Examen de la primera evaluación I término 2009‐2010 

1.
Escuela Superior Politécnica del Litoral
Instituto de Ciencias Matemáticas
CÁLCULO DIFERENCIAL
Examen de la primera evaluación I término 2009‐2010
10 de julio de 2009
SOLUCIÓN Y RÚBRICA DEL EXAMEN
NOTA: En los ejercicios que involucren el cálculo de límites, NO ESTA PERMITIDO la aplicación de la
regla de L’Hopital
Tema 1
Califique cada una de las siguientes proposiciones como Verdaderas o Falsas. Justifique su afirmación.
a. (4 puntos) Si es una función de variable real con regla de correspondencia
|
entonces
tal que |
,
Se puede observar que:
1
0
1
1
|
Por lo tanto la proposición es VERDADERA
|
1.
1

2. Desempeño
Insuficiente
No desarrolla procesos
coherentes que
conduzcan a
determinar la cota o
califica correctamente
la proposición sin
justificar
0
Regular
Grafica parcialmente la
función (o intenta
realizar un acotamiento
a la función)
1
Satisfactorio
Realiza la gráfica de la
función correctamente
(o realiza un
acotamiento de la
misma por procesos
algebraicos) y no
concluye
2‐3
Excelente
Califica correctamente
la proposición
mostrando procesos
correctos y completos,
e indicando un valor de
M válido
4
b.
(4 puntos) lim
Considere
1
por lo que:
1
lim
1
lim
0
Por lo tanto la proposición es FALSA.
Desempeño
Insuficiente
No desarrolla procesos
coherentes que
conduzcan a
determinar el límite o
califica correctamente
la proposición sin
justificar
0
Regular
Realiza un cambio de
variable pertinente que
permita transformar la
función original a otra
con límite conocido en
el punto dado (o
establece alguna cota a
la función g(x)=sen(x))
pero no es consistente
con la tendencia de la
nueva variable.
1
Satisfactorio
Evalúa correctamente
el límite de la función
por simple inspección
(o aplicando el
teorema del
emparedado) y no
concluye
Excelente
Califica correctamente
la proposición
mostrando procesos
correctos y completos
2‐3
4

3. c.
(4 puntos) lim
1
0
Por definición:
1,
0,
1
1,
0,
1
1
1
1
1,
0,
0
0
1
1
2
2
Por lo que:
lim
1
1
lim
1
0
Por lo tanto:
1 no existe
lim
Insuficiente
No desarrolla procesos
coherentes que
conduzcan a
determinar el límite o
califica correctamente
la proposición sin
justificar
0
Desempeño
Regular
Satisfactorio
Realiza la gráfica de la
Aplica la definición de
función interna o
la función escalón
intenta aplicar la
unitario (o por medio
definición de la función
gráfico) y evalúa los
escalón unitario pero se
limites unilaterales
correctamente pero no
equivoca en la
resolución de las
concluye
desigualdades.
1
2‐3
Excelente
Califica correctamente
la proposición
mostrando procesos
correctos y completos
4

4. d. (4 puntos) Sea una función continua en todos los reales cuya regla de correspondencia se
expresa como:
,
,
entonces es derivable en
.
La proposición es FALSA.
Contraejemplo:
,
,
La función es continua en
0
0
0, sin embargo no es derivable en
0.
Desempeño
Insuficiente
No desarrolla procesos
coherentes que
conduzcan a
determinar si la función
es continua en el punto
x=0 o califica
correctamente la
proposición sin
justificar
0
Regular
Muestra la gráfica de
alguna función pero la
misma no cumple con
la hipótesis de
continuidad en todos
los reales, o no define
expresamente las
funciones g(x) y h(x)
Satisfactorio
Establece un
contraejemplo
(definiendo g(x) y h(x))
la misma que es
continua en todos los
reales pero no justifica
completamente si la
misma es derivable en
x=a.
2‐3
1
Tema 2
Calcule cada uno de los siguientes límites
a.
(5 puntos) lim
1
lim
1
5
5
Excelente
Califica correctamente
la proposición
mostrando algún
contraejemplo
(definiendo g(x)y h(x)) y
estableciendo la validez
del mismo.
4

