1. Dep. Matemáticas.
Matemáticas II Xoves, 19 de setembro de 2013
Álxebra lineal. Páx. 1
TES QUE SER CAPAZ DE:
1. Utilizar as matrices para organizar e representar datos extraídos de diversas situacións en casos
moi sinxelos e operar con elas para resolvelos.
2. Coñecer os distintos tipos de matrices:
• fila, columna,
• cadrada, diagonal, triangular,
• nula, identidade,
• trasposta, simétrica e antisimétrica.
3. Coñecer e adquirir destreza nas operacións con matrices:
• suma, produto por un escalar,
• produto de matrices e a non conmutatividade do produto.
4. Calcular determinantes de orde 2 ou 3 utilizando a regra de Sarrus.
• Calcular determinantes desenvolvendo polos elementos dunha liña.
• Coñecer as propiedades dos determinantes e saber aplicalas ao cálculo deles.
5. Calcular o rango dunha matriz (ata dimensión 4⨯4)
◦ utilizando o método de Gauss e
◦ a partir dos seus menores.
• Calcular o rango de matrices dependentes dun parámetro ata dimensión 4⨯4.
6. Obter a matriz inversa (ata matrices de orde 3x3)
◦ utilizando determinantes e
◦ polo método de Gauss.
7. Resolver ecuacións e sistemas matriciais.
8. Clasificar (compatible determinado, compatible indeterminado, incompatible) un sistema de
ecuacións lineais con non máis de tres incógnitas e que dependa ao sumo dun parámetro e no seu
caso resolvelo.
EXERCICIOS:
1. Pon un exemplo de matriz simétrica de orde 3 e outro de matriz antisimétrica de orde 3.
2. Sexa M unha matriz simétrica de orde 3, con det (M)=−1 .
Calcula, razoando a resposta, o determinante de Mt + M , sendo Mt a matriz trasposta de M .
3. Calcula unha matriz X simétrica e de rango 1 que verifique: X ·(1 −1
2 −2) = (2 −2
0 0 )
4. Dado o sistema de ecuacións lineais: {mx + y − 2z = 0
x + y + z = 0
x − y + z = m
a) Discúteo, segundo os valores do parámetro m.
b) Resolve, se é posible, o sistema anterior nos casos m = 0 e m =−1.
5. Sexan C1 , C2 , C3 as columnas primeira, segunda e terceira, respectivamente, dunha matriz
cadrada M de orde 3 con det (M)= 4. Calcula, enunciando as propiedades de determinantes que
utilices, o determinante da matriz cuxas columnas primeira, segunda e terceira son, respectivamente,
−C2 , 2C1 − C3 , C2 + C 3 .
6. Dada a matriz A = (a 0 0
b 1 0
0 0 1), calcula todos os valores de a e b para os que A−1 = At , sendo At
a matriz trasposta de A .

2. Páx. 2 Álxebra lineal.
7. Dado o sistema de ecuacións lineais: {m x − 2 y + 2z = 1
2 x + m y + z = 2
x + 3 y − z = m
a) Discúteo, segundo os valores do parámetro m.
b) Resolve, se é posible, o sistema anterior para o caso m= 1 .
8. Se A é é unha matriz tal que A3 + I = O, sendo I a matriz identidade e O a matriz nula de orde 3.
a) Cal é o rango de A ?
b) Calcula a matriz A30 e o valor do seu determinante.
c) Calcula A no caso de que sexa unha matriz diagonal verificando a igualdade anterior.
2 (2 1
9. Dada a matriz B = 1
2 0), calcula unha matriz X tal que B X B − B = B−1 .
10. Dado o sistema de ecuacións lineais: {x + m y + 3z = 1
x + 2 y + m z = m
x + 4 y + 3z = 1
a) Discúteo, segundo os valores do parámetro m.
b) Resolve, se é posible, o sistema anterior para o caso m = 4.
