New technologies allow free access to a large amount of random and pseudo-random numbers. With their advantages and disadvantages, we'll play with these two sets of numbers to approach PI number without any complex calculation.

1. CÁLCULO DE π EMPREGRANDO NÚMEROS ALEATORIOS E PSEUDOALEATORIOS
Manuel Vilariño Freire – IES Nosa Señora dos Ollos Grandes (Lugo)
Resumo Abstract
As novas tecnoloxías permítennos acceder New technologies allow free access to a
gratuitamente a unha grande cantidade de large amount of random and pseudo-
números aleatorios e pseudoaleatorios. random numbers. With their advantages
Coas súas vantaxes e inconvintes, and disadvantages, we'll play with these two
xogaremos con estes dous grupos de sets of numbers to approach PI number
números a achegarnos ao número PI sen without any complex calculation.
realizarmos ningún cálculo complexo.
Hai case 4000 anos que as antigas civilizacións de Exipto e Mesopotamía fixeran as
primeiras aproximacións da proporción determinada polo perímetro e o diámetro dunha
circunferencia. Esta proporción foi identificada pola letra grega π polos matemáticos da
Ilustración e ata os nosos días é empregrada na resolución de multitude de problemas
matemáticos e referenciada nunha grande cantidade de fórmulas científicas. Desde eses
primeiros anos ata os nosos días determinouse que π era un número irracional e
trascendente, polo que compría unha aproximación para o seu manexo no cálculo. A
evolución das matemáticas foi parella á teima daqueles científicos que puxeron o seu
talento a disposición dunhas novas cifras decimais que nos situaran máis preto de π.
Neste artigo experiméntase un dos métodos de aproximación de π probablemente menos
efectivo, pero, sen dúbida algunha, o máis divertido: O Método de Montecarlo.
O experimento consiste en construír un panel cadrado cunha diana circular inscrita. O
lado do cadrado será, polo tanto, igual ao diámetro da circunferencia. A partir de ahí,
trátase de lanzar repetidamente unha pelota ao panel e contar as que tocan na diana. A
proporción das que tocan sobre o total multiplicada por 4 nