08 linguagens recursivamente enumeraveis e sensiveis ao contexto

Linguagens Formais e
Autômatos
P. Blauth Menezes
blauth@inf.ufrgs.br

Departamento de Informática Teórica
Instituto de Informática / UFRGS

Linguagens Formais e Autômatos - P. Blauth Menezes 1

Linguagens Formais e Autômatos
P. Blauth Menezes

1 Introdução e Conceitos Básicos
2 Linguagens e Gramáticas
3 Linguagens Regulares
4 Propriedades das Linguagens Regulares
5 Autômato Finito com Saída
6 Linguagens Livres do Contexto
7 Propriedades e Reconhecimento das Linguagens
Livres do Contexto
8 Linguagens Recursivamente Enumeráveis e
Sensíveis ao Contexto
9 Hierarquia de Classes e Linguagens e Conclusões


8 - Linguagens Recursivamente
Enumeráveis e Sensíveis ao
Contexto
8.1 Máquina de Turing
8.2 Modelos Equivalentes à Máquina de Turing
8.3 Hipótese de Church
8.4 Máquina de Turing como Reconhecedor
8.5 Propriedades das Linguagens Recursivamente
Enumeráveis e Recursivas
8.6 Gramática Irrestrita
8.7 Linguagem Sensível ao Contexto
8.8 Máquina de Turing com Fita Limitada


Enumeráveis e Sensíveis ao Contexto

8 Linguagens Recursivamente
◆ Ciência da Computação
• conhecimento sistematizado relativo à computação

◆ Origem da Ciência da Computação: remota
• antiga Grécia: III a.C - desenho de algoritmos por Euclides
• Babilônia: estudos sobre complexidade e reducibilidade de
problemas
• início do século XX: pesquisas com o objetivo de definir
∗ modelo computacional suficientemente genérico
∗ capaz de implementar qualquer função computável


◆ Alan Turing (1936) propôs um modelo
• Máquina de Turing

• aceito como uma formalização de
∗ procedimento efetivo
∗ algoritmo ou
∗ função computável

• algoritmo
∗ seqüência finita de instruções
∗ podem ser realizadas mecanicamente
∗ em um tempo finito


◆ Alonzo Church (1936)
• Hipótese de Church

qualquer função computável pode ser processada por uma
máquina de Turing
∗ existe um procedimento expresso na forma de uma máquina de
Turing capaz de processar a função

• como a noção intuitiva de procedimentos não é matematicamente
precisa
∗ impossível demonstrar formalmente se a máquina de Turing é,
de fato, o mais genérico dispositivo de computação
∗ mostrado: todos os demais modelos propostos possuem, no
máximo, a mesma capacidade computacional


◆ Resumidamente, uma máquina de Turing
• autômato
• fita não possui tamanho máximo
• pode ser usada simultaneamente como dispositivo de entrada, de
saída e de memória de trabalho

◆ Linguagens Recursivamente Enumeráveis ou Tipo 0
• aceitas por uma máquina de Turing
• segundo a Hipótese de Church, a Classe das Linguagens
Recursivamente Enumeráveis
∗ conjunto de todas as linguagens
∗ que podem ser reconhecidas mecanicamente


◆ Gramática Irrestrita
• sem restrições sobre a forma das produções

• mesmo poder computacional que o formalismo Máquina de Turing

◆ Conseqüência importante do estudo das linguagens
recursivamente enumeráveis

existem mais problemas não-solucionáveis do que problemas
solucionáveis


◆ Classe das Linguagens Recursivamente Enumeráveis
• inclui algumas para as quais é
∗ impossível determinar mecanicamente
∗ se uma palavra não pertence à linguagem

• se L é uma destas linguagens, então
∗ para qualquer máquina de Turing M que aceita L
∗ existe pelo menos uma palavra w não pertencente a L que
∗ ao ser processada por M, a máquina entra em loop infinito

