1. Wissensrepr¨sentation
a
Prof. Dr. Nebel, Dr. W¨lfl
o Universit¨t Freiburg
a
M. Helmert, M. Ragni Institut f¨r Informatik
u
WS 2005/2006
¨
Ubungsblatt 9 — L¨sungen
o
Aufgabe 9.1 (Realisierung)
Betrachten Sie die Beispiel-TBox und -ABox aus der Vorlesung (Kapitel 11,
Folie 3) und die zugeh¨rige Klassifikationshierarchie (Kapitel 11, Folie 18). Die
o
Realisierung (Folie 23) eines Objektes a in der ABox besteht aus den am meisten
spezialisierten Konzepten C der TBox, f¨r die a : C gilt.
u
(a) Bestimmen Sie die Realisierung von DIANA, ELIZABETH, CHARLES, EDWARD,
ANDREW und WILLIAM (nur Ergebnisse, keine Beweise).
L¨sung:
o
• DIANA: Mother-without-daughter
• ELIZABETH: Mother-with-many-children
• CHARLES: Man
• EDWARD: Man
• ANDREW: Man
• WILLIAM: Male
Anmerkung: Aus der ABox geht zwar hervor, dass CHARLES ein Kind hat,
nicht aber, dass dieses menschlich ist. Daher k¨nnen wir nicht folgern, dass
o
er ein Vater ist. Somit folgt auch nicht, dass ELIZABETH eine Großmutter
ist.
(b) Um die Realisierung eines Objektes algorithmisch zu bestimmen, muss
eine Menge von Aussagen der Art a : C folgt aus der Wissensbasis“ und
”
a : C folgt nicht aus der Wissensbasis“ bewiesen werden. Geben Sie eine
”
minimale Menge solcher Aussagen an, mit denen Ihr Ergebnis aus Teil (a)
bewiesen werden k¨nnte. (Sie d¨rfen dabei die Klassifikationshierarchie als
o u
bereits bewiesen ansehen.)
L¨sung:
o
Wir schreiben T , A |= a : C um zu notieren, dass aus der Wissensbasis
(TBox und ABox) die Aussage a : C folgt und T , A |= a : C um zu
notieren, dass sie nicht folgt. Dann m¨ssten wir beweisen:
u
• F¨r a = DIANA:
u
T , A |= a : Mother-without-daughter,
T , A |= a : Mother-with-many-children,
T , A |= a : Grandmother,
T , A |= a : Male
1

2. • F¨r a = ELIZABETH:
u
T , A |= a : Mother-with-many-children,
T , A |= a : Mother-without-daughter,
T , A |= a : Grandmother,
T , A |= a : Male
• F¨r a ∈ {CHARLES, EDWARD, ANDREW}:
u
T , A |= a : Man,
T , A |= a : Female,
T , A |= a : Parent
• F¨r a = WILLIAM:
u
T , A |= a : Male,
T , A |= a : Female,
T , A |= a : Living Entity
Aufgabe 9.2 (Beschreibungslogik ALC)
Ein Fleischfresser ist ein Lebewesen, das andere Lebewesen isst. Ein Vegetarier
ist ein Lebewesen, das keine anderen Lebewesen isst. Ein Meta-Vegetarier ist
ein Lebewesen, das keine Fleischfresser isst.
(a) Geben Sie eine TBox in der Beschreibungslogik ALC an, die die drei Kon-
zepte Carnivore, Vegetarian und MetaVegetarian definiert. Normalisie-
ren und entfalten Sie die TBox und ubersetzen Sie sie in Negationsnor-
¨
malform (falls n¨tig).
o
L¨sung:
o
Die Konzepte sind wie folgt definiert:
.
Carnivore = Being ∃eats.Being
.
Vegetarian = Being ¬∃eats.Being
.
MetaVegetarian = Being ¬∃eats.Carnivore
Alle Konzepte sind bereits normalisiert, die ersten beiden Konzepte sind
bereits entfaltet. Wir entfalten das dritte Konzept:
.
Carnivore = Being ∃eats.Being
.
Vegetarian = Being ¬∃eats.Being
.
MetaVegetarian = Being ¬∃eats.(Being ∃eats.Being)
Das erste Konzept ist bereits in Negationsnormalform, die anderen beiden
noch nicht. Wir stellen die Normalform her:
.
Carnivore = Being ∃eats.Being
.
Vegetarian = Being ∀eats.¬Being
.
MetaVegetarian = Being ∀eats.(¬Being ∀eats.¬Being)
(b) F¨hren Sie die folgenden Aussagen (bezogen auf die TBox in Teil (a))
u
auf Erf¨llbarkeitsaussagen zur¨ck und beweisen oder widerlegen Sie sie
u u
mithilfe des Tableau-Algorithmus f¨r ALC:
u
2

