n n
m m n m n m m n m n n m n m
   
                   
! ! ! .
n n n n n n
n m n m n n m n m n n m n m m m n m m
   !  ! ! !  
       .
                
Veamos unos ejemplos (puedes comprobarlos utilizando la definición de número combinatorio):
n  n   n   n   n   n   n

n n  n  n  n  n a b a a b a b a b ab b
           
                      
4
 
0 0! 0 ! 0! ! 1 ! !
 
! ! !0! !1 !
Además, que los números que aparecen en una misma fila formen una fila simétrica, o sea, el
primero igual al último, el segundo igual al penúltimo, el tercero igual al antepenúltimo, etc; es
debido a la siguiente propiedad:
.
n n
m n m
   
         
La demostración es sencilla:
       
! ! ! ! ! !
           
! ! ! ! ! !
5 5! 5 5 5! 5 8 8! 8 10 ; 5 ; 56 .
2 2!3! 3 1 1!4! 4 3 3!5! 5
           
                    
           
Teniendo en cuenta todo lo anterior es fácil generalizar el desarrollo de la potencia de un binomio a
un exponente natural cualquiera, conocida como fórmula de Newton:
  1 22 2 2 1 .
n n n
0 1 2 2 1
Esta fórmula tiene n 1 términos y, en cada uno de ellos, las potencias de a y b suman n :
 Primer término o término que ocupar el lugar 1:
n n
a
 
  0


n n
a  b  
 
 
 Segundo término o término que ocupa el lugar 2: 1
1
n n
a  b  
 
 
 Tercer término o término que ocupar el lugar 3: 2 2
2
n n
  
    
 n 1 -ésimo término o término que ocupa el lugar n 1: 2 2
2
a b
n

5. n n
  
    
 n  ésimo término o término que ocupa el lugar n : 1
    
     
4 4 4 4 4
0 1 2 3 4
         
a b a b a b a b ab a b
               
         
    
a ab ab ab b
x  2 x  x  4 x 2 x  6 x 2 x  4 x 2 x 
2
x
x x x x x
a b a a b a b a b a b b
5 10 10 5
5 10 10 5 .
           
T x x x x x     
      
 
5
1
ab
n
 n 1-esimo término o término que ocupa el lugar n 1: n n
 
 
 
b
n
Observe que el número de abajo del número combinatorio de cada término (o el número al que está
elevado b, es una unidad inferior a la posición que ocupa ese término. Dicho de otra manera, si en el
desarrollo del binomio  23 a  b , quisiéramos saber exactamente el término que ocupa el lugar 17,
desarrollaríamos la expresión 7 16 23
.
16
a b
 
 
 
Generalizando esta idea podemos obtener el término que ocupa el lugar k del desarrollo de
  , , n
k a  b T mediante la fórmula:
  1 1.
1
n k k
k
n
T a b
k
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Desarrollar  x2  2x 4 .
Solución
Tomemos como modelo el desarrollo de  4 a  b , y sustituyamos a por x2 y b por 2x :
 4 4 0 3 2 2 3 0 4
4 3 22 3 4
4 6 4 .
Luego:
                 2 4 2 4 2 3 2 2 2 2 3 4
8 7 6 5 4
8 24 32 16 .
    
2. ¿Cuál es el desarrollo de  5 a  b ?
Solución
Basta observar que a  b puede escribirse de la forma a  (b); por lo tanto,
 5 5 4   3  2 2  3  4  5
5 4 32 23 4 5
a ab ab ab ab b
     
Todos los términos en los que el exponente de b es impar son negativos, y son positivos los
términos en los que dicho exponente es par.
Del desarrollo de  x2  3x 6 sólo nos interesa el término quinto. ¿Cuál es?
Solución
     2 6 5 1 5 1 4 4 8
5
6
3 15 81 1215 .
4

6. 3. Escribe el término de grado 8 en el desarrollo de
k k
 
                           
7 1 7 1 1 3 3 .
1 1
             
                           
      x    x    x  y       x   x x x   xy
           xy

6
7
3x2 1 .
     x


Solución
Supongamos que el término buscado es , k T es decir, que ocupa el lugar k :
     
8 28 
1
2 7 1 2 8
7
3
1 1
k
k k
k k k
x
k
T x x
k x k x x
 

  
 
El grado del término es el exponente definitivo de x, que sería la diferencia entre los dos
exponentes 28  k  y k 1, puesto que para dividir dos potencias de x basta restar los
exponentes del numerador y del denominador. Por consiguiente:
28  k   k 1  816  2k  k 1  83k  9k  3.
4. Es decir, el término de grado 8 es el tercero:   2
         
   
2 5 8
3
7 1 3 5103 .
2
T x x
x
1
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Desarrolla las potencias siguientes:
         x  y 7 ; x  y 7 ; 2x  3y 4 ; 3x  2y 5 ; 2x3  3x 3 ;  5 3x  2y ;  8 x  3 ;
        3x  4 6 ; x2  5x 5 ; 3x  2y 7 ; 2x2  3y 5 .
  6  5 5 4 2. Desarrollar:3 1 , 2 3  ,  2 3  ,  2 3 2  , 3 1 5 4
; 2
1 2 2
   
6 4 5 6 2 1 , 3 1 , 2 1 , 2 1 .
2 3 3 3
3. Desarrollar:
5 4 5 6 4 1 ; 3 ; 3 ; 1 ; 1 ;
2
5
1 1 ;
x x
     3


7 1 x ;
x
    
 
5 5 4
2x 1 ; x 1 ; x 1 .
        x 3
     x        x

4. Escribe directamente el cuarto término del desarrollo de  9 x  y y el quinto del desarrollo de
 8 2x  y .
5. Escribe el término sexto del desarrollo de la potencia siguiente, y averigua su grado:
 3x  x3 9 .
6. Escribe y simplifica el tercer término del desarrollo de
7
x3 2 .
     x



7. 7. Escribe y simplifica el término central del desarrollo de
    
 
    
 
    
 
7
2 4
 
  
 
1 .
3
x
9
x
8. ¿Cuál es el grado del término central del desarrollo de  3x2  5x4 12 ?
9. El tercer término del desarrollo de
5
x2 3
x
coincide con el cuarto del desarrollo de
5
x3 1 .
     x


Calcula x.
10. Averigua qué valor debe darse a x para que el tercer término del desarrollo de
5 3 x
x
    
 
sea
igual a 90.
11. El tercer término del desarrollo de 2 3 n
x
x
es de segundo grado. Calcula n y desarrolla la
potencia del binomio.
12. El segundo término del desarrollo de 2 1 n
x
x
es de grado 11. Escribe los términos restantes.
13. Averigua si hay algún término del desarrollo de
6
2x2 5
     x


que sea de grado 3. Si lo hay,
escríbelo.
14. Averigua el lugar que ocupa el término de grado 13 en el desarrollo de la potencia  3x  x2 8 .
15. Escribe la fórmula de Newton, y sustituye a y b por 1. ¿Qué resultado obtienes? ¿Qué
significadopuedes dar a ese resultado?
16. Calcular 115 por medio de la fórmula de Newton y comprueba el resultado con la calculadora.
17. Teniendo en cuenta que el trinomio a b  c puede escribirse como un binomio: a  b  c,
desarrolla las potencias           a  b  c 2 ; 2  x  x2 2 ; a  b  c 2 ; a b  c 2 ; a  b  c 3 .
18. Averigua el lugar que ocupa el término de grado 2 en el desarrollo de
7
3x2 1
     x


y escríbelo.

8. 19. Escribe el término de grado 8 en el desarrollo de
       
                    
     
x y x y
x y
8
6
x 2 .
   3
 
 x
2

20. Calcular:
6 6 6 7 8 12 10 18 100 25 9
, , , , , , , , , , .
3 4 5 5 4 8 3 14 2 20 3
                     
                     
                     
21. Resuelve las ecuaciones
8 8
x x
x
21; 9; .
x
2 2 2 6
22. Utiliza las fórmulas para justificar la siguiente igualdad:
9 6 9! .
3 2 3! 2! 4!
   
         
23. Resuelve las ecuaciones siguientes:
a.  3  3 x  2  x  y  98
b. 3 x  6  x.
24. Resuelve el sistema de ecuaciones:
   
 
2 2
3
8
27
  

9. CAPÍTULO 2
EL PRINCIPIO DE
9
INDUCCIÓN
Contenido del capítulo:
 El principio de inducción.
 Definiciones por recurrencia.
 Ejercicios de aplicación.
Resultados del Aprendizaje:
1. Aplica una definición por recurrencia.
2. Demuestra propiedades relativas a números naturales usando el principio de inducción.
Giuseppe Peano (1858 - 1932), analista y lógico
italiano, da la formulación actual del razonamiento
por inducción o recurrencia al realizar la
construcción axiomática del conjunto de los
números naturales . Dicho razonamiento utiliza
su quinto axioma, llamado también principio de
recurrencia: “Si un conjunto de números naturales
contiene 0 y contiene el sucesor de cada uno de
sus elementos, entonces ese conjunto es igual a 
”.

10. n n
10
Prepárese para comenzar
1. En cada caso, decir si la afirmación es verdadera o falsa. Justificar la respuesta.
a. Para todo número natural n, 2 2n  4n.
b. Para todo número natural
1 , 4 3 2 3 .
3 2 2
n
         
   
2. En cada caso, decir si la propiedad es verdadera o no cuando n  0, n 1 y luego n  2.
a. n2 5n 1 0.
b. 5n  4n 3 es un múltiplo de 3.
c. 5 1 .
n     n  
 
4 4
3. u es una sucesión numérica y L designa un número real.
u L
a. Escribir la definición de lim n 
n
 (es decir que la sucesión u converge hacia L ).
u
b. Demostrar que si lim 1 n 
n
 entonces, a partir de un cierto rango, todos los términos de
la sucesión u son estrictamente superiores a 1 .
2
4. v es la sucesión definida por 0 v  2 y para todo número natural  2 2
1 , 1 . n n n v n v    
a. Justificar que para todo 1, 2. n n  v  n
b. Deducir el límite de la sucesión v.
5. En cada caso, decir si la sucesión es o no geométrica. Justificar la respuesta.
a. Para todo número natural , 2n 2n 1.
n n u   
b. 0 v  1 y para todo número natural 1 , 2 5. n n n v v   
6. En período de crecimiento, una planta de bambú duplica su altura todos los días. Si la planta
mide 10cm, ¿cuántos días serán necesarios para pasar los 5m de altura?
7. u es la sucesión geométrica de razón 5 tal que 0 u  2.
a. Expresar en función de n, la suma 1 5 52  5n.
b. Deducir la expresión en función de n de 0 1 2 . n n S  u  u  u  u
8. v es la sucesión geométrica de razón 1
3
tal que 1 v  8. Expresar en función de n, la suma
1 2 . n v  v  v
Razonamiento por inducción o recurrencia
Sea P(n) una propiedad dependiente de un entero n. Sea 0 n .
Definición. Se dice que la propiedad P es hereditaria a partir del rango 0 n cuando, si para un
entero 0 n  n , P(n) es verdadera, entonces P(n 1) es verdadera.
La propiedad hereditaria se transmite del número natural n a su sucesor n 1.

11. Observación. Un axioma es una propiedad admitida, que sirve de base en la construcción de una
teoría. Aquí, este axioma está ligado a la definición del conjunto de los números naturales .
Axioma. P(n) es una propiedad que depende de un número natural n y 0 n designa un número
natural.
Si la propiedad P(n) verifica las dos condiciones siguientes:
1. Inicialización: 0 P(n ) es verdadera;
2. P es hereditaria: Si P(k) es verdadera para un número natural 0 k  n , entonces P(k 1)
11
es verdadera;
entonces, para todo número natural 0n  n , P(n) es verdadera.
Observaciones.
 La propiedad P(n) puede ser una igualdad, una desigualdad, una propiedad expresada
mediante una frase, etc.
 La condición hereditaria es una implicación: Se supone que P(k) es verdadera para un
número natural k superior o igual a 0 n (es lahipótesis de inducción o recurrencia) y se
muestra que entonces Pk 1 también es verdadera.
 La fase de inicialización es a menudo simple de verificar, pero ella es indispensable. En
efecto, una propiedad hereditaria puede ser falsa. Por ejemplo: la proposición “ 2n es un
múltiplo de 3 ” es hereditaria, puesto que si 2n  3 k, con k , entonces
2n1  2n  2  3k  2  32k , es también un múltiplo de 3. Por tanto, para todo número
natural n, esta proposición es falsa.
Ilustración: Imagen de la escalera o de las piezas del dominó
 Se puede ilustrar el principio de inducción o recurrencia con ayuda de la imagen de una
escalera que tiene infinitos escalones (No se dice que tiene un gran número de escalones).
Si se puede:

12. o acceder al primer escalón de la escalera (inicialización),
o subir a un escalón k 1 a partir del escalón precedente k,
entonces se puede acceder a todo escalón arriba del primero.
También podemos utilizar la siguiente analogía: Disponemos de una larguísima fila de
fichas de dominó colocadas de modo que, si se cae una, tirará a la siguiente. Es claro que si
empujamos a la primera, acabarán cayendo todas.
12

13. El razonamiento por recurrencia es a menudo utilizado para demostrar una propiedad sobre
los números enteros cuando una demostración “directa” es difícil, por ejemplo para establecer
igualdades, o también para estudiar sucesiones definidas por recurrencia.
Observando como el argumento que está a la base del principio de inducción puede ser aplicado no
solo para demostrar propiedades, sino también para dar definiciones. Se considera por ejemplo la
definición de potencia con exponente natural de una base a. Tal definición se puede enunciar
del modo siguiente: a0  1 an1  a  an , para todo n.
EJEMPLO: Definición de factorial de un número natural. Se define 0!1 y, para todo
n, n 1!n 1 n!.
De acuerdo a la definición se sigue que: 1!10!1; 2! 21!; 3! 32! 6; 4! 43! 24;
y así sucesivamente.
Realizar un razonamiento por inducción
Ejercicios resueltos
Enunciado. Demostrar por inducción que para todo número natural n  3, 2n  2n.
Solución
Primera etapa (Inicialización): para n  3 se tiene 23  8 y 23  6 , por tanto 23  23.
Segunda etapa (Propiedad hereditaria): Se considera un número natural k  3 para el cual
2k  2k (hipótesis de inducción) y se muestra que también 2k 1  2k 1.
En efecto, de 2k  2k se deduce que 22k  22k, es decir, 2k1  4k. Comparemos ahora
4k y 2k 1. Como 4k  2k 1  2k  2, para k  3, 2k  2  0, luego 2k 1  4k  2k 1.
Conclusión: Para todo número natural n  3, 2n  2n.
EJEMPLO 1. Enunciado. Se considera un número real a positivo. Demostrar por inducción o
recurrencia que, para todo entero natural : 1  1 . n n  a   na
Solución
Para todo número natural n, se llama P(n) la propiedad: “ 1  1 n  a   na ”. Se quiere demostrar
por inducción que, para todo número natural n, P(n) es verdadera.
Inicialización
13

14. Para n  0, se tiene:  0 1 a 1 y 1 0 a 1. Por tanto  0 1 a 1 0 a. La propiedad es
verdadera para n  0.
Propiedad hereditaria
Se supone que para un entero n  0, P(n) es verdadera: es la hipótesis de inducción o
recurrencia. Se busca probar que entonces, Pn 1 es verdadera.
14
P(n 1) se escribe:   1   1 1 1. n a n a     
Como   1     1 1 1 n n a a a       y de acuerdo a la hipótesis de inducción: 1  1 , n  a   na
multiplicando ambos miembros de esta desigualdad por 1 a, que es estrictamente positivo, se
obtiene:
1  1  1  1 ; n  a   a   a   na
es decir, 1  1 1 2 , na naana       o también 1  1 1  1 2. n a n a na       Como na2  0,
entonces 1 n 1a  na2  1 n 1a. Se sigue entonces que
1  1 1  1 2 1  1 , n a n a na n a         
es decir que Pn 1 es verdadera.
Se ha probado entonces que la propiedad P(n) es hereditaria a partir del rango 0.
Conclusión
La propiedad P(0) es verdadera, y la propiedad P(n) es hereditaria a partir del rango 0. Por tanto,
por inducción, se ha probado que P(n) es verdadera para todo número natural n  0. Así: para todo
número natural : 1  1 . n n  a   na
Observación. Cuando se escribe la hipótesis de inducción, es necesario considerar P(n) verdadera
para un número natural n, y no para todo natural n.De lo contrario, se admite la propiedad que se
quiere demostrar.
Se recomienda escribir Pn 1 y tratar de hacer aparecer la propiedad P(n) supuesta verdadera,
para utilizar la hipótesis de inducción.
EJEMPLO 2. Enunciado
Sea   n u la sucesión definida por: 0 u  2 y para todo n de 1 , 3 2. n n u u    
a) Calcular 1 2 3 u , u y u .

15. b) Establecer una conjetura para n u y probarla por inducción.
n u   para todo número natural n.
   
         
n n
A
 
 
 
15
Solución
a) u1  3u0  2  4, u2=3u1  2 10 y u3  3u2  2  28. Se constata que 1
1 u  3 1,
u =3 2
1 10 y u  3 3
1.
23 En los tres casos se tiene: 3n 1;
n u   sin embargo ello no es suficiente para estar seguros
que 3n 1
b) Para demostrar que la igualdad 3n 1
n u   es verdadera para todo número natural n, vamos
a hacerlo por inducción o recurrencia.
Inicialización: Para n  0, de una parte, 0 2, n u  u  y de otra parte, 3n 1 30 111 2.
La propiedad 3n 1
n u   es entonces verdadera para n  0.
Hipótesis de inducción: Supongamos que para un número natural k  0, la propiedad sea
verdadera, es decir que se tiene: 3k 1
k u   (hipótesis de inducción).
Mostremos que la propiedad es verdadera para el número natural siguiente k 1, es decir
que 1
1 3k 1.
k u 
   En efecto, se tiene de acuerdo a la definición de la sucesión que
1 3 2 k k u u    y por la hipótesis de inducción 3k 1,
k u   con lo cual se sigue que
  1
1 3 2 3 3k 1 2 3k 1.
k k u u 
        La propiedad es entonces hereditaria.
Conclusión: Como la propiedad es verdadera para n  0 (inicialización) y supuesto que
P(k) es verdadera, P(k 1) también es verdadera, entonces por el principio de inducción,
podemos concluir que la propiedad es verdadera para todo número natural n. Se tiene
entonces: Para todo , 3n 1.
n n u  
EJEMPLO 3. Enunciado.Determinar una potencia de una matriz
Sea
1 2
0 1
A
 
 
 
y n un número natural no nulo.
c) Calcular A2 , A3 y A4.
d) Conjeturar una expresión de An en función de n. Demostrar dicha conjetura por inducción.
Solución
a) 2 3 2 1 4 1 6
A A A ,
A A A
0 1 0 1
   
y 4 3 1 8
.
0 1
A A A
 
   
 
b) Parece que An es de la forma
1 2
.
0 1
Demostremos por inducción que para todo
1 2
n
n 1, .
0 1
n A
 
  
 

16. Primera etapa (inicialización): Para n 1,
1 1 2 1 2 1 1 2
y .
0 1 0 1 0 1
k k k k k
A  A A         
           
n n
16
A A
      
        
     
Segunda etapa (Propiedad Hereditaria): Se considera un número natural k 1 para el
cual
k k
A
1 2
0 1
 
 
 
y se muestra que entonces   1 1 2 1
.
k k
A    
 
 0 1

En efecto,
  1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1
.
0 1 0 1 0 1 0 1
      
Conclusión: Para todo
1 2
1, .
0 1
n A
 
  
 
Ejercicios de aplicación
1. Mostrar que las dos proposiciones: “10n 1 es un múltiplo de 3” y “10n 1 es un múltiplo
de 9” son hereditarias. ¿Son verdaderas para todo número natural n ?
2. Demostrar por inducción que para todo número natural n, 23n 1 es un múltiplo de 7.
3. Demostrar que, para todo número natural n, se tiene 2n  4n.
4. Demostrar que, para todo número natural n, se tiene 2n  n2.
5. Demostrar por inducción que para todo número natural n, 4n 1 es un múltiplo de 3.
6. Se considera la sucesión u definida por 0 u 1 y para todo número natural
1 , 2 3. n n n u u n     Demostrar que para todo  2 , 1 . n n u  n 
7. Demostrar que el número de cuerdas que unen n puntos distintos de un círculo ( n  2 ) es
igual a   1
.
n n
2
8. ¿Verdadero o falso?
Se considera la sucesión u definida en  por su primer término 0 u y para todo número
natural 1 : 3 1. n n n u u   
a. La proposición “ n n 1 u u  ” es hereditaria.
b. La proposición “ n n 1 u u  ” es hereditaria.
c. Si 0 u 1, entonces la sucesión u es creciente.
d. Si 0 u  2, entonces la sucesión u es decreciente.
e. Si 0 u  0,5, entonces la sucesión u es estacionaria.
9. Análisis crítico de un resultado

17. Sea P(n) la propiedad definida en  por: “ 4n 1 es divisible por 3 ”. Supongamos que
existe 0 n   tal que 0 P(n ) es verdadera. Mostremos que Pn 1 es verdadera. Puesto
que 0 P(n ) es verdadera, existe k  tal que 4n0 1 3k. Se tiene entonces:
 
 
n n n n n
            
4 0 1 1 4 4 0 1 3 1 4 0 1 3 4 0 4 0
1
n k n k
3 4 3 3 4 .
  0    0

Lo que prueba que 4n0 1 1 es múltiplo de 3 y por lo tanto que 0 P(n 1) es verdadera.
Se deduce entonces que cualquiera que sea n, P(n) es verdadera. ¿Este razonamiento
es correcto? ¿Por qué?
   
17
10. Indicar la (o las) buena(s) respuesta(s).
a. Para todo natural n, se considera la proposición P(n) : “ 6n 1 es un múltiplo de 5. ”
i. La proposición P es hereditaria.
ii. La proposición P es verdadera en .
iii. Existe un número natural n tal que P(n) es falsa.
b. Para todo natural n, se considera la proposición Q(n) : “ 6n 1 es un múltiplo de 5. ”
i. La proposición Q es hereditaria.
ii. La proposición Q es verdadera en .
iii. Existe un número natural n tal que Q(n) es falsa.
11. Mostrar por inducción que: Para todo número natural n  2, se tiene la desigualdad
1! 2! 3! n 1! n!
12. Para todo número natural n, se considera la proposición: P(n) : ”  2 2n  n 1 ”.
a. Mostrar que la propiedad P es hereditaria a partir del rango 2.
b. ¿Para qué valores de n, esta propiedad es verdadera?
13. Para todo número natural n 1:
   
n  n

  
1 1 1 
3 
.
1  2  3 2  3  4 n  n  1  n  2 4 n  1 n

2
14. Se considera la sucesión v definida en  por: 0 v  0 y para todo número natural
1 , 2 1. n n n v v n     Calcular los cinco primeros términos de la sucesión v, luego hacer una
conjetura acerca de la expresión de n v en función de n. Demostrar por inducción la
conjetura establecida en la parte anterior.
15. Demostrar por inducción que la sucesión u definida en  por 0
7
11
u  y para todo
1 , 100 63 n n n u u    es estacionaria (es decir constante)
16. Demostrar por inducción que, para todo natural n no nulo, se tiene: n! 2n1.
Recuerde que: El factorial de un número natural n  0, notado n!, es el producto de los
números naturales estrictamente positivos comprendidos entre 1 y n :

18. n! nn 1 21. La notación n! fue introducida en 1808 por el matemático francés
Christian Kramp (1760 - 1826).
17. Para todo natural n, se nota n f la función definida en  por ( ) n .
18
n f x  x Demostrar que para
todo natural n, la función n f es derivable en  y para todo real , ' ( ) n 1.
n x f x  nx 
18. Demostrar por inducción que para todo número natural n, 4n  4n 1.
19. u es la sucesión definida por 0 u  3 y para todo número natural 1
n u u
: 5 3.
3
n
n
n
u 



a. Calcular 1 2 u y u . Emitir una conjetura.
b. Demostrar esta conjetura por inducción.
20. En la siguiente figura se tiene 0 0 1 1 2 OA 1, A A  A A  2; los triángulos
0 1 1 2 OA A , OA A , son triángulos rectángulos.
Demostrar por inducción que para todo número natural , 4 1. n n OA  n 
21. Sea
1 0
0 2
A
 
 
 
y n un número natural no nulo.
a. Calcular A2 , A3 y A4.
b. Conjeturar una expresión de An en función de n. Demostrar dicha conjetura por
inducción.
22. Establecer una conjetura. Sea n un número natural no nulo. En un círculo, se coloca n
puntos y se unen todos esos puntos mediante segmentos de recta. Se busca conocer, de una
parte el número n C de cuerdas trazadas y de otra parte el número máximo n S de regiones
así creadas en el disco.
Con ayuda de las figuras del gráfico de arriba, dar y n n C S para 1 n  4. Hacer un gráfico
para n  5 y determinar 5 5 C y S . ¿Qué valores de 6 6 C y S se puede pensar obtener?
Verifique su conjetura con ayuda de una figura.

19. 23. Diagonales de un polígono. Para n un número natural, con n  4, se nota n d el número de
diagonales de un polígono convexo de n lados.
a. Determinar gráficamente 4 5 6 7 d , d , d y d .
b. Como ejemplo, trazar un pentágono ABCDE y luego agregar un punto F exterior al
pentágono. ¿Cuáles son las diagonales de ABCDEF que no son diagonales de ABCDE ?
Deducir una relación entre 5 6 d y d .
c. Establecer una relación entre 1 y . n n d d
d. Mostrar por inducción que un polígono a n lados admite
    
k k r
        
19
 3
2
n n
diagonales.
Nota. Un polígono se dice convexo cuando todo segmento con extremos en el interior del
polígono está totalmente situado en el interior del polígono.
24. Mostrar que las dos proposiciones: “10n 1 es un múltiplo de 3” y “10n 1 es un múltiplo
de 9” son hereditarias. ¿Son válidas para todo natural n?
25. Demostrar que para todo n  1, vale la siguiente fórmula:
 
1
! 1!1.
n
k
k k n

EJERCICIOS RESUELTOS
1. Probar que 7n 1 es divisible por 6 para todo entero positivo n.
Solución
Paso 1. Inicialización. Cuando n 1, 7n 1  71 1  6. Como 6 es divisible por 6, la
afirmación es verdadera para n 1.
Paso 2. Hipótesis de inducción. Asumimos que 7k 1 es divisible por 6 para algún entero
positivo k. Esto significa que existe un número entero r tal que 7k 1 6r.
Paso 3. Mostremos que la afirmación es verdadera para n  k 1.
Se tiene 7k1 1 77k 1. De la hipótesis de inducción 7k 1 6r se tiene
7k 1 6r. Reemplazando este valor en 7k 1 1 77k 1, se sigue que
 
 
7 1 1 7 7 1 7 1 6 1
r
r r
7 7 6 1
6 7 6 6 1 7
   
    
Como r, entonces 1 7r, por lo tanto 7k1 1 es divisible por 6. En consecuencia, la
afirmación es verdadera para n  k 1.
Esto prueba que 7n 1 es divisible por 6 para todo entero positivo n.
2. Sea x un número real distinto de 1. Para todo número natural n,
1
 
1 2 3 1.
1
n
x x x xn x
x
     


Probaremos por inducción (es decir, utilizando el principio de inducción) este resultado
Sea P(n) la condición

20.        
    
k  k k 
k
 
x  1 xk 1 x  1
 x 
x
x  1 x

1
 
P n n n
    
  
  
 
P k k k
    
20
1
 
1 2 3 1.
1
n
x x x xn x
x
     


Verifiquemos que se satisfacen (i) y (ii):
P(0) es verdadera pues el primer miembro de P(n) para n  0 es 1 y el segundo 1 1.
1
x
x



Supongamos ahora que
1
 
( ) : 1 2 3 1,
1
k
P k x x x xk x
x
     


es verdadera, y demostremos que
2

( 1) : 1 2 3  1 
1,
1
k
P k x x x xk xk x
x

es verdadera. Para esto sumemos xk1 a los dos miembros de P(k) :
1
1 2 3 1 1 1.
1
k
x x x xk xk x xk
x


 
  

El primer miembro de esta igualdad es el primer miembro de P(k 1) y el segundo
miembro
1 1 2 1
2
1,
1
k
x
x





 
coincide también con el segundo miembro de P(k 1), luego se cumple P(k 1).
El principio de inducción garantiza que P(n) es verdadera para todo natural n.
3. Para todo entero n  1,
n  n 1  2 n
1
 1 2 2 2 3 2 2 .
6
n
 
   
Sea P(n) la condición dada, es decir,
n  n 1  2 n
1
 2 2 2 2 ( ): 1 2 3 , 1.
6
P(1) es verdadera, pues:
   2 1 1 1 2 1 1
1 11.
6
Supuesto que se cumple
k  k 1  2 k
1
 2 2 2 2 ( ): 1 2 3 , con 1,
6
Demostremos
2 2 2 2       2 k 1 k 2 2 k
3
( 1):1 2 3 1 .
6
P k k k
  
      
Sumando  2 k 1 a los dos miembros de P(k) se obtiene

21.   2 k k 1  2 k
1
 2 2 2 2 k  k
2 1 2 3 1 1.
k k k k k
    
1 2 1 2 1
k k
6 6
k  1  1 k  1 k 
1
k
10  3  10  5  10  10  3  10  10 
5
k 
1
k
10 10 3 10 5
10 10 3 10 5 5 5
10 10 3 10 5 50 5
10 9 45 (Por la hipótesis de inducción)
10 9 9 5
9 10 5 , donde 10 5 pues
   
 k 
1
  k
  
 k 
1
  k
  
  p

  p
 
 p  p   p

21
6
k
 
       
El segundo miembro
      1     1

     
 
   
2
k k k
2 1 6 1
2
1
6
1
2 7 6
6
1
1
2 2 3,
6
k
k
k k
k k k
k
     
 
    
   
 

    
  

 
coincide con el segundo miembro de P(k 1) y esto muestra que se cumple P(k 1).
Por el principio de inducción se concluye que P(n) es verdadera para todo entero n  1.
4. Use el principio de inducción para probar que 10n1 310n 5 es divisible por 9 para todo
n.
Prueba:
Para n 1, 102 310 5 135 159 que es divisible por 9. En consecuencia P(1) es
verdadera.
Si P(k) es verdadera, entonces 10k1  310k  5  9 p, donde p. Luego:
 
 
 
 
 
En consecuencia 10k11  310k1  5 es divisible por 9.
Por lo tanto P(k 1) es verdadera siempre que P(k) es verdadera y como P(1) es verdadera
entonces P(n) es verdadera para todo n.
5. Use el principio de inducción para probar que 5n  8n2  4n 1 para todo n.
Prueba:
Para n 1, se tiene 51  812  411, es decir 5  5 que es verdadero. En consecuencia P(1)
es verdadera.
Si P(k) es verdadera, entonces 5k  8k2  4k 1. Es decir, 5k 8k2  4k 1 0.
Ahora:

22.      
             
k k k k k
5 8 1 4 1 1 5 5 8 2 1 4 4 1
5 5 8 16 8 4 4 1
4 1 5 8 16 8 4 4 1
5 8 4 1 4 5 16 4, donde
5 8 4 1 0 (Por la hipótesis de inducción)
       
        
       
 
 
   k  k  para algún entero positivo k.
1 5 25 5 5 1 5 1 5
k k k k
1 1 1 1 1
    
       
22
1 2 2
2
2
2
2
k k
k
k
k k
k
k k k
k k k
k k k
k k
   
y 45k 16k  4  48k 2  4k 116k  4 (Por la hipótesis de inducción.) Es decir,
45k 16k  4  32k2 32k o también 45k 16k  4  32k k 1  0 pues k 1.
Luego 5k 1 8k 12  4k 1 1 0 pues es la suma de dos enteros no negativos, y por tanto
5k 1  8k 12  4k 1 1.
Por lo tanto P(k 1) es verdadera siempre que P(k) es verdadera y P(1) es verdadera.
En consecuencia P(n) es verdadera para todo n.
6. Probar que 1  5  25  5 n 1  1 5 n 
1.
4
Solución:
Paso 1. Cuando n  1, el lado izquierdo de la ecuación es 1. El lado derecho es 1 51 1
4
 que
es igual a 1. Por lo tanto, la ecuación es verdadera para n  1.
Paso 2. Asumamos que 1 5 25 5 1 1 5 1,
4
Paso 3. Mostremos que la ecuación dada es verdadera para n  k 1.
     
4
1  5 1 
5
4
5 1 4 5
k k
  
k k
  
4
5 5 1
4
15  1
1.

4
k
k


 

 

Por lo tanto la afirmación es verdadera para n  k 1.
Contraejemplo
7. Encontrar un contraejemplo para 14  24  34  44  n4  1 4n  42 .
Solución: El valor n  3 es un contraejemplo.
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Encontrar un contraejemplo para la afirmación 2n2 11 es primo para todo entero positivo n.

23. 2. Pruebe que cada afirmación es verdadera para todos los enteros positivos.
1 1 1 1 1 1 1 1 .
4 4 4 4 4n 3 4n
a  a  d  a  d  a  d   a  n  d   n  a  n  d      
               n
       
 1 1 1 1 1 1 2 .
1, 1 1 1 1 2 1 .
     
23
1 1 1 1 1 1 1 .
2 2 2 2 2n 2n      
a. 2 3 4
b. 4n 1 es divisible por 3.
c. 5n  3 es divisible por 4.
d. 1 5  9  4n  3  n2n 1
e. 2 5 8   n  3 n
1
 3 1
2
n

    
f. 8n 1 es divisible por 7.
g. 9n 1 es divisible por 8.
h. 2 3 4
1  1  1  1   1  1  1  1  .
3 3 3 3 3n 2  3n

 

          
i. 2 3 4
 

j. 12n 10 es divisible por 11.
k. 13n 11 es divisible por 12.
l. 1 2  4  6  2n1  2n 1.
m. 6n 1 es divisible por 5.
n. 3n 1 es divisible por 2.
  n  3 n
1
 o. 1 4 7 3 2
2
n

    
3. Use inducción matemática para probar la fórmula
          1 1 1 1 1 1 2 3 1 2 1
2
para la suma de los n primeros términos de una progresión aritmética.
4. Use inducción matemática para probar la fórmula
  2 3 1 1
1 1 1 1 1
1
1
n
n a r
a ar ar ar ar
 
r
     


para la suma de n primeros términos de una progresión geométrica.
5. Demostrar por inducción que para todo entero positivo n.
 n 2  n


4 9 1 2 1
6. Utilice inducción para demostrar que para un entero natural n, la cantidad
n3  n 13  n  23 es siempre divisible por 9. Puede hacer uso de la identidad
a  b3  a3  3a2b  3ab2  b3 .
7. Demostrar que para todo entero 2 3 2
2 3
n
n n
8. Use el principio de inducción para probar que:

24. a a a  a son n números reales, la suma 1 2 3 n a  a  a  a se
    
0 3 2 5
24
a. 5n  8n2  4n 1, para todo n.
b. 3n  7n para n  3, n .
c. nn  n! para n  2, n .
d. 3n  n! para n  6, n .
EL SÍMBOLO DE SUMATORIA
En ejemplos anteriores aparecen las expresiones
1 x  x2  x3  xn ; 12  22  32  n2 .
Estas expresiones se las puede escribir en forma más corta usando el símbolo de sumatoria .
Así, la primera se puede expresar por
0
n
k
k
x
 
y la segunda 2
1
.
n
k
k
 
En general, si 1 2 3 , , , ,n
puede expresar por
1
.
n
k
k
a
 
Por supuesto, la suma puede comenzar a partir de cualquier subíndice 0 k ; así por ejemplo:
0 0 0
0
1 2 .
n
k k k k n
k k
a a a a a  

EJEMPLOS
  7
        
1
2 1 3 5 7 9 11 13 15.
k
k

    5
0
2 2 2 2
0 1 0 1 0 1 1.
k
sen k sen sen sen sen sen sen
   
 

                     
       
      

   
2 3
1
2 3 .
2 2 2 2
n
k n
k
k n

1
1
 
1
. k
k
a a

 
1
1 .
n
k
n

El símbolo de sumatoria tiene las siguientes propiedades evidentes cuya demostración formal
requiere del principio de inducción.

25.    donde  es un número real.
    Propiedad telescópica.
  en forma desarrollada:
         
 
a  a  a  a  a 
a
a a a a
a a
   
 
25
Propiedades
   
1.  
a b a b
1 1 1
.
n n n
k k k k
k k k
  
2.
 a  a
 
1 1
,
n n
k k
k k
3.  1 1
2
.
n
k k n
k
a a a a 

4.
1
1
 
a a

1 2
.
n n
k k
k k

 
Probaremos únicamente la propiedad (3).
Notemos en primer lugar que al expresar la suma  1
2
n
k k
k
a a

          1 2 1 3 2 1 2 1
2
,
n
k k n n n n
k
a a a a a a a a a a    

Los términos intermedios se anulan, quedando únicamente 1 a y . n a
Una demostración formal se puede realizar de la siguiente manera:
   
Sea P(n) la condición  1 1
2
.
n
k k n
k
a a a a 

P(2) es verdadera pues   2
   
1 2 1
2
. k k
k
a a a a 

Si se cumple P(n), entonces
     
   
1
1 1 1
2 2
1 1
1 1,
n n
k k k k n n
k k
n n n
n

  
 


y por tanto también se cumple P(n 1).

26. CAPÍTULO 3
NÚMEROS COMPLEJOS
Contenido de la unidad:
 Operaciones.
 módulo, conjugado.
 Representaciones: algebraica, trigonométrica y geométrica.
 Teorema de Moivre.
 Raíces de n-ésimas.
 Aplicaciones a la geometría.
26
Resultados del Aprendizaje:
1. Expresa como par ordenado o en forma rectangular un número complejo empleando la
unidad imaginaria i
2. Calcula potencias de la unidadimaginaria i
3. Simplifica expresiones complejas empleando potencias de i y de propiedades algebraicas de
los números reales.
4. Determina el conjugado de un número complejo.
5. Establecer condiciones para la igualdad de dos números complejos.
6. Realiza y verifica propiedades de las operaciones suma, producto y división entre dos
números complejos.
7. Aplica las propiedades de la suma y producto al realizar operaciones con números
complejos.
8. Expresa en notación polar un número complejo.
9. Representa gráficamente en el plano complejo un número complejo identificando su módulo
y argumento.
10. Demuestra propiedades del módulo y argumento respecto a las operaciones entre números
complejos.
11. Aplica las propiedades del módulo y el argumento para realizar operaciones con números
complejos.
12. Expresa en notación de Euler un número complejo.
13. Realiza operaciones de multiplicación, división, y potenciación de dos o más números
complejos empleando la identidad de Euler.
14. Determina lasn raíces de un número complejo y explica la relación geométrica entre ellas.
15. Define y analiza gráficamente las funciones hiperbólicas.
16. Deduce identidades hiperbólicas empleando propiedades de los números complejos.
17. Resuelve ecuaciones polinómicas con raíces complejas, empleando el teorema fundamental
del Álgebra.
18. Resuelve logaritmos de números complejos

27. PARTIR CON PIE DERECHO
Revisión del trinomio
Para cada una de las afirmaciones siguientes, precisar la única respuesta correcta.
1. El discriminante del trinomio es el real:
ax2  bx  c, con a  0,
ax2  bx  c, con a  0,
   
 
ax2  bx  c, con a  0, 1 x 2 x ,

AB.
27
a.
b.
c.
ax2  bx  c, con a  0
b
a

2
b2  4ac
4ac  b2
2. La “forma canónica” del trinomio es:
a.
b.
c.
2
a x b
      
 
a a
2 4
2
a x b
      
 
a a
2 4
2
a x b
      
 
a a
2 4
3x2  x  2  0
3. La ecuación tiene como conjunto de solución:
a.
 1 1; 2
3
4. Si el trinomio admite dos raíces y entonces su forma
factorizada es:
a.
a  x  x  x  x
 1 2 b.
 x  x  x  x
 1 2 c.
a  x  x  x  x
 1 2 Utilizar coordenadas
5. En un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares en el plano, se considera los puntos
A1;3, B0;2 y E4;3.
a. Calcular las coordenadas del vector
b. Calcular las coordenadas del punto medio del segmento
c. Calcular la distancia
C BE.
OE.

28. d. Calcular las coordenadas del punto tal que el cuadrilátero sea un paralelogramo.
e. Determinar las coordenadas del punto simétrico del punto con respecto al origen
f. Determinar las coordenadas del punto simétrico del punto con respecto al eje
g. ¿Las rectas y son perpendiculares?
Las matemáticas en todo lado
El matemático franco americano Benoit Maandelbrot desarrolló la noción de fractales que ha
permitido modelar formas naturales como las de una coliflor, de un pultmón, de una costa rocosa,
etc. Utilizó sucesiones de números complejos para trazar con ayuda de un computador conjuntos
como el indicado en la figura siguiente.
Los números complejos aparecen en el siglo XVI para resolver las ecuaciones de tercer grado bajo
el impulso de los matemáticos italianos Cardano, Bombelli y Tartaglia. No es sino en el siglo XIX
que el suizo Argand propone una representación geométrica de esos números que fue tomada y
adoptada por Gauss y Cauchy.
EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS
Teorema (Admitido). Existe un conjunto de números, notado y llamado conjunto de
losnúmeros complejos, que posee las propiedades siguientes:
 contiene
 Se define en una adición y una multiplicación que siguen las mismas reglas de cálculo
que la adición y multiplicación de números reales;
 Existe en un número tal que
 Todo elemento de se escribe de manera única con reales.
28
EJEMPLO
Sean Se tiene:
F ABEF
E ' E O.
A' A X.
BI  EJ 

 ;

 i i2  1;
z  z  x  iy x y y
1 2 z  5 3i y z  2  7i.

29.    
z z i i
  5  3  2 
7
1 2 i i
i
i
5 3 2 7
5 2 7 3
7 4.
   
   
 
 
  
z z i i
  
   
        
5 3 2 7
10 35 i 6 i 21
i
10 29 i 21 1 10 29 i 21 31 29 i
.
 
1 2
2
VOCABULARIO
Si un número complejo se escribe con reales, entonces:
z  x  iy x y y
x  iy z;
x z; x  Re(z);
y z; y  Im(z);
y  0, z  x  
 se llama la forma algebraica de
 es la parte real de se nota
 es la parte imaginaria de se nota
 Si entonces (se reencuentra el hecho de que contiene );
 Si entonces se dice imaginario puro; se nota el conjunto de los
x  0, z  iy i
z  z ' Re(z)  Re(z ') e IM(z)  Im(z ').
z  0 Re(z)  Im(z)  0.
z x  iy. z
Rez  Re(z) e Imz  Im(z).
29
imaginarios puros.
Atención. La parte imaginaria de un número complejo es un número real.
Observaciones
1. Dos números complejos son iguales si y solamente si tienen la misma parte real y la
misma parte imaginaria.
2. En particular:
Conjugado de un número complejo
Definición. Sea un número complejo de forma algebraica Se llama conjugado de y se
nota z el número complejo
z  x  iy.
Así:
EJEMPLOS
1.
2.
3.
5 3i  53i.
3  3
7i  7i.
La noción de conjugado permite caracterizar los números reales y los números imaginarios puros
entre los números complejos.

30. z iz i x iy i x iy i
3   25   3     25

x iy ix i y i
x iy ix y i
x y i y x i
x y y x
x y x x
     
     
     
                
  y   x  y   x  y
          x    x    x
 
30
Propiedad. Sea un número complejo:
Demostración
Se nota la forma algebraica de
Propiedades
1.
2.
3.
Utilizar la forma algebraica.
1. Resolver en las ecuaciones de incógnita siguientes:
Solución
Es decir que el conjunto solución es
Si hacemos entonces
El conjunto solución es entonces
2. Se considera el número complejo con Determinar el valor de en los casos
siguientes:
z
z  z  z y zi  z  z.
x  iy z;
z  z  x  iy  x  iy  2iy  0 y  0 z  x x.
z  z  x  iy  x  iy  2x  0 x  0 z  iy  zi.
z  z.
z  z  2Re(z).
z  z  2i Im(z).
 z 2z 1 i  5  3i; z  i z  2  5i.
2z 1i  53i2z  53i 1i2z  6  4i z  3 2i.
S  3 2i.
z  x  iy
   
 
 
2
3 3 2 5
3 3 2 5
3 3 25
3 2 2 3
3 5 3 2 3 5
2 3 17 2 3 8 . 6 8 5 11 11
8 8
11 17 .
8 8
S    i
 
z  a  2i, a. a
z2 i; z  a z .