• ou seja
∗ se w pertence a L, M pára e aceita a entrada
∗ se w não pertence a L, M pode parar, rejeitando a palavra ou
permanecer processando indefinidamente


◆ Linguagens Recursivas
• subclasse da Classe das Linguagens Enumeráveis
Recursivamente

• existe pelo menos uma máquina de Turing que pára para qualquer
entrada, aceitando ou rejeitando


◆ Linguagens Sensíveis ao Contexto ou Tipo 1
• aceitas por uma Máquina de Turing com Fita Limitada
∗ máquina de Turing com limitação no tamanho da fita (finita)
∗ exercício: diferença para o Autômato Finito?

◆ Gramática Sensível ao Contexto
• em oposição a “livre do contexto”: lado esquerdo das produções
∗ pode ser uma palavra de variáveis ou terminais
∗ definindo um "contexto" de derivação

◆ Classe das Linguagens Sensíveis ao Contexto
• contida propriamente na Classe das Linguagens Recursivas
• classe especialmente importante
∗ inclui a grande maioria das linguagens aplicadas


Universo de Todas as Linguagens

Linguagens Enumeráveis Recursivamente

Linguagens Recursivas

Linguagens Sensíveis ao Contexto

Linguagens Livres do Contexto

Linguagens Regulares


8.1.1 Noção Intuitiva
8.1.2 Modelo


◆ Noção de algoritmo não é matematicamente precisa
◆ Intuitivamente, deve possuir
• descrição finita

• passos
∗ discretos (em oposição ao contínuo)
∗ executáveis mecanicamente


8.1.2 Modelo


◆ Máquina de Turing (Alan Turing, 1936)
• mecanismo simples

• formaliza a idéia de uma pessoa que realiza cálculos

• lembra os computadores atuais
∗ embora proposta anos antes do primeiro computador digital

◆ Modelo máquina de Turing
• no mínimo, mesmo poder computacional

• de qualquer computador de propósito geral


◆ Ponto de partida de Turing
• uma pessoa
• com um instrumento de escrita e um apagador
• realiza cálculos em uma folha de papel, organizada em quadrados

◆ Inicialmente, a folha de papel
• contém somente os dados iniciais do problema

◆ Trabalho da pessoa: seqüências de operações simples
• ler um símbolo de um quadrado
• alterar um símbolo em um quadrado
• mover os olhos para outro quadrado
• fim dos cálculos
∗ representação satisfatória para a resposta desejada


◆ Hipóteses aceitáveis
• natureza bidimensional do papel não é essencial para os cálculos
∗ fita infinita organizada em quadrados

• conjunto de símbolos: finito
∗ possível utilizar seqüências de símbolos


◆ Hipóteses aceitáveis (pessoa)
• conjunto de estados da mente durante o cálculo
∗ finito
∗ dois em particular: "estado inicial" e "estado final"

• o comportamento, a cada momento, é determinado pelo
∗ estado presente
∗ símbolo para o qual sua atenção está voltada

• pessoa é capaz de
∗ observar e alterar o símbolo de apenas um quadrado
∗ transferir sua atenção para um dos quadrados adjacentes


8.1.2 Modelo


8.1.2 Modelo
◆ Constituído de três partes
• Fita, usada simultaneamente como dispositivo de
∗ entrada, saída e memória de trabalho

• Unidade de Controle
∗ reflete o estado corrente da máquina
∗ possui uma unidade de leitura e gravação (cabeça da fita)
∗ acessa uma célula da fita de cada vez
∗ se movimenta para a esquerda ou para a direita

• Programa, Função Programa ou Função de Transição
∗ define: estado da máquina
∗ comanda: leituras, gravações e sentido de movimento (cabeça)


◆ Fita: finita à esquerda e infinita à direita
• infinita: “tão grande quanto necessário”

• dividida em células, cada uma armazenando um símbolo

◆ Símbolos podem
• pertencer ao alfabeto de entrada

• pertencer ao alfabeto auxiliar

• ser "branco"