11. Dada a matriz A = (−1 1 0
0 1 0
0 1 −1),
a) Se I é a matriz identidade de orde 3, calcula os valores de λ para os que A + λ I non ten inversa.
Calcula, se existe, a matriz inversa de A − 2I .
b) Calcula a matriz X tal que X A + At = 2X , sendo At a matriz trasposta de A .
12. Dado o sistema de ecuacións lineais: {a x + 2 y + 2 z = a
x + y + z = 0
2 x − y + 2 z = a
a) Discúteo, segundo os valores do parámetro a .
b) Resolve, se é posible, o sistema anterior para o caso a = 0 .
13. Dada a matriz A = (a 1 0
1 0 a):
a) Calcula os rangos de At · A e de A· At , onde At denota a matriz trasposta de A .
b) Para o valor a = 1 , resolve A At X B , sendo B 0
= = ().
314. Sexa M unha matriz cadrada de orde 3 con det (M)=−1 e que ademais verifica
M3 + M + I = O sendo I a matriz unidade de orde 3.
Calcula os determinantes das matrices: M + I e 3M + 3 I .
15. Dado o sistema de ecuacións lineais: {x + y − z = 5
2 x + y − 2 z = 2
a) Resolve, se é posible, o sistema anterior.
b) Calcula o valor de m, para que ao engadir ao sistema anterior a ecuación: x + 2 y − z = m,
resulte un sistema compatible indeterminado.

3. Dep. Matemáticas.
Matemáticas II Xoves, 19 de setembro de 2013
Álxebra lineal. Páx. 3
16. Calcula, segundo os valores de a , o rango de A = ( a 0 a
a+1 a 0
0 a+1 a+1).
Para a = 1 calcula o determinante da matriz 2 At · A−1 , onde At denota a matriz trasposta de A .
17. Sexa B = (−1/2 x 0
y 1/2 0
0 0 1). Calcula x e y para que se cumpra que B−1 = Bt , sendo Bt a
matriz trasposta de B .
18. Dada a matriz A = (−1 0 0
0 0 −1
0 −1 0 ), calcula a matriz X que verifica X · A + A = 2 I , sendo I a
matriz unidade de orde 3.
19. Sexan F 1 , F 2 , F 3 as filas primeira, segunda e terceira, respectivamente, dunha matriz cadrada
M de orde 3 con det (M)= 2. Calcula, enunciando as propiedades de determinantes que utilices, o
determinante da matriz cuxas filas primeira, segunda e terceira son, respectivamente, F 1 + F2 + F3 ,
2 F2 , F 3 .
20. Dado o sistema de ecuacións lineais: {x + y = m
x − m y = −13
3 x + 5 y = 16
a) Discúteo, segundo os valores do parámetro m.
b) Resolve, se é posible, o sistema anterior para o caso m= 2 .
SOLUCIÓNS:
1. • Unha matriz M é simétrica ⟺ St = S ⟺ si , j = s j ,i , ∀ i , j ⟺ as posicións
simétricas respecto á diagonal principal teñen o mesmo valor. Polo tanto, os termos da diagonal
principal, mi ,i , poden tomar calquera valor. Exemplo de orde 3: (2 1 −1
1 0 3
−1 3 −1).
• Unha matriz A é antisimétrica ⟺ At =−A ⟺ ai , j = a j ,i , ∀ i , j ⟺ as posicións
simétricas respecto á diagonal principal teñen valor oposto. Polo tanto, os termos da diagonal
principal, xi , i = 0 , ∀ i , xa que x =−x ⟺ x = 0. Exemplo de orde 3: (0 1 −1
−1 0 3
1 −3 0 ).
⦿
2. • M simétrica ⟺ Mt = M ⟹ Mt + M = 2M ⟹ det (Mt + M) = det (2M)
• Dado que podemos sacar factor común 2 de cada unha das filas de 2M.
