1. FONAMENTS D’ELECTRÒNICA
Tema 1b.- CIRCUITS LINEALS
FONAMENTS D’ELECTRÒNICA Lluís Prat Viñas

2. CIRCUITS LINEALS
1b.- CIRCUITS LINEALS
1b.1.- Circuits lineals. (Classe 6)
1b.2.- Circuits lineals i superposicó. (Classe 6)
1b.3.- Circuit equivalent de Thévenin. (Classe 6)
1b.4.- Circuit equivalent de Norton. (Classe 7)
1b.5.- Màxima transferència del senyal. (Classe 8)
1b.6.- Fonts dependents. (Classe 8)
1b.7.- Fonts dependents lineals. (Classe 8)
1b.8.- Anàlisi de circuits amb fonts dependents. (Classe 9)
1b.9.- L’amplificador operacional. (Classe 10)
1b.10.-Anàlisi de circuits lineals amb l’amplificador operacional. (Classe 10)
FONAMENTS D’ELECTRÒNICA Lluís Prat Viñas

3. CIRCUITS LINEALS
1b.1.- Circuits lineals
La linealitat es una propietat matemàtica d’una aplicació. Una aplicació f(x) es lineal si:
f (k1 x1 + k 2 x2 ) = k1 f ( x1 ) + k 2 f ( x2 )
Exemples: Llei d’Ohm: VR = f(IR) = R·I Lineal
Llei de Joule: PR = f(IR) = R·I2 No lineal
Condensador: IC = f(VC) = C·dVC/dt Lineal
Díode ID = f(VD) = IS·exp(VD/Vt-1) No lineal
En l’àmbit de la teoría de circuits, un circuit es diu lineal si les funcions que relacionen els
corrents i les tensions son lineals
I1 R1 R2 I2
+ V1 = I1 R1 + ( I1 + I 2 ) R3 = ( R1 + R3 ) I1 + R3 I 2 V1  I 
  = ( M ) 1 
+
V1 R3 V2 ⇒ V  I 
- - V2 = I 2 R2 + ( I1 + I 2 ) R3 = R3 I1 + ( R2 + R3 ) I 2  2  2
Un circuit que està format per la interconnexió de components lineals i de fonts independents
ideals es lineal.
FONAMENTS D’ELECTRÒNICA Lluís Prat Viñas

4. CIRCUITS LINEALS
1b.2.- Circuits lineals i superposició
En un circuit lineal la tensió de qualsevol nus o el corrent que circula per qualsevol branca, (Xj), es
pot expresar per una combinació lineal dels generadors independents del circuit (Vk, Ih):
X j = a1V1 + a2V2 + ... + a nVn + b1 I1 + b2 I 2 + ... + bm I m a, b = constants
Aixó significa que la resposta d’un sistema lineal a diverses excitacions es la suma (o superposició)
de les respostes a cada excitació per separat (anul·lant les altres):
f ( xa , y a ,...z a ) = f ( xa ,0,0,...0) + f (0, y a ,0,...0) + ..... + f (0,0,0,...z a )
Aquesta propietat comporta un nou métode d’anàlisi de circuits lineals: el mètode de superposició:
1.- S’anulen totes els generadors independents excepte el generador j. Per anular un generador de
tensió cal substituir-lo per un curt-circuit. Per anul·lar un generador de corrent cal substituir-lo per
un circuit obert.
2.- Es calcula la sortida Xj (tensió en un nus o corrent per una branca) produïda pel generador j.
3.- Es repeteixen els passos 1 i 2 per la resta de generadors independents
4.- La sortida del circuit complet s’obté sumant les sortides produïdes per cada generador per
separat.
FONAMENTS D’ELECTRÒNICA Lluís Prat Viñas