31. Solución
Si entonces Por otra parte
z  a  2i, z2  a  2i2  z2  a2  4ai  4.
z2 i  a2  4  0 a  2 o a  2.
z  a z  a  2i  aa  2i a  a2  21 ai. z  a z ,
21 a  0, a  1.
31
Como queremos que su parte
imaginaria debe ser igual a cero; es decir, de donde
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Determinar la parte real, la parte imaginaria y el conjugado de cada uno de los números
complejos siguientes:
2. Resolver en las ecuaciones siguientes:
3. Escribir en forma algebraica los números complejos siguientes
a.
b.
c.
d.
e.
f.
z    i     i 
4. Sea . Calcule y escriba bajo la forma algébrica los números complejos:
a. ,
b. ,
c. ,
d.
5. Si y calcule:
a) e) i)
b) f) j)
c) g) k)
d) h) l)
z
z
1
z
z .
iz
6. Exprese en la forma cada uno de las números complejos siguientes:
i
 i
i i
a) b) c)
   2
1 2 3 4 z  3i  2; z  5i; z  i 1 2i ; z  2  3i .
 3z  i  1 2i; iz  3  2  2i; z  i  3z 1.
    1 z  2  3i  5  i ;
2
2 3 1 2 ;
5 3
   
   3 z  2  3i 3  i ;
 3
4 z  1 3i ;
 2
5 z  i 2  3i ;
2 3
6 z 1 i  i  i .
z  2  3i; z '  i 5
z  z '
2z 3z '
z z '
z2.
1 z  3 2i 2 z  3 i,
1 2 z  z 1 2 2z  3z 1 2 iz z
1 2z 1 2 z z 1
2
2 iz 2
1 z , 2
2 z
1
1 2 z  z 2
1 2 z z 2
1
z  a  bi
1 3
(3 
)
2 
3
i
1 
2
3  i 2 
i

32.  2 3 2i
(x  iy)(2  i)  i x, y, x y
1 z  2  3i 2 z  3 i 3 z  1 2i 4 z  2 i 9 1 2 z  2z 3z
6z  i 7 z 1 8 z  i 3 5z  i   10 3 4 2 z  z z  z
3 2i3 2i 1
z  35i z '  2  3i z z ' z  z ' z  z ' z  z ' z z ', z z ' z z '.
1
2
i
2  7i
5 3
i
i
 i

 1 3
z 2  z z i
  
i i
i i
2 3 5
 
32
d)
1i1 2i 1 2
e)
f)
 2 1 i  3 1 i .
g) h)
 
  
 
i i
3 3
7. Si con determine los valores de y .
1 , 2
5 5
x  y  
Solución .
x y
8. Encuentre los números reales e tales que:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
2 3 6 i x  y  x  i
x2  xi  4  3i
(x  iy)(3 2i)  8  i
(5  2i)(x  iy)  i
(x  2i)(1 i)  5  iy
(x  iy)(2  i)  2x  ( y 1)i.
1
1
w z


z  a  bi.
9. Si donde Encuentre las condiciones bajo las cuales:
z

ww
a. es real.
b. es imaginario puro.
10. Coloque en el plano complejo, los puntos de afijos:
a) b) c) d) e)
f) g) h) i) j)
11. Calcule . Deduzca la forma algébrica de .
12. Determine la forma algebraica de los números complejos:
1
1 i
1
3i
1
i
a. ; b. ; c. .
3 2i
13. Calcule las partes reales e imaginarias de los números complejos siguientes:
i
i
 3 3 4i ;  3 7  2i ; 3 4 ;


a. b. c. d.
7 2
 3  3 3 4i  7  2i .
14. Sea y . Calcule ; ; ; ; ; ;
15. Escriba bajo forma algebraica los números complejos siguientes :
4
3 i
2 
i
i
a. ; b. ; c. ; d. ; e. .
16. Determine los números complejos tales que es un número real.
17. Calcule el complejo conjugado de
2  .
7


18. Resuelva la ecuación 1 i z  3 2i
, dar la solución bajo la forma algebraica.
19. ¿Es el número complejo 2 i solución de la ecuación 1i z 1 3i  0
?

33.  i 5z2  2z  2  0
1 3
5
20. ¿Es el número complejo solución de la ecuación ?
i i
i i
7 5 2 7 2.
2 7 2 7 5
21. Escriba de la forma más simple el número complejo
22. Calcule el módulo de los números complejos siguientes:
i
i
7  35i3 2i 7 35


a. ; b. ; c.
 
 
3 2
5 3 1 
i i
i
 
4

M z z z  4
23. Determine todos los puntos de afijo tales que .

.
CÁLCULOS CON EL CONJUGADO
Cálculo de un inverso. Cálculo de un cociente
Propiedad. Sea un número complejo de forma algebraica y su conjugado. Se tiene:
z x  iy z
zz  x2  y2.
zz z  0.
es entonces un real no negativo y es nulo si y solamente si
Demostración
zz  x  iyx iy  x2 ixy  ixy i2 y2  x2 1 y2  x2  y2.
z x  iy
Consecuencia: Todo número complejo no nulo de la forma algebraica tiene un inverso:
1 
z .
z x 2 
y
2
Conjugado y 0peraciones
Propiedades. Para todos los números complejos y si
1 2 z y z , 1 2 1 2 z  z  z  z 1 2 1 2 z z  z z ;
 
z 0, z z .
z n, zn  z n , z  0 n
33
z 0, 1 1
     
además y si
z z
 
   
1 1
2
z z
 
2 2
Para todo número complejo y todo entero con si es negativo.
Ecuación de segundo grado a coeficientes reales
Teorema. Se considera la ecuación ax2  bx  c  0, cuya incógnita z
es un número complejo y los
coeficientes a,b, c son números reales, con a  0. Se nota  el número real b2  4ac,
llamado el
discriminante.

34. b b
a a
     
  0, y .
 Si entonces la ecuación admite dos soluciones reales:
 Si entonces la ecuación admite una sola solución real:
 Si entonces la ecuación admite dos soluciones complejas conjugadas:
b i b i
     
a a
Demostración
Cuando la resolución en fue tratada en primero de bachillerato y como las
soluciones son las mismas en
             
                                   
ax bx c a z b a z b i
a a a a
    
        
a a a a
i i i i z i z z
1  1  2 
3 2  3  1
    
i i i
2  3 2  3 2 
3
2  3  2  3 5 
5 1 .
2 3 13 13 13
z i i i z i z i
      
34
Si
ax bx c a z b
a a

i
a

En es el cuadrado de se puede entonces factorar:
a z b i z b i
b i
  
De donde se obtiene las dos soluciones complejas conjugadas: y
Ejercicio resuelto. Resolver en las ecuaciones siguientes:
Solución
z z
z
Luego el conjunto solución es
2 2
  0, .
2
b
a

  0,
y .
2 2
  0 o   0, 
.
  0,
2
2
2 0 0.
2 4
  
, 4a2
;
2
2 2 2
2
2 0 0 0
2 4 2 2
0.
2 2 2 2
  
2
a
.
b i
  
2
a
 2  3i z 1 i. z2  16.
z2  z 1  0. 2 .
1



    
  
 
2
2 2
i

5 1 .
13 13
S    i
 

35. 2 16 2 4 2 2 4 2 0
z z i z i
      
z i z i z i z i
Luego el conjunto solución es:
Esta ecuación de segundo grado es a coeficientes reales, ella tiene por discriminante:
 i 1 3 .
 12  411  3   3 , : 1 3
  i
ella tiene entonces dos soluciones en y El
35
conjunto solución es:
      
 
S i i
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Escribir en forma algebraica los inversos de los números complejos no nulos siguientes:
2. Resolver en las ecuaciones siguientes, dando la solución en forma algebraica:
3. Sea un número complejo no nulo de forma algebraica Calcular las partes real e
imaginaria de los números complejos siguientes:
 2 z i z .

 z i z i.
4. Se considera el punto de afijo . Determine el conjunto de los puntos de afijo
tales que
5. Sea . Calcule . Demuestre que . Deduzca que .(Se dice que
es una raíz cúbica de 1).
6. En el plano complejo, se considera los puntos y de afijos respectivos y
.Calcule las distancias , y Deduzca la naturaleza del triángulo
7. Dé la forma algebraica de los complejos
a.
b.
c.
d.
   
  
4 4 0 4 o 4.
       
S  4i; 4i.
 2
2
2
1 3 ; 1 3 .
2 2
1 z  i;
2 3 z  3i; z  2i 1.
 i 3z  i  2;
2 5i3z  i  3z i. z2  9  0; z4  81; z2  7  0; z2  2iz 1  0. z2  5z  6  0.
z2  2z  5  0.
z x  iy.
1 z z ;
z
z
z i
 

2 .
2
z 
 
z
z z

A 2  3i M z
z  2  3i  5.
1 3
2 2
j    i j j2  j j3 1 j
A B a  2 3i
b  5i OA OB AB. OAB.
1 2z y z .
1 2 z  (1 i)(1 2i); z  (2  3i)(3i)
2 3
1 2 z  (3 i)(2i 1) ; z  (3 i)
2
1 z  (2i 1)(1 i) (3i  4); 2 z  (5  4i)(3 7i)(2 3i).
 3
z  (1i) 2 (1 i) 2
; z  1 i 3
1 2

36.  1;1,
36
e.
1 (2 3 )(2 ) 2 ; 13 4 2 4
1 2
z i i z i
(8  3 )( 
4); 23
(2 5)(3 7 )
f.   
.
z i
z i
8. Sean y ¿Por qué se puede afirmar sin realizar cálculos que es
un número real y que es un imaginario puro?
      
 
9. Sea un número complejo no nulo. Simplifique la expresión:
10. Encuentre el conjugado de puntos del plano cuyo afijo verifica la condición dada:
a) b) c)
d) e) f)
g) h) i)
j) k) l)
m) n) o)
11. Encuentre la ecuación del círculo que pasa por los cuatro puntos de afijos:
a.
b.
REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA
El plano cartesiano, es llamado plano complejo, pues se asocia un único punto del plano a cada
número complejo y recíprocamente. Así:
 Al complejo con reales, se asocia el punto de coordenadas se
dice que es la imagen de y se nota
 Al punto se asocia el número complejo se dice que es el afijo de

El vector que tiene las mismas coordenadas que el punto se dice también que

es el afijo del vector
 El eje de las abscisas es llamado eje real y el de las ordenadas, eje imaginario.
EJEMPLO
tienen por afijos respectivos 0,1 e tiene por coordenadas por tanto el vector
tiene por afijo el complejo
1
i
z i i z i
i
i

     
 

 3
1 2
i  
i
1
5 2
7
i


 2
5 
2 .
7
i

 1 2 z  z
1 2 z  z
1 z
 z z
1 .
z z
M z
z  4  z  2i z 1 i  z 3 z 5 3i  3
z  5i  z  4i iz  4  z  2 z  4 i  iz 1 i
iz 5 i  5 z i  z  i  4 z i  z  i  2
z i  z  i 1 z 1  z 1  5 z 1  z 1  2
z 1  z 1 1 z2  z z  z  z
1 2 3 4 z  5  3i; z  2  2i; z  2  4i; z  6  4i
  1 2 3 4 z  3; z 1 3  i; z 1 3 1 i; z  i 3.
z  x  iy x y y M x; y;
M z M(z);
M x; y ; Mz  x  iy M z
M. OM
M,
x  iy OM.
O, I, J i. IJ

IJ
z  1 i.

37.   3  3; arg(3)  mod(2 ).
37
Observaciones
 Los puntos de afijos son simétricos con respecto al eje real.
 Los puntos de afijos son simétricos con respecto al origen.
Propiedad. Cualesquiera que sean los puntos del plano complejo:

i) El afijo del vector es el complejo
ii) El punto medio del segmento tiene por afijo
z z z
A B
Módulo y argumento de un número complejo
Definición. Sea un número complejo y su imagen en el plano complejo. El módulo de
notado es la distancia es decir que
Si es no nulo, se llama argumento de notado toda medida en radianes del ángulo
es decir,
EJEMPLOS
Observaciones
z y z
z y  z
A y B
AB
; AB B A z  z  z
I AB .
2
I


z M z,
z , OM; z  OM.
z z, arg(z),
    
u;OM ;
arg(z)  u;OM  mod(2 ).
i i 
1; arg( ) ;
2

38. z  x  iy x y y z  x2  y2 .
z, z  z  z .
arg(z)  arg(z)  mod(2 ); argz   arg(z) mod(2 );
z arg(z)  0 mod( );

z arg( z )  mod( 
).
A, B,C y D
5 ; Az  i 3; B z   2 3; Cz    i 4 3. Dz  i 
A y B 1 2 y 2 . A B z   i z   i
z  6; z  2; z  3i; 3 .
z x  Re(z), y  Im(z),
r  z ,   arg(z) mod(2 ). x  r cos y y  r sen .
z  r cos  i sen , z.
38
 Si con reales, entonces
 Para todo número complejo
 Para todo número complejo no nulo
 es un número real si y solo si
 es un imaginario puro si y solo si
z :
2
 EJERCICIOS PROPUESTOS
1. En el plano complejo, colocar los puntos respectivamente asociados a los números
complejos siguientes:
a. b. c. d.
2. Se considera los puntos de afijos respectivos Determinar el
C OABC
afijo del punto tal que sea un paralelogramo:
a. utilizando los afijos de vectores;
b. utilizando el afijo de un punto medio.
M z,
3. En cada uno de los casos siguientes, colocar el punto de afijo luego dar el módulo y un
z :
argumento de
a. b. c. d.
z   i
2
Forma trigonométrica, notación exponencial
Forma trigonométrica
Propiedad - Definición. Sea un número complejo no nulo; se pone:
Se tiene entonces: Se obtiene así la
escritura que es llamada forma trigonométrica del número complejo

39. Paso de una forma a la otra
Si el número complejo no nulo se escribe bajo forma algebraica y bajo
forma trigonométrica, entonces:
r x y ; cos x ; sen y .
     
 = arctan y
 
 
 < <
Si , , el argumento es tal que y por tanto , si
.
 = arctan y

  3 < < 2
  
Si , entonces y si , .
El número de no es más que el módulo de .
Arg i    o  y Arg i             o 
 
z 
z i       
z  3 3 = cos sen
z  i 

z i       
39
EJEMPLOS
1.
2.
3.
4. Si , entonces y . Luego
.
5. Si , con , entonces y si ; si .
o .
6. Si , , y .
7. Sea , entonces está entre y y por tanto
.
Luego:
z x  iy r cos  i sen ,
x  r cos y y  r sen ;
2 2
2 2 2 2
x  y x 
y
z = x  iy x  0  tan = x
y
x
2 2
< < 3
2 2
 
x
2
  = arctan y 2
x
r z = r cos  i sen  z
r = z .
Arg(1)  0 (0 2 o 4 o )
Arg(1)  (0  o )
( ) 0 3 ( ) 0 3
2 2 2 2
   
z =1i r = z = 2 arg = arctan1 =
4
= 2 cos sen
4 4
 
z = a a r = a arg z = 0 a > 0 arg z = a < 0
z = acos  i sen  z = acos  i sen 
z = i z =1 arg = 3
2
2 2
z =1 3i arg  z 
3
2
 2
arg   = arctan  3 2 = 2 = 5
3 3
z
 
     
= 2 cos 5 sen 5
3 3
 

40. z   3  i z  r cos  i sen    
8. Exprese en la forma , donde .
Solución: En un diagrama de Argand, mostremos la posición del número .
Aquí, está en el segundo cuadrante por lo que el argumento requerido es .
Encontremos ahora :
         
            
                   

sen   z .
z i              
40
;
Por lo tanto,
z  
z i        
9. Exprese en la forma , donde .
Aquí, está en el tercer cuadrante por lo que el argumento requerido es .
Encontremos ahora y :
;
Por lo tanto,
z  
z i
10. Si se verifica que Una forma trigonométrica de es entonces
  2 .
y Así, un argumento de es De donde
Note que otra forma trigonométrica de es por ejemplo
o o ...
z   3  i
z  
r y 
 2
r   3 12  4  2 arg( ) tan 1 1 5 .
3 6 6
 
2 cos 5 sen 5 .
6 6
 
z  1i z  r cos  i sen    
z  
r 
 2  2 r  1  1  2 arg( ) tan 1 1 3 .
1 4 4
 
2 cos 3 sen 3 .
4 4
2 2
2 2
z   i z 1. z
cos 2
2
2
4
z i          
cos sen .
4 4
   
z
cos 9 sen 9
z i            
4 4
   
cos 7 sen 7
4 4
   

41. z 1i 3, z  2; z z  2(cos  isen )
11. Si una forma trigonométrica de es entonces con

     ,
z i                   
   2 cos sen .
de donde y
        
41
Observaciones.
1 no tiene argumento.
2 Todo complejo es el producto de un real (su módulo) por un complejo de módulo 1 (a saber
siempre que
3 Paso de una forma trigonométrica a la forma algebraica
Desarrollando una forma trigonométrica se obtiene
que es la forma algebraica de
4 con Es decir que el producto tiene un
argumento que es la suma de un argumento de y de un argumento de
Interpretación geométrica de
 z  z

   z  z

 z  z

   z  z

Propiedad. Sean y tres puntos distintos de afijos respectivos y , ,
 
es una medida del ángulo .
Observación. Los tres puntos y de afijos respectivos y , con y distintos,
están alineados si y solo si
z 
z
z z
 


z 
z
z 
z
Los vectores no nulos y son ortogonales si y solo si es un número imaginario
puro.
EJERCICIOS PROPUESTOS
z   i
1. Calcule el módulo de cada uno de los números complejos: ; ; ;
; ; ; ; .
2. Halle las formas trigonométricas de : ; ; ; .
3. En cada uno de los siguientes casos, dé una forma trigonométrica de
a) b) c)
d) e) f)
g)
z i
h) i)
cos 1 , sen 3 ,
2 2
3
3 3
z  0
cos  i sen , z  0.
z  z (cos  i sen )
z  z cos  i z sen z.
arg(zz ')  arg(z)  arg(z ')  2h , k . zz '
z z '.
arg C A
B A
A, B C , A B z z C z arg C A
B A
AB, AC
A, B C , A B z z C z A B
C A 
.
B A
AB
AC
C A ,
B A
1 z  3 4i 2 z 1 i 3 5
2
4 z  3 5 z  i  4 6z  i 7 z  5 8
2 2
2 2
z   i
1 z 1 i 2 z  3  i 3 z 1i 3 4z  i
z.
z 1i 3 z  2 z  3  3i
2
1
z
i


4
1 3
z
i


3
e z  (1 
i )3 i 4 
z  2(1 i)6 3 1
1
i
 9
i
3
(1 )
12
z

i



42. 1 z  2  2i 2 z 1 i 3 1 2 z y z
z
z
1 2 z  z 1
i i i
cos sen cos sen cos cos sen sen cos sen sen cos
               
 
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2
i
cos sen .
   
   
       2 z  0
  1 1 1 1 zn = rn cos(n )  i sen(n ) n
z  zz  r  i r 
i
z z r
   
r i i
r
r i
r
      
   
42
j)
k) l)
 12
z  1 i 3
4. Sean y . Escriba bajo la forma trigonométrica. Deduzca
además las formas trigonométricas de ; ; ; ; ; .
Las operaciones producto, cociente y potenciación entre números complejos se simplifican usando
la forma polar. Estos resultados se establecen en el siguiente teorema.
Probaremos antes un lema previo.
Lema. Para todo par de números reales y
.
Demostración
Teorema. Sean y , números complejos
cualesquiera. Entonces:
1.
z = r 2. cos i sen
si .
z r
3. para todo entero .
Demostración.
1. Es consecuencia inmediata del lema.
2.
3. Probaremos por inducción para .
2
 3
1 z 1 z 2 z
 2
1
2
z
z
1 
2 
       1 1 2 2 1 2 1 2 cos  i sen cos  i sen = cos    i sen  
    
   
1 2 1 2
1 1 1 1 z = r (cos  i sen ) 2 2 2 2 z = r (cos  i sen )
    1 2 1 2 1 2 1 2 z z = r r cos    i sen   
1 1    
1 2 1 2
2 2
   
     
   
1 1 2
2 2 1 1 1 2 2 2
2 2 2
1
1 1 2 2
2
1
1 2 1 2
2
1 cos sen cos sen
cos sen cos sen
cos   sen  
.
     
n  0

43. n = 0
Para es claro que se cumple el resultado.
Supuesto que para , , se tiene que
n     1 1 1 1 zn = rn cos n  i sen n 
     
n n n

1
1 11 1 1 1 1 1 1
z zz r n i n r i
cos sen cos sen
   
 
     
 r n

1
 cos  n  1   i sen  n
 1 
,
1 1 1

donde la última igualdad es consecuencia de la parte (a).
z i
= 1 = cos0 
sen 0
z r cos n i sen
n
n n
  
 
1 1 1 1
= 1 cos 0 sen 0
n
n
n i n
r
     


r n i n
= cos sen
 
    
1 1 1
n

r n i n
= cos sen
 
    
1 1 1
 3     cos  i sen  cos 3  i sen 3
cos  i sen 3  cos3 sen2 cos  i sen cos2 sen3 .
cos3  i sen 3  cos3  sen2 cos  i sen cos2  sen3 .
cos3  cos3 sen2 cos
sen3  sen cos2 sen3 .
43
1 z  0
Ahora, si .
   
   
1 1
   
   

1
1
n
Esto muestra que el resultado también es válido para exponentes enteros negativos. Este
último resultado se conoce como el Teorema de Moivre.
EJEMPLOS
1. Usaremos el Teorema de Moivre para calcular senos y cosenos de ángulos múltiples. Por el
Teorema de Moivre:
Por otra parte:
Es decir que:
2. Igualando las partes reales y las imaginarias se obtiene:
= 2 cos 5 sen 5
z i       
3. Sea z 1 3 i. Expresado z en la forma polar se tiene . Entonces:
6 6
 

44. 5 25 cos 25 sen 25 = 32 cos sen
              
z i i
6 6 6 6
   
 
32 3 i 1 =16 3 16 i
.
    
   
6 2 6 cos 25 sen 25
         
 
z i
 
1 cos sen
64
1 .
64
 i

 
5i 3  i 2  2i 1i
8 3 4i 8 6i 2  3 i.
44
y
2 2
 
 
EJERCICIOS PROPUESTOS
z  r cos  i sen 
1. Exprese los siguientes números complejos en la forma , donde
  
.
a) 7 b) c) d) e)
f) g) h) i)
j) 1i.
x  iy x y y
2. Exprese los siguientes números complejos en la forma , donde .
z    5   cos
 isen  
2 2
 
a) b)
6 cos 5 5
z isen        
6 6
 
c) d)
z        2 2  cos
   isen   4     4
 
e) f)
1 cos
2 6 6
z isen        
 
3 cos 2 2
z            3   isen      3
 
4 cos 7 7
z            6   isen      6
 
Notación exponencial
Sea la función que, a todo real asocia el número complejo Se tiene:
f  , cos  i sen .

45.      
f isen
' cos ' '
    
     
sen sen i sen sen
cos cos ' ' cos ' 'cos
   
       
      
f f i sen i sen
' cos cos ' '
cos cos ' ' cos ' 'cos
   
     
sen sen i sen sen
   
       
 y  ' f   '  f   f  '.
expa  b  exp(a) exp(b). ei  cos  i sen .
ei  .
z  r cos  i sen  z  rei ;
ei
e2i  ei 2 y eiab  ei a  ei b ;
sen2a  2 sen a cos a cos2a  cos2 a  sen2a,
45
y
 
 
Así, para todos los reales se tiene
Se reencuentra la misma propiedad algebraica que para la función exponencial:
por esta razón, se adopta la notación
Así, designa el número complejo de módulo 1 y de argumento
La forma trigonométrica se escribe entonces también como que es
llamada la forma exponencial de
z.
Nota. Todo número complejo de la forma es representado por un punto del círculo
trigonométrico y recíprocamente.
Observación. La forma exponencial permite escribir de manera “natural” las igualdades:
y desarrollándolas, se reencuentra las fórmulas de duplicación:
cosa  b  cos a cosb  sen a senb
Así como las fórmulas de adición: y
sena  b  sen a cosb  senbcos a.

46. z     i sen 
1 2 z z 1 2 cos
      
i i z z e e
1 2 2 2 ;
46
EJEMPLO
Determinar el módulo y los argumentos de con: y
z  isen 
 
Solución
4 4
 
 
z  2 e i y z 
e
i , 1 2    
Se escribe y se obtiene de donde
y
z z 
arg( )  7 mod(2 
).
EJERCICIOS PROPUESTOS
2 cos .
3 3
4 3
7
4 3 12
1 2 z z  2 1 2
12

47. 1. Exprese los siguientes números complejos en la forma r ei donde    . Dar el valor
exacto de r y cuando sea posible, o valores con dos decimales.

 5

 4
 9


sen ei e i
     
i sen i sen              
  
47
a) b)
c)
d) e)
f)
g) h)
i)
z isen        
z isen        
z isen        
2. Exprese los siguientes números complejos en la forma donde .
 4e i
a) e
i b) c)

d) e) f)
g) h) i)


i e


3. Exprese los siguientes números complejos en la forma, donde
.
 17
a. b. c.
4. Use para mostrar que .
i
5. Exprese los siguientes números complejos en la forma donde .
a.
b.
3 6i
8 cos
4 4
 
2 3  2i 8i
8 cos
6 6
 
2 5i 2 3  2 3 i 2 cos
5 5
 
x  iy, x y y
3
3 2 4 i e
8 6 i e
3 3 i e
6
e i 3
3 2e 4i
8 3 i e
z  r cos  i sen 
  
16
13
i e
4 5 i e
5 8 i e
ei  cos  i sen   1
2
x  iy, x y y
cos 2  i sen 2 cos3  i sen3 
cos 3 3 cos 8 8
11 11 11 11

48.    i sen     i sen  
   
i sen i sen                           
i sen i sen                                    
i sen i sen i sen                     
     
cos 4  i sen 4 cos i sen 
i sen i sen              
   
    
 
    
 
 
 
48
c.
d.
e.
f.
g.
h.
3 cos 2 cos
6. Exprese los siguientes números complejos en la forma donde .
i sen
i sen
 
 
a. b.
 
   i sen
 
 
    
 
c. d.
 
i sen
i sen
 
i sen
i sen
i sen

7. y son dos números complejos tales que y . Exprese
los siguientes números complejos en la forma , donde .
a. b. c. d.
8. Simplifique
4 4 12 12
6 cos 3 cos
12 12 3 3
4 cos 5 5 1 cos 5 5
9 9 2 18 18
6 cos 5 cos 1 cos 2 2
10 10 3 3 3 5 5
3 cos 2 cos
12 12 3 3
x  iy, x y y
cos5 
5
cos 2 
2
2 cos
2 2
1 cos
2 4 4
 
3 cos
3 3
4 cos 5 5
6 6
cos 2 
2
cos3 
3
z  z  9  3 3 i,   3, arg( ) 7
12
 
r cos  i sen    
z  z z .

5
3
cos 9 9
 
   i sen
 
 17 17

  cos 2   i sen
2

  17 17



49. 5 5
cos 9 9 cos 9 9
   
   i sen    i sen
 17 17       17 17


                      
3 3
cos 2 2 2 2 cos
   
i sen i sen
17 17 17 17
cos 45 45
 
    i sen

17 17
  
cos 6 6
 
     i sen
 17   
   17

cos 45 6 45 6
                   
           
   
17 17 17 17
 
cos 51 51 cos3 3
17 17
   
cos 1.
  
 
    
   
    
 
 
49
Solución:
En consecuencia:
i sen
i sen
9. Exprese en la forma donde .
Solución: Se necesita encontrar primero el módulo y el argumento del complejo
;
Realizando un diagrama de Argand se tiene:
i sen
i sen i sen
i sen
 
 
5
3
cos 9 9
17 17 1.
cos 2 2
17 17
 7
1 3 i x  iy, x y y
 7
1 3 i .
   2 2 r  1  3  4  2 1 arg( ) tan 3 .
1 3
z

   
    
 

50. i isen         
z  r cos  i sen  1 3 2 cos
Aplicando se sigue: , luego
  7
           
 
i isen
1 3 2 cos
2 cos 7 7
 7
    
 
i sen
 
 
512 1 3 .
   
     i sen
 
 
i sen
i sen
i sen
i sen
 
 
50
Por lo tanto
3 3
 
7
3 3
3 3
i
2 2
 
10. Use el teorema de Moivre para simplificar cada uno de los siguientes números complejos:
a) b)
c)
     i sen
 
 
d) e) f)
g)
h) i)
j)
k) l)
 7
1 3 i  256  256 3 i.
 6 cos  i sen  4 cos3  i sen3 5
    cos
 i sen
 
 6 6

8
cos
3 3
5 cos 2 2
5 5
15
    cos
 i sen
 
 10 10

i sen
i sen
cos5 5
cos 2 2
 

 

 
 
7
3
cos 2 2
cos 4 4
 
 
1

  cos 2  i sen 2
3
 
 
4
3
i sen
i sen
cos 2 2
cos3 3
 

 

cos5 
5
cos3 
3
i sen
i sen
 
 
cos

cos 2 
2

51. isen i sen i sen isen
cos cos 3 cos 3 cos
           

i sen sen i sen
   
51
11. Evalúe
 
   i sen
 
 
    
 
 
i sen
12. Exprese los siguientes números complejos en la forma donde .
a) b) c)
d)
e)
f)
13. Exprese en la forma donde y son enteros.
14. Exprese en términos de .
Solución:
Aplicando el teorema de Moivre, se tiene: .
Desarrollando el primer miembro de esta igualdad se tiene:
Es decir que
Igualando las partes reales y las partes imaginarias se tiene:
, .
De donde
4
6
cos 7 7
13 13 .
cos 4 4
13 13
x  iy, x y y
 5 1 i  8 2  2i  6 1 i
 6
1 3 i
9 3 1 3
2 2
  i 
 
 5
2 3  2i
 5
3 3 i a  b 3 i a b
cos3  cos
 3     cos  i sen  cos 3  i sen 3
 3 3 2 2 2 3 3
3 2 2 3
cos 3 cos 3cos
     
cos3  3i cos2 sen 3cos sen 2 i sen3  cos3   i sen3 
cos3   cos3 3cos sen 2 sen3   3cos2 sen  sen3

52. 3 2
   sen 
cos 3 cos 3cos
 
  
  
 
cos 3cos 1 cos
cos 3cos 3cos
4cos 3cos .
  
  
 
 
i sen i sen i sen i sen
cos   cos  6 cos  15 cos 
20 cos
        
i sen i sen i sen
  
i sen i sen sen i sen
cos   cos  6 cos  15cos 
20 cos
        
sen i sen sen
  
i sen i sen sen i sen
cos6  6  cos  6 cos  15cos 
20 cos
        
sen i sen sen
  
52
Finalmente
 
Se deduce además que: y de
,
sen sen
se sigue que .
15. Expresar:
a. en términos de potencias de .
b. , con , en términos de potencias de .
Solución:
a. . Desarrollando el primer miembro se sigue :
Es decir que:
Igualando las partes reales se sigue:
 
3 2
3 3
3
cos 3   4cos3 3cos .
  3 cos 3 3cos
cos
4



sen3   31 sen2 sen  sen3  3sen  4 sen3
  3 3 3
4
sen
 



cos6 cos
sen 6
sen


  n , n cos
 6 cos  i sen  cos 6  i sen 6
 6 6 5 2 4 2 3 3 3
4 2 4 5 5 6 6
15 cos 6 cos .
    
 6 6 5 4 2 3 3
2 4 5 6
15cos 6 cos .
    
6 5 4 2 3 3
2 4 5 6
15cos 6 cos .
    

53. 6 4 2 2 4 6
   sen   sen  sen 
cos 6 cos 15cos 15cos
   
      
     
   
6 4 2 2 2 2 2 3
cos 15cos 1 cos 15cos 1 cos 1 cos
cos 15cos 1 cos 15cos 1 2cos cos
1 3cos 3cos cos .
     
     
6 4 2 2 2 4
cos 6 cos 15cos 15cos 15cos 30cos 15cos 1
      
      
  
   
3cos 3cos cos
32cos 48cos 18cos 1
  
  
i sen i sen sen i sen
cos6  6  cos  6 cos  15cos 
20 cos
        
sen i sen sen
  
5 3 3 5
sen 6 6cos sen 20cos sen 6cos
sen
sen sen
      
 
 

 5  3 sen 2 
sen
4
    
     
     
32cos5 32cos3 6cos .
6cos 20cos 6cos
6cos 20cos 1 cos 6cos 1 cos
6cos 20cos 1 cos 6cos 1 2cos cos
6cos 20cos 20cos 6cos 12cos 6cos
    
    
     
    
53
O lo que es lo mismo
O también,
b. Igualando las partes imaginarias de
Se sigue que
Luego
Por lo tanto
16. Probar que :
cos 6  cos6 15cos4 sen2 15cos2 sen 4  sen6 .
     
   
 2 4 6

  
6 4 6 2 4 6
2 4 6
6 4 2
6 5 4 2 3 3
2 4 5 6
15cos 6 cos .
    
sen6  6cos5 sen  20cos3 sen3  6cos sen5 .
   
   
5 3 2 2 2
5 3 2 2 4
5 3 5 3 5

     
sen 6 
32cos5 32cos3 6cos .
sen
  

  

54.      
     
1 cos cos 2cos
z i sen i sen
     
1 cos cos 2 .
n n
z isen n i sen n
   
        
1 cos cos cos .
1 cos cos 2cos
z   n  i sen n  n  i sen n 
n
1 cos cos 2 .
      
 
54
Solución: Si entonces
Se sigue entonces:
Se tiene también,
De donde
.
cos cos
17. Exprese en la forma donde son constantes.
Solución:
Por otra parte,
1 2cos ; n 1 2cos  
n z z n
z z
1 2 ; n 1 2  
n z isen z isenn
z z
z  cos  i sen
1 z 1 cos i sen  1 cos   i sen  cos i sen .
z
                
 
z
z i sen i sen i sen
z
    
    
     
     
         
n n
n
z isen n i sen n n i sen n
z
   
       
         
         
n
n
n
n
z
z n i sen n n i sen n i sen n
z
    
    
       
cos5 Acos5  B sen3  C cos , A, B y C
 
5
z 1 2cos 5 32cos5 .
z

55. 1 5 10 10 5 1
 z    
 z  z  z
    
z z z z
1 5 1 10 1
     z     z     z z    z
 
     z

  
Es decir que y en consecuencia
      
   
  sen         sen
 
1 2 cos cos = 2 = 0
          
1 2= 2 cos = 0
55
Es decir que .
Raíces enésimas
Dado un número complejo y un entero positivo , se trata de encontrar los números
complejos tales que . Estos números se conocen como las raíces -ésimas de y se los
nota por o .
Notemos en primer lugar que si y solo si existe un entero tal que . En
efecto es equivalente a:
o también:
   
5
5 3
3 5
5 3
5 3
2cos5 5 2cos3 10 2cos .
  
32cos5  2cos5  52cos3  102cos 
cos5 1 cos5 5 cos3 5 cos .
16 16 8
1 , 5 y 5 .
16 16 8
A  B  C 
z  0 n
  n = z n z
n z z1/n
1 = 2 i i e e   k 1 2  =  2k
1 = 2 , i i e e  
1 2 cos = cos
1 2 sen = sen
1 2 1 2
2 2
 
   
1 2 1 2
2 2
sen sen sen
   
 
   

56. De estas igualdades se sigue que la condición es equivalente a: pues si
k n n i i k i re n re re
  
 
 
   
 
   
     
56
debería tenerse:
lo cual no es posible. Finalmente, significa que existe un entero tal que
, o lo que es lo mismo
Ahora, sea con y sea tal que . Entonces:
o también: y
De aquí se sigue que y existe un entero tal que , es decir
 
Hemos demostrado que todo número complejo que satisface es de la forma:
para algún entero . Por otra parte, del teorema de Moivre se sigue inmediatamente que cualquier
número de esta forma elevado a la es igual a
Finalmente, probaremos que las únicas raíces distintas de son los números complejos.
Si y son enteros distintos en , entonces:
pues:
1 2 = 0
2
sen
  
 
 
1 2 0
2
sen
     
 
1 2 = cos 1 2 = 0,
2 2
sen
     
   
   
1 2 = 0
2
sen
  
 
 
k
  1 2 =
2
k
 


1 2  =  2k , k .
z = rei r  0  = ei  n = z
 nein = rei
 n = r ein = ei .
 = n r k n =  2k = 2k .
n


  n = z
2
=
i k n re n
 


k
n z :
 
2
= 2 =
 
  

z
2
para = 0,1,2, , 1.
i k
n re n k n
1 k 2 k 0,1,2,,n 1
2k1 2k2
e i i
n 
e n

57. 1 2  1 2  2 2 2 =
k k k k
n n n
  
   

2 1 2 0 k  k n
no es múltiplo entero de ya que .

n z
i 2k
   
 
 
n re n
Veamos ahora que cualquier raíz -ésima de es uno de los números para
k = 0,1, 2,, n 1 . Sea  = n rei( 2m )/n , donde m es un entero cualquiera. De la división de
m
n q r 0  r  n 1 m = qn  r
por se sigue que existen enteros y , con tales que . Luego:
2  2 2
  qn  r  i    r  i   q 
 n re  n n re  n  n re
i 
r n = = = ( 2 )/ ,
  
r 0,1, 2,, n 1
lo que demuestra la afirmación pues es uno de los enteros .
EJEMPLOS
1. Sea . En su forma polar . Las raíces cuartas de son: ,
con Para estos valores de se obtiene: ; ;
z =1i z = 2e7i /4 z zk = 8 2 ei(7 /42k )/4
k = 0,1, 2,3. k 8 7 /16
k i
e n k n
, 0,1,2, , 1.
  
n 1 1,w,w2 , ,wn1. 
57
z = 8 2e 23 i /16
;
z = 8 2e 31 i /16
.
232. Puesto que , las raíces n-ésimas de la unidad son:
0z = 2e i 8 15 /16
1z = 2e i
1= ei0
2

2

= i
w e n
Si notamos , las raíces -ésimas de son
  2 n
 1 
Puesto que los argumentos de estas raíces son 0, 2 , 4 , 
,
; ellas constituyen los
n n n
vértices de un polígono regular de n
lados con centro en el círculo de radio 1.

58. 3. Resuelva la ecuación: z3 1 y represente dichas soluciones en un diagrama de Argand.
r 1   arg(z)  0 r cos  i sen 
 
   
3 1 cos0 0
z isen
 
   
k i sen k
cos 0 2 0 2 .
   1/3 z  cos 0  2k  i sen 0  2k  ,
z k i sen k            
cos 2 2 .
3 3
   
k z isen
k z isen i
0, cos 0 0 1.
1, cos 2 2 1 3 .
   
             
 
3 3 2 2
   
   
2, cos 4 4 cos 2 2 1 3 .
                         
k z i sen i sen i
3 3 3 3 2 2
       
z    i
58
Solución:
Necesitamos primero encontrar el módulo y el argumento de 1.
Es obvio que y . Aplicando se sigue:
Por lo tanto, de donde
k
Para los diferentes valores de se tiene:
1
2
3
z    i 3
1 z 1 2
1 3
2 2
1 3
2 2
Dibujando , y en un diagrama de Argand se tiene:

59. 1 3
1,,2     i
También podemos escribir las tres raíces cúbicas de 1 como , donde ,
   
  i i
             
   
r z 
         
59
Note también que
i i
Resolución de ecuaciones
Resuelva la ecuación .
Solución:
Necesitamos primero determinar el módulo y el argumento de . Encontremos .
.
2 2
2 1 3 1 3
2 2 2 2
1 3 i 3 i 3 1 i
4 4 4 4 2 3.
2

  
     
  
     
1 2 1 1 3 1 3 0.
2 2 2 2
   
z4  2  2 3 i
2  2 3 i r y 
   2 2 2 2 3 4 12 4; arg( ) tan 1 2 3
2 3
 

60.          
                       
4 4 cos 4 cos 2 2
z isen k i sen k
 
3 3 3 3
                        
 
z 4 cos 2 k i sen 2
k
 
3 3
   
     2 k        2
k
 
4 cos 3 i sen
3
       
4 4
           
  2 cos   2 k   i sen   2
k
             
   
12 4 12 4
z k i sen k
                   12 2     12 2
  
 
      
k z isen
12 12
 
   1,  2 cos         2  cos 7  7
                
     
k z isen isen
12 2 12 2 12 12
1, 2 cos 5 5
 
                     
k z isen
12 12
2, 2 cos 11 11
 
                     
k z isen
12 12
60
r cos  i sen 
Aplicando se sigue:
Por lo tanto
1/4
2 cos
Es decir que: .
1/4
k
Necesitamos ahora encontrar los valores de las cuatro raíces. Dando valores a se tiene:
0, 2 cos
0
1
2
3
k
Hemos cambiado el valor de para encontrar las cuatro raíces con el argumento en el
intervalo   
.

61. Es decir que las soluciones, en la forma son:
                                 
     
i sen i sen i sen
 
       i sen
           
Y en la forma se escriben: .
2. Resolver la ecuación. .
     
4 2 4 2 32 32 8; arg( ) tan 1 4 2 3
                      
 
z i i sen
                     
61
Solución:
Despejando se tiene:
Necesitamos primero determinar el módulo y el argumento de . Encontremos
.
.
Aplicando se sigue entonces que
En consecuencia
r cos  i sen 
2 cos ; 2 cos 7 7 ; 2 cos 5 5 ;
12 12 12 12 12 12
y 2 cos 11 11
12 12
rei 2ei /12 , 2e7 i/12 , 2e5 i/12 y 2e11 i/12
z3  4 2  4 2i  0
z3 z3  4 2  4 2i
4 2  4 2i
r y 
    2 2
4 2 4 4
r z
 
                 
 
r cos  i sen 
3 4 2 4 2 8 cos 3 3
4 4
8 cos 3 2 3 2
 
k isen k
 
4 4

62.      8  cos  3   2      3  2
         
 
z k i sen k
 
 
       k       k
  
 
       
           
k i sen k
   
           
z k i sen k                  
 
            
   
     
                        
k z i sen i sen
       
 
             
k z i sen
i sen i sen i sen                                     
           
62
.
i sen
Es decir que . Dando valores a se encuentran
las tres raíces. Así:
k 0, z 2cos
isen
Para la última raíz hemos cambiado el valor de para encontrar las tres raíces con el
argumento en el intervalo .
Es decir que las soluciones, en la forma son:
Y en la forma se escriben: .
3. Considere el complejo
a. Encontrar el módulo y el argumento de
b. Encontrar todas las soluciones de la ecuación Dar la respuesta en la
forma donde y .
4. Resolver las siguientes ecuaciones, expresando la respuesta para en la forma donde
.
1/3
1/3
4 4
3 2 3 2
8 cos 4 4
3 3
2cos 2 2
4 3 4 3
   
2cos 2 2
4 3 4 3
   
k
0
1
2
4 4
1, 2cos 2 2 2cos 5 5
4 3 4 3 12 12
1, 2cos 11 11
12 12
   
k
  
r cos  i sen 
2cos ; 2cos 5 5 y 2cos 11 11
4 4 12 12 12 12
rei 2ei /4 , 2e5 i/12 y 2e11 i/12
6  2i.
6  2i.
z5  6  2i  0.
rei , r  0   
z x  iy,
x y y

63. z4 1  0 z3  i  0 z3  27
a) b) c)
z4  64  0 z4  4  0 z3  8i  0
d) e) f)
5. Resolver las siguientes ecuaciones, expresando la respuesta para en la forma
z z .
1 z  ei , /4
1 z  ei , 1
c i
63
, donde .
a) b) c)
d) e) f)
6. Resolver las siguientes ecuaciones, expresando la respuesta para en la forma donde
y .
a. b. c.
7. Se considera los números complejos: y
a. Dar la forma exponencial de
b. Dar las formas algebraicas de z1 y z2. Deducir la forma algebraica de z. .

c. Deducir los valores exactos de y
sen 
8. Escribir bajo la forma exponencial o bajo la forma trigonométrica los números complejos:
a. b. c. d.
z
r cos  i sen    
z7 1 z4 16i  0 z5  32  0
z3  2  2i z4  2 3i  2 z3 16 3 16i  0
z rei ,
r  0   
z4  3 4i z3  11  4i z4   7  3i
/3
2
z

z.
cos
12
.
12
a  3 3i; 2 ;
1
b
i


;
35 
11 7 4 i
3


d isen         
2 cos .
6 6
 

64. PRUEBA DE BASE ESTRUCTURADA
A) B) C)
2z  z  9 i 3 3  i 3  i

  2
i 6 n  6k  3, k  n  6k, k 
64
1. Una solución de la ecuación
es:
A) B) C)
2. Sea un número complejo,
es igual a:
A) B) C)
3. Sea el número complejo de
forma exponencial:
4. Un argumento de
módulo es:

 2


A) B) C)
5. Sea un número natural. El
número es un real
positivo si y solo si:
A) B) C)
6. Sean los puntos de afijos
respectivos El conjunto de
puntos de afijo verificando
es:
La recta
El círculo de
diámetro
La
mediatriz
del
segmento
z
z  i i z 1 z 1 z 1
z
z  r ei , r  0 y  0;2 .
1 i 3
z
 
2
3
3
3
n
1 3
n
A y B
1 e i.
M z
z 1  z  i  AB   AB
AB

65. A) B) C)
y  x 1  2  2 x 1  y 1  5 z 1 i  3ei , .
65
M
7. El conjunto de puntos
de afijo z  x  iy,
con
números reales,
x y y
verificando
tiene
z 1 i  5  2i
por ecuación:
A) B) C)
i
e
     
 
A 2 3 .
8. Sea el punto de afijo
El punto B
tal que el triángulo
es directo, rectángulo e
OBA
O
isósceles en tiene por afijo:

 1 i.

 5
A) B) C)
9. El conjunto de soluciones en de
la ecuación es:
2 2 i e
2 6 . i e

z z
z
8
3



3 2i 2  2i 2  2i,2  2i.