• Tendo en conta que 2M é cadrada de orde 3, temos que
det (Mt + M) = det (2M) = 23det (M) ⟹ det (Mt + M) = 8·(−1) = −8
⦿
3. • X cadrada de orde 2 é simétrica (cadrada por ser simétrica e de orde 2 para poder multiplicala
por unha matriz de dimensións 2⨯2) ⟹ X = (a b
b c )

4. Páx. 4 Álxebra lineal.
• ran(X ) = 1 ⟹ ∣a b
b c ∣ = 0 ⟺ ac − b2 = 0, e non todos nulos.
• (a b
b c )·(1 −1
2 −2) = (2 −2
0 0 ) ⟺ (a+2 b −a−2b
b+2c −b−2c ) = (2 −2
0 0 )
• Temos así: { ac − b2 = 0
a + 2 b = 2 ⟹ a = 2 − 2b ⟹ a = 2 + 4 c
b + 2 c = 0 ⟹ b =−2c
non todos nulos ] ⟹ (2+4c)c − 4c2= 0 ⟹
⟹ 2c + 4c2 − 4 c2 = 0 ⟹ c = 0 ⟹ {b = 0
a = 2 ] ⟹ X =(2 0
0 0) ⦿
4.
(a) Matriz de coeficientes: C = (m 1 −2
1 1 1
1 −1 1 ). Calculamos o seu rango:
• ∣1 1
1 −1∣ = −1 − 1=−2≠ 0 ⟹ ran(C )≥ 2
• ∣m 1 −2
1 1 1
1 −1 1 ∣= m + 1 + 2 + 2− 1 + m = 2m + 4
• 2m + 4 = 0 ⟺ m =−2
⋱ En consecuencia, se m =−2 ⟹ ran(C )= 2; e se m ≠−2 ⟹ ran(C )= 3.
• Matriz ampliada: A = (m 1 −2 0
1 1 1 0
1 −1 1 m)
⋱ Como ran(C )≤ ran( A)≤ 3 ⟹ Se m ≠−2 ⟹ ran(C )= ran( A)= 3.
• Se m =−2 ⟹ A = (−2 1 −2 0
1 1 1 0
1 −1 1 −2); ∣1 1
1 −1 ∣ =−2≠ 0
⋱ ∣−2 1 0
1 1 0
1 −1 −2∣= 4− 2 − 4 − 4 = −6 ≠ 0 ⟹ ran(A) = 3
• Discusión:
• Se m ≠−2 ⟹ ran(C )=ran( A)= 3 =número de incógnitas ⟹ Sistema compatible
determinado.
• Se m =−2 ⟹ ran(C )= 2 < 3 = ran(A) ⟹ Sistema incompatible. ⦿
x + y + z = 0
x − y + z = 0∣. Como m ≠−2, é un sistema compatible
(b) Para m= 0 , o sistema é: { y − 2 z = 0
determinado e, como tódolos termos independentes son nulos, é un sistema homoxéneo.
• Polo tanto a solución única é a solución trivial: x = 0 ; y = 0 ; z = 0 .

5. Dep. Matemáticas.
Matemáticas II Xoves, 19 de setembro de 2013
Álxebra lineal. Páx. 5
x + y + z = 0
x − y + z = −1∣. Con ∣−1 1 −2
• Para m =−1 , o sistema é: {−x + y −2z = 0
1 1 1
1 −1 1 ∣= 2.
Como m ≠−2, é un sistema compatible determinado e a solución única podémola obter polo
método de Cramer:
x =
1
2
· ∣ 0 1 −2
0 1 1
−1 −1 1 ∣= −
3
2
; y =
1
2
· ∣−1 0 −2
1 0 1
1 −1 1 ∣=
1
2
; z =
1
2
· ∣−1 1 0
1 1 0
1 −1 −1∣=
2
2
• Solución única: x =−
3
2
; y =
1
2
; z = 1 .
⦿
5.
• Se C1 =(abc
); C2 =(x
yz
); C3 =(mnp
), entón M =(a x m
b y n
c z p). Sábese que: det (M)= 4.
