1. TSPに基づく共有資源の社会的
利用モデルに関する研究
北海道大学 工学部
情報エレクトロニクス系
情報工学コース 調和系工学研究室
学部４年 小野 良太

2. 背景
• インフラ、交通設備などの公共性が高い資源の利用法を考える
⇒共有資源
例：渋滞
ハンチング現象
本当にそうなのか？問題の構造を調査して
どのような問題なのか分析する必要があるのでは？

3. 関連研究
A A
R R
R
R R
Et Ex
テーマパーク問題[2003 川村] 道路交通における協調カーナビ[2006 山下]

4. 共有資源と社会的利用
• エージェント集合 Eのべき集合
A={ak| k = 1,2,...,m}
E*
• 共有資源 E={ei| i = 1,2,...,n}
• エージェントの取りうる戦略集合
E*=2E
• エージェントkの戦略
ek  E *
* * *
ek e k
• エージェントkのコスト
* *
Ck (ek , ek )
• ek  ek  
* *
① C (ek ,  )  C (ek , ek )  C I
* * *
ek  ek
* *
ak以外の戦略
② C (e ,  )  C (e , e )  C
*
k
*
k
*
k
D
の集合
| C (ek , ek )  C (ek ,  ) || ek  ek |
* * * * *

5. 共有資源利用におけるハイパーゲーム
• エージェントkが受けるサービス
*
S (ek )
• エージェントkの利得関数
Pk  S (ek )  C (ek , ek )
* * *
PkI  S (ek )  C I (ek , ek )
* * *
エージェントが参加して
PkD  S (ek )  C D (ek , ek )
* * *
いるゲーム
考エ
他の全エージェントの関 えー PkI PkD
数であるので観測が困難 方ジ PII PID
ェ PkI
ン
ト
の PkD PDI PDD

6. 目的
• ゲーム理論の観点から共有資源の利用問題の解の構造を分析する
仮説
P
PID
PII
PDD
PDI
• そのために… TSPを拡張した
– シミュレーションで扱いやすい数理モデルを構築 モデルにより
– ハイパーゲームを統一的に扱える問題
実現
– エージェント及び共有資源に対するスケーラビリティ

7. TSPの定式化
• 都市集合V
• エッジ集合E E={eij| i,j = 1,2,...,n}
• コスト行列C
• 巡回路行列X
• 目的関数

8. 共有資源型TSP
• エージェント集合A 全都市を巡回する経路
• エージェントkの目的： PkD  C D (ek , ek )
* *
最小化
共有資源のコスト
同時にijを使うエージェント
– |A|＝1の時、従来型TSPと一致 の数により変動

9. 共有資源型TSPの定式化
• 時間t (t=1,2,…,n) • tにおける追加コスト
• 巡回路行列X
• 追加コスト行列G
G  {g kij | i, j  1,2,..., n k  1,2,..., m}
g kij  dij (t )  cij
目的関数

10. 実験設計
• 目的：ゲーム理論の観点から共有資源の利用問題の解の構造を分析する
仮説
P ナッシュ均衡解
PID
パレート解
PII
両方
PDD
PDI
全ての解を列挙し構造を調査する必要がある
全探索が可能な規模の問題をシミュレーションにより分析

11. 実験
• ４都市５エージェントの問題を全探索でコスト行列を列挙する
ことにより解空間の構造を分析する
– ナッシュ均衡、パレート効率的な解はどれくらいあるのか
– 解の評価値及びTSPの最適解との差
– 個人最適化だけでは本当に社会的利用はできないのか

12. 結果１
0.012
ナッシュ均衡、パレート最適となる解の割合
• 解の特徴が都市構造に
よって異なる
解の全数に対する割合
0.01
0.008
0.006
• 都市集合{１・２},
nash
0.004 pareto {３・５},{４}の３つのタイプ
0.002 nash&pareto
に分類できる
0
1 2 3 4 5
都市集合番号

13. 結果２
TSPの最適解とそれぞれの解の比較
2 • ナッシュ均衡解、パレー
TSPの最適解との比率
ト解のコストの平均値は
1.5 nash
1 pareto
0.5 nash&pareto ほぼ同じとなった
1 2 3 4 5 PID ID
P
都市集合番号
PIDのうちナッシュ均衡解かつパレート解になる解の割合 • PIDのうちナッシュ均衡解
0.032959 かつパレート解となる解
は数パーセントしか存在
0 0 0
0.0101273
しない
1 2 3 4 5
都市集合番号

14. まとめ
• 共有資源型TSPのモデル化を行った
• 小規模な例題を解き、その都市構造と解の関
係がどのようになっているか分析を行った
課題

17. 共有資源と社会的利用
• 共有資源 E={eij| i,j = 1,2,...,n}
• エージェント集合 A={ak| k = 1,2,...,m}
• 時間 t (t=1,2,...,n) エージェントは1ステップごとに1つ資源を使える
• エージェントの資源利用情報
1 akが時刻tにeijを使う時
xijtk 
a
0 otherwise
• 資源eijを使うコスト
D={dij | i,j = 1,2,...,n}
• tにおいて資源eijを使うコスト
bij (t )  d ij  xijtk
a
ak
• エージェントがt=nまでにかかったコスト

Cak   xijtk  bij (t )
a

• 社会的利用 t i j
min  Cak を満たすように資源を利用すること
ak
• エージェントakの目的関数
min Cak

18. ゲーム理論的分析
• エージェントの資源利用情報行列を
x ak  {xijtk | i, j  1,2,..., n}
a
エージェントが取りうる
xa k の集合を
X ak
と定義するとCakは x a に依存しているので x a の関数として
k k
ijt
Cak ( x a1 , x a2 ,..., x am )
と書くことができる。
エージェントakをプレイヤー、a
をakの戦略、 a a a
をプレイヤーakが戦略
x Ca ( x , x ,..., x )
をとったときに得られる利得と考えることでナッシュ均衡解、パレート解を定義することがで
k
xa k
1 2 m k
き、
Cak ( x* )  min[Cak ( x*a1 , x*a2 ,..., x ak ,..., x*am ) : x ak  X ak ]
を満たす解、x*  ( x*a1 , x*a2 ,..., x*am ) がナッシュ均衡解、
利得ベクトル C  (Ca ,..., Ca ), C  (Ca ,..., Ca ) において
 
となる利得ベクトルx’が存在しないときxがパレート効率的な解となる。
1 m 1 m

Ca  Ca (i  1,2,..., n)
• また、エージェントが自分以外のエージェントの資源利用情報 を考慮せず、資源eijのコ
i i
xa k
ストdijのみを考え、
min Ca   xij  dij 
k
a k
を達成しようと最適化を行うことを個人最適化と定義する。
i j

19. 問題
CI
A E
CD
観測不能
• エージェント集合AはCIのコストを想定して共有資源Eを利用
するが、他のエージェントの戦略 e k により実際にかかるコス
*
トはCDである

20. モデル化にあたって
• モデルに必要とされる条件
a
– 解表現 X k が有限個で実数解である
– 共有資源のコスト Ca がエージェント数で変動させられる
k
– エージェント数m及び共有資源数nを任意に設定可能
TSPを拡張したモデルにより実現

21. 背景
• インフラ、交通設備などの公共性が高い資源の利用法を考える
問題：全員が自分の利益のみを考え最適化しようとすると
効率よく利用できない
混雑
情報技術を活用することで利用の効率化を図れるのでは

22. モデル化
• 最適化問題として表現
– TSPを用いる
– エージェントをエージェントとしてマルチエージェン
トシミュレーション
• TSPの定式化
• 共有資源の利用問題の定式化

23. 共有資源の利用問題の定式化
• 時間t (t=1,2,…,n) • 制約条件
• エージェント集合A
• 巡回路行列X
• tにおける追加コスト
• 追加コスト行列G
dij(t)：エージェントkがijを通った時の追加コスト

24. 実験２
• 行動調整アルゴリズムによる小規模実験を
行いナッシュ均衡な解が達成されるか確かめ
る
• 行動調整アルゴリズムの概要
1. a1から順番にanまでエージェントを選択
し，最適化
2. 最適化された結果に基づき
追加コスト行列を更新
3. 全てのエージェントが最適化を
行うまで繰り返す
4. 最適化された結果が変わらなくなるまで
繰り返す

25. 考察
• 都市構造によってはナッシュ均衡解がパレー
ト効率的でない場合もあるが、ナッシュ均衡
は存在する
• ナッシュ均衡解のコストの平均はパレート効
率的な解のコストの平均を下回る
• ナッシュ均衡解とナッシュ均衡かつパレート効
率的な解のコストの平均値の差はわずかで
ある

26. 結果
ナッシュ均衡、パレート最適となる解の個数
コストの比較
90000
80000 25
一人あたりのコストの平均値
70000 20
60000 nash
解の個数
50000 15 pareto
40000 nash
10 nash&pareto
30000 pareto
20000 5 greedy
nash&pareto
10000 1 2 3 4 5 opt cost
0
都市集合番号
1 2 3 4 5
都市集合番号
個人最適化＝全体最適化となる確率
0.032959
0.0101273
0 0 0
1 2 3 4 5
都市集合番号

30. ナッシュ均衡の存在条件
• 戦略が有限である
• プレイヤーの持つ戦略集合は戦略の次元と
同じユークリッド空間上でコンパクトな凸集合
である
• プレイヤーの利得関数は連続関数である
• プレイヤーの利得関数はそのプレイヤーの戦
略について準凹である

31. まとめ
• 共有資源の利用問題をTSPを拡張することに
よりモデル化を行いシミュレーションを行える
ことを確認した
• 個人最適化＜全体最適化＜混雑がない最適
となることを小規模な例題で確かめた
• 今後、様々な問題においてこのような解の求
め方の設計及びその用い方についてさらに
検証していく必要がある