66. CAPÍTULO 4
LÍMITE DE UNA SUCESIÓN
Contenido del capítulo:
 Sucesiones convergentes.
 Sucesiones divergentes.
 Sucesiones aritméticas y geométricas. Convergencia y divergencia.
 Propiedades de los límites de sucesiones.
 Ejercicios de aplicación.
1; 1 ; 1 ; ; 1 ; ; 1 ; ; 1 ; ; 1 ; ; 1 ;
2 3 10 100 1000 10 10
     
66
Resultados del Aprendizaje:
1. Calcula el límite de una sucesión.
2. Aplica la definición formal de límite de una sucesión.
3. Calcula límite de sucesiones usando las propiedades.
4. Calcula áreas y volúmenes usando sucesiones.
Aproximación de la noción de límite
¿Qué devienen los números n u cuando n toma valores más y más grandes, es decir cuando n
tiende hacia “más infinito”? Los siguientes ejemplos nos permiten conjeturar diversas situaciones.
Ejemplos de acumulación
1. Observemos los términos de la sucesión un  definida para todo entero natural n, con
n  0, por 1 : n u
n

8 20
Los términos n u terminan por acumularse cerca de cero.
Los términos n u siendo todos estrictamente positivos, ubiquémonos por ejemplo, en el intervalo
I  0;103 .  

67. La sucesión   n u es estrictamente decreciente. Resulta entonces que si uno de los términos de la
sucesión se encuentra en el intervalo I, entonces todos aquellos que le “siguen”, es decir de índice
superior, pertenecen también al intervalo I. En nuestro ejemplo, 1
1; 1 ; 1 ; 1 ; 1 ; ; 1 ; ; 1 ; ; 1 ;
2 3 4 5 100 225 10
       
67
1000
no pertenece a I, pero
1
1001
es elemento de I y entraña así para todos los términos siguientes …
Ese fenómeno se verifica cualquiera que sea la longitud del intervalo I , por pequeña
que sea. Se dice entonces que la sucesión  u  tiene por límite 0 cuando n tiende
n hacia . Se nota lim u

0. n 
n
2. Observemos los términos de la sucesión   n v definida para todo entero natural n no nulo,
por
 1
.
n
n v

n

6
Los términos terminan por acumularse cerca de cero.
Ubiquémonos por ejemplo, en el intervalo J de centro 0 y de radio 103 , es decir
J   103;103  . Para todo entero n, no nulo, si n  1000, entonces 0  1  1
y
n 1000
   Los dos números 1
1 1 0.
1000 n
n
y 1
 pertenecen al intervalo J : n v está en el
n
intervalo J. Se puede afirmar entonces que todos los términos de índice n superior a 1000
pertenecen al intervalo J.

68. Ese fenómeno se verifica cualquiera que sea el radio del intervalo J , por más pequeño que
sea. Se dice entonces que la sucesión   n v tiene por límite 0 cuando n tiende hacia .
Se nota lim 0. n n
68
v


3. Ejemplo de un límite “infinito”. Observemos los términos de la sucesión   n u definida
para todo entero natural n por 3 1. nu  n 
1; 4; 7; 10;; 3001; 1071844;; 3000001;
Los términos devienen más y más grandes.
Consideremos, por ejemplo, el número N 106. La sucesión  u , aritmética y de razón n 3,
es estrictamente creciente. Resulta entonces que si uno de los términos es superior a N,
entonces todos aquellos que le siguen (de índice superior) serán también superiores a N.
Como, 3n 1 106 equivale a 3n  999999 y a n  333333. A partir de u , todos los
333333 términos de la sucesión, salvo un número finito (los 333333 primeros), están en el intervalo
N;. Y aquello es verdadero cualquiera que sea el número N escogido. Se dice que la
sucesión  u  tiene por límite  cuando n tiende hacia . Se nota u
 
n lim . n 
n
4. Ejemplo de una dispersión. Observemos los términos de la sucesión   n u definida por
 1n
nu   n y cuyos primeros términos son: 0; 1; 2;  3; 4;  5;
 Dos términos consecutivos de la sucesión son de signos opuestos.
 Los términos de rango par son cada vez más y más grandes y tienden hacia .
 Los términos de rango impar son todos negativos y devienen cada vez más y más
grandes en valor absoluto.
Se dice entonces que la sucesión no tiene límite cuando n tiende hacia .
5. Utilizar una representación gráfica. La sucesión   n u está definida por 0
3
4
u  y, para
todo entero natural 2
1 , . n n n u u  

69. a. Representar en el intervalo I  0;1 la función f tal que   n 1 n u f u   y construir los
puntos         0 1 1 1 1 2 2 2 A u ;u , B u ;u , C u ;u , D u ;u y   2 3 E u ;u .
b. Realizar una conjetura acerca del sentido de variación de la sucesión.
c. Justificar que para todo número real x de I, f  x pertenece a I, y luego pruebe su
69
conjetura.
d. Realizar una conjetura acerca del comportamiento de la sucesión cuando n toma valores
cada vez más grandes.
Solución
a. Como   1 0 u  f u , el punto   0 1 A u ;u , pertenece al arco de parábola trazado. El punto
  1 1 B u ;u pertenece a la recta de ecuación y  x, recta que permite ubicar el número 1 u en
el eje de las abscisas, y de manera similar los números 2 3 u ,u , etc.
b. Se lee en los ejes los primeros valores. 0 1 2 3 u  u  u  u  Con ayuda del gráfico se puede
conjeturar que la sucesión es estrictamente decreciente.
c. Verificaremos que si n u pertenece al intervalo 1 , n I u  pertenece también al intervalo I.
Así, si 0  x 1, entonces 0  x2  x 1, por tanto, si x I, entonces f xI. Se tiene
entonces que, para todo natural n, 0 1 n  u  implica que 0 2 1 n n  u  u  y en
consecuencia 1 . n n u u   Se concluye entonces que la sucesión   n u es estrictamente
decreciente.
d. Gráficamente, se puede conjeturar que lim u

0. n 
n
6. La sucesión   n u está definida para todo entero natural no nulo por 1 3.
n 2 2 u
n
 
a. Demuestre que la sucesión   n u es decreciente y que para todo entero n no nulo, 1 .
n 2 u 
b. Pruebe que a partir de un cierto entero m, que usted precisará, todos los términos de índice
n con n  m, están en el intervalo I  0,49;0,51.

70.        
    es decir que 1 .
   es equivalente a 1 3 1.
   Como m  0, para que esas
70
Solución
a. Analicemos el signo de 1 : n n u u  
   
 
   
1
1 3 1 3 3 3
2 2 1 2 2 2 1 2
3 1 3 0.
2 1 2 1
n n u u
n  n n 
n
n n
n n n n
   
         
Como 1 0, n n u u    la sucesión   n u es decreciente.
Comparemos ahora n u y 1
2
, estudiando para ello el signo de su diferencia. Se tiene, para
todo entero , 0, 1 3 0;
n 2 2 n n u
n
n 2 u 
b. Busquemos el más pequeño índice m tal que 0, 49 0,51. m  u  Se tiene que
0, 49 1 3 0,51
2 2m
100 2m 100
condiciones sean verificadas, es suficiente que 3 1 ,
 es decir que m 150. Luego
2m 100
m 151 es solución y todos los términos de índice n, con n 151 están en el intervalo I.
Resumen
Para estudiar el comportamiento de sucesiones al infinito:
 En el caso de una acumulación en I , se muestra que a partir de un cierto índice, todos los
términos de la sucesión pertenecen a un intervalo de centro I , y de radio escogido tan
pequeño como se quiera.
 En el caso de un límite infinito, se muestra que a partir de un cierto índice, todos los
términos de la sucesión:
o Superan un número escogido tan grande como se quiera, cuando el límite es .
o No superan un número escogido tan pequeño como se quiera cuando el límite es .
Definición formal de límite de una sucesión
Definición (de límite de una sucesión).
La sucesión  u  , se dice que converge hacia un número real L (o que la sucesión  u
 n n , tiene por
límite el número real L cuando tiende a más infinito), si y solamente si para todo número real
estrictamente positivo, existe un entero n tal que, cualquiera que sea n  n , .
0 0 Es decir que: converge a L  si: .
n 
n u  L 
  n u 0 0 0, , tal que: n   n  n  n  u  L 

71. Notación. Para indicar que la sucesión converge a L, escribiremos o también
u n
     
 
      
0, , con 1 1, tal que: 1 n  n n n n u 
         
71
si .
EJEMPLOS
1. Sea la sucesión de término general , . Probaremos que .
Solución
En efecto, sea  0 un número arbitrario, queremos que 1 . n u  
Pero
,
es decir que
.
u n
n  1 
1
Si tomamos , se sigue entonces que
.
Luego,

u
u n
2. Sea la sucesión definida, para todo número natural por: . Mostremos
que
u
Solución.
Cualquiera que sea el real   0, queremos tener a partir de cierto a
determinarse.
n
n n
 

   
Pero . Esta desigualdad se verifica para ; es decir, para
.
  n u lim n n
u L


nu L n
  n u  u
n 1
n


n lim u

1 n 
n
1 1 1 1 1
n n  1 n  1 n  1 n

1
1 1 1 1
n 1 u n
n


0

0 0 0

lim 
1. n 
n
  n u  u n  2 2 5
n n
1



lim 
2. n 
n
2 5 2
1
n
n


 
 0 n
2 5 2 7
1 1
 
n 1 7

 
n  7 
1


72. Encontremos un valor de para cada uno de los siguientes valores particulares de .
0 n
  8 0
 Si , entonces ; es decir, . Verifiquemos a continuación que
          
n
n n n
   
u    71   1  70  1  1  7 
1
n 10 1 70 1 10
72
, En efecto:
,
o lo que es lo mismo:

La definición de límite nos dice que todos los , n u para están en el intervalo de
centro 2 y radio 8.
 Si , entonces . Veamos a continuación que: tal que:
, se tiene que . En efecto: donde se

sigue que ; con lo cual , o también: . Pero como
se sigue finalmente que: o lo que es lo mismo:
n
 
n n
,

 Si , entonces . Verifiquemos también que: se
tiene que
. Así: ,
lo cual nos dice que:
7 1
8
n   0 n  2
0 n  n 2 8. n u  
n 0
2 1 1 1 1 7 7 8
1 1
n n n n
n n
 
2 5 2 7 7 8.
1 1 1
  
n  2
 1 0
7 1 8
1
n    n,
0 n  n  8 2 1 n u   n, 0 n  n  8n  8,
n 1 7 1 1
n 
1 7
7 
1
n 
1
2 5 2 7
1 1
 
2 5 2 1
1
n
n

 

n  8 2 1. n u  
1
10
  0
7 1 71 1
10
n    n, n  71
2 1
n n
n n
 

73. n u n
, .
1
 n*. 2
3. Sea la sucesión definida por , Se tiene que: o lo que es lo
 0 2
n n 1 0
   
n 2 n 2 n u u u     n.  n n 1 n v u u   
v  u  u  u  u 
u
n n  n n n 
n
1 1
2 2
u u v
  
n n n
73
1 0
n
mismo: cuando .
Solución
1
n
En efecto, sea y supongamos que , entonces , de donde .
n 1
Tomemos , entonces se tiene que:       
Es decir
que: , tal que: , .
 
4. Se considera la sucesión definida por sus dos primeros términos: , y por la relación
, Seav la sucesión real definida en por .
3 1
a. Probar que la sucesión es una sucesión geométrica. Expresar el término general en
función de n.
b. Deducir el término general en función de n. ¿Cuál es el límite de la sucesiónu cuando
n tiende al infinito?
c. Determinar el más pequeño entero tal que para todo entero n superior o igual a se
tenga .
Solución
a. ,
3 1
2 2
La sucesión es entonces geométrica de razón y de primer término
.
n 71 2 2 5 2 1
n n
1 10

     

 x  x
n n 2
n
lim 1 
0
n n
2
 n  
  0 2
 1 n2

 1 n


0

n n n 1 1 1 .
n n

  0 0 n n* 0 2
n
u 0 u 1 1 u  2
2 1
v n v
n u
0 n 0 n
3 10 5 n u   
n*
1 1
1 1
 
1
2
q 
0 1 0 v  u  u  2 1 1

74. v  u 
u
v  u 
u
v  u 
u
n  n n

n n n
n n n
  
  

v  u 
u
  2n1 105
74
De donde:
n v      
b. Cálculo de :
n n
Sumando miembro a miembro, todas las igualdades, se obtiene
Luego .
1 0
2n  y, por tanto,
c. Cuando n  , 1
3 1
, luego .
n
1 10
2n
Se debe tener es decir y como la función logaritmo es estrictamente
5 1
log 2
n 
creciente, se sigue que y finalmente que , es decir
.Se tomará entonces .
Observación. Decir que tiende al real  cuando tiende a , es afirmar que por muy
pequeño que sea el intervalo que contiene  , pertenece a dicho intervalo para
bastante grande o en otras palabras, que cualquiera que sea la banda limitada por dos paralelas al eje
, de ecuaciones , para n bastante grande la gráfica de la sucesiónu se
encuentra en esa banda.
1 1 1 .
2 2
   
n u
1 1
2 1 2
3 2 3
0 1 0
1
0
0
1
1 1
1 21 1
2
2 1 1 2 1 ,
2 2
k n
k n
k
n
n
v u u
 


   
     

          
   

1
3 1
n 2n u   
3. n u 
1
3 1
u    u  
n 2n  n 2n  1
5
1

  10 n 1 log 2  5
10
n 17,60 0 n 18
n u n 
  ;   n u n
OX y   y y  

75.  y 1
  con n entero y n 1, tiene por límite 3 cuando n
75
EJEMPLOS
1
n u
 Las sucesiones definidas por 2
n
n v
 , con n entero y n 1, tienen por límite 0
n
cuando n tiende hacia .
 La sucesión definida por 3 1 , n t
n
tiende hacia .
SUCESIONES DIVERGENTES
Sean las sucesionesu,w y t definidas en por:
La representación gráfica de las sucesionesu,w y t son respectivamente:
2 ; n u  n 2 2 2; nw   n  cos  1. nt  n 

76. n 1000, 106 ; n u  n 106 , 106. n u 
M  0, n  M , . nu  M
u  
n  M  . nw  M
M  0, 1,
w  
76
Se conjetura que:
se puede hacer tan grande como se quiera si n es escogido suficientemente grande. Así por
n u
ejemplo, para todo entero se tiene para todo se tiene
De manera más general, para todo real desde que se tiene
Notación. Se dice que la sucesión diverge hacia o que ella admite como límite y se nota:
u
lim  
. n 
n
n
El término w es negativo y se puede hacer tan grande como se quiera en valor absoluto si es
n escogido suficientemente grande. Así por ejemplo, para todo entero n  708, se tiene
w  
106 ; n para todo se tiene
n  707107, 1012. n w  
De manera más general, para todo real desde que se tiene
2
Notación. Se dice que la sucesión diverge hacia o que ella admite como límite y se
nota:
w
lim  
. n 
n
t
Los términos t no se estabilizan alrededor de ningún valor real. Se dice que la sucesión diverge
n y no admite límite.
Observación. Como las sucesiones están definidas en el conjunto de los números naturales, nos
interesa exclusivamente su comportamiento en
.
En resumen:
Definición. Sea una sucesión real definida en . Se dice que esta sucesión:
  n u 

77.  A 0 n  n 0 n n  n u  A
 A 0 n  n 0 n n  n u  A
i) Tiende hacia si , , tal que , .
ii) Tiende hacia si , , tal que , .
u
u
Notaremos respectivamente por y .
Observación. Se dice que una sucesión es divergente o que ella diverge si y solamente si ella
no es convergente; es decir, si el límite es o si la sucesión no admite ningún límite.
EJEMPLO
Mostraremos que la sucesión de término general tiende hacia.
En primer lugar, probemos por inducción que si es un entero natural, con , entonces,
cualesquiera que sea , .En efecto, sea . Se tiene que es evidente, así
como .Supongamos ahora que es verdadera; es decir que y probemos que también
es verdadera. De se deduce que , puesto que y
.Consecuentemente, la propiedad es válida para todo .
De acuerdo a esta propiedad, si se toma , se verifica que: , .
Sea entonces un número real positivo cualquiera, para que es suficiente que . Se
puede entonces tomar por el primer entero mayor que , pues en ese caso, y
por tanto .
Admitiremos, el siguiente resultado:
Teorema.
i. Si a partir de cierto rango, y si v
, entonces u
.
v
u
ii. Si a partir de cierto rango, y si , entonces .
u 
iii. Si a partir de cierto rango, y si entonces .
EJEMPLOS
a. Dada la sucesión de término general , se tiene que
n n n n
    
 
77
.
lim n 
n
  lim n 
n
 
  n u

  n u 2n
n u 
a a  2
n an  n P(n) : an  n P(0)
P(1) P(n) an  n
P(n 1) an  n an1  an  2n  n 1 n 1 a  2
n 
a  2 n 2n  n
A 2n  A n  A
0 n A 0 n  n n  A
2n  A
u  v lim n n n 
n
  lim n 
n
 
u  v lim n n n 
n
  lim n 
n
 
u   v n n lim v
0 n 
n
 lim n 
n

  n u 1 nu  n  n 
 1 1 1
1 1 n
u
n n n n
   

78. 1 1 1

u
  
n n  n  1 n  n  1 n  n

1  lim 1 0
n 2 n
 lim 0 n n
    
  . n
u u  
78
Luego
n 1 1
2 n u
y para , . Como , se concluye que .
n
b. Sea la sucesión definida por: Se tiene que como
, entonces , luego y por tanto, De donde,
, y como , concluimos que u
.
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Estudiar el sentido de variación de la sucesión  . n u
a. un  n.
b. 1 2.
n 5 u  n 
c.
3
2
n
2 .
3
n n u 
d. u   n 
5 2 . n3 n
e. Para todo entero natural n 1, .
n u
n

u n
f. 3 2.
n n
1



g. 0 u  2 y para todo entero n no nulo: 1 . n n u u n   
2. En cada uno de los siguientes casos represente la función f tal que   n 1 n u f u   y utilice su
representación gráfica así como la de la recta de ecuación y  x para determinar gráficamente
los primeros términos de la sucesión. Además, realice una conjetura acerca del sentido de
variación de la sucesión y su comportamiento cuando n tiende hacia .
a. u 1 y, para todo entero natural n, 1 1.
0 1
n 2 n u u   
b. 0 u  9 y, para todo entero natural n,
2
n
.
1 10
n
c. 0
1
4
u  y, para todo entero natural n, 1 . n n u u  
u


  n n * u 
1
1 1 1 1 1 .
2 3
k n
n
k
u
k n


1 k  n 1 k  n 1 1 1
n k
n  u 
n
n
n* nu  n lim
n
n

  lim n 
n
 

79. 1 . n
d. u0  2 y, para todo entero natural n, 1
           
79
n
u
u  
e. 0 u  6 y, para todo entero natural n, 1
1 2.
n 2 n u u   
3. Para cada uno de los siguientes casos, la sucesión   n u tiene por límite L cuando n tiende
hacia . Encuentre un índice m tal que, cuando n  m, los términos n u pertenezcan al
intervalo propuesto.
a. 1 , 0, 0;10 4 . nu L I
       
n
b. 1 , 0, 0;10 5 .
        
n 5 u L I
n
2, 0, 0;10 . nu L I
       
c. 6
2
n
d. 5 , 0, 10 4 ;0 .
         
n 2 1 u L I
n
e. 1, 0, 10 6 ;10 6 .
n 3n u   L  I     
f. 3 1 , 3, 3 10 4 ;3 10 4 . nu L I
n
u n 
4.  u  es la sucesión definida para todo natural n por: 
2 n .
n 3
a. Demuestre que, para todo 3, 0. n n  u 
b. Demuestre que la sucesión   n u es decreciente.
c. ¿Cuál es el más pequeño entero m para el cual 105 m u   ?
d. Deduzca que para todo entero , , ; 105 . n n n  m u   
e. ¿Es verdadero que para todo número A negativo tan grande como sea en valor absoluto, el
intervalo ; A contiene todos los términos de la sucesión a partir de un cierto índice?
5. En cada uno de los siguientes casos:
 Demuestre que   n u es estrictamente creciente;
 Demuestre que 0, n u  para todo n de  ;
 Encuentre un índice m tal que, cuando n  m, los términos n u pertenecen al intervalo
I propuesto.
a. 2 2 , 106 ; .
n 3 u  n I   
5 , 10; .
2
b. 5
1
n
n n u I     
6.  u  es la sucesión definida para todo n de  por u   2 
5. n
n n a. Demuestre que para todo n de , 0 n u  y que la sucesión   n u es decreciente.

80. b. Encuentre un índice m tal que, para todo entero n tal que n  m, los términos n u
 límite: , I  ;103 .
  n v   n w n, 2
1N , 10000 n v  2 N ,
10p , p
  n u n, 1
80
pertenecen al intervalo ;106  .
7. Para cada uno de los siguientes casos, la sucesión   n u tiene por límite  o  cuando n
tiende hacia . Encuentre un índice m tal que, cuando n  m, los términos n u pertenezcan al
intervalo propuesto.
a.
3 2 ,
u  n límite: , I  108 ;.  
n 2
n
3 ,
2
n n u   límite: , I  105 ;.
b. 1
u n 
c. 1 ,
n 5
d. 2 1, nu  n  límite: , I  104 ;.
8. Verifique que la sucesión   n u es monótona y que todos los términos de la sucesión pertenecen
al intervalo I propuesto.
a. 2 , 0;2.
n 1 u I
 
n

2
b. u n n I
   1 3 , con  0,   3; 
2 . n
2

n
5 1 , con 1, 4;5 . nu n I
c.    
  2
n
9. Las sucesiones y están definidas, para todo natural respectivamente por
nv  n
10 . nw  n
y
a. Calcule los cinco primeros términos de cada una de esas sucesiones. ¿Qué conjetura puede
hacer? Demuéstrela.
b. A partir de qué índice se tiene ? ¿Y a partir de qué índice se tiene
10000. n w 
c. siendo inferior a se puede traducir ello por la expresión siguiente: la sucesión
1 N 2 N ,
  n v
“alcanza primera” el número 10000. ¿Es aún verdadero para el número 1000000? ¿Es
verdadero para todo número superior a con siendo un número natural?
n 2n u 
10. Mostrar que la sucesión definida, para todo natural por es decreciente.Se
1
2n
sospecha fácilmente que los números positivos se aproximan tanto como se quiera hacia el
número
0.

81.   n u   n v
11. Las sucesiones y están definidas respectivamente, para todo natural n, por:
y
u n
v
v v 
 
  
a. Calcular los cinco primeros términos de cada sucesión. ¿Qué conjetura puede hacer
respecto al sentido de variación de cada sucesión?
b. Se admite que para valores de más y más grandes, y son más y más próximos del
número Se quiere comparar las “maneras” de aproximarse al número por cada una
de esas sucesiones. Para ello se nota, para todo entero natural y
Los números y son las “distancias” respectivamente de y al
número
i. Expresar en función de
ii. Expresar en función de Deducir la naturaleza de la sucesión y luego
81
exprese en función de
iii. Para cada una de las sucesiones y determinar el índice del primer término
que pertenece al intervalo
iv. Retome la cuestión precedente con el intervalo ¿Qué constata usted? ¿Qué
conjetura hace usted respecto a la “velocidad de aproximación” al número de esas
dos sucesiones?
12. La sucesión   n u está definida para todo natural por
 
     
a. Calcule
b. ¿Qué conjetura puede hacer respecto a las variaciones de la sucesión  n u ?
c. Exprese n 1 u  en función de . n u Concluya.
13. es un triángulo rectángulo isósceles. Se construye cuadrados de la
manera siguiente:
 Primera etapa: se construye un primer cuadrado cuyos tres vértices son los puntos medios
de los lados del triángulo.
3 1
n n
1



0
1
1
2 1
n 3 n
n n u n v
3. 3
: 3 n n n U   u
3 . n n V   v n U n V n u n v
3.
n U n.
n 1 V  . n V   n V
n V n.
  n U  , n V
0;106 .  
0;1010 .  
3
n,
0
1
2
3.
1
n
n
n
u
u u
u 
1 2 3 u , u , u .
ABC AB  AC  2cm.

82.  Segunda etapa: en los triángulos isósceles “restantes”, se construyen cuadrados según el
un cm2 ,
mismo principio. Se nota el área en del conjunto de los cuadrados de color verde
que se vienen de construir durante la n 
ésima etapa.
a. ¿Cuál es la naturaleza de la sucesión   n u ?
b. Explique por qué la sucesión   n v definida para todo entero natural no nulo por:
1 2 , n n v  u  u  u , 2 n n v 
es creciente, y por qué, cualquiera que sea ?
n
0,1mm2
c. ¿Al cabo de cuántas etapas el área de la parte tomate será inferior a ?
  n u n, 2n 40 20.
14. La sucesión está definida para todo entero natural por
nu   n 
a. Demuestre que la sucesión es creciente a partir del rango 6.
b. Deduzca que para todo entero natural si entonces
n, n  9, 0. n u 
  n v 2n 20 2.
nv   n
 . n v
0 n v 
cm2 , mm2
82
15. Se nota la sucesión definida por
a. Demuestre que
v  v 
u . n  1 n n b. Deduzca el sentido de variación de
c. ¿A partir de qué rango se tiene ?
16. Datación del carbono 14. El objetivo de este ejercicio es el estudio de la desintegración de un
cuerpo radiactivo: el carbono 14. El carbono 14 se renueva constantemente en los seres vivos:
a su muerte, la asimilación cesa y el carbono 14 presente se desintegra. Arqueólogos han
encontrado fragmentos de hueso cuyo contenido de carbono 14 es el 40% de un fragmento de
hueso actual de la misma masa, tomado como testigo. Con ayuda de una calculadora, calcular
la edad de esos fragmentos. Se aproximará en siglos.
17. En la figura siguiente, todos los triángulos son equiláteros. El círculo es de radio 3 cm.
0,1mm2
¿Cuántos triángulos así construidos tienen un área superior a ?
18. Se pasa de un cuadrado al otro dividiendo la longitud del lado por 2. El primer cuadrado siendo
de área 25 ¿cuánto mide el lado del primer cuadrado cuya área es inferior a 1 ?

83. EJERCICIOS RESUELTOS
u n
u v  2
1. Sean las sucesiones y definidas en por: y Para cada sucesión:
a. Conjeturar el comportamiento al infinito. ¿La sucesión parece converger? ¿Parece que
    

 
     
  
83
diverge?
b. Elaborar una estrategia que permita confirmar la conjetura.
Solución:
a. Estudio de la sucesión
Para establecer una conjetura del comportamiento al infinito de una sucesión, se puede
representar gráficamente la sucesión o calcular los términos de la sucesión para rangos
“grandes”.
Para fortalecer la conjetura, se puede buscar un rango a partir del cual la distancia entre
y es, por ejemplo, inferior a
La representación gráfica siguiente permite conjeturar que la sucesión converge hacia
Se comienza por encontrar un rango a partir del cual la distancia entre y es inferior a
Así:
u n
Así, para todo la distancia entre y es inferior a
n
 
Se puede observar que:
Para “muy grande”, es muy próximo de cero, y en consecuencia es muy
próximo de
Ello parece confirmar que la sucesión converge hacia Se escribe
b. Estudiemos ahora la sucesión
n n
1


 1 . n
n v  
u.
n u
2 0, 01.
u
2.
n u 2
0, 01.
2 0,01 2 2 0,01
1
2 0,01 1 100 199.
1 2
n
n
n n
n

n  200, n u 2 0,01.
2 1 2 2 2 .
n 1 1
u
n n
 
n 2
n 1 n u
2.
2. lim u

2. n 
n
v :

84. 1, 1.
c. Se tiene que los términos de índice par valen los de índice impar valen La sucesión
v 1 1.
no se estabiliza alrededor de ningún valor, y oscila sin cesar de a Por lo tanto la
sucesión diverge.
2. Conjeturar los límites eventuales de las sucesiones numéricas representadas en el siguiente
v n
84
gráfico, de primer término 2.
3. Sea la sucesión de término general:
a. Con ayuda de una calculadora conjeturar el valor del límite de la sucesión
b. Determinar un rango a partir del cual la distancia entre y es inferior a:
i.
ii.
c. Validar la conjetura.
Solución:
a. Se obtiene el gráfico siguiente:
b. Utilizaremos las estrategias siguientes:
 Se coloca en el eje es la imagen por de es decir es la ordenada
del punto de de abscisa Se transporta al eje con ayuda de la recta
Se continúa de esta manera la construcción.
v
v 3 2.
n n
1



L v.
n v L
0, 01.
106.
0 u Ox. 1 u f 0 u ,
f C 0u . 1 u Ox
 : y  x.

85. u
 La sucesión es creciente cuando sus términos son cada vez más grandes. La
u
sucesión es decreciente cuando sus términos son cada vez más pequeños.
 No se conoce aquí el número de términos a calcular. Se trata de calcular de poco en
un un  2  ,
2 . n u  
poco hasta que la diferencia sea inferior a es decir en tanto que
0 u 10; 1 u  6; 2 u  4; 3 u  3; 4 u  2,5.
0 u :
u, 2.
r  0, u . lim . n n
r  0, u . lim . n n
u r  0. 0 . n u  u  n r
r  0, 1000 n u  0 n 1000 u ;
85
c. En el gráfico se lee:
Se colocan varios valores posibles de
d. Se conjetura que:
0 u  2, u
 Si la sucesión es creciente.
 Si u  2, la sucesión u
es constante.
0  Si u  2, la sucesión u
es decreciente.
0  En todos los casos, la sucesión converge hacia
Límite de una sucesión aritmética
Teorema. Sea u
una sucesión aritmética de razón r no nula.
 Si la sucesión diverge hacia Es decir que
 Si la sucesión diverge hacia Es decir que
u

u

Demostración.
Sea una sucesión aritmética de razón Su término general es:
 
 
 Si por ejemplo desde que desde que
r

 10000 n u 
0 n 10000 u .
r



86. 
De manera más general, para todo real positivo desde que Por lo
tanto la sucesión diverge hacia
 Si por ejemplo desde que desde que
 
 10000 n u  
 


 De manera más general, para todo real negativo desde que Por lo
tanto la sucesión diverge hacia
Límite de una sucesión geométrica
Teorema. Sea un número real diferente de
 Si la sucesión diverge hacia Es decir que
 Si la sucesión converge hacia Es decir que
 Si la sucesión diverge y no admite límite.
n u    1 q 1, lim  0,5 0. n
86
Demostración. Admitida.
Comportamiento
al infinito de
una sucesión
geométrica de
término general
Si la
sucesión converge hacia
Si la sucesión es
constante igual a
Si la sucesión
diverge hacia más
infinito.
Si la sucesión
no tiene límite.
EJEMPLOS
1. Sea la sucesión geométrica de primer término y de razón
Para todo natural Como entonces En
consecuencia la sucesión converge hacia
Con ayuda de una calculadora se puede establecer que:
 desde que
 desde que
M, nu  M 0 . n M u
r

u .
r  0, 1000 n u   0 n 1000 u ;
r
0 n 10000 u .
r
M, nu  M 0 . n M u
r

u .
q 1.
q 1, qn  . lim n .
n
q

 
1 q 1, qn  0. lim n 0.
n
q


q  1, qn 
qn .
1 q 1,
0.
q 1,
1.
q 1,
q  1,
u 3 0,5.
n, 3  0,5 . n
n
 
u 0.
0,001 n u  n 12;
10 6 , n u   n  21;

87. u 0,8 0 u  10. v
1, 2 0 v  2. w
u,v w.
u r  0,8, r  0. u
. lim  
. n n
qn  q
1, 2 1, lim 1, 2 . n
  v
n v    2 v
. lim  
. n n
n
   lim 3 0.
    
 
5 w 0.
u 10 0,8 . nu     n 10  0,8 n 106
106 10 1250012,5
0,8
   n
87
10 12 , n u   n  42.
 desde que
2. Sea la sucesión aritmética de razón y de primer término Sea la sucesión
geométrica de razón y de primer término Sea la sucesión geométrica de razón
3
y de primer término
w  5.
4 0 a. Determinar los límites de las sucesiones y
b. Determinar el rango a partir del cual:
i.
ii.
iii.
3. Solución
106 ; n u 
10 6 ; n v   
10 6. n w  
a. Para determinar el límite de una sucesión aritmética, se examina el signo de su razón
(positivo o negativo).
La sucesión es aritmética de razón por lo tanto Luego la sucesión
diverge hacia Es decir que
Para determinar el límite de una sucesión geométrica de razón se determina primero el
comportamiento al infinito de la sucesión analizando si es:
1;
 superior a
 comprendido entre y
 inferior a
u

q,
1 1;
1.
Luego se toma en cuenta el primer término de la sucesión.
Como se sigue que El término general de la sucesión es
n
Multiplicando por que es negativo, se obtiene una sucesión que
2 1, 2 . n
diverge hacia Es decir que
v

1 3 1
w
Como entonces El término general de la sucesión es
4
n
Multiplicando por se obtiene que la sucesión converge hacia Es
n
5 3 .
n w   
decir,
4
4
 
w
lim 
0. n 
n
b. El término general de la sucesión es Se resuelve
n n 
que es equivalente a: donde es un número natural. Por lo
tanto u  106 desde que
n 1250013.
n La sucesión es decreciente, pues para todo natural
v n,   1 0, 4 1, 2 0. n
n n v v     

88. N 106. N v   72
Es suficiente encontrar un rango tal que Resulta que el natural
conviene. Se tiene entonces que para todo natural se tiene
n  72, 106. n v  
w n, 1
n
       
La sucesión es decreciente, pues para todo natural
Es suficiente encontrar un rango tal que Resulta que el natural
conviene. Se tiene entonces que para todo natural
Para determinar un rango a partir del cual se puede por ejemplo:
 si es posible, resolver algebraicamente la inecuación;
 si no, utilizar las variaciones de la sucesión y la calculadora para determinar el más
88
pequeño rango verificando
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Sea una sucesión geométrica de término general y de razón En cada caso, determinar
el límite de la sucesión
a. y
b. y
c. y
d. y
2. Sea una sucesión geométrica de primer término y de razón En cada caso, determinar si
la sucesión admite un límite. Si la respuesta es afirmativa, determinarlo.
a. y
b. y
c. y
d. y
e. y
3. Admitiendo que las tendencias observadas se prolongan al infinito, dar el límite de cada
sucesión y precisar valores posibles de la razón para cada sucesión.
a.
5 3 0.
4 4
n n w w 
 
N 10 6. N w   54
n  54, 10 6. n w  
106 , n u 
u
N 106. n u 
u 0 u r.
u :
0 u  2 r  3.
0 u  2 r  3.
0 u  3 r  2.
0 u  3 r  2.
v 0 v q.
v
0 v  2 q  3.
0 v  2 q  3.
0 v  2 q  0,5.
0 v  3 5 .
7
q  
0 v  3 1 .
4
q 

89.  
1
4
A A  A B
1 A 1 B 0 1 0 0
1 F   1 1 A B 0F .
n F n C n.
n 1 C  n C n n C n.
1,8mg
89
b.
c.
A0B0CD F0 a.
4. es un cuadrado de lado
 
1
4
B B  B C
Se coloca los puntos y tales que y 0 1 0 0
y se construye el
cuadrado de lado interiormente al cuadrado Se continúa de la misma manera
para obtener cuadrados de lado para todo entero
a. ¿Qué relación existe entre y para todo natural ? Deducir en función de
b. ¿Cuál es el límite de la sucesión c
? Interprete el resultado.
t  0
5. Asimilación de un medicamento. Al instante (en horas) se inyecta en la sangre de un
paciente vía intravenosa una dosis de de un medicamento. Se supone que el

90. medicamento se reparte instantáneamente en la sangre y que el mismo es progresivamente
eliminado. Se considera que el cuerpo elimina cada hora del medicamento presente en el
organismo. Para todo natural n, se nota R la masa (en mg
) del medicamento presente en la
n sangre al cabo de horas. Así,
a. Calcular y
b. Justificar que la sucesión es geométrica y precisar la razón.
i. ¿Cuál es su sentido de variación? Interpretar.
ii. ¿Cuál es su límite?
c. Con ayuda de una calculadora, determinar:
i. el más pequeño rango tal que para todo natural la masa es inferior a la mitad
1 n 1 n  n n R
2 n 2 n  n n R
3 n 3 n  n n R
10000
90
n 0 R 1,8.
1 R 2R .
de la masa inicial;
30%
R
ii. el más pequeño rango tal que para todo natural la masa es inferior a
0,1mg;
iii. el más pequeño rango tal que para todo natural la masa es inferior a
0,01mg.
6. A continuación se indica una sucesión construida con cubos de cartón.
a. Dar una regla que permita calcular el número de cubos necesarios para construir no importa
qué figura de la sucesión ilustrada.
b. ¿Cuántos cubos serán necesarios para construir la figura número 10?
7. Una empresa ha adquirido una máquina en dólares a un fabricante. En caso de despacho
en retardo, se han fijado penalidades: el primer día de retraso es facturado 100 dólares, el
segundo día de retardo es facturado 150
dólares; el tercer día de retardo es facturado 200
dólares y así sucesivamente. Cada día suplementario de retardo es facturado 50 dólares más que
el día precedente.
a. ¿Al cabo de cuántos días el fabricante “regala” la máquina?
b. En realidad, la fabricación para el fabricante es rentable si las penalidades no superan los
2500 dólares. ¿Cuál es el máximo número de días de retardo en el despacho para que el
fabricante entre en gastos ?
8. Dividir en tres. Se parte un cuadrado de lado 1 en cuatro cuadrados de igual tamaño y se
negrea el cuadrado inferior izquierdo. Se aplica el procedimiento al cuadrado de arriba a la
derecha. Y así sucesivamente. ¿Cuál será el área de la parte negra cuando se continúa
indefinidamente la construcción?

91. 9. Un cultivo de 4500 bacterias A aumenta cada semana de con respecto a la semana
precedente. Un cultivo de 5000 bacterias B aumenta de 140 bacterias por semana. Para todo
natural se nota el número de bacterias A y el número de bacterias B al cabo de
semanas.
a. Calcular el número de bacterias A y el número de bacterias B al cabo de cuatro semanas y al
cabo de diez semanas.
b. ¿Cuál es la naturaleza de las sucesiones y ? Deducir además y en función de
c. Determinar al cabo de cuántas semanas el número de bacterias A supera el número de
bacterias B.
d. ¿Al cabo de cuántas semanas el número de bacterias A aumenta de con respecto al
número inicial de bacterias del cultivo A? Explique y justifique la respuesta.
OTRAS PROPIEDADES
Teorema.El límite de una sucesión convergente es único.
A continuación señalaremos algunas propiedades de las sucesiones convergentes.
Teorema.Toda sucesión convergente es acotada.
EJEMPLO
  
 
 
  
La sucesión converge hacia cero y es acotada por 1 y 1.
Observación. El recíproco del teorema anterior no necesariamente se cumple, es decir que si una
sucesión es acotada, no necesariamente es convergente. Así por ejemplo, la sucesión de
término general es acotada pero no es convergente.
Teorema.Toda sucesión creciente y acotada superiormente (respectivamente, decreciente y acotada
inferiormente) es convergente.
91
2,5%
n, n u n v n
u v n u n v n.
25%
 
*
1 n
n
n

  n u
cos  nu  n

92.   n u   n v
Teorema. Sean y sucesiones convergentes. Se tiene entonces que:
 u   ( v ) lim     lim 
lim n n n n n n n n n
i) es convergente y .

ii) Para todo , es convergente y .
 
iii) es convergente y .
 u

 
 v

u u
v v
n n n
i) Si , y , entonces converge y 
.
Para demostrar que una sucesión posee un límite , se puede utilizar la definición, pero a veces nos
vemos avocados a demostraciones delicadas y fastidiosas; por lo que, en la práctica, hacemos uso
de las propiedades antes enunciadas, lo que en numerosos casos permite evitar el trabajo con las
definiciones. Así por ejemplo
1 1 1
n n n
1. Se tiene que y como , , resulta
lim 1 lim 1 lim 1 0 0 0
n n n n n n
u n n
 
n 2 3
3 5 3 5 3 3
       
   
3 2 3 2
     
 
lim 3 5 3 3 y lim 2 3 2
n n n n n
            
   
92
.
Por inducción se demuestra quep* , .
3 5 3
2. Dada la sucesión de término general ,se tiene
y de acuerdo al ejemplo anterior resulta que
y en consecuencia .
Teorema: Sean dos sucesiones convergentes respectivamente hacia tales que
, entonces .
u v u v
  
    u  lim u  u
n lim n  n n 
n
 u   ( v ) lim  u v  lim u lim v
n n n  n n n  n n 
n
n v  0 lim v
0 n n 
n
 n
n
lim
lim
lim
n
n n n


 
  
 
lim 1 0
n n
 n* 2
 
2
    
lim 1 
0 n np
  n u
2
2
n


2
2 2
2
2 2
n
n
u n n n n
n
n n
2 2
lim u

3
n 
n 2
  y   n n u v  y 
n , n n u  v   

93.  ,   y   n n n u v w   y   n n v w
Teorema (del emparedado): Sean tres sucesiones tales que
convergen hacia el mismo límite y que n , v  u  w entonces  u
 converge hacia el
n n n n límite .
Nota. En algunos textos, a este teorema se le conoce con el nombre de teorema del emparedado.
EJEMPLO.
k 
n
u n n n n n
  n u 2 2 2 2 2
      
     
Sea la sucesión definida por .
n k n n n n n
1 1 2 3
n n n
n n n k n
1 k  n 2 2 2 .
1
u   1 1 1 1 1
93
Si se sigue que:
n
k

 
  
2 2
2 n 2 1
n u n
n n n
n
2
lim 1
n
2 u
Luego  
y como y , se concluye que .
 
 n n


Sucesiones Adyacentes. El número
Definición. Dos sucesiones, la una creciente, la otra decreciente se dicen adyacentes si
converge a cero.
Teorema: Dos sucesiones adyacentes son convergentes y admiten un límite común.
Aplicación. Definición del número e. Consideremos la sucesión cuyos primeros términos son
, y donde el término general es: .
Asociémosle la sucesión , cuyo primer término es y el término general es .
La sucesión es creciente puesto que:
Mostremos que es una sucesión decreciente:
n
2
lim 
1
n  n
2 
1
lim 
1 n 
n
e
  n u   n v
  n n v u
  n u
0 u 1 1
1 1 ,
1!
u
    
n 1! 2! 3! n
!   n v 1 u 1
v  u

n n n
!   n u 1
1 0.
n n ( 1)! u u
  
 n 
  n v

94.                  
v v u u
n  1 n n 
1
n
n n
u u
   
n 
1
n
n n
u u
    n n
    
    
 
n n


  
Por otra parte: de , se sigue que las dos sucesiones son adyacentes,
consecuentemente ellas admiten un límite común . Se tiene entonces:
Probaremos a continuación que es un número irracional, por el método de reducción al absurdo.
Así, supongamos que es un número racional; es decir que:  , con m, n
y escribamos la
doble desigualdad:
m
          
        
 
Multiplicando todos los miembros por tenemos que: es un número
n m 
n! n 1,
     0 0 n  m n 1 ! n 1,
natural ; es decir que se tiene: que es equivalente a
lo cual no es posible, pues no existe un número natural comprendido entre dos naturales
consecutivos. A esta contradicción se llega por suponer que es un número racional, luego lo
correcto es que es un número irracional.
Es necesario entonces un símbolo especial para representar el número irracional que es el límite de
94
:
Definición. Se designa por la letra el número irracional límite de la sucesión que tiene por
término general:
.
Es decir que:
 
 
  1
 
     
 
1 1
1 ! !
1 1
1 ! !
1 1
1 ! !
1 1 1 2 1
1 ! 1 ! ! 1 ! !
1 0, desde que 1.
1 !
n  n  n n 
n

n n
n
  

lim  v u
 lim 1 0
n  n n n  n
!
L , . n n n u  L  v
L
L L m
n
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 .
1! 2! 3! ! 1! 2! 3! ! !
n n n n
n! 1 1 1 1 1 !
1! 2! 3! !
n
n

0 n 0 0
n
L
L
  n u
e
1  1  1  1 
1
1! 2! 3! n!

