1. PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER ORDE-N TAK HOMOGEN
DENGAN KOEFISIEN KONSTAN
Bentuk umum persamaan diferensial tak homogeny orde-n adalah sebagai berikut :
π΄ π π¦ π + π΄ π β1 π¦ πβ1 + π΄ π β2 π¦ πβ2 + β― + π΄1 π¦ β² + π΄0 π¦ = π(π₯)
Solusi umum π¦(π₯) akan didapatkan bila solusi umum π¦ π π₯ dari Persamaan Diferensial
Homogen diketahui, dimana
Bentuk umum persamaan diferensial homogeny orde-n adalah sebagai berikut :
π΄ π π¦ π + π΄ π β1 π¦ πβ1 + π΄ π β2 π¦ πβ2 + β― + π΄1 π¦ β² + π΄0 π¦ = 0
Kemudian π¦(π₯) dibentuk dengan penambahan π¦ π π₯ sembarang solusi π¦ termasuk konstanta
tak tetapnya.
Sehingga,
π¦ π₯ = π¦ π (π₯) + α»Ή(π₯)
Theorema 1:
π π₯ , π π₯ dan π π₯ merupakan fungsi kontinu pada interval l. π¦ π₯ merupakan solusi dari
Persamaan Diferensial di atas yang berisikan konstanta yang tetap. π¦ π₯ dibentuk oleh 2
konstanta. Konstanta pertama, berubah-ubah, terdapat pada solusi umum (homogeny) π¦ π (π₯).
Konstanta kedua, tetap, terdapat pada fungsi α»Ή(π₯), yaitu sembarang solusi Persamaan
Diferensial pada interval l.
Theorema 2:
Solusi umum dari Persamaan Diferensial seperti di atas adalah penjumlahan solusi persamaan
homogeny π¦ π (π₯) dengan solusi particular yang tetap (tak berubah-ubah) π¦ π (π₯).
Sehingga,
π¦ π₯ = π¦ π π₯ + π¦ π (π₯)
1
2. Mengingat teorema solusi umum persamaan diferensial tak homogeny, tugas kita disini
hanyalah mencari satu solusi particular dari persamaan diferensial tak homogeny.
Terdapat tiga metode:
1. Metode koefisien tak tentu
Ide dasar dari metode koefisien tak tentu adalah menduga dengan cerdas solusi π¦ π
(solusi ansatz) berdasarkan bentuk fungsi π π₯ di ruas kanan.
Bentuk persamaan umum:
π΄ π π¦ π + π΄ π β1 π¦ πβ1 + π΄ π β2 π¦ πβ2 + β― + π΄1 π¦ β² + π΄0 π¦ = π(π₯)
ο Fungsi π(π₯) yang merupakan bentuk solusi pertikular π¦ π (π₯) diperoleh dengan
cara menebak, seperti misalnya: fungsi cos, fungsi sin, fungsi exponensial atau
jumlah dari beberpa fungsi
ο π(π₯) berisikan koefisien tak tentu
ο Turunkan π¦ π sesuai persamaan umum di atas
ο Subtitusikan π¦ π dan seluruh turunannya ke dalam persamaan
Tabel Metode Koefisian Tak Tentu
Aturan:
ο Bila π(π₯) meupakan salah satu fungsi seperti dalam table, maka pilih bentuk π¦ π
yang sesuai dan merupakan kombinasi linier dengan konstanta tak tantu. Turunan
π(π₯) harus bebas linier pula.
ο Bila π(π₯) merupakan penjumlahan, maka pilihπ¦ π yang merupakan penjumlahan
fungsi yang sesuai.
2
3. ο Bila π(π₯) adalah solusi dari persamaan homogeny, maka pilihan dapat
dimodifikasi seperti berikut
Aturan Modifikasi
Kalikan pilihan pada kolom 2 dengan π₯ atau π₯ 2 tergantung dari apakah pada kolom 3
berupa akar tunggal atau akar-akar ganda dari persamaan homogeny.