5. CIRCUITS LINEALS
1b.3.- Circuit equivalent de Thévenin
Qualsevol circuit lineal té un circuit equivalent format per un generador de tensió Vth amb serie amb
una resistència Rth, que s’anomena circuit equivalent de Thévenin. El valor de la tensió V th es la que
presenta el circuit lineal entre els seus terminals de sortida mantenint-los en circuit obert. El valor de
Rth es el de la resistència equivalent del circuit que resulta d’anul·lar els generadors independents en
el circuit lineal.
Per la propietat de linealitat: I = a1V1 + ... + a nVn + b1 I1 + ... + bm I m + cV = − I sc + cV ( I sc = − I si V = 0)
En el circuit equivalent de Thévenin: I ' = [V − Vth ] / Rth = − Vth / Rth + [1 / Rth ]·V
⇒ Rth =1 / c i Vth / Rth = I sc
Per equivalència de circuits I = I’ per a qualsevol V
1 V
Rth = = = Req Isc =0 = Req F .I .=0
I I’ c I Isc =0
Circuit lineal
amb V1,…Vn + + + ja que per aconseguir Isc = 0 s’han d’anul·lar
Rth
fonts de tensió i V Vth V les Fonts Independents (F.I.=0)
I1,..Im fonts de - - -
corrent Vth = Rth ·I sc = Rth ·cV I =0
=V I =0
= Voc
Els circuits dintre de les capses son equivalents ja que c = 1/Rth i quan I = 0, V es la tensió
de circuit obert (Voc)
FONAMENTS D’ELECTRÒNICA Lluís Prat Viñas

6. CIRCUITS LINEALS
1b.4.- Circuit equivalent de Norton
Qualsevol circuit lineal té un circuit equivalent format per un generador de corrent IN amb una
resistència en paral·lel RN, que s’anomena circuit equivalent de Norton. El valor del corrent IN es el
corrent que circularia per un curt-circuit entre els terminals de sortida del circuit lineal, i el valor de
RN es igual a Rth del circuit equivalent de Thévenin.
Com s’ha vist en el circuit equivalent de Thévenin, en el circuit lineal: I = − I sc + cV
I ' = − I N + V / RN
En el circuit equivalent de Norton:
⇒ I N = I sc R N =1 / c = Rth
Els circuits serán equivalents si I’ = I per a qualsevol V
I I’
Circuit lineal
amb V1,…Vn + +
fonts de tensió i V IN RN V
I1,..Im fonts de - -
corrent
Com que el circuit de Thévenin i el circuit de Norton son equivalents al mateix circuit lineal, han de
ser també equivalents entre sí:
Si tenim Thévenin : I N = Vth / Rth R N = Rth
Si tenim Norton : Vth = I N R N Rth = R N
FONAMENTS D’ELECTRÒNICA Lluís Prat Viñas

7. CIRCUITS LINEALS
1b.5.- Máxima transferència del senyal
Considerem un circuit lineal, el qual es substituit pel seu circuit equivalent de Thévenin.
Suposem coneguts els seus components Vth i Rth. Es vol determinar quin és el valor óptim de
RL per aconseguir la máxima transferència del “senyal”.
El concepte de “senyal” es ambiguo. Por ser referit a la tensió de sortida VL, o al corrent de
sortida IL, o a la potència de sortida PL = IL·VL 2
Vth RLVth RLVth
En el circuit de la figura: IL = VL = RL I L = PL = I LVL =
Rth + RL Rth + RL ( Rth + RL ) 2
Si es vol aconseguir la máxima transmisió de tensió (VL máxima) cal que RL>>Rth.
Si es vol aconseguir la máxima transmisió de corrent (IL máxima) cal que RL<<Rth
Si es vol aconseguir la máxima transmissió de potència (PL máxima)
IL cal que RL=Rth.
dPL 2 2
+ Rth + PL serà máxima si =0 ⇒ Vth ( RL + Rth ) − 2Vth RL = 0
Vth VL RL dRL
- -
⇒ Rth − RL = 0 ⇒ RL = Rth
FONAMENTS D’ELECTRÒNICA Lluís Prat Viñas

