Dimensionamento de lajes de concreto e comparação de ferramentas

UNIVERSIDADE ANHEMBI MORUMBI
LUIZ OTÁVIO SILVA BUENO
CÁLCULO E DIMENSIONAMENTO DE LAJES E
COMPARAÇÃO ENTRE AS FERRAMENTAS
DISPONÍVEIS
SÃO PAULO
2008

ii
Orientador: Profº Msc. Engº Thomas Garcia Carmona
DISPONÍVEIS
Trabalho de Conclusão de Curso
apresentado como exigência parcial
para a obtenção do título de Graduação
do Curso de Engenharia Civil da
Universidade Anhembi Morumbi

iii
Trabalho____________ em: ____ de_______________de 2008.
______________________________________________
Profº MSc. Engº Thomas Garcia Carmona
______________________________________________
Profº MSc. Engº Fernando Jose Relvas
SÃO PAULO
2008
DISPONÍVEIS
Trabalho de Conclusão de Curso
apresentado como exigência parcial
para a obtenção do título de Graduação
do Curso de Engenharia Civil da
Universidade Anhembi Morumbi

iv
Dedico a Deus por tornar possível mais esta realização na minha vida a minha
família, em especial aos meus pais e minha avó que sempre me ajudaram e me
cobraram muito em relação aos estudos e a minha namorada pela paciência de ficar
inúmeros finais de semana estudando e pela ajuda na elaboração deste, a todos que
de alguma forma contribuíram para que eu pudesse concluir o curso de Engenharia.

v
AGRADECIMENTOS
A todos os professores do curso, principalmente ao meu orientador Profº Thomas
Garcia Carmona pela atenção, pela amizade e pela ajuda na elaboração deste
trabalho, ao Profº Fernando José Relvas pela dedicação, pelo rigor e qualidade de
suas aulas e ao Profº Tiago Garcia Carmona principal responsável pelo tema
escolhido do trabalho e pela oportunidade de estagiar na área de estruturas.
Ao escritório de Exata Engenharia e Assessoria SS Ltda pela ajuda com o material
bibliográfico e pelos conhecimentos adquiridos, que sem eles seria impossível a
elaboração dos modelos de cálculo.
A Universidade Anhembi Morumbi pela bolsa de estudos, sem a qual não seria
possível concluir a graduação.

vi
RESUMO
Este trabalho apresenta um breve histórico do dimensionamento de lajes de
concreto armado, sua evolução ao longo do século XX e como as ferramentas
computacionais transformaram os cálculos, o dimensionamento e os projetos de
lajes em processos mais dinâmicos. Vários são os softwares disponíveis no mercado
para efetuar tais tarefas, neste trabalho foram analisados dois deles, o TQS e o
Strap, além do método tradicional da ruptura atualmente aceito pela NBR 6118;
finalmente os resultados obtidos foram comparados e discutidos.
Palavras Chave: Lajes, Cálculo, Dimensionamento, TQS, Strap, Método tradicional.

vii
ABSTRACT
This study presents a brief historical of the design of slabs of reinforced concrete,
your evolution in the curse of century XX and how the computer tools changed the
calculation, the design and the slab’s projects in process more dynamics. Some
many are the software available in the market to make such tasks, this study have
been analysis two them, the TQS and the Strap, besides of the traditional method of
the rupture currently admitted for NBR 6118; finally the results acquired were been
compare and discussed.
Key Worlds: Slabs, Calculation, design, TQS, Strap, Traditional Method.

viii
LISTA DE FIGURAS
Figura 5.1 - Exemplo de Laje (FUSCO, 1995).............................................................6
Figura 5.2 - Deslocamentos de Placas Devido aos Momentos Fletores (AVELINO,
2000)....................................................................................................................7
Figura 5.3 - Equilíbrio de um Elemento de Placa para as Forças Cortantes
(HENNRICHS, 2003)............................................................................................8
Figura 5.4 - Equilíbrio de um Elemento de Placa para Momentos Fletores e Torsores
(HENNRICHS, 2003)............................................................................................9
Figura 5.5 - Equação de Lagrange (DUARTE, 1998)..................................................9
Figura 5.6 - Exemplo de Charneiras Plásticas (FUSCO, 1995).................................13
Figura 5.7 - Gráfico dos Domínios (NBR-6118).........................................................14
Figura 5.8 - Exemplo de Configurações de Ruína (GONZALEZ, 1997)....................15
Figura 5.9 - Laje Plana Discretizada em Elementos Finitos ( AVELINO, 2000) ........20
Figura 5.10 - Laje Plana Discretizada em uma Grelha (AVELINO, 2000) .................21
Figura 6.1 – Formas das Lajes do Pavimento Tipo (AUTOR, 2008) .........................23
Figura 6.2 – Exemplo de Discretização das Lajes (AUTOR, 2008)...........................25
Figura 6.3 – Equações para a Determinação dos Momentos das Lajes (RELVAS,
2007)..................................................................................................................25
Figura 6.4 - Modelação das Lajes do Pavimento Tipo ( AUTOR, 2008)....................27
Figura 6.5 - Renderização das Lajes do Pavimento tipo ( AUTOR, 2008) ................27
Figura 6.6 - Gráfico de Momentos das Lajes do Pavimento tipo (AUTOR, 2008) .....28
Figura 6.7 - Lajes Modeladas em Barras de Grelhas no TQS ( AUTOR, 2008)........29
Figura 6.8 - Entrada Gráfica das Lajes no TQS ( AUTOR, 2008)..............................31
Figura 6.9 – Extração dos Momentos Fletores pelo TQS (AUTOR, 2008)................31
Figura 7.1– Exemplo do Problema de Execução das Armaduras Negativas (AUTOR,
2008)..................................................................................................................32
Figura 7.2 – Diagrama de Momentos Fletores a partir do Método da Ruptura (
AUTOR, 2008) ...................................................................................................33
Figura 7.3 - Diagrama de Momentos Fletores a partir do M.E.F. ( AUTOR, 2008)....33
Figura 7.4 - Diagrama de Momentos Fletores a partir do Método da Analogia de
Grelhas ( AUTOR, 2008)........................................................................34

x
LISTA DE TABELAS
Tabela 5.1 – Espessuras Mínimas de Lajes (NBR 6118)..........................................16
Tabela 5.2 – Cobrimentos Mínimos dos Estribos (NBR 6118) ..................................16
Tabela 5.3 – Pesos Específicos Adotados para Revestimentos (Relvas,2007) ........18
Tabela 5.4 - Valores Mínimos das Cargas Verticais (NBR 6120)..............................18
Tabela 8.1 – Tabela para determinação dos Momentos Fletores em Lajes do Tipo 0
(RELVAS, 2007)...................................................................................................2
Tabela 8.2 - Tabela para determinação dos Momentos Fletores em Lajes do Tipo 1
(RELVAS, 2007)...................................................................................................3
(RELVAS, 2007)...................................................................................................4
(RELVAS, 2007)...................................................................................................5
(RELVAS, 2007)...................................................................................................6
(RELVAS, 2007)...................................................................................................7
(RELVAS, 2007)...................................................................................................8
(RELVAS, 2007)...................................................................................................9
(RELVAS, 2007).................................................................................................10
Tabela 8.10 – Tabelas para Determinação das Armaduras (RELVAS, 2007)...........12

