O documento discute os conceitos de classes de problemas P, NP, NP-completo e NP-difícil e como medir a complexidade de algoritmos. Também apresenta exemplos de algoritmos polinomiais e de complexidade exponencial e teoremas sobre problemas NP-completos.

1. Complexidade
de algoritmos
Trabalho apresentado à
disciplina de Algoritmo e
Estruturas de Dados, sob
orientação da Profa. Ms.
Eng. Elaine Cecília Gatto.

2. Apresentação
 Alunos do curso de Engenharia da
Computação:
 Erick A. B. Pereira
 Luiz Guilherme M. Coelho

3. Classes de Problemas P,
NP,NP-Completo e NP-Difícil
 Objetivo de estudar a complexidade do
problema (tempo gasto para ele).
 Um limite inferior de um de complexidade
de um problema é o resultado teórico
determinante não ser possível a
construção de um algoritmo para a
solução de um problema.

4. Classes de Problemas P,
NP,NP-Completo e NP-Difícil
 Limite superior de complexidade de um
problema destaca o melhor algoritmo
para a resolução.
 Se ambos os limites são iguais, o
problema está fechado (quanto a
complexidade), chamada de
complexidade mínima de problema Ω(n.
logn).

5. Algoritmos polinomiais
 Para cada problema deve haver
algoritmos polinomiais, algoritmos que ao
receber uma instância consome o
mínimo de tempo para a ser tratável,
sendo considerados rápidos.

6. Algoritmos polinomiais
 Para o tempo máximo e para N o valor
da instância de 100N4 + 300N2 + 5000.
 Também aceito o algoritmo polinomial
com valor máximo de tempo em
200N9 log N unidades de tempo, por
exemplo (pois 200N9 log N < 200N10).

7. Algoritmos de complexidade
exponencial
 Esta complexidade busca eliminar uma
busca exaustiva para a solução de
problemas com números exponenciais,
‘soluções parciais’ formatadas para uma
busca em uma árvore completa.
 Todo algoritmo que apenas apresentar
soluções em algoritmos exponenciais
deve ser chamado de intratável.

8. Algoritmos de complexidade
exponencial
 Levando tempo proporcional a 𝑛2
para
uma entrada de tamanho n. Suponha um
problema cujo o tamanho máximo de
pode ser resolvido num tempo t na
máquina mais lenta é 𝑥3 ∶ 𝑥3 = 𝑡.
Suponha a máquina mais lenta, ou
equivalente a um tempo de 10t.
 𝑦2 = 10𝑡 ∴ 𝑦2 = 10 (𝑥3)2 ∴ 𝑦 = 𝑥3 10

9. Tipos de soluções
 Alguns dos algoritmos podem apresentar
tal quais esses argumentos para as
respostas de problemas decisórios “SIM”
ou “Não”, de localização uma condição
e otimização uma solução de qualidade.
 Os algoritmos de localização ou
otimização conseguem se converter para
um de decisão.

10. Classes de problemas
 P, NP e NP-completo, são definidas para
problemas de decisão.
 P exclusivamente para algoritmos
determinísticos em tempo polinomial,
enquanto NP para problemas sem
resolução neste termo.

11. Algoritmos
 Tais funções escolhe(S), escolha de um
elemento do conjunto S, e instruções de
falha e sucesso, não deve ser
encontradas dentro de um algoritmo.
 Sua noção, formalizada pela
padronização do modelo na
computação da máquina de Turning.

12. Algoritmos
 Os algoritmos são programas voltados
para a máquina de MTD (Máquina de
Turning determinística) que sempre para,
assim como algoritmos não
determinísticos.

13. Teorema 6.3.1
 Se II ∈ NP, então II pode ser resolvido por
algoritmo determinístico de
complexidade O (𝑝(𝑛)2
), para algum
polinômio p(n).
 Um problema II é dito NP-completo se II ∈
NP e, para qualquer problema II ∈ NP, II’ II.
 Assim, identificam-se como NP-completos
os problemas mais difíceis entre os
problemas de NP.

14. Proposição 6.3.1
 Se II1 é NP-completo e II1 II2, então II2 é
NP-completo.
 Essa proposição exemplifica a maneira
mais usada para a exibição de um
problema NP-completo.

15. Teorema 6.3.2 (Cook)
 O problema de satisfação de um NP-
completo.
 Um algoritmo é dito de complexidade
pseudopolinomial se sua complexidade é
polinomial para o tamanho da entrada,
quando esta é codificada em unário. Isto
é, a complexidade é polinomial no valor
da entrada (e não no tamanho da
entrada).

16. Teorema 6.3.2 (Cook)
 Um problema NP-completo que admite
algoritmo pseudopolinomial é NP-
completo-fraco.
 Há problemas para os quais a existência
de algoritmos pseudopolinomial implica
P=NP: são os NP-completos-fortes.

17. Teorema 6.3.2 (Cook)
 Um problema II é NP-difícil para qualquer
II’∈ NP, II’ II. Os problemas NP-difíceis não
serão resolvíveis deterministicamente em
tempo polinomial a menos que P=NP.
 Esses problemas são potencialmente mais
difíceis que os NP-completos.

18. Agradecimentos
 A todos e a profª Ms Eng. Elaine Cecília
Gatto.
 Alunos de Engenharia da Computação.

19. Referências
 AGUIAR, M. S. D. Análise Formal da Complexidade
de Algoritmos Genéticos: 4 Algoritmos
Aproximativos. Lume Repertório Digital, [1998?].
Disponível em:
<http://www.lume.ufrgs.br/bitstream/handle/1018
3/25941/000227606.pdf?sequence=1>. Acesso em:
29 nov. 2013.
 FEOFILOFF, P. Introdução informal à complexidade
de problemas: Algoritmos polinomiais. Instituto de
Matemática e Estática, 2013. Disponível em:
<http://www.ime.usp.br/~pf/analise_de_algoritmo
s/aulas/NPcompleto.html >. Acesso em: 29 nov.
2013.

20. Referências
 TOSCANI, L. V.; VELOSO, P. A. S.
Complexidade de algoritmos. 3ª ed. [São
Paulo]: BOOKMAN COMPANHIA EDITORA,
[2012?].