Taller 4 angulos y lineas de la circunferencia

2 GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA
TALLER4 CIRCUNFERENCIA Y CIRCULO
PROFESORA:YOLVI ADRIANA CORDOBA BUITRAGO
1
Se llama circunferencia al conjunto de puntos cuya distancia a otro punto llamado centro es
siempre la misma. Los puntos de la circunferencia y los que se encuentran dentro de ella forman
una superficie llamada círculo.
Si medimos con un hilo la
longitud de la circunferencia,
veremos que es igual a 3,14 su
diametro. A este número
decimal se lo define con la
letra griega “pi”:
UN ÁNGULO, respecto de una circunferencia, puede ser:
Ángulo central, si tiene su vértice en el centro de ésta. Sus lados contienen a dos radios. La amplitud de
un ángulo central es igual a la del arco que abarca.
Ángulo inscrito, si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados contienen dos cuerdas.
La amplitud de un ángulo inscrito en una circunferencia equivale a la mitad del ángulo central que
delimita dicho arco.
Ángulo semi-inscrito, si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados contienen una cuerda y
una recta tangente a la circunferencia. El vértice es el punto de tangencia. La amplitud de un ángulo semi-
inscrito es la mitad de la del arco que abarca.
Ángulo interior, si su vértice está en el interior de la circunferencia. La amplitud de un ángulo interior es
la mitad de la suma de dos medidas: la del arco que abarcan sus lados más la del arco que abarcan sus
prolongaciones.

2
Ángulo exterior, si tiene su vértice en el exterior de ésta. La amplitud de un ángulo exterior es la mitad
de la diferencia de los dos arcos que abarcan sus lados sobre dicha circunferencia.
I.- Dibuja, identificando claramente los radios:
Dos circunferencias
tangentes interiores
Dos circunferencias
secantes
Dos circunferencias
tangentes interiores
II.- Dibuja los siguientes ángulos en la circunferencia:
NOMBRE DIBUJO FORMULA
Angulo exterior
Angulo interior

3
Angulo central
Angulo inscrito
III.Dibuja cada teorema
TEOREMA DIBUJO
1. En un círculo, o en c;irculos congruentes,
las cuerdas congruentes tienen arcos
congruentes.
2. En un círculo, o en círculos congruentes, los
arcos menores congruentes tienen cuerdas
congruentes.
3. En un círculo, o en círculos congruentes, las
cuerdas congruentes equidistan del centro.
4. En un círculo, o en círculos congruentes, las
cuerdas equidistantes del centro son
congruentes.

4
5. La bisectriz perpendicular de una cuerda
contiene al centro del círculo.
6. Si una recta que pasa por el centro de un
círculo es perpendicular a una cuerda que
no es un diámetro, entonces biseca a la
cuerda y a su arco menor.
7. Si una cuerda que pasa por el centro de un
círculo biseca a una recta que no es un
diámetro, entonces es perpendicular a la
cuerda.
8. Si una recta es perpendicular a un radio en
un punto del círculo, entonces la recta es
tangente al círculo.
9. Si una recta es tangente a un círculo,
entonces el radio trazado hasta el punto de
contacto es perpendicular a la tangente.
10. Si una recta es perpendicular a una tangente
en un punto del círculo, entonces la recta
contiene al centro del círculo.
11. Los segmentos tangentes a un círculo desde
un punto exterior son congruentes y forman
ángulos congruentes con la recta que une al
centro con el punto.
12. La medida de un ángulo inscrito es la mitad
de la medida de su arco interceptado.
13. Un ángulo inscrito en un semicírculo es un
ángulo recto.