xi
LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS
ABNT Associação Brasileira de Normas Técnicas
M. E. F. Método dos Elementos Finitos
NBR Norma Brasileira
Strap Structural Analisys Programs

xii
LISTA DE SÍMBOLOS
cm unidade de comprimento em centímetros
d Altura útil
e espessura
Fck resistência característica a compressão do concreto
g0 peso próprio
γ peso específico
kN quilonewton
mm milímetro
MPa megapascal
Mx momento fletor na direção x
My momento fletor na direção y
V força cortante
σ tensão

xiii
SUMÁRIO
p.
1. INTRODUÇÃO.....................................................................................................1
2. OBJETIVOS.........................................................................................................2
2.1 Objetivo Geral.............................................................................................................2
2.2 Objetivo Específico...................................................................................................2
3. MÉTODO DE PESQUISA....................................................................................3
4 JUSTIFICATIVA ..................................................................................................4
5 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA................................................................................5
5.1 O Cálculo Estrutural antes dos Microprocessadores .....................................5
5.2 Lajes..............................................................................................................................5
5.3 Fundamentação Teórica para os Elementos de Placa....................................7
5.4 Cálculo de Placas pelo Método Clássico..........................................................11
5.5 Cálculo de Placas em Regime Rígido-Plástico ...............................................12
5.6 O Método dos Elementos Finitos........................................................................19
5.7 O Método de Analogia de Grelhas ......................................................................20
6 ANÁLISE ESTRUTURAL DO PAVIMENTO......................................................23
6.1 Método da Ruptura..................................................................................................24
6.2 Método dos Elementos Finitos ............................................................................26
6.3 Método das Grelhas................................................................................................28

xiv
7 COMPARAÇÃO ENTRE OS MODELOS ANALISADOS..................................32
8 CONCLUSÕES..................................................................................................36
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS.........................................................................38
ANEXO A – TABELAS PARA DETERMINAÇÃO DOS MOMENTOS FLETORES...1
ANEXO B – TABELAS KC E KS..............................................................................11

1. INTRODUÇÃO
O pavimento de uma edificação, que é um elemento estrutural de superfície, pode
ser projetado com elementos pré-moldados ou moldados no local. O pavimento
moldado no local pode ser composto por uma única laje (maciça ou nervurada), sem
vigas, ou por um conjunto de lajes, maciças ou nervuradas, apoiadas em vigas. O
presente trabalho abordará apenas o segundo caso, ou seja, pavimento composto
por lajes maciças de concreto armado (placas de concreto) apoiadas em vigas em
seu contorno.
Uma das características das lajes maciças é que elas distribuem suas reações em
todas as vigas de contorno. A partir disso, há melhor aproveitamento das vigas do
pavimento, pois todas elas, dependendo apenas dos vãos, podem ter cargas da
mesma ordem de grandeza. Uma vantagem em relação às pré-moldadas está na
facilidade em colocar, antes da concretagem, tubulações elétricas, hidráulicas, etc.
Em relação as desvantagens em comparação com as pré-moldadas está no quesito
de execução do elemento que inclui montagem da armação, escoramento,
concretagem e cura.
Os profissionais e universitários da engenharia civil, concordam que o avanço
tecnológico trouxe inúmeras facilidades, em especial o da computação, para o campo
da engenharia de estruturas. Um dos grandes desafios da engenharia moderna é
encontrar soluções para problemas que têm surgido a partir do uso de programas
computacionais e das construções com arquitetura mais complexa.
Entre os exemplos de estrutura em que o uso da computação tornou-se fundamental
podemos citar as placas de concreto armado, ou seja, as lajes. Anteriormente, o
cálculo dessas lajes era feito manualmente com o auxílio de tabelas através de
métodos aproximados, o que em estruturas de grande porte demandava enorme
quantidade de tempo. Entretanto, com o aprimoramento dos programas de cálculo e
análise, além dos próprios computadores, o projeto das estruturas em geral tornou-se
mais rápido e dinâmico nos escritórios especializados. (HENNRICHS, 2003)

2
2. OBJETIVOS
O cálculo de lajes é uma etapa corrente no dimensionamento de estruturas civis, a
definição da ferramenta mais adequada e que gera resultados mais satisfatórios é
importantíssima para a escolha do método a ser utilizado pelo responsável pelo
projeto de estruturas.
2.1 Objetivo Geral
O objetivo deste trabalho é discutir os diversos métodos de cálculo de lajes, o
método elástico (com o auxílio de tabelas), o método da ruptura (também com o uso
de tabelas), o método dos elementos de placas (pelo software Strap) e o de grelhas
de barras (pelo software TQS).
2.2 Objetivo Específico
Identificar as potencialidades e limitações dos métodos disponíveis verificando se os
softwares atendem adequadamente as necessidades dos engenheiros de estruturas.

3
3. MÉTODO DE PESQUISA
O processo de pesquisa do presente trabalho foi efetuado através de livros técnicos
sobre o assunto, de dissertações de mestrado, apostilas do curso de Concreto
Armado e com o auxílio de tabelas de cálculo.
Para uma análise prática do assunto foi apresentado o dimensionamento das lajes
de um pavimento por meio de três ferramentas diferentes e os resultados obtidos
foram comparados e discutidos.

4
4 JUSTIFICATIVA
A evolução tecnológica transformou significativamente as maneiras de projetar
estruturas, os engenheiros estruturais que antes de existir softwares para estes fins,
calculavam e dimensionavam edifícios por métodos aproximados como o da ruptura;
nos dias atuais existem ferramentas poderosíssimas com este intuito, porém apenas
adquirir os programas de cálculo não é o suficiente.
O engenheiro responsável deve ter experiência e saber quais os casos em que
determinado software é mais recomendável ou menos recomendável e qual
ferramenta será mais útil para as tarefas cotidianas. Especificamente no caso de
projetos de lajes, a determinação de tais aspectos depende da geometria dos
elementos e também de qual o tipo de materiais empregados na execução do
elemento.
Face os motivos supra mencionados torna-se imprescindível o estudo, a
comparação e a determinação dos pontos fortes e fracos dos métodos mais
conhecidos para auxiliar os engenheiros que pretendem atuar na área de projeto de
estruturas.