8. CIRCUITS LINEALS
1b.6.- Generadors dependents
Un generador dependent es un generador de tensió o de corrent el valor del qual depen de la
tensió d’un nus del circuit o del corrent que circula per alguna de les seves branques. S’utilitzen
per crear circuits equivalents de diversos dispositius electrònics. Els representarem per un romb
per distingir-lo de les fonts independents que les representem per cercles.
ID ID
Exemples:
IC (Vi-1)2
IC +
IB Vi
+ -
IB 0,7V 100IB
Vi
-
Transistor MOS en mode saturat
Vo
Transistor bipolar en mode lineal + +
+ + Vo 105Vi
Vi Vi
- - - -
Amplificador operacional en mode lineal
FONAMENTS D’ELECTRÒNICA Lluís Prat Viñas

9. CIRCUITS LINEALS
1b.7.- Generadors dependents lineals
Un generador dependent lineal es un generador dependent que presenta una relació lineal del
tipus k·x on k es una constant i x es la tensió del nus o el corrent de la branca que controla el
valor de la font dependent.
Hi han quatre tipus de fonts dependents lineals:
Generador Generador Generador Generador
dependent de dependent de dependent de dependent de
tensió controlat tensió controlat corrent controlat corrent controlat
per tensió per corrent per tensió per corrent
+ + +
kVi kIi kVi kIi
- - -
+ Vi
+ FONAMENTS D’ELECTRÒNICA
- Lluís Prat Viñas
+ -
Vi

10. CIRCUITS LINEALS
1b.8.- Anàlisi de circuits amb generadors dependents
Els circuits que contenen generadors dependents s’analitzen igual que els circuits tractats fins
aquest moment. Segueixen sent vàlides les lleis de Kirchhoff i els mètodes sistemàtic de
nusos i de malles.
Els circuits que contenen generadors dependents lineals son lineals, i en conseqüència tenen
circuits equivalents de Thévenin i de Norton.
La tensió de Thévenin es la tensió que apareix a la sortida del circuit lineal en condicions de
circuit obert.
El corrent de Norton es el corrent que circula per un curt circuit connectat a la sortida del
circuit lineal.
La resistencia de Thévenin (i de Norton) es la resistència equivalent del circuit lineal
anul·lant les fonts independents. Els generadors dependents no s’han d’anul·lar i s’han de
deixar tal qual. Per calcular la resistència equivalent cal fer servir el mètode general ja que la
presencia de generadors dependents impedeix agrupar les resistencies en serie i paral·lel.
FONAMENTS D’ELECTRÒNICA Lluís Prat Viñas

11. CIRCUITS LINEALS
1b.9.- L’amplificador operacional
L’amplificador operacional (AO) es un circuit integrat que conté desenes de transistors i altres
components i es representa pel símbol de la figura. Sol tenir 5 terminals: la entrada no inversora
Vp, la entrada inversora Vn, la sortida Vo, l’alimentació positiva +VCC i l’alimentació negativa -VEE.
En els esquemes electrònics no se solen dibuixar +VCC i -VEE donant per sobreentesa la seva
existència.
La seva característica aproximada Vo(Vi) es representa a la figura, on Vi = Vp-Vn. El tram 1
s’anomena tram lineal, el tram 2, saturació positiva, i el tram 3, saturació negativa. En el tram
lineal Vo = A·Vi = A·(Vp-Vn). Un valor habitual de A es del ordre de 105.
Noteu que si VCC fos 10 V, la Vi del punt de transició entre els trams 1 i 2 seria 10/105 = 100 mV,
per la qual cosa Vp es aproximadament igual que Vn. Per aixó si Vp > Vn resulta Vo = +VCC i si Vp
< Vn resulta Vo = -VEE . El circuit es comporta com un comparador entre Vp i Vn.
Vo
+VCC 2
+VCC
Vp + 1
Vo
Vn - Vi = Vp-Vn
VCC/A
-VEE -VEE
3
FONAMENTS D’ELECTRÒNICA Lluís Prat Viñas