95. lim 1 1 1 1 1
n 1! 2! 3! !
       
  
 n
 
  n a 1 1
n
n
1 1
    
 
n
n n
1 1 1 1 1 1 1
    
     
  
1! 2! 3! !
f f (x)  x2 0;
0;1   0 1 x ; x 0;1
  0 1 A x , x OX P
95
.
e
e
Se puede probar que: 2,718281 2,718286. Es decir que podemos afirmar que 2,71828 es un
valor aproximado de e
, por defecto.
n
n a
     
 
lim 1 1
n
e
     
 
Ejercicio Sea la sucesión definida por . Probar que .
n
n
 n
(Sugerencia: Aplique el Binomio de Newton a y demuestre que para todo n  2 :
.
APLICACIÓN AL CÁLCULO DE ÁREAS Y VOLÚMENES
1. Consideremos en el plano un sistema ortogonal OXY y sea D
la región comprendida entre la
parábola P de ecuación y  x2 , el eje OX
y la recta de ecuación: x 1. Calcular el área de la
región D. (Ver Gráfico siguiente)
Solución.
Recordemos que la función definida por es creciente en el intervalo , y por
tanto en el intervalo y en cualquier subintervalo de . En consecuencia:
2 2 2  
0 1 0 1 x  x  x , x x ; x
Sea el área de la región comprendida entre el eje , la parábola y las rectas de
ecuaciones: y y si consideramos el rectángulo bajo la curva, cuya base es el
subintervalo y cuya altura es el valor que toma la función en el extremo izquierdo del
0 x  x 1 x  x
  0 1 x ; x f

96.   2
f x0  x0
subintervalo; es decir, igual a , se tiene que el área de dicho rectángulo es
. Por otra parte, si consideramos el rectángulo sobre la curva definido por: la base que
  2
1 0 0 x  x x
  0 1 x ; x f
es el subintervalo y la altura el valor de la función en el extremo derecho del
subintervalo, es decir, igual a: f  x   x
2
1 1 , se tiene que el área del rectángulo sobre la parábola
es   2
. Consecuentemente se tiene que:
1 0 1 x  x x
  2     2
1 0 0 0 1 1 0 1 x  x x  A x , x  x  x x
  1; k k x x  0;1
En adelante, en cualquier subintervalo de definiremos los rectángulos bajo y
sobre la curva como aquellos rectángulos de base y de las alturas y
respectivamente.
Procedamos entonces a aproximar el área de la región (notada .
Dividamos el segmento en dos partes iguales:
( ) 0; 1 1 ;1
a D  A   A 
   
 1   1   1  1 1  1  1    2   0  f   0    1   f    f  0   f     f  0 
 f
 1  1 0   1
 2 2 2 2 2 2 2                 2  2   2
 
96
Es claro que:
  1; k k x x    k 1 f x    k f x
D a(D)
.
0;1
2 2
Se tiene además que:
La suma de las áreas de los rectángulos bajo la curva es:
.
La suma de las áreas de los rectángulos sobre la curva es:

97.  1   1   1  1  1  1 1   1   2   0  f     1   f  1   f    f  1     f    f
 1 
 1  1   1
  2   2   2  2  2  2 2   2  2     2
  
                 
      
1 2 2 0 1 a ( D
) 1 1 1
2 2 2 2
1 0 0 2 1 1 1 2 2 1 0 1 2
3 3 3 3 3 3 3 3 3
   f       f                f    f  
 f    f                        
1 0 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1
3 3 3 3 3 3 3 3 3
f f f f f f                                                        
                           
          
1 2 2 2 2 0 1 2 a ( D
) 1 1 2 1
3 3 3 3 3 3
97
.
Resulta entonces:
.
0;1
Si se divide el intervalo en tres partes iguales se tiene que:
La suma de las áreas de los rectángulos bajo la curva es
.
La suma de las áreas de los rectángulos sobre la curva es:
.
Resulta entonces:
   2   2
         
1 0 1 2
3 3 3
     
   
  2   2
        
1 1 2 1
3 3 3
    
0;1
Continuando con el proceso, es decir, si se aumenta el número de divisiones del intervalo ,
es claro que la suma de las áreas de los rectángulos bajo la curva y la suma de las áreas de los

98. rectángulos sobre la parábola son cada vez más próximas al valor del área de la región ; es
decir, próximos al valor .
Así, si al intervalo dividimos en n partes iguales, cada una de longitud 1
x x k k
      1
x f x x fx x x fx x x fx x fx
 0 (0)   ( )   ( )    ( )   1 
( )
1 (0) ( ) ( ) ( ) , pues = 1 , 1,2, , .
1 0 1 2 1 , pues , 1, 2, , .
1 2 1 1 3 2 2 1 1 1 1
f fx fx fx x x k n
n n
       
1 2 1 1
2 2 2 2
n f x k k n
98
n
se tiene que dicha
división determina los subintervalos:
,
x k k n
       
Donde ; es decir que .
Resulta entonces que:
La suma de las áreas de los rectángulos bajo la curva es:
1 k n
 
 
 
  
La suma de las áreas de los rectángulos sobre la parábola es:
D
a(D)
0;1
          0 1 1 1 2 1 1 ; 0; , ; , , ; ;1 n n n x x x x x x x x     
, 1,2, , k
n
; 1; k k
n n 
         
 
 
k k k n n
n k k
k
n n n n n
   
 
                            
         

 
 
 
1 2
0
k
k
n 
n

99.          
 
x f x x x f x x x f x x x f x x f x
 0 ( )   ( )   ( )    ( )   1 
( )
1 ( ) ( ) ( ) ( ) , donde = 1,
1 1 2 1 ,
1 1 2 1 2 3 2 3 1 1
f x f x f x f x x n
n n
     
k a D k n
1 k  n  1 k 
n
( ) , 2.
           
     
n n n n
k k
1 k  n  1 k 
n
( ) , 2.
 k  aD   k  n

n k n
k
   2
n n n n n n
        
       
   
1 1 2( 1) 1 1 1 (2 1) a ( D ) , n
2
n n
n n n n
   
1 2 1 1 (2 1)
a D n
( ) , 1
   
n n
               
         
n n a D n n n
                
         ( ) 1 .
99
1 2 3
  2   2    2   2
              
        
2
    
  
1
1
Se tiene entonces:
o lo que es lo mismo:
Por otra parte, como , se sigue:
;
es decir,
,
lo cual puede escribirse finalmente como:
Como
,seconcluye que
2. Calcular el volumen de una esfera de radio .
Se comienza por calcular el volumen de la semiesfera.
k k k n n
n n
k n
k
n n
n n n n n
k
n n
 


 


1 2 2
0 1
 
1
2 2
3 3
0 1
 
1
1 2 1
, 1
6
k n
k
n n n
k n


 
   
     
3 3
6 6
    
2 2
6 6
1 1 2 1 1 1 2 1
( ) , 1
6 6
1 1 2 1 1 1 2 1
lim n n 1 y lim n n
1
n  6 3 n 
6 3
3
a D 
R

100. Se divide el segmento en segmentos de igual longitud . Nos vemos avocados
entonces a considerar cilindros exteriores y n 1 cilindros interiores. Se designa por el
volumen total de los cilindros interiores y por el volumen total de los cilindros exteriores. El
volumen V verifica entonces: .
Cálculo de y de :
a. Mostrar que el volumen del - ésimo cilindro interior es
                 
u R n n n n
                 
v R n n n n
100
b. Mostrar que
y que
O;R n R
n
n n u
n v
n n u V  v
n u n v
 
k   3
n 2  k 2
R  .
3 
n
 
3
 2 2   2 2   2   2
 3 1 2 1 n
n

3
 2 2   2 2   2   2
 3 0 1 1 n
n


101. n n n n  
12 22 32 2 ( 1)(2 1)
   
c. Paso al límite: Utilizando la igualdad: , mostrar que
v R n n
4 3 1
y que .
6
u R n n
4 3 1
 4 n  3 n
 1

 
 
 4 n  3 n
 1

 
 
d. Mostrar que las sucesiones y convergen hacia Deducir
entonces los límites de las sucesiones y . Finalmente concluir acerca del valor de
.
EJERCICIOS
1. Una sucesión aritmética tiene por primeros
términos 1 y . Encontrar el centésimo
término y la suma de los cien primeros
términos.
2. Dada la sucesión aritmética de primer
término , de razón y de término general
. Calcular , en cada
uno de los siguientes casos:
a.
b.
3. Sea una sucesión aritmética de primer
término ; razón: y cuya suma
de los primeros términos es: .
Calcule y
4. Dada la sucesión aritmética , calcule
y sabiendo que ; ;
. (Note que se puede
101
escribir ).
5. Determinar el término general de una
sucesión aritmética sabiendo que:
a.
u  3 y u 
3.
b. .
6. Se define una sucesión de la manera
siguiente:
u u n
, .
a. Se supone que, para todo entero , se
tiene: . Demuestre que, para todo
entero , se tiene: .
b. Se pone, para todo entero , .
Demuestre que la sucesión así
definida es aritmética. Calcule , luego
en función de , y verifique que la
condición se satisface.
7. son tres términos consecutivos de una
sucesión aritmética. Se da y
Encontrar .
2
3
2
n 6
n

   
  
 
2
3
2
n 6
n

   
  
 
2
2
6
n
2
2
6
n
2 .
3
  n u   n v
V
3
  n u
0 u r

uu S  u  u 
n n 0 1 n 1 0 u  30, n  33, r  3.
0 u  3, n 15, r  4.
  n u
0 u  0 r 1,5
n 480600 n S 
n n 1 u 
  n u n
0 u 1 14 n u   r  7
1176 n S  n2  5n  a
2 5 25
2 4
 n    a 
 
  n n * u 
7
1
2
u
5 10
2 4
24
4
u u
u u
   
  
  n u
0 u  0 1
5 n
3, 1
3 1
n
n
u 

  

n
1
n 3 u 
n 1 n u 
n 1
1
n
n
n
v u
u



  n v
n v
n u n
1
n 3 u 
x, y, z
x  y  z  36
xyz 1428. x, y, z

102. 8. Se considera una sucesión aritmética finita de
primer término 1 y de razón 3. Sea S la suma
de los términos de esta sucesión.
a. Calcular S sabiendo que el último término
de la sucesión es 52.
b. Calcular el último término de esta
sucesión sabiendo que S = 92
9. .
a. Demuestre que si los tres lados de un
triángulo rectángulo tienen por medidas
tres términos consecutivos de una
sucesión aritmética, la razón de esta
sucesión es la cuarta parte del lado más
grande del ángulo recto.
b. Calcule cuando la hipotenusa tiene
por medida 75.
10. son tres términos consecutivos de
una sucesión geométrica; se da
102
y . Encontrar .
11. Encuentre los tres términos consecutivos
de una sucesión geométrica
creciente sabiendo que: y
. (Se puede demostrar que la
razón es solución de la ecuación
y observar que:
.
q  q  
q  q    q   
12. Se considera una sucesión geométrica
cuyo primer término es y el
octavo término es . Determine la razón
y el término general de esta sucesión.
13. Sea la sucesión definida sobre
por: y para .
a. Calcule .
b. Sea la sucesión definida sobre
por . Muestre que es
una sucesión geométrica. Exprese en
función de y luego en función de
.
14. Se considera la sucesión
definida por: , .
15. .
2 , 1
n 3 n u u n    
a. Determinar explícitamente . Calcular
.
b. Se considera la sucesión
definida por 
. ¿Cuál es la
naturaleza de v ?. Definir v
bajo la
n forma explícita. Calcular .
c. Sea . Calcular
. Deducir de forma explícita.
16. Estudiar la sucesión definida por:
s s 
, .
17. Calcular el volumen de un cono de altura
y radio de la base . Sugerencia:Coloque al
cono de modo que el vértice coincida con el
origen del sistema de coordenadas
rectangulares y su eje coincida con el eje
x, y, z
x, y, z
x, y, z
x  y  z  26 xyz  216 x, y, z
3 4 5 u ,u ,u
3 5 4 u u  4u
3 4 5 u  u  u 14
q
2 5 1 0
2
2
2 5 1 5 9
2 4 16
 
  n u 0 u  48
7
3
8
u 
q n u
  n u *
1 u  3 1
2 6
n 3 n u u    n 1
2 3 4 u ,u ,u
  n v *
18 n n v  u    n v
n v
n n u
n
  n u  u
0 u  3 1
n u
n p u u
  n v  v
1
n
n
v
u
n p v v
S 
u u  u 
n 0 1 n 1 2
3 n n S  S n S
  n s
1 s 1 1
3
2
n
n


H
R
OX

103. PRUEBA DE BASE ESTRUCTURADA
Para cada una de las cuestiones siguientes, una o varias respuestas son correctas
A) B) C)
103
1. La sucesión definida por el
gráfico de abajo:
Es aritmética
Es geométrica
Diverge
A) B) C)
2. La sucesión está definida por
y para todo natural por
La sucesión
converge
Para todo
natural
A) B) C)
u u
3. La sucesión está definida por
y para todo natural por
La sucesión
es
creciente
Para todo
natural
u
u
u0  0 n
1
2 n
4.
3 2
n
n
u 



4 u  0
u n,
n 3 n u u  
u
0 u  0 n
1 .
u  u

n  n n 1 n 2 1    

u 2
3
4
u  n,
u n
n n
1



104. A) B) C)
u  u
u 3
u u
0
 1 1
u 
v  4 . n
104
4. Se considera la sucesión
definida para todo natural
por
La sucesión
es
creciente
La sucesión
es acotada
superiormente
47
60
A) B) C)
u
n 1
1 1 1.
u
   
n 
1 2 n n 
n
5. Se considera la sucesión que
verifica para todo natural
la desigualdad
La sucesión
es acotada
La sucesión
converge
hacia
La
sucesión
es
creciente
1 u
A) B) C)
u
n 100
u n
2 1 .
 
n 1
n

6. La sucesión de término general
Converge
hacia
diverge
es
creciente
A) B) C)
3 1 2 1: nu  n   n 
7. La sucesión de término general
Converge
hacia
Converge
hacia
diverge
A) B) C)
v
n n
3 7 :
3 7
v 

n n n 8. La sucesión de término general
Es creciente
Es positiva
Es
convergente
u
 
n
sen n
1 ()
2
:
1
n
u
n



VERDADERO O FALSO
1. Se considera una sucesión definida en y tal que cada uno de sus términos no sea nulo.
Se define entonces la sucesión en por: Precisar si las afirmaciones
n
siguientes son verdaderas o falsas.
v
u
 

105. a. Si la sucesión u es convergente, entonces la sucesión v
es convergente.
b. Si la sucesión u es acotada inferiormente por 2, entonces la sucesión v
es acotada
inferiormente por
c. Si la sucesión es decreciente, entonces la sucesión es creciente.
d. Si la sucesión es divergente, entonces la sucesión admite como límite.
2. Una sucesión estrictamente decreciente es acotada superiormente por su primer término.
3. La sucesión de término general converge hacia
n u  1.

 0.
4. La sucesión de término general converge hacia
105
2.
u v
u v 0
u 0,99999999999n
u
 1n
n u
n

106. CAPÍTULO 5
LÍMITES Y CONTINUIDAD
DE FUNCIONES
Contenido del capítulo:
 Noción intuitiva de límite de una función.
 Definición formal de límite de una función.
 Propiedades de los límites.
 Cálculo de límites.
 Funciones continuas.
 Propiedades de las funciones continuas.
106
Resultados del Aprendizaje:
1. Calcula el límite de una función en un punto.
2. Aplica la definición formal de límite de una función.
3. Calcula límite de funciones usando las propiedades.
4. Analiza la continuidad de una función.
DEFINICION INFORMAL DE LIMITE
f
3 2 2 2 ( ) .
f x x x x
  
Consideremos la función real definida por 
La función no está
definida en pero, ¿cómo se comporta para valores de cercanos a ?
Específicamente, ¿se aproxima a algún valor fijo cuando se aproxima a ? Calculando
para algunos valores de obtenemos la siguiente tabla.
2
x

1.9 2.61 2.1 3.41
1.99 2.96 2.01 3.04
1.999 2.996 2.001 3.004
1.9999 2.9996 2.0001 3.0004
1.99999 2.99996 2.00001 3.00004
f
x  2, f x 2
f (x) x 2
f (x) x
x f (x) x f (x)

107. x
f (x) 3.
Estos datos nos dicen que cuando el valor de se aproxima a 2, sea tomando valores menores o
sea tomando valores mayores, el valor de se acerca a Se dice que el límite de
cuando tiende a 2 es 3 y, en símbolos se escribe
x x x
  
 2  lim 2 
3.
x 2
 x  0.
De manera similar la función definida por no está definida en Para
algunos valores de cercanos a 0, los valores de que es una función par, son los
siguientes.
0.1 o -0.1 0.99833
0.01 o -0.01 0.99998
0.001 o -0.001 0.999998
0.0001 o -0.0001 0.999999
De acuerdo con esto, el límite de cuando tiende a cero es 1, en símbolos,
lim 1.
x
Las gráficas de estas funciones, para valores de cercanos a 2 en el primer caso y cercanos a 0,
en el segundo caso son estas:
Si representa un número, decir que el límite de cuando tiende hacia es en
símbolos, significa, que se puede hacer que esté cerca de tanto como se
quiera, tomando suficientemente cercano y diferente de
Sea ahora la parte entera de Si consideramos valores de muy cercanos a
entonces Si si Notemos que para cualquier número
real existen valores de muy cercanos a para los cuales la diferencia entre y no
se puede hacer por lo menos menor que Consecuentemente, no existe.
107
3 2 2 2
2
x

x
3 2
2
x x x
 x

f f (x) sen x ,
x
x f (x),
x f (x)
f (x) x
0
sen x
 x

x
L f (x) x a L,
f x L
lim ( ) ,
x 
a
 f (x) L
x a.
f (x)  x, x. x 3,
2  x  4. x  3, f (x)  2, x  3, f (x)  3.
L x 3 f (x) L
1 .
2
  3
lim
x
x


108. f (x) 1 ,
 f x  0
De otra parte, si se tiene que es una función par no definida en que verifica
para todo A medida que se acerca a 0, toma valores cada vez mayores. Si
es un número real, existe tal que Esta desigualdad es válida para todo tal que
108
Tampoco en este caso existe.
 0 2
    
Si la función no está definida en Consideremos algunos valores de
positivos y cercanos a 0 y sus imágenes por
Puesto que es impar, toma los mismos valores cuando es negativo. En cualquier
intervalo que contiene los valores de varían infinitamente entre y Así no
tiende a un solo número cuando se acerca a y no existe.
lim 1 ,
x
 
 
 
Volviendo a la función parte entera cuando está cerca de y es mayor que es decir,
cuando sobre la recta real se halla a la derecha de toma el único valor Si está
cerca de y es menor que es decir, se halla a la izquierda de toma el único valor
Más generalmente, un número real es el límite por la derecha de cuando tiende hacia
si está muy cerca de cuando está cerca y a la derecha de En símbolos se
escribe
2
x
f (x)  0 x  0. x f (x)
L x f (x)  L. x
x 1 .
L
lim 1
x x
f (x) sen 1 ,
x
 
f x  0. x
f .
x f (x) x f (x) x f (x)
2
1 2

5
1 2
9
1
2
2
0 2
6
0 2
10
0
2
3
1 2
7
1 2
11
1
2
4
0 2
8
0 2
12
0
f f x
0, f (x) 1 1. f (x)
L x 0
0
sen
 x
x, x 3 3,
x 3, f (x) 3. x
3 3, x 3, f (x) 2.
L f (x) x
a, f (x) L x a.
f x L  
lim ( ) 
.
x a

109. M f (x) x
De manera similar un número real es el límite por la izquierda de cuando tiende hacia
a, f (x) M x a.
lim ( ) .
x a
si está cerca de cuando está cerca y a la izquierda de En símbolos se escribe
f x 
M  
 
3
  
 a
Así, en el caso de la función parte entera, lim x 3
y De manera general, si
x
 
es un número entero, y
 lim   1.
x a  
 
f x L  
 lim ( ) .
f (x) x a
f x x x      
lim ( )  lim  lim  
0.
x 0 x 0 x
0
x x x f x x
            

, si 0 1, si 0
x x x
x
, si 0 1, si 0
     
f x    
lim  lim  1  
1.
x x
109
lim  
x a
x a  
Admitiremos el siguiente resultado.
Teorema. Sea un número real.
x a
L
f x L  
 lim ( )
si y solo si y
x  
lim 2.
x
3
f x L
lim ( )
x 
a
x a
x a

De otra manera el teorema dice que el límite de cuando tiende hacia existe si y solo si
los límites por la derecha y por la izquierda existen y son iguales.
EJEMPLOS
x x
, si 0
f ( x )
x
 
 
1. Sea entonces Así existe y es
igual a
  
 x x
 , si 0
0.
x
f x
2. Sea entonces
lim
x
0
x

( )
x

( )
f x    
lim ( ) lim1 1
x x
f x
lim ( )
x
Así y En consecuencia no existe.
0 0
0 0
0

Definiciones formales de límite y límites laterales
La definición de límite dada en la sección anterior, se expresa de manera formal usando la distancia
definida sobre la recta real y las letras ε (épsilon) y δ (delta), tradicionalmente empleadas en
matemáticas para denotar pequeños números reales positivos.
La expresión se puede hacer que f (x) esté cerca de L
tanto como se quiera significa que
tomado  arbitrariamente pequeño, se puede hacer que
f (x)  L  .
La expresión x suficientemente cercano y diferente de a significa que existe  ,
pequeño, tal
que
0  x  a  .
Así, tenemos la siguiente definición.

110. L L f (x) x a,
Definición. Si es un número real, es el límite de cuando tiende hacia
denotado por
significa que para cada dado, existe un correspondiente tal que si
entonces
f x L
lim ( )
x a
Recordemos que equivale a y es decir, y
y si es el intervalo abierto de extremos y esto es,
110
y
Igualmente, equivale a es decir, esto es
Gráficamente, la definición se traduce así
Dado (el radio de un intervalo en el eje de las imágenes) existe (radio de un intervalo
en el eje ) tal que si entonces
EJEMPLOS
1. Si C es una constante y f (x)  C para todo x, entonces lim ( ) .
x a
f x C

 En efecto, dado   0,
debemos encontrar  tal que 0  x  a  implica f (x) C  C C  . Como
C C  0  ,  puede tomar cualquier valor positivo.

   0   0
0  x  a  f (x)  L  .
0  x  a  x  a   x  a  , x  a
a   x  a  , a  ;a   a  , a 
x  a xa  ;a  .
f (x)  L    f (x)  L  , L   f (x)  L  ,
f (x)L  ; L  .
  0   0
x xa  ;a  , x  a, f (x)L  ; L  .

111. f x
 1 .
lim ( ) 1.
x
1
f x    x     x    x    x  
  1 .
f x    x     x    x    x  
f x x x x x 
              

   .
f x x x x 
           
lim ( ) 5.
x
f x    x     x    x   1
f x    x     x    x  
111
2. lim .
x a
x a


Solución: En efecto, dado   0, debemos encontrar   0 tal que, si 0  x  a  , entonces
f (x)  a  x  a  .Así, basta tomar   o  positivo tal que   .
Veamos que si f (x)  4x  3
entonces Escojamos Buscamos que
verifique la condición
Por otra parte,

Así, podemos tomar o un número menor que
Si escogemos ahora
En este caso podemos tomar
De manera general, podemos deducir en términos de

Así, basta tomar o un número menor que
    0

  0  x 1 
La demostración formal es esta: Dado escojamos Si entonces
  
3. Veamos que si entonces Escojamos Buscamos que
verifique la condición
Así, podemos tomar
o un número menor que
Si ahora escogemos
En este caso podemos tomar
De manera general, podemos deducir en términos de
10
0 ( ) 1 1 .
10
 x  a   f x  
( ) 1 1 4 3 1 1 4 4 1 4 1 1 1 1 .
10 10 10 10 40
1
40
40
1 ,
20
 
( ) 1 1 4 3 1 1 4 4 1 4 1 1 1 1 .
20 20 20 20 80
1 .
80
 
  :
( ) 1 4 3 1 4 4 4 1 1 .
4
4
4
  0, .
4
( ) 1 4 3 1 4 4 4 1 4 .
4
 
f (x)  4x  3
2
f x

 1 .
10
0 2 ( ) 5 1 .
10
 x    f x  
( ) 5 1 4 3 5 1 4 8 1 2 1 .
10 10 10 40
40
 
1 .
40
1 ,
20
  ( ) 5 1 4 3 5 1 4 8 1 2 1 .
20 20 20 80
1 .
80
 
  :

112. f x x x x x 
( ) 5 4 3 5 4 8 4 2 1 .
              


   .
Así, basta tomar o un número menor que

  0  x  2 
La demostración formal es la siguiente: Dado escojamos Si
f x x x x 
           

  0  x  a  (mx b) ma b m x a m x a m .
 
lim 2 5 3 7.
x 3
x x
x
x x x x x
x x
x x x
  

 


  0  x 3 
x x x x f x x x
x x

     Es decir que el límite de una suma de
f g x f x g x L M
    con k una constante. Es decir que el límite de una
             Es decir que el límite de un producto de
f g x f x g x L M
112
entonces
4. Más generalmente, si entonces En efecto, dado sea
Si entonces

5. Vamos a probar formalmente que El análisis previo nos dice que dado
estamos buscando tal que implique Pero
Esto nos indica que basta tomar
La demostración formal es la siguiente: Dado sea Si entonces
Propiedades de los límites
Supongamos que lim ( )
x a
f x L

 y lim ( )
x a
gx M

 entonces:
1. lim ( ) lim ( ) lim ( ) .
x  a x  a x 
a
funciones es igual a la suma de los límites de cada función.
2. lim k f ( x ) k lim f ( x ) k L
,
x  a x 
a
constante por una función es igual a la constane por el límite de la función.
3. lim ( ) lim ( ) lim ( ) .
x  a x  a x 
a
funciones es igual al producto de los límites de cada función.
4
4
4
  0 .
4
( ) 5 4 3 5 4 8 4 2 4 .
4
 
f (x)  mx  b, lim ( ) .
x a
f x ma b

    0,
.
m
m

 
          
 
2
3
x x
 x


  0,   0 0  x 3 
2 2 5 3 7 .
3

 
 

    
2 2 5 3 3 2 1 7 7 2 1 7
3 3
2 6 2 3 3 .
2
   
        
 
        
.
2
 
  0, .
2
2 2 5 3  32 1 ( ) 7 7 7 2 1 7 2 3 2 .
3 3 2

                       

113.       Con L y K no simultáneamente nulos.
fx  fx 
L
lim 6 .
x 3
113
4.
f lim f ( x )
x L M
g gx M
 
    
 
lim ( ) x 
a
, con 0.
lim ( )
x a
x a


Es decir que el límite de un cociente de funciones
es igual al cociente de los límites de cada función, supuesto que el límite del denominador
es diferente de cero.
  5. lim  fx ( )  g ( x ) lim g ( x ) lim fx ( ) x 
a
L M
. x  a x 
a
6. Si n f (x) existe, entonces lim n ( ) n lim ( ) n .
x  a x 
a
Observación. En las propiedades anteriores, lo fundamental es la hipótesis de que los límites de las
funciones f y g, existen.
Nota. De las propiedades de los límites se sigue que: Si P(x) es una función polinomial, entonces:
lim P ( x ) 
P ( a
).
x 
a
Muchas veces al tratar de hallar el límite de una fracción, puede suceder que ésta tienda a la forma
0 ,
la misma que se denomina una forma indeterminada. En estos casos es necesario realizar un
0
análisis mas detallado del comportamiento de las funciones para determinar si el límite planteado
existe o no.
Un ejemplo de esta situación es el siguiente:
2
3
x x
 

 x
Si se remplaza x con 3, se obtiene
una expresión de la forma 0 .
0
EJEMPLO RESUELTO
Calcular
2
lim 3 10 .
x 5
5
x x
 

 x
Solución: Si evaluamos directamente dicho límite tenemos:
2
lim 3 10 0
x 5
5 0
x x
 
 x


(indeterminación).
En este caso debemos factorizar el numerador; es decir:
2   
x x x x
 3  10  5 
2 lim 
lim .
x  5 x  5 x  5
x

5
El
factor que produce la indeterminación es x 5, al cancelarlo tenemos nos queda  
lim 2 7.
x
5
x

 
2
x x x
 
lim 3 10 lim 2 7.
x 5 x
Por lo tanto  
  
 x 

5 5

114. Observación. En general, cuando tenemos este tipo de problemas lo que hacemos es únicamente
cancelar el factor de indeterminación basándonos en el hecho de que al considerar el
x x
lim 5 6 .
x 2 3
x
 
  c) 1 2
x x x
  
lim 3 9 2 .
x 6
x

 i) 0
lim 8 .
x 2

  r) 0
lim 1 1 2 .
x x 1 x 1 x
         u)
x x
lim 2 3.
x 5
 
 x)
 
lim ( ) ( ) .
h
114
lim ( ),
x x
0
f x

x se
acerca a x0 pero no llega a tomar el valor x0.
Una vez más es importante recordarle al lector que para el cálculo del límite de f (x) cuando
0 x x no importa si la función está o no definida en 0 x pues x se acerca a 0 x pero no toma
dicho valor.
EJERCICIOS
1. Calcule los siguientes límites:
a)   3 2
lim 3 8
x
5
x x

  b)
2
1 2
 x x
lim3 4 .
x 1
 x


d)
5
x x
lim 4 9 7 .
x 3 6 1
 
  e)
1 6 3
 x x
3 2
2 3
 x x
  f)
2
x

lim 9 .
x 3 2

3
 x x
g)
2
lim 2 3 1.
x 1
1
x x
 
 h) 2
 x
lim 2 .
x  2 2
x
x
 
lim 4 2 .
x
 x
j)
2
lim1  1 
.
x
0 2
x
 x
k)
3
2
x
 x

 l)
3
x

lim 8 .
x  2 x
2

4
lim 2 .
x 2 2
m) 2
x


 x
x
lim 1 .
x 6 3 3
n) o) 1 2

 
 x x
p)
lim 2 3 .
x 49
 
 q) 2
7 2
x
 x
x
lim 2 .
x  x 2
x
x x
  
lim 1 1 .
x
 x
lim 1 1 1 .
x x 2 x 2
s) 0
        t)
1 2
 n  n

    
lim .
x y
x y
 x y
lim 1 .
x 1 2
v) 1 2
x
 x

  w)
3
2 2
 x
3 2
x x x
lim8  3 
4 .
x  0 2 x 
5
x
2
3. En los siguientes ejercicios calcule
0
f x h f x
 h
para:
a. f (x) 1 .
x

b. f (x)  3x2.
4. Calcule

2 2
0
1 1
x x h
lim ( ) .
h
 h


115. Ejemplos fundamentales de límites al infinito:
lim 1 0
x x
lim 1 0
x x
 lim 1 0
, , , ,
Límites infinitos
Sea f una función definida sobre un intervalo de tipoa;.
lim ( )
x
 e) lim  2 5 .
x
  
   i)
lim ( )
x x
115
f x

 
significa: f (x) puede ser tan grande y positivo como uno quiere si x es
suficientemente grande y positivo ”
Se dice en tal caso que “ la función tiende a  cuando x tiende a . ”
Ejemplos fundamentales:
lim x
 
,
x

lim x
2  
,
x

lim x
3  
,
x

lim x
n  
,
x

x
lim  
.
x

Nota. Una función no tiene necesariamente un límite finito o infinito cuando x tiende a .
Considere por ejemplo la función xsen x.
EJERCICIOS
1. Determinar los siguientes límites:
lim 1 1 .
x
   x
  
 
a) 0 2
 x
b)   lim 3 15 .
x
x x

  c) lim  5 2 .
x
x


d)
lim 4 x
3 .
x
x
x


f)
lim  3 x  x
 4 
.
x

lim 5 .
x 2x 1
  
   h)
g) 2
lim 3 1 .
x  5 x
2
 x 2
 x
 
    
lim 3 5 1 .
x  2 x
2
3
Otras propiedades
1. Una función racional se comporta en el infinito como se comporta su término de mayor
grado.
2. Una función racional se comporta en el infinito como el cociente de sus términos de mayor
grado.
3. (Límite de una función compuesta) Si
0
f x M

 y lim ( )
x M
g x L

 entonces
lim ( ( )) .
x x
0
g f x L


lim 1 0
x x
 2
 3
 lim 1 0 x xn
x x


116.   y f (x)  g(x)  h(x) entonces
  x  0
   f (x) 2 x cos 1 x cos 1
lim ( ) 2.
x
116
4. Si
fx hx L
lim ( ) lim ( )
x  x x 
x
0 0
lim ( ) .
x x
0
g x L

 (Este teorema es
conocido como el teorema del emparedado.)
EJEMPLOS
1. Determinar el límite en +  de f , con f (x) 1 sen x .
x
 
x x f x
  
Solución:Tenemos: , por lo tanto para
Como , se obtiene para .
Como , entonces, según el teorema de comparación, tenemos
2. Determinar el límite en 0 de f , con f (x) 2 x cos 1 .
x
 
  
Solución: Tenemos : , por lo tanto .
lim 0
x
Como , se obtiene y dado que , entonces, según el
teorema de comparación, tenemos
0
f x


3) Determinar el límite en  de f , con
f (x) 1 
x 2 .
x

Solución: Sea x un real positivo. Se tiene:
Por lo tanto: (Teorema de orden entre las raíces cuadradas de
reales positivos)
(división por un número real x estrictamente positivo).

  
Como lim 1 1 1,
     
 
x x
entonces lim ( ) 1,
x
f x

 según el teorema del emparedado.
f (x) 1 sen x
x
 
sen sen ( ) 1
x x
x  0
sen x 1 f (x) 1 1
x
lim 1 0
x x
 lim ( ) 1
x
f x


f (x) 2 x cos 1
x
x x
cos 1 1
x
 f (x)  2  x
0
x


x2 1 x2  1 x2
x  1 x2 1 x
1 2 1 1 x 1
x x

117. Continuidad de una función.
Definición. Sea f una función definida en un intervalo I y a un número real del intervalo I. Se
dice que f es continua en a si y solo si lim ( ) ( ).
  es decir dicho límite existe y es finito y como 0 f (x )  k, se
  y como 0 0 f (x )  x , se sigue que:  
 son funciones continuas en I , exepto esta última en los puntos en los cuales el
 Esta función es continua para todo valor de x diferente de cero, ya que x  0 es
117
x a
f x f a


Se dice que f es continua en I si y solo si f es continua en todo punto de I.
EJEMPLOS
1. La función constante es continua en todo punto. En efecto, si f (x)  k, para todo x,
entonces:
fx k k
lim ( ) lim ,
x  x x 
x
0 0
concluye que
0 lim ( ) ( ),
x x
0
f x f x

 lo que nos dice precisamente que la función f es continua en
0x .
2. La función identidad es continua en todo punto. En efecto, si f (x)  x, para todo x,
entonces:
fx x x
lim ( ) lim ,
x  x x 
x
0 0 0
0 lim ( ) .
x x
0
f x f x


El siguiente teorema que enunciamos, constituye una herramienta o un método que nos permitirá
construir funciones continuas a partir de las funciones elementales que acabamos de ver.
Operaciones con funciones continuas
Teorema. Sean f y g dos funciones continuas en un intervalo I.Entonces, f  g, kf , con k una
constante, f g y f
g
denominador se anula.
Consecuencia: Toda función polinomial, racional, irracional o trigonométrica es continua en su
dominio de definición.
EJEMPLOS
1. Sea f (x) 1 .
x
un punto de discontinuidad.
2. Determinar todos aquellos puntos en los cuales la función f definida por 2 ( )
1
f x x
x


es
discontinua.
Solución: Como hemos indicado antes, esta función será discontinua en todos aquellos valores
de x para los cuales x2 1  0; pero sabemos que esta ecuación no tiene solución en . Es
decir, no existe ningún x tal que x2 1  0; en consecuencia f es una función continua
para todo x.
3. Sea f la función definida por
2 1 ( ) .
1
f x x
x



Es claro que f es una función continua, salvo en
el punto x tal que x 1  0, esto es, f es discontinua en x 1.

118. 4. La función f definida por f (x)  x 1, no está definida para todos los x tales que
x 1  0, es decir, para x 1. Si a  1, se tiene que lim 1 1 ( ).
118
x a
x a fa

    Entonces se
sigue que f es continua para todo x salvo para aquellos valores de x tales que x 1.
5. Admitiremos que las funciones seno y coseno son continuas en .
Otras propiedades de las funciones continuas
Teorema. Sea g una función de I en J, continua en I, y f una función continua en J, entonces
f  g es continua en J.
Teorema. Si f es una función no negativa y continua en un intervalo I , entonces f es continua
en I.
Teorema del valor medio. Sea f una función continua en un intervalo I , y sean a y b dos
números reales de I. Para todo real k entre f (a) y f (b), existe (por lo menos) un número real c
entre a y b tal que f (c)  k.
Teorema del valor medio. Sea f una función continua y estrictamente monótona en un intervalo
a,b. Para todo real k entre f (a) y f (b), existe un único número real c entre a y b tal que
f (c)  k.
Cálculo de Límites de Funciones Continuas.
En la definición dada de continuidad tenemos que si f es continua en 0 x debe cumplirse que:
0 lim ( ) ( ),
x x
0
f x f x

 entonces, si al tratar de determinar el límite de una función f en un punto 0 x ,
reconocemos que dicha función es continua, para calcular dicho límite es suficiente evaluarla en el
punto 0x .
EJEMPLOS
1.  3 2  3 2
lim 3 8 2 3 2 8 12,
x
2
x x

       ya que la función real f definida por
f (x)  x3  3x2 8, es continua en x  2.
2.
sen x sen 
lim 1,
x 2
2


     
 

ya que f (x)  sen x es una función continua en .
2

119. EJERCICIOS
1. Hallar una función f que sea discontinua en los puntos 1, 1 y 1 ,

x x
  
    
  
f x x x
x x
f x x x
f x x x
119
x  x  x  pero continua en
2 3
todos los demás puntos.
2. Sea la función f definida por
2
2
( ) 1 .
1
f x x
x x

 
¿Para qué valores de x es continua la función
f ?
3. Indique dónde es discontinua la función f definida por:
x x

 2 , si 
0
     
f x x
( ) 3, si 0
2
x x
1, si 0
4. Sea la función f definida por: 2
2, si 1
( ) 3, si 1 2.
8, si 2
a. Realice un gráfico de la función f .
b. ¿Es f continua en x 1?¿Y en x  2 ?¿Es continua en los demás puntos?¿Es continua por
la izquierda en x 1?¿Es continua por la derecha en x 1?
5. Encontrar los puntos de discontinuidad de las funciones definidas como a continuación se
indica:
a)
2 2
f (x) x 
a .
x a


b)
( ) 6 2  5 
4 .
x
2 1


c) f (x)  x 1x  2
d)
f (x)  x2  2x  2.
e)
3 1 1 ( ) .
1 1
f x x
x
 

( ) 2 .
  f) 4
1
f x
x


f x x
( ) 3 .
g) 3 2

x x x
4 11 30

  
h)
2
( ) 3
 
3 2
x x x
5 7

  i)
2
f x x x
 
( ) 3 .
3
8
x


6. Determinar lim ( )
x
f x

en cada uno de los siguientes casos:
a. f (x)  3x2  5x  7.Una función polinomial se comporta en el infinito como su término de
mayor grado.
b. f (x)  2x3  7x 9.
c. f (x)  2x5  x 13x11  2x7  3x5  x4  x3  x2 1.
d.
2
2
 
( ) 3 1.
1
f x x x
x x

 
Una función racional se comporta en el infinito como el cociente de sus
términos de mayor grado.

120. lim 1.
x
f x x x
 
( ) 3 2 .
120
e.
5 2 3 ( ) .
f x x x
 
2
x


( ) 7 1.
f. 2
1
f x x
x



.
( ) 2 1.
g. 2
1
f x x x
x



(Poner como factor el término de mayor grado.)
h. f (x)  x2  sen x.
i. f (x)  x3  cos x2 .
j. f (x) sen x .
x

k.
2
f x x x x
2  ( ) cos 
1.
2
2
x


(Poner como factor el término de mayor grado.)
l. f (x)  2x 1  x2 .
m. f (x)  4x2 1  2x.
n. f (x)  9x2  x  2  3x 1.
o. ( ) 1 1 .
2 2
f x x
x
 

 
(Levantar la indeterminación utilizando la cantidad conjugada)
7. Estudiar
lim ( )
x
1
f x

en cada uno de los siguientes casos:
a. f (x)  3x2  4x 1.
b. 
f ( x ) 2 x
1 .
2
x x
2 1

 
c.
2
2
f x x x
 
( ) 2 3 5 .

  
x x
3 2
d.
4
( ) 1 .
2

2 3
f x x
x x

 
.
e.  3 
( ) 2 .
1
f x x
x


f. ( ) 1 1 .
2 2
f x x
x
 

 
g.
2 2
sen x
( ) .
1
f x
x



Recuerde que
0
sen x
 x

8. Determinar los límites de f en los extremos de su dominio, en cada uno de los siguientes
casos:
a) ( ) 2 1.
3
f x x
x



b)
2
2
9
x


c)
3
2
f x x

( ) 4 2 .

  
x x
2 3 5
d)
( ) 1 1 .
2 2
f x x
x
 

 
e)
f (x)  2x  sen3x.
f x x x

( ) 1 .
f)  x 2  x 2 3 x
2


  

121. f x f x f x f x f x           
lim ( ); lim ( ); lim ( ); lim ( ); lim ( ).
x x x
          j) 2
  entonces la recta  de ecuación y  L
f x L f x L
   con a un número real y lim  ( )  ,
121
9. Sea
2
2
f x x x
  
( ) 
5 14 .
x x
3  19 
14
a. Mostrar que es raíz del denominador. Deducir el dominio de definición de la función f .
Respuesta: ( ) 7; 2 .
xDom f     
3
 

f x x x
b. En el dominio de f , simplificar f .Respuesta:  
( )  2 , 
7.
x
3 
2
c. Calcular los siguientes límites:
7 2 2
x x
3 3
   
10. Verificar que:
g) lim 2 3 5 2 3 .
x
x x x

   
h)
 x 2
 x
 
      
lim 2 1 2.
x  1
x
2
lim 1 .
x 2
i) 2
x
  x
x
lim 1 .
x 2
         
  x
k)
lim  x 2  x  x
  
1 .
x 
2
lim 1 8.
x x x x 
l)  3
2
 
 
m)
lim  x  2cos x
 
.
x

n)
sen x x

lim cos .
x
11. Demostrar que, para todo x, sen x  cos x  2 y deducir 2
 x
ASÍNTOTAS (horizontal, vertical, oblicua)
Definición de asíntotas.
ii) Si lim ( )  o ,
x a
f x

   entonces la recta  de ecuación x  a se llama asíntota vertical
a la gráfica f C de f .
iii) Si lim ( )  respectivamente lim ( ) ,
x x
 
se llama asíntota horizontal a la gráfica f C de f en  (respectivamente en  ).
f x f x a
iv) Si lim ( ) , lim ( )
  x
x x
x
f x ax b

  con b un
número real, entonces la recta de ecuación y  ax  b se llama asíntota oblicua a la gráfica
f C de f en .

122.    con a un número real y lim  ( )  ,
es asíntota vertical de
M Cf : y =
El número es la distancia con P(x ; L) y
122
f x f x a
v) Si lim ( ) , lim ( )
  x
x x
x
f x ax b

  con b un
número real, entonces la recta  de ecuación y  ax  b se llama asíntota oblicua a la
gráfica f C de f en .
Posición de la curva y de su aíntota
Si f (x) ax  b  0 la gráfica f C se encuentra arriba de su asíntota.
Si f (x) ax  b  0 la gráfica f C se encuentra abajo de su asíntota.
Ejemplos gráficos:
es asíntota horizontal
y
x
P
x
L
Δ
es asíntota oblicua en
b
EJEMPLOS
1. Determinar las asíntotas a la curva f C en cada uno de los siguientes casos:

123. 
( ) 2 1 .

  
2 2 2
f x x x x
( ) 2  1 2  1 2 
1 ,
   
      
x x x x x x
( )   5  1  2 
3 .
f x x
  y   1 1
  
   
f x x x x
      
x x x
123
a. ( ) 3 1
1
f x x
x



b.
2
2
4 3
f x x
x x
Solución:
a. La recta de ecuación x 1 es una asíntota vertical. La recta de ecuación y  3 es una
asíntota horizontal.
b. Como 2 4 3 2
4 3  3  1

se sigue que las rectas de
( ) 2 8 5 ,
ecuaciones x  3 y x 1, son asíntotas verticales. Además 2

4 3
f x x
x x
  
  
de
donde la recta de ecuación y  2 es una asíntota horizontal. No existen asíntotas
oblicuas.
2. Determinar las asíntotas a la curva f C en los casos siguientes:
a. ( ) 2 1 3 .
2
f x x
x
  

b. 2
1 1
f x x
x x
 
Solución:
a. La recta de ecuación x  2 es una asíntota vertical. La recta de ecuación y  2x 1 es una
asíntota oblicua.
b. La recta de ecuación x  1es una asíntota vertical. La recta de ecuación y  5x 1 es
una asíntota oblicua.
3. Sea f la función real definida en 1 por ( ) 3 2 .
1

x


a. Calcular los límites de f en los extremos de su dominio. Determinar las asíntotas de C
. f b. Precisar la posición de la curva con relación a sus asíntotas.
Solución:
a. Como Dom( f )  1  ;11;, x
1 1

lim 3 2
x   1
x
 

porque  x   1 
1
lim 3 2 1
x
  y
 x  1 
1

lim 1  
0 .
x

lim 3 2
x 1 1
1
x

  x
 

porque  x   1 
1
lim 3 2 1
x
x 

lim 1  
0 .
x

2 lim 3 x 2 3  lim x  3 
lim 3 x
2 . x  1  x x  1  1 x

1 
x
x
Asíntotas de : f C
1 : x 1es una asíntota vertical. 2 : y  3 es una asíntota horizontal en  y en .
b. Posición de la curva en relación a sus asíntotas.
Como ( )  3 3 2 3 3 2 3 3 1 0,
1 1 1
  
entonces f (x) 3  0 si
x 1. Por lo tanto f C está arriba de 2  en ;1 y está debajo de 2  en 1;.