3. • Vegetarian MetaVegetarian
L¨sung:
o
Im Folgenden k¨rzen wir das Konzept Being mit B und die Rolle
u
eats mit e ab.
Die Aussage ist genau dann wahr, wenn das Konzept Vegetarian
¬MetaVegetarian in der gegebenen TBox unerf¨llbar ist. Entfaltet
u
ergibt sich das Konzept (B ∀e.¬B) ¬(B ∀e.(¬B ∀e.¬B)), in
Negationsnormalform also (B ∀e.¬B) (¬B ∃e.(B ∃e.B)).
Der Tableau-Algorithmus ergibt:
x : (B ∀e.¬B) (¬B ∃e.(B ∃e.B))
x:B ∀e.¬B
x : ¬B ∃e.(B ∃e.B)
x:B
x : ∀e.¬B
x : ¬B x : ∃e.(B ∃e.B)
xey
y:B ∃e.B
y : ¬B
y:B
Das Constraint-System ist nicht erf¨llbar, die Aussage Vegetarian
u
MetaVegetarian ist also wahr.
• MetaVegetarian Vegetarian
L¨sung:
o
Die Aussage gilt genau dann, wenn MetaVegetarian ¬Vegetarian
in der gegebenen TBox unerf¨llbar ist. Entfaltet ergibt sich das Kon-
u
zept (B ∀e.(¬B ∀e.¬B)) ¬(B ∀e.¬B), in Negationsnormalform
also (B ∀e.(¬B ∀e.¬B)) (¬B ∃e.B).
Der Tableau-Algorithmus ergibt:
3

4. x : (B ∀e.(¬B ∀e.¬B)) (¬B ∃e.B)
x:B ∀e.(¬B ∀e.¬B)
x : ¬B ∃e.B
x:B
x : ∀e.(¬B ∀e.¬B)
x : ¬B x : ∃e.B
xey
y:B
y : ¬B ∀e.¬B)
y : ¬B y : ∀e.¬B
Das Constraint-System ist erf¨llbar, die Aussage MetaVegetarian
u
Vegetarian ist also falsch. Aus dem Tableau ergibt sich das Gegen-
beispiel {x : Being, y : Being, (x, y) : eats}, f¨r das zwar gilt
u
x : MetaVegetarian, aber nicht x : Vegetarian.
• MetaVegetarian Carnivore
L¨sung:
o
Die Aussage gilt genau dann, wenn MetaVegetarian ¬Carnivore in
der gegebenen TBox unerf¨llbar ist. Entfaltet ergibt sich das Konzept
u
(B ∀e.(¬B ∀e.¬B)) ¬(B ∃e.B), in Negationsnormalform also
(B ∀e.(¬B ∀e.¬B)) (¬B ∀e.¬B).
Der Tableau-Algorithmus ergibt:
x : (B ∀e.(¬B ∀e.¬B)) (¬B ∀e.¬B)
x:B ∀e.(¬B ∀e.¬B)
x : ¬B ∀e.¬B
x:B
x : ∀e.(¬B ∀e.¬B)
x : ¬B x : ∀e.¬B
Das Constraint-System ist erf¨llbar, die Aussage MetaVegetarian
u
Carnivore ist also falsch. Aus dem Tableau ergibt sich das Gegenbei-
spiel {x : Being}, f¨r das zwar gilt x : MetaVegetarian, aber nicht
u
x : Carnivore.
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