• Se chamamos N = (−C2 ; 2C1− C 3 ; C2 + C 3) á matriz da que queremos calcular o
determinante: det (N) = ∣−x 2a−m x+m
− y 2 b−n y+n
−z 2 c−p z+p ∣=
(1)
−∣x 2 a−m x+m
y 2b−n y+n
z 2c−p z+p ∣=
(2)
=
(2)
−∣x 2a−m m
y 2b−n n
z 2c−p p ∣=
(2)
−∣x 2a m
y 2b n
z 2c p ∣=
(1)
−2 ∣x a m
y b n
z c p ∣=
(3)
2∣a x m
b y n
c z p ∣= 8
⦿
(1) Se multiplicamos cada elemento dunha columna por un número, o determinante desa matriz
queda multiplicado por ese número.
(2) Se a unha columna se lle suma outra columna multiplicada por un número, o determinante non
varía.
(3) Se permutamos dúas columnas dunha matriz, o determinante cambia de signo.
6. • Se A−1 = At , entón At · A= I .
b 1 0
0 0 1)·(a b 0
• A· At = (a 0 0
0 1 0
0 0 1)= (a2 ab 0
ab b2+1 0
0 0 1) ⟹ (a2 ab 0
ab b2+1 0
0 0 1)= (1 0 0
0 1 0
0 0 1) ⟹
a b= 0
b2 + 1= 1 ] ⟹ {a2= 1 ⟹ a = ±1
⟹ { a2= 1
a b= 0 [(±1)·0= 0]
b2= 0 ⟹ b = 0
• Solucións: a = 1 ; b = 0. e a =−1 ; b = 0. ⦿
7.
(a) Matriz de coeficientes: C = (m −2 2
2 m 1
1 3 −1). Calculamos o seu rango:
• ∣2 1
1 −1 ∣ = −2 − 1=−3≠ 0 ⟹ ran(C )≥ 2

6. Páx. 6 Álxebra lineal.
• ∣m −2 2
2 m 1
1 3 −1 ∣= −m2 − 2 + 12 −2m − 4 −3m = −m2− 5m + 6
• −m2 −5m + 6 = 0 ⟺ m2 + 5m −6 = 0 ⟺ m = 1 ou m =−6, xa que,
m = −5 ± √25 + 24
2
=
2 = { 2
−5 ± 7
2
=1
−12
2 =−6
⋱ Se m= 1 ou m =−6 ⟹ ran(C )= 2; e se m ≠ 1 e m ≠−6 ⟹ ran(C )= 3.
• Matriz ampliada: A = (m −2 2 1
2 m 1 2
1 3 −1 m)
⋱ Como ran(C )≤ ran( A)≤ 3 ⟹ Se m≠ 1 e m ≠−6, ran(C )= ran( A)= 3.
• Se m = 1 ⟹ A = (1 −2 2 1
2 1 1 2
1 3 −1 1); ∣2 1
1 −1∣ = −3≠ 0
⋱ ∣1 2 1
2 1 2
1 −1 1∣= 1 + 4− 2 − 1− 4 + 2 = 0 ⟹ ran(A) = 2
• Se m =−6 ⟹ A = (−6 −2 2 1
2 −6 1 2
1 3 −1 −6); ∣2 1
1 −1∣ = −3≠ 0
⋱ ∣−6 2 1
2 1 2
1 −1 −6∣= 36 + 4− 2 − 1 + 24 − 12 = 64 − 152 = 49 ≠ 0 ⟹ ran(A) = 3
• Discusión:
• Se m ≠ 1 e m ≠−6 ⟹ ran(C )= ran( A)= 3 =número de incógnitas ⟹ Sistema
compatible determinado.
• Se m = 1 ⟹ ran(C )=ran( A)= 2 < número de incógnitas ⟹ Sistema compatible
indeterminado.