124. 4. Las mismas preguntas para las funciones definidas por
f x x x
f x x x
    f x   x
         
  x
    









          

124
3
g x x h x x
( ) 1 y ( ) .
2
x 4 2
x

 
 
Dibujar un bosquejo de la situación.
a. Dom(g)  2;2.
Asíntotas de . g C 1 2 3  : x  2;  : x  2;  : y  0.
b. Dom(h)  2.
Asíntotas de . h C 1 : x  2 y la “rama parabólica” de ecuación y  x2.
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Sea f la función definida en 1 por
2  3 
( ) 3 .
1
x


a. Determinar tres números reales a,b y c tales que , para cualquier x de 1,
( ) .
1
f x ax b c
x
  

Respuesta: ( ) 2 1 .
1
f x x
x
  

b. Deducir que f C tiene una asíntota  oblicua cuando x se acerca a . Precisar, para x
suficientemente grande, la posición relativa de f C y . Respuesta:  : y  x  2 es
asíntota oblicua a f C en  y .
c. En , la curva está arriba de  y en  , la curva está abajo de .
2. Sea f la función definida en 2 por
 2  
( )

3 2
x

y f C su curva representativa
en un sistema de coordenadas cartesianas.
a. Determinar los límites de f en  y . Respuesta: lim f ( x )   ; lim f ( x
)  
.
x x
 
b. Mostrar que, para todo x  2, f (x) se puede escribir como f (x)  ax  b  (x) con
 x
lim ( ) 
0.
x

Respuesta: ( ) 1 1 .
2
f x x
x
   

c. Deducir la existencia de una asíntota oblicua  (precisar su ecuación y la posición relativa
de f C y.) Respuesta: lim ( )  1 lim 1 0.
x x 2
d. Construir f C y sus asíntotas. Respuesta:  : y  x 1es asíntota en  y en . Si
x  0, ( )  1 1 0 (respectivamente 0)
2
f x x
x

entonces f C está arriba de  en
 (respectivamente , abajp de  en . ) El gráfico es

y
x
Graphe Easy - version non enregistrée

125. 3. Sea f la función real definida en  por f (x)  x  x2 1. Mostrar que la curva
representativa f C de f admite a la recta  : y  2x  0 como asíntota oblicua en .
f x x x
 
x x
f x     
 
lim ( ) .
x
 1 
lim 2 .
x 
5
f x x x
 

  
x x
lim ( ) 14 ;
x 9
125
4. Sea f la función real definida por
2
2
( ) 3 8 3 .
2 7 3

 
a. Calcular los siguientes límites, justificando el resultado:
lim ( );
x
1
f x

f x
lim ( );
x

lim ( );
x
3
f x
lim ( );
x
x
 1
2
1
2
f x


f x     
 
lim ( ).
x
1
2
Respuestas:
lim ( ) 4;
x
1
f x

 lim ( ) 3 ;
f x
x 
2

lim ( ) 2;
x
3
f x


lim ( ) ;
x
x
1
2
1
2
f x


 
1
2
 
b. Calcular el límite siguiente:
5
x
 x
Respuesta: 1 .
4
c. A partir de la siguiente representación gráfica de la función g, establecer la tabla de
variaciones de g, indicando los límites.
5. Sea f la función real definida por
2
2
( ) 5 11 2 .
4 11 6
Justificando el resultado, verificar
que:
lim ( ) 4;
x
1
f x

  lim ( ) 5 ;
f x
x 
4
 
2
f x

 
f x     
 
lim ( ) ;
x
3
4
 
f x     
 
lim ( ) .
x
3
4
 
6. Calcular el límite siguiente:
lim 5 3.
x 4
4
x
 

 x
Respuesta: 1 .
6

126. CAPÍTULO 6
DERIVACIÓN
Contenido del capítulo:
 Interpretación geométrica de la derivada. Tangente a una curva
 Derivada de las funciones usuales.
 Derivada de una suma, de un producto y de un cociente.
 Derivada de la función compuesta (regla de la cadena)
 Derivación implícita
 Monotonía y derivación.
 Máximos y mínimos.
 Trazado de curvas.
126
Resultados del Aprendizaje:
1. Encuentra la ecuación de la recta tangente a una curva en un punto dado.
2. Calcula la derivada aplicando la definición.
3. Calcula la derivada aplicando las propiedades de la derivada.
4. Halla los valores óptimos de una función.
5. Traza el gráfico de una función usando la derivada.
Introducción
Todo lo que nos rodea en el mundo físico está en constante cambio; algunas cosas cambian
rápidamente mientras que otras no. Se sabe, por ejemplo, que las plantas crecen y por eso su tamaño
varía, aunque muy lentamente; las alas de los insectos se mueven cuando los insectos vuelan,
aunque ese movimiento es tan rápido que es imposible seguirlo con la vista; el movimiento de un
automóvil es un ejemplo intermedio; su velocidad se puede medir con el velocímetro.
Este capítulo trata de los cambios y, en particular, de la razón de cambio de las cosas y está
dedicado principalmente a construir un modelo matemático para describir y medir la razón de
cambio, es decir, el concepto de derivada de la función.
La idea central del cálculo diferencial es la noción de derivada, que tuvo origen a principios del
siglo XVII, mucho antes de las teorías que se han expuesto anteriormente, siendo Newton y Leibniz
los dos grandes matemáticos que completaron el trabajo de sus predecesores creando realmente un
nuevo cálculo, ya que fueron los primeros que comprendieron la importancia verdadera de la
relación entre el problema de hallar el área de una región dada por una curva y el de hallar la
tangente en un punto de una curva.

127. Como la idea de hallar la tangente a una curva y la de calcular la velocidad están muy relacionadas,
se han escogido estos problemas como punto de partida, ya que están unidos en la formación del
concepto básico del cálculo diferencial.
PARA EMPEZAR
1. En un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares del plano, se define por sus ecuaciones
las rectas: d : y   2 x  5, d : x   5
y d : y  ax  b, donde a y b
son reales dados.
32. Precisar si las afirmaciones siguientes son verdaderas o falsas.
a. La recta tiene como coeficiente director
b. La recta es paralela al eje de las abscisas.
c. Si entonces es paralela a la recta
d. Si es paralela a la recta entonces
e. La recta no tiene coeficiente director.
f. La ordenada en el origen de la recta es
3. Para cada una de las afirmaciones siguientes, precisar la respuesta correcta.
a. El coeficiente director de la recta es:
i. ii. iii. iv.No existe
b. El coeficiente director de la recta es:
i. No existe. ii. 0 iii. iv.
c. El coeficiente director de la recta es:
i. 0 ii. 5 iii. iv. No existe.
d. Si un punto es tal que entonces:
i. ii. iii. iv.
4. Para cada una de las afirmaciones siguientes, precisar la o las respuestas correctas.
a. Sean con El coeficiente director de la recta es
127
1 2
3
1 d 5.
2 d
2
3
a   3 d 1d .
3 d 1d ,
2
3
a  
2 d
3 d b.
 AB
5
2
 5
2
5
2

 AC
2 2.
BC
5
y 
y
x x
D 5 ,
2
C D
C D
 

CD / /  AB DBC BCD CD / / Oy.
A1;1 y M x; x2  x  1.  AM

128. A1;1 y M x; x  x  0 1.
1
x 1


128
2 1
1
x
x


i. ii. x 1 iii. x 1
iv.
1 
x
2
1

x
b. Sean con y diferente de El coeficiente director de la recta
es:
 AM
1
1
x
x


1
1
x
x


i. ii. iii. iv.
c. Sean y el punto de abscisa de la curva representativa de la función
con y de El coeficiente director de la recta es:

i. ii. iii. iv.
5. Encontrar las respuestas correctas.
Considerando el gráfico, la recta dada tiene como coeficiente director o pendiente:
a. 1 para D₁ b) 4 para D₂ c) 3 para D₃ d) para D₅ e) para D₆
f) No existe coeficiente director para D₄.
DERIVADA Y TANGENTE A UNA CURVA
Tasa de crecimiento
Definición. es una función definida en un intervalo son dos números reales del
intervalo con
La tasa de crecimiento de entre es el cociente
1
x 1
A1;1 M 1 h
x 1 ,
x

h  0 1.  AM
1 1
1

h
1

h
1
h
h
h

 1
1 h
1
1 h
5
3
 2
f I ; a y a  h
I h  0.
f a y a  h   ( )
.
f a  h 
f a
h

129. Derivada de una función en un punto
Definición. f es una función definida en un intervalo I ; a y a  h
son dos números reales del
intervalo I con
h  0.
Decir que f es derivable en a significa que cuando h tiende hacia 0
, la tasa de crecimiento
f a h f a
L
 
tiende hacia un número real Se escribe Ese número
f a  h 
f (a)
real es llamado la derivada de la función en y se nota Es decir que
 
Observe que de donde se puede escribir:
f a y
' lim ,
  x
o sea, la derivada de una función es el límite de la razón del incremento de la función al incremento
de la variable, cuando el incremento de la variable tiende a cero.
Para denotar la derivada se emplean diversos símbolos:
 m  y '(x) y  f (x)
129
0 dy o df (x )
dx dx
(Leibniz)
0 y ' o f '(x ) (Lagrange)
Las expresiones: son notaciones para la derivada de una función.
En este texto se utiliza, en general, las notaciones de Leibniz y de Lagrange. Por tanto, se escribe:
 v  s '(t)
o (velocidad del movimiento)
o (pendiente de la tangente a la curva )
h
L.  
0
( )
lim .
h
 h

L f a f '(a).
 
0
( )
'( ) lim .
h
f a h f a
f a
 h

f a  h  f a  y,
 
0
x



df (x),
dx
f '(x)
v ds
dt
m dy
dx

130. x  x2 f '(0)  0,  2 2
1  2; f '(2)  
,
h

1  1
2  h 2 2  2  h 
 lim  lim  lim h
  lim 1  
1 .
h h h 2 2 h 2 2 4
0 0 0   0  
 h  h  h h  h
x x x  0.
f I a I. C
h  0 C.  AM
  ( )
f a  h 
f a
h
h 0, f a h f (a)
f I , a
I.
f A a A f '(a).
130
EJEMPLOS
1. La función es derivable en cero con pues:
x 1
2. La función es derivable en pues:
x
La función no es derivable en
h
0 0
h
 
lim  lim 
0.
h h
 h 
0 0
4
 
Tangente a la curva representativa de una función
es una función definida en un intervalo y derivable en un número real de Sea su curva
representativa en un sistema de coordenadas rectangulares y sean Ax, f (a) y
M a  h, f a  h
con dos puntos de El coeficiente director de la recta es:
.
 
f '(a)
Cuando tiende a el cociente tiende hacia el número real y
h
gráficamente la recta  AM
tiene por “posición límite” la rectaT que pasa por A y de coeficiente
director
f '(a).
Definición. es una función definida en un intervalo derivable en un número real del
intervalo En un sistema de coordenadas rectangulares, la tangente a la curva representativa de la
función en el punto de abscisa es la recta que pasa por y de coeficiente director

131. Una ecuación de la tangente a f C en el punto de abscisa a es
y  f '(a)x  a  f (a).
La ecuación de la recta normal a la curva en el mismo punto A está dada por:
1   ( ).
'( )
y   x  a 
f a
f a
FUNCIÓN DERIVADA
Definición. f es una función definida en un intervalo I. Decir que f
es derivable en el intervalo
I significa que f es derivable en todo número real de I. La función derivada de f
es la función
que, a todo número real x de I , asocia el número f '(x). esta función es notada
f '.
EJERCICIOS RESUELTOS
f  f (x)  x2  2x  3. f
1. es la función definida en por Demostrar que es derivable en 2 y
dar su número derivada en 2.
Solución
f a  h 
f (a)
Para obtener el límite de cuando tiende hacia se comienza por
h
efectuar transformaciones de escritura de ese cociente. Así:
   2   2  
               
f h f h h
2 (2) 2 2 2 3 2 2 2 3
h h
2 2
h h h h h h
4 4 4 2 3 3 2 2.
      
   
h h
h 0, h  2 2.
Si tiende a entonces tiende hacia Luego
f  2  h  
f
(2)
 h
 0 0
lim  lim  2 
2. h h
h  
f f '(2)  2.
f  f (x)  2x2 5x 3.
f .
131
Es decir que es derivable en 2 y que
2. es la función definida en por
h 0,
a. Escribir la forma canónica de la función Dar las coordenadas del vértice.
b. Trazar la curva representativa de f así como la tangente T a C en el punto A
de
abscisa
1.
Solución
a. La forma canónica está dada por:

132. ( ) 2 5 3 2 5 25 25 3
 2      2
   
  f x x x x x
( ) 2 3 2 2 3 9 9 2
           
f x x x x x
            
f a h f a a h a
( ) 2 1 2 1
h h
a ah h a
2  4  2  1  2 
1
ah h a h
h
f a  h 
f a
m ah a
lim lim 4 2 4 .
h h
   
 h 
f x  h  f x x  h  x x  h  x x  h 
x
  
h h h x h x
f x h f x x h x m
  ( )  
lim lim lim 1 1 .
h h h 2
   
 h  h  x h x x
132
b. Las coordenadas del vértice son
2
3. Se considera la función real definida en por Trazar la parábola que
representa así como las tangentes a dicha parábola en los puntos de abscisas
respectivas
Solución
4. Dada la función calcular la pendiente de la tangente a esta curva en y
en
Solución
Para se tiene
h
( )
5. Calcular la pendiente de las tangentes a la curva en:
Solución
Luego
1, 1 ;
x  m  x  2, 2
Para para y para
2 4 2
2 5 31.
2 2
x
 
      
 
5 ; 31 .
2 2
    
 
f  f (x)  2x2 3x  2.
f A y C
1 y 1.
2 2
2
2 4 2
2 3 13.
2 2
x
 
      
 
f (x)  2x2 1, x  a
x  1.
   2 2
2 2 2
2
4 2 4 2.


  
   
0 0
x  1 m  4 1  4.
f (x)  x x 1, x  2 y x  4.
  ( )
1 .
x h x
h x h x x h x
 
 
 
       
 
0 0 0
 
1
2
1
2 2
4, 1 .
m  3
4
x  m 

133. y  2x2  x  2 2;4.
6. Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto
Solución
El cálculo de la pendiente en un punto x  a, aDom( f )
es:
   2   2
               
f a h f a a h a h a a
( ) 2 2 2 2
h h
ah h h a h
4  2 
4 2 1.
   
h
  0
m a h a
lim 4 2 1 4 1.
h
    
x  2 2;4
m  7 y  7x  b, b  10.
k f f (x)  k,
      0 0
f x  h  f x 
f ' x
 lim 
lim
k k 0 0 0
h h
h h
 
lim 0 lim0 0.
  
h
h h
0 0
f   f (x)  x 0 x
      0 0 0 0
f x  h  f x x  h 
x f x
h '  lim  lim  lim  lim1 
1.
0 0 0 0 0
 h  h  h 
h h h h
f x  h  f x a x  h 
ax fx ah aa
'  lim  lim  lim  lim 
.
 h  h  h 
133
Por tanto
2

La pendiente para es 7. La ecuación de la recta tangente que pasa por el punto
con pendiente es de donde se determina que Por tanto, la
ecuación pedida es
y  7x 10.
Derivada de algunas funciones usuales
1. Sea una constante y sea la función real definida por una función constante.
0 x
Si es un número real cualquiera:
 
0 x .
Luego, la función constante es derivable y admite una derivada nula en todo punto de
Así por ejemplo:
y  9 dy 0.
 Si entonces
 Si entonces
dx

y  3 y '  0.
2. Sea la función de en definida por y un número real arbitrario. Se tiene
0 x .
Luego, la función identidad es derivable y admite por derivada 1 en todo punto de
Consideremos la función lineal f de  en  definida por f (x)  ax, con a
una constante,
y un número real cualquiera. Se tiene:
0 x
        0 0 0 0
0 h 0 h 0 h 0 h
0

134. f (x)  ax, 0 x 
Luego, una función lineal definida por es derivable en todo punto de y
f x   x '( ) 3.
5
f x  
f   f (x)  ax  b, a y b 0 x
          0 0 0 0
f x  h  f x  a x  h  b   ax  b fx    ah  aa

' lim lim lim lim .
0 0 0 0 0
 h  h  h 
h h h h
y  ax  b
f (x)  ax  b, f '(x)  a.
f (x)  3x  2 f '(x)  3.
( ) 2 3
f x  x  '( ) 2 .
7
f x 
f f (x)  a x2 , a
       
f x  h  f x a x  h  ax y f x
ax  axh  ah 
ax '  '  lim  lim 
lim 2
h h h
h h h
0 0 0
  
axh ah ax ah ax
lim 2 lim 2 2 .
 
   
f (x)  ax2  f '(x)  ax2 '  2ax.
f   f (x)  xn , n*. 0 x
xn  yn   x  yxn1  xn2 y  xn3 y2  xn1k yk  yn1 .
f x  f x x 
x
n n
0 0
y f x
'  '  lim 
lim
x  x x 
x
x x x x x x x x x x
x  x x 
x
0 0
0 0
   n  1  n  2  n  3 2   n  1  k k  
n

1

0 0 0  0 
0
x 
x
 x n  1 x n  2 x x n  32 x x n  1  k x k x
n

1

       

      

0 0 0 0
lim
lim
x 
x
x x
n n n n k k n

     
1 2 3 2 1 1
0 0 0 0 0 0 0 0
x x x x x x x x
nx
f : x  xn , n* , 0 x   1
134
0 f '(x )  a.
f (x)  ax f '(x)  a, x.
Es decir:
Así por ejemplo:
f (x)  5x f '(x)  5.
( ) 3
 Si entonces
 Si entonces
5
3. Consideremos la función afín de en definida por con y sea
un número real arbitrario. Se tiene
El gráfico de la función lineal es una línea recta, la cual se considera como su
propia tangente.
En resumen, si entonces
Así por ejemplo:
 Si entonces
 Si entonces
7 8
4. Sea la función definida por con una constante no nula. Se tiene:
Por tanto,
2 2 2 2 2
2

h
h h
0 0
 
5. Sea la función de en definida por con Sea un número real
cualquiera. Recordemos la identidad:
Luego:
     
0
0
0
n
1
0
.


 
Luego, la función es derivable en todo punto y
0 0 f '(x )  n xn .

135. f x  x f '( x )  16 x
7 .
f x  f x x  x x  x x 
x
0 0 0 0
'  lim  lim 
lim
   
 
x  x x  x x 
x
0 0 0
0 0 0 0
2 2
lim 0 lim 0
lim 1
  
    
x  x x  x x 
x
1 1 .
2
 
f '( x )  lim f ( x  h )  f ( x )  

lim ( x h )
x
h h
 
    

 ( x  h )  x   ( x  h )  ( x  h )
x   x

    
 
      
 
   
h ( x h ) ( x h )
x x
   
 ( x  h )
   x

    
  
 
 
  
h x  h  x  h x  
x
135
Así por ejemplo:
 Si entonces
 Si entonces
6. Si es la función real definida por con probar que es derivable en
todo punto y
7. Sea definida por Estudiemos la derivabilidad de en un punto
En consecuencia, la función es derivable en todo punto de y se tiene
que
8. Sea definida por Mostremos que la función es
derivable en cualquier punto
1 1
0 0
1 1 1 2 1 1
lim
0 1 2 1 1
1 1
lim
0 1 2 1
( ) ( )
n n
h h
n n n
n n n n n n
h n n n
n n n n
n n
n n
h n n n
n n n



1
n
f (x)  5x3 f '(x)  15x2 .
( ) 2 8
7
7
f f (x)  axn , n* , f
x   '( ) n 1  n . f x anx a d x
dx
   
f :0; f (x)  x. f
0 x  .
        
  
   
     
0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0
f x
x x x x x x x x
x x x x
x x x x x x x x x x
x 
x x
f : x  x x 0;
'( ) 1 .
2
f x
x

f : 0;,
1
f (x)  xn , x  0. f
x .

136. x h x
lim ( )
 
h n n n
0 1 2 1 1
   
h ( x h ) ( x h )
x x
lim

n n n n
h
h n n n
0 1 2 1 1
   
h ( x h ) ( x h )
x x

n n n n
lim 1 1 1 1 .
1 1 1 1 f (x) xn , n f '(x) xn .
     
2
3 '( ) 5 .
f x x 
3
7
8 '( ) 1 .
f x x 
56
f : f (x)  sen x,
  f  x  h   f  x  sen  x  h  
sen  x

'  lim 
lim
2cos
       
       lim  2   2  , pues   2cos
       
0 0 0
136
1 1
0 1 2 1 1 1 1 1
( ) ( )
n
h n n n n
n n n n n n
x
nx nx n x h x h x x

     

 
      
 

 
      
 
   
 
     
 
 
Es decir:
Así por ejemplo:
1
f (x)  5x3
 Si entonces
1
8 ( ) 1
f x  x
 Si entonces
n
7
9. Dada la función definida por se tiene que
0 0
0
 
Es decir que
Se propone como ejercicio, probar que si f (x)  cos x entonces f '(x)  sen x.
10. Derivada de la función logarítmica.
Sea la función real definida por Entonces
2 2
' limcos lim 2 cos , pues lim 2 1.
2
2 2
h h
h
h h h
f x
h h
x h x sen x h x
sen a senb a b sen a b
h
sen h sen h
f x x h x
h h
 

  
   
   
                
 
f (x)  sen x f '(x)  cos x.
f f (x)  ln x, x  0.

137.   f  x  h   f  x   x  h  
 x

 
h h
0 0
  
                    h 0 h 0   h
0
  
   
                   0   0
 
 lim ln 1 x ,
x
Para lo cual es necesario admitir que donde y como
137
se tendrá finalmente que
Es decir que:
EJERCICIOS PROPUESTOS
Utilizando la definición de derivada, estudiar la derivabilidad de la función en el punto en
cada uno de los siguientes casos
1.
2.
f : x 1  , x

3.
3.
4.
x 1 5.
f : x , x
4.
6.
7.
8.
Teorema. Sean una función de en y Si es derivable en entonces
es continua en
Nota: No toda función continua es derivable.
ln ln
' lim lim
ln
lim lim 1 ln 1 lim 1 ln 1 , pues 0.
lim 1 ln 1 1 lim ln 1
1 .
x x
h h
h h
f x
h h
x h
x h x h x
h h x x h x
h h
x x x x
x
 
  
 
   

 1
0
x e

     
e  2,71828
ln e 1, f '(x) 1 .
x

f (x) ln x, con x 0 f '(x) 1 .
x
   
f 0 x ,
4 3
0 f : x 3x  2x , x  1.
3 0
2
x
0 f : x x 1, x  4.
2
0 f : x  x  4x  4, x  2.
0
3
x




  0 f : xsen ax  b , x 1.
  0 f : xcos ax  b , x  .
  0 f : xln 3x , x 1.
f   0 x  Dom( f ). f 0 x ,
f 0 x .

138. EJEMPLO
La función es continua en y tiene una cúspide en ese punto. Las derivadas
laterales en son: por lo que no es derivable en
f (x)  x x  0
x  0 f ' (0) 1 y f ' (0) 1,      f x  0.
EJERCICIOS PROPUESTOS
f
f (x)  x 1  x , ¿ f '(0) existe? ¿Existe f '(1)?
f (x)  x 3 1, f x  3
f (x)  x  2. f x  2
f (x)  x  3 x 1 . ¿Existe f '(3)? ¿Existe f '(1)?
f (x)  x2  x . f x  0
a y b f x  0,
   
 
  
3 2 , si 0
x x a x
f x
( ) .
bx x
2, si 0
 
f a h f a
   
  f a
 
 
lim '( ) 0.
h
 h
f a  h  f (a)  h f '(a)  h (h),  (h)0 h0.
h (h) f a  h
138
1. Sea la función real definida por:
a.
b. ¿es derivable en ?
c. ¿Es derivable en ?
d.
e. ¿Es derivable en ?
2. Determinar los números reales para que la función sea derivable en si
Aproximación afín de una función en una vecindad de
a
De acuerdo a la definición de derivada, cuando una función f es derivable en a,
se tiene:
( )
 (h)
O también, Si llamamos a la
 
f a h f a
f a
 
'( ) lim .
 0
h
( )
h

0
  ( )
f a
'( )
f a  h 
f a

expresión , se deduce que
con cuando
h
Si se desprecia el término se puede escribir una aproximación de en una vecindad
de (es decir para cercano a ) bajo la forma:
a h 0 f a  h  f (a)  h f '(a).

139. h f (a)  h f '(a) f a  h h
Se dice que la función es una “aproximación afín” de cuando es
cercano a
EJERCICIOS
1. Justificar la denominación de “aproximación afín”
2. Escribir una aproximación afín cuando es la función raíz cuadrada y para Encontrar,
sin calculadora, un valor aproximado de los números reales siguientes:
 a  2.
3. Escribir una aproximación afín cuando es la función definida por y
Encontrar, sin calculadora, un valor aproximado de los números reales siguientes:
a.
139
b.
4. En el siguiente gráfico, justificar las tres cantidades indicadas en color.
5. Se considera la función cuadrado y su curva representativa trazada en un sistema de
coordenadas rectangulares. ¿Existe un punto de tal que la tangente a en el punto
sea paralela a la recta de ecuación ?
REGLAS DE DERIVACIÓN
El procedimiento para calcular la derivada usando la definición, es claro y preciso, pero puede
resultar engorroso si la función por derivar toma formas más complicadas, como por ejemplo,
y
0.
f a 1.
1,02, 0,996.
f f (x) 1
x
1 ,
2,004
1 .
1,992
f C
A f C f C A
y  x
4
( )
1
f x x
x


    g(x)  x5 1 12 x7 10 20 .

140. Estamos en condiciones de demostrar teoremas que proporcionen reglas de derivación, por medio
de las cuales la derivada de cualquier función se obtiene más fácilmente, sin necesidad de evaluar
en cada caso el Estos teoremas se demuestran, precisamente, al aplicar la definición de
derivada. Las reglas obtenidas se deben memorizar.
Derivada de una suma de funciones
Teorema. Sean funciones derivables en un intervalo abierto se tiene que
f  g x  h  f  g x f x  h  g x  h  f x 
g x
  
h h
0 0
 
   
' lim lim
h h
0 0
 
lim '( ).
140
Demostración.


lim .
x
h

    
 
Es decir que: La derivada de una suma de dos funciones derivables es igual a la suma de sus
derivadas.
Nota. Se puede demostrar que si son funciones derivables en entonces
Derivada de una constante por una función
Teorema. Sea una función derivable en un intervalo abierto y una constante. Se tiene que
Demostración.
Por tanto,
0
y
  x
f y g I , x  I :
 f  g'(x)  f '(x)  g '(x).
             
   
   
0
0 0
( ) ( )
' lim lim
( ) ( )
lim
( ) ( )
lim lim
h h
'( ) '( ).
f g x
h h
f x h f x g x h g x
h
f x h f x g x h g x
h h
f x g x

   
 
 
f y g x
 f  g'(x)  f '(x)  g '(x).
f I , 
x  I :  f '(x)  f '(x).
             
   
0
h
f x h f x f x h f x
f x
h h
f x h f x
f x
h

 

   
 
 
 
d  f (x) d f (x).
dx dx
 

141. La derivada de una constante multiplicada por una función es la constante por la derivada de la
función, si esta derivada existe.
EJEMPLO
Si donde es un entero positivo y una constante, entonces o
f (x)  kxn , n k f '(x)  knxn1
d kxn  knxn 1.
dx
f (x)  8x7 , f '(x)  56x6 .
f f (x)  2x3  3x2  5x 1,
f '(x)  6x2  6x  5.
g ( ) 1 4 1 3 1 2 1,
n n
  f '( i 
x )   f '( x
),
f x d x x x d x d x d x d
 7 5 3   7   5   3
  
     
'()  5  9  5  3  5  9  5 
3
dx dx dx dx dx
d x 7 d x 5 d x 3 x 6 x 4 x
2
dx dx dx
5 9 5 0 35 45 15 .
      
f y g h h(x)  f (x)g(x), f '(x)
h'(x)   f  g'(x)  f (x)g '(x)  f '(x)g(x).
141
Así,
 
 Si entonces
 Si es la función real definida por entonces
g x  x  x  x  x 
 Si es la función real definida por entonces
4 3 2
g '(x)  x3  x2  x 1.
En base a los dos últimos resultados se puede extender, por inducción matemática, a la suma de
cualquier número finito de funciones y entonces la regla general de la derivada de una suma es
donde los son constantes.
 
1 1
i i i i
i i
 
El resultado anterior es útil, pues proporciona una regla para derivar cualquier función polinomial.
EJEMPLO
Si entonces:
f (x)  5x7  9x5  5x3  3,
Derivada de un producto de funciones
Teorema. Si son funciones y si es la función definida por si y
existen, entonces
g '(x)
La derivada de un producto de dos funciones derivables es igual a la primera función por la
derivada de la segunda función más la segunda función por la derivada de la primera.

142.    
h x k h x f g x k f g x h x
'( )  lim (  )  ( )  (  )  
( ) 
lim
k k
k k
 
0 0
f x k g x k f x g x
lim ( ) ( ) ( ) ( )
k
    
k
f x k g x k f x k g x f x k g x f x g x

(  )  (  )  (  )  ( )  (  )  lim ( )  ( ) 
( )
k
   
f x k g x k g x g x f x k f x
(  ) (  )  ()  () (  ) 
()
g x f x k f x
lim ( ) ( ) ( )
          k

  k

 f x k g x k g x g x f x k f x
   
lim ( ) lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( ) ( )
( ) '( ) ( ) '( ).
    
   
f x, f x.
k k
k k k k
   
0 0 0 0
f (x)g(x)  2x 1x 1  2x2  x 1,  f (x)g(x)'  4x 1,
   
   
f x g x g x f x x g x x f x
( )  '( )  ( )  '( )  2  1 '( )  
1 '( )
x x x
2 1(1) 1(2) 4 1.
     
h(x)  2x3  4x2 3x5  x2 , h'(x).
 3 2  4   2  5 2

h x x x x x x x x x
'( ) 2 4 15 2 6 8 3
     
       
   
 7 6 4 3   7 6 4 3

x x x x x x x x
x x x x
30 60 4 8 18 24 6 8
48 84 10 16 .
 f  g'(x)  f '(x)  g '(x),  y 
f f f  f x 1 2 3 , , , ,n
142
Demostración:
0
0
k

lim
0
k
k
f x k g x k g x

lim ( ) ( ) ( )
    
0
k
k




0
f x g x g x f x
Nota: Como es derivable en es continua en Por ello
f x k f x
lim (  ) 
( ).
k

0
EJEMPLOS
1. Verificar la regla para la derivación del producto de las funciones de en definidas
f y g  
f (x)  2x 1 g(x)  x 1.
por y
Solución
De se sigue que para todo
número real
x.
Si ahora se aplica la regla de la derivada de un producto, se sigue:
2.Si encontrar
Solución
7 6 4 3
Observación. De los resultados anteriores se sigue que
donde son constantes.
n
Generalización. Sean , , , funciones derivables en y     
son
1 2 3 constantes arbitrarias, ,entonces

143.   1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 '( ) '( ) '( )  f  f  f n fn x  f x  f x  f '(x) n fn '(x),
 
      
 
n n n
  
k k k
px ax ax kax
'( ) ' ' .
k k k
k k k
  
f f f f x f x f x f x f x
'( ) '( ) ( ) ( ) ( )
        
 
n n
f x f x f x f x f x f x
( ) '( ) ( ) ( ) ( ) '( )
        
  
 
  
 
f x xm
143
o en forma
abreviada:
 
px ax
( ) ,
Según este resultado, si es la función polinomio definida por se sigue que
Igualmente, la fórmula de la derivada de un producto se generaliza a:
En particular
Así:
n n
 Si y si entonces
 Si entonces
Si entonces
Si entonces
o lo que es lo mismo
En el siguiente ejemplo, vamos a establecer el resultado correspondiente a la derivada de una
función real definida por con un número racional, es decir un número de la forma
con números enteros y
 
n
3. Sea con Como aplicando un resultado anteriormente
establecido, se sigue que:
 
1
'( ) '( ).
n
i i i i
i
 f x  f x

p
0
n
k
k
k

  1
0 0 1
  1 2 3 1 2 3
1 2 1 2
d  f ( x )  n   f ( x )  n  '  n  f ( x )  n  1 f '( x ), n

2. dx
f (x)  x, f '(x)  1 ( )  ( ) ( ), g x  xn  f x n  f n x
'( )  ( ) 1 '( ) 1. g x n f x n f x nxn    
 7 f (x)  3x 1  6    6 f '(x)  7 3x 1 3  21 3x 1 .
 f (x)  x3  5x2  3 5     f '(x)  5 x3  5x2  3 4 3x2 10x .
( ) , '( ) cos y ( )  ( ) , f x  sen x f x  x g x  senn x  f x n
  1 '( ) cos n g x n senx x   g '(x)  n senn1x cos x.
f (x)  xr , r
n ,
m
n y m m  0.
f (x)  xr , r n .
m
1
( ) ,

144.  
     
f '( x ) n x d x nx 1
x
       
dx m
     
f x  x  x  f x  x  x
f x x x f x x x        
f x x x x x
'( ) 3 2 ' 3 ' 2
     
   
   
  
x x x
x x x
x x
fx x x x x
 
   
   
x sen x sen x x
sen x x sen x
f x x x d x x d x x
'( )   2  1 2  1  2  1  2 
1
dx dx
                
        
          
      
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x x x
2 1 4 2 1 2 2 1 2 2 1 3 2
8 2 1 2 1 22 1 2 1 3 2
2 2 1 2 1 4 2 1 3 2 2 1
2 2 1 2 1 10 3 12 2.
144
En consecuencia:
Así:


4. Si es la función definida por entonces
5. Si podemos aplicar la fórmula de la derivada de una producto, puesto que
y en este caso:
6. Si entonces
7. Si entonces
1 1 1 1 1 1
1 11 1 1
.
n n
m m m m
n n
m m m r
n x n x rx
m m


   
  
f (x)  xr , con r  f '(x)  rxr1.
5 3 3 1
2 2 2 2 ( ) '( ) 5 3 .
2 2
7 1 15 1
8 2 8 2 ( ) '( ) 7 1 .
8 2
f f (x)  x2  3 x  2,
 2    2
  
 2
    
2 2
2
3 1 2 2
3 2 6
3 6 3.
f (x)  cos2 x,
f (x)  cos x cos x
   
   
( ) cos cos ' cos 'cos
cos cos
2 cos (2).
    f (x)  x3  2x 1 2 2x 1 4 ,
 3  2   4   4  3 
2
 3  2   3     4  3  2

 3  2   3   4  3  2

 3   3  3   2
 
 3  3  3 2

 3  3 f (x)  x 1 x 1

145. f x x d x x d x
       
       
       
     
   
3 3 3 3
'( ) 1 1 1 1
     
dx dx
  3   2    3   2
    
     
     
  
x x x x
x x x x
x x x x
x x x
1 3 1 1 3 1
3 2 3 2
3 1 1 3 1 1
3 1 2 1 2
1 1
6 1 2 1 2
.
Derivada de un cociente de dos funciones derivables
f I ,
 I , x I ,
   
     
   
x d f x
1 '( ) 1 '( ) .
f dx fx f x
( ) ( )
   
                 
 
1 ( x h ) 1 ( x
) 1 1
f f f x h f x x
1 '( ) lim lim ( ) ( )
f h  0 h h

0
h
f ( x )  f ( x 
h
)
f x f x h f x f x h
lim ( ) ( ) lim ( ) ( )
    
h fx f x h h
h h
 
0 0

f x h f x
 lim 1 lim ( ) 
( )
f x f x h h
( ) ( 
)
1 '( ) '( ) .
( ) ( )
h h
0 0
 
f x f x
    
   
( ) ( )
2 2
f x f x
  
  
 
f x g x f x f x g x
g g x
'( ) ( ) '( ) ( ) '( ) .
145
Derivada de
1
f
Propiedad. Si una función está definida, es derivable y no se anula en un intervalo entonces
la función definida en por es derivable en y para todo real de se tiene:
1
f
Demostración
I , 1
f x
( )
x
 2
 
Derivada del cociente de dos funciones
Propiedad.Si f y g son dos funciones definidas y derivables en un mismo intervalo I ,
en el cual
g no se anula, entonces la función cociente f
definida en I por x f ( x
)
 es derivable en I ,
y
g
g ( x
)
para todo real de
x I :
 ( )
2

146. x x d x x d x x
 2   4   3  1    3  1   2
 
4

h x dx dx
 
2 2
4
x x
 
 x  x  4  3    3 x  1  2 x

1

 
2 2
x x
x x
x x
 
3 2 11.
x d x x d x
 5  1   2  3    2  3   5 
1

f x dx dx
2
x
5 
1
 x    x
 
5  1 2  2  3 5 
17 .
 
 5 x  1   5 x

1

f x x
f ( ) 1,
1
x


x d x x d x
  1    1     1   
1

f x dx dx
 
2
1
x


      1 1 1 1 
    1     1   1
    
x x x x
        
x x x
x x
2 2 2
   
2 2
1 1
 
 
 
     
1 2
2 1 , 0.
x x
x x x
   
2 2
1 1
 
( ) 1 , n f x
146
Para memorizar:
    
  
 
f ' g f ' f g ' .
g g
2
Utilizar las fórmulas de derivación del producto y del cociente
EJEMPLOS
h x x

( ) 
3 1 ,
1. Si entonces:
2
4
x x
 
'( )


  

f x x

( ) 
2 3
2. Si entonces
2
2
 
2 2
4
4
 
x
5 
1
 
2 2
( )

3. Si es la función definida por 
entonces
 
'( )

f (x)  xn , n ,
4. Si entonces como aplicando la propiedad de la derivada de
x
un cociente de dos funciones se sigue:


147. x d d x dx dx x nx f x
n n n n
 
 
n n
   

  
f '(x)  2(  3)x     6x    6 , x 
0.
cos x d sen x  sen x d cos x dx dx cos x cos
x  sen x 
sen x f x
 
2 2
x x
x sen x x
x x
  
             
 
  
147
Es decir que
Así, si entonces
Observación: Hemos probado antes que si con entonces y
acabamos de establecer que si con entonces De los dos
resultados, podemos concluir que:
Si es cualquier entero positivo, negativo o nulo, entonces:
y obviamente
donde es una constante.
Así por ejemplo, si entonces
Derivada de las demás funciones trigonométricas
Utilicemos la regla de la derivada de un cociente, para calcular la derivada de las funciones
trigonométricas tangente, cotangente, secante y cosecante.
f x x sen x
1. Sea entonces
Es decir:
2 2

El dominio de es:
       1 
2 2
1
1 2 1
2
1 (1) 0 (1)
'( )
.
n
n n n
n
x x
nx nx nx
x


   
f (x)  xn , n , f '(x)  nxn1.
f (x)  x20 f '(x)  20x21.
f (x)  xn , n , f '(x)  nxn1
f (x)  xn n , f '(x)  nxn1.
n
d xn   nxn 
1 ,
dx
d  xn  nxn 1 ,
dx
   
f (x)  2x3 , x  0,
3 1 4
4
x
( ) tan ,
cos
x
 
   
 
 
 
   
2
2 2
( )
cos cos
cos 1 sec .
cos cos
f (x)  tan x f '(x)  sec2 x.
f (x)  tan x
, 5 , 3 , , , 3 , 5 , .
2 2 2 2 2 2

148. La función derivada tiene el mismo dominio.
 sen x  d  cos x    cos x  d  sen x 
sen x  sen x 
cos x cos
x f x
 dx dx 
2 2
sen x sen x
2 2 2 2
sen x cos x sen x cos
x
sen x sen x
  
 
   
 
2 2
f (x)  cot x  f '(x)  csc2 x.
x d d x dx dx x sen x f x
 cos   1   1  cos   cos  0
   

 
 
 
   
2 2
x x
cos cos
sen x sen x x x
x x x
cos cos cos
f (x)  sec x f '(x)  sec x tan x.
f (x)  csc x f '(x)  csc x cot x.
I , f '(x) x I.
f .
f (x);
148
f (x)  cot x 
cos x
2.Si entonces
Es decir:
sen x
 
1 csc 2
.
   
2
'( )
sen x
( ) sec 1 ,
f x x
 
3.Si entonces
Es decir:
cos
x
2
'( )
Nota. Se verifica fácilmente que si
     
 
x
1 tan sec .
EJERCICIOS PROPUESTOS
f , I ,
1. En cada uno de los siguientes casos, justificar que la función definida en el intervalo es
derivable en y luego calcular para todo real de
a.
b.
c.
f : x x x; I  0;.
: 1 ; .
f x I
 
2
1
x


2 2 3 : ; ; .
f x x x I
      x
   
2 3 2

2. En cada caso, la función es derivable en Determinar su función derivada de dos manera
diferentes: Luego de haber desarrollado utilizando la derivación de un producto o de un
cociente.

149. f (x)  5x  3x2 1  2 f (x)  5x  3 f (x)  x4  x 1x2 1
f (x)  5x  3x2 1
a) b) c)
d)
( ) 3
e) f)
( ) 1
149
g)
h) 3
1
f x x
x



i)
( ) 3 1
3 1 ( )
1
f x x
x



 
3. Se considera la función definida en el intervalo por y la función
definida en por donde son números reales. Se trata de determinar
los valores de para que las curvas admitan la misma tangente en el punto
de de coordenadas Se dice en ese caso que las curvas son tangentes en el
punto Encontrar la ecuación de la tangente a en Se supone que son
tangentes en el punto Expresar los valores de en función de Deducir de
la parte anterior la expresión de los reales en función de Dar la expresión de
únicamente con ayuda del real
f x x

4. Se considera la curva representativa de la función definida por: La recta
x
es tangente a la curva en su punto de abscisa 1. Determinar si existe un punto
distinto de tal que la tangente a en su punto sea paralela a y determinar en
ese caso la ecuación de dicha tangente. Determinar la ecuación de la recta tangente Si se
denomina la abscisa de ¿Cuál es el valor de en el caso en el cual sean
paralelas? Demostrar que
Solución
5. En cada uno de los siguientes casos, hallar
 1
2
f x x
x


 2
1
f x x
x



2
2
( ) 1
1
f x x x
x x

 
f 0; f (x)  x g
 g(x)  ax2  bx  c, a,b,c
a,b y c y f g C C T
A f C 1;1. y f g C C
A. T f C A. y f g C C
A. g(1) y g '(1) a,b y c.
a y b c. g(x)
c.
f C f ( ) 2 1.
2 1


T f C A B
A D f C B T,
T.
b B. f '(b) T y D
 2 T / /D 2b 1 1.
T : y  4x  7; b  0; D : y  4x 1
dy .
dx

150. y  9x5 y  4x13 5 8
j) k) c)
l) m) n)
y   x
y  x  x  x y  x  x  3
o) p) q)
y x 1
     
 
( ) 2 1
f x sen x sen x
 
( ) 1
sen x
f x x x
150
r)
s) t)
y 1

 
     
6. Determinar la función derivada, cuando ella existe, de cada una de las siguientes funciones
reales.
a) b) c)
d)
e) f)
g)
h) i)
( ) 1
f x sen x
sen x

f x x

( ) 1
j) l)
m.
n.
7. Sea la función definida en por
f x sen x
a. ¿Es continua en todo punto de su dominio de definición?.
b. ¿Es derivable en ?
c. Determinar la función derivada y su dominio de definición.
( ) 1 4
8. Dada la función definida en por ¿Es f continua en ? ¿Es
derivable en ?
9. Determinar las funciones derivadas de las siguientes funciones definidas por
Precisar el dominio de derivabilidad de cada función.
a.
b.
c.
d.
3
y  5x4  2x 1 y  3x4  6x2  2x  3
3
x

y  x3  x 3 5 .
2
y x 1
x

2
2
x
3 y 1
x x
3
1
f x
x x

 
f (x)  x2  3 x  2 f (x)  2x 13x  4
( ) 2 1
2 1


f (x)  tan x  cot x ( ) 1 2
cos
x


( ) 1 tan
1 tan
x


  2 1
3
f x x
x


  3
2
f x x
x
  

2
2 5
f x x
x x

 
2
2
2 1


f (x)  sec3 x  csc2 x  cot3 x
     f (x)  x  2 2 x  2 3 x2  4 4
f (x)  tan3 x  4 tan2 x  5tan x 1
f 
( ) 2 1 .
2
f x x
x
  

f
f 0 x  2
f '
f 
2 2 ( ) .
1
x



x  0 f
x  0
x f (x).
f (x)  3x2  x  2
f (x)  3x 1 x2
f (x)  x2  7x  6
f (x)  x2  4  5 x  6

151. 151
e.
10. ¿Cómo se debe escoger el número real para que la función sea derivable en el punto
?
a.
b.
c.
d.
e.
    
    
 
x x x x f x x
x
x x
1, si 1
  
 
  
( ) .
 x   x  
x

      
 f x x x
f x x x
 
11. Dada la función real definida para todo distinto de por Muestre
que la curva representativa de admite 2 rectas tangentes paralelas a la recta de ecuación
Calcule las coordenadas de cada una de los puntos de contacto y escriba la ecuación
de cada una de las rectas tangentes.
12. Sean dos números reales y la función real definida por Determine
para que la gráfica de pase por el punto y admita en ese punto una recta
tangente paralela al eje de las abscisas.
13. Hallar la ecuación de la recta tangente a la representación gráfica de la función real en el
punto que se indica en cada uno de los casos siguientes.
a.
b.
14. Calcular la pendiente (coeficiente director) de la recta tangente a la curva representada por cada
una de las funciones siguientes reales definidas por en el punto de abscisa dado.
a.
b.
c.
f (x)  x 3 2x 1
 f
x  1
2
f (x) x
x 


f (x)  x   x 1
2 3 3 , si 1 ( ) 1 .
3, si 1
2
3 , si 1
f x
 x x x
2 2 2 2 , si 1
( ) 2 , si 1 .
2
3, si 1
x
x


  
f x 1
2 3 6 ( ) .
1
x


f
y  3x.
a y b f f (x) ax b 8 .
x
  
a y b f A2;6
f
0 M
5    
0 f (x)  x x 1 , M  1;0 .
  0 f (x)  sen x, M   ;0 .
f (x), 0 x
f x x x
( ) 3 , 1.
0
1 2
x

 

2
f x x x x
( )  2 5 , 
4.
0
 
3
x

0
2 3
( ) , 1.
5
x
f x x
x

 


152. 15. Determinar la abscisa de los puntos de las curvas representativas de las siguientes funciones, en
los cuales la recta tangente tiene una pendiente dada. Cada una de las funciones está
definida por
a.
2 m 1 x 5 m
7
f x
  

( ) ,
x m
 
m C m m C
A f ,
 y  x 1,
m P y  mx2  2m1 x  3m, m .
m, 5 , 2 .
B, m.
152
b.
c.
d.
m
f (x).
( ) 2 3 4, 3 .
2
f x  x  x  m 
f x x m

( )  1 3 , 
2.
x
2 
3
( )  22  3, 1 .
2
f x  x  x  m 
f x x m

( )  2 5 , 
2 .
1 5
x

f
16. Sea la función definida por donde es un parámetro real y
3
m
sea su curva representativa. ¿Para qué valor de la curva es tangente a la recta de
ecuación ? ¿Cuál es entonces el punto de contacto?
y  4x 1
17. Determinar los puntos de la gráfica de la función en los cuales la recta tangente es

paralela a la recta dada.
a.
b.
c.
d.
e.
f (x)  x2  3,  : y  2x  5.
f (x)  x3  3x,  : y  7.
f (x)  1 ,  : y  4x 
9.
x
f (x)  x ,  : y  x  3.
f (x)  x  x x,  : y  2x.
18. Demostrar que la recta de ecuación es tangente en dos puntos distintos a la curva
C y  x4  2x2  2x
de ecuación .
19. Una familia de parábolas tiene por ecuación: con
a. Determinar la ecuación de la recta tangente a P en el punto de abscisa
x  m 2.
b. Verificar que, para todo valor de esta tangente pasa por el punto
c. Determinar la ecuación de la recta tangente a en el punto de abscisa y el punto
m P x  2
por el cual pasa esa recta tangente cualquiera que sea el valor de
A    
2
 
Derivadas sucesivas
Definición.. Si la derivada f ' de una función f es derivable en un intervalo abierto I de ,
se
dice que la derivada de la función es la derivada segunda de la función Se la nota
 f '' f ' f .
f ''.