5. 1
lim
1
5
5
1
lim
5
1
5
5
5
5
5
5
1
lim
5
1
5
5
5
5
Se conoce que:
lim
0 , lim
1 , lim
0 , lim
1
Por lo tanto:
lim
1
1
5
5
1
5
Insuficiente
No desarrolla procesos
coherentes que
conduzcan a
determinar el límite
0
Desempeño
Regular
Satisfactorio
Agrupa adecuadamente Procede a la agrupación
los términos, pero no
de términos
adecuadamente y
muestra procesos
adicionales que
divide tanto al
conlleva a la
numerador y
determinación del
denominador, para una
límite.
expresión que conduce
a límites de funciones
conocidas,
estableciendo su valor,
pero se equivoca al
simplificar la expresión
resultante.
1‐2
3‐4
Excelente
Evalúa correctamente
el límite dado
5

6. b.
(5 puntos) lim
√
lim
lim
√
1 1
2
1
1
lim
1
1
1 1 √
2
√
√
1
1
2 √
1
1
1
1
2
lim
2 √
lim
1
√
1
1
Por lo tanto:
lim
√
1 1
2
1
2
Desempeño
Insuficiente
No desarrolla procesos
coherentes que
conduzcan a la
determinación de lo
solicitado
0
Regular
Multiplica, tanto
denominador como
numerador, por la
conjugada del
numerador y simplifica
términos semejantes,
pero no simplifica los
factores del
denominador y
numerador.
1‐2
Satisfactorio
Procede a la
simplificación de la
expresión resultante y
calcula el límite, pero se
equivoca en la
evaluación
Excelente
Calcula correctamente
el límite mostrado
procesos coherentes y
correctos
3‐4
5

7. c.
(5 puntos) lim
|
|
Se conoce que:
|
4,
4,
4|
4
4
Observe que, debido a que se solicita el límite de la función cuando x tiende a 3,
entonces para valores cercanos a 3 se tiene que:
|
4|
4
4
Por lo que:
lim
|
4|
1
3
4
lim
1
3
lim
3
3
Por lo tanto:
lim
|
4|
1
3
1
Desempeño
Insuficiente
No desarrolla procesos
coherentes que
conduzcan a
determinar el límite
0
Regular
Satisfactorio
Aplica la definición de
Analiza el
la función valor
comportamiento de la
absoluto para obtener función por la derecha
la regla de
y por la izquierda del
correspondencia de la punto x=2 y calcula los
función por la derecha
límites, pero no
y la izquierda del punto
concluye
x=2, pero se equivoca al
escoger la expresión
resultante.
1‐2
3‐4
Excelente
Evalúa correctamente
el límite solicitado
5

8. d.
(5 puntos) lim
8
√
9
8
√
9
lim
lim
8
8
9
9
8
9
lim
lim
8
9
√
8
9
√
8
√
8
9
√
8
9
8
√
8
8
√
8
9
√
8
9
√
8
9
√
8
9
8
9
9
9
16
8
√
9
16
lim
8
√
9
16
lim
8
√
9
16
lim
8
9
16
lim
1
8
9
8
1
9
Por lo tanto:
lim
8
9
8
9
8
9
9

9. Desempeño
Insuficiente
No desarrolla procesos
coherentes que
conduzcan a la
determinación de lo
solicitado
Regular
Multiplica y divide por
la conjugada y procede
a la simplificación de la
expresión resultante
pero no realiza artificios
adicionales que permita
calcular el límite
solicitado.
0
1‐2
Satisfactorio
Procede a dividir tanto
numerador como
denominador para la
máxima potencia de x
simplificando la
expresión resultante
(máximo 3 puntos) y
calcula el límite (4
puntos), pero se
equivoca en los cálculos
3‐4
Excelente
Determina el límite
solicitado
correctamente
mostrando todo el
proceso.
5
Tema 3
,
a. (5 puntos) Sea la función con regla de correspondencia
0.
posible hallar el valor de para que sea continua en
lim
3
1
Considere:
1
1
1
3
1
Por lo que:
lim
lim 1
3
lim
3
1
1
3
1
1
,
0
. De ser
0