• Se m =−6 ⟹ ran(C )= 2 < 3 = ran(A) ⟹ Sistema incompatible. ⦿
(b) Para m = 1 , como ∣2 1
∣ = −3 ≠ 0 ⟹ Sistema equivalente: {2 x + z = 2− y
1 −1x − z = 1− 3 y
• Se consideramos y = 3α , para calquera α ∈ ℝ ⟹ {2 x + z = 2− 3α
x − z = 1− 9α
• Aplicando o método de Cramer:
• x =
1
−3
· ∣2 − 3α 1
1 − 9α −1∣ =
−3 + 12α
−3
= 1− 4α ; z =
1
−3
· ∣2 2 − 3α
1 1 − 9α ∣ =
−15α
−3
y = 3α
z = 5α ∣, para calquera α ∈ ℝ.
• As infinitas solucións son: {x = 1− 4α
⦿
8. (a) A3 + I = O ⟺ A3 =−I (1)

7. Dep. Matemáticas.
Matemáticas II Xoves, 19 de setembro de 2013
Álxebra lineal. Páx. 7
• Polo tanto, det ( A3) =det (−1 0 0
0 −1 0
0 0 −1) ⟹ det ( A)3=−1 ⟹ ∣A∣=−1 ≠ 0 ⟹
⟹ ran(A) = 3
⦿
(b) A30 = (A3)10
1) (−I )10 =[(−I )2]5
= (
= I5 = I ⟹ det ( A30)=1 . ⦿
(c) Se A é unha matriz diagonal ⟹ A = (a 0 0
0 b 0
0 0 c)
• A2 = (a 0 0
0 b 0
0 0 c)= (a2 0 0
0 b 0
0 0 c)·(a 0 0
0 b2 0
0 0 c2);
0 b 0
0 0 c)·(a2 0 0
• A3 = (a 0 0
0 b2 0
0 0 c2)= (a3 0 0
0 b3 0
0 0 c3) ⟹ (a3 0 0
0 b3 0
0 0 c3)= (
1) (−1 0 0
0 −1 0
0 0 −1)
b3=−1 ⟹ b =−1
c3 =−1 ⟹ c =−1 ∣. En consecuencia, A =(−1 0 0
• Entón, {a3=−1 ⟹ a =−1
0 −1 0
0 0 −1)=−I
⦿
9.
2 (2 1
• B = 1
1 0 ) ⟹ ∣1 1/2
2 0) = (1 1/2
1 0 ∣ = −
1
2
≠ 0 ⟹ B ten matriz inversa.
• B X B − B = B−1 ⟺ B X B = B−1 + B ⟺ X = B−1B−1 B−1 + B−1 B B−1 ⟺
⟺ X = (B−1 )3
+ B−1
• B−1 =
1
∣B∣
[ Adx(B)]t
= −2 ( 0 −1
−1/2 1 )t
= −2 ( 0 −1/2
−1 1 ) = (0 1
2 −2)
• (B−1)2 = (0 1
2 −2)·(0 1
2 −2) = ( 2 −2
−4 6 )
• (B−1)3 = ( 2 −2
−4 6 )·(0 1
2 −2) = (−4 6
12 −16)
• X = (B−1 )3
+ B−1 = (−4 6
12 −16)+(0 1
2 −2) = (−4 7
14 −18)
⦿
10.
(a) Matriz de coeficientes: C = (1 m 3
1 2 m
1 4 3). Calculamos o seu rango:
• ∣1 2
1 4∣ = 4− 2 =2 ≠0 ⟹ ran(C )≥ 2
• ∣1 m 3
1 2 m
1 4 3 ∣= 6 + m2 + 12 − 6 − 3m − 4m = m2 − 7m + 12
• m2 − 7m + 12 = 0 ⟺ m= 3 ou m = 4, xa que,

8. Páx. 8 Álxebra lineal.
m =
7 ± √49 − 48
2
=
7 ± 1
2 = {8
= 4
6
2 = 3
2
⋱ Se m = 3 ou m = 4 ⟹ ran(C )= 2; e se m ≠ 3 e m ≠ 4 ⟹ ran(C )= 3.