153. Puede suceder que admita a su vez una derivada. Se nota dicha derivada y se la denomina
derivada tercera de Siguiendo este proceso, se define, si ellas existen, las derivadas sucesivas de
la función que se las nota
Si existe para todo se dice que es veces derivable en dicho intervalo.
De manera general, se tiene: si ella existe.
  f  f (x),
Se nota también y si hacemos escribiremos también
n
y d y y d y y n
d f
   
EJEMPLO
Si entonces y
para todo
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Sea la función real definida por Mostrar que es dos veces derivable sobre
n g x x n 
153
y que para todo número real
2. Determinar las derivadas sucesivas de la función definida en por
3. Sean las funciones de definidas por y
      
     
a. Mostrar que y
b. Deducir las derivadas enésimas de las funciones reales definidas por
c. Determinar:
i. La derivada de orden 20 de la función
ii. La derivada de orden 31 de la función
iii. La derivada de orden de la función
4. Sea la función definida en por
a. Mostrar que:
b. Mostrar por inducción que
5.Sea
f '' f '''
f .
f , f ', f '', f ''', f (4) , f (5) ,, f (n) .
f (n) (x) xa,b, f n
f (n) (x)   f (n1) '
2
2 ''( ) , ,
n
n
f x d f d f
dx dx
2 3
( )
'' , ''' , , .
2 3 n
dx dx dx
f (x)  x4 f '(x)  4x3 , f ''(x)  12x2 , f '''(x)  24x, f (4) (x)  24, f (5) (x)  0
n, con n  5, f ( x) (x)  0.
f f (x)  x3 . f 
x, f ''(x)  6 x .
h 
f y g  en , f (x)  sen x g(x)  cos x.
( )( )
2
f n x sen x n
 
( )( ) cos .
2
 
s y t
s(t)  senax  b, t(x)  cosax  b.
x sen x 
.
2

x  cos3x.
 
 
n x  sen2 x.
f  f (x)  1 x2 .
x, 1 x2  f '(x)  xf (x).
x,
1 x2  f (n2) (x)  2n 1 xf (n1) (x)  n2 1 f (n) (x)  0.
f (x)  5x3  ax2  bx  c.

154. k,
a. Determinar la constante para que se tenga
f (x)  k  x 1 f '(x)  x2 1 f ''(x)  0, cualquiera que sea el real
x.
1 .
 1 1
1 x 2 1 x 2 1 x
x  1 x  1, 2    
  n
  n
             
1 1 n

! 1 1 .
1 x 2 2 2 1 x n 1 2 1
x
n
1
p(x) p''(x)  6
f f (x)  ax3  bx2  cx  d.
f .
0 x , h   :
2 3
f  x  h   f  x   hf '  x   h f ''  x   h f '''  x

.
0 0 0 2 0 6
0 f (x)  x3  2x2  x  3, f (1,002).
154
b. Calcular los coeficientes
a,b y c.
6. Mostrar que, para todo y se tiene: Deducir que se
tiene, para todo entero
  
n  1:
 
   
( )
1
 
7. Determinar un polinomio de tercer grado tal que: y que
p x  x p x  p x 
( ) '( ) ''( ) 0.
3
8. Sea la función polinomio definida por
a. Determinar las derivadas sucesivas de
b. Mostrar que para todo para todo
c. Si calcular un valor aproximado de
Derivación de funciones compuestas. Derivación en cadena
Teorema. Sea u  f  g, si g es derivable en x y f es derivable en g(x), entonces u
es
derivable en x y
u '(x)  f '(g(x))g '(x).
Esta fórmula es muy importante y recibe el nombre de regla de la cadena (o regla de la derivada de
la función de función), porque una composición de funciones puede denominarse cadena de
funciones y es, en cierto modo, una función de función. Su verificación se ilustra mediante el
esquema de la figura siguiente.

155. Demostración del teorema (admitida)
EJEMPLOS
1. se puede escribir bajo la forma donde
u(x)  cos 5x2 , u(x)  f g(x),
f (x)  cos x, g(x)  5x2 g '(x) 10x, f '(x)  sen x
f ' g(x)  f '5x2   sen5x2 , u '(x)  10x sen5x2 .
u(x)  x2  5x 1, u(x) u(x)  f g(x),
y como y
se tiene
2. Si entonces podemos escribir bajo la forma:
( ) 2 5 1, ( ) , '( ) 2 5, '( ) 1
donde y
y ' ( ) ' 5 1 1 .
u x f g x g x x x

'( )  ' ( ) '( )  1 2  5 
2 5 .
x x x x
f x x x f x x x

( )   4  '( )  1 2  4 
2 .
x x x x
               
 
    
 
 3 y  2  x  2    2 dy 3 2 x 1 3 2 x .
( ) 2 2 '( ) cos 2
2 2 1
f x sen x x f x x x x
y  x5  3 5       2 1 3 5 5 4 4 5 5 2 3 5 2 3 .
dy x x x x
dx
     
d d x x x x x x x x y dx dx
4 4 4 1 ' 4
x x
4 4
155
Luego
3.
4.
2 1 cos 2 .
5. Si entonces
6. Si entonces
7. Si hallar
Solución
4
4 4 .
4 4
8.Si hallar
Solución
2
g x x x f x x g x x f x
x
      
   2 
2
2 5 1
f g x f x x
x x
   
 
   
2 2
2  5  1 2  5 
1
2  
2 2
2  4 
4
   
 2

x
x x x
x
dx
    
 2
5
2
,
4
y x
x


dy .
dx
   
 
 
 
2
2 2
2
2 2
2
2 2
2
2 3
2 2
x x
x
x x
 
      
    
 
 
  


    y  x3  5 4 x7 13 5 , dy .
dx

156. y x d x x d x
 3  4  7  5   7  5  3  4
    
             
     
       
    
y x x , hallar dy .
' 5 13 13 5
dx dx
3 4 7 4 6 7 5 3 3 2
x 5 5 x 13 7 x x 13 4 x 5 3
x
35 x x 5 x 13 12 x x 13 x
5
x x 5 x 13 35 x x 5 12 x
13
x x 5 x 13 47 x 175 x
156 .
   
y x x x x y x x x x x
           
y x
 2      2  2
 
y csc 3 x 1 y ' csc 3 x 1 cot 3 x 1 6
x
y x x x
          
156
9.Si
Solución
10.Si entonces
11. Si entonces
12. Hallar la derivada de
Solución
13. Hallar la derivada de
Solución
14.
15.
16.
       
           
       
       
     
6 3 4 7 4 2 7 5 3 3
2 3 3 7 4 4 3 7
2 3 3 7 4 7 4
dx
 
        1 1 1 1
2 2 2 = ' 1 1 1 1 1 2
2 2 4
' 1 2 .
4
x x
y x
x x x
 

 

y  cos(sen x) y '  cos x sen(sen x).
y  tan x ' 1 sec2  .
2
x

y  senx2 .
y  senx2  y '  cosx2  2x y '  2x cos x2 .
y  csc3x2 1.
       
 2   2

' 6 csc3 1cot 3 1.
   
f (x) x ln x x f '(x) x 1 ln x 1 ln x.
x
 
f (x) ln x f '(x) 1 2x 2 .
2  
   
2
x x
f (x) ln x2 f '(x) 2ln x 1 2 ln x.
       
x x
 

157.  2   
 
( ) ln 1 '( ) 1 1 1 2
fx x x f x x
       
2 2
x x x
1 2 1
    
 
f '( x ) 1 1
x
    
2 2
x x x
1 1
    
'( ) 1 .
f g g(x)  f ax b
( ) 1
 x 3 x
4
f ( x ) ln
x
f x sen x
  
4 3 2
x x x x
2 , si 1
  
       
f x x x x
( ) 1 .
157
17.
2
1
f x
x
 

18. Si es una función real derivable y es la función definida por se
sigue que
g '(x)  a f '(ax b).
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Determinar las funciones derivadas, cuando ellas existen, de las siguientes funciones reales:
a)
1
f x

 
b) c)
d)
e) f)
 f (x)  x4  x2 1 7
        
g) h)
i)
j)
( )
f x  ex  ex
x  1 2   1  x
 1
2
  
k) f (x)  cos x  xecos x l) f (x)  1 x2ecos x
x x
 
2. Sea la función real definida por:
a. ¿La función es continua en ?, ¿y en ?
b. ¿ es derivable en ?, ¿en ?
3. Sea la función real definida por
a. Determinar su función derivada primera y verificar la relación:
b. Deducir que la derivada segunda verifica la relación:
4. Se considera la función definida por
a. Demostrar por inducción que la derivada de orden de es tal que:
1
f x x
x x

 
f (x)  x  1 x2
 1 ln
x
2


( ) 1  
2
( ) ln 1
2
f x x
x
( ) 1
1 cos
x



   
 
3
( )
1 1
f x
x
 
 1 2
( )
1
f x
x


f
  2

( ) 1 1
1 , si x
1
3
f x  1 x  0
f x  0 x  1
f f (x)  x  1 x2 .
2 f '(x) 1 x2  f (x).
4 f '(x)1 x2  4xf '(x)  f (x)  0.
f 2
1
f x
x


( )
( ) ( ) ,
n f  
2 1
1
n n
n
f x P x

x 


158. Pn (x) n.
donde designa un polinomio de grado
n P  2   
    
dz  dz dv du  dz  cos v 
senu 2 senx cos
x
dx dv du dx dx
dz sen x x sen sen x sen x
dx
158
b. Demostrar que verifica la igualdad:
c. Calcular para
5. Calcular si
Regla de la cadena en la notación de Leibniz
La regla de la cadena (o derivada de la función compuesta) constituye un ejemplo excelente para
mostrar la utilidad de la notación usada por Leibniz para la derivada. Así:
Si haciendo y tendremos
y en consecuencia:
EJEMPLOS
1. Si entonces
2. Si entonces
 
 
Derivación implícita
Una ecuación de la forma define implícitamente a como una función de es decir,
aunque en muchos casos no será posible despejar de es decir, no
podremos en general definir explícitamente a en términos de y sin embargo nuestro objetivo
es calcular Así por ejemplo, la ecuación representa un círculo de centro el origen
y radio Dicha ecuación permite (en este caso) definir dos funciones: y
De acuerdo con la regla de la cadena:
1( ) 1 '( ) 2 1 ( ). n n n P x x P x n P x     
( ) i P
x 1  i  4.
g '(x) g(x)  f  x2 1.
u(x)  f g(x), z  u(x) y  g(x), z f ( y), dz u '(x),
dx
dy  g '(x), dz 
f '( y)
dx dy
u '(x) f ' g(x) g '(x) f '( y)g '(x) du dz dz dy .
dx dx dy dx
z  sen y, y  x  x2 ,
dz  dz dy  dz  cos y1  2x  dz  1  2xcosx 
x2 .
dx dy dx dx dx
z  senv, v  cosu, u  sen2 x,
   
 2    2 
2 cos coscos .
F(x, y)  0 y x;
y  f (x), y F(x, y)  0;
y x
y '. x2  y2  r2 ,
r. f (x)  r2  x2
g(x)   r2  x2 .

159.  
f x x x f x
'( )   , si ( ) 
0,
r x f x
 
g x x x x x
'( )    , si g( ) 
0.
r x r x g x
Si hacemos las dos fórmulas anteriores pueden combinarse en una sola, a
saber

 
Otra de las aplicaciones de la regla de la cadena se encuentra precisamente en el método de
derivación implícita. Para explicar en qué consiste dicho método, obtendremos el resultado
anterior de otra manera.
Recordemos que es función de es decir Entonces, supongamos que
luego Derivando directamente ambos miembros con respecto a
tenemos: o lo que es lo mismo de lo cual se concluye que
   Si hacemos y  g(x), se obtiene igualmente
y '  x , con y 
0.
Se dice entonces que la ecuación define a implícitamente como función de y a
este proceso de obtención de la derivada se denomina derivación implicíta.
EJEMPLOS
1. Consideremos ahora la ecuación que no se puede resolver
explícitamente para como función de Sin embargo, podemos suponer que dicha ecuación
define a implícitamente como función de es decir, supondremos que
Tendremos entonces que la ecuación anterior, reemplazando con se transforma en:
Por tanto, la derivada de ambos miembros de (1) con respecto a es
y x
' 6 2 .
18 5 2
159
de donde
y despejando
2 2
( )

2 2 2 2
( )
  
y  f (x) o y  g(x),
y ' x , y 0.
y
y x; y  f (x) o y  g(x).
y  f (x), x2  f (x)2  r2. x
2x  2 f (x) f '(x)  0 x  yy '  0,
y ' x , con y 0.
y
y
x2  y2  r2 y y x
x6  2x  3y6  y5  y2 ,
y x.
y x, y  f (x).
y f (x)
x6  2x  3 f (x)6  f (x)5  f (x)2 .
x,
6x5  2 18 f (x)5 f '(x)  5 f (x)4 f '(x)  2 f (x) f '(x),
18 f (x)5  5 f (x)4  2 f (x) f '(x)  6x5  2,
f '(x) :
5

5 4
y y y

 

160. y x x y y
Esta es la derivada de con respecto a cuando están relacionadas por la ecuación
5
y x

' 
6 2
18 5 2
es decir que se verifica solamente en el caso de
x6  2x  3y6  y5  y2 ,
5 4
y  y 
y
x, y x6  2x  3y6  y5  y2.
pares que satisfacen la ecuación
Se verifica fácilmente que el punto 1;1
satisface la ecuación de la curva. La pendiente de
la recta tangente a la curva en el punto 1;1 se obtiene al sustituir por x  1, y  1,
de
manera que
m x
6 .
 2  6 
2 8  
y y y 
18  5  2  18  5 
2 21
 
 x2 y  y3  x2 y2  2x 1  0.
y  f (x), x2  f (x) f (x)3  x2  f (x)2  2x 1  0,
x2 f '(x)  2x f (x)  3 f (x)2 f '(x)  2x2  f (x) f '(x)  2x f (x)2  2  0,
x2 y ' 2x y  3y2 y ' 2x2 yy ' 2xy2  2  0,
2
y xy xy
 
' 2 2 2 .
2 2 2
x  3 y 
2
xy
x x senxy  2,
1 ',
1 y  xy 'cosxy  0  
y xy

x y y y x xy y xy x y x y y y y y x
3 ' 6 ' 3 ' 6 ' 6 .
                    
exy  y ln x  cos2x, con x  0.
e xy xy y y x y sen x xe xy x y y ye xy
sen x
´    ln '  2 2   ln '    
2 (2)
x x
160
y ' dy .
2. Calcular si
5
5 4
1: 1
dx
Solución
Si hacemos tendremos y derivando
ambos miembros con respecto a
x :
o lo que es lo mismo: obteniéndose finalmente
x senxy  2, y '.
3. Si calcular

Solución
Derivando con respecto a ambos miembros de se sigue que
o lo que es lo mismo y finalmente
cos
4. Hallar la derivada en cada uno de los siguientes casos:
a.
Solución Aplicando la derivación implícita se sigue que:
b.
Solución Derivando ambos miembros con respecto a
y xy
xy
 
 
 
1 cos
' .
cos
y
x xy

y'
xy3 3x2  xy  5.
3
2 3 2 3
2
3
xy x
x :
       
y x sen x xye y
' 2 (2 ) .
2
 
ln
xy
xy
x e x x
 


161. sen xy xy y xy sen xy ysen xy y ysen xy
   ´  1 ' ( ) 1 ( ) ' 1 ( ) .
         
y  senx  y.
y x y y y x y y x y y x y
' cos  1 ' ' cos   'cos   ' cos( ) .
             
xy  k, xy ' y  0, y ' y .
1 2L  L , 2 2  2 2
1 1 1 2 1 1 1 L  x  y , L  2x  x  y ,
161
y'
5. Obtener si:
a.
cosxy  x.
Solución
b.
Solución

x sen xy
( )

x y
1 cos( )
xy  k, k
6. Probar que la tangente en cada punto de la curva de ecuación con una constante y la
recta que une ese punto con el origen de coordenadas forman un triángulo isósceles con base en
el eje de las
x.
Solución
Por derivación implícita, de se sigue que: es decir,
x
 
m y ,
 x ; y   
1
1 1 Como la pendiente de la tangente a la curva en el punto es la ecuación de
1
x
1
y y y x x .
1  
   
dicha tangente será:
1 x
1
1
Para calcular la intersección de la recta tangente con el eje x, hacemos y  0,
obteniendo
1 x  2x .
Por otra parte, pues luego el triángulo es
isósceles.
y2  2ax  c, con a  0,
7. Probar que si en un punto cualquiera de la curva de ecuación se trazan
la normal a la curva y la ordenada, el segmento que ambas intersectan sobre el eje de las x
es
de magnitud constante
a.

162. Solución
De se sigue que de donde
y2  2ax  c, 2yy ' 2a  0, y ' a .

  1 1 x , y 1
m a ,
La pendiente de la recta tangente a la curva en el punto será y la de la
y
2 m y .
normal en dicho punto:
Consecuentemente, la ecuación de la recta normal a la curva en será
y  y   y x 
x .
1 1Determinemos la intersección de la recta normal con el eje (es decir ):
    de donde x  a  x . Por lo tanto
PQ  a.
11 1y y x x ,
8. Probar que las rectas tangentes a las curvas de ecuaciones y en un
punto cualquiera, se cortan ortogonalmente.
Solución
Derivando implícitamente ambos miembros de con respecto a se sigue que
  2y2  x2  c, 4yy ' 2x  0,
luego Igualmente, de se sigue que es
y x
  y  x
    
 x  y

 2 1,
decir y como el producto de las pendientes verifica la condición se
concluye que las rectas en consideración son ortogonales.
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Hallar en cada uno de los siguientes casos:
a) b) c)
d) e) f)
g) h) i)
162
y
1
 
1
a

  1 1 x , y
1  
a
x y  0
1  
a
x2 y  k 2y2  x2  c,
x2 y  k, x,
2xy  x2 y '  0, y ' 2y .
x
'
2
y
2
dy ,
dx
y2  6x x2  4y2  4 x2  2xy  3
x2  y2 1 0 x4  y4  2  0 x3  y3  3xy  0
x5  x3 y2  x2 y3  y5  5 xy2  sen1 y2   y3 3 x2  3 y2  3 a2

163.   y3 x y .
'( ) 1 .
' ( )
'( ) 1 .
163
j)
k) l)
tan y  xy

2. Escribir las ecuaciones de las rectas tangentes y normal a la curva en el
punto cuya ordenada es
3. Escribir las ecuaciones de las rectas tangentes y de las normales a la curva de ecuación
en sus puntos de intersección con el eje de las abscisas.
4. Demostrar que las hipérbolas de ecuación y se cortan entre sí formando
un ángulo recto.
5. Hallar en el punto si
Derivada de la función inversa
El teorema siguiente da la fórmula para calcular la derivada de una función inversa.
Teorema. Sea la función inversa de Si es derivable en y entonces
es derivable en y
' 1 .
Demostración
Como entonces por la composición de funciones Al derivar ambos
miembros de la igualdad y aplicar la regla de la cadena, se obtiene:
Por tanto,
Si se utiliza otra notación se tiene:
Se debe tener cuidado con el dominio de éste es el subconjunto del dominio de donde es
derivable y no se anula.
Al derivar una función compuesta se supone que tiene sentido, es decir, que el dominio de
contiene la imagen del dominio de
x ln y c
y
x y


x3  y2  2x  6  0
y  3.
y  x 1x  2x 3
xy  a2 x2  y2  b2
dy
dx
1;1 x2  2xy  y2  4x  2y  2  0.
f g. g   0 f x   0 g ' f (x )  0,
f 0 x  0   
0
'
f x
g y

f 1  g, g  f (x)  x.
  0 0 1 g ' f (x ) f '(x ).
0  
0
f x
g f x

0   
0
'
f x
g f x


g ' : g g
   0 g ' f x
g ' f
g ' f .

164. x  g(y) y  f (x) 0 f '(x )  0, 0 0 y  f (x ),
Análogamente, si es la función inversa de y donde
entonces tiene derivada en y
'( ) 1 .
'( )
Esto se verifica geométricamente. En efecto, sea la recta tangente al gráfico de en el
punto Entonces es el gráfico de una función lineal: donde
El gráfico de la función inversa se obtiene por reflexión del gráfico de sobre la
bisectriz del primer cuadrante,
Si también se refleja se obtiene la recta la cual es tangente al gráfico de en
Ahora bien, es el gráfico de la función lineal inversa de es decir, de la función:
 
164
g 0 y
0
0
g y
f x

L y  f (x)
  0 0 x , y . L y  mx b, 0 m  f '(x ).
g(y)  x f
y  x.
L, 1 L g   0 0 x , y .
1 L y  mx b,
x 1 y b .
m m

165. '  1 
1 .
'( )  1  1 
1
m m
 
1 1 1.
165
Por tanto,
Si (Ver Figura (a) del gráfico de abajo), entonces es horizontal, es vertical y
no tiene derivada en (Ver Figura (b)).
EJEMPLOS
1. Derivar donde es un número entero positivo cualquiera.
Solución
Sea la función inversa de Entonces, y por tanto,
Luego, según la regla de derivación para la función inversa
'( )
Es decir, si entonces
2. Obtener si
Solución
 0   
0
'
g y
m f x
  0 f ' x  0, L 1 L g
0 y
1
y  f (x)  xm , x , m
g f . g( y)  ym, x
g '( y)  mym1, y .
1 1 1
1 1
1 1 1
m
m
m
m m
f x
g y my
m x
x
mx mx m



 
 
 
  
1
y  f (x)  xm , x ,
1 f '(x) 
1 xm  1 .
m
dy
dx
x  y 5.

166. 1
x  y2  5.
1
2 1 1.
2 2
   dy 2 y.
dx y
dy y
 x 5  y
3. Se tiene Luego Por lo tanto, Como se
dx
dy  2x 
5.
dx
sigue finalmente que
SIGNO DE LA DERIVADA Y MONOTONÍA
Propiedad. es una función derivable en un intervalo
i) Si es creciente en entonces para todo número real de
ii) Si es constante en entonces para todo número real de
iii) Si es decreciente en entonces para todo número real de
Idea de la demostración
es un número real del intervalo y es un número real no nulo tales que
i) es creciente en entonces:
f I.
f I , x I, f '(x)  0.
f I , x I, f '(x)  0.
f I , x I, f '(x)  0.
x I h x  h I.
f I ,
h  0 x  h  x f x  h  f (x), f x  h  f (x)  0;
h  0 x  h  x f x  h  f (x), f x  h  f (x)  0.
 Si entonces y es decir que
 Si entonces y es decir que
f x  h  f (x) y h
En los dos casos son del mismo signo, entonces
  ( )
0.
f x  h 
f x
h

f  x  h 
f (x)
f x, Como es derivable en entonces tiende hacia el número
h
cuando tiende hacia
f '(x)
h 0.
f  x  h 
f (x)
h 0, Si se da a valores cercanos a entonces toma valores positivos. Se
h
espera y se admitirá aquí que su límite en cero es también no negativo, es decir que
f '(x)  0.
f  x  h  
f x
f I , f x  h  f (x) ( )
ii) es constante en entonces: y 0
y por tanto
h

f '(x)  0.
f I , f x  h  f (x) y h
iii) es decreciente en entonces, se demuestra como en i) que son de
  ( )
f x h f x

166
signo contrario, por tanto
0.
 
h
Se espera y se admite aquí que su límite en cero de esa tasa de crecimiento es negativo,
es decir que
f '(x)  0.

167. Del signo de la derivada a la monotonía de una función
Propiedades. f es una función derivable en un intervalo
I.
i) Si para todo número real del intervalo entonces la función es creciente
x d x x d x
3  2 2  1  2  1 3 
2
f x dx dx
'( ) .
x
x x
3 2 2 2 1 3 7 .
x x
x  f x  f ; 2
167
en
ii) Si para todo número real del intervalo entonces la función es constante
en
iii) Si para todo número real del intervalo entonces la función es
decreciente en
EJEMPLOS
f x x

1. Realizar el cuadro de variación de la función real definida por . Trazar la
x
curva.
Solución
es una función racional, por tanto es derivable para todo real con Su derivada está
dada por:
2
3 2
   
Como para todo la función es estrictamente decreciente en y en
Se obtiene el cuadro de variaciones siguiente: cambiar con 2/3
La gráfica está dada por:
x I , f '(x)  0, f
I.
x I , f '(x)  0, f
I.
x I , f '(x)  0, f
I.
f ( ) 2 1
3 2


f x,
2.
3
x 
       
 
     
   
2 2
3 2 3 2


   
 
 
2, '( ) 0,
3
3
2; .
3
   

168. Se observa la coherencia con el cuadro de variación.
VALORES EXTREMOS DE UNA FUNCIÓN
Extremo local de una función.
Definición. es una función definida en un intervalo y es un número real de
f I x0 I.
0 f (x ) f
 Decir que es un máximo local (respectivamente mínimo local) de significa que
J I 0 x
existe un intervalo abierto incluido en y conteniendo tal que para todo número real
de
x 0 0 J , f (x)  f (x ) (respectivamente f (x)  f (x )).
0 f (x ) f 0 f (x )
 Decir que es un extremo local de significa que es un máximo local o un
168
mínimo local de
f .
EJEMPLO
f es una función definida en el intervalo 2;5. Su curva representativa C
se muestra a
continuación.

169. f (1)  3 f . x0;2, f (x)  3.
f (4) 1 f . x3;5, f (x) 1.
 es un máximo local de En efecto, para todo
 es un mínimo local de En efecto, para todo
EXTREMOS LOCALES (MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS).
Definición. f es una función definida en un intervalo I y c es un elemento de I. Decir que
f (c)
es un máximo (respectivamente mínimo) local de significa que existe un intervalo abierto
que contiene c y está incluido en I tal que, para todo x J , f (x)  f (c)
(respectivamente
169
).
f J
Un extremo local es ya sea un máximo local, ya sea un mínimo local.
Para una función derivable si existe un extremo local en entonces
Atención. La recíproca es falsa. Considerar por ejemplo la función real definida por
Se tiene sin embargo no es un extremo local. La derivada no cambia de signo, por
lo tanto la función no cambia el sentido de variación.
Extremo local y derivada
Propiedad. es una función derivable en un intervalo y un número real en el intervalo Si
es un extremo local de entonces
Observaciones
 Si es un extremo local, entonces la curva representativa de admite en el punto de
abscisa una tangente “horizontal”.
 La recíproca de esta propiedad es falsa. Por ejemplo, si la función está definida en por
entonces y no es un extremo local de
f (x)  f (c)
f , c, f '(c)  0.
f f (x)  x3.
f '(0)  0, f (0)
f I 0 x I.
  0 f x f ,   0 f ' x  0.
  0 f x f
0 x
f 
f (x)  x3, f '(0)  0 f (0)  0 f .

170. f I 0 x I
Propiedad. es una función derivable en un intervalo y un número real en el intervalo
que no es una extremidad de I. Si f ' se anula en x cambiando de signo, entonces f  x
 es un
0 0 extremo local de
EJEMPLOS
1. Sea la función definida en por Determinar los extremos locales de
Solución
La función es un polinomio, por tanto, es derivable en Para todo número real se
tiene:
El signo de un trinomio de segundo grado permite realizar el cuadro de variación de
Se sigue que se anula en 0 cambiando de signo, es un extremo local de y de
acuerdo al cuadro de variación, se trata de un máximo relativo.
se anula en 4 cambiando de signo, es un extremo local de y de acuerdo al
cuadro de variación, se trata de un mínimo relativo.
2. es la función definida en por Trazar la curva representativa de y
establecer conjeturas acerca de los extremos relativos. Demostrar las conjeturas precedentes.
Solución
La gráfica es:
170
f .
f  f (x)  x3  6x2  2.
f .
f f . x
f '(x)  3x2 12x  3xx 4.
f .
f ' f (0)  2 f
f ' f (4)  30 f
f  2 ( ) .
1
f x x
x


f

171. f (1) f f (1)
Mirando la gráfica se conjetura que es un mínimo local de y que es un máximo
local de Siendo una función racional, ella es derivable en su conjunto de definición que
en este caso es Se tiene:
 x 2  1  d  x   d  x 2  1 
x 2
 1 1 
x 2
x f x
 dx dx 
 
2 2 2 2
x x
1 1
 
f    f (1) 1
f  f .
f '(x)
f (x)  3x 12x 5  2
f (x)  x  2 f (x)  x2  x 1 x
f x x
  ( ) 3

x
3 
1
( ) 2
171
f . f
.
2
x
1 
.
 
2 2
'( )
1
x


f
El cuadro de variación de la función es:
    
 
es un mínimo local de y es un máximo local de
2
EJERCICIOS PROPUESTOS
( 1) 1
2
1. Calcular precisando el o los intervalos en los cuales el cálculo es válido.
a) b) c)
f (x) 5
4
x

d) e) f)
g) h)
i)
f x x
2. Determinar la función derivada de las funciones polinomios siguientes, definidas en por:
a.
b.
c.
g x  x  x  x  x 
f x x x x
  
3. es la función definida en por Encontrar la ecuación de la
tangente a la curva representativa de en el punto de abscisa 4.
2
2
( ) 3
1
x



3 2 ( )
1
f x x
x

 2
1
f x x
x



f (x)  3x4  2x3  6x2  2
( ) 3 5 2 3 2 2 1
5 3
3 4 5 3 2 1 ( )
3

f I  0; f (x)  4 x  2x2 1.
C f

172. f f '(x),
4. Sea la función real definida como se indica más abajo. En cada caso calcular
determinar el signo de según los valores de realizar el cuadro de variaciones de y
determinar los extremos locales de la función
172
a) b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
f x  x  x 
f x x
5. El siguiente gráfico muestra la curva representativa de una función , definida en el intervalo
6. Decir si cada una de las siguientes afirmaciones es verdadera o falsa.
a. es decreciente en el intervalo
b. es creciente en el intervalo
c. es decreciente en el intervalo
d. admite un máximo local en
e. admite un mínimo local en
f.
7. La altura de un cono de revolución es igual a 30 cm y el radio de la base es 10 cm. Un cilindro
está inscrito en el cono. Se nota su altura y su radio de la base (en cm).
a. Demostrar que
f '(x) x, f
f .
( ) 2 5
2
f x
x
 

( ) 2 1
2
f x x
x
  

f (x)  x x2 1
f (x) x2 1
x
 
f (x)  x3  x2  3x  5 ( ) 3 3 1
2 3
2
( ) 2
1
x



f (x)  x4  4x2  5
2
( ) 2 3
1
f x
x
 

f
3;4
f 3;1.
f 0;2.
f 1;4.
f x  2,5.
f x  1.
f (2) es un máximo local de f .
h r
h  310r.

173. V r.
b. Expresar el volumen del cilindro en función de
c. Estudiar el sentido de variación de la función
r V.
d. ¿Cuáles son las dimensiones del cilindro cuyo volumen es el más grande posible?
P y  x2 1. x,
M x. OM2  x4  x2 1.
8. Sea la parábola de ecuación Se asocia a todo número real en la parábola el
f  f (x)  x4  x2 1.
f .
M P OM
x  0, f '(x). f '(x)
f . f 0 x
0;.
ABCDEFGH M AB I AE
V AMQPIJKL x.
173
punto de abscisa Demostrar que
es la función definida en por
a. Calcular f '(x)
y estudiar su signo.
b. Dibujar el cuadro de variaciones de
c. Determinar las posiciones del punto en la parábola para las cuales la distancia
es mínima.
d. Calcular esa mínima distancia. Ayuda. La distancia es mínima si y solamente si
es mínima.
OM
OM2
9. Para todo número real calcular Estudiar el signo de y realizar el cuadro de
variaciones de Deducir que admite un mínimo en un número real del intervalo
10. es un cubo de arista 6 cm. es un punto de e un punto de
AM  EI  x (en cm).
AMQPIJKL AMPQ
tales que Se construye al interior del cubo, el paralelepípedo
rectangular tal que sea un cuadrado.
a. Expresar el volumen del paralelepípedo rectangular en función de
b. Dibujar el cuadro de variación de la función
x V.
c. Deducir el valor máximo del volumen
V.

174. M.
f f (x)  x3  x2  5x  7.
x, f '(x).
f '(x) f .
g 1; g(x)  x3  x2  5x  7.
( ) 1 .
h 1 3 2
k   k(x)  x3  x2  5x  7 2 .
x h
h x.
S(x) cm2.
S(x) x2 10000 .
 
S 0;.
x
f 2; f ( x
) 3 1 .
174
d. Precisar entonces la posición del punto
11. es la función definida por
a. Para todo número real calcular
b. Estudiar el signo de y realizar el cuadro de variaciones de la función
c. Trazar la curva representativa de la función
f .
12. Sea la función definida en por Realizar el cuadro de
variación de la función
g.
h x

13. Sea la función definida en por Realizar el cuadro de
variación de la función
x x x
5 7
  
h.
14. es la función definida en por Realizar el cuadro de variación de
la función
k.
15. Una industria fabrica cacerolas de contenido de 5 litros utilizando lo menos de metal posible.
Se designa con el radio del disco interior y la altura de la cacerola en centímetros.
a. Expresar en función de
b. Se nota la suma del área lateral con el área del disco interior en Demostrar que:
x
c. Estudiar las variaciones de la función en
d. Determinar un valor aproximado de a milímetros para el cual la cantidad de metal
utilizado es mínima.
Verdadero o falso
 
f '
16. es la función definida en por: Se nota su función derivada y
2
x

f C
por su representación gráfica. Para cada una de las afirmaciones siguientes, indicar si ella
es verdadera o falsa. Justificar.
a. f ( x 
) 
3 x
6
Verdadero Falso
x

2
b. La curva C f corta el eje de las ordenadas en la ordenada 3,5
Verdadero Falso.
c. para todo Verdadero Falso
f (x)  3 x2;

175. f '(1)  1
f 1,57  f 2,43
f x2;
d. Verdadero Falso
e. Verdadero Falso
f. es decreciente en Verdadero Falso
f . 0 x
17. es una función derivable en designa un número real. ¿Son equivalentes las
P : f admite un extremo local en x Q: f '(x )  0
0 0 f 
 f (x)  x  3 
2 .
x f '(x)  0.
x, x  0, f '(x)  0.
x f (x) f .
x, f (x) 100.
f  f ( x )  x 4  x 3  x 2  3 x 
1.
g  g(x)  f '(x).
g.
g.
x g(x).
m, m f 1
m, . m f
m, m f
175
P y Q
proposiciones ? Justificar.
;
18. es la función definida en por: Las proposiciones siguientes, ¿ son
x
verdaderas o falsas?
a. Existe un número real tal que Verdadero Falso
b. Para todo número real Verdadero Falso
c. Existe un intervalo en el cual f
es decreciente. Verdadero Falso
d. Existe un número real tal que sea un máximo local de Verdadero Falso
e. Para todo número real Verdadero Falso
19. es la función definida en por
a. Determinar la función derivada de
b. es la función definida en por
4
f .
i. Determinar la función derivada de
ii. Realizar el cuadro de variaciones de
iii. Calcular
iv. Determinar para todo número real el signo de
c. Realizar el cuadro de variaciones de
d. Trazar la curva representativa de y verificar la coherencia con el cuadro de variaciones
de
1 .
2
g  
 
 
f .
f
f .
20. A todo número real se asocia la función definida en por
f x x 
m
( ) 
.
m 1
. m f
a. Determinar la función derivada de
b. Según los valores de realizar el cuadro de variaciones de
c. ¿Para qué valores de admite la función un máximo y un mínimo local?
2
x

R,
OA y OB,
21. Se corta un sector angular en un disco de cartón de radio ese sector es de color rosado en la
figura de abajo. Luego se pega borde a borde los radios se fabrica de esta
manera un cono. Se trata de determinar la medida x en radianes ( 0  x  2
) del ángulo
central del sector angular a fin de obtener un cono de volumen máximo.

176. r h R x.
a. Expresar el radio del cono así formado y su altura en función de y
b. Demostrar que el volumen del cono está dado por:
V ( x )  R 3
x 2 4  2 
x
2
.
24

2 c. Se determina la derivada de la función f tal que f (x)  x2 4 2  x2 .
Se obtiene:
 
f x x x x d x
2 2 2 2 2
'( ) 2 4 4
   
 
dx
  
x x x x
2 4 
2 2 2
2
    
  
x 2 x 2
x
2 4

  
 
2 2
2 4
3

2 2
4
x
x


2 2 3 2 3
x x x x x
2 4 8 3
   

 
 
2 2 2 2
x x
4 4
 
V 0;2 .
d. Realizar el cuadro de variaciones de la función en el intervalo
e. ¿Para qué valor de el volumen del cono es máximo? Expresar ese volumen en función
y  x2 d y  4. A y B P
176
de
x,
R.
P
22. En un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares, se ha trazado la parábola de
ecuación y la recta de ecuación Los puntos de la parábola tienen la
misma ordenada (inferior a 4 ). C y D son los dos puntos de la recta d tales que ABCD
es
un rectángulo. Determine la posición de A para la cual el área del rectángulo ABCD
sea
máxima.

177. 23. En cierta ciudad, durante una epidemia de gripe, el número de personas enfermas días
después de la aparición de los primeros casos es estimada por donde es un
número natural tal que
a. Estudiar las variaciones de la función definida en por
b. Realizar el cuadro de variaciones.
c. Deducir del literal anterior el día en el cual el número de personas enfermas es máximo durante
este período de días. Determinar el número de personas enfermas ese día.
24. es un triángulo rectángulo en es un punto del segmento Se
construye el rectángulo y se pone con
25. Calcular en función de Deducir que el área del rectángulo es igual a
Estudiar las variaciones de la función en el intervalo Deducir el
177
valor de para el cual es máxima.
Preguntas sobre el curso
Complete las proposiciones siguientes.
1. son dos funciones derivables en un intervalo
a.
b.
n
30n2  n3 , n
0  n  30.
f 0;30 f (x)  30x2  x3.
30
ABC A. AC  4, AB  3. P AC.
APMN AP  x, 0  x  4.
MP x. A(x) MNAP
3 4 2 .
4
x  x A(x) 0;4.
x A(x)
f y g I.
 fg' ........................
 f  g' ........................

178.  
  
 
f I.
x I, f '(x)  0, I , f
xI, f '(x)  0, I , f
f  x 2;1, f (x)  f (0). f (0)
 f (x)  2x3  6x  3 0;1.
 .
f  x,
f '(x)  0.
2 3 6 4 ( ) ,
g x x x   
 g '(x)
h x x x
h '(x)  2x  2.
1 a  b, h(a)  h(b).
178
g I , f '
c. Si no se anula en entonces
g

2. Multiplicar una función derivable por una constante multiplica su derivada por …….
3. es una función derivable en un intervalo
a. Si para todo entonces en es …………………
b. Si para todo entonces en es …………………
4. es una función definida en y, para todo número real de es
un ……..
5. Verdadero o falso
Determinar si las afirmaciones siguientes son verdaderas o falsas. Justificar su respuesta.
a. La función definida en por es creciente en
b. La derivada de una función polinomio de grado 3 es una función polinomio de grado 2.
c. Existe funciones derivables en que no tienen un máximo en
d. Si es derivable y estrictamente creciente en entonces, para todo número real
e. Dos funciones derivables en 
que tienen la misma función derivada son iguales.
f. Sumar una constante a una función no cambia su derivada.
6. Para cada afirmación, una sola respuesta es exacta. Identifíquela, justificando su respuesta.
g 
a. es la función definida en por entonces es igual a:
i.
ii.
iii.
iv.
6x  6
2x2  2
6x2  6
2 2 2 4
3
 x  x 
h 1
b. es la función definida en por:
3
2 2 ( ) .
1
x



i.
ii. Si entonces
iii. La curva representativa de admite dos tangentes horizontales.
iv. La tangente a la curva representativa de en el punto de abscisa tiene por
coeficiente director
h
h 1
1 .
2
7. Para cada afirmación, varias respuestas pueden ser exactas. Identifíquelas justificando su
respuesta.
a. La curva siguiente representa una función derivable en el intervalo
f I 1,5;1,6.
i. La curva admite tres tangentes horizontales.
ii. La función derivada de es positiva en el intervalo
iii. Para todo número real de
f 0;1,6.
x I ,  2  F(x)  3,5.

179. f y g x  2 f (2)  0; f '(2)  3; g(2)  4;
g '(2)  1.
b. son dos funciones derivables en con:
f  f (x)  ax3  bx2  ax  c, con a  0.
P y  x2. M
P x, A 0;1. M
M AM
A0;1 y M x; x2 , AM2 x.
f f (x)  x4  x2 1,
f (x)  f (x), f
0;. f '(x)
24cm, 8cm.
179
Entonces:
 f  g'(2)  2.
 f  g'(2)  3.
f '(2) 12.
g
i.
ii.
 
iii.
   
 
iv.
 f 2 '(2)  0.
c. es la función definida en por
i.
f '(x)  3ax2  2bx  a.
ii. f '
cambia de signo.
iii. f
no admite extremos locales.
iv. f
es monótona.
8. Minimizar una distancia. es la parábola de ecuación es un punto cualquiera de
de abscisa y es el punto de coordenadas Encontrar la posición del punto
AM
tal que la distancia sea mínima.
9. Se admite que: ” existe un punto tal que es mínima” es equivalente a: “existe un
M AM2
punto tal que es mínima”.
a. Conociendo calcule en función de
b. Demuestre que
AM 2  x4  x2 1.
c. Dado que la función definida por es par, es decir que
es suficiente estudiar las variaciones de la función en el intervalo
Calcular y estudiar su signo. Realizar el cuadro de variaciones en el
intervalo
0;.
M
d. Deducir de los resultados anteriores que existen dos puntos para los cuales la distancia
es máxima. Determinar dicha distancia.
AM
10. La altura de un cono de revolución mide y el radio de la base, Se quiere inscribir,
V
en ese cono, un cilindro de revolución cuyo volumen sea el más grande posible.

180. h  38 r.
a. Demuestre que
b. Deduzca que el volumen V está definido en el intervalo 0;8 por
V(r)  3 r2 8r.
c. Estudiar las variaciones de la función y deducir el valor de para el cual es
V r V (r)
h
máximo. ¿Cuál es entonces el valor de ?
O 4cm, h.
11. En una esfera de centro y de radio se inscribe un cono de revolución de altura Se
r
nota el radio de la base del cono.
a. Utilizar el teorema de Pitágoras en el triángulo para demostrar que:
b. Se nota V (h) 1 el volumen del cono. Demuestre que
( ) 8 2 3 .
c. Estudie las variaciones de en el intervalo Deduzca el valor de para el cual el
V 0;8. h
180
volumen es máximo.
BOH r  h8  h.
V h   h  h
3
12. Se dispone de un alambre de un metro de longitud. ¿Cómo efectuar el corte de ese alambre para
que la suma de las áreas del cuadrado y del triángulo equilátero sea mínima?
a. Demuestre que
c 

1 3 a .
4
b. Calcule en función de el área del cuadrado y el área del triángulo.
c. Deduzca que la suma de las áreas es igual a:
a,
S(a) 1 9 4 3 2 6 1 .
16
  a  a  

181. a S(a) a 3.
d. Deduzca el valor de para el cual es mínima. Verifique que en ese caso,
13. En un centro productivo se presenta siempre, en época de cosecha, el problema de almacenar el
producto y evitar que los factores ambientales, tales como la lluvia, sol, plagas, etc., lo
deteriore en gran escala. Para ello un ingeniero plantea la construcción de silos, y presenta su
proyecto. Cada silo tendrá una capacidad de 4000 m³. Para que el proyecto sea aceptado se
pone como condición determinar las dimensiones de los silos para que su costo sea mínimo.
Considérese el silo como un cilindro abierto por una de sus bases y que se pide el área mínima.
14. Dos vértices de un rectángulo están sobre el eje de las Los otros dos vértices están sobre
las rectas cuyas ecuaciones son y ¿Para qué valor de será máxima el
área del rectángulo? Respuesta: Área máxima para
15. Las ecuaciones del movimiento de un proyectil están dadas por y
donde es la velocidad inicial, el ángulo de elevación del cañón,
el tiempo en segundos y, las coordenadas del proyectil. Hallar la altura máxima que
alcanza el proyectil y demostrar que el mayor alcance se obtiene cuando el ángulo de elevación
es de 45°.
16. Área máxima de un trapecio. Se pone y se llama el área del trapecio
a. Expresar
b. Determinar el área máxima del trapecio
17. El punto pertenece al cuarto de círculo de centro de radio y de extremos Se
construye el rectángulo donde pertenece al segmento y a
181
c

X .
y  2x 3x  y  30. y
y  6.
  0 x  v cos t
  2
0 y  v sen t 16t , 0 v  t
x, y
x  HB f (x) ABCD.
f (x).
ABCD.
P O, 4 A y B.
ONPM M OA N OB.