• ser "marcador de início de fita"


• Inicialmente
∗ palavra a ser processada: células mais à esquerda (após o
marcador de início de fita)
∗ demais células: "branco"

marcador de entrada
início de fita branco

fita ❂ a b b c a ß ß ...
cabeça
da fita unidade de
controle controle


◆ Unidade de controle
• número finito e predefinido de estados

• cabeça da fita
∗ lê um símbolo de cada vez e grava um novo símbolo
∗ move uma célula para a direita ou para a esquerda

• símbolo gravado e o sentido do movimento
∗ definidos pelo programa


Def: Máquina de Turing
M = (Σ, Q, δ, q0, F, V, β, ❂)

• Σ - alfabeto (de símbolos) de entrada
• Q - conjunto de estados possíveis da máquina (finito)
• δ - (função) programa ou função de transição (função parcial)
∗ suponha que Σ ∪ V e { β, ❂ } são conjuntos disjuntos
δ: Q × (Σ ∪ V ∪ { β, ❂ }) → Q × (Σ ∪ V ∪ { β, ❂ }) × { E, D }
∗ transição da máquina: δ(p, x) = (q, y, m)

• q 0 - estado inicial: elemento distinguido de Q
• F - conjunto de estados finais: subconjunto de Q
• V - alfabeto auxiliar (pode ser vazio)
• β - símbolo especial branco
• ❂ - símbolo de início ou marcador de início da fita

◆ Símbolo de início de fita
• ocorre exatamente uma vez e na célula mais à esquerda da fita

◆ Função programa
• considera
∗ estado corrente
∗ símbolo lido da fita

• determina
∗ novo estado
∗ símbolo a ser gravado
∗ sentido de movimento da cabeça (E e D)


◆ Função programa interpretada como um diagrama
• estados inicial e finais: como nos autômatos finitos
• suponha a transição δ(p, x) = (q, y, m) )

(x, y, m)
p q

estado anterior novo estado

símbolo lido sentido do movimento

símbolo gravado


◆ Computação de uma máquina de Turing M, para uma
palavra de entrada w
• sucessiva aplicação da função programa
∗ a partir do estado inicial
∗ cabeça posicionada na célula mais à esquerda da fita
∗ até ocorrer uma condição de parada

• processamento pode
∗ parar ou
∗ ficar processando indefinidamente (ciclo ou loop infinito)


◆ Aceita a entrada w
• atinge um estado final
∗ máquina pára
∗ w é aceita

◆ Rejeita a entrada w
• função programa é indefinida para o argumento (símbolo lido e
estado corrente)
∗ máquina pára
∗ w é rejeitada
• argumento define um movimento à esquerda, e a cabeça da fita já
se encontra na célula mais à esquerda
∗ máquina pára
∗ w é rejeitada


◆ Definição formalmente do comportamento
• necessário estender a definição da função programa

• argumento: um estado e uma palavra

• exercício


Def: Linguagens Aceita, Rejeitada, Loop
Linguagem Aceita ou Linguagem Reconhecida por M

ACEITA(M) ou L(M)
• conjunto de todas as palavras de Σ* aceitas por M, a partir de q0

Linguagem Rejeitada por M

REJEITA(M)
• conjunto de todas as palavras de Σ* rejeitadas por M, a partir de q0

Linguagem Loop de M

LOOP(M)
• conjunto de todas as palavras de Σ* para as quais M fica
processando indefinidamente a partir de q0


◆ Cada máquina de Turing M sobre Σ
• induz uma partição de Σ*

• em classes de equivalência
∗ ACEITA(M), REJEITA(M) e LOOP(M)
∗ se um ou dois dos conjuntos for vazios?

