Apuntes de álgebra para el bachillerato para personas adultas. En gallego.

1. PRÁCTICAS PARA RESOLVER PROBLEMAS
(CON ACTIVIDADES DE NIVELACIÓN)
José Ricardo López Saavedra
IES As Mariñas
2011–2012
Matemáticas II — Álxebra

2. USO DE CALCULADORAS E SOFTWARE MATEMÁTICO
Usaranse as calculadoras da marca Texas Instruments seguintes: TI-89, TI-89 Titanium, Voyage
200 e TI-nspire CAS polos seguintes motivos:
— Son calculadoras con un sistema alxébrico computacional ou sistema de álxebra computacio-
nal SAC (CAS, do inglés computer algebra system) e facilitan o cálculo simbólico.
— Teñen un prezo asequible.
— Pesan e consumen pouco, polo que poden transportarse facilmente, e usarse en calquera en-
torno.
— Son útiles para o ensino universitario, dado que polas súas características poden usarse no es-
tudo de carreiras técnicas: enxeñerías, arquitectura, matemáticas, … como do ámbito das
ciencias sociais: económicas, empresariais, …; tamén se poden utilizar para o estudo de FP.
— Dispoñen de emulador gratuíto, e pode tamén descargarse gratuitamente o sistema operativo
(ROM) das calculadoras da páxina web oficial de TI, polo que, de dispoñer de ordenador po-
de traballarse con estas calculadoras baixo un emulador.
— Son programabeis, polo que poden adaptarse ás necesidades particulares de cada alumno.
— Existen miles de programas gratuítos para estas máquinas, que van dende xogos ata aplica-
cións específicas para enxeñería.
— Existen programas comerciais para estas máquinas, que aumentan a súa potencialidade.
Datos do software para ordenador e para calculadoras utilizado
http://education.ti.com/educationportal/sites/US/nonProductMulti/apps_latest.html
— Dende esta páxina —páxina oficial de Texas Instruments— poden descargarse gratuitamente os sistemas operativos para esas
calculadora, programas, aplicacións flash, manuais de usuario das calculadoras, do software, …
http://www.ticalc.org/
— Dende esta páxina poden descargarse miles de programas e utilidades para as calculadoras citadas: emuladores, utilidades pa-
ra windows, programas de aplicación, xogos, …
http://education.ti.com/educationportal/sites/ESPANA/homePage/index.html
— A páxina oficial de Texas Instruments en España.
http://www.ti89.com/
— É a páxina oficial dos programas para calculadoras TI «Calculo Made Easy» ou a súa versión en español «Calculo Manera Fa-
cil», e «Algebra Made Easy» e outros.
http://math.exeter.edu/rparris/
— Dende esta páxina pode descargarse todos os programas da serie “Peanut”: Wingeom, Winplot, Winstats, Winarc, Winfeed ,
Windisc, Winmat , Wincalc, Winwordy, Winlab, …
http://padowan.dk/graph/ http://www.grapheeasy.com/
— Páxina oficial do programa Graph. — Páxina oficial do programa Graphe Easy.
http://www.graphmatica.com/ http://www.dessci.com/en/
— Páxina oficial do programa Graphmatica. — Páxina oficial do programa MathType.
http://www.cabri.com/es/ http://www.geometryexpressions.com/index.php
— Páxina oficial dos programas Cabri II Plus e Cabri 3D. — Páxina oficial do programa Geometry Expresións
http://www.dynamicgeometry.com/ http://www.cinderella.de/tiki-index.php
— Páxina oficial do programa Geometer Sketchpad. .— Páxina oficial do programa Cinderella.
http://www.geogebra.org/cms/ http://www.rene-grothmann.de/car.html
— Páxina oficial do programa Geogebra. — Páxina oficial do programa Regla y Compás.
http://www.microsoft.com/es/es/default.aspx http://www.corel.es
— Páxina oficial dos programas Windows, Word, Excel, Vis- — Páxina oficial dos programas CorelDraw, Corel Photo-Paint,
sio, PowerPoint, … …
Recoñecemento de marcas rexistradas: as marcas aquí citadas, comerciais ou non, son marcas
dos seus propietarios respectivos, e aquí son citadas co único fin de divulgación docente.

3. 3
Prácticas para resolver problemas Prácticas
TÁBOA DE CONTIDOS
Matrices ............................................................................................................................................................ 5
1. Concepto de matriz .................................................................................................................................... 5
1.1. Algúns tipos de matrices, atendendo á forma ..................................................................................... 6
1.1.1. Matriz fila e matriz columna .............................................................................................................................6
1.1.2. Matriz cadrada. Elementos ..............................................................................................................................7
1.1.3. Matriz transposta..............................................................................................................................................7
1.1.4. Matriz simétrica e antisimétrica........................................................................................................................8
1.2. Algúns tipos de matrices, atendendo aos elementos.......................................................................... 9
1.2.1. Matriz nula........................................................................................................................................................9
1.2.2. Matriz diagonal.................................................................................................................................................9
1.2.3. Matriz unidade ou matriz identidade ..............................................................................................................10
1.2.4. Matriz triangular .............................................................................................................................................10
1.2.5. Matriz de permutación ...................................................................................................................................10
2. Uso de calculadoras e software matemático ........................................................................................... 10
3. Submatrices ............................................................................................................................................. 12
4. Operacións con matrices ......................................................................................................................... 14
4.1. Suma e resta de matrices.................................................................................................................. 14
4.1.1. Propiedades da suma de matrices ................................................................................................................14
4.2. Produto dun número por unha matriz—produto externo................................................................... 15
4.2.1. Propiedades do produto externo....................................................................................................................16
4.2.2. Espazo vectorial Mm,n,+, ...........................................................................................................................16
4.3. Produto dunha matriz fila por unha matriz columna.......................................................................... 17
4.4. Multiplicación de matrices ................................................................................................................. 18
4.4.1. Propiedades do produto de matrices.............................................................................................................21
4.4.1. Matriz inversa.................................................................................................................................................23
4.4.2. Para non despistarse .....................................................................................................................................24
4.5. Outros tipos de matrices.................................................................................................................... 24
4.6. Resumo das propiedades das operacións para matrices cadradas.................................................. 25
4.6.1. Propiedades das operacións internas............................................................................................................25
4.6.2. Propiedades da operación externa ................................................................................................................25
5. Complementos teóricos para o estudo de matrices................................................................................. 30
5.1. Espazos vectoriais............................................................................................................................. 30
5.2. n-uplas de números reais.................................................................................................................. 30
5.3. Combinación lineal de vectores......................................................................................................... 31
5.4. Dependencia e independencia lineal................................................................................................. 31
5.4.1. Número de n-uplas LI ....................................................................................................................................32
5.4.2. Propiedade fundamental................................................................................................................................32
5.4.3. Dependencia lineal de  .............................................................................................................................32
6. Rango dunha matriz................................................................................................................................. 34
6.1. Vectores fila nunha matriz ................................................................................................................. 34
6.2. Rango ou característica dunha matriz............................................................................................... 34
6.3. Vectores columna nunha matriz........................................................................................................ 34
6.4. Cálculo do rango polo método de Gauss ou de transformacións elementais ................................... 35
6.4.1.Transformacións elementais...........................................................................................................................35
6.4.2. Método de Gauss para o cálculo do rango dunha matriz ..............................................................................35
7. Matriz inversa........................................................................................................................................... 39
7.1. Matriz inversa a partir da definición................................................................................................... 39
7.2. Método de Gauss para calcular a inversa dunha matriz ................................................................... 39
8. Funcións de TI para o cálculo matricial. Operacións con filas ................................................................. 52
9. Programando utilidades con TI ................................................................................................................ 53
9.1. Función gaussfm ............................................................................................................................... 53
9.2. Programa gaussm ............................................................................................................................. 54
Determinantes ................................................................................................................................................ 56
1. Determinantes: definición e propiedades................................................................................................. 56
1.1. Determinantes de orde 2 e 3. Regra de Sarrus................................................................................. 56
1.2. Propiedades dos determinantes........................................................................................................ 59
2. Menor complementario e adxunto............................................................................................................ 66
3. Desenvolvemento dun determinante polos elementos dunha liña........................................................... 67
4. Método para calcular determinantes de calquera orde............................................................................ 71

