O documento discute métodos para resolver equações algébricas, incluindo fatorar expressões e aplicar operações como adição, subtração, multiplicação e divisão em ambos os lados da equação para transformá-la em uma forma equivalente com soluções iguais. Ao elevar ambos os lados ao quadrado, novas soluções podem surgir, então é necessário verificar quais soluções originais são mantidas.

1. Ideia básica para se resolver equações[editar]
Há muitas formas de se resolver equações4
mas a principal ideia, quando as incógnitas são
procuradas nos conjuntos dos números inteiros, racionais, reais ou mesmo complexosé o fato
que o produto de números só é igual a zero se um dos fatores for igual a zero.
Assim, para se resolver a equação , o método mais simples e eficiente é escrever:
é equivalente a , que, por sua vez, pode ser escrito na
forma
. Como o produto só pode ser 0 se um dos fatores for igual a 0,
concluímos que ou
ou .
Logo, as soluções da equação são ou .
O mesmo método pode ser aplicado a equações mais difíceis, com a mesma
eficiência. Portanto, para se saber resolver equações é importante, antes de mais
nada, saber fatorarexpressões algébricas.
Equações equivalentes[editar]
Diz-se que duas equações são equivalentes se elas têm as mesmas raízes
(soluções).3
Por exemplo, considere as equações:
1.
2.
3.
A equação (i) admite as soluções reais e . As equações (ii) e (iii)
admitem apenas a solução real . Assim sendo, as equações (i) e (ii) não
são equivalentes, enquanto que as equações (ii) e (iii) são equivalentes.
Escrevemos
.
Nem sempre é fácil encontrar as soluções (todas) de uma equação dada. O
método de resolução mais elementar é a troca da equação dada por
outra equivalente que seja mais simples.
Como transformar uma equação em outra
equivalente[editar]
Dada uma equação, as seguintes operações podem ser efetuadas sem que
se modifique o conjunto-solução:
1. somar um mesmo número real em cada lado da igualdade.3
2. multiplicar cada lado da igualdade por uma mesma constante não
nula.5
Vejamos um exemplo. Dada a equação

2. podemos somar -5 a ambos os lados da igualdade e obter:
Usando propriedades da adição, obtemos
ou, equivalentemente,
Vamos agora dividir cada lado da igualdade por 3 (isto é,
multiplicar por ) e chegar à solução procurada:
Observe que a ordem com que efetuamos as operações
é indiferente: Poderíamos ter começado multiplicando os
dois lados da equação por 5:
Subtraindo 25 de cada lado, obtemos outra equação
ainda equivalente à primeira:
Finalmente, dividimos cada lado por 15:
Há outras transformações que podem ser
feitas, mas que exigem um conhecimento
mais profundo de funções e seus efeitos.
Dada uma equação, pode-se aplicar uma
função a ambos os lados, mas precisamos
tomar cuidado pois o conjunto-solução
pode ser alterado. Um exemplo simples é o
seguinte. A equação
pode ser vista como

3. que tem soluções
ou , ou
seja, ou .
Poderíamos também aplicar a
função raiz quadrada a ambos os
lados da
equação :
que equivale a
ou, seja,
ou .
Uma situação que exige
mais cuidado é quando,
para resolvermos uma
equação
algébrica, elevamos cada
lado da equação ao
quadrado. Ao fazermos
isso, perdemos a
informação sobre
o sinal (positivo ou
negativo) de cada
membro da equação e,
por isso, iremos
obter outra equação,
que não é equivalente à
original: ela terá mais
soluções. Logo, quando
usamos essa técnica
temos que, no final, voltar
à equação original e
verificar quais soluções da
equação modificada são
também soluções da
equação original. Vejamos
um exemplo: é dada a
equação
Elevando-se os dois
lados da equação ao
quadrado, tem-se:

4. As soluções
desta última
equação
são
e .
Entretanto,
testando-se na
equação original
tem-se,
para :
, que é verdadeira. Já para , a igualdade é falsa, já que
. Logo, a equação admite apenas
uma solução, a saber, .