5
5 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
5.1 O Cálculo Estrutural antes dos Microprocessadores
Nos primórdios, as operações aritméticas eram desenvolvidas mediante o uso de
“tábuas de logarítmos” que facilitavam as multiplicações, divisões, potenciações e
radiciações. (VASCONSELOS, 1992). Ainda em 1924 eram muito usadas essas
táboas, tendo nessa data o Prof. TELEMACO VAN LANGENDONK, com a idade de
apenas 15 anos, publicado uma taboa de logaritmos dos números 1 a 10.000, com 5
decimais, usando técnicas próprias para a sistematização dos cálculos e controle da
precisão (Typografia do Centro, Porto Alegre, 1924).
Quem possuísse uma máquina de calcular de engrenagens, aperfeiçoamento da
máquina de Pascal (1642), poderia acelerar enormemente o trabalho numérico.
Eram comuns nas escolas de engenharia as famosas máquinas de manivela Ohner
e bem mais tarde as máquinas Curta, fabricadas no principado de Lichtenstein.
Estas, verdadeiras jóias da mecânica de precisão da época, possuíam a forma de
um pequeno cilindro negro que cabia na mão, podendo, com alguma habilidade, ser
manuseado com a mão esquerda, reservando a direita apenas para girar a
minúscula manivela e registrar no papel os resultados (VASCONSELOS, 1992).
A introdução das chamadas réguas de cálculo hoje totalmente esquecidas, constituiu
um grande passo no cálculo de estruturas. Seu uso no Brasil deve ter começado por
volta de 1910, tendo adquirido rapidamente as proporções de um verdadeiro vício.
Não era raro observar em obras, nos anos 40, engenheiros realizando verificações
expeditas, alterando armaduras, substituindo bitolas e às vezes até mesmo
calculando peças novas (VASCONSELOS, 1992).
5.2 Lajes
A classificação geral das peças estruturais denomina de placas, as estruturas
laminares com superfície média plana, onde as solicitações ocorrem de forma

6
perpendicular ao seu plano médio. Nas estruturas de concreto, as placas recebem o
nome de lajes.
Figura 5.1 - Exemplo de Laje (FUSCO, 1995)
As placas podem diferenciar-se pela sua forma (de contorno poligonal ou circular,
maciças ou com espaços vazios); pela disposição de seus apoios (placas apoiadas
no seu contorno, placas em balanço, placas contínuas em uma ou duas direções);
pela forma do apoio (pontual ou lineares); pelo tipo de apoio (apoio simples ou
engastamento). Cada placa pode, além disso, estar submetida a diferentes tipos de
carga, como por exemplo, carga pontual, uniforme, triangular, etc.
O estudo das placas define um sistema de referência Oxyz, com o plano Oxy
coincidente com o plano médio da peça. A espessura h da placa é medida
perpendicularmente ao plano médio.
Para o cálculo dos esforços nas placas existem dois grupos de métodos. Os métodos
clássicos, fundamentados na teoria da elasticidade, supondo que o material é
homogêneo e isótropo e se comporta elasticamente, da mesma forma que se faz,
para o cálculo de esforços em outros tipos de elementos estruturais. Já métodos de
ruptura, fundamentados na teoria da plasticidade, supõem, que o material comporta-
se como um corpo rígido - perfeitamente plástico.
Através dos métodos clássicos obtêm-se, com aproximação, os esforços na situação
de serviço, a partir dos quais pode-se definir a distribuição das armaduras na placa,

7
de modo que a mesma apresente um bom comportamento em serviço. Os métodos
de ruptura não proporcionam informação de qual a distribuição de armaduras
adequada, mas permitem a obtenção mais racional da carga última na situação de
esgotamento da placa. Ambos os sistemas são, portanto, de grande interesse,
devendo-se escolher, em cada caso, o mais adequado para o objetivo que se
pretende atingir.
Sob a ação de um carregamento uniformemente distribuído, a placa sofre
deformações e os seus pontos se deslocam.
Figura 5.2 - Deslocamentos de Placas Devido aos Momentos Fletores (AVELINO, 2000)
5.3 Fundamentação Teórica para os Elementos de Placa
A análise estrutural tem por objetivo determinar os efeitos das ações em uma
estrutura, com a finalidade de efetuar verificações de estados limites últimos e de
utilização, definições da NBR 6118. Através da análise estrutural, torna-se possível
estabelecer as distribuições de esforços internos, tensões, deformações e
deslocamentos, em uma parte ou em toda a estrutura. Deve ser realizada através de
um modelo estrutural que represente, da maneira mais adequada possível, o
comportamento da estrutura real, permitindo delinear assim o caminhamento das
tensões até os apoios da mesma. Em casos muito complexos, a interação solo-
estrutura também deve ser contemplada no modelo (DUARTE, 1998).

8
As estruturas usuais de edifícios podem ser idealizadas, ao serem submetidas à
análise, como sendo uma composição de elementos estruturais básicos,
classificados de acordo com sua forma geométrica e sua função estrutural.
A análise linear dos elementos de placa é feita com base na teoria clássica de
Kirchhoff para placas delgadas. A hipótese básica de Kirchhoff para placas finas
estabelece que “pontos situados sobre retas originalmente normais à superfície
média indeformada, permanecem sobre retas normais à superfície média
deformada”. Admite-se, pois, que os pontos do plano médio da placa sofrem apenas
deslocamentos verticais, pequenos em relação à espessura da mesma,
desprezando-se os deslocamentos horizontais.
Na formulação matemática da teoria, é admitida uma carga p(x,y), normal ao plano
da placa, que pode ser distribuída por qualquer lei, sobre toda ou parte da placa. A
deformada da placa é definida por uma função w(x,y), que determina os
deslocamentos verticais dos pontos (x,y) do plano médio da mesma. Os esforços
solicitantes que atuam sobre um elemento de placa são mostrados nas figuras a
seguir:
Figura 5.3 - Equilíbrio de um Elemento de Placa para as Forças Cortantes (HENNRICHS, 2003).

9
Figura 5.4 - Equilíbrio de um Elemento de Placa para Momentos Fletores e Torsores
(HENNRICHS, 2003)
O desenvolvimento da formulação, encontrado em ampla bibliografia do assunto,
como por exemplo em TIMOSHENKO (1940) não será efetuado aqui. No entanto,
apresenta-se a seguir a equação diferencial das placas:
Figura 5.5 - Equação de Lagrange (DUARTE, 1998)
Onde
D = Eh3
/ 12(1-v2
) = rigidez à flexão da placa, equivalente à rigidez EI das vigas,
Sendo:
E = módulo de deformação longitudinal,
h = espessura,
v = coeficiente de Poisson.

10
As condições de contorno da equação diferencial expressa dependem dos diferentes
tipos de vinculação das bordas. Com isso, quando se trata, por exemplo, de uma
borda reta paralela ao eixo y, têm-se, em função do comportamento admitido para
essa borda, as seguintes condições de contorno possíveis:
borda engastada: o deslocamento vertical (w) e a rotação (∂w/∂x) são nulos;
borda simplesmente apoiada: o deslocamento vertical (w) e o momento fletor
(mx) são nulos;
borda livre: o momento fletor (mx) e a reação na borda (vx-∂mxy/∂y) são nulos.
Conforme expõe Duarte (1998), “o processo de busca de uma função w(x,y) que
satisfaça à equação diferencial das placas e atenda às condições de contorno para
uma laje submetida a um carregamento p(x,y), torna-se inviável devido as
complicações algébricas a que conduz. Em função dessas dificuldades, recorre-se
com freqüência a soluções aproximadas, obtendo-se w(x,y) como uma soma de
funções elementares que satisfaçam as condições de contorno. No entanto, o
processo de integração da equação de Lagrange mediante séries, apresenta o
inconveniente de ser aplicável a alguns poucos casos de forma de placas e
condições de apoio. Uma solução possível, favorecida pelo advento dos
computadores, é o uso da integração numérica pelo processo das diferenças finitas,
de aplicação mais geral e que conduz a resolução de um sistema de equações
lineares. Este tipo de cálculo é preferencialmente aplicado para a elaboração de
tabelas, através das quais obtêm-se facilmente os esforços em placas com formas e
carregamentos mais comuns. Ao se tratar de placas com formas mais complexas,
contendo aberturas, com regiões de diferentes espessuras, carregamentos não
uniformes ou variadas condições de contorno, as tabelas anteriormente citadas não
podem ser usadas. Deve-se então, nestes casos recorrer a outras alternativas mais
refinadas de cálculo”, como a técnica dos elementos finitos ou o método da analogia
de grelhas, estudados no transcorrer do presente trabalho.
Existem outras formas de cálculo refinadas, não analisadas aqui, o processo das
faixas finitas e o método dos elementos de contorno. O processo das faixas finitas se
aplica principalmente as estruturas com apoios simples nos extremos, com a
presença ou não de apoios intermediários, tendo ênfase para a aplicação em