Σ*

ACEITA(M) REJEITA(M) LOOP(M)


Exp: Máquina de Turing: Duplo Balanceamento
L = { anbn  n ≥ 0 }

Máquina de Turing

M = ({ a, b }, { q0, q1, q2, q3, q4 }, δ, q0, { q4 }, { A, B }, β, ❂)

é tal que

ACEITA(M) = L e REJEITA(M) = ~L

e, portanto, LOOP(M) = ∅

• qualquer palavra que não esteja na forma axbx é rejeitada


Exp: Máquina de Turing: Duplo Balanceamento
(A, A, D)

(a, A, D) (b, B, E)
q0 q1 q2

(❂, ❂, D)
(a, a, D) (a, a, E)
(B, B, D) (B, B, E)
(B, B, D)

(ß, ß, D) q3 (B, B, D)

(ß, ß, D)

q4


δ ❂ a b A B β

q 0 (q0, ❂, D) (q1, A, D) (q3, B, D) (q4, β, D)

q1 (q1, a, D) (q2, B, E) (q1, B, D)

q2 (q2, a, E) (q0, A, D) (q2, B, E)

q3 (q3, B, D) (q4, β, D)

q4


❂ a a b b ß ... ❂ a a b b ß ... ❂ A a b b ß ...

q0 q0 q1

❂ A a b b ß ... ❂ A a B b ß ... ❂ A a B b ß ...

q1 q2 q2

❂ A a B b ß ... ❂ A A B b ß ... ❂ A A B b ß ...

q0 q1 q1

❂ A A B B ß ... ❂ A A B B ß ... ❂ A A B B ß ...

q2 q2 q0

❂ A A B B ß ... ❂ A A B B ß ... ❂ A A B B ß ß ...

q3 q3 q4


Obs: Máquina de Turing × Algoritmo
Foi afirmado que Máquina de Turing

• é aceita como uma formalização do conceito de algoritmo

Entretanto, também é usual considerar como conceito de algoritmo

• máquina de Turing que sempre pára para qualquer entrada

Nesse caso, uma máquina que eventualmente fica em loop infinito

• não seria considerada um algoritmo


8.2 Modelos Equivalentes à Máquina
de Turing
◆ Uma razão para considerar a máquina de Turing como
o mais geral dispositivo de computação
• todos os demais modelos e máquinas propostos

• bem como as diversas modificações da máquina de Turing

• possuem, no máximo, o mesmo poder computacional da máquina
de Turing


◆ Autômato com Múltiplas Pilhas
• autômato com duas pilhas (citado no estudo das LLC)
∗ poder computacional é equivalente ao da máquina de Turing

• maior número de pilhas: não aumenta a capacidade computacional

• exercício
∗ definição formal: autômato com duas (múltiplas) pilhas
∗ equivalência deles ao modelo da máquina de Turing

• como são necessárias duas pilhas, pode-se afirmar
∗ a estrutura de fita é mais expressiva do que a de pilha

◆ Máquina de Turing Não-Derminística
• não aumenta o poder computacional da máquina de Turing


◆ Máquina de Turing com Fita Infinita à Esquerda e à
Direita
• fita infinita dos dois lados não aumenta o poder computacional

• pode ser facilmente simulada por uma fita tradicional
∗ células pares: parte direita da fita
∗ células ímpares: parte esquerda da fita

... a-3 a-2 a-1 a1 a2 a3 ...

❂ a1 a-1 a2 a-2 a3 a-3 ...