12. CIRCUITS LINEALS
1b.10.- Anàlisi de circuits lineals amb amplificador operacional
Quan un AO treballa en la regió lineal (tram 1 de la seva característica Vo(Vi)) es pot substituir
pel circuit equivalent indicat en l’apartat 1b.6. Quan es fa aquesta substitució resulta un circuit
lineal amb un generador dependent. Una vegada resolt el circuit cal verificar que els valors de
Vo confirmen que l’AO treballa en la regió lineal.
Noteu que en la regió lineal Vi es aproximadament zero, i que els corrent d’entrada al AO per
Vp i Vn son nuls. Aquestes condicions d’operació es coneixen amb el nom de curt-circuit virtual
entre Vp i Vn. Se solent utilitzar per simplificar l’anàlisi del circuit lineal amb AO.
RF
Exemple: Vo = AVi = A(V p − Vn ) Vp = 0 Vn = Vg − IRS
RS
-
Vg − Vo ARF
+ I= Vo = − Vg
Vg Vo RS + RF RF + ( A + 1) RS
- +
RF
Si A → ∞ ⇒ Vo = − Vg
RF RS
RS Alternativament , per l ' aproximació de curt − circuit virtual :
- Vo Vg − 0 Vg − 0 RF
+ I= Vo = 0 − IRF = 0 − RF = − Vg
+ Vi
Vg AVi RS RS RS
- +
-
FONAMENTS D’ELECTRÒNICA Lluís Prat Viñas

13. CIRCUITS LINEALS
EXERCICIS I PROBLEMES RESOLTS.
1.- Trobar la tensió Vx en el circuit de la figura aplicant el mètode de superposició
1Ω Vx 2Ω
Ig 4Ω Vg
La tensió Vx serà la suma de Vx1 produïda pel generador Ig amb el Vg anul·lat, més Vx2
produïda pel generador Vg amb Ig anul·lat. Un generador de tensió s’anul·la substituint-lo per
un curt-circuit, mentre que per un de corrent s’anul·la substituint-lo per un circuit obert.
1Ω Vx1 2Ω Vx2
1Ω 2Ω
Ig 4Ω 4Ω Vg
4Ω
V x1 = I g [4 Ω || 2 Ω] = 4 I g / 3 Vx 2 = Vg = 2V g / 3
4Ω+ 2Ω
Per tant, Vx= Vx1 + Vx2 = 4Ig/3 + 2Vg/3
FONAMENTS D’ELECTRÒNICA Lluís Prat Viñas

14. CIRCUITS LINEALS
EXERCICIS I PROBLEMES RESOLTS.
2.- Trobar l’equivalent de Thévenin del següent circuit vist des de A-B
1Ω 2Ω
A
2A 4Ω
B
La tensió de Thévenin es la tensió entre A i B mantenint aquests punts en circuit obert.
Per tant, per la resistència de 2 Ω no hi circularà corrent, i en conseqüència no hi haurà
caiguda de tensió. La tensió VAB serà la mateixa que entre els terminals de la resistència
de 4 Ω. En definitiva, Vth = 4 Ω · 2 A = 8 V.
La resistència de Thévenin serà la resistència equivalent del circuit que resulta d’anul·lar
les fonts independents. Com que el generador Ig s’anul·la substituint-lo per un circuit
obert, resultarà que Rth = [2 Ω + 4 Ω] = 6 Ω.
6Ω
A
8V
B
FONAMENTS D’ELECTRÒNICA Lluís Prat Viñas