11
tabuleiros de pontes. Em relação ao método dos elementos de contorno, constata-se
que o mesmo constitui, ao lado do método dos elementos finitos, mais um tipo de
aplicação de métodos numéricos em engenharia, como alternativa para solução
analítica de problemas complexos. Seu procedimento consiste em discretizar o
contorno de uma determinada região, dividindo-a em elementos e estabelecendo
relações entre incógnitas do problema em pontos do contorno. Busca a solução da
equação diferencial que rege o domínio da região analisada através da solução de
um sistema de equações integrais no contorno da mesma. Conhecendo-se as
incógnitas no contorno, pode-se determinar, em função das próprias, o
comportamento em qualquer parte do domínio em estudo.
5.4 Cálculo de Placas pelo Método Clássico
O método elástico, ou clássico, pode ser definido pela teoria das placas delgadas, o
qual se baseia nas equações de equilíbrio de um elemento infinitesimal de placa e
nas relações de compatibilidade das deformações.
Para a utilização correta do método clássico deve-se fazer algumas considerações
sobre os materiais componentes do elemento, por exemplo considera-se que as
placas são constituídas de material homogêneo, elástico, isótopo, linear fisicamente
e têm pequenos deslocamentos. O concreto armado não é um material homogêneo,
face sua composição ser de aço e concreto.
A propriedade que denomina a teoria, refere-se ao fato de que o elemento quando
solicitado por uma carga, sofre uma deformação e ao retirar-se essa carga, a
deformação cessa-se.
Material isótropo é aquele que tem as mesmas propriedades qualquer que seja a
direção observada, ao contrário do material ortótropo, que tem propriedades
diferentes em duas direções ortogonais.

12
Linearidade física é quando a relação entre tensões e deformações se mantêm
linear, ou seja, obedece a Lei de Hooke, desprezando-se portanto a fissuração do
concreto.
Linearidade geométrica significa que os esforços e as tensões, não são afetados
pelo estado de deformação da estrutura.
Para facilitar o emprego das condições de contorno na resolução do problema de
determinação de esforços, faz-se, na maioria das vezes, outras considerações, tais
como:
a ação das placas nas vigas de contorno se faz somente por meio de forças
verticais, não havendo transmissão de momentos de torção para as vigas;
as ações das placas nas vigas são uniformemente distribuídas e não há
transmissão de carga diretamente para os pilares; a carga nas placas é
transferida para as vigas e daí para os pilares;
as vigas de contorno são indeslocáveis na direção vertical;
a rotação das placas no contorno é livre (apoio simples) ou totalmente
impedida (esgastada).
5.5 Cálculo de Placas em Regime Rígido-Plástico
A teoria das charneiras plásticas teve sua primeira publicação em dinamarquês, por
INGERSLEV (1921), sendo que sua teoria não era aplicável a muitos casos de lajes
por não levar em conta os esforços corantes ao longo das linhas de plastificação.
Um compatriota seu, JOHANSEN (1931), melhorou significativamente a nascente
teoria, deduzindo fórmulas para cálculo dos momentos de plastificação em diversos
tipos de laje, formulação essa aceita ainda hoje.
Segundo Duarte (1998), apesar de aceita nos meios técnicos, a teoria das
charneiras plásticas ainda é deixada de lado ou pelo menos relegada a um segundo
plano entre as opções de análise de lajes. Duarte explica que, isso se deve ao fato
de que a mesma constitui uma aplicação do teorema cinemático, que conduz a
resultados com possibilidades de serem “contra” a segurança, face estabelecer um
limite superior para a carga de ruína. Esta insegurança teórica, entretanto, não se

13
verifica na prática, uma vez que os resultados experimentais demonstram que o
valor da carga última ou de ruína é em geral superior à fornecida pela teoria das
charneiras plásticas, sendo que esta reserva de resistência decorre, principalmente,
dos efeitos de arqueamento e de membrana que surgem na laje quando de sua
solicitação sob altos níveis de carga.
O cálculo das placas de concreto armado pela teoria das charneiras plásticas (ou
método da ruptura) é feito admitindo-se que a ruína somente ocorra com a formação
de um conjunto de linhas de plastificação, as quais transformam a laje em um
sistema hipostático.
As linhas de plastificação assim consideradas são na verdade zonas de plastificação
delineadas por seções planas ou cilíndricas, normais ao plano médio da laje, nas
quais foi atingido o momento de plastificação. Essas linhas são designadas por
charneiras plásticas e correspondem, nas lajes reais de concreto armado, a zonas
de intensa fissuração da face tracionada.
Figura 5.6 - Exemplo de Charneiras Plásticas (FUSCO, 1995)
Nas aplicações da teoria das charneiras plásticas são consideradas apenas as
cargas proporcionais. Elas são as que se mantém proporcionais entre si, ou seja,
variando de zero até os seus valores máximos. Admite-se sempre como satisfatória
a capacidade de rotação das charneiras plásticas, até o colapso final da laje.
Para a determinação da carga de ruína, ao longo das charneiras plásticas são
consideradas apenas os momentos fletores de plastificação e consequentemente
desprezando-se todos os outros possíveis esforços atuantes.

14
A atual norma de concreto Armado nacional a NBR 6118 determina que o cálculo de
lajes no regime rígido-plástico é permitido desde que as cargas atuem sempre no
mesmo sentido e que as deformações das seções da laje estejam nos domínios 2 ou
3, no gráfico das deformações.
Figura 5.7 - Gráfico dos Domínios (NBR-6118)
Os fatores que influenciam as configurações das charneiras de uma laje são as
condições de apoio da mesma, a natureza e a distribuição das cargas e a disposição
das armaduras.
Todas as configurações geometricamente possíveis são denominadas configurações
possíveis. A cada posicionamento das charneiras, corresponde uma determinada
intensidade de carga que fornece a energia consumida na formação e no
desenvolvimento das linhas de plastificação. A configuração de ruína é aquela que
corresponde à menor carga entre as configurações possíveis, ou ainda ao maior
momento de plastificação.