Contoh Soal
1) Selesaikan persamaan berikut:
π¦ β²β² β 4π¦ β² + 3π¦ = 10π β2π₯
Jawab:
ο Mencari jawaban homogeny π¦ π
π¦ β²β² β 4π¦ β² + 3π¦ = 10π β2π₯
π2 β 4π + 3 = 10π β2π₯
πβ3 πβ1
π 1 = 3 dan π 2 = 1
Maka,
2
π¦π = πΆππ πππ₯
π=1
π¦ π = πΆ1 π 3π₯ + πΆ2 π π₯
ο Mencari jawaban particular π¦ π
Turunan π β2π₯ adalah πΆπ β2π₯
Maka, π¦ π = Cπ β2π₯
π¦ π β² = β2Cπ β2π₯ dan π¦ π β²β² = 4Cπ β2π₯
4Cπ β2π₯ β 4(β2Cπ β2π₯ ) + 3(Cπ β2π₯ ) = 10π β2π₯
Cπ β2π₯ 4 + 8 + 3 = 10π β2π₯
15 Cπ β2π₯ = 10π β2π₯
10π β2π₯
C=
15π β2π₯
2
C=
3
2
Maka, π¦ π = π β2π₯
3
3
7. Sehingga persamaan Ξͺ + Δ° + 2I = 6 cos π‘ dapat ditulis dengan:
Ξͺ + Δ° + 2I = 6π ππ‘
Solusi particular kompleks dapat di buat dalam bentuk:
πΌπβ (π‘) = ππ ππ‘
dan Δ° πβ = πππ ππ‘ Ξͺ πβ = βπππ ππ‘
bila disubtitusikan ke dalam persamaan Ξͺ + Δ° + 2I = 6π ππ‘ :
(β1 + πΌ + 2)ππ ππ‘ = 6π ππ‘
6
π= = 3 β π3
1+ π
Sehingga solusi umum persamaan Ξͺ + Δ° + 2I = 6π ππ‘ adalah:
Δ° πβ (π‘) = 3 β π3 πππ‘ = 3 β π3 (cos π‘ + π sin π‘)
Dan komponen nyatanya adalah:
Δ° π π‘ = 3 cos π‘ + 3 sin π‘
3. Metode Umum
Bentuk umum Persamaan Diferensial Tak Homogen
π΄ π π¦ π + π΄ π β1 π¦ πβ1 + π΄ π β2 π¦ πβ2 + β― + π΄1 π¦ β² + π΄0 π¦ = π(π₯)
Sedangkan bentuk umum Persamaan Diferensial Homogen :
π΄ π π¦ π + π΄ π β1 π¦ πβ1 + π΄ π β2 π¦ πβ2 + β― + π΄1 π¦ β² + π΄0 π¦ = 0
7
8. Maka solusi umumnya π¦ π (π₯) pada interval terbuka I berbentuk:
π¦ π π₯ = π1 π¦1 π₯ + π2 π¦2 π₯
Bila π1 dan π2 diganti dengan u(x) dan v(x) maka diperoleh solusi pertikular pada
interval terbuka I, sbb:
π¦ π π₯ = π’ π₯ π¦1 π₯ + π£(π₯)π¦2 π₯
Jika persamaan di atas diturunkan, hasilnya:
β²
π¦ β²π = π’β² π¦1 + π’π¦1 + π£ β² π¦2 + π£π¦2 β²
Karena u(x) dan v(x) adalah pengganti π1 dan π2 , maka:
π’β² π¦1 + π£ β² π¦2 = 0
Sehingga π¦ β²π menjadi:
π¦ β²π = π’π¦1 β² + π£π¦2 β²
Bila persamaan π΄ π π¦ π + π΄ π β1 π¦ πβ1 + π΄ π β2 π¦ πβ2 + β― + π΄1 π¦ β² + π΄0 π¦ = π(π₯)
diturunkan hasilnya:
β² β²β²
π¦ β²π = π’β² π¦1 + π’π¦1 + π£ β² π¦2 β² + π£π¦2 β²β²
β²
Persamaan π¦ π π₯ = π’ π₯ π¦1 π₯ + π£ π₯ π¦2 (π₯), π¦ β²π = π’π¦1 β² + π£π¦2 β², dan π¦ β²π = π’β² π¦1 +
β²β²
π’π¦1 + π£ β² π¦2 β² + π£π¦2 β²β² disubtitusikan ke dalam persamaan π΄ π π¦ π + π΄ πβ1 π¦ πβ1 +
π΄ π β2 π¦ πβ2 + β― + π΄1 π¦ β² + π΄0 π¦ = π(π₯), dan mengumpulkan komponen yang
mengandung u dan v:
8
9. Bila π¦1 dan π¦2 merupakan solusi homogeny dari persamaan π΄ π π¦ π + π΄ πβ1 π¦ πβ1 +
π΄ π β2 π¦ πβ2 + β― + π΄1 π¦ β² + π΄0 π¦ = 0, sehingga terjadi penyederhanaan persamaan,
menjadi:
Persamaan π’β² π¦1 + π£ β² π¦2 = 0
Sebuah system dari 2 persamaan aljabar linier dengan 2 fungsi uβ dan vβ yang tak
diketahui.
Penyelesaian selanjutnya dengan memakai aturan Cramer, sehingga:
W = Bilangan Wronskian dari π¦1 dan π¦2
Dengan integrasi diperoleh:
Subtitusikan hasil ini ke dalam persamaan π¦ π π₯ = π’ π₯ π¦1 π₯ + π£ π₯ π¦2 (π₯),
sehingga didapatkan :
9
10. Contoh:
Selesaikan Persamaan Diferensial berikut ini: π¦ β²β² + π¦ = sec π₯
Jawab:
Misalkan π¦1 = cos π₯ πππ π¦2 = sin x
ο Mencari jawaban homogeny π¦ π
Bilangan Wronskian:
π π¦1 , π¦2 = cos π₯ cos π₯ β (β sin π₯) sin π₯ = 1
ο Mencari jawaban particular π¦ π
π¦ π = cos π₯ πΏπ | cos π₯| + π₯ sin π₯
ο Solusi Umum
π¦ = π¦π + π¦ π
10