• Matriz ampliada: A = (1 m 3 1
1 2 m m
1 4 3 1 )
⋱ Como ran(C )≤ ran( A)≤ 3 ⟹ Se m ≠ 3 e m ≠ 4, ran(C )= ran( A)= 3.
• Se m = 3 ⟹ A = (1 3 3 1
1 2 3 3
1 4 3 1); ∣1 2
1 4 ∣ = 2≠ 0
⋱ ∣1 3 1
1 2 3
1 4 1∣= 2 + 9 + 4− 2− 3− 12 = −2 ≠ 0 ⟹ ran(A) = 3
• Se m= 4 ⟹ A = (1 4 3 1
1 2 4 4
1 4 3 1); ∣1 2
1 4 ∣ = 2≠ 0
⋱ ∣1 4 1
1 2 4
1 4 1∣= 2 + 16 + 4− 2 − 4 − 16 = 22 − 22 = 0 ⟹ ran(A) = 2
• Discusión:
• Se m ≠ 3 e m ≠ 4 ⟹ ran(C )= ran( A)= 3 =número de incógnitas ⟹ Sistema
compatible determinado.
• Se m = 3 ⟹ ran(C )= 2 < 3 = ran(A) ⟹ Sistema incompatible.
• Se m = 4 ⟹ ran(C )= ran( A)= 2 < número de incógnitas ⟹ Sistema compatible
indeterminado. ⦿
(b) Para m 4, como ∣1 2
= ∣ 2≠ 0 ⟹ Sistema equivalente: {x + 2 y = 4 − 4 z
1 4= x + 4 y = 1 − 3 z
• Se consideramos z = 2α , para calquera α ∈ ℝ ⟹ {x + 2 y = 4 − 8α
x + 4 y = 1 − 6α
• Aplicando o método de Cramer:
• x =
1
2
· ∣4 − 8α 2
1 − 6α 4 ∣ =
14 − 20α
2
= 7− 10α ; y =
1
2
· ∣1 4− 8α
1 1− 6α ∣ =
−3 + 2α
2
z = 2α ∣, para calquera α ∈ ℝ.
• As infinitas solucións son: {x = 7− 10α
y 3
=−
+α
2
⦿
11.
(a) A + λ I = (−1 + λ 1 0
0 1 + λ 0
0 1 −1 + λ ) ⟹ ∣A + λ I∣ = (λ − 1)2 · (λ + 1)
• Polo tanto, A + λ I non ten inversa se λ = 1 ou se λ =−1.

9. Dep. Matemáticas.
Matemáticas II Xoves, 19 de setembro de 2013
Álxebra lineal. Páx. 9
• A − 2I = (−3 1 0
0 −1 0
0 1 −3) ⟹ ∣A − 2I∣ = (−3)2 · (−1) =−9≠ 0
• Se B = A − 2I :
Adx(B)1 ,1 = ∣−1 0
1 −3∣ = 3; Adx(B)1 ,2 = −∣0 0
0 −3∣ = 0; Adx(B)1 ,3 = ∣0 −1
0 1 ∣ = 0;
Adx(B)2 ,1 = −∣1 0
1 −3∣ = 3; Adx(B)2 ,2 = ∣−3 0
0 −3∣ = 9; Adx(B)2 ,3 = −∣−3 1
0 1∣ = 3;
Adx(B)3 ,1 = ∣ 1 0
−1 0∣ = 0; Adx(B)3 ,2 = −∣−3 0
0 0∣ = 0; Adx(B)1 ,3 = ∣−3 1
0 −1 ∣ = 3.
• (B)−1 =
1
∣B∣
[ Adx(B)]t
= −
1
9 (3 0 0
3 9 3
0 0 3)t
= −
1
3 (1 1 0
0 3 0
0 1 1)= (−1/3 −1/3 0
0 −1 0
0 −1/3 −1/3) ⦿
(b) X A + At = 2X ⟺ X A − 2 X = −At ⟺ X (A − 2I ) = −At . E, polo apartado anterior,
sabemos que A − 2I ten inversa.