15
Figura 5.8 - Exemplo de Configurações de Ruína (GONZALEZ, 1997)
Na análise plástica, admite-se que o concreto armado trabalha na iminência de
ruptura, ou seja, que ele apresenta um comportamento correspondente a uma fase
posterior à da análise não-linear de seu diagrama de tensão-deformação,
caracterizada por escoamento de armaduras e pelo progresso de linhas de
plastificação ao longo da sua estrutura. Admite-se, pois, neste tipo de análise, um
comportamento rígido-plástico perfeito ou elasto-plástico perfeito para concreto
armado, permitindo uma determinação adequada do valor da carga máxima que ele
pode ser submetido numa solicitação, carga esta conhecida como carga de ruína ou
carga última ( DUARTE, 1998).
A partir dessas considerações iniciais pode-se iniciar o processo de cálculo o qual
possui as seguintes etapas de dimensionamento:
Determinar os apoios da laje, se ela poderá ser apoiada nos quatro lados, ou
apenas em dois lados paralelos, ou apenas em um lado, quando a mesma
estará em balanço.
Deve-se determinar se a laje é armada em uma ou duas direções. A partir dos
lados apoiados e do coeficiente λ, que é a relação entre os lados maiores e
menores da laje, ou seja L>/L<. Caso o valor seja superior a 2, a laje será
armada em uma direção e a armação será no lado menor; se o valor for igual

16
5 cm
7 cm
10 cm
12 cm
15 cm
Lajes que suportem veículos de peso total < 30 KN
Lajes que suportem veículos de peso total >30 KN
Lajes com protensão
Lajes de piso ou de cobertura em balanço
Lajes de cobertura não em balanço
Cobrimento nominal (mm) 20 25 35 45
IV
MUITO
FORTE
Risco de deterioração da
estrutura
RURAL /
SUBMERSA
URBANA
MARINHA /
INDUSTRIAL
CLASSIFICAÇÃO GERAL DO
TIPO DE AMBIENTE PARA
EFEITO DE PROJETO
Classe de Agressividade
ambiental
I
FRACA
II
MODERA
DA
III
FORTE
INDUSTRIAL /
RESPINGOS
DE MADÉ
Insignificante Pequeno Grande Elevado
ou inferior a dois, ela será armada em duas direções, desde que também seja
apoiada nos quatro lados.
Verificar a situação das lajes, se as mesmas são isoladas ou contínuas.
As lajes serão isoladas se elas não possuírem lajes no seu entorno e também
se as lajes estiverem em níveis diferentes das outras lajes ao redor.
As lajes serão contínuas caso as lajes ao seu entorno estejam no mesmo
nível.
A Norma anteriormente citada determina as espessuras mínimas para as placas de
concreto armado:
Tabela 5.1 – Espessuras Mínimas de Lajes (NBR 6118)
Além da espessura, fixa também que qualquer barra da armadura, inclusive de
distribuição, de montagem e estribos, deve ter cobrimento de concreto pelo menos
igual ao seu diâmetro, mas não menor que:
Tabela 5.2 – Cobrimentos Mínimos dos Estribos (NBR 6118)
Para o pré-dimensionamento das lajes retangulares maciças, sem carregamento
direto de alvenaria, a altura útil mínima, “d”, é obtida pela seguinte expressão:

17
Determinado a altura útil, pode-se calcular a altura total h:
h = d + (φ/2) + c
Adotando φb = 10 mm temos:
h = d + 0,5 + c (cm)
Determinada altura deve-se calcular o g0, o grev, o gacid definido de acordo com o tipo
de uso (ver tabela 5.3) e a partir da soma desses fatores, saber qual a carga total a
qual a laje estará submetida, após calcula-se a altura útil da laje e as armaduras com
o auxílio das tabelas kc e ks.
Para o calculo do g0, a expressão é:
Adotando peso especifico:
Do concreto simples: γc = 24,0 (kN/m3
)
Do concreto armado: γc = 25,0 (kN/m3
)
go = h * γc (kN/m3
)

18
rev
1 21,00
2 19,00
3 12,50
4 18,00
5 28,00
6 10,00
7 30,00
Argamassa de cimento e areia
Argamassa de cal, cimento e areia
Argamassa de gesso
Lajotas de cerâmica
Mármore ou granito
Tacos de madeira
Basalto
Tipo de revestimento
Carga (kN/m2
)
4,00
2,50
4,00
6,00
2 - Balcões
4 - Bibliotecas
A ser determinada em cada caso e na falta de valores experimentais
conforme o indicado em 2.2.1.3
-
Com acesso ao público
Sem acesso ao público
3,00
2,00
A ser determinada em cada caso, porém com o mínimo de 3,00
7,50
3,00
4,00
2,00
Sala de refeições e de assembléia com assentos fixos
Sala de assembléia com assentos móveis
Salão de danças e salão de esportes
Sala de bilhar e banheiro
3,00
4,00
5,00
2,00
Dormitórios, sala, copa, cozinha e banheiro
Despensa, área de serviço e lavanderia
Anfiteatro com assentos fixos
Corredor e sala de aula
Outras salas
1,50
2,00
(ver 2.2.1.7)
3,00
2,50
9 - Cozinhas não
residenciais
10 - Depósitos
13 - Escolas
12 - Escadas
11 - Edifícios
residenciais
7 - Clubes
8 - Corredores
Local
1 - Arquibancadas
Sala de leitura
Sala para depósito de livros
Sala com estantes de livros a ser determinada em cada caso ou 2,5 kN/m2
por metro de altura observado, porém o valor mínimo de
5 - Casas de
maquinas
(incluindo o peso das máquinas) a ser determinada
em cada caso, porém com o valor mínimo de
6 - Cinemas
Platéia com assentos fixos
Estúdio e platéia com assentos móveis
Banheiro
-
2,00
1,50
Mesma carga da peça com a qual se comunicam e as
previstas em 2.2.1.5
3 - Bancos
Escritórios e banheiros
Salas de diretoria e de gerência
3,00
2,00
Além do g0, calcula-se a carga grev de acordo com o tipo de revestimento em que a
laje está solicitada a partir da expressão:
grev = e1 * γ1 + e2 * γ2 + ....en * γn
sendo “e” a espessura do revestimento e γrev, o peso especifico do revestimento e a
sobrecarga de uso determinado pelas tabelas a seguir:
Tabela 5.3 – Pesos Específicos Adotados para Revestimentos (Relvas,2007)
Tabela 5.4 - Valores Mínimos das Cargas Verticais (NBR 6120)
γ

19
2,00
0,50
3,00
3,00
3,00
4,00
3,00
A ser determinada em cada caso, porém com o mínimo
A ser determinada em cada caso, porém com o mínimo
18 - Garagens
estacionamentos
Para veículos de passageiros ou semelhantes com carga máxima de
25 kN por veículo. Valores de Φ indicados em 2.2.1.6
17 - Galerias de lojas
15 - Forros
16 - Galerias de arte
14 - Escritórios Salas de uso geral e banheiro
Sem acesso a pessoas
26 - Terraços
5,00
-
22 - Lavanderias
23 - Lojas
24 - Restaurantes
3,00
5,00
2,00
3,00
21 - Laboratórios
Incluindo equipamentos, a ser determinado em cada caso,
porém com o mínimo 3,00
20 - Hospitais
Dormitórios, enfermarias, sala de recuperação, sala de cirurgia,
sala de raio X e banheiro
Corredor
19 - Ginásios de
esportes
Incluindo equipamentos
25 - Teatros
Palcos
Demais dependências: cargas iguais às especificadas para cinemas
Inacessível a pessoas
Destinados a heliportos elevados: as cargas deverão ser fornecidas pelo
órgão competente do Ministério da Aeronáutica
2,00
3,00
0,50
-
27 - Vestíbulos
1,50
3,00
5.6 O Método dos Elementos Finitos
O Método dos Elementos Finitos (M.E.F.) consiste em dividir o domínio de
integração do problema contínuo em um número discreto de regiões pequenas de
dimensões finitas denominadas elementos finitos (LA ROVERE, 2001). Ao conjunto
de regiões se dá o nome de malha de elementos finitos.
No método, a placa é substituída por uma série de elementos de forma quadrilátera
ou triangular, podendo variar as dimensões e características elásticas de um
elemento para outro. São tomadas como incógnitas os deslocamentos ω e os
esforços m, e suas derivadas nos vértices dos elementos. Supõe-se que os
deslocamentos ω dentro de cada elemento são dados por uma função simples (um
polinômio, por exemplo), cujos coeficientes numéricos são fixados, uma vez
conhecidos os valores da função ω e de suas derivadas nos vértices dos elementos.
Dessa forma, sendo distintas as funções ω e m e suas derivadas de um elemento
para outro, se garante a compatibilidade de deformações entre elementos contínuos
ao se igualar seus valores nos vértices.
As condições de equilíbrio de forças da estrutura proporcionam um sistema de
equações lineares, que uma vez resolvido, fornece deslocamentos e permite o