◆ Máquina de Turing com Múltiplas Fitas
• k fitas infinitas à esquerda e à direita e k cabeças de fita

• função programa
∗ dependendo do estado corrente e do símbolo lido em cada fita
∗ grava um novo símbolo em cada fita
∗ move cada cabeça independentemente
∗ assume um (único) novo estado

• inicialmente
∗ palavra de entrada: armazenada na primeira fita
∗ demais: brancos


◆ Máquina de Turing Multidimensional
• fita tradicional
∗ substituída por uma estrutura do tipo arranjo k-dimensional
∗ infinita em todas as 2k direções

◆ Máquina de Turing com Múltiplas Cabeças
• k cabeças de leitura e gravação sobre a mesma fita
∗ movimentos independentes

• processamento depende
∗ estado corrente
∗ símbolo lido em cada uma das cabeças


◆ Modificações combinadas sobre a Máquina de Turing
• combinação de algumas ou todas as modificações
∗ não aumenta o poder computacional da máquina de Turing

• exemplo, uma máquina de Turing
∗ não-determinística
∗ com múltiplas fitas
∗ múltiplas cabeças
∗ pode ser simulada por uma máquina de Turing tradicional


◆ Objetivo do modelo abstrato de computação Máquina
de Turing
• explorar os limites da capacidade de expressar soluções de
problemas

◆ Portanto, uma proposta de
• definição formal da noção intuitiva de algoritmo

◆ Diversos outros trabalhos: equivalentes ao de Turing
• Máquina de Post (Post - 1936)
• Funções Recursivas (Kleene - 1936)

◆ Forte reforço da Hipótese de (Turing-) Church
"A capacidade de computação representada pela máquina de
Turing é o limite máximo que pode ser atingido por qualquer
dispositivo de computação".

◆ Em outras palavras
• qualquer outra forma de expressar algoritmos terá, no máximo, a
mesma capacidade computacional da máquina de Turing

◆ Hipótese de Church não é demonstrável
• algoritmo ou função computável: noção intuitiva


8.4.1 Linguagem Recursivamente Enumerável
8.4.2 Linguagem Recursiva


8.4 Máquina de Turing como
Reconhecedor
◆ Classes de linguagens definidas a partir do
formalismo máquina de Turing
• Linguagens Recursivamente Enumeráveis

• Linguagens Recursivas


◆ Classe das Linguagens Recursivamente Enumeráveis
• existe uma máquina de Turing capaz de determinar
∗ se uma palavra w pertence à linguagem

• entretanto, se w ∈ ~L, o algoritmo pode
∗ parar: w não pertence à linguagem
∗ ficar em loop infinito

◆ Classe das Linguagens Recursivas
• existe pelo menos uma máquina de Turing que sempre pára, capaz
de determinar se
∗ w ∈ L ou
∗ w ∈ ~L


◆ Recursivas × Recursivamente Enumeráveis

∈ ∈
w w
MT MT
∉ ∉ ou
LOOP

◆ Aparente contradição
reconhecer o complemento de uma linguagem pode ser
impossível,
mesmo que seja possível reconhecer a linguagem



Def: Linguagem Recursivamente Enumerável ou Tipo 0
Uma linguagem aceita por uma máquina de Turing

Exp: Linguagem Recursivamente Enumerável
• { anbn  n ≥ 0 } já apresentado

• { w  w tem o mesmo número de símbolos a e b } exercício

• { aibjck  i = j ou j = k } exercício


◆ Considerando a Hipótese de Church
• a máquina de Turing é o mais geral dispositivo de computação

• então, a Classe das Linguagens Recursivamente Enumeráveis
∗ todas as linguagens que podem ser reconhecidas
mecanicamente

◆ Linguagens Recursivamente Enumeráveis × Universo
de todas as linguagens
• classe de linguagens muito rica

• entretanto, existem conjuntos que não são recursivamente
enumeráveis
∗ não é possível desenvolver uma MT que os reconheça


Teorema: Linguagem Não-Recursivamente Enumerável
Seja Σ = { a, b }
Suponha Xi o i-ésimo elemento na ordenação lexicográfica de Σ*
•0-ε
• 1-a
•2-b
• 3 - aa
•…

Exercícios
• é possível codificar todas as máquinas de Turing
• como uma palavra sobre Σ de tal forma que
• cada código represente uma única máquina de Turing
• suponha o conjunto dos códigos ordenados lexicograficamente
• suponha que Ti representa o i-ésimo código nesta ordenação


Então não é linguagem recursivamente enumerável

L = { xi  xi não é aceita por Ti }

Prova: (por absurdo)
Suponha que L é recursivamente enumerável

• existe uma máquina de Turing que aceita L
• seja Tk a codificação desta máquina de Turing: ACEITA(Tk) = L

Assim

• por definição de L, xk ∈ L sse xk não é aceita por Tk
• como Tk aceita L, xk ∈ L sse xk é aceita por Tk

Contradição!!!

