O documento discute conceitos de recursividade em programação. Em três frases: 1) A recursividade é uma estratégia onde uma função é definida em termos de chamadas a si mesma, permitindo definir conjuntos infinitos com comandos finitos. 2) Funções recursivas precisam de uma condição de parada para evitar loops infinitos, e a pilha de execução armazena os estados de cada chamada recursiva. 3) A recursividade é útil para algoritmos como quicksort e pesquisa em árvores, mas nem sempre é a solução

1. Aula 6 - Recursividade
David Menotti
Algoritmos e Estruturas de Dados I
DECOM – UFOP

2. Algoritmos e Estrutura
de Dados I© David Menotti
Conceito de Recursividade
 Fundamental em Matemática e Ciência da
Computação
 Um programa recursivo é um programa que
chama a si mesmo
 Uma função recursiva é definida em termos dela
mesma
 Exemplos
 Números naturais, Função fatorial, Árvore
 Conceito poderoso
 Define conjuntos infinitos com comandos finitos
Renato Ferreira

3. Algoritmos e Estrutura
de Dados I© David Menotti
Recursividade
 A recursividade é uma estratégia que pode ser
utilizada sempre que o cálculo de uma função para o
valor n, pode ser descrita a partir do cálculo desta
mesma função para o termo anterior (n-1).
Exemplo – Função fatorial:
n! = n * (n-1) * (n-2) * (n-3) *....* 1
(n-1)! = (n-1) * (n-2) * (n-3) *....* 1
logo:
n! = n * (n-1)!

4. Algoritmos e Estrutura
de Dados I© David Menotti
Recursividade
 Definição: dentro do corpo de uma função,
chamar novamente a própria função
 recursão direta: a função A chama a própria
função A
 recursão indireta: a função A chama uma função
B que, por sua vez, chama A

5. Algoritmos e Estrutura
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Condição de parada
 Nenhum programa nem função pode ser
exclusivamente definido por si
 Um programa seria um loop infinito
 Uma função teria definição circular
 Condição de parada
 Permite que o procedimento pare de se executar
 F(x) > 0 onde x é decrescente
 Objetivo
 Estudar recursividade como ferramenta prática!
Renato Ferreira

6. Algoritmos e Estrutura
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Recursividade
 Para cada chamada de uma função,
recursiva ou não, os parâmetros e as
variáveis locais são empilhados na pilha de
execução.

7. Algoritmos e Estrutura
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Execução
 Internamente, quando qualquer chamada de função
é feita dentro de um programa, é criado um
Registro de Ativação na Pilha de Execução do
programa
 O registro de ativação armazena os parâmetros e
variáveis locais da função bem como o “ponto de
retorno” no programa ou subprograma que chamou
essa função.
 Ao final da execução dessa função, o registro é
desempilhado e a execução volta ao subprograma
que chamou a função

8. Algoritmos e Estrutura
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Exemplo
Fat (int n) {
if (n<=0)
return 1;
else
return n * Fat(n-1);
}
Main() {
int f;
f = fat(5);
printf(“%d”,f);
}

9. Algoritmos e Estrutura
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Complexidade
 A complexidade de tempo do fatorial recursivo é
O(n). (Em breve iremos ver a maneira de calcular
isso usando equações de recorrência)
 Mas a complexidade de espaço também é O(n),
devido a pilha de execução
 Ja no fatorial não recursivo
a complexidade de
espaço é O(1)
Fat (int n) {
int f;
f = 1;
while(n > 0){
f = f * n;
n = n – 1;
}
return f;
}

10. Algoritmos e Estrutura
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Recursividade
 Portanto, a recursividade nem sempre é a
melhor solução, mesmo quando a definição
matemática do problema é feita em termos
recursivos

11. Algoritmos e Estrutura
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Fibonacci
 Outro exemplo: Série de Fibonacci:
 Fn = Fn-1 + Fn-2 n > 2,
 F0 = F1 = 1
 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89...
Fib(int n) {
if (n<2)
return 1;
else
return Fib(n-1) + Fib(n-2);
}

12. Algoritmos e Estrutura
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Análise da função Fibonacci
 Ineficiência em Fibonacci
 Termos Fn-1 e Fn-2 são computados
independentemente
 Número de chamadas recursivas = número de
Fibonacci!
 Custo para cálculo de Fn
 O(φn
) onde φ = (1 + √5)/2 = 1,61803...
 Golden ratio
 Exponencial!!!