4. 4
Prácticas para resolver problemas
Prácticas
5. Programando utilidades con TI ................................................................................................................ 78
5.1. Programa gaussmd ........................................................................................................................... 78
6. Métodos rápidos para determinantes grandes......................................................................................... 79
6.1. Método abreviado de Araiztegui........................................................................................................ 80
6.2. Método Pivotal ou de Chio ................................................................................................................ 81
6.3. Desarrollo simultáneo por unha fila e unha columna ou dobre desarrollo ........................................ 81
7. O rango dunha matriz a partir dos seus menores.................................................................................... 84
8. Cálculo da inversa dunha matriz usando determinantes ......................................................................... 88
8.1. Regra práctica para calcular a inversa dunha matriz ........................................................................ 88
Sistemas de ecuacións ................................................................................................................................. 99
1. Ecuacións e sistemas de ecuacións ........................................................................................................ 99
1.1. Lembrando algúns conceptos xa vistos ............................................................................................ 99
1.2. Sistemas de ecuacións.................................................................................................................... 100
1.3. Equivalencia de ecuacións e sistemas............................................................................................ 100
1.4. Resolución dunha ecuación ............................................................................................................ 101
1.5. Afirmacións xerais acerca da equivalencia de ecuacións ............................................................... 102
1.6. Afirmacións acerca do corolario ...................................................................................................... 103
1.7. Ecuacións lineais ou de primeiro grao............................................................................................. 103
1.8. Sistemas de ecuacións lineais ........................................................................................................ 104
1.9. Transformacións válidas nun sistema de ecuacións lineais............................................................ 104
2. Sistemas de ecuacións con solución e sen solución ............................................................................. 105
2.1. Interpretación xeométrica de sistemas de ecuacións con dúas incógnitas..................................... 105
2.2. Interpretación xeométrica de sistemas de ecuacións con tres incógnitas....................................... 106
2.3. Sistemas graduados........................................................................................................................ 108
2.4. Como transformar un sistema noutro graduado.............................................................................. 108
2.5. Matrices asociadas a sistemas........................................................................................................ 110
3. Método de Gauss................................................................................................................................... 111
4. Programando utilidades con TI .............................................................................................................. 121
4.1. Programa gaussk ............................................................................................................................ 122
5. Resolución de sistemas mediante determinantes.................................................................................. 123
5.1. Criterio para saber se un sistema é compatible .............................................................................. 123
4.2 Regra de Cramer.............................................................................................................................. 126
5.2. Aplicación da regra de Cramer a sistemas de calquera tipo ........................................................... 127
6. Sistemas homoxéneos........................................................................................................................... 131
7. Discusión de sistemas de ecuacións ..................................................................................................... 132
7.1. Discusión usando o método de Gauss............................................................................................ 132
7.2. Discusión mediante determinantes ................................................................................................. 137
8. Forma matricial dun sistema de ecuacións............................................................................................ 143
Prácticas xerais............................................................................................................................................ 155
1. Exemplos de repaso para preparar o exame......................................................................................... 155
Problemas de exames ................................................................................................................................. 172
1. De Selectividade — Matemáticas II ....................................................................................................... 172
Cuestións, exercicios e problemas............................................................................................................ 189

5. 5
Matrices Prácticas
MATRICES
1. Consideremos as notas obtidas por 35 Asignaturas
alumnos en 7 asignaturas. Estes resultados po- 1 2 3 4 5 6 7
den rexistrarse nunha táboa de 35 filas e 7 co- 1
lumnas, como se ve á dereita.
Nesta táboa cada fila corresponde a un alumno, 2 a25
Alumnos
e nela rexístranse as notas das súas sete asigna-
turas; cada columna determina unha asignatura 3
e, polo tanto, contén as notas dos 35 alumnos …
nesa asignatura.
A posición de cada cela da táboa está determina- 35
da por un par de números, un que indica a fila e
outro que indica a columna. Táboa A  i, j 
O conxunto de todas as celas ou posicións da táboa denótase por A  i, j  , onde os elementos i e
j son dous índices, dos cales i recorre os números correspondentes ás filas (dende o 1 ao 35) e j
recorre os correspondentes ás columnas (dende o 1 ao 7).
A táboa numérica A  i, j  tamén acostuma a indicarse por  aij  , onde aij é un elemento xenérico,
situado na fila i e a columna j . Na imaxe superior vese o elemento a25 , que se corresponde coa
segunda fila (alumno nº 2) e coa 5 columna (asignatura nº 5).
1. CONCEPTO DE MATRIZ
 Chámase matriz de dimensións m e n —usualmente m  n — sobre   ou sobre   a un
rectángulo de m filas e n columnas formado por elementos de   ou   :
 a11 a12  a1n 
 
 a21 a22  a2 n 
A   a31 a32  a3n 
 
   
 
 am1 am 2  amn 
• O símbolo  aij  designa a matriz completa. Tamén se representa por Aij .
• Cando queremos remarcar a dimensión escribimos  aij  , Am, n ou A m , n  , separando
m,n
con coma os subíndices que indican a dimensión.
• Teoricamente os elementos levan dous subíndices, onde o primeiro indica a fila onde
se atopa o elemento e o segundo indica a columna: aij , elemento situado na fila i e na
columna j. Ás veces tamén se representa por a ij , sendo a ij  aij .
 1 5 3 7 
2. Un exemplo de matriz é  2 1 1 11 ; algúns elementos son a11  1 , a12  5 , a22  1 ,
 