10. 3
lim
1
1
3
1
lim
1
Por lo tanto:
lim
1
3
3
Por lo que:
3
Desempeño
Insuficiente
No desarrolla procesos
coherentes que
conduzcan a la
determinación de lo
solicitado
0
Regular
Satisfactorio
Aplica el cambio de
Realiza manipulaciones
variable pertinente que algebraicas a la función
permita transformar la transformada con el fin
función original en otra de obtener el límite en
con límite en el punto
el punto x=0, pero se
x=0 conocido, pero se
equivoca en algún
equivoca en la
cálculo (por ejemplo no
tendencia de la nueva
evalúa el logaritmo
variable, o determina el natural a la expresión
valor de A calculando el
resultante)
límite directamente sin
ningún proceso.
1‐2
3‐4
Excelente
Determina
correctamente lo
solicitado mostrado el
desarrollo completo y
correcto del ejercicio.
5

11. b. (5
puntos)
Utilizar
la
definición
formal
lim √
de
1
límites
para
demostrar
que
1
Determinemos un tal que
0
|
2|
1
1 √
1
1
√
Puesto que:
|
|
2|
1
1|
1
√
1
Y como
1
√
1
1
Entonces:
|
2|
1 √
1
√
1
1
1
√
1
Reescribiendo lo anterior se tiene que:
√
1
1
|
2|
√
1
1
Por lo tanto:
Desempeño
Insuficiente
No desarrolla procesos
coherentes que
conduzcan a la
determinación de lo
solicitado
Regular
Establece la definición
de límite para la
función dada e intenta
establecer la relación
entre delta y épsilon.
0
1‐2
Satisfactorio
Realiza un acotamiento
lo que permite
establecer la relación
entre el antecedente y
el consecuente de la
definición de límite,
pero se equivoca en el
acotamiento.
3‐4
Excelente
Demuestra
correctamente el límite
de la función dada
estableciendo
claramente la relación
entre delta y épsilon
5

12. c. (4 puntos) En el diagrama mostrado a continuación, bosqueje la región
,
/0
3
, siendo
,
Insuficiente
No desarrolla procesos
coherentes que
conduzcan a la
determinación de lo
solicitado
0
Desempeño
Regular
Satisfactorio
Identifica la gráfica de
Bosqueja
alguna de las
correctamente la
ecuaciones pero se
gráfica de la
equivoca
circunferencia, así
significativamente en
como la de las rectas,
los parámetros de la
pero no sombrea la
región solicitada.
misma (por ejemplo, no
establece el centro de
la circunferencia ni el
radio o coloca la recta
en una posición
incorrecta)
1
2‐3
Excelente
Sombrea
correctamente la región
solicitada,
4

13. Tema 4
a. (5 puntos) En el diagrama mostrado a continuación, bosqueje la gráfica de una función que
cumpla con las siguientes condiciones:
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
| |
|
3|
3
3
|
|
1
|
|
Insuficiente
No desarrolla procesos
coherentes que
conduzcan a la
determinación de lo
solicitado
0
Desempeño
Regular
Satisfactorio
Excelente
Interpreta
Grafica las asíntotas
Grafica correctamente
correctamente las
oblicuas y verticales y a
la función solicitada,
definiciones formales
lo mucho 2 de las otras mostrando claramente
de límites dadas, pero
condiciones de límites las asíntotas verticales y
no realiza la
propuestas
oblicuas así como las
interpretación gráfica
otras condiciones
de las mismas
establecidas.
1‐2
3‐4
5

14. b. (5 puntos) Considere la gráfica mostrada a continuación de una función de variable real
estime, de ser posible:
i.
∆
∆
1
2
0,6
0,2
3

15. 1
ii.
∆
∆
1
3
0.4
7,5
iii.
∆
∆
1
2
1
0,8
1,25

16. 1
iv.
∆
∆
1
1
1
1
v.
2
No es derivable en
2
Esto se aplica en cada literal del ejercicio.
Insuficiente
No desarrolla procesos
coherentes que conduzcan a la
determinación de lo solicitado
0
Desempeño
Regular
Grafica de manera
coherente la recta
tangente a la curva en
cada punto dado (excepto
en el quinto literal en el
cual la derivada no existe),
pero se equivoca
significativamente en la
estimación de la
pendiente de la recta
tangente (por ejemplo, no
considera el signo de la
pendiente, o escoge
valores que no se ajusta a
la recta graficada por el
estudiante)
0,5
Excelente
Grafica y estima
adecuadamente el valor de la
pendiente de la recta tangente
(excepto en el quinto literal en
el cual la derivada no existe)
1