13. Algoritmos e Estrutura
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Fibonacci não recursivo
 Complexidade: O(n)
 Conclusão: não usar recursividade
cegamente!
int FibIter(int n) {
int i, k, F;
i = 1; F = 0;
for (k = 1; k <= n; k++) {
F += i;
i = F - i;
}
return F;
}

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Quando vale a pena usar recursividade
 Recursividade vale a pena para Algoritmos
complexos, cuja a implementação iterativa é
complexa e normalmente requer o uso
explícito de uma pilha
 Dividir para Conquistar (Ex. Quicksort)
 Caminhamento em Árvores (pesquisa,
backtracking)

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Dividir para Conquistar
 Duas chamadas recursivas
 Cada uma resolvendo a metade do problema
 Muito usado na prática
 Solução eficiente de problemas
 Decomposição
 Não se reduz trivialmente como fatorial
 Duas chamadas recursivas
 Não produz recomputação excessiva como
fibonacci
 Porções diferentes do problema

16. Algoritmos e Estrutura
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Outros exemplos de recursividade
void estrela(int x,int y, int r)
{
if ( r > 0 )
{
estrela(x-r, y+r, r div 2);
estrela(x+r, y+r, r div 2);
estrela(x-r, y-r, r div 2);
estrela(x+r, y-r, r div 2);
box(x, y, r);
}
}

17. Algoritmos e Estrutura
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Exemplo simples: régua
int regua(int l,int r,int h)
{
int m;
if ( h > 0 )
{
m = (l + r) / 2;
marca(m, h);
regua(l, m, h – 1);
regua(m, r, h – 1);
}
}

18. Algoritmos e Estrutura
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Execução: régua
regua(0, 8, 3)
marca(4, 3)
regua(0, 4, 2)
marca(2, 2)
regua(0, 2, 1)
marca(1, 1)
regua(0, 1, 0)
regua(1, 2, 0)
regua(2, 4, 1)
marca(3, 1)
regua(2, 3, 0)
regua(3, 4, 0)
regua(4, 8, 2)
marca(6, 2)
regua(4, 6, 1)
marca(5, 1)
regua(4, 5, 0)
regua(5, 6, 0)
regua(6, 8, 1)
marca(7, 1)
regua(6, 7, 0)
regua(7, 8, 0)

19. Algoritmos e Estrutura
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Análise de Complexidade O
 Define-se uma função de complexidade f(n)
desconhecida
 n mede o tamanho dos argumentos para o
procedimento em questão
 Identifica-se a equação de recorrência T(n):
 Especifica-se T(n) como uma função dos termos
anteriores
 Especifica-se a condição de parada (e.g. T(1))

20. Algoritmos e Estrutura
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Análise da Função Fatorial
 Qual a equação de recorrência que descreve
a complexidade da função fatorial?
T(n) = 1 + T(n-1)
T(1) = 1
T(n) = 1 + T(n-1)
T(n-1) = 1 + T(n-2)
T(n-2) = 1 + T(n-3)
...
T(2) = 1 + T(1)

21. Algoritmos e Estrutura
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Análise de Funções Recursivas
 Além da análise de custo do tempo, deve-se
analisar também o custo de espaço
 Qual a complexidade de espaço da função
fatorial (qual o tamanho da pilha de
execução)?

22. Algoritmos e Estrutura
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Análise da Função Recursiva
 Considere a seguinte função:
Pesquisa(n)
{
(1) if (n <= 1)
(2) ‘ inspecione elemento ’ e termine;
else
{
(3) para cada um dos n elementos ‘ inspecione elemento’;
(4) Pesquisa(n/3) ;
}
}

23. Algoritmos e Estrutura
de Dados I© David Menotti
Análise da Função Recursiva
 Qual a equação de recorrência?
T(n) = n + T(n/3)
T(1) = 1
 Resolva a equação de recorrência
 Dicas:
 Pode fazer a simplificação de n será sempre
divisível por 3
 Somatório de uma PG finita: (a0 – rn
)/(1-r)

24. Algoritmos e Estrutura
de Dados I© David Menotti
Resolvendo a equação
 Substitui-se os termos T(k), k < n, até que todos os termos
T(k), k > 1, tenham sido substituídos por fórmulas contendo
apenas T(1).
1 → n/3K
= 1 → n = 3K
1

25. Algoritmos e Estrutura
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Resolvendo a Equação
Considerando que T(n/3K
) = T(1) temos:
T(n) = Σ (n/3i
) + T(1) = n Σ (1/3i
) + 1
Aplicando a fórmula do somatório de uma PG finita
(a0 – rn
)/(1-r), temos:
n (1 – (1/3)K
)/(1 -1/3) + 1
n (1 – (1/3K
))/(1 -1/3) + 1
n (1 – (1/n))/(1 -1/3) + 1
(n – 1)/(2/3) + 1
3n/2 – ½
i=0
K-1
i=0
K-1
O(n)

26. Algoritmos e Estrutura
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Exercício
 Crie uma função recursiva que calcula a
potência de um número:
 Como escrever a função para o termo n em
função do termo anterior?
 Qual a condição de parada?
 Qual a complexidade desta função?

27. Algoritmos e Estrutura
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Função de Potência Recursiva
int pot(int base, int exp)
{
if (!exp)
return 1;
/* else */
return (base*pot(base, exp-1));
}
Análise de complexidade:
T(0) = 1;
T(b,n) = 1 + T(b,n-1);
O(n)

28. Algoritmos e Estrutura
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Exercícios
 Implemente uma função recursiva para
computar o valor de 2n
 O que faz a função abaixo?
void f(int a, int b) { // considere a > b
if (b = 0)
return a;
else
return f(b, a % b);
}

29. Algoritmos e Estrutura
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Respostas

 Algoritmo de Euclides. Calcula o MDC
(máximo divisor comum) de dois números
a e b
Pot(int n) {
if (n==0)
return 1;
else
return 2 * Pot(n-1);
}