 4 3 4 3 
 
a23  1 , a31  4 , a34  3 .
5
1 7 2 4     3 1 4 
   2  3  
3. Tamén son matrices  3 0.5 0 1  1 4 0 3    5 10 6  .
   7   4   4 1 5 
 1 2 4 5     
0

6. 6
1. Concepto de matriz
Prácticas
 Dúas matrices son iguais cando teñen a mesma dimensión e, ademais, coinciden termo a
termo:
A   aij  

 A  B  aij  bij
m, n
B   bij  
m. n 
 3 b c d 7 4
4. As matrices A    e B  son iguais si d  3 , b  7 , c  4 , a  2 ,
 a 1 8 2 e g
e  1 e g  8 . Noutro caso son distintas.
 Dúas matrices son opostas cando teñen a mesma dimensión e, ademais, os termos son
opostos. Dada unha matriz Am, n , a súa oposta indícase por  Am , n .
Am , n   aij    Am, n   aij 
m,n m .n
 1 2 5 0 1 
 
5. Obtén a matriz oposta da matriz A   4 2 2 1 5  .
 3 3 5 5 1 
 
Solución:
 1 2 5 0 1    1  2 5 0 1 
   
A   4 2 2 1 5    A   4 2 2 1 5  .
 3 3 5 5 1   3 3 5 5 1 
   
1.1. Algúns tipos de matrices, atendendo á forma
Describimos algúns tipos de matrices que aparecen con frecuencia, debido á súa utilidade. Máis
adiante veremos outros tipos.
1.1.1. Matriz fila e matriz columna
 Matriz fila é que ten unha única fila: A1,n
A   a11 a12  a1n 
6. Escribe un exemplo de matriz fila.
Solución:
 2 
1 4 0 3 .
 7 
 Matriz columna é a que só ten unha columna: Am ,1
 a11 
 
a
A   21 

 
 an1 
7. Escribe un exemplo de matriz columna.
Solución:
5
 
 3 .
 4 
 
0

7. 7
Matrices Prácticas
1.1.2. Matriz cadrada. Elementos
 Matriz cadrada e que ten o mesmo número de filas que de columna: An , n . No caso contra-
rio chámase matriz rectangular.
 a11 a12  a1n 
 
 a21 a22  a2 n 
A   a31 a32  a3n 
 
   
a  ann 
 n1 an 2 
• O conxunto de tódolos elementos da forma aii dunha matriz cadrada chámase diago-
nal principal.
 a11 a12  a1n 
 
 a21 a22  a2 n 
 
A a31 a32  a3 n 
 
     
 an1 an 2  ann 
 
• O conxunto formado por tódolos elementos aij con i  j  n  1 dunha matriz cadra-
da chámase diagonal secundaria.
 a11  a1n 1 a1n 
 
 a21  a2 n 1 a2 n 
 
A a31   a3 n 
 
     

 an1  ann 1 ann 
 
• Chámase traza dunha matriz á suma dos elementos da diagonal principal:
n
Tr  A   a11  a22    ann   aii
i 1
8. Escribe un exemplo de matriz cadrada, e remarca nela a diagonal principal e a diagonal se-
cundaria.
Solución:
 3 1 4
 
Matriz cadrada:  5 10 6 ;
 4 1 5
 
3 1 4 3 1 4
   
Diagonal principal:  5 10 6  ; diagonal secundaria: 5 10 6 .
   
4 1 5 4 1 5
   
1.1.3. Matriz transposta
 Chámaselle transposta dunha matriz A   aij  a outra matriz At   a ji  que se obtén
m, n n,m
ao cambiar en A as filas polas columnas e as columnas polas filas.

8. 8
1. Concepto de matriz
Prácticas
 7 1 4 2
 
9. Dada a matriz A   0 5 1 3  , obtén a súa matriz transposta.
 6 2 0 5
 
Solución:
7 0 6
 7 1 4 2  
  1 5 2
A   0 5 1 3   At   .
 4 1 0
 6 2 0 5  
 
2 3 5
10.Escribe as matrices transpostas de:
7 4 1  1 7 4
 3 1  1 3 5 1    
   2 5 7 2 1 0 E   7 1 0 
 
A   2 5 B  C  0 2 4 1  D    4 0 3
 4 1 0 6 1 0 3  0 1 7  
 7 6    
 
 6 3 2 F   5 4 6 1
Solución:
 3 1
  3 2 7
A   2 5   At   ;
 7 6 1 5 6
 
 2 4
 2 5 7  
B   B   5 1 ;
t
 4 1 0  7 0
 
1 0 6
 1 3 5 1  
  3 2 1
C  0 2 4 1   C 
t
;
6 1 0 3 
5 4 0
   
 1 1 3 
7 4 1
   7 2 0 6
2 1 0  
D  D   4 1 1 3 ;
t
0 1 7
   1 0 7 2
 
6 3 2
 1 7 4  1 7 4
   
E   7 1 0   E   7 1 0  ;
t
 4 0 3  4 0 3
   
 5
 
4
F   5 4 6 1  F t    ;
 6
 
 1
1.1.4. Matriz simétrica e antisimétrica
 • Unha matriz cadrada A chámase simétrica, se At  A , ou o que é o mesmo:
aij  a ji . Para que unha matriz sexa simétrica, necesariamente ten que ser cadrada.
• Unha matriz cadrada A dise que é antisimétrica se At   A , ou o que é o mesmo:
aij   a ji . As matrices antisimétricas tamén reciben o nome de hemisimétricas.
Para que unha matriz sexa antisimétrica os elementos da diagonal principal deben ser,
forzosamente, todos ceros.

9. 9
Matrices Prácticas
 1 6 5 
 
11.Comproba se a matriz B   6 0 4  é simétrica.
 5 4 6 
 
Solución:
 1 6 5 
 
B   6 0 4  é simétrica porque B t  B .
 5 4 6 
 
12.Pon un exemplo dunha matriz antisimétrica.
Solución:
 0 3 6 
 
 3 0 4  .
 6 4 0 
 
1.2. Algúns tipos de matrices, atendendo aos elementos
1.2.1. Matriz nula
 Chámase matriz nula a aquela na que tódolos elementos son 0.
• A matriz nula represéntase por 0 e chámase tamén matriz cero.
 0 0 0
 0 0 0 0
13.A matriz 0   0 0 0 é unha matriz nula de orde 3. A matriz 0   é unha
   0 0 0 0

 0 0 0
matriz nula de dimensión 2  4 .
14.Escribe unha matriz nula de orde 23 .
Solución:
 0 0 0
A .
 0 0 0
1.2.2. Matriz diagonal
 Matriz diagonal é unha matriz cadrada na que tódolos elementos non pertencentes á diago-
nal principal son nulos.
• Matriz escalar é unha matriz diagonal con tódolos elementos da diagonal principal
iguais.
 2 0 0
 4 0
15.As matrices A e B   0 1 0 son matrices diagonais.
 0 5
  
 0 0 5
 3 0 0
 2 0
16.As matrices A    e B   0 3 0 son matrices escalares.
 