• Polo tanto: X = −At ( A − 2 I )−1
• At = (−1 0 0
1 1 1
0 0 −1) ⟹ X = −(−1 0 0
1 1 1
0 0 −1)·−
1
3 (1 1 0
0 3 0
0 1 1)=
=
1
3 (−1 0 0
1 1 1
0 0 −1)·(1 1 0
0 3 0
0 1 1)=
1 5 1
0 −1 −1)= (−1/3 −1/3 0
1
3 (−1 −1 0
1/3 5/3 1/3
0 −1/3 −1/3) ⦿
12.
(a) Matriz de coeficientes: C = (a 2 2
1 1 1
2 −1 2). Calculamos o seu rango:
• ∣1 2
2 −1 ∣ = −1 − 4=−5 ≠ 0 ⟹ ran(C )≥ 2
• ∣a 2 2
1 1 1
2 −1 2∣= 2a + 4 − 2− 4 − 4 + a = 3a − 6
⋱ 3a − 6 = 0 ⟺ a = 2
⋱ En consecuencia, se a = 2 ⟹ ran(C )= 2; e se a ≠ 2 ⟹ ran(C )= 3.
• Matriz ampliada: A = (a 2 2 a
1 1 1 0
2 −1 2 a)
⋱ Como ran(C )≤ ran( A)≤ 3 ⟹ Se a ≠ 2 ⟹ ran(C )= ran( A)= 3.
• Se a = 2 ⟹ A = (2 2 2 2
1 1 1 0
2 −1 2 2); ∣1 2
2 −1∣ =−5≠ 0

10. Páx. 10 Álxebra lineal.
⋱ ∣2 2 2
1 1 0
2 −1 2∣= 4− 2 − 4− 4 = −6 ≠ 0 ⟹ ran(A) = 3
• Discusión:
• Se a ≠ 2 ⟹ ran(C )= ran( A)= 3 =número de incógnitas ⟹ Sistema compatible
determinado.
• Se a = 2 ⟹ ran(C )= 2 < 3 = ran(A) ⟹ Sistema incompatible. ⦿
x + y + z = 0
2 x − y + 2 z = 0∣. Como a ≠ 2 , é un sistema compatible
(b) Para a = 0 , o sistema é: { 2 y + 2 z = 0
determinado e, como tódolos termos independentes son nulos, é un sistema homoxéneo.
• Polo tanto a solución única é a solución trivial: x =0 ; y = 0 ; z =0 . ⦿
13.
(a) At · A = (a 1
1 0 a) = (a2+1 a a
1 0
0 a)·(a 1 0
a 1 0
a 0 a2)
• ∣a2+1 a
a 1∣ = a2+ 1− a2 = 1≠ 0 ⟹ ran(At · A)≥ 2, para tódolos valores de a .
• ∣a2+1 a a
a 1 0
a 0 a2 ∣= a2(a2+1) − a2− a4 = a4 + a2 − a2 − a4= 0 , para tódolos valores de a .
• Polo tanto, ran(At · A)= 2, para tódolos valores de a .
1 0 a)·(a 1
• A· At = (a 1 0
1 0
0 a)= (a2+1 a
a a2+1)
• ∣a2+1 a
a a2+1∣ = (a2+ 1)2
− a2 = a4 + 2a2 + 1− a2 = a4 + a2 + 1= 0 (ecuación bicadrada)
• a2 = −1 ± √1− 4
2
= −1 ± √−3
2
Non ten solucións reais ⟹ ∣ A· At ∣ ≠ 0 , para tódolos
valores de a ⟹ ran(At · A)= 2, para tódolos valores de a . ⦿
(b) Para o valor a = 1, A· At = (2 1
1 2). Como, ∣ A· At ∣ = 3 ≠ 0, A· At ten matriz inversa.