20
cálculo imediato dos esforços na placa. A figura abaixo representa uma laje plana
modelada em elementos finitos.
Figura 5.9 - Laje Plana Discretizada em Elementos Finitos ( AVELINO, 2000)
Calavera (1999) relata que o método dos elementos finitos pode abordar o cálculo de
praticamente qualquer forma de placa, submetida a quaisquer tipos de carga e
qualquer tipo de condições de contorno. Ainda segundo Calavera, face esse método
se basear em métodos de cálculo em regimes elásticos, pode-se calcular as flexas
das placas em condições de serviço com razoável aproximação.
Por se tratar de um método numérico, geralmente processado por computadores, é
de fundamental importância que o projetista que aplique o método tenha pleno
conhecimento dos elementos, configurações e condições a serem aplicadas, caso
contrário os resultados fornecidos podem onerar o custo da estrutura, e ainda pior,
colocar em risco a segurança de seus usuários. “Embora o método dos elementos
finitos possa tornar um bom engenheiro ainda melhor, ele pode tornar um mau
engenheiro muito perigoso” (COOK,1989).
5.7 O Método de Analogia de Grelhas
O método de resolução numérica por elementos finitos de barras (Analogia de
Grelha) consiste em substituir a placa por uma malha, formando uma grelha, a qual é

21
composta por barras (vigas) ortogonais entre si, sendo essas barras paralelas e
transversais aos eixos principais da placa.
Todas as barras e nós da grelha situam-se no mesmo plano, o que facilita a análise
e processamento do método. A cada viga se atribui uma inércia à flexão e uma
inércia à torção.
Mais recentemente, a técnica vem sendo utilizada como uma opção na análise das
lajes usuais de edifícios, de acordo com BARBOSA (1992), no processo de aplicação
da técnica, deve-se garantir que as rigidezes das barras sejam tais que, ao
submeterem-se as duas estruturas a um mesmo carregamento, elas se deformem de
maneira idêntica e que os esforços solicitantes em qualquer barra de grelha sejam
iguais as resultantes das tensões na seção transversal da parte da laje que a barra
representa.
Figura 5.10 - Laje Plana Discretizada em uma Grelha (AVELINO, 2000)
A resolução do problema é feita através de análise matricial, sendo, portanto, um
método de fácil elaboração e resolução rápida, principalmente quando auxiliado por
computador. Os efeitos de flexão são os mais importantes para a análise da grelha,
entretanto, os efeitos de torção também devem ser considerados.
O método consiste em definir a matriz de rigidez da grelha, em função das
propriedades das barras, aplicar as cargas nos nós ou transformar os carregamentos
nos elementos em cargas nodais equivalentes, e então por análise matricial são

22
obtidos os deslocamentos da grelha. Em função dos deslocamentos obtidos são
calculados, também matricialmente, os esforços, momentos fletores, momentos
torsores e esforços cortantes, nas extremidades das barras da grelha.

23
6 ANÁLISE ESTRUTURAL DO PAVIMENTO
A escolha de um modelo estrutural para a análise das lajes de um edifício depende,
de modo geral, do nível de dificuldades e particularidades que a forma do pavimento
apresente. Formas estruturais mais simples podem ser calculadas através de
modelos simplificados, porém, formas mais complexas requerem modelos mais
refinados de análise. É importante ressaltar que mesmo para análise de formas
simples é necessária muita atenção por parte do engenheiro projetista, pois modelos
que não contemplem a rigidez relativa entre elementos estruturais podem conduzir a
resultados que além de serem imprecisos, sejam inseguros.
O presente capítulo apresenta o roteiro de cálculo de um conjunto de lajes de um
pavimento tipo de um edifício residencial, o qual contém desde o método
simplificado com a utilização de tabelas, até um dos mais refinados atualmente como
é o caso dos elementos finitos, que considera de maneira mais precisa a interação
entre os elementos estruturais que compõe o pavimento, como também a atuação
dos carregamentos. É efetuada ainda a análise através da técnica da analogia de
grelha, que apesar de tratar as lajes como barras de uma grelha equivalente,
possibilita as mesmas considerações já citadas para o método dos elementos finitos.
As análises dos momentos fletores, foram efetuadas considerando-se apenas na
direção horizontal para simplicidade de comparação.
Figura 6.1 – Formas das Lajes do Pavimento Tipo (AUTOR, 2008)

24
6.1 Método da Ruptura
O cálculo de lajes segue os procedimentos descritos a seguir:
1º verificar os apoios: as duas lajes possuem os quatro lados apoiados.
2º determinar se as lajes serão apoiadas em uma ou duas direções:
Lx = 4,00 m e Ly = 5,00 m das duas lajes
Portanto λ = 1,25, lajes armadas em duas direções.
3º verificar a situação: as lajes possuem um dos lados menores (Lx) engastados, os
outros lados são isolados.
Pré-dimensionamento da altura útil:
d = 0,671*5,0*(0,028-0,006*4/18)
d = 9,00 cm.
Determinação da altura total h:
h = d + 1 + c
h = 9 + 1 + 2
h = 12,0 cm
Para o cálculo do g0, utiliza-se a expressão:
go = h * γc (kN/m2
)
go = 0,12 * 25 (kN/m2
)
go = 3,00 kN/m2
Em seguida determina-se o grev, adotado como 1,20 kN/m2
Sendo um edifício residencial, o qac é 1,50 kN/m2
Portanto a carga total é a soma dos itens anteriores, ou seja,
P = go + grev + qac

25
P = 5,7 kN/m2
Com esses dados, é possível calcular os momentos máximos, positivos e negativos.
adotando X/M = 1
Figura 6.2 – Exemplo de Discretização das Lajes (AUTOR, 2008)
Para o cálculo dos momentos utiliza-se as tabelas constantes no anexo A e as
equações abaixo:
Figura 6.3 – Equações para a Determinação dos Momentos das Lajes (RELVAS, 2007)
Sendo o menor lado considerado engastado, define-se que as duas lajes são, de
acordo com as tabelas de momentos, do tipo 1.
Para a utilização das tabelas além do tipo de laje, é necessário o índice λ, que é a
relação dos lados da laje, ou seja, Ly/Lx.