5
14. Un ángulo formado por dos cuerdas que se
intersecan en el interior de un círculo tiene
una medida igual a la semisuma de los arcos
interceptados.
15. La medida del ángulo formado por una
tangente y una cuerda trazada al punto de
contacto es igual a la mitad del arco
interceptado.
16. La medida de un ángulo formado por dos
tangentes a un círculo que se intersecan, es
igual a la mitad de la diferencia de los arcos
interceptados.
17. La medida de un ángulo formado por una
tangente y una secante, o por dos secantes
desde un punto exterior a un círculo, es
igual a la mitad de la diferencia de las
medidas de los arcos interceptados.
18. Si se traza un segmento tangente y un
segmento secante desde un punto exterior a
un círculo, entonces el cuadrado de la
longitud del segmento tangente es igual al
producto de las longitudes del segmento
secante por su segmento secante externo.
19. Si dos cuerdas se intersecan en un círculo,
entonces el producto de las longitudes de
los segmentos de una cuerda es igual al
producto de las longitudes de la segunda
cuerda.
20. Si se trazan dos segmentos secantes a un
círculo desde un punto exterior, entonces el
producto de las longitudes de un segmento
secante y segmento secante externo es igual
al producto de las longitudes del otro
segmento secante y su segmento secante
externo.

6
EJERCICIO I
Calcula el dato pedido aplicando las propiedades:
1) O centro de la circunferencia, ∡BAC=30° ∡EOC=40°. Calcular ∡EDB
B
A
O C
D
E
2) En la circunferencia P es punto medio de AB ,Si ∡ACB=30° , calcular la medida del arco
AP.
C
A B
P
3) Si ∡ABC=30° y arco AC =80° . Calcular la medida del arco DE.
A D
B
E
C
4) AD = 26° y BC = 96° . Calcular la medida del ∡BPC
C
A
P
O
D B
A) 20°
B) 30°
C) 25°
D) 50°
A) 15°
B) 30°
C) 60°
D) 7,5°
A) 10°
B) 30°
C) 60°
D) 20°
A) 23°
B) 46°
C) 61°
D) 48°

7

8
Circunferencia I
Resuelve los siguientes ejercicios, considerando siempre el punto O como centro de la
circunferencia:
1) x = ? 2) x = ? 3) <ABC 60º, AB
diámetro; x = ?
4) <CAO = 20º; 5) <BOC = 140º 6) <OCB = 55º;
<AOB = 100º; <ABC = 80º; x = ?
x = ? <OAB = ?
7) AB//CD; <COE = 30º; 8) Recta AB tangente; 9) <CAB = 50º;
<EOD = 70º; <AOC = 110º; <ABO = 30º;
<DOB = ? x = ? x = ?
O
30
x
O
40
x
A
x
B
O
C A
B
O
C
A
x
BO
C
A
x B
O
C
E D
A
x
BO
C
A
x
B
O
C
x
C
BOA

9
10) Los arcos MN, NP, 11) Los arcos MN, NP = 120º; 12) <PQR = 34º;
y PQ son iguales; y PQ son iguales; <MOQ, <POR = ?
<MOP = 100º; <MRP = ?
<PRQ = ?
.
13) OS//QP; 14) OA = AB; x = ? 15) Los arco AB, BC <PQR = 30º ;
y CA son iguales
<SOP = ? x + 2z = ?
16) z = 100º; x + y = ? 17) <SOD = 140º; 18) <MPQ = 20º; x = ?
<LSD = 80º; x = ?
19) ¿Qué parte del circulo 20) x = ?
representa el sector OBA?
O
Q
PM
R
N
N
R
O
M
P
Q
Q R
P
O
A
O
B
C
x
O
A
B
C
z
x
O
P
Q
R
S
S
x
L D
O
O
C
A
B
x
x
z
O
N
Q
M
P
x
20O
B
A
x
40
O
B

10
CIRCUNFERENCIA: Guía 2
Determina el valor de x en las siguientes figuras considerando siempre el punto O como centro de la
circunferencia:
1) x = ? 2) El arco AB es el 15% de 3) x = ?
la circunferencia; <AOB = ?
4) <COB = 120º; 5) AB tangente; 6) x + y = ?
<AED = 85º; x = ? <AOB = 70º
7) AB = AO; <ACB = ? 8) 2·AB = AC; <ADO = ? 9) ABC triángulo
equilátero;
rectas DA y DC
tangentes, x = ?
x
x
O O
A
B x
C
OA
B
D
a
3a6a
C
O
A BE
x
120
O
A
B
x y
65
x
60
A
C
BO
A
C
B
O
D
A
C
B
O
D
x