15. CIRCUITS LINEALS
EXERCICIS I PROBLEMES RESOLTS.
3.- Trobar l’equivalent de Norton del següent circuit vist des de A-B
1Ω 2Ω
A
2A 4Ω
B
El corrent de Norton es el corrent que circula per un curt-circuit connectat entre els punts
A i B. Aquest corrent serà Vx/2Ω essent Vx la tensió entre els terminals de la resistència de
4 Ω. Aquesta tensió serà 2 A · [4Ω||2Ω] = 8/3 V. Per tant, IN = [8/3 V]/2Ω = 4/3 A.
La resistència de Thévenin serà la resistència equivalent del circuit que resulta d’anul·lar
les fonts independents. Com que el generador Ig s’anul·la substituint-lo per un circuit
obert, resultarà que Rth = [2 Ω + 4 Ω] = 6 Ω.
A
4/3 A 6Ω
B
FONAMENTS D’ELECTRÒNICA Lluís Prat Viñas

16. CIRCUITS LINEALS
EXERCICIS I PROBLEMES RESOLTS.
4.- Trobar l’equivalent Norton del circuit de la figura de l’esquerra, sabent que el seu
equivalent Thévenin es el circuit de la figura de la dreta.
1Ω 2Ω 6Ω
A A
2A 4Ω 8V
B B
Com que els tres circuits (el de partida, el Thévenin i el Norton) son equivalents, també han
de ser equivalents els de Thévenin i el de Norton. Per tant, es pot calcular l’equivalent de
Norton a partir de l’equivalent de Thévenin sense necessitat de fer els càlculs sobre el circuit
de partida que generalment seran més complexos.
Per tant, el corrent Norton serà el que circularà en el curt-circuit connectat entre A i B del
equivalent de Thévenin, que serà IN = 8V/6Ω = 4/3 A.
La resistència Norton serà la que presentarà l’equivalent de Thèvenin anul·lant el generador
Vth, i que serà 6 Ω.
Aquest raonament també es pot aplicar a la inversa, i calcular el Thévenin a partir del
Norton
FONAMENTS D’ELECTRÒNICA Lluís Prat Viñas

17. CIRCUITS LINEALS
EXERCICIS I PROBLEMES RESOLTS.
5.- Entre els punts A i B es connecta una resistència RL = 10 Ω. a) Calculeu la potència
absorbida per aquesta resistència. b) Quin valor hauria de tenir R L per absorbir la màxima
potència del circuit? c) Quina seria la potència absorbida en aquest cas.
1Ω 2Ω
A
2A 4Ω
B
Aquest circuit pot ser substituït pel seu equivalent de Thévenin. La potència absorbida per R L
serà PL = IL·VL = IL·(IL·RL) = IL2·RL = [8/(6+RL)] 2·RL = 64·RL/[6+RL] 2. I
6Ω A L
a) Si RL = 10 Ω, PL = 1,5 W +
8V VL RL
b) La potència absorbida es màxima per RL = Rth = 6 Ω. -
B
c) En aquest cas, PL = 2,67 W
FONAMENTS D’ELECTRÒNICA Lluís Prat Viñas

18. CIRCUITS LINEALS
EXERCICIS I PROBLEMES RESOLTS.
6.- Trobar la tensió de Vo en el circuit de la figura.
Els circuits amb fonts dependents s’analitzen igual que la resta de circuits. Aplicant
anàlisi de malles:
VO = − g mVx · R3 ; V1 = I1· R1 + I1· R2 ;
De la segona equació, I1 = V1 /[ R1 + R2 ]
Per tant, Vx = I1·R2 = V1·R2 /[ R1 + R2 ]
Finalment
VO = − R3 g mVx = − V1 g m R3 R2 /[ R1 + R2 ]
FONAMENTS D’ELECTRÒNICA Lluís Prat Viñas