26
λ = 5/4
λ = 1,25 ;
Tem-se portanto
mx = 0,052
my = 0,033
xy = 0,033
Das expressões anteriores defini-se:
mx = 4,70 kN.m
my = 3,00 kN.m
xy = 3,00 kN.m
6.2 Método dos Elementos Finitos
As duas características principais do método são a subdivisão da estrutura em
partes finitas (elementos), interligando-as entre si através de um número discreto de
pontos em sua periferia (nós) e a escolha da função que descreve o comportamento
interno dessas pequenas partes ou elementos. Esta última constitui a mais
fundamental das características, uma vez que o bom ou mau comportamento do
elemento é que vai viabilizar ou não o uso do método.
O comportamento do elemento é então descrito por uma função ou um conjunto de
funções especialmente escolhidas, que permitem analisar como se comportam as
tensões e os deslocamentos dentro daquele elemento, quando o mesmo é
submetido a determinado tipo de ação. São estas funções que vão indicar a maneira
específica de se deformar de cada elemento.
Em função do tipo de comportamento assumido sobre cada elemento e das diversas
possibilidades que podem ser utilizadas, existem várias alternativas para a
formulação de elementos. Essas formulações são normalmente chamadas modelos
de elementos finitos.

27
Figura 6.4 - Modelação das Lajes do Pavimento Tipo ( AUTOR, 2008)
A análise do pavimento tipo do Edifício residencial proposto foi efetuado através do
método dos elementos finitos através do “software” STRAP. Foi processado um
modelo com elementos de placa com malha da ordem de 0,50 m x 0,50 m. As
propriedades dos materiais utilizada foi concreto com fck de 25 MPa, os
carregamentos considerados foram os mesmos apresentados no cálculo pelo
método de ruptura no início deste capítulo.
Figura 6.5 - Renderização das Lajes do Pavimento tipo ( AUTOR, 2008)

28
Figura 6.6 - Gráfico de Momentos das Lajes do Pavimento tipo (AUTOR, 2008)
6.3 Método das Grelhas
Diante da variabilidade de formas das lajes e dos diferentes tipos de carregamento,
é difícil estabelecer-se ou definir-se uma malha como sendo genericamente a ideal
para cada caso. A partir dessa premissa, visando melhores esclarecimentos sobre o
uso da técnica, apresentam-se a seguir, algumas considerações para sua correta
aplicação neste trabalho.
De acordo com indicações de HAMBLY (1976), apresentadas em DUARTE (1998),
são válidos os seguintes critérios para lajes retangulares, que devem ser adequados
a cada tipo de laje que se deseja modelar:
a) As barras da grelha devem estar localizadas em posições pré-determinadas pelo
projeto, tais como linhas de apoio ao longo das vigas de extremidade, bem como de
outras se existirem, que contenham uma ação específica;
b) Em lajes ortótropas, cada barra deve ter no máximo uma largura igual a 1/4 do
vão transversal ao seu eixo;

29
c) Numa laje ortótropa, na direção de menor inércia, deve-se considerar a largura
das barras igual a 40% do vão transversal ao seu eixo. Caso haja dúvidas quanto à
isotropia ou ortotropia da laje, deve-se adotar o critério anterior;
d) Quanto mais densa a malha, melhores serão os resultados obtidos. No entanto,
essa melhora deixa de acontecer quando a largura das barras for menor que duas
ou três vezes a espessura da laje;
e) No caso de existência de balanços na laje, é necessário colocar-se pelo menos
duas barras transversais ao vão em balanço;
f) Deve-se colocar uma linha de barras no contorno livre da laje, cuja largura para o
cálculo do momento de inércia à torção deve ser diminuída de 0,3 h, por se tratar do
ponto por onde passa a resultante das tensões de cisalhamento devidas à torção;
g) Nas regiões de grande concentração de esforços, tais como apoios ou cargas
concentradas, recomenda-se dispor uma malha cuja largura das barras não seja
superior a três ou quatro vezes a espessura da laje;
h) Não devem ser considerados os orifícios na laje desde que sua maior dimensão
não exceda 3h, sendo h a espessura da laje, a não ser que estejam localizados
muito próximos dos pilares. Existindo aberturas maiores, devem ser aplicados os
mesmos critérios válidos para as bordas livres.
Figura 6.7 - Lajes Modeladas em Barras de Grelhas no TQS ( AUTOR, 2008)

30
b/c 1,00 1,50 1,75 2,00 2,50 3,00 4,00 6,00 8,00 10,00
β 0,141 0,196 0,214 0,229 0,249 0,263 0,281 0,299 0,307 0,313 0,333
O momento de inércia à flexão das barras longitudinais e transversais da grelha é
calculado considerando que cada barra representa uma largura b de laje igual a
distância entre os centros dos vãos adjacentes à barra, com valor dado pela
respectiva equação estabelecida pela resistência dos materiais para as seções
retangulares (I = b . h3
/ 12). Para o momento de inércia à torção (IT) é admitido o
valor correspondente àquele indicado pela teoria de Saint Venant, de acordo com a
fórmula apresentada abaixo, encontrada em TIMOSHENKO (1981).
IT = β . b . c3
sendo b o maior lado da seção, c o menor lado e com β variando em função de uma
relação entre os mesmos, de acordo com as indicações abaixo:
Outro aspecto importante que merece destaque na aplicação da técnica da analogia
de grelha, é a consideração da vinculação dos pilares na grelha equivalente, de
modo a avaliar a influência de suas rigidezes no comportamento do pavimento em
análise.
A análise do pavimento tipo do Edifício residencial proposto foi efetuado pelo
método dos elementos finitos de barras através do software TQS e foi adotado
deformação plástica do elemento estrutural. Foi processado um modelo com
espaçamento entre as barras de 0,50 x 0,50 e os carregamentos e propriedades
considerados foram os mesmos das análises anteriores.

31
Figura 6.8 - Entrada Gráfica das Lajes no TQS ( AUTOR, 2008)
Figura 6.9 – Extração dos Momentos Fletores pelo TQS (AUTOR, 2008)

32
7 COMPARAÇÃO ENTRE OS MODELOS ANALISADOS
O cálculo com auxílio de tabelas pelo método da ruptura apresentou os menores
valores dentre todas as outras análises. Essas diferenças significativas se devem
além das simplificações que este modelo admite em sua análise, a saber, da
indeformabilidade das vigas de apoio das lajes, dos painéis de laje isolados uns dos
outros com aproximações de suas condições de vinculação, porém o motivo
principal de tal diferença está no fato de o método da ruptura e o programa TQS
considerarem possíveis e corriqueiros erros na execução (verificar figura abaixo) das
armaduras negativas o qual desloca para baixo o gráfico dos momentos, os valores
máximos dos momentos negativos (ou seja diminuindo-os) e os positivos também
deslocados para baixo são aumentados.
Figura 7.1– Exemplo do Problema de Execução das Armaduras Negativas (AUTOR, 2008)
Os modelos analisados através da técnica da analogia de grelha e do método dos
elementos finitos apresentaram resultados um pouco parecidos. Para os momentos
fletores negativos, a técnica da analogia de grelha apresentou resultado bastante
superior ao do método dos elementos finitos e para os momentos fletores positivos
resultados apesar de maiores, da mesma ordem de grandeza. Diante dos resultados