Logo, L não é linguagem recursivamente enumerável

Obs: Cardinal dos Problemas > Cardinal dos Algoritmos
Conjunto das condifições de todas as máquinas de Turing

• isomorfo a um subconjunto infinito dos números naturais

Logo, é enumerável (infinitamente contável) o conjunto de todas

• máquinas de Turing
• linguagens recursivamente enumeráveis
• problemas solucionáveis

Em contrapartida, o conjunto das linguagens que não são
recursivamente enumeráveis (problemas não-solucionáveis)

• não-contável


Portanto, computacionalmente

existem mais problemas do que algoritmos para resolvê-los.

Exemplo

{ f: N → N  f é função }

• classe muito particular de problemas (linguagens)

• prova-se: isomorfo a R (cardinal é 2ℵ ) 0

• maior do que ℵ0 (cardinal do conjunto das máquinas de Turing)


Def: Linguagem Recursiva
Existe pelo menos uma máquina de Turing M

• ACEITA(M) = L
• REJEITA(M) = ~L


Exp: Linguagem Recursiva
• { anbn  n ≥ 0 }

• { anbncn  n ≥ 0 }

• { w  w ∈ { a, b }* e tem o dobro de símbolos a que b }


8.5 Propriedades das Linguagens
Recursivamente Enumeráveis e
Recursivas
◆ Algumas das principais propriedades
• complemento de uma linguagem recursiva é recursiva

• linguagem é recursiva sse a linguagem e seu complemento são
linguagens recursivamente enumeráveis

• Classe das Linguagens Recursivas está contida propriamente na
Classe das Linguagens Recursivamente Enumeráveis


Teorema: Complemento de uma Linguagem Recursiva é
Recursiva
Se uma linguagem L sobre um alfabeto Σ qualquer é recursiva, então o
seu complemento ~L é recursiva

Prova: (direta)
Suponha L linguagem recursiva. Então existe M, máquina de Turing

• ACEITA(M) = L

• REJEITA(M) = ~L

• LOOP(M) = ∅


Seja

• Inverte uma máquina de Turing que inverte ACEITA / REJEITA

• M’ máquina de Turing resultante da composição de Inverte e M
∗ M’ aceita a linguagem ~L
∗ sempre pára para qualquer entrada

Portanto, o complemento de uma linguagem recursiva é recursiva

M'
∈ ∈ ∈ ∈
Inverte Inverte
p M
∉ ∉ ∉ ∉


Teorema: Linguagem Recursiva × Recursivamente
Enumerável
L é recursiva sse L e ~L são recursivamente enumeráveis

Prova:
(⇒ direta)
Suponha L linguagem recursiva. Então (teorema anterior)

• ~L é recursiva

Como toda linguagem recursiva também é recursivamente enumerável

• L e ~L são recursivamente enumeráveis


(⇐ direta)
Suponha L linguagem tal que L e ~L são recursivamente enumeráveis
Então existem M1 e M2, máquinas de Turing, tais que

• ACEITA(M1) = L
• ACEITA(M2) = ~L

Seja M máquina de Turing resultante da composição

M ∈ ∈
M1

w

∈ ∉ ∉
M2 Inverte


M ∈ ∈
M1

w

∈ ∉ ∉
M2 Inverte

• composição não-determinista de M1 com M2
• composição seqüencial de M1 com Inverte