182. x  OM. I x
a. Sea ¿A qué intervalo pertenece ?
b. Mostrar que el área de ONPM es
a(x)  x 16  x2 .
c. Estudiar las variaciones de la función a en el intervalo
I.
d. Determinar el valor de x para el cual a(x)
toma su máximo valor.
H AH  B
18. El camino más rápido. Se busca el punto tal que el trayecto sea el más rápido
AH 4 km
posible. El trayecto en el mar es recorrido en canoa a una velocidad de y el
trayecto en tierra, es recorrido a una velocidad de
a. Sea en y la duración total del recorrido de en horas. Mostrar
t x  x   x 
182
que para
b. Calcular y establecer el sentido de variación de
c. ¿En qué lugar de la costa la canoa debe llegar?
19. Las lentes convergentes
Se da las reglas siguientes de construcción de rayos luminosos que emergen de una lente
convergente de focos y de centro óptico
 Los rayos que pasan por el centro no son desviados.
 Los rayos paralelos al eje emergen según los rayos que pasan por el foco imagen
 Los rayos que pasan por el foco emergen según los rayos paralelos al eje
h
HB 5 km.
h
x  OH, km, t(x) A a B,
0  x  6, ( ) 1 2 1 1  6.
4 5
t '(x) t.
F y F ' O:
O
FF '
F '.
F FF '.

183. f f  OF  OF '.
La distancia focal de la lente es la distancia centro óptico – foco:
Se considera aquí una lente convergente de distancia focal El objeto observado tiene
una altura de El eje está provisto del sistema de origen tal que
Se admite la fórmula de conjugación de Descartes:
1 1 1.
A A x x f
183
a. Justificar que
x x
g x x
b. Se llama la función definida en por:
c. Demostrar que es creciente en y en
d. Demostrar que si entonces se tiene
e. Deducir la posición del punto cuando el punto está a la izquierda de
f. ¿Cuál es la posición de cuando está entre ?
g. Demostrar que si entonces se tiene
h. Deducir la posición del punto cuando el punto está a la derecha de
i. ¿Cuál es la posición de cuando está entre ?
j. ¿Cuál es la posición de cuando el punto está entre ?
20. Determinar la ecuación de la recta tangente y la recta normal a las curvas siguientes:
a. en el punto Respuesta: Recta tangente: Recta
normal:
b. en el origen. Respuesta: Recta tangente: Recta normal:
c. En la curva determinar las ecuaciones de la tangente y normal en
cada uno de los puntos en que la curva corta al eje de las x. Respuesta: En el punto
Recta tangente: Recta normal: En el punto Recta
tangente: Recta normal: En el punto Recta tangente:
Recta normal:
d. ¿En qué punto de la curva de ecuación es la tangente perpendicular a la recta
de ecuación ? Respuesta: En el punto
2cm. AB
2cm. FF ' O
' 2 y 2. F F x   x 
'
 
'
2 .
2
A
A
A
x


g  2
( ) 2 .
2
x


g ;2 2;.
x  2 g(x)  2.
A' A F.
A' A F y O
x  0 0  g(x)  2.
A' A O.
A' A F y O
A' A F y O
y  x3  x2  2 P  1;1. 7x  y 6  0.
x  7y 8  0.
x2  4 y  4x  x3 y  x.
y  x.
y  x 1x 2x 3
1;0.
4x  y  4  0. x  4y 1 0. 2;0.
y  5x 10. x 5y  2  0. 3;0.
y  x 1
y  2x  3 2;1.

184. e. Hallar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva x²+3xy+2y²=1 en el punto
5x  7y 12  0. 7x 5y  2  0.
(1,1). Respuesta: Recta tangente: Recta normal:
21. Un cilindro inscrito en una esfera. Para amenager un parque, se dispone de esferas de radio 6
Al interior se quiere colocar basureros de forma cilíndrica. Se supone que un basurero
tiene por altura y por radio (en ). Se busca determinar la altura del cilindro para
obtener un basurero de volumen máximo. A) Expresar en función de b) Demostrar que el
volumen del cilindro en se puede escribir bajo la forma c)
Determinar la altura del cilindro para la cual el volumen del basurero es máximo. D)
Determinar el valor exacto de ese volumen máximo en e) Dar un valor aproximado de ese
volumen en número entero.
Trazado de curvas
Si se tiene la ecuación de una curva y se quiere trazar su gráfico, se hallan:
 Los límites de variación de x, existencia de la curva y simetrías. Es decir, se estudia en qué
intervalo existe la curva; su simetría y si la curva es periódica.
 Asíntotas. Esto es, se hallan las asíntotas horizontales, verticales y oblicuas.
 Puntos de intersección con los ejes, y signos de y′.
 Máximos y mínimos; crecimiento y decrecimiento.
 Puntos de inflexión; concavidad.
 Posición de la curva en relación con las asíntotas.
 Coordenadas de algunos puntos.
Es de destacar que son posibles varias alternativas. Es recomendable encontrar las asíntotas antes
de los puntos de inflexión. Se debe recordar que los puntos de referencia principales en una curva
son los valores extremos de la función y los puntos de inflexión.
El método a seguir para determinar las asíntotas oblicuas es el siguiente:
184
dm.
2h r dm
r h.
V dm3 V (h)  2 36h  h3 .
dm3.

185. f x k
lim ( )
x
 lim  f ( x ) kx  b
,
1 1   1 1 y  k x  b
Si existen los límites y la recta de ecuación es
 x
1
x

una asíntota oblicua ( a la derecha); si la asíntota es horizontal derecha.
1 k  0,
f x k
lim ( )
x
 lim  f ( x ) kx  b
,
2 2   2 2 y  k x  b
Si existen los límites: y la recta de ecuación
 x
2
x

es una asíntota oblicua ( a la izquierda); si k  0,
la asíntota es horizontal izquierda.
2 EJEMPLOS
1. Hallar la ecuación de la asíntota oblicua a la curva de ecuación
f x x x
Solución:
Como se sigue que
2 2 ( ) .
x



f x x x x x
( ) 2  2 
2 lim  lim  lim 
1,
x x 2 x 2
  1 k 1.
 
 
 
 x  x x  x x
    2 2
                               
x x x x x x x f x kx x b
2 2 lim ( ) lim 2 lim lim 4 4 ,
x  1 x  x 2 x  x 2 x  x
2
1
y  x  4
entonces la recta de ecuación es una asíntota oblicua a la derecha.
Además,
2
f x x x x x k
( ) 2
 lim  lim 2 
2  lim  1 
.
x x 2 x 2
 
 
 
2
 x  x x  x x
 
                    
  2
f x k x x x x x b
lim ( ) lim 2 lim 4 4 .
x 2 x 2 x 2
2
  x  x
y  x  4
Por tanto, es una asíntota oblicua a la izquierda.
En conclusión: es una asíntota oblicua de la curva.
Obsérvese que la recta vertical de ecuación es la asíntota vertical de la curva y que
esta curva no posee asíntotas horizontales.
A continuación se dan varios ejemplos que muestran el proceso de construcción de una
curva.
185
2.
y  x  4
x  2
( ) 8 .
2
4
f x
x


Solución:
Dominio: Dom( f )  2;2. En x  2 y en x  2
existe discontinuidad no evitable.
Interceptos:
Con el eje de las x, se hace y  0. Es decir: 0 
8 ,
pero 0  8
es imposible. Luego
x 2

4
no hay interceptos con el eje de las
x.
Con el eje de las y, se hace x  0. Luego: f (0)  8  
2;
es decir que
y  2.
0 
4
Simetría:

186. y, x x.
Con respecto al eje de las se sustituye por Es decir:
f y.
luego es simétrica con respecto al eje de las
( ) 8 8 ( ),
fx    
fx
 x 2 x
2
4 4
  
x, f
Con respecto al eje de las no hay simetría por ser una función.
Con respecto al origen, se sustituye x por x, y por y :
luego
no hay simetría.
Asíntotas verticales:
De se sigue que las rectas de ecuaciones y son asíntotas verticales,
puesto que
lim 8   , lim 8   , lim 8   , lim 8  
.
x  x 4 x  x 4 x  x 4 x  x 4
lim ( )  lim 8  0, lim ( )  lim 8 
0.
x x 4 x x 4
2 2 2
 16 x  4  16 x  2 x  4 2
x

 186
Asíntotas horizontales:
f x f x
La recta de ecuación es la asíntota horizontal.
Asíntotas oblicuas:
A la derecha:
k f x
lim ( ) lim 8 0.
x x 4
  
Consecuentemente, no hay asíntota oblicua a la derecha.
A la izquierda
k f x
lim ( ) lim 8 0.
x x 4
  
Luego, no hay asíntota oblicua a la izquierda.
Crecimiento y decrecimiento:
  
x x f x
x x
Para y por tanto la función es decreciente.
Para y por tanto la función es creciente.
Concavidad:
8 8 ,
 2 2
4 4
y
x x
  
x2  4  0 x  2 x  2
2 2 2 2 2 2 2 2
   
2 2
  x   x
 
y  0
1  x  x  x
2 

2  x  x  x
2 

 
    2 2 2 2
0 8 2 16 '( ) .
4 4

 
 
x  0, f '(x)  0 f
x  0, f '(x)  0 f
    
 
     
 
 
2 4
2 2
2 4
2
2 3
''( )
4
4 16 4 16 4
4
48 64 .
4
f x
x
x x x x
x
x
x

     





187. x  2. x  2, f ''(x)  0, f
No se define en Para por lo tanto es cóncava hacia arriba. Para
x  2, f ''(x)  0, f 2  x  2, f ''(x)  0;
por lo tanto es cóncava hacia arriba. Para
f
luego es cóncava hacia abajo.
Máximos y mínimos. Puntos de inflexión:
f '(x)  016x  0 x  0. f ''(0)  0, x  0.
Como hay máximo para Ese mínimo se
M 0;2.
tiene en el punto
No posee punto de inflexión, pues para todo
f ''(x)  0 x.
y : x x,
x x y y y x 4
lim 4
x
187
3.
y x 4 .
x
 
Solución:
Dominio: Dom( f )  0. En x  0
la función es discontinua no evitable.
Interceptos:
4 x 2 x : y  0.

Con el eje de las Hacemos Es decir: x 0 4 0
y como
para todo no hay interceptos.
Con el eje de las sustituyendo por se tiene:
    x2  4  0
x x
Hay alteración, luego no hay simetría.
x,
f (  x)   x  4   x  4  
f (x).
x x

   
Con respecto al origen, al sustituir por e por se tiene y al
x
1 y x 4 .
multiplicar por resulta: Luego hay simetría con respecto al origen, es decir,
x
la función es impar en su dominio:
Asíntotas verticales:
En hay asíntota vertical puesto que y
 
f (x)   f (x).
x  0
2
0
x

  x
 
2
lim 4 .
x
0
x

  x
 

188.    2    2   2
                     
b f x k x x x x x
lim ( ) lim 4 lim 4 lim 4 0,
x x x x
  x  x  x
  y  x
   2  2   
x x x x x x f x
2 4 2 2 '( )   4 
.
x  2, f '(x)  0, f x  2, f '(x)  0,
f 2  x  2, f '(x)  0 f
x x x x x x x f x
2  2  4 2  2 
''( ) 8 8 .
  
x 4 x 4 x
3
x  0, f ''(x)  0 f
x  2, f ''(2)  0, M '2;4. x  2, f ''(2)  0,
188
Asíntotas horizontales:
x
2 
lim 4 .
x
y lim_{x→-∞}((x²+4)/x)=-∞. Luego no hay asíntota
x
2 
lim 4
x
 x
 
horizontal.
Asíntotas oblicuas:
por lo que la
 x
 
2
k f x x

lim ( ) lim 4 1.
x x
  
1 2
 x  x
1 1
y  x
  2 lim ( ) 0.
x
recta de ecuación es la asíntota oblicua derecha.
Análogamente, f x k x
Por tanto, la recta de ecuación es la asíntota

oblicua izquierda.
Crecimiento y decrecimiento:
2 
    
De f (x) 
x
4 se sigue que
x
x 2 x 2 x
2
Para luego la función es creciente. Para y por
tanto la función es creciente. Para y la función es decreciente.
Concavidad:
 2   2  3 3
Para y por tanto la función es cóncava hacia arriba. Para
x  0, f ''(x)  0 f
y por tanto es cóncava hacia abajo.
Máximo y mínimo. Puntos de inflexión
f '(x)  0 x2  4  0 x  2.
Para luego hay mínimo en el punto Para
luego hay máximo en el punto No hay punto de inflexión, pues
para todo y en existe una asíntota vertical.
M 2;4. f ''(x)  0
xDom f  x  0

189. Preguntas de comprobación
1. ¿Qué relación existe entre el crecimiento de una función y el signo de su derivada?
189
Ejemplifique.
2. Establezca las condiciones de monotonía de una función f:R→R derivable en todo su dominio.
3. Defina:
a. Mínimo relativo.
b. Máximo global.
4. ¿A qué se llama punto crítico?
5. ¿Cuál es la condición necesaria para la existencia de extremos? Dé ejemplos que demuestren
que la condición no es suficiente.
6. ¿Cuál es la condición suficiente para la existencia de extremos relacionados con la primera
derivada de la función?
7. Escriba el criterio para determinar los máximos y mínimos de tangente vertical.
8. Defina:
a. Concavidad hacia arriba.
b. Punto de inflexión.
9. ¿Cuántos tipos de puntos de inflexión se presentan? ¿Por qué? Enuncie el criterio para
determinarlos en cada caso e ilustre cada uno con un gráfico.
10. Enuncie la condición suficiente para los extremos por el criterio de la segunda derivada.
Ejemplifique.
11. Formule las condiciones necesarias y suficientes para la existencia de extremos de una función.
12. Describa las técnicas generales que permiten resolver un problema de optimización.
13. ¿Cómo se procede para hallar la ecuación de una asíntota oblicua?
14. Describa el procedimiento general a seguir para trazar una curva si se conoce su ecuación.

190. 15. Escriba la ecuación de la recta normal a una curva en un punto P. ¿Qué relación tiene su
pendiente con la pendiente de la recta tangente en P ?
Preguntas de selección múltiple
1. Considere los siguientes datos acerca de la posición s de una partícula, con respecto al tiempo,
t 3 3, 4 3,6 3,8
s(t) 8,2 9,5 10,5 11 13,2
3  t  3,2 3,2  t  3,4 3,4  t  3,6 3,6  t  3,8 3  t  3,8.
sen t t                         
1 sec2 1 cos tan ;
3 3 3 3
  t    t   t 
               
1 cos tan sec tan ;
3 3 3 3
f ''(x)  4x cos x2 1; f ''(x)  2x senx2 1;
f ''(x)  4x2 cos x2 1 2senx2 1;
f ''(x)  4x2 cos x2 1 2senx2 1;
y  x  1  1 4 ;
y   x   4 3  1;
f g x g f f
g g f f
g.
190
t.
3,2
¿En cuál de los siguientes intervalos es mayor la velocidad promedio?
a. b) c) d) e)
dy
dx
2. Encontrar si
y sen t          
  t  
       
1 cos sec2 ;
3 3
a. b)
tan .
3
  t    t 
           
1 cos tan sec2 ;
3 3 3
c) d)
e) Ninguna de las anteriores respuestas es correcta.
f (x)  cosx2 1
3. La derivada segunda de es:
a. b)
c)
d) e) Ninguna de las respuestas anteriores es
correcta.
dy
dx
4. Encontrar para
cos y  4x3  y2.


6 4 x ;
y seny


12 x
4 ;
2
y seny


12 x
4 ;
2
y seny
a. b) c) d)
e) Ninguna de las respuestas anteriores es correcta.
sen y  12x4  2y;
f x x

( ) 
3 1
5. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones es la ecuación de la recta tangente a en
?
x 1
y x   1 27;
3 ;
7
a. b) c) d)
49 49
49 7
e) Ninguna de las respuestas anteriores es correcta.
y   x 
7 5
6. Determine la correcta relación entre las funciones dadas por los gráficos siguientes.
x
5 
2
a. es la reflexión de respecto al eje ; b) es la derivada de ; c) es la
derivada de ; d) es la segunda derivada de ; e) es la segunda
derivada de

191. 7. Encontrar todas las asíntotas verticales y horizontales de la curva de ecuación
y x x
 
a. Las asíntotas verticales son las rectas de ecuaciones La asíntota
horizontal es la recta de ecuación b. Las asíntotas verticales son las rectas de
ecuaciones Las asíntotas horizontales son las rectas de ecuaciones
c. La asíntota vertical es la recta de ecuación La asíntota
horizontal es la recta d. La asíntota vertical es la recta La asíntota
horizontal es la recta e. Ninguna de las respuestas anteriores es correcta.
8. Dar los valores de que dan extremos relativos para la función definida por
a. Máximo relativo en mínimo relativo en
b. Máximo relativo en mínimo relativo en
c. Máximos relativos en y en mínimo relativo en
d. Máximo relativo en mínimos relativos en y en
e. Ninguna de las afirmaciones anteriores es correcta.
9. Determine el valor de si existe.
lim 4 ,
x
a. 0; b) c) d) El límite no existe; e) Ninguna de las
f x sen x
           
191
respuestas anteriores es correcta.
lim ( )
x
10. Determine para si existe.
x
Los valores dados en la siguiente tabla, pueden ayudarle para determinar este límite.
indefin
ido
a. b) c) d) e) El límite no existe.
11. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones acerca de las funciones definidas por
y ¿es verdadera?
 x  x

 
  
a. son funciones continuas en
b. Solo y son continuas en
c. Solo y son continuas en
d. Solo y son continuas en
e. Ninguna de las funciones es continua en
h
 
12. La expresión define la derivada de la función:
2
2
2 8.
16
x


x  4 y x  4.
y 1.
x  4 y x  4.
y  4 y y  2. x  4.
y  2. x  4.
y 1.
x f (x)  3x5  5x3.
x  0; 5.
3
x  
x  1; x 1.
x 1 x  1; x  0.
x  0; x 1 x  1.
2
2
x


2;  2;
2
f x

( ) cos 2 3 6 ,
2 4

x 2,1 2,05 2,01 2 1,99 1,95 1,9
f (x) 0,990113 0,999377 0,999999 0,999999 0,999377 0,990113
0,990113; 1; 0; 0,999999;
2
2
( ) 1,
1
f x x
x



2 1, si 1
( )
2 1, si 1
g x
x x
h(x)  3senx2 1,
f , g y h x 1;
f g x 1;
f h x 1;
g h x 1;
x 1.
 2
0
4 16
lim ,
h
 h

192.    3 h(x)   f g x  f (x) g(x) f (1)  2, g(1) 1,
f '(1)  2 g '(1)  1, h'(1)?
192
f (x)  x2 14 x  2;
a. en
b. en
c. en
d. en
e. en
 2 f (x)  4  x x  2;
f (x)  x2 14 x  4;
f (x)  x2  2 x  4;
 2 f (x)  4  x  2 x  14.
x

lim 3 ,
x 18 
2
13. Determine el valor de si existe.
 9
x
1 ;
6
0; 1 ;
1 ;
12
a. b. c. d. e. El límite no existe.
4
14. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones es la ecuación de la recta tangente al gráfico de
f (x)  3x2  4x 2; f (2) ?
en el punto
y  6x  4;
y  8x 12;
y  8x  20;
y  6x  4x  2  4;
a.
b.
c.
d.
e. Ninguna de las respuestas anteriores es correcta.
15. Sea donde y son funciones derivables. Si
y ¿cuál es el valor de
12; 24;
a. 24; b. 12; c. d. e. Ninguna de las respuestas anteriores es correcta.
x2  2xy2  y3 1 1;2?
16. ¿Cuál es la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto
 1 ;
9 ;
4
 1 ;
 
5 ;
a. b. c. d. e.Ninguna de las respuestas anteriores es correcta.
2
f '(x)  4 
17. Encontrar para
a.
b.
c.
d.
e.
4
2
x
f x
( ) .
2
cos
x

 4   4 
x sen x x
f x
 

'( ) ;
3
2cos
x
4  4   4 
x sen x x
4 2cos
f x
 

'( ) ;
3
x
f '(x)  2x2 senx4 ;
4 3 
sen x
f x


'( ) ;
2
x
4  4   4 
x sen x x
4 2cos
f x

'( ) .
3
x

V  r2h, r
18. Recuerde que el volumen de un cilindro circular recto está dado por donde es el
radio de la base y h
es la altura. Un tanque de agua en forma de un cilindro circular recto con

193. diámetro 40 pies está empezando a drenar. Si el nivel del agua decrece en 2 pies por minuto,
¿cómo está cambiando el volumen de agua?
a. El volumen está cambiando a la razón de 40 h 800 
pies cúbicos por minuto.
b. El volumen está cambiando a la razón de 800
pies cúbicos por minuto.
c. El volumen está cambiando a la razón de 800
pies cúbicos por minuto.
d. El volumen está cambiando a la razón de 3200
pies cúbicos por minuto.
e. Con la información proporcionada es imposible determinar la razón de cambio del
v(t), t  0 0?
f y  f '(x)
f x  2
f x  0 x  4.
f x  2 x  0 x  4.
g(x)  x2/3 x  5, g
193
volumen.
a(t),
19. El gráfico de la función aceleración, para el movimiento de una partícula a lo largo de un
eje de coordenadas se muestra más abajo. ¿Cuál de los gráficos da la función velocidad de la
partícula, si la velocidad en el tiempo es
20. Sea una función tal que el gráfico de se indica a continuación. ¿Cuál de las
siguientes afirmaciones es verdadera?
a. tiene un máximo local en y no un mínimo local.
b. tiene un máximo local en y un mínimo local en
c. tiene un máximo local en y mínimos locales en y
d. El gráfico de f
es siempre cóncavo hacia abajo.
e. Ninguna de las afirmaciones anteriores es verdadera.
21. Si entonces los puntos críticos de son:
x  0;
a. solo
b. x  0 y
x  5;
c. solo
x  2;
d. x  0 y
x  2;
e. Ninguna de las respuestas anteriores es correcta.
22. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones acerca de es falsa?
a. tiene como asíntota horizontal
b. tiene como asíntotas verticales las rectas y
c. lim f ( x )
y
lim f ( x ) ;
x
 
x
 
d. lim f ( x )
y
lim f ( x ) ;
x
 
x
 
e. tiene un punto crítico en
23. Sean y números reales no negativos tales que ¿Para qué valores de y
el producto alcanza su máximo valor?
a. y
b. y
c. y
d. El producto no alcanza un máximo valor;
e. Ninguna de las afirmaciones anteriores es correcta.
2
2
( ) 2 1
1
f x x
x



f y  2;
f x  1 x 1;
1
 
1
 
1
 
1
 
f x  0.
a b b  9 a2. a b
ab,
a  3 b  6;
a  3 b  6;
a  4 b  7;
ab

194. f (x)  cos3 x2 , f '(x)
3sen2 x2 ;
3cos2 x2 ;
6x cos2 x2 sen2 x2 ;
6x cos2 x2 
24. Si entonces es igual a:
f f ' f '' a  x  b.
f ''(x) 
x3  y3  6xy 3;3 y  x  6;
y  x  y  2x 3;
 3 f (x)  x 2x  3 1 x 1.
f 1 x 1?
x 1, x  1;
x 1, 3 ;
f g f (1)  2, f '(1)  1, g(1)  3, g '(1) 1.
2
194
a.
b.
c.
d.
e. Ninguna de las anteriores.
25. Sea una función para la cual y están definidas en el intervalo Si
f '(x)  0 f ''(x)  0 a  x  b,
y para entonces cuál de las siguientes afirmaciones es
verdadera?
a. f
es creciente y cóncava hacia arriba en el intervalo.
b. f
es creciente y cóncava hacia abajo en el intervalo.
c. f
es decreciente y cóncava hacia arriba en el intervalo.
d. f
es decreciente y cóncava hacia abajo en el intervalo.
e. No se ha dado información suficiente para determinar estas propiedades.
( ) 3 1 ,
f x x x
  
26. Sea entonces
1
x

15 ;
4
5; 29 ;
4;
a. b. c. d. e. Ninguna de estas.
4
27. La ecuación de la recta tangente a la curva en el punto es: a.
2
y x y
y x x
6  3 
;
3
3 6 3
2 1;
3
b) c) d) e) Ninguna de estas.
2
 
28. Si está definida en el intervalo ¿Cuándo ocurren el máximo y el
mínimo valor de en el intervalo
a. Máximo en mínimo en
b. Máximo en mínimo en
c. No tiene máximo, mínimo en
x  
x  
3 ,
2
x   x 1;
d. Mínimo en máximo en
e. Ninguna de las anteriores.
2
3 ;
2
29. Sean y funciones derivables para las cuales Sea
 h '(1) 
Entonces
h f .
g
 4 ;
4 ;
3
a. b. c. d. e. Ninguna de éstas.
3
4; 16 ;
9


195. s  s(t) s t,
30. Si es la posición de una partícula sobre el eje en el tiempo entonces la partícula
está momentáneamente en reposo cuando:
a. f (t)  0; b. f ''(t)  0; c. t  0; d. f '(t)  0;
e. Ninguna de las anteriores.
f (x)  cos x f '(x)   sen x
31. Use el hecho de que la derivada de es para mostrar que la
g(x)  sec x g '(x)  sec x tan x.
s(t)  960t 16t2 t
f f
f
P, P V  I  R I 2 , V
R I
I , P,
cos3 4x; 4cos3 4x; 3sen2 4xcos4x; 12 sen2 4xcos4x;
195
derivada de es
32. Una bola de tenis es lanzada verticalmente hacia arriba desde la superficie de la Tierra recorre
una distancia dada por pies en segundos.
a. ¿En qué momento alcanza la máxima altura y cuál es ese valor?
b. Encontrar la velocidad de la pelota en el momento de impacto con la superficie de la
Tierra.
33.Sea
( ) 1 4 2 2 3.
f x  x  x 
4
f .
a. Encontrar los puntos críticos de
b. ¿En qué intervalos es creciente?. ¿En qué intervalos es decreciente?
c. Calcule los valores extremos locales de y establezca si cada uno de ellos es un máximo
o un mínimo local.
f 0;3.
d. Encontrar los valores extremos absolutos de en el intervalo
f (x),
34. Construya el gráfico de una función, que satisfaga las siguientes condiciones.
f (2)  8, f (2)  0 y f (4)  4.
a.
b.
c. para
d. para
f x f x
lim ( ) y lim ( ) 8.
x x
0
  
 
f '(x)  0 2  x  0.
f ''(x)  0 2  x  4.
35. La fórmula de la potencia de salida, de una batería es donde es la
fuerza electromotriz en voltios, es la resistencia en ohms, e es la corriente en amperios.
Encontrar la corriente, que maximiza la potencia de salida, en una batería para la cual
V 12 R  0,6
voltios y ohms. Asuma que a 15 amperios fuse bounds la corriente en el
intervalo
0  I 15.
y x
3
1

36. La derivada de es
2
x

3 ;
x 1
3 x
2
;
2x  x

3 3;


 2

 
3 1
x


a. b. c. d. e. Ninguna de las respuestas
2
anteriores es correcta.
f '(x) f (x)  sen3 4x.
37. Encontrar si
2 2
1
2 2
;
1
x
a. b. c. d. e.
Ninguna de las respuestas anteriores es correcta.
38. La ecuación de posición para el movimiento de una partícula está dada por
 s(t)  t2 1 3 ,
s t
donde está medido en pies y en segundos. Encontrar la aceleración a los dos

196. segundos.a.342 pies/sec²; b. 288 pies/sec²; c. 108 pies/sec²; d. 90 pies/sec²; e.
18 pies/sec².
f (x)  sen x cos x. 0  x  2 f
39. Si ¿En qué punto(s) del intervalo el gráfico de tiene una
 y 3 ;
x 
;
4
  y 5 ;
x x  
x  x 
 
recta tangente con pendiente 0? a. b. c. d.
4 4
e. No existen valores de en el intervalo
para los cuales la recta tangente al gráfico de tenga pendiente 0.
40. Un balón en forma de una esfera está empezando a inflarse. El volumen de una esfera está
dado por Supongamos que el volumen se está incrementando a una razón de 4
pulg³/segundo. ¿Con qué tasa está creciendo el radio cuando el radio es de una pulgada?
a. pulgadas por segundo; b. pulgadas por segundo; c. π pulgadas por
segundo; d) pulgadas por segundo; e) Esta razón o tasa de cambio no puede ser
determinada con la información dada.
41. Supongamos que es continua en un intervalo cerrado Dadas las siguientes
afirmaciones:
A: alcanza su valor máximo absoluto en el intervalo
B: Si es un máximo en entonces
C: Si es un mínimo absoluto en entonces es un punto crítico o un punto
extremo.
D: Un máximo absoluto puede ocurrir en
a. Sólo la afirmación A es verdadera; b. Sólo la afirmación B es verdadera; c. Sólo
las afirmaciones A y C son verdaderas; d. Sólo las afirmaciones C y D son
verdaderas; e. Sólo las afirmaciones A, C y D son verdaderas.
42. Sea Si y encontrar el valor de
a. 0; b. 6; c. 8; d. 24; e. Ninguna de las respuestas anteriores es
196
correcta.
43. Sea ¿Cuántos extremos locales tiene ?
a. tiene solamente un extremo local; b. tiene solo dos extremos locales;c.
tiene solo tres extremos locales; d. tiene más de tres extremos locales;e. no
tiene extremos locales.
44. Encontrar la ecuación de todas las asíntotas horizontales y verticales para
4 4
; 3 ; 5 y 7 .
4 4 4 4
x x x x    
    x 0  x  2
f
4 3.
3
V   r
1

3
4
4
3
f (x) a,b.
f (x) a,b.
f (c) a,b, f '(c)  0.
f (c) a,b, c, f (c)
f (b).
h(x)  f (x)g(x). f (6)  3, f '(6)  4, g(6)  6 g´(6)  2,
h '(6).
f (x)  x6 3x4  3x2. f
f f f
f f
2
f x x x
 
( ) 8 15 .
3
x x
9



197. f x h f x
 
lim ( ) ( ) ,
h
45. Use la definición de derivada, para encontrar la derivada de
 h
y 1 4x  x2 y  x3  2x  5 y  x2  x 3 y   x 3 x
y  sen x  cos x
y x       
 
 y  ln sen x y  arcsen1 x
y x
y  x3  6x2  9x 1. y  x4  x3 18x2  24x 12. 2 .
  
 
  
2 4, si 3
x  y  S
xy .
2
197
f (x)  3 
2.
x
46. Dada la función
0
f (x)  x3  6x2 9x.
a. Encontrar los valores críticos. b. Encontrar los extremos locales así como los
intervalos donde es creciente y en los que es decreciente. c. Encontrar los puntos de
inflexión. d. Determinar intervalos donde el gráfico de f
es cóncavo hacia abajo y en los
que es cóncavo hacia arriba.
47. Calcule los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las funciones siguientes:
a. b. c. d.
e.
f.
y  x ln x y  xex
g. h.
tan
3
l.
i. y
ex j. k. x
48. Determine los intervalos en los cuales el gráfico de las funciones siguientes es cóncavo y
localice los puntos de inflexión:
a. b. c. d.
f x
( )
x x
e. ┊ f.
1
x


y  x  x5/3.
x x
8 , si 3
y  ln2 x , x 
0.
x
49. Descomponga el número 8 en dos sumandos de manera tal que la suma de sus cubos sea
mínima.
50. ¿Cuál es el número que al restarle su cuadrado se obtiene la diferencia máxima?
51. Exprese el número 5 como la suma de tres números tales, que esta suma sea igual al triplo del
tercer número y que su producto sea máximo.
x, y x  y  S,
52. Dado un número positivo S, pruebe que entre todos los números positivos , con
el producto es máximo cuando
53. ¿Cuál de los rectángulos con perímetro igual a 50 cm tiene el área máxima?
54. A lo largo de los lados de una parcela rectangular de tierra de 10 000 m² hay que excavar una
zanja. ¿Qué dimensiones deberá tener la parcela para que la longitud de la zanja sea mínima?
55. Se tiene un cuadrado de cartón de 6 dm de lado. Se quiere recortar de cada esquina un
cuadrado de modo que se pueda hacer una caja de máximo volumen. ¿Cómo ha de hacerse el
corte?
56. Hay que cercar una superficie rectangular por tres de sus lados con tela metálica de modo que
linde por el cuarto lado con una pared de piedra. ¿Qué dimensiones será más conveniente dar a
la superficie para que su área sea máxima, si se dispone de un total de L
metros lineales de tela
metálica?

198. v
57. Un depósito abierto, de fondo cuadrado, debe tener capacidad para litros. ¿Qué dimensiones
debe tener dicho depósito para que en su fabricación se necesite la menor cantidad de material?
a,0 y  x.
58. Halle la distancia mínima del punto al gráfico de
59. Se requiere fabricar un cajón con tapa cuyo volumen sea de 72 dm³ y la relación entre los lados
de la base 1:2. ¿Qué longitudes deberán tener las aristas para que la superficie total del cajón
sea la mínima?
s 10t 18t2  2t3.
60. Un cuerpo se mueve conforme a la ley expresada por la ecuación Halle la
velocidad máxima de desplazamiento del cuerpo.
61. El espacio recorrido por un cuerpo lanzado verticalmente hacia arriba a la velocidad inicial
0 v ,
1 2
.
2
s  v t  gt
se determina por la ecuación 0
Determine la altura máxima de elevación del
cuerpo.
62. En un instante determinado, un barco B se encuentra situado a 65 millas al este de otro barco A.
El barco B empieza a navegar hacia el oeste con una velocidad de 10 millas por hora, mientras
que el A lo hace hacia el sur con una velocidad de 15 millas por hora. Si se sabe que las rutas
iniciadas no se modifican, calcule el tiempo que transcurrirá hasta que la distancia que los
separa sea mínima. Halle su distancia.
2 2
2 2 x y 1.
a b
63. Se desea inscribir un rectángulo en la elipse cuya ecuación es ¿ Cuáles serán sus
y2  4 px x  a.
198
dimensiones para que su área sea máxima?
 
64. Halle las dimensiones del rectángulo de área máxima que se puede inscribir en la porción de
parábola limitada por la recta de ecuación
65. Halle la altura del cilindro de volumen máximo que se puede inscribir en un cono circular recto
dado.
66. La solidez de una viga rectangular es proporcional al producto de su ancho por el cuadrado de
su altura. Halle las dimensiones de la viga más sólida que puede obtenerse de un tronco
cilíndrico de a cm de diámetro.

199. CAPÍTULO 7
VECTORES EN EL
ESPACIO
Contenido del capítulo:
199
3
 El espacio
 Operaciones en 3
.
 Longitud de un vector.
 Distancia entre dos puntos.
 Ortogonalidad.
 Vectores coplanares y colineales.
 Ecuación vectorial de rectas.
 Ecuación vectorial de planos.
Resultados del aprendizaje:
Al finalizar el estudio de este capítulo el alumno:
1. Explica los elementos que identifican a un vector en el plano y a uno en el espacio.
2. Construye un vector con la dirección y sentido a partir de dos puntos.
3. Representa gráficamente vectores en el plano y en el espacio.
4. Identifica condiciones para la igualdad de vectores.
5. Define e interpreta geométricamente las operaciones de suma vectorial y multiplicación de un
vector por un escalar.
6. Realiza una combinación lineal entre varios vectores.
7. Demuestra propiedades de las operaciones entre vectores.
8. Demuestra el teorema del producto escalar.
9. Calcula la medida del ángulo que forman dos vectores.
10. Aplica las propiedades de las operaciones entre vectores respecto al producto escalar.
11. Aplica el concepto de vectores paralelos, vectores ortogonales, norma de un vector, empleando
operaciones entre vectores.
12. Determina vectores unitarios sobre una dirección dada.
13. Calcula la proyección escalar y vectorial especificada entre dos vectores.
14. Calcula el producto vectorial entre dos vectores.
15. Demuestra el teorema de la norma de un producto vectorial entre vectores.
16. Aplica las propiedades de las operaciones entre vectores respecto al producto vectorial.
17. Interpreta geométricamente la norma de un producto cruz entre dos vectores.

200. 18. Calcula el área de la superficie de un triángulo definido por tres puntos no colineales.
19. Calcula el volumen de un paralelepípedo definido por cuatro puntos no coplanares.
EL ESPACIO
Para especificar puntos en el espacio, se necesita un punto de referencia , llamado el origen. Por
el punto se trazan tres rectas perpendiculares, llamadas los ejes El eje es
considerado como el eje que sale directamente de la página.
En el siguiente diagrama se ve que los planos coordenados dividen al espacio en ocho regiones
llamadas octantes. La intersección de dos octantes es un eje de coordenadas. La dirección positiva
de cada eje es mostrada mediante un trazo continuo mientras que la dirección negativa lo es
mediante una línea cortada.
200
3
O
O X ,Y y Z. X

201. P x, y, z.
Cualquier punto en el espacio puede ser especificado mediante una terna de números
P OP  (x, y, z)
El vector de posición de es el vector .
Para ayudar a visualizar en el espacio tridimensional la posición de un punto, en nuestro papel
bidimensional, es necesario completar un prisma rectangular (caja) con el origen como uno de
sus vértices, lo lados como ejes adyacentes a él y es el vértice opuesto a
201

O
P O.

202. A continuación se ilustra la ubicación de los puntos
DISTANCIA Y PUNTO MEDIO
El triángulo es un triángulo rectángulo en por lo tanto, por el teorema de Pitágoras se
tiene: El triángulo también es un triángulo rectángulo en luego, por el
mismo teorema de Pitágoras se tiene: Reemplazando el valor de se sigue:
202
de donde:
A0,2,0, B3,0,2 y C1,2,3.
OAB A,
OB2  a2  b2 . OBP B,
OP2  OB2  c2. OB2
OP2  a2  b2  c2 ;
OP  a2  b2  c2 .

203. Ahora, para dos puntos cualesquiera la distancia de a está dada
por:
Una simple extensión del plano al espacio, permite obtener el punto medio del segmento de
extremos
AB x x y y z z
      
 
EJEMPLO
Si son dos puntos en el espacio, encontrar la distancia de a así como
las coordenadas del punto medio del segmento
Solución:
M               
203
d A B       
( , ) 2 ( 3) 1 2 7 5
El punto medio del segmento es:
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Ubicar, en un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares los puntos
Hallar además su distancia al origen.
2. Para cada par de puntos siguientes, hallar la distancia del segmento así como las
coordenadas del punto medio de
a. b.
c. d.
3. Mostrar que son los vértices de un triángulo isósceles.
4. Determine la naturaleza del triángulo usando distancias en cada uno de los siguientes
casos:
a.
b.
c.
Ax1, y1, z1  y Bx2 , y2 , z2 , A B
   2  2  2
2 1 2 1 2 1 d A, B  AB  x  x  y  y  z  z .
A y B.
Punto medio del segmento   1 2 , 1 2 , 1 2 .
2 2 2
A3,2,5 y B2,1,7, A B
AB.
     
 
2 2 2
2 2 2
5 1 2 30.
    
M AB 3 2 , 2 1, 5 7 1 , 3 ,6 .
2 2 2 22
   
A0,0,2,B0,2,3, C5,2,4 y D2,3,5.
A y B AB,
AB.
A3,2,5 y B2,1,7; A5,2,1 y B2,3,5;
A0,0,0 y B2,1,5; A3,0,7 y B0,2,0.
A0,4,4, B2,6,5 y C1,4,3
ABC
A2,1,7, B3,1,4 y C5,4,5;
A0,0,3, B2,8,1 y C9,6,18;
A5,6,2, B6,12,9 y C2,4,2.

204. C1,2,4 AB A 2,1,3.
Px, y, z A2,1,4 P B1,3,2.
 x, y, z;
P x, y, z OP

    1 1 1 2 2 2 A x , y , z y B x , y , z , AB
204
d.
A1,0,3, B2,2,0 y C4,6,6.
5. Una esfera tiene como centro y diámetro donde es Encontrar las
B
coordenadas de así como el radio de la esfera.
Y 14
6. Encontrar las coordenadas de dos puntos ubicados en el eje que se encuentran a
unidades de
B  1,1,2.
P x, y, z
7. Encontrar la ecuación cartesiana del lugar geométrico de todos los puntos que están
a 3 unidades del origen.
P x, y, z
8. Encontrar la ecuación cartesiana del lugar geométrico de todos los puntos que están
2 A1,2,3.
a unidades del punto
9. La distancia de a es igual a la distancia de a Hallar la
ecuación cartesiana del lugar geométrico de los puntos
10. Ilustrar y describir los siguientes conjuntos:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
P.
x, y, z : x  2
x, y, z : y  3
x, y, z : z  5
x, y, z : x  2, z  5
x, y, z : x  2, 2  y  5, 1 z  4
x, y, z : 0  x  3, 1 y  4, 2  z  5
VECTORES EN EL ESPACIO
Con cada punto asociamos el vector de coordenadas es decir que:

OP   x, y, z.
Si son dos puntos cualesquiera en el espacio, el vector es el

vector:
  2 1 2 1 2 1 AB  x  x , y  y , z  z

205. EJEMPLO
Si son dos puntos en el espacio, entonces
y Además, la longitud o norma del vector está dada
por:
 OB  2,1,7
A3,2,5 y B2,1,7, OA  3, 2,5,
EJERCICIOS PROPUESTOS


1. Dados los puntos y encontrar:

205
a. El vector de posición de a
b. El vector de posición de a
c. La distancia entre y

2. Dados los puntos y encontrar el vector de posición de:
a. al origen y la distancia de al origen
b. a y la distancia de a
c. a y la distancia de a
3. Encontrar la distancia del punto al:
a. Eje
b. Origen.
c. Al plano
REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA
Como en el caso bidimensional, los vectores en el espacio pueden ser representados por segmentos
de recta dirigidos (flechas).

El vector lo representaremos simplemente por
Si , la magnitud (longitud) del vector está dada por

AB  2  (3),1 2,7 5  5,3, 2.
AB
AB  52  32  22  38.
M 3,2,5 N 2,0,3,
M N.
N M.
M N.
A3,2,1, B3,0,5 C4,3,2,
A O A O.
C A C A.
B C B C.
P5,3,7
Y.
YOZ.
OA
A.

1 2 3 OA  (a ,a ,a )

OA
2 2 2
1 2 3 .
 
OA  A  a  a  a

206. IGUALDAD DE VECTORES
Dos vectores son iguales si tienen la misma magnitud, dirección y sentido.
Si utilizamos flechas para representar vectores, entonces vectores iguales son paralelos y tienen
igual longitud.
 
206
En términos de coordenadas tenemos:

Si y entonces
A  (a1,a2 ,a3 )

1 2 3 B  (b ,b ,b )


implica que es paralelo al vector y tienen la misma longitud y sentido. Es decir que
 

y son lados opuestos de un paralelogramo.

EJEMPLO
Encontrar si
Solución:
Si entonces y y Se
sigue entonces que b  3 y
.
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Encontrar si:
1 1 2 2 3 3 A  Ba  b y a  b y a  b .
A  B
A
B
A
B
a,b y c a 5,b 3,c  2  3 a,b,5  c.
a 5,b 3,c  2  3 a,b,5  c, a 5  3 a b 3  b c  2  5 c.
a  4, 3
2
2
c  
a,b y c

207. 3a 5,2b  3,c  7  5,1,6.
3 1 ,2 3 , 2 5 3 ,1 2 , 6 3 .
a b c a b c                    
21,0,3a  b,c 1,2
2, a,3  b, a2 , a  b
a1,1,0  b2,0,1  c 0,1,1  1,3,3.
A1,3 4, B2,5,1, C1,2,2 Dr, s,t 
A1,2,3, B3,3,2, C7,4,5 D5,1,6.
ABCD A 1,2,1 B 2,0,1 D
3,1,4. C.
PQRS P(1,2,3), Q1,2,5 R0,4,1.
207
a.
b.
2. Encontrar escalares si:
a.
b.
c.
2 5 4 3
a,b y c
3. y son cuatro puntos del espacio. Encontrar los
r, s t
valores de los escalares y si:
 
a.
AC  BD
 
b.
AB  DC.
4. Un cuadrilátero tiene como vértices y

AB

DC.
a. Encontrar y
b. ¡Qué se puede deducir acerca del cuadrilátero ABCD
?
5. es un paralelogramo. El punto es , el punto es y es el
punto Encontrar las coordenadas del punto
6. es un paralelogramo, con y
S.
a. Use vectores para encontrar las coordenadas de
b. Use el punto medio de las diagonales para chequear su respuesta.
OPERACIONES CON VECTORES
VECTOR SUMA
Definimos geométricamente, la adición de vectores de la siguiente manera:
 


Para sumar A y B :
Primero dibujamos A,
luego, a partir de su extremo dibujamos el vector B
.


 
Uniendo el origen de A
con el extremo de B
se obtiene el vector A B.
Este método es conocido
como el método del triángulo.

208.    
208
VECTORES NEGATIVOS
es el negativo de

A

A.

A

Note que tiene la misma magnitud y dirección que el vector pero sentido contrario.
VECTOR NULO
El vector nulo se escribe como y para cualquier vector se tiene:
VECTOR DIFERENCIA
Para sustraer un vector de otro, simplemente le sumamos su negativo; es decir,
 A A  A A  0.
Geométricamente:
A continuación se representa la diferencia de los vectores y
A,
0 
A
    
A B  A B.