 0 2
 0 0 3

10. 10
2. Uso de calculadoras e software matemático
Prácticas
1.2.3. Matriz unidade ou matriz identidade
 Matriz unidade ou matriz identidade é unha matriz escalar cos elementos da diagonal prin-
cipal iguais a 1.
1 0 0  0
 
0 1 0  0
In   0 0 1  0 
 
    
0 0 0  1
 
 1 0 0
 1 0
17.As matrices I 2    e I3   0 1 0 son matrices unidade de orde 2 e 3, respectiva-
 
 0 1
 0 0 1
mente.
1.2.4. Matriz triangular
 Matriz triangular é unha matriz cadrada na que tódolos termos por enriba ou por debaixo
da diagonal principal son nulos.
• Se os elementos situados por debaixo da diagonal principal son cero, entón dise que é
triangular superior.
• Cando son nulos os elementos situados por riba da diagonal principal, entón dise que
é triangular inferior.
• Matriz estritamente triangular é a matriz triangular que ten nulos tamén os elementos
da diagonal principal. Pode ser estritamente triangular superior ou estritamente tri-
angular inferior.
18.As matrices adxuntas son 1 2 3 4 1 0 0 0  0 1 2
triangulares. 0 3 4 5 2 2 0 0  
     0 0 3
0 0 1 3 3 4 5 0  0 0 0
 
0
 0 0 5
 3
 1 2 6
 Estritamente triangu-
Triangular superior Triangular inferior lar superior
1.2.5. Matriz de permutación
 Unha matriz cadrada dise que é unha matriz de permutación cando ten en cada fila e en ca-
da columna un único elemento igual á unidade, sendo os restantes elementos nulos.
19.Escribe unha matriz de permutación de orde 3.
Solución:
1 0 0
 
0 0 1 .
 0 1 0
 
2. USO DE CALCULADORAS E SOFTWARE MATEMÁTICO
Imos utilizar en diversos puntos deste tema as calculadoras da marca Texas Instruments, modelos
TI Voyage 200, TI89, TI-89 Titanium e TI-nspire CAS. O uso das máquinas que aquí se describe
non pretende ser un manual de usuario das mesmas, senón que ten como finalidade facer familiar o
seu uso no bacharelato, usalas como elemento de investigación, para corrixir fallos, …
As calculadoras TI Voyage 200, TI-89 e TI-89 Titanium usan os mesmos datos, e poden intercam-
biar datos e cálculos entre elas co software de matemáticas para ordenador chamado Derive (ver-
sión 6); Derive funciona con calquera versión de Windows e necesita moi poucos recursos.

11. 11
Matrices Prácticas
TI-nspire CAS preséntase en formato de calculadora e tamén como un programa de matemáticas
para ordenador, polo que se pode intercambiar datos, cálculos e programas entre a versión calcula-
dora e software para Windows. TI-nspire CAS é unha actualización do Derive; necesita máis re-
cursos informáticos.
Para escribir unha matriz existen plantillas nas calculadoras que o facilitan. Resulta moi cómodo
escribir as matrices como se ve nas copias de pantalla adxuntas, para o exemplo 9.
Usando TI-89, TI-89 Titanium, Voyage 200 Usando TI-nspire CAS
Escríbense entre corchetes   , separando os
elementos de cada fila con  ,  e as filas sepá-
ranse con  ;  .
As copias de pantalla das calculadoras Voyage 200, TI-89 Titanium son iguais, salvo que a da Vo-
yage 200 é máis grande. Normalmente usaranse a da Voyage 200 e a da TI-nspire CAS. Como po-
la copia de pantalla se identifica claramente que calculadora de que calculadora estamos falando,
no que segue non indicaremos a cal delas nos referimos, agás que sexa especificamente necesario.
 Un erro que se comete con bastante frecuencia ao usar calculadoras consiste en premer o sig-
no da resta    cando se debe usar o signo  -  de negativo.
Estas calculadoras permiten o cálculo directo da
trasposta. Hai que buscar no menú de cálculo a
opción de traspoñer  T  ; non é elevado a T .
A función randMat  m, n  permite xerar aleato-
riamente unha matriz de dimensións m  n , con
valores entre 9 e 9.

12. 12
3. Submatrices
Prácticas
A función identity  n  xera a matriz identidade
de orden n , e a función diag  a, b, , c  xera a
matriz diagonal con diagonal  a, b, , c  .
A función augment  A ,  B   engade ás columnas de A as de B e augment  A ; B   engade ás
filas de A as de B (se as dimensións o permiten); con TI-nspire CAS hai dúas funcións para facer
este cometido.
É conveniente fixarse no uso de  ,  para separar
os elementos dunha fila e de  ;  para separar fi-
las. Se non se usa adecuadamente produce erro.
Outras funcións de TI-nspire CAS son constructMat  exp r , v1 , v2 , n º F , nº C  e trace  M n , n  que de-
volve a traza dunha matriz cadrada.
3. SUBMATRICES
 a11 a12  a1n 
 
 a21 a22  a2 n 
Sexa unha matriz Am , n   a31 a32  a3n  .
 
   
a  amn 
 m1 am 2 

13. 13
Matrices Prácticas
 Sexan i1 , i2 , …, i p índices de filas (non necesariamente consecutivos) e j1 , j2 , …, jq
índices de columnas (non necesariamente consecutivos).
• A matriz B p , q obtida tomando esas p filas e esas q columnas de A é unha subma-
triz de Am, n .
• Caixa ou bloque de Am, n é toda submatriz de A , B p , q , obtida tomando p filas con-
secutivas e q columnas consecutivas da matriz Am, n .
As calculadoras TI que usamos teñen a función subMat   , que permite extraer unha caixa ou blo-
que dunha matriz. O formato é: subMat  m , filinicio ,colinicio ,fil remate ,colremate  onde as expre-
sións entre corchetes son opcionais.
20.Dada a matriz da dereita: 1 2 3 0 1
 
20.1. Obtén a submatriz de índices i1 , i3 e i5 e j2 e j4 4 5 0 1 2
A5,5  3 2 4 5 1
20.2. Obtén a caixa ou bloque de índices i3 , i4 , i5 e j3 , j4 , j5  
2 3 5 9 8
Solución: 7 2
 5 6 1 
i1   1 2 3 0 1  1 2 3 0 1
   
 4 5 0 1 2  2 0 4 5 0 1 2  4 5 1
   
20.1. i3   3 2 4 5 1    2 5  . 20.2. i3   3 2 4 5 1    5 9 8  .
   5 1    6 1 2
2 3 5 9 8   i4   2 3 5 9 8   
7 5 6 1 2
i5   7 5 6 1 2
i5  

 

    
j2 j4 j3 j4 j5
Así obtemos a submatriz (caixa) do exemplo
20.2. Os índices 3,3,5,5 refírense a fila de ini-
cio, a columna de inicio, a fila final e columna
final, respectivamente.
Tamén se pode extraer unha fila dunha matriz,
ou referirse a ela ou a un elemento, como se ve
nas copias de pantalla adxuntas.