Para qualquer palavra de entrada

• M aceita se M1 aceita
• M rejeita se M2 aceita

Logo, L é recursiva


Teorema: Linguagens Recursivas ⊂ Recursivamente
Enumeráveis
Prova: (direta)
Mostrar inclusão própria

• existe pelos menos uma linguagem recursivamente enumerável
que não é recursiva

Linguagem recursivamente enumerável que é não-recursiva

L = { Xi  Xi é aceita por Ti }


L é Recursivamente Enumerável (esboço da máquina de Turing)

• M gera palavras X1, X2,… em ordem lexicográfica
∗ compara com w
∗ quando Xi = w, w é a i-ésima palavra na enumeração

• M gera Ti, a i-ésima máquina de Turing (exercícios)

• M simula Ti para a entrada w = Xi
∗ se w pertence a ACEITA(Ti), então w pertence a ACEITA(M)
∗ simulador: exercício

• M aceita w sse Xi = w é aceita por Ti

Logo, L é recursivamente enumerável


L não é Recursiva

Já foi visto

• L é recursiva sse L e ~L são recursivamente enumeráveis

Complemento de L não é recursivamente enumerável

• então L é não-recursiva


◆ Gramática Irrestrita
• gramática sem qualquer restrição nas produções

Exp: Gramática Irrestrita: { anb nc n  n ≥ 0 }
G = ???


Exp: Gramática Irrestrita: { anb nc n  n ≥ 0 }
G = ({ S, C }, { a, b, c }, P, S)

• P = { S → abc  ε, ab → aabbC, Cb → bC, Cc → cc }

Derivação de aaabbbccc

S ⇒ abc ⇒ aabbCc ⇒ aaabbCbCc ⇒
aaabbCbcc ⇒ aaabbbCcc ⇒ aaabbbccc

• C "caminha" na palavra até a posição correta para gerar c


Teorema: Linguagem Recursivamente Enumerável ×
Gramática Irrestrita
L é linguagem recursivamente enumerável sse L é gerada por uma
gramática irrestrita

• (não será demonstrado)


Def: Gramática Sensível ao Contexto
G = (V, T, P, S)

Qualquer regra de produção de P é da forma α → β

• β é palavra de (V ∪ T)*

• α é palavra de (V ∪ T)+ tal queα ≤ β
∗ excetuando-se, eventualmente, para S → ε
∗ neste caso, S não está no lado direito de qualquer produção


◆ Portanto, em uma gramática sensível ao contexto
• a cada etapa de derivação

• tamanho da palavra derivada não pode diminuir
∗ excetuando-se para gerar a palavra vazia
∗ se esta pertencer à linguagem

◆ Observe (por quê?)
• nem toda gramática livre do contexto é sensível ao contexto

Def: Linguagem Sensível ao Contexto, Linguagem Tipo 1
Linguagem gerada por uma gramática sensível ao contexto


Exp: Linguagem Sensível ao Contexto: Palavra
Duplicada
{ ww  w é palavra de { a, b }* }

G = ({ S, X, Y, A, B, 〈aa〉, 〈ab〉, 〈ba〉, 〈bb〉 }, { a, b }, P, S)

Produções de P

• S → XY  aa  bb  ε,
• X → XaA  XbB  aa〈aa〉  ab〈ab〉  ba〈ba〉  bb〈bb〉,
• Aa → aA, Ab → bA, AY → Ya,
• Ba → aB, Bb → bB, BY → Yb,
• 〈aa〉a → a〈aa〉, 〈aa〉b → b〈aa〉, 〈aa〉Y → aa,
• 〈ab〉a → a〈ab〉, 〈ab〉b → b〈ab〉, 〈ab〉Y → ab,
• 〈ba〉a → a〈ba〉, 〈ba〉b → b〈ba〉, 〈ba〉Y → ba,
• 〈bb〉a → a〈bb〉, 〈bb〉b → b〈bb〉, 〈bb〉Y → bb

Gera o primeiro w após X, e o segundo w após Y

• a cada terminal gerado após X
∗ gerada correspondente variável
• variável "caminha" na palavra até passar por Y
∗ deriva o correspondente terminal

• para encerrar
∗ X deriva subpalavra de dois terminais
∗ e correspondente variável a qual "caminha" até encontrar Y
∗ quando é derivada a mesma subpalavra de dois terminais

• se X derivar uma subpalavra de somente um terminal (e a
correspondente variável) ?