A

B:

209. 
 A
  
2A, 3A y  3A
           
2A  A A, 3A  A A A y 3A  3A  A A A.
   
A, 2A, 3A y  3A.
209
MULTIPLICACIÓN POR ESCALAR
3, 2, 2, 2 ,
Los números reales etc., son conocidos también como escalares. Si es un vector,
5
¿qué significa expresiones tales como ?
Por definición:
En el siguiente gráfico se muestran los vectores
Note que:
  

El vector 2A  A A
tiene la misma dirección y sentido de A
pero su longitud es dos veces la de

A
.
   

El vector 3A  A A A
tiene la misma dirección y sentido de A
pero su longitud es tres veces la

de A
.
 


El vector 3A  3Aes el opuesto del vector 3A
por tanto tiene la misma dirección, sentido

opuesto y su longitud es tres veces la de A
.

210.  
1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3 A B  (a ,a ,a )  (b ,b ,b )  (a  b ,a  b ,a  b )
 
1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3 A B  (a ,a ,a )  (b ,b ,b )  (a b ,a b ,a b )
210
Observación:

A
k
 Si es un vector y un escalar.

k  0, k A
es también un vector y se dice que es una multiplicación de un escalar por un vector.
k A


A
Si los vectores y tienen la misma dirección y sentido.


Si k  0, los vectores k A
y A
tienen la misma dirección y sentidos opuestos.
 Cuando se realiza gráficamente adición de tres vectores en el espacio (en una hoja
bidimensional)debemos tomar en cuenta que los vectores son generalmente no coplanares.
FORMA ALGEBRAICA
Al igual que en el caso bidimensional, podemos definir las operaciones en términos de las
componentes de los vectores.

Si y entonces
1 2 3 A  (a ,a ,a )

1 2 3 B  (b ,b ,b )
 Adición
 Sustracción

 Multiplicación por escalar
1 2 3 1 2 3 k A  k(a ,a ,a )  (ka , ka , ka )
EJEMPLO

Si A  (2,3,5)
y entonces



B  (3,1,7)
 
A B    
3 5 3(2, 3,5) 5( 3,1,7)
 6, 9,15   15,5,35

 9, 4,50 
.
   
  
 
A B    
2 3 2(2, 3,5) 3( 3,1,7)
 4, 6,10   9, 3, 21

 13, 9, 11 
.
    
  
ALGUNAS PROPIEDADES



Sean A
, A
y A
vectores cualesquiera en el espacio y k
una constante. Se verifica:
   
A B  B  A
A BC  A B C
1. Propiedad conmutativa
     
2. Propiedad asociativa
    
3.
A 0  0  A  A
     
4.
A A A A  0
 
5.
k A  k A

211. EJERCICIOS PROPUESTOS
  

A  3,5, 2, B  2,1,3C  2,0,3
1. Para y encontrar:
 
A 2B
 
A B
  B  5C
2
1    A B  C
5 2 1 .
a. . b. c. d. e.
3
  C  2,0,3,
2.Si y encontrar:
   1 2
     D  2,3,2 ,
211
a.
b.
c.
  
     
      
A B C A B C A
 
C A
 B  1,3,5

3. Si y encontrar el vector si:
 
a. b.
4. Resolver para
  

   3 5
B  X  A
a. b. c.
  
A B  C
   
X  A  B  A
 OB  2,7,6

5. Si y encontrar así como la distancia del punto al
punto
 
 
    
6. Note que si y donde es el origen, entonces y
    
7. Sean los vectores y deducir que
 


8. En la figura, es paralelo a y es la mitad de su longitud.
3
A  3,5, 2, B  2,1,3

A , B y C .
A B , B C y C  2A .
, y 1 .
2
  

A  3,7,0

X
3X  B.
B 3X  A.
X :
3X  2A  B
2
3
OA  5,2,6

AB
A
B.
OA  A
OB  B
O AB  OB OA  B  A
BA  OAOB  A B.
A  2,1,2, B  0,3,4, C  1,2,1
BD  2AC.
BD
OA

212. 
A

B
Encontrar en términos de los vectores y expresiones para:






a. BD
b. AB
c. BA
d. OD
e. AD
f.
  BD  0,3, 4,
9. Si y encontrar:
 B  1,3,2

  2
212


a. b. c.

PARALELISMO Y VECTORES UNITARIOS
Si dos vectores son paralelos entonces uno es un múltiplo escalar del otro y viceversa.


 
 Si es paralelo al vector , entonces existe un escalar tal que .




 Si es paralelo a para algún escalar entonces es paralelo a y además
 
 
Note que es paralelo a y como se sigue que y
  A  2,6,4
Se tiene también que es paralelo a pues
EJERCICIOS PROPUESTOS
 B  6, r, s
1. Si y son paralelos, encontrar
2. Encontrar escalares dado que y son paralelos.
3. Encontrar un vector unitario paralelo al vector
4. ¿Qué puede usted deducir de las siguientes igualdades?
  1
AB   CD
a. b. c.
DA
AB  5,2, 4, AC  3, 2,7

AD
CB
CD
A
B
k A  kB
A
B
k, A
B
A  k B .
A  2,6,4
 
C  4,12,8
A  2B
1 .
2
A  C
 D  3,9,6
 
 A   3 D
.
2
A  2,1,3

r y s.
a y b 3,1,2 a,2,b
A  5,3, 2.
AB  5CD
3
 
BC  AC
5

213. 
5. Dados los puntos Deducir que y


son paralelos. ¿Qué relación existe entre las longitudes de y ?

VECTORES UNITARIOS
Un vector unitario es cualquier vector que tiene una longitud igual a una unidad.
EJEMPLOS
Los siguientes vectores son vectores unitarios:
    
 
  
A a a a a a a
( , , ) (1,0,0) 0,1,0 0,0,1
   
213
 pues su longitud es
 pues su longitud es Note también en
este caso que luego
y como se sigue que
 Otros vectores unitarios son:
  
X ,Y, Z
Los vectores son vectores unitarios especiales en la dirección
de los ejes respectivamente.


Note que si entonces el vector se puede escribir como:
EJEMPLOS
P  3,2,1, Q  1,4,3,R  2,1,2 y S  1,2,3. PR
QS
PR
QS
0,1,0 02 12  02 1
 1 , 2 , 3

  14 14 14


2 2 2 1 2 3 1.
14 14 14
              
     
1 , 2 , 3 1 1,2,3,
14 14 14 14
    
 
1 , 2 , 3 1 1,2,3
14 14 14 14
    
 
1, 2,3  14 1 , 2 , 3 1.
14 14 14
3 , 2 , 5 , 1 , 1 , 1 , 1 ,0, 2 .
38 38 38 3 3 3 5 5
A B C                 
     
i  1,0,0, j  0,1,0, k  0,0,1
1 2 3 A  (a ,a ,a )
A
    1 2 3 1 2 3
1 2 3
.
a i a j a k
  

  
   
A  (3,5,2)  3i  5 j  2k.
   
B  (1,1,1)  i  j  k.
   
 
      
 
3 , 1 , 2 3 1 2 .
2 3 2 3
C i j k

214. EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Exprese los siguientes vectores en forma de componentes y encuentre su longitud.
   
    A  2i  3 j  5k
1 5 3
B  i  j   k
  
a. b. c. d.
  2 5
 
A B
214
2. Exprese en términos de
  
 B  3,0,5
a. b. c. d.
3. Encontrar la longitud o norma de los siguientes vectores:
 1 1 1 , ,
B     
   
a. b. c. d.
   
    B  1 i  5 j  k
,
4. Para y encontrar en términos de
  1 2
A B
a. b. c. d.
5. Encontrar un vector unitario en la dirección de:
  
 
   
    1 5
B  i  j  k
   
a. b. c. d.
6. Encontrar vectores unitarios que sean paralelos a:
   
   
   
a. b. c. d.
  
   
   
   


7. Encontrar un vector en la dirección del vector que tenga una longitud de 3
unidades.

8. Encontrar un vector en la dirección del vector que tenga una longitud de 5
unidades.
9. es el punto y el punto está a unidades del punto en la dirección
Encontrar las coordenadas del punto
10. es el punto y el punto está a unidades del punto en la dirección
Encontrar las coordenadas del punto
PUNTOS COLINEALES
Tres o más puntos se dicen que son colineales si ellos están en la misma recta.
Note que,
3 2
C  i  3 j
D  3 j  2k.
i, j y k :
A  3,5,1
 C  0,4,1
 
D  3,0,2
A  3,5,2
3 3 3
 

C  2i  3 j  5k
D  i  j  5k.
A  2i  3 j  5k
3 2
i, j y k :
2A5B
3
5 3
2 A 3B
A  2i  3 j  5k
3 2
C  2i  3 j  5k
D  i  j  5k.
A  5i  3 j  k
B  i  j  k.
C  2i  3 j  5k
D  3i  j  2k.
V
A  3,5,2
v 
A  1,5,2
A A  3,2,1 B 5 3 A
  
3i  j  2k.
B.
A A  2,3,4 B 5 A
  
3i  j  5k.
B.

215.  
Los puntos están alineados si para algún escalar
EJEMPLO
Los puntos y son colineales pues
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Pruebe que los siguientes puntos son colineales:
   
   1 2 3 B  b ,b ,b
215
a. y
b. y
 
AB  BC
2. y son puntos colineales. Encontrar y
3. y son puntos colineales. Encontrar y
EL PRODUCTO ESCALAR
 Para los vectores y B   b ,b
 en el plano, definimos el producto escalar o producto
1 2 punto de dichos vectores como:
 


La definición geométrica del producto punto de los vectores y , está dada por:


donde es el ángulo entre los vectores y
Parece natural definir el producto punto en el espacio, de la misma manera. Es decir que:
Definición (del producto punto). Si y son vectores cualesquiera del
espacio, entonces:

donde es el ángulo entre los vectores y
 
   
PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR
Al igual que para vectores en se tiene las siguientes propiedades:


A, B y C AB  kBC
k.
A1,2,3, B4,0,1 C14,4,9 1 .
2
A2,1,4, B4,3,0 C19,8,10.
A2,1,1, B5,5,2 C1,7,4.
A2,3,4, B11,9,7 C13,a,b a b.
A1,1,0, B4,3,7 Ca,2,b a b.
  1 2 A  a ,a

    1 2 1 2 1 1 2 2 A B  a ,a  b ,b  a b  a b .
A
B
A B  A B cos ,
 A
B.
  1 2 3 A  a , a ,a

    1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3 A B  a ,a , a  b ,b ,b  a b  a b  a b .
A B  A B cos ,
 A

B.
2 
   
A B  B  A
  
2 A A  A

216.       
  
A B C  D  A C  A D  B C  B D.
   
 
       
 
oy A A B B
 B  1, 2,0.
   
216



k A B  k A B
   1 2 3 B  b ,b ,b
Estas propiedades se prueban usando vectores tales como , etc.
Observación:


Para vectores no nulos y
PROYECCIÓN DE UN VECTOR SOBRE OTRO NO NULO




Si y son vectores, la proyección de sobre el vector está dada por:
EJEMPLO
Hallar la proyección del vector sobre el vector Encontrar
así como el ángulo entre los dos vectores.
Solución
   
   
 
 
De se sigue que o también: Para nuestro
ejemplo
   
A B C  A B  A C
           
    
  1 2 3 A  a ,a ,a ,

A
B:
A B  0 A y B son perpendiculares.
A
B
A
B
2 Pr . B
B

   

A  3,5,1

A B, A , B
A B  3,5,1 1, 2,0 13, A  3,5,1  32  52 12  35, B  12  22  02  5.
A B  A B cos ,
cos A B ,
A B



 
  arccos . A B
A B

     
 
 

217. arccos
 
 
A B
A B
arccos 13
 
 
       
 
     
 
 
    
 
    
 
EJERCICIOS PROPUESTOS
oy A A B B
2
   
 
  C  1, 2,2,
1. Para y encontrar:
 
 
  2 A
a. b. c. d. e. f.
2. Encontrar:
 
a. b. c. d. e. f.
 B  2t,3,4
  C  1,5,4
217

     
 
g. 5i  3 j  k  3i  j  2k .
  5i  3 j  k  i  j  k 
3. Encontrar si los vectores y son perpendiculares.
4. Mostrar que los vectores y son perpendiculares dos a
dos.
5. Considere el triángulo de vértices y Usando el
producto punto, pruebe que se trata de un triángulo rectángulo.
6. y son los vértices de un cuadrilátero.
a. Pruebe que es un paralelogramo.

b. Encontrar y ¿Qué se puede decir acerca de ?
 
c. Encontrar ¿Qué propiedad geométrica se verifica?
   
   
7. Para y encontrar:
35 5
arccos 13 .....
5 7

     
 
 
    
 
     
 
A  3,5,1, B  1, 2,5

A B
B  A
A A
 A B C
     A B C  A B  AC
      
3,5,11,2,5 i  i
i  j
j  k
i  k
     
t A  3,1,t 

A  3,1, 2, B  1,1,1

ABC A(5,1,2), B6,1,0 C3,2,0.
A(2,4,2), B1,2,3, B3,3,6 D0,5,5
ABCD
AB

BC .
ABCD
AC  BD.
A  i  j  k
B  i  j  k,
 
2
Pr
3,5,1 1, 2,0
1, 2, 0
1, 2, 0
13 1, 2,0
5
13 , 26 ,0 .
5 5
B
B

   


218.  
A B
a.
 
b. El ángulo entre
A y B.


c. La proyección del vector A
sobre el vector
B.

d. La longitud o norma de la proyección del vector A
sobre el vector

B.
ABC A(3,0,1), B3,1,2 C2,1,1.
B, BA
8. Determinar los ángulos del triángulo de vértices y


BC
Recuerde que para encontrar el ángulo en los vectores y son usados.
9. En cada uno de los siguientes casos, encontrar las medidas de los ángulos del triángulo
218
a.
b.
c.
d.
P1,2,3, Q0,2,1 y R2,1,2.
P2,2,1, Q1,2,4 y R3,1,1.
P4,3,0, Q0,3,2 y R3,0,1.
P6,2,1, Q4,3,1 y R3,1,3.
10. Use métodos vectoriales para determinar la medida del ángulo
PQR.
ABC.
Sugerencia: Ubique adecuadamente la figura en un sistema de coordenadas cartesianas en el
espacio.
11. Para el cubo de lado 2 cm, que se indica en la figura, usando métodos vectoriales, calcular:

219.     . A B  A B
219
a. La medida del ángulo
b. La medida del ángulo
c. La medida del ángulo
12. Los lados y miden 8 cm, 5 cm y 3 cm respectivamente. es el punto
medio de
Encontrar, usando métodos vectoriales:
a. La medida del ángulo
b. La medida del ángulo
13. Para el tetraedro , encontrar:
a. Las coordenadas del punto
b. La medida del ángulo
14. Encontrar el ángulo determinado por:
a. El eje y el vector
b. Una recta paralela al eje y el vector

15. Si y encontrar
16. Usando mostrar que:
a.
b.
ABS.
RBP.
PBS.
KL, LM LX  P
KL.
YNX.
YNP.
ABCD
M.
DMA.
X 1,2,3.
Y 1,1,3.
A  3
B  4,
   
  
X  X  X ,
     
2 2 2 2 A B  A B  2 A  2 B .
  2   2
 
A B  A B  4 A B.

220.   
17. Explique por qué no tiene sentido.
PRODUCTO VECTORIAL
Recordemos que el producto punto o producto escalar de dos vectores es un escalar. Ahora
queremos definir otra forma de multiplicar vectores en la cual el resultado es otro vector, el mismo
que será llamado producto vectorial.
  Dados dos vectores queremos encontrar un vector
X   x, y, z
 
que sea perpendicular a los dos vectores Debe verificarse entonces que: y
En términos de componentes se tiene:
 
 
a x a y a z 0
a x a y a z
b x b y b z b x b y b z
       
         
Resolvamos el último sistema. Para eliminar multiplicamos la primera ecuación por y la
segunda por es decir:
Sumando miembro a miembro las dos ecuaciones se sigue: de donde:
Se deduce entonces que para todo no nulo.
y a b 
a b .
z ab ab
Remplazando ahora estos valores en la primera ecuación del sistema, es decir en
se tiene:
a x  a y  a z
a x a a b a b t a a b a b t
    
    
 
 
  2 3 3 21 x  a b  a b t.
a a b a a b a a b a a b t
a a b a a b t
a ab ab t
Obteniéndose finalmente que
El vector más simple, que sea perpendicular a los dos vectores se obtiene haciendo y entonces
dicho vector es:
220
A BC
    1 2 3 1 2 3 A  a , a , a y B  b ,b ,b ,

A y B.
X  A  0
X  B  0.
1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 2 3
.
0
x, 1 b
1a ;
1 1 2 1 3 1
1 1 1 2 1 3
.
a b x a b y a b z
a b x a b y a b z
   
   
    1 2 2 1 3 1 1 3 a b  a b y  a b  a b z,
3 1 1 3
1 2 2 1


    3 1 1 3 1 2 2 1 y  a b  a b t y z  a b  a b t, t
1 2 3 ,
   
 
 
 
1 3 1 2 2 1 2 3 1 1 3
1 3 2 2 3 1 2 3 1 1 2 3
1 2 3 1 3 21
1 2 3 3 21 .
t 1
  2 3 3 21 3 1 1 3 1 2 2 1 a b  a b ,a b  a b ,a b  a b .

221. a2b3  a3b21,a3b1  a1b3,a1b2  a2b1  A y B
El vector es llamado el producto vectorial de y se escribe
 
como Esto es,
 
Para no tener que memorizar dicha expresión, recurriremos a los determinantes
a a
b b
La expresión puede ser representada por ; es decir que De
manera similar,
  3 1
y
a a a a a a
 
  
    
   
221
Luego
Note la estructura:
a a
El producto vectorial se escribe también como:
En forma simbólica, se lo expresa como un determinante :
EJEMPLO
Si entonces
 
A B.
  2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 A B  a b  a b ,a b  a b , a b  a b .
22.
1 2 2 1 a b  a b 1 2
1 2
1 2
1 2 2 1
1 2
.
a a
a b a b
b b
 
2 3
2 3 3 2
2 3
a b a b
b b
3 1 1 3
3 1
.
a a
a b a b
b b
 
2 3 3 1 1 2
2 3 3 1 1 2
, , .
A B
b b b b b b
 
 
2 3 3 1 1 2
2 3 3 1 1 2
.
a a a a a a
A B i j k
b b b b b b
33.
1 2 3
1 2 3
.
i j k
A B a a a
b b b
 
  
 
 
A  3,1, 2, B  1,1,1,

222.   
    
AB    i  j 
k
EJERCICIOS PROPUESTOS
i j k
  
1. Si calcule:
 
 
 
 
     A A B
a. b. c. d. e. f. g.
i. j. ABC.
  
 
 3 , A A
 3 , A B
 3 , A A B
   
  AB C
 3 ,
      
A BC  D  AC  AD BC  BD
222
 
  
5 Dados los vectores calcular:
     
 
 
 
 
 
a) ; b. ; c. ; d. ; e. ; e. ; f. .
6 Si es un vector cualquiera de ¿qué se puede afirmar acerca de ?
7 Si y son vectores cualesquiera de ¿qué se puede afirmar acerca de y de ?
8 Si y son vectores cualesquiera de ¿qué se puede afirmar acerca de y de
?
   


  
9 Dados los vectores A  5i  3 j  k,
B  i  j  k,
   
y CB  i  2 j  3k,
y encontrar:
 
 
 
a) ; b. ; c. ; d. ; e. ; f. .
  
10 Si y son vectores cualesquiera de probar que:
a)
b)
11 Simplificar:
a)
b)
c)
d)
e)
   
  
A BA B
  
12 Encontrar todos los vectores que son perpendiculares a los vectores:
a)
b)
 
1 2 2 3 3 1
3 1 2
1 1 1 1 1 1
1 1 1
5 4
1, 5, 4 .
i j k
 

   
  
  
A  1, 2,3, B  0, 2,1 y C2,1, 2,
AB
AC
B A
AC
A BC
      
B A B
 A BC
i  1,0,0, j  0,1,0, k  0,0,1,
ii, j  j, k  k
i j
j i
ik
k i
j  k
k  j
A
 
A
B
 
B A
A
B
  
B A B
A B
AC
BC
       A B  B C
          
A B  BC
 A, B, C
D
AB C  A B  AC
           
A BA B
AA B
   
   
3A 2B3A 2B
5AA B
       
A  5i  3 j  k, B  i  j  k
A  i  j  k, B  2i  3 j  k
       

223.  3 ,
      
            
A BC  D AC  AD  BC  BD
   
223
c)
d)
      
A  i  j, B  i  j  k
     
A  i  j, B  j  k
13 Encontrar un vector normal al plano que pasa por los puntos
PROPIEDADES DEL PRODUCTO VECTORIAL
  
Si A, B, C
y son vectores cualesquiera de entonces:





A1,1,2, B0,5,1 y C1,3,2.
D
   
A A  0
A B  B A
  
A A B  0 y B A B  0
       
AB C  A B  AC
a a a
  
  1 2 3
A  B  C 
b b b
 y es llamado el producto escalar triple de
1 2 3
1 2 3
c c c
  
A, B y C.
 
A B
DIRECCIÓN DE
   
Sabemos que A B  B A,
es decir que A B y B A
son vectores opuestos. Pero, ¿cuál es la
dirección de cada uno de ellos?
     
Sabemos que
i j  k y j i  k.

224.  
A B
La dirección de está determinada por la regla de la mano derecha, donde los dedos giran de
 
A B.
   
A B y B A.
 
  2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 A B  a b  a b , a b  a b ,a b  a b ,
 2  2  2
 
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 A B  a b  a b  a b  a b  a b  a b .
     
 2 2 2 2 A B  A B  A B ,
224
y el pulgar apunta en la dirección de
 
A hacia B
En el siguiente gráfico se muestran los vectores
 
A B
NORMA O LONGITUD DE
Como se sigue que
Se puede demostrar que
   
A B  A B cos
y como , de esta igualdad se sigue que
   
A B  A B sen , pues sen  0.

225. Consecuencia:
  
Si son vectores los dos no nulos entonces: significa que es paralelo a
ÁREAS Y VOLÚMENES
Si un triángulo está definido por los vectores entonces su área está dada por:
ABC  AB AC
     
ABC  AB AC  BA BC  CACB
 AC  11,3 3, 2  4  0,6,2.
225
unidades cuadradas.
 

 
 
Dado un triángulo de vértices el área de dicho triángulo está dada por:
Note que también dicha área está dada por:
EJEMPLO
Encontrar el área del triángulo de vértices
Solución:
Determinemos los vectores Se tiene:
y
A yB
A B  0
A

B.
A y B,
1
2
A B
A, B y C,
Área( ) 1 .
2
 
Área( ) 1 1 1 .
2 2 2
A1,3,4, B3,5,1 y C1,3,2.
 
AB y AC.
AB  31,5 3,1 4  2, 2,3


226.     
2 3 3 2 2 2
  
AB AC i j k
 
ABC  AB AC  
 
  
  
226
i j k
  
 
Como se sigue que:
Luego:
unidades cuadradas.
PARALELOGRAMOS
Si un paralelogramo está definido por los vectores entonces su área está dada por:
Dado un paralelogramo su área está dada por:
 
 
PARALELEPÍPEDOS
Si un paralelepípedo está definido por los vectores entonces su volumen está dado por:
unidades cúbicas.
2 2 3
6 2 2 0 0 6
0 6 2
22 i 4 j 12 k
.
 
     
   
 
   
AB AC  211, 2,6
2 11,2,6 2  11,2,6
2 121 4 36 2 161.
AB AC    
   
 
Área   1 1 2 161 161
2 2
A y B,
A B .
ABCD,
Área ABCD  AB AC .
A, B y C,
  1 2 3
1 2 3
1 2 3
Volumen paralelepípedo =
a a a
A B C b b b
c c c
  

227.  
 
  
 
 
  
   
  
227
Demostración:
Área de la base altura
TETRAEDRO
Si un tetraedro está definido por los vectores entonces su volumen está dado por:
unidades cúbicas.
   
 
 
, pues
cos , donde es el ángulo entre y
pues cos 0.
Volumen
B C AN
B C A sen sen AN
A
A B C sen

A B C  
A B C
A B C

 
  

  
     
  
A, B y C,
  
  1 2 3
1 2 3
1 2 3
Volumen tetraedro = 1 1
6 6
a a a
A B C b b b
c c c
  

228. 1 Área de la base altura
3
1 1
3 2
1 , pues
6
1
6
1 cos , donde es el ángulo entre y
6
1 pues cos 0.
6
 
 
  
  
 

     
 
  
 

     
A B C A B C
  
228
Demostración:
   
 
B C AN
B C A sen sen AN
A B C sen
  
 
Volumen
A
A B C
 
   

EJEMPLO
Hallar el volumen del tetraedro de vértices y
Solución:
A1,1,1, B2,1,1, C2,3,1 D1,2,3.

229.   
AB, AC y AD.
Determinemos los vectores Se tiene:
  
AB  1,2,0, AC  3,2,2 y AD  0,3,4.
  
AB AC AD
229
Luego:
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Calcular el área del triángulo en cada uno de los siguientes casos:
a. y
b. y
c. y
2. Calcular el área del paralelogramo en cada uno de los siguientes casos:
a. y
b. y
3. es un paralelogramo donde Encontrar:
a. Las coordenadas de
b. El área de
4. es un tetraedro con Encontrar:
a. El volumen del tetraedro.
b. El área total del tetraedro.
5. Si son tres puntos en el espacio, encontrar si el área del
triángulo es unidades cuadradas.
6. Si son cuatro puntos en el espacio. Encontrar una fórmula para el área total del
tetraedro determinado por dichos puntos.
 
1 2 0
Volumen tetraedro = 1 1 3 2 2
6 6
0 3 4
1 10 5 unidades cúbicas.
6 3

    
 
 
ABC
A1,1,1, B2,1,1 C2,3,1
A3,2,5, B2,3,1 C2,3,5
A1,1,1, B0,3,4 C2,5,0
ABCD
A1,0,1, B2,1,3, C2,3,1 D1,2,3.
A1,1,1, B2,1,1, C2,3,1 D1,2,3.
ABCD A(1,3, 2), B2,0, 4 y C 1,2,5.
D.
ABCD.
ABCD A(2,3,0), B3,5,2, C 0, 2,1 y D2, 2,3.
A(1,1, 2), B2,0,1 y C k, 2,1, k
ABC 88
A, B, C y D,

230. PRUEBA PARA LA COPLANARIDAD DE CUATRO PUNTOS
Cuatro puntos en el espacio o son coplanares o son los vértices de un tetraedro. Si ellos son
coplanares, el volumen del tetraedro es cero. Es decir:
  
Cuatro puntos del espacio son coplanares si y solo si
A, B, C y D, AB AC AD  0.
EJEMPLO
¿Son coplanares los puntos A1, 2,4, B3, 2,0, C 2,5,1 y D5,3,1
?
Solución:
  
Se tiene: Luego,
AB  2,0, 4, AC  1,3,5, AD  4,5,3.
  
 
2 0 4
1 3 5 0.
4 5 3
AB  AC AD  

A, B, C y D,
En consecuencia los puntos son coplanares.
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Determinar si los siguientes puntos son coplanares:
A1,1, 2, B2, 4,0, C 3,1,1 y D4,0,1
A2,0,5, B0,1, 4, C 2,1,0 y D1,1,1
k A2,1,3, B4,0,1, C 0, k, 2 y D1, 2,1

1 1 1 1 P(x , y , z ) V  (a,b, c).
230
a.
b.
2. Encontrar dado que los puntos son coplanares.
RECTAS EN EL ESPACIO
Supongamos que P(x, y, z)
es un punto que se mueve libremente en una recta que pasa por el punto
y que es paralela o tiene como vector director a un vector

1 PP
, V 
t
Es claro que el vector es paralelo al vector director luego existe un escalar tal que
Haciendo variar en se obtienen todos los puntos de la recta que pasa por el punto
y es paralela al vector Podemos entonces decir que dicha recta es el conjunto de
 
1 PP  tV.
t 
1 1 1 1 ( , , ) P x y z . V 

231.  
P3 1 PP  tV,
t.
todos los puntos que verifican la igualdad con Es decir es el conjunto
 
 3 
 
1 P : PP  tV, con t .
 
1 PP  tV, con t
 L
La ecuación se denomina la ecuación vectorial de la recta que pasa por
   1L P,V .
1 1 1 1 P(x , y , z ) V,

y es paralela al vector y que la designaremos por Es decir:
  
   3 
 
1 1 L P,V  P : PP  tV, con t .
Reemplazando las coordenadas en la ecuación vectorial se sigue que:
      1 1 1 x  x , y  y , z  z  t a,b,c , con t.
x x at x x at
y y bt t y y bt t
z z ct z z ct
   ,   
,
 1  1
   ,con   
  ,con
      
   
1 1
1 1
a  0, b  0 y c  0, t
    1 1 1 x  x , y  y , z  z  t a,b,c
1 1 1 x  x  at, y  y  bt y z  z  ct, t
a  0, b  0 y c  0, x x1 y y1 z z1 .
231
 
1 PP  tV, con t
De la última igualdad se deduce además que:
,
t
denominadas ecuaciones paramétricas de la recta, donde es el parámetro.
Si se puede eliminar el parámetro de las ecuaciones paramétricas y se
obtiene:
x  x1  y  y1 

z z1 .
a b c
Resumen:
Si una recta pasa por el punto y es paralela o tiene como vector director al vector
entonces:
1 1 1 1 P(x , y , z )

V  (a,b, c),
 Su ecuación vectorial es: o también
    1 1 1 x, y, z  x  at, y  bt, z  ct
 Sus ecuaciones paramétricas son donde es llamado
el parámetro y toma cualquier valor real.
 Si sus ecuaciones cartesianas son:
  
 
a b c
EJEMPLO 1
Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto y es paralela al vector
  1 P 1,2,3

V  3,2,1.

232. x  y  z 
x z y  
232
Solución. La ecuación vectorial de la recta es
 
De donde: es la ecuación vectorial de la recta.
Por lo tanto las ecuaciones paramétricas están dadas por: con
Las ecuaciones cartesianas son:
EJEMPLO 2
Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto y es paralela al vector

Solución.
La ecuación vectorial de la recta es:
 
De donde: es la ecuación vectorial de la recta.
Por lo tanto las ecuaciones paramétricas están dadas por: con
Las ecuaciones cartesianas son:
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Encontrar las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por los puntos:
a.
b.
c.
d.
P1P  tV, con t
  x 1, y  2, z 3  t 3,2,1, con t.
x, y, z  1,2,3  t 3,2,1, con t,
x  1 3t, y  2  2t, z  3  t,
t.
1  2 
3 2 .
3
1
  1 P 5,2,3
V  1,0,3.
1 PP  tV, con t
  x 5, y  2, z 3  t 1,0,3, con t.
x, y, z  5,2,3  t 1,0,3, con t,
x  5  t, y  2, z  3 3t, t.
5  3,  2 
0.
1 3
A2,1,1 y B2,1,3
A0,1,1 y B2,1,3
A0,3,2 y B2,0,3
A0,1,1 y B7,1,3

233. 1,1,2
2. Hallar las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto y es paralela al
L x  t, y 1 t, z  2  2t, con t  A(1, 2,3),
A L.
XY
XZ
YZ
x y z  
4 3 2 .
  
5 1
z  7.
x  3  5( y 1)  2z,
x t x s
  1    72

      
          
   
L y t t L y s
: 2 3 , con y : 1 , con s .
1 2
z 1 t z 2
s
1 L 2 L A
      1 L : x, y, z  1,2,1  t 1,1,2 , con t
      2 L : x, y, z  3,1,2  s 2,3,1 , con s,
XY XZ YZ
3x 1  2( y  2)  z 3 x  y  z,
233
vector

V  3, 2, 4.
3. Dada la recta de ecuaciones paramétricas y
probar que el punto no pertenece a la recta
4. Las ecuaciones simétricas de la recta están dadas por
a. ¿En qué punto la recta intersecta el plano ?
b. ¿En qué punto la recta intersecta el plano ?
c. ¿En qué punto la recta intersecta el plano ?
5. Considere la recta definida por

a. Escribir las ecuaciones paramétricas de la recta.
b. Determinar un vector director de la recta.
c. Encontrar el punto de la recta para el cual
x z y

1    3, 
2.
3
x y z  
2  1  3 
.
3 5
6. Escribir las ecuaciones paramétricas de la recta Determinar un vector

y  3.
director de la recta y encontrar el punto de la recta para el cual
7. Dada la recta con ecuaciones encontrar las ecuaciones de la recta en:
a. forma paramétrica
b. forma vectorial
8. Dadas las rectas:
Demostrar que y son secantes en un punto que se lo determinará.
9. Determinar si las rectas :
y
se intersecan o no.
10. Encontrar las coordenadas del punto en el cual la recta con ecuaciones paramétricas
y  3 t z  3 2t
y corta al:
a. Plano . b. Plano . c. Plano
11. Dadas las rectas y
x 1 t,
a. Encontrar vectores directores de las rectas.
b. Encontrar ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto 1,2,3
y es
perpendicular a las dos rectas dadas.

234. 12. Encontrar las coordenadas del punto de intersección de la perpendicular trazada desde el punto
P1,2,3 x 1 2t, y  4  3t, z  3 t.
3,1,4
a la recta de ecuaciones paramétricas Solución:
x  2  t, y  3 2t, z 1 t,
13. Encontrar los puntos de la recta con ecuaciones paramétricas que
5 3 1,0,2.
A , V 
 
AP 
V

V

d P d  AP sen ,
P1,2,3 L x  2  3t,
234
se encuentran a unidades del punto
DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA EN EL ESPACIO
Si una recta pasa por un punto y tiene como vector director la distancia del punto
a la recta está dada por
d
  0 0 0 P x , y , z
.
d

Demostración:
Sea la distancia entre el punto y la recta. Se tiene entonces que donde es el


ángulo entre los vectores V
y AP
. Como además que se puede
  
APV  V d,
escribir como se sigue finalmente que
   
APV  AP V sen  d,
.
 
AP V

d

V

EJEMPLO
Hallar la distancia del punto a la recta de ecuaciones paramétricas:

y  1 2t, z  3 5t.
Solución.

El vector director de la recta L es: V  3,2,5
y para encontrar un punto A en la recta
L,
damos un valor cualquiera a t, por ejemplo, para t  0 se obtiene A(2,1,3).
Luego,

235.   
i j k
   
 QPV   1 3 0  15,5,  7, QPV 
299

y y como se
235
QP  1,3,0
3 2 5
sigue que la distancia buscada es

EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Hallar la distancia del punto a la recta:
a. De ecuaciones paramétricas
b. De ecuaciones paramétricas
c. Que pasa por los puntos
2. Encontrar las coordenadas del punto de intersección de la perpendicular trazada desde el punto
a la recta
a. de ecuaciones paramétricas
b. De ecuación vectorial
3. es la ecuación de una esfera de centro y radio unidades.
Encontrar, si existen los puntos de intersección con la recta que pasa por los puntos
y
CLASIFICACIÓN DE LAS RECTAS EN EL ESPACIO
Dos rectas en el espacio pueden ser paralelas, pueden intersecarse o no son ni paralelas no se
cortan.
 Si dos rectas son paralelas, el ángulo entre ellas es
 Si las rectas se cortan, el ángulo entre ellas es
 Si las rectas no son ni paralelas ni se cortan, podemos definir el ángulo entre ellas como
el ángulo que se forma si la una recta se desplaza hasta cortar la otra.
y V  38,
299 .
38
d 
P2,3,1
x  3 5t, y  1 t, z  2  3t.
x  2  t, y  3, z 1 t.
A3,1,2 y B5,4,7
P1,1,2
x 1 t, y  2  t, z  3 t.
x, y, z  2,3,5  t 3,2,1.
x2  y2  z2  26 0,0,0 26
3,1,2
5,3,4.
0º.
 .

236. EJERCICIOS PROPUESTOS
L1 x  1 2s, y 1 2s, z 1 4s; 2 L
1. Sean la recta de ecuaciones paramétricas la recta de
x 1 t, y  t, z  3 2t; 3 L
ecuaciones la recta de ecuaciones cartesianas
x y z  
1    1 
4 .
2 3
1 L 2 L
a. Mostrar que y son paralelas.
b. Mostrar que L y L
se cortan. Encontrar además el ángulo entre las dos rectas.
2 3 c. Mostrar que y no se cortan no son paralelas.
1 L 3 L
2. Analice si las siguientes rectas, son paralelas, se cortan o si no son ni paralelas ni se cortan.
x y z  
x 1 2t, y  2  t, z  3 t 2  3  
1.
3 2
x  y  z 
.
x  1 1  2 t , y  2  12 t , z  4  12 t 3  2 
4 3 1
x  y  z 
2 2 x y z     1 2 2 1.
x y z  
x 1 t, y  2  t, z  3 2t 2  3  
5.
3 2
x 1 2t, y  8  t, z  5 x  2  2s, y  1 2s, z  3.

1 L A U
236
a. y
b. y
c. y
 
3 
1 4
d. y
e. y

DISTANCIA MÁS CORTA ENTRE DOS RECTAS
Supongamos que la recta pasa por el punto y tiene como vector director y la recta
que pasa por el punto y tiene como vector director La recta es trasladada a la recta
de tal manera que y se intersequen.
es un vector que es perpendicular tanto a como a y la recta es paralela al plano que
 
contiene las rectas y .

 
La distancia es la longitud de la proyección del vector sobre es decir:
2 L
B . V 
2 L '
2 L
'
2 L 2 L ' 1 L
U V
U
V
2 L
1 L '
2 L
d AB
U V;

237.   
 
 
EJEMPLO
Encontrar la más corta distancia entre las rectas y de ecuaciones: y
respectivamente.
Solución:
A la recta pertenece el punto y tiene como vector director

A la recta pertenece el punto y tiene como vector director
 
 1 1 1 1 1 1  
     
3 1 ( 2)(0) 2(1)
 
237
Se tiene y
Luego:
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Encontrar la más corta distancia entre las rectas:
a. y
b. y
 
.
AB U V
d
U V


L1 L2 x  t, y  1 t, z  2  t
x  3 s, y  1 2s, z  4  s,
1 L A0,1,2 U  1,1,1.

2 L B3,1,4 V  1, 2,1.
AB  3,2,2
, , 1,0,1.
2 1 1 1 1 2
U V
   
           
   
2 2 2
( 1) 0 1
1 unidades.
2
AB U V
d
U V
   

  
 
x 1 2t, y  3 t, z  2  3t x  y  z
x 1 2t, y 1 t, z 1 t x 1 2s, y  2  s, z  s.

238. PLANOS

Supongamos que un plano tiene como un vector normal al vector N
y que pasa por el punto
 
P0 x0 , y0 , z0 . Si P(x, y, z) es un punto cualquiera del plano, debe verificarse:
N  P P  0.
0    
     
N PP a b c x x y y z z
0 ,, , , 0
       
0 0 0 0
a x x b y y c z z
ax by cz ax by cz
ax by cz d ax by cz
      
0 0 0
     
     
   1 1 1 x , y , z
238
Se tiene las siguientes equivalencias:
0 0 0
0
, con .
0 0 0
 
La ecuación se denomina la ecuación vectorial del plano y la ecuación
es la ecuación cartesiana del plano.
Nota. Si un plano tiene como vector normal y pasa por el punto entonces
tiene por ecuación donde es una constante. Si el plano pasa por el
origen.
EJEMPLO

Encontrar la ecuación del plano que tiene como un vector normal el vector y contiene
al punto
Solución:
Usando la ecuación vectorial se sigue:
es decir que la ecuación del plano buscada es
 
0 N  P P  0,
ax  by  cz  d
N   A, B,C
Ax  By Cz  D, D D  0,
N  2,3,1
1,1,1.
    0 0 0 a,b,c  x  x , y  y , z  z  0,
2,3,1x 1, y 1, z 1  02x  3y  z  4,
2x  3y  z  4.

239. EJERCICIOS PROPUESTOS
2,3,1 4,3,2
1,0,1 1,3,2
0,0,1 1,1,2
239
1. Encontrar la ecuación del plano:
a. Con vector normal y que pasa por el punto
b. Con vector normal y que pasa por el punto
c. Con vector normal y que pasa por el punto
d. Perpendicular a la recta que pasa por los puntos y y al cual pertenece
el punto
2. Determinar un vector normal al plano con ecuación:
a.
b.
c.
d.
e.
3. Encontrar la ecuación cartesiana del plano que pasa por los puntos:
a.
b.
c.
Sugerencia: Analice la figura siguiente:
4. Encontrar la ecuación del plano que contiene al punto:
a. y es normal (perpendicular) al plano de ecuación
b. y es normal (perpendicular) al plano de ecuación
5. Encontrar las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por los puntos:
a. así como su punto de intersección con el plano de ecuación:
b. así como su punto de intersección con el plano de ecuación:
6. Encontrar las coordenadas del pie de la perpendicular trazada desde al plano de
ecuación Encontrar además la distancia del punto al plano. Solución: El
pie de la perpendicular es y la distancia es
7. Encontrar la distancia del punto
A3,1,5 B2,5,3
A.
2x  3y  5z  8
2y  5z 10
y  2
x 1
z  4
A1,2,3, B4,3,5 y C2,3,2.
A1,2,3, B2,3,1 y C2,0,2.
A1,2,3, B4,3,5 y C2,3,2.
2,3,5 x  3y  5z  3.
2,2,3 x  y  z  0.
A1,2,3 y B2,3,2
2x  y  3z 1.
A1,2,3 y B2,1,3
x  y  z 1.
A2,1,3
x  y  2z  27. A
5,4,9 54.

240.  V  1,1, 2,
 V  12  12  22  6.
240
a. al plano
b. al plano
c. al plano
8. Encontrar la distancia entre los planos:
a.
b.
9. Mostrar que la recta es paralela al plano de ecuación cartesiana
y encontrar su distancia al plano.
10. Encontrar la ecuación de dos planos que son paralelos a y que están a dos
unidades de él.
ANGULO ENTRE UNA RECTA Y UN PLANO
Consideremos una recta que tiene como vector director y un plano con vector normal y que
en la intersección la recta hace un ángulo como se muestra en la figura. El ángulo verifica
o lo que lo mismo


 
 
 
EJEMPLO
Encontrar el ángulo agudo entre el plano y la recta con ecuaciones paramétricas
Solución:
Se tiene y
Luego
0,0,0 3x  4y  5z 10.
1,1,1 x  y  2z  3.
1,0,1 x  2z 1.
x  y  2z  3 y 2x  2y  4z 11
1 2 ax  by  cz  d y ax  by  cz  d .
x  2  t, y  1 2t, z  3t,
11x  4y  z  0
2x  y  2z  5
V
N
 
cos
N V
sen
N V
 
 
N V
  arcsen
.
N V

  
  
 
 
x  2y  z  8
x  t, y 1 t, z  3 2t.
N  1, 2,1
  
N V  1,1, 2 1, 2,1  3,
N  12  22  12  6,


241.  
 
                         
3 1 radianes.
6 6 2 6
N V
arcsen arcsen arcsen
N V
EJERCICIOS PROPUESTOS
x y z
 x  y  z  5 1 
 1  
2
4 3
2x  y  z  8 x 1 t, y  1 3t, z  t.
3x  4y  z  4 x  4  3 y  2z 1

N2
 
 
  
N N
N N
  
arccos .
 
 
241

1. Encontrar el ángulo agudo entre:
a. El plano y la recta
b. El plano y la recta
c. El plano y la recta
ANGULO ENTRE DOS PLANOS

 
 
N 
N
N N
1 2
cos


Nota. es el coseno del ángulo agudo entre dos planos.
1 2
Es decir que:

Si dos planos tienen vectores normales N1
y y 
es el ángulo agudo entre ellos entonces
1 2
1 2

EJEMPLO
Encontrar el ángulo agudo entre los planos con ecuaciones y
Solución:
x  y  z  8 2x  y  3z  1.

242. x  y  z  8 N1  1,1,1
El plano tiene como vector normal y el plano tiene
como vector normal
Si es el ángulo agudo entre los dos planos, entonces:
 
 
N N
N N
EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Encontrar el ángulo agudo entre los planos con ecuaciones:
a. y
b. y
c. y
INTERSECCIÓN DE DOS O MÁS PLANOS
242
 Dos planos en el espacio pueden ser:
 Tres planos en el espacio pueden ser:

2x  y  3z  1
N1  2,1,3.

1 2
1 2
2 1 3
arccos arccos
1 1 1 4 1 9
2 2 arccos arccos 72,02 .
3 14 42

                      
            
   
2x  y  z  3 x  3y  2z  8
x  y  3z  2 3x  y  z  5
3x  y  z  11 2x  4y  z  2.

243. EJERCICIOS PROPUESTOS
243
1. Bajo qué condiciones dos planos son:
a. Paralelos? b. Coincidentes?
2. Resuelva los siguientes sistemas usando operaciones elementales sobre filas e interprete cada
sistema geométricamente:
a.
b.
x y z
x y z
3 2 8
   
   
2 5
3 9 2 4
3
x y z
x y z
   
   

244. x y z
x y z
x y z k
   
   
   
244
c.
d.
x y z
x y z
2 5
   
   
2 4 2 16
x y z
x y z
2 3 6
   
   
3 6 9 18
3. Discuta las posibles soluciones de los siguientes sistemas donde es un número real,
interpretando geométricamente.
a.
b.
x y z
x y kz
   
   
x y z
x y z k
   
   
4. Encontrar todos los valores de para los cuales el sistema
Donde toma todos los valores reales, tiene solución única.
k
2 6
2 4 12
3 8
2 2 6
m
3 1
2 3 3
3 5 5
k