19. CIRCUITS LINEALS
EXERCICIS I PROBLEMES RESOLTS.
7.- Trobar l’equivalent de Thévenin del circuit de la figura
La tensió Thévenin es la tensió de sortida en circuit obert, es a dir, Vo. En el problema
resolt número 6, s’ha trobat que
VO = −V1 g m R3 R2 /[ R1 + R2 ] ⇒ Vth = − V1 g m R3 R2 /[ R1 + R2 ]
Per trobar la resistència Thévenin hem de connectar un generador de prova Vz a la
sortida, anul·lar les fonts independents, i trobar Rth = Vz/Iz. Es important recordar que
les fonts dependents s’ha de deixar tal qual, sense anul·lar-les. Vz
Iz
Iz = + g mVx
R3
+ A la primera malla resulta Vx = 0. Per tant:
Vz
- Vz Vz Vz
Iz = ⇒ Rth = = = R3
R3 I z Vz / R3
FONAMENTS D’ELECTRÒNICA Lluís Prat Viñas

20. CIRCUITS LINEALS
EXERCICIS I PROBLEMES RESOLTS.
8.- El transistor bipolar en determinades aplicacions equival al circuit a) de la figura.
Substituint el transistor bipolar de la figura b) pel seu equivalent, trobeu Vo/Vs.
Substituint el transistor bipolar de la figura b) pel seu circuit equivalent de la figura a)
obtenim el següent circuit:
V0 = − βI b RL
Rs Ib
Vs
+
Ib =
Vs Rp RL Rs + R p
βIb
-
− β · RL
V0 = Vs
Rs + R p
FONAMENTS D’ELECTRÒNICA Lluís Prat Viñas

21. CIRCUITS LINEALS
EXERCICIS I PROBLEMES RESOLTS.
9.- Substituint l’amplificador operacional de la figura pel seu circuit equivalent, trobar V 0/Vs
en el circuit de la figura. Suposar R3 = R1 i R4 = R2.
Substituint l’amplificador operacional pel seu circuit equivalent resulta el circuit de la
figura. Analitzant aquest circuit:
V0 = AVi ; Vi = V+ − V− ; V+ = V2 R4 /( R3 + R4 ); V− = V1 − R1 I F ; IF
I F = (V1 − V0 ) /( R1 + R2 ); V− = [V1 R2 + V0 R1 ] /[ R1 + R2 ]; -
Vi
V0 = A[V2 R4 /( R3 + R4 ) − V1 R2 /( R1 + R2 ) − V0 R1 /( R1 + R2 )] : + +
AVi
V0 [1 + AR1 /( R1 + R2 )] = A[V2 R4 /( R3 + R4 ) − V1 R2 /( R1 + R2 )]; -
V0 = A[ ( R1 + R2 ) /[ R1 ( A + 1) + R2 ]]·[V2 R4 /( R3 + R4 ) − V1 R2 /( R1 + R2 )];
AR2
V0 = [V2 − V1 ]
R1 ( A + 1) + R2
FONAMENTS D’ELECTRÒNICA Lluís Prat Viñas

22. CIRCUITS LINEALS
EXERCICIS I PROBLEMES RESOLTS.
10.- Trobar Vo/Vs en el circuit de la figura, fent servir l’aproximació de curt-circuit virtual en
l’amplificador operacional. Suposar R3=R1 i R4 = R2.
IF
L’aproximació de curt-circuit virtual consisteix en suposar V+ = V-. Per tant:
V0 = V+ − I F R2 ; I F = (V1 − V0 ) /( R1 + R2 ); V+ = V2 R4 /( R3 + R4 );
V0 = V2 R4 /( R3 + R4 ) − (V1 − V0 ) R2 /( R1 + R2 );
V0 [1 − R2 /( R1 + R2 )] = V2 R4 /( R3 + R4 ) − V1 R2 /( R1 + R2 );
V0 = [ (V2 − V1 ) R2 /( R1 + R2 )] /[ R1 /( R1 + R2 )];
R2
V0 = (V2 − V1 )
R1
Que coincideix amb el resusltat del exercici 9 si A → ∞
FONAMENTS D’ELECTRÒNICA Lluís Prat Viñas