8.8 Máquina de Turing com Fita
Limitada


◆ Máquina de Turing com Fita Limitada
• máquina de Turing

• fita limitada ao tamanho da entrada

• mais duas células
∗ marcadores de início e de fim de fita

◆ Não-Determinismo?
• não é conhecido se aumenta o poder computacional


Def: Máquina de Turing com Fita Limitada (MTFL)
M = (Σ, Q, δ, q0, F, V, ❂, ✝)

• Σ - alfabeto (de símbolos) de entrada
• Q - conjunto de estados (finito)
• δ - (função) programa ou função de transição (parcial)

δ: Q × (Σ ∪ V ∪ { ❂, ✝ }) → 2Q×(Σ∪V∪{❂,✝})×{E,D}
∗ transição: δ(p, x) = { (q1, y1, m1),…,(qn, yn, mn) }

• q 0 - estado inicial: elemento distinguido de Q
• F - conjunto de estados finais: subconjunto de Q
• V - alfabeto auxiliar (pode ser vazio)
• ❂ - símbolo de início ou marcador de início da fita
• ✝ - símbolo de fim ou marcador de fim da fita


Exp: Máquina de Turing com Fita Limitada: Palavra
Duplicada
L = { ww  w é palavra de { a, b }* }

A máquina de Turing com fita limitada

M = ({ a, b }, { q0, q1,…, q9, qf }, δ, q0, { qf }, { X, Y }, ❂, ✝)

é tal que ACEITA(M) = L e REJEITA(M) = ~L

• q 1, o início do primeiro w é marcado com um X

• q 2 e q3 definem não-determinismos
∗ marcar com um Y o início do segundo w

• q 5 a q11 verifica a igualdade das duas metades


q0

(❂, ❂, D)

q1

(a, X, D) (b, X, D)
(✝, ✝, E)
(a, a, D) (a, a, D)
q2 q3
(b, b, D) (b, b, D)

(a, Y, E) (b, Y, E)

(a, a, E)
q4
(b, b, E)
(X, X, D)

q5

(a, X, D) (b, X, D) (Y, Y, D)

(a, a, D) (a, a, D)
q6 q8 q11 (Y, Y, D)
(b, b, D) (b, b, D)
(Y, Y, D) (Y, Y, D) (✝, ✝, E)

(Y, Y, D) q7 q9 (Y, Y, D) qf

(a, Y, E) (b, Y, E)

(Y, Y, E) q10
(a, a, E)
(b, b, E)
(X, X, D)


Teorema: Linguagem Sensível ao Contexto × Máquina
de Turing com Fita Limitada
L é uma linguagem sensível ao contexto sse
L é reconhecida por uma máquina de Turing com fita limitada

• não será demonstrado


Linguagens Formais e Autômatos
P. Blauth Menezes

1 Introdução e Conceitos Básicos
2 Linguagens e Gramáticas
3 Linguagens Regulares
4 Propriedades das Linguagens Regulares
5 Autômato Finito com Saída
6 Linguagens Livres do Contexto
7 Propriedades e Reconhecimento das Linguagens
Livres do Contexto
8 Linguagens Recursivamente Enumeráveis e
Sensíveis ao Contexto
9 Hierarquia de Classes e Linguagens e Conclusões


Linguagens Formais e
Autômatos
P. Blauth Menezes
blauth@inf.ufrgs.br

Departamento de Informática Teórica
Instituto de Informática / UFRGS


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