O documento discute números complexos e apresenta uma situação-problema envolvendo um retângulo cujo perímetro é 4 unidades e área é 2 unidades. Mostra que a resolução envolve números imaginários e introduz os conceitos de número complexo, parte real e imaginária, operações com números complexos e módulo de um número complexo.

1. NÚMEROS COMPLEXOS

2. SITUAÇÃO-PROBLEMA:
 Considere o retângulo da figura:
 Se seu perímetro é 4 u.c. e sua área é 2 u.a.. Quais as
dimensões desse retângulo?

3. RESOLUÇÃO:
 Chamemos de x a medida do comprimento, y a
medida da largura, P o perímetro e de S a área desse
retângulo. Temos então:
 Substituindo o valor de y na segunda equação,
temos:
4224  yxP 2 yx
2.2  yxS
xy  2
2).2(  xx 022²  xx2²2  xx

4.  Calculando o valor do discriminante
 Calculando x, temos:
 Opa! Qual é a raiz quadrada de – 4?
acb 4² 
a
b
x
.2


)2).(1.(4)²2( 
484 
)1.(2
42


 x

5.  Como sabemos, não existe, nenhum número real
cujo quadrado é – 4. Surge então o seguinte
questionamento:
 Existe um retângulo cujas dimensões
satisfazem à situação descrita?

6. UNIDADE IMAGINÁRIA
 É um número representado pelo símbolo i, tal que:
 Com esse novo conceito de número, podemos
considerar, por exemplo, raízes de índice par, de
números negativos.
 Ex.:
1² i  1i
4 )1.(4  ²4i i2

7.  Assim, podemos retomar a resolução de nossa
situação-problema:
 Logo as dimensões do retângulo são:
e
)1.(2
42


x 
2
22



i
x ix 1
ix 1 ix 1


8.  A partir de situações como esta, é que surgiu a
necessidade da evolução dos números, pois como
vimos, os números reais, não eram suficientes para
resolvermos tal situação. Surgiu então o conjunto
dos números complexos, que contém os números
reais e os números imaginários. Veja o esquema:

9.  Sendo
 Em que:
 N: conjunto dos números Naturais
 Z: conjunto dos números Inteiros
 Q: conjunto dos números Racionais
 I: conjunto dos números Irracionais
 R: conjunto dos números Reais
 C: conjunto dos números Complexos
IQR 

10. FORMA ALGÉBRICA
 Todo número complexo pode ser escrito na forma
 Em que:
 - é denominado parte real de z
 - é denominado parte imaginária de z
 Ex.:
biaz 
)Re(za 
)Im(zb 
a
b
iz 321   3e2  ba
iz
2
3
2
1
2   2
3
e
2
1
 ba

11. OPERAÇÕES
 Sejam dois números complexos
e, consideremos as operações de igualdade, adição,
subtração, multiplicação e divisão, assim temos:
 Igualdade:
 Adição:
 Subtração:
 Multiplicação:
diczbiaz  21 e
21 zz   dbca  e
 21 zz idbca )()( 
 21 zz idbca )()( 
21 . zz ibcadbdac )()( 

12.  Seja um número complexo, definimos
como complexo conjugado de z e indicamos por
ao número , que obtemos trocando
o sinal da parte imaginária do complexo.
 Divisão:
biaz 
biaz 
22
21
2
1
.
.
zz
zz
z
z

z

13. MÓDULO DE UM NÚMERO COMPLEXO
 Seja um complexo, o módulo de z, é o
número (vetor), que indicamos por , dado
pela expressão
biaz 
z
²² baz 