33
obtidos dos modelos em análise linear, pôde-se constatar que a técnica da analogia
de grelha e o método dos elementos finitos foram os que conduziram a resultados a
favor da segurança para as lajes analisadas e que outras formas de pavimentos com
características semelhantes às do estudado, dependendo do tipo de carregamento e
da forma das estruturas, inviabilizam o uso do cálculo simplificado com tabelas do
método da ruptura.
Para melhor visualização, seguem abaixo os gráficos correspondentes ao valores
obtidos a partir de cada método de cálculo proposto, e dois gráficos comparativos:
Figura 7.2 – Diagrama de Momentos Fletores a partir do Método da Ruptura ( AUTOR, 2008)
Figura 7.3 - Diagrama de Momentos Fletores a partir do M.E.F. ( AUTOR, 2008)

34
0,00
1,00
2,00
3,00
4,00
5,00
6,00
7,00
8,00
(kN.m/m)
Ruptura Elem. Finitos Analag. Grelha
Momentos Fletores Negativos
Figura 7.4 - Diagrama de Momentos Fletores a partir do Método da Analogia de Grelhas
( AUTOR, 2008)
Figura 7.2- Comparação dos Valores Calculados dos Momentos Fletores Negativos

35
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
3,00
3,50
4,00
4,50
(kN.m/m)
Ruptura Elem. Finitos Analag. Grelha
Momentos Fletores Positivos
Figura 7.3 - Comparação dos Valores Calculados dos Momentos Fletores Positivos

36
8 CONCLUSÕES
A escolha de um modelo estrutural para a análise das lajes de um edifício depende,
principalmente, do grau de dificuldades que se tenha diante da forma estrutural
prevista para uma dada concepção arquitetônica. Formas mais simples podem ser
dimensionadas, de modo geral, com análises através de modelos simplificados, ao
passo que formas mais complexas, com geometrias mais diversas das tradicionais
retangulares, exigem modelos mais refinados de análise. Entretanto, mesmo para
formas estruturais relativamente simples, modelos simplificados de análise podem
conduzir a resultados muito imprecisos, em função da maneira como são
considerados os carregamentos atuantes e da consideração ou não da rigidez
relativa entre os elementos estruturais.
O pavimento tipo do Edifício residencial, tomado como exemplo nas análises
realizadas no trabalho, apresenta uma forma estrutural basicamente simples, com
todas as lajes retangulares. Os resultados fornecidos, entretanto, pelos modelos
estruturais propostos, foram muito diferentes.
Estas diferenças observadas nos três tipos de análise ocorreram devido às
considerações simplificadas que alguns admitem, que as vigas são apoios
indeslocáveis para as lajes e o cálculo dos painéis de lajes como placas isoladas;
porém o grande responsável pelos elevados valores de momentos fletores obtidos
pelo software TQS em relação as outras ferramentas foi a redução da inércia à
torção das vigas, sendo que ao se considerarmos a inércia a torção normal, os
valores resultantes da modelação pelo TQS se assemelharam muito ao do M.E.F.
A modelagem das lajes com elementos de placa através do método dos elementos
finitos possibilita a apresentação dos resultados através de envoltórias de esforços
que permitem uma avaliação mais clara da estrutura do pavimento como um todo.
Através dessas envoltórias, é possível perceber mais diretamente possíveis falhas
nas rigidezes de algum elemento estrutural.

37
Diante dos resultados obtidos dos modelos em análise, pôde-se constatar que a
técnica da analogia de grelha é a ferramenta mais indicada para projetos de
estruturas de concreto armado, o método dos elementos finitos é excelente para
análises estruturais, ou seja, determinação de esforços (momentos fletores, forças
cortantes, tensões de cisalhamento, etc) e outras formas de pavimentos com
características distintas às do estudado, dependendo do tipo de carregamento e da
forma das estruturas, inviabilizam o uso do cálculo simplificado com tabelas pelo
método da ruptura, pois levam a processos de resolução muito trabalhosos e
consequentemente despendem de tempos elevados para a conclusão dos trabalhos.
Cabe ressaltar que estes cálculos são importantíssimos e indispensáveis para os
engenheiros projetistas de estruturas, face a sua rapidez e facilidade de aplicação,
principalmente quando o engenheiro encontra-se em trabalho no “campo” e não
pode recorrer a computadores; além disso, os cálculos do método da ruptura
proporcionam parâmetros de comparação para verificar os resultados obtidos pelos
programas de cálculo, sendo caracterizados como valiosas ferramentas de validação
de resultados.

38
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ABNT Associação Brasileira de Normas Técnicas – Projeto de Estruturas de
Concreto - Procedimento (NBR 6118). Rio de Janeiro, ABNT, 2004, 221p.
ABNT Associação Brasileira de Normas Técnicas – Projeto Cargas para o cálculo
de estruturas de edificações (NBR 6120). Rio de Janeiro, ABNT, 1980, 6 p
BARBOZA, A. S. R.; “Contribuição à Análise Estrutural de Sistemas Lajes-Vigas
de Concreto Armado Mediante Analogia de Grelha”; Dissertação de Mestrado,
129p., EESC - USP; São Carlos; 1992.
CALAVERA, J. Proyeto y Cálculo de Estruturas de Hormigón. Madri: Intemac,
1999. 897 p.
DUARTE, H.;“Aspectos da Análise Estrutural das Lajes de Edifícios de
Concreto Armado”; Dissertação de Mestrado, EESC – USP, 84p.; 1998
FUSCO, P.B. Técnica de Armar as Estruturas de Concreto Armado. São Paulo:
Pini, 1995. p. 237 a 378
GIONGO, J. S. Concreto armado: projeto estrutural de edifícios, São Carlos,
ESC - USP, 1994.
KIMURA, A. Informática Aplicada em Estruturas de Concreto Armado. São
Paulo: Pini, 2007. 623 p.
LEONHARDT, F. & MÖNNIG, E.;”Construções de Concreto”; 2a ed.; Rio de
Janeiro; Interciência; 1979; Vols. 1 a 6.
PRELORENTZOU, P. A. & GIORGI, R. C.; “Critérios e Parâmetros de Projetos
Estruturais de Edificações - Qualidade das Estruturas de Concreto Armado da
ENCOL”; DITEC - ENCOL; 1994.

39
RELVAS, J. F., Apostila de Estruturas de Concreto Armado e Notas de Aulas,
São Paulo, UAM, 2007
ROCHA, A.M. Novo Curso Prático de Concreto Armado. Rio de Janeiro: Ed.
Científica, 1972, p. 29 a 110.

ANEXO A – TABELAS PARA DETERMINAÇÃO DOS MOMENTOS
FLETORES

2
Tabela 8.1 – Tabela para determinação dos Momentos Fletores em Lajes do Tipo 0 (RELVAS,
2007)

3
Tabela 8.2 - Tabela para determinação dos Momentos Fletores em Lajes do Tipo 1 (RELVAS,
2007)

4
2007)

5
2007)

6
2007)

7
2007)

8
2007)

9
2007)

10
2007)

11
ANEXO B – TABELAS KC E KS

12
Tabela 8.10 – Tabelas para Determinação das Armaduras (RELVAS, 2007)

Dimensionamento de lajes de concreto e comparação de ferramentas

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