• A At X = B ⟹ X = ( A At)−1B
• ( A At )−1 =
1
∣ A· At ∣
[Adx( A· At)]t
= 1
3 ( 2 −1
−1 2 )t
=
1
3 ( 2 −1
−1 2 )
• Polo tanto, X = ( A At )−1B =
1
3 ( 2 −1
−1 2 )·(0
3) =
1
3
·(−3
6 ) ⟹ X = (−1
2 )
⦿
14. • M3 + M + I = O ⟺ M + I =−M3
• Posto que: ∣ A·B ∣ =∣ A ∣·∣ B ∣ ⟹ ∣−M3 ∣ = ∣−I ·M3 ∣ =∣−I ∣·∣M ∣3
• Como det (M)=−1 , e det (−I )= (−1)3 ⟹ ∣M + I ∣= (−1)3 ·(−1)3 =(−1)6 ⟹

11. Dep. Matemáticas.
Matemáticas II Xoves, 19 de setembro de 2013
Álxebra lineal. Páx. 11
⟹ ∣M + I ∣= 1
• Xa que, 3M + 3 I = 3(M + I ) é unha matriz de orde 3 ⟹ ∣3(M + I ) ∣= 33∣M + I ∣
• En consecuencia, ∣3M + 3I ∣= 27 ⦿
15.
(a) Matriz de coeficientes: C = (1 1 −1
2 1 −2). Matriz ampliada: A = (1 1 −1 5
2 1 −2 2)
• ∣1 1
2 1∣ = 1− 2=−1 ≠ 0 ⟹ ran(C )= 2 e ran(A) = 2
• Xa que, ran(C )= ran( A)= 2 < 3 =número de incógnitas ⟹ é un sistema compatible
determinado.
• Como ∣1 1
2 1∣ =−1≠ 0 ⟹ Sistema reducido equivalente: {x + y = 5 + z
2 x + y = 2 + 2z
• Se consideramos z =α , para calquera α ∈ ℝ ⟹ {x + y = 5 +α
2 x + y = 2 + 2α
• Aplicando o método de Cramer:
x =
1
−1
· ∣ 5 +α 1
2 + 2α 1 ∣ =
3 −α
−1
=α − 3; y =
1
−1
· ∣1 5 +α
2 2 + 2α ∣ =
−8
−1
= 8
y = 8
z =α ∣, para calquera α ∈ ℝ.
• As infinitas solucións son: {x =α − 3
⦿
(b) O novo sistema é: {x + y − z = 5
2 x + y − 2 z = 2
x + 2 y − z = m
• Matriz de coeficientes: C = (1 1 −1
2 1 −2
1 2 −1). Calculamos o seu rango:
⋱ ∣1 1
2 1∣ = 1− 2=−1 ≠ 0 ⟹ ran(C )≥ 2
⋱ ∣1 1 −1
2 1 −2
1 2 −1∣= −1 − 2− 4 + 1 + 2 + 4 = 0 ⟹ ran(C )= 2
• Matriz ampliada: A = (1 1 −1 5
2 1 −2 2
1 2 −1 m) Calculamos o seu rango:
2 1∣ = 1− 2=−1 ≠ 0; ∣1 1 5
⋱ ∣1 1
2 1 2
1 2 m∣= m+ 2 + 20 − 5 − 2m − 4 = −m+ 13
⋱ −m + 13 = 0 ⟺ m= 13
⋱ Se m ≠ 13 ⟹ ran(A) = 3 > ran(C) = 2 ⟹ O sistema é incompatible.
⋱ Se m = 13 ⟹ ran(A) = 2, e ademais a 3ª ecuación pode eliminarse e seguir tendo o
mesmo conxunto de solucións.

12. Páx. 12 Álxebra lineal.
• Se m = 13 ⟹ ran(C )= ran( A)= 2 < número de incógnitas ⟹ Sistema compatible
indeterminado.
⦿
16.
• ∣ a 0 a
a+1 a 0
0 a+1 a+1∣= a2(a+1)
17.(a)
18.(a)
19.(a)
20.(a)