11
10) AB tangente; <AOB = aº; 11) AB diámetro; <OCB = 55º;
x = ? x = ?
C IRC UNF E RE NC IA Y C IRC ULO 3
Lo ngit ud de una c irc unferenci a. Áre a de un c írc ulo
Lo ngit ud de un a rc o de Áre a de l s e c t o r c irc ula r
C irc unferenc ia .
Ár e a de un s e gme nto c i r c ul a r .
A s e g c = Á r e a d e l s e c t o r c ir c u la r A OB m e n os Á r e a d e l t r iá n g u lo A OB
.
Ár e a de una c or ona c i r c ul a r
x
C
BOA
A
C BO
x

12
E l á r e a d e u n a c o r o n a c i r cu lar e s i g u a l a l á r e a d e l c í r c u lo m a y or m e n o s e l á r e a del
c í r c u l o m e n o r .
Áre a de un t ra pe c io c irc ula r .
E l á r e a d e l t r a p e c io c i rc ul ar e s i g u a l a l á r e a d e l s e c t or c i r cu l ar m a y or m e n o s el áre a
d e l s e c t o r c i r c u l a r m e n o r .
EJERCICIOS.
1 . C a l c u l a r la l o n g i t u d d e u n a cir cu n fe r e n cia d e 9 0 cm d e d i á me t ro .
2 . Si la l o n g i t u d d e u n a c i rc u n f e re n c i a e s 4 3 . 9 6 cm. ¿ C u á l e s e l á re a d e l c í rc u l o ?
3 . L o s b r a zo s d e u n co lu mp io mid e n 1 . 8 m d e la r g o y p u e d e n d e scr ib ir co mo má x imo u n á n g u lo de
1 4 6 °. C a lcu la r e l e sp a cio r e co r r id o p o r e l a sie n to d e l co lu mp io cu a n d o e l á n g u lo d e scr ito e n su
b a la n ce o e s e l má x imo .
4 . H a l l a r e l á re a d e l s e c t o r c i rc u l a r cu y a c u e rda e s e l la d o d e l c u a d ra d o i n s c rit o, sie n d o 4 cm el
ra d i o d e la c i rc u n f e re n c i a .
5 . So b r e u n c í rc u l o d e 4 cm d e r a d io , se tr a za u n á n g u l o c e n t ra l d e 6 0 °. C a l c u l a r e l á re a d el
s e g me n t o c i rcu la r co mp r e n d id o e n tr e la cu e r d a q u e u n e lo s e x tr e mo s d e lo s d o s r a d io s y su a rco
co r r e sp o n d ie n te .
6 . En u n p a r q u e d e fo r ma cir cu la r d e 7 0 0 m d e r a d io h a y situ a d a e n e l ce n tr o u n a fu e n te , ta mb ié n de
fo r ma cir cu la r , d e 5 m d e r a d io . C a l c u l a r e l á re a d e la zo n a d e p a se o .
7 . D a d a s d o s c i rc u n f e re nc i as c o n c én tric a s d e r a d io 8 y 5 cm, r e sp e ctiv a me n te , se tr a za n lo s ra dios
OA y OB, q u e fo r ma n u n á n g u l o d e 6 0 ° . C a l c u l a r e l á re a d e l t ra p e c i o c i rc u l a r fo r ma d o .
Resp CIRCUNFERENCIA 1.:1) 60 2) 80 3) 120 4) 30 5) 60 6) 110 7) 40 8) 160 9) 60 10) 25 11) 40 12) 44 13) 30 14) 30 15) 30
Resp.CIRCUNFERENCIA 2: 1) 60 2) 54 3) 54 4) 25 5) 160 6) 250 7) 30 8) 30 9) 60 10) 90+a 11) 35

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