14. 14
4. Operacións con matrices
Prácticas
4. OPERACIÓNS CON MATRICES
4.1. Suma e resta de matrices
 • Para que dúas matrices se poidan sumar ou restar, cómpre que teñan a mesma dimen-
sión.
• Para sumar faise termo a termo:
Am ,n  Bm, n  C m, n
  
a 
ij  b 
ij  a ij  bij   cij 
• Para restar faise termo a termo:
a 
ij m , n  
 bij
m,n

 aij  bij  m,n
 1 5 1 4  2 0 1 4
21.Suma as matrices  2 1 16 0 e  2 3 5 6
   
 3 4 5 5  1 1 1 0
Solución:
 1 5 1 4   2 0 1 4   1  2 50 1   1 4  4   3 5 2 8 
       
 2 1 16 0    2 3 5 6    2  2 1   3 16  5 0  6    4 2 21 6  .
 3 4 5 5   1 1 1 0   3  1 4 1 5   1 5  0   4 5 6 5 
       
Coas calculadoras TI que usamos poden facerse
estas operacións con matrices, como se ve nas
copias de pantalla adxuntas.
22.As matrices 
2 1 4  4 7 3
7
  e  non poden sumarse por non ser da mesma dimen-
 3 2 5 6   1 5 2 
sión.
4.1.1. Propiedades da suma de matrices
Sexan Am, n , Bm , n e Cm, n tres matrices de orde m  n , e sexa 0m, n a matriz nula de orde m  n . Ve-
rifícase:
• A  B é unha matriz de orde
mn Lei de composición interna 
•  A  B  C  A  B  C  Propiedade asociativa 

 M m, n ,  

 Elemento neutro: matriz nula 0 m.n  0  é un grupo
• A0  0 A  A
Elemento simétrico: matriz oposta  A abeliano
• A    A  0 
Propiedade conmutativa 

• A B  B  A

15. 15
Matrices Prácticas
4.2. Produto dun número por unha matriz—produto externo
 Para multiplicar un número por unha matriz, multiplícase polo número cada termo da ma-
triz:
Sexa p   .
Am , n , p  Am , n  Cmn
  
a 
ij p  aij    p  a   c 
ij ij
• Ao multiplicar un número por unha matriz obtense unha matriz.
 1 5 1 4
23.Multiplica por  2 a matriz  2 1 16 0 .
 
 3 4 5 5 
Solución:
 1 5 1 4    2  1  2   5  2    1  2   4   2 10 2 8 
  
 2    2
 1 16 0     2   2  2  1  2  16  2   0   
  4 2 32 0  .
 3 4 5 5    2   3  2   4  2    5   2   5   6 8 10 10 
     
Coas calculadoras TI que usamos tamén se pode
multiplicar unha matriz por un número, como se
ve na copia de pantalla adxuntas.
 2 1 3 5   0 0 0 3
24.Obtén 3 A  2 B utilizando as matrices A   0 1 2 1 e B   2 2 5 1  .
 
 
 3 0 2 1   3 2 1 1 
   
Solución:
 6 3 9 15   0 0 0 6   6 3 9 21 
     
3 A  2 B   0 3 6 3    4 4 10 2    4 1 16 1 .
 9 0 6 3   6 4 2 2  15 4 8 5 
     
Coas calculadoras TI que usamos tamén se po-
den facer operacións combinadas, como se ve
nas copias de pantalla adxuntas.

16. 16
4. Operacións con matrices
Prácticas
 1 0 2   1 0 1   7 1 1 
25.Dadas as matrices A , B , C   e
 4 1 3   4 1 3   8 10 0 
 3 1 5 
D  , calcula E  2 A  3B  C  2 D .
 6 2 4
Solución:
 2 0 4   3 0 3   7 1 1  6 2 10   18 1 18 
E        .
 8 2 6   12 3 9   8 10 0   12 4 8  16 15 23 
Usamos TI-nspire CAS en versión PC para facer este exercicio, para ver nunha única pantalla ou-
tra maneira de facer estas operacións.
Poden facerse igualmente coas calculadoras TI, salvo que, como non caben todas as expresións
nunha pantalla haberá que desprazarse por ela. Usamos as dúas maneiras básicas de almacenar
unha variable para almacenar as anteriores matrices.
4.2.1. Propiedades do produto externo
Sexan Am, n , Bm , n e Cm, n tres matrices de orde m  n , e p, q   . Verifícase:
• p  A  B  p  A  p  B Distributiva respecto da suma de matrices.
•  p  q A  p  A  q  A 
Distributiva respecto da suma de escalares  .
Asociativa respecto do producto de escalares  .
•  p  q  A  p  q  A
Existencia de elemento neutro: a unidade 1  .
• 1 A  A
4.2.2. Espazo vectorial Mm,n,+,
Polo tanto, o conxunto das matrices M m , n coa suma antes definida e co produto externo antes de-
 
M m , n  M m, n  M m, n 

finido ten estrutura de espazo vectorial:  espazo vectorial .

  M m, n  M m, n 
 

17. 17
Matrices Prácticas
4.3. Produto dunha matriz fila por unha matriz columna
 O produto dun vector fila por un vector columna, ambos da mesma dimensión, é un núme-
ro que se obtén multiplicándoos termo a termo e sumando os resultados:
 b1 
 
 b2 
 a1 a2 a3  an    b3    a1b1  a2 b2  a3b3    an bn 
 
 
b 
 n
 Esta definición é válida para o produto dun vector fila por un vector columna, pero
non ao contrario.
26.Efectúa o produto
F C :
 1
 
3
F  5 1 4 2 , C    .
2
 
0
Solución:
F  C   5   1  1  3  4  2  2  0    5  3  8  0    6  .
En TI-89 Titanium e Voyage 200 só hai unha
maneira básica de almacenar nunha variable
unha matriz; en TI-nspire CAS hai dúas.
27.O número de estudantes en certa academia é: 100 en 1º, 90 en 2º e 80 en 3º. Ao rematar o cur-
so pasan a 3º: o 20% dos que había en 3º (repiten), o 70% dos de 2º, e o 5% dos de 1º que tiveron
un aproveitamento extraordinario. Cantos alumnos haberá en 3º?
Solución:
Observa que o número de alumnos que haberá en 3º o curso próximo se pode obter como produto
dun vector fila por un vector columna:
100 
   0.05 100  0.70  90 0.20  80  84
(0.05 0.70 0.20)   90 
 80    
 
   5% de 100 70% de 90 20% de 80
50% 70% 20%
Haberá 84 alumnos en 3º.
É conveniente decatarse de que este exercicio podería resolverse sen necesidade de usar matrices,
pero, evidentemente, suporía maior trabal1o e complicación.

18. 18
4. Operacións con matrices
Prácticas
4.4. Multiplicación de matrices
 • Para que dúas matrices A e B se poidan multiplicar, A  B , é necesario que o núme-
ro de columnas da primeira coincida co número de filas da segunda.
• O produto A  B  C é outra matriz os elementos da cal se obteñen multiplicando ca-
da vector fila da prime ira por cada vector columna da segunda, do seguinte xeito:
A   aij  

 A  B  C   cij m, p
m, n
B   bij  
n, p 
sendo cij o produto da fila i de A pola columna j de B:
 b1 j 
 
b2 j n
cij   ai1 ai 2  ain      a1i b1 j  ai 2b2 j    ain bnj   aik bkj
 k 1
 
b 
 nj 
• A matriz C resultante ten tantas filas como A (m), e tantas columnas como B (p):
Cm , p .
1 6 
 2 3 4 
28.Multiplica as matrices  7 2.
 7 2 4 
 
 0 5
Solución:
1 6 
2 3 4    2 1  3  7  4  0 2  6  3  2  4   5    23 2 
  7 2     .
7 2 4    7 1  2  7  4  0 7  6  2  2  4   5    21 26 
 0 5 
 2  2
 2  3 3  2 
 1 2 3   2 3 
29.Multiplica A  B sendo A   4 1 2  e B   1 1  .
 
 
 1 2 5  2 5 
   
Solución:
 1 2 3   2 3   1  2  2 1  3  2 1  3  2 1  3  5   6 20 
       
A  B   4 1 2    1 1    4  2  1 1  2  2 4  3  1 1  2  5    13 1 .
 1 2 5   2 5   1  2  2 1  5  2 1  3  2 1  5  5  10 30 
       
Coas calculadoras TI que usamos tamén se po-
den facer multiplicacións de matrices, como se
ve nas copias de pantalla adxuntas.

19. 19
Matrices Prácticas
 2 1 0 1 1 1 0
   
30.Multiplica A  B sendo A   3 2 0  e B   2 1 1 0  .
 1 0 1  2 3 1 2
   
Solución:
 2 1 0  1 1 1 0
   
A B   3 2 0  2 1 1 0 
 1 0 1  2 3 1 2
   
 2  1  1  2  0  2 2  1  1  1  0  3 2 1  1  1  0  1 2  0  1  0  0  2   4 3 3 0 
   
  3  1  2  2  0  2 3  1  2  1  0  3 3  1  2 1  0 1 3  0  2  0  0  2    7 5 5 0  .
 1  1  0  2  1  2 1  1  0  1  1  3 1  1  0  1  1 1 1  0  0  0  1  2   3 4 2 2 
   
É necesario indicar a multiplicación desas ma-
trices premendo o símbolo  de multiplicación.
Se non se preme prodúcese un fallo.
31.Consideremos os datos seguintes:
A : Consumos anuais de tres familias  ,  ,  de pan, carne e aceite.
B : Prezos do pan, carne e aceite nos anos 01, 02, 03 e 04.
Pan Carn Acei 01 02 03 04
  310 330 160  Pan  1.50 1.60 1.70 1.80 
   
  545 500 260  Carn  12.50 13.00 13.50 14.00 
  150 120 145  Acei  4.50 4.60 4.70 5.00 
   
A3,3 B3,4
Obtén o gasto anual de cada familia.
Solución:
A matriz A  B danos o gasto anual de cada familia no total dos catro produtos,
01 02 03 04
  5310.00 5522.00 5734.00 5978.00 
 
A  B    8237.50 8568.00 8898.50 9281.00 
  2377.50 2467.00 2556.50 2675.00 
 
32.Efectúa todos os posibles produtos entre as seguintes matrices:
7 0
   2 7 1 5  1 1 1 
 1 2 3
A  1 1    
, C   6 3 0 0 , D   0 5 2  .
 , B
 2 5 1  0 1  2 5 1 0   2 3 3 
     
3 4
Solución:
A2,3 , B4,2 , C3,4 , D3,3  Existen os seguintes posibles produtos: A2,3  C3,4 , A2,3  D3,3 , B4,2  A2,3 ,
C3,4  B4,2 , D3,3  C3,4 , D3,3  D3,3 .

20. 20
4. Operacións con matrices
Prácticas
 7 14 21 
 
8 2 4 5   7 18 4   3 3 2  ,
A2,3  C3,4    , A2,3  D3,3    , B4,2  A2,3  
 24 4 1 10   0 30 5  2 5 1 
 
 5 26 13 
 22 28   6 1 2 5   3  3 4 
     
C3,4  B4,2   39 3  , D3,3  C3,4   26 5 2 0  , D3,3  D3,3  D3,3   4 31 4  .
2
 9 4   28 38 1 10   4 4 17 
     
 1
 3
33.Dadas as matrices A    e B   5 1 4 2 obtén, se é posible, A  B .
 2
 0
 
Solución:
 1
 3
A    B   5 1 4 2   A  B é unha matriz 4  4 ; entón:
 2
 0
 
 1  5 1 4 2
 3  15 3 12 6 
A  B     5 1 4 2   .
 2  10 2 8 4
 0
   0 0 0 0
 
34.Nunha academia déronse os seguintes resultados:
— 1º curso: 25% repiten, 60% pasan a 2º, 5% pasan a 3º (o resto abandona).
— 2º curso: 30% repiten, 70% pasan a 3º.
— 3º curso: 20% repiten.
Utiliza o produto de matrices para obter o número de alumnos que haberá o próximo ano en cada
nivel (agás os novos).
Solución:
Están
en
1º 2º 3º
Pasan
a
1º 0.25 0 0
2º 0.60 0.30 0
3º 0.05 0.70 0.20
Calculamos os alumnos que haberá o próximo curso en cada nivel:
 0.25 0 0   100   25  0  0   25 
        
 0.60 0.30 0   90   60  27  0    87 
 0.05 0.70 0.20   80   5  63  16   84 
       
 

Nº de Nº de alumnos por
Matriz
alumnos nivel o curso próximo
de cambio
por nivel (Sen novas incorporacións)

21. 21
Matrices Prácticas
4.4.1. Propiedades do produto de matrices
• O produto de matrices é unha operación interna no conxunto das matrices de orde n con coe-
ficientes reais.
• O produto de matrices non é unha operación interna no conxunto das matrices de orde m  n
con coeficientes reais.
Sexan A , B e C tres matrices coas dimensións adecuadas para permitir as operacións que se in-
dican. Verifícase:
• A   B  C    A  B   C (propiedade asociativa).
• O produto de matrices é distributivo respecto da suma de matrices, é dicir:
A   B  C   A  B  AC .
• En xeral, o produto de matrices non é conmutativo: A  B  B  A .
• Se An é unha matriz cadrada de orde n, entón A  I n  I n  A  A , sendo I n a matriz identida-
de de orde n.
35.Comproba a propiedade asociativa para:
1
 1 3  
   1 5 0 3  6
A   2 1 , B    , C  .
 1 0 4 6  2
 0 4  
 
7
Solución:
1 1
1 3     2 5 12 21     203 
  1 5 0 3    6     6  
 A B C   2 1  
  1 0 4 6     2    1 10 4 12    2    151  .
0 4      
    7   4 0 16 24   7   204 
   
 1
1 3    1 3  203 
  1 5 0 3   6      50   
AB C    2 1    2 1      151  , que coinciden.
 1 0 4 6  2 
  51  
 0 4
     0 4
  

 204 
 7
36.Comproba con algúns exemplos que o produto de matrices non é conmutativo.
Solución:
• Se A é de orde 3  2 e B é de orde 2  4 , pode efectuarse A  B , pero non B  A .
 1 3
   4 5 2 
• Se A   2 1  e B    , poden efectuarse A  B e B  A , pero A  B é de dimen-
 0 4 0 3 4 
 
sión 3  3 e B  A é de dimensión 2  2 .
 2 1 1 7  5 14   30 36 
• Se A    e B  , A B   , B A     A B  B  A .
 4 5  3 0  19 28  6 3

22. 22
4. Operacións con matrices
Prácticas
37.Comproba as propiedades distributivas para as seguintes matrices:
1
 1 4  
   1 5 6 7   4 1 6 0 2
A   0 5 , B    , C   , D .
 3 0 9 2   0 1 5 5   5 
1 6  
 
 3
Solución:
 1 4 1 4
   1 5 6 7   4 1 6 0
1. A B  AC   0 5  3   0 5
0 9 2  
 
1 5 5 
1 6   0
  1 6
 11 5 42 1   4 3 26 20   15 2 68 19 
     
  15 0 45 10    0 5 25 25    15 5 70 15  .
17 5 60 5   4 5 36 30   21 0 96 25 
     
1 4  1 4
    1 5 6 7   4 1 6 0      3 6 12 7 
AB  C   0 5      0 5  
1    3 0 9 2   0 1 5 5    1 6   3 1 14 3 
 6  
 15 2 68 19 
 
  15 5 70 15   A   B  C   A  B  A  C .
 21 0 96 25 
 
1 1
   
 1 5 6 7   2   4 1 6 0   2   0   24   24 
2. BD CD              .
 3 0 9 2   5   0 1 5 5   5   48   12   60 
   
3  3
1 1
   
  1 5 6 7   4 1 6 0    2   3 6 12 7   2 
B  C D        
  3 0 9 2   0 1 5 5    5   3 1 14 3   5 
   
 3  3
 24 
    B  C D  B  D  C  D .
 60 
 2
38.Dadas as matrices A    e B   2 3 :
 3
38.1. Son iguais as matrices A e B ?
38.2. Calcula, se é posible, as matrices AB , BA , A  B , At  B .
Solución:
38.1. Non, xa que A ten dimensións 2 1 e B ten dimensión 1 2 . Para que dúas matrices sexan
iguais, deben ter as mesmas dimensións e coincidir termo a termo.
 2  4 6
38.2. AB      2 3    ;
 3 6 9
 2
B  A   2 3      13  .
 3
A  B non se pode facer, xa que non teñen a mesma dimensión.
At  B   2 3   2 3    0 0  .

23. 23
Matrices Prácticas
 1 1 0 
39.Efectúa o produto  3 2    .
 5 2  1 
Solución:
 1 1 0    1 1   0   0
 3 2      3 2        7 7      7  .
 5 2  1    5 2   1   1
3 1
40.Calcula 3 AAt  2 I , sendo A .
5 2
Solución:
 3 1  3 5   1 0   10 17   1 0   30 51   2 0 
3 AAt  2 I  3     2   3   2      
 5 2  1 2   0 1  17 29   0 1   51 87   0 2 
 28 51 
  .
 51 85 
 3 1 5  4 0 6
41.Calcula a matriz B que verifica a igualdade   B   .
1 0 3 0 2 2 
Solución:
 3 1 5  4 0 6  4 0 6   3 1 5   1 1 1 
  B     B     .
1 0 3 0 2 2   0 2 2   1 0 3   1 2 1 
 1 4   5 4 
42.Calcula a matriz B que verifica a igualdade 2    3B   .
  3 2   0 1
Solución:
 1 4   5 4  1    1 4   5 4   1    2 8   5 4  
2   3B     B   2       
  3 2   0 1 3   3 2   0 1  3   6 4   0 1 
1  3 4   1 43 
     .
3  6 3   2 1 
 
4.4.1. Matriz inversa
 Dada unha matriz cadrada An de orden n , non sempre existe outra matriz Bn tal que
A  B  B  A  In .
• Se existe a tal matriz B , entón dise que é a inversa de A e denótase por A1 .
• Dúas matrices cadradas de orde n son inversas se o seu produto é a matriz unidade
de orde n .
• Unha matriz cadrada que posúe inversa dise que é invertible ou regular; no caso con-
trario recibe o nome de singular.
 1  1 1  15 8 3 
43.Comproba se as matrices A   1 0 3  e A   9 5 2  son inversas.
  1
 
 2 5 3   5 3 1
   
Solución:
1 0 0
1 1  
As matrices son inversas xa que A  A  A  A   0 1 0  .
0 0 1
 

24. 24
4. Operacións con matrices
Prácticas
44.Comproba que a matriz inversa de A é A1 :
 1 2 1  3 6 1
  1  
A   0 1 0 , A   0 1 0  .
 2 0 3  2 4 1 
   
Solución:
 1 2 1   3 6 1  3 6 1 1 2 1   1 0 0 
        
A  A1   0 1 0    0 1 0    0 1 0  0 1 0    0 1 0   I .
 2 0 3   2 4 1   2 4 1  2 0 3   0 0 1 
        
As calculadoras TI que usamos permiten obter
directamente a matriz inversa (cando existe). Só
hai que elevar a matriz a 1 :  ^-1 .
4.4.2. Para non despistarse
Supoñendo que teñen as dimensións adecuadas para facer as operacións, entón:
• A  B  0 non implica necesariamente que A  0 ou B  0 .
• A  B  A  C non implica necesariamente que B  C .
 A  B non é necesariamente igual a A2  2 AB  B 2 .
2
•
 A  B non é necesariamente igual a A2  2 AB  B 2 .
2
•
•  A  B  A  B  non é necesariamente igual a A2  B 2 .
4.5. Outros tipos de matrices
 • A matriz conxugada dunha matriz dada Am, n represéntase por Am, n , é aquela que ten
por elementos os conxugados dos elementos da matriz Am, n ; é dicir se aij  a  bi é
un elemento de Am, n , entón aij  a  bi é o correspondente elemento de Am, n .
Se un elemento é real, o seu conxugado é el mesmo.

• Chámase matriz asociada dunha matriz dada Am, n , e represéntase por Am, n , a matriz

conxugada da transposta: Am , n  At .
• Unha matriz A é nilpotente de orde p se verifica que A p  0 , sendo p o menor va-
lor que o verifica.
• Unha matriz A é unipotente se I  A é nilpotente.
• Unha matriz A é periódica de período k se Ak  A .
• Unha matriz A é involutiva se A2  I .

25. 25
Matrices Prácticas
4.6. Resumo das propiedades das operacións para matrices cadradas
No conxunto, M n , n das matrices cadradas dunha certa orde, n , hai dúas operacións internas (a
suma e o produto de dúas matrices cadradas de orde n é outra matriz cadrada da mesma orde) e
unha operación externa (o produto dun número real por unha matriz cadrada é unha matriz cadra-
da da mesma orde).
Estas operacións teñen as seguintes propiedades:
4.6.1. Propiedades das operacións internas
Sexan A , B , C , I matrices cadradas da mesma orde.
SUMA PRODUTO
OPERACIÓN INTERNA Asociativa  A  B  C  A  B  C   A B C  AB C 
Son operacións inter-
nas porque se operan Conmutativa A B  B  A Non
entre si elementos do
conxunto M n,n (ma- Elemento neutro 0; A  0  0  A  A I; A I  I  A  A
trices) e o resultado ta-
mén é un elemento de algunhas matrices teñen in-
Elemento simétrico oposto de A é  A
M n,n . versa, A1
Distributivas AB  C   A B  AC ,  B  C  A  B  A  C  A
Grazas a estas propiedades poderemos resolver ecuacións do tipo A  X  B  C , sendo A, B e C
matrices de orde n  n coñecidas e X a matriz incógnita. A matriz A debe ter inversa:
A  X  B  C  AX  C  B  A1   AX   A1  C  B   X  A1  C  B 
4.6.2. Propiedades da operación externa
Sexan A , B matrices e a , b números reais.
Asociativa  a  b   A  a  b  A
a  b  A  a  A  b  A
Distributivas
a  A  B  a  A  a  B
Unidade 1 A  A
 3 4  x y   26 21 
45.Calcula x , y , z , t para que se cumpra:    .
 7 11 z t   69 59 
Solución:
Efectuamos o produto do primeiro membro:
 3 4  x y   3 x  4 z 3 y  4t   26 21 
    .
 7 11 z t   7 x  11z 7 y  11t   69 59 
Esta igualdade dá lugar a un sistema de catro ecuacións con catro incógnitas. Ou, mellor, a dous
sistemas de ecuacións con dúas incógnitas:
 3 x  4 z  26  x  2  3 y  4 t  21  y  1
   ,    .
7 x  11z  69  z  5 7 y  11t  59 t6
Solución: x  2 , y  1 , z  5 e t  6 .

26. 26
4. Operacións con matrices
Prácticas
As calculadoras TI que usamos tamén poden
axudar neste tipo de exercicios, como se ve nas
copias de pantalla adxuntas.
 X  3Y  A  20 5 
46.Resolve o seguinte sistema de ecuacións:  , sendo A   ,
 2 X  3Y  B  2 15 
 23 17 
B  e as incógnitas X e Y matrices de orde 2  2 .
 4 15 
Solución:
Resulta favorable aplicar o método de redución. Para iso, sumamos membro a membro as dúas
igualdades:
 3 12   1 4
3X  A  B  3 X     X  .
 6 0   2 0 
Substituímos na primeira ecuación:
 1 4  1 4   20 5   1 4   21 9 
   3Y  A  3Y  A         
 2 0   2 0   2 15   2 0   0 15 
1  21 9   7 3 
 Y      .
3  0 15   0 5 
 1 4  7 3
Solución: X   , Y  .
 2 0   0 5
1 0  1 5   4 0
47.Para as matrices: A , B  , C    comproba:
2 7  4 1  1 1
47.1. A   B  C    A  B    A  C  .
47.2.  A  B   C   A  C    B  C  .
47.3. A   B  C    A  B   C .
Solución:
 1 0    1 5   4 0    1 0 3 5  3 5 
47.1. A   B  C             .
 2 7    4 1   1 1    2 7   5 0   41 10 
 1 0   1 5   1 0   4 0   1 5   4 0   3 5 
 A B   AC              .
 2 7   4 1  2 7   1 1   26 3  15 7   41 10 
  1 0   1 5  4 0 0 5 4 0  5 5
47.2.  A  B   C             .
2 7  4 1   1 1   6 6 1 1  30 6 
 1 0  4 0   1 5   4 0  4 0  1 5   5 5
 AC   B C             .
2 7 1 1   4 1  1 1  11 7   15 1  30 6 

27. 27
Matrices Prácticas
 1 0   1 5   4 0    1 0   1 5   1 5
47.3. A   B  C                .
 2 7   4 1  1 1    2 7  15 1 107 3 
 1 0   1 5    4 0   1 5   4 0  1 5
 A  B   C              .
 2 7   4 1   1 1   26 3   1 1  107 3 
48.Sexan A  
3 0 0 6 
  e B  . Atopa X que cumpra: 3  X  2  A  5  B .
 5 1  1 3 
Solución:
3 0   0 6   6 0   0 30 
3 X  2 A  5 B  3 X  2  A  5 B  2    5      
 5 1   1 3  10 2   5 15 
 6 30  1  6 30   2 10 
    X      .
15 17  3 15 17   5 17 3 
 
2 10 
Solución: X   .
 5 17 
 3
 2 1   x y 5 1
49.Calcula x , y , z , t para que se cumpra:    .
0 1   z t  0 2
Solución:
 2 1   x y   2x  z 2 y  t   5 1  2 x  z  5 x  5 2y t 1
          

  2; 
 
0 1   z t  z t   0 2  z0 z  0  t2

y  3

  2.
t2

x y  5 3 
Solución:   2 2 .
z t  0 2 
 
50.Atopa dúas matrices,A e B , de dimensión 2  2 , que cumpran:
 1 4  1 2 
2A  B    e A B   .
 2 0  1 0
Solución:
 1 4
2 A  B   
 2 0  0 6  0 2
  sumando ambas ecuacións: 3 A     A ;
 A  B   1 2  3 0 1 0
  
 1 0
 1 2   0 2   1 2   1 0 
B  A         .
 1 0 1 0  1 0  0 0
 0 2 1 0
Solución: A   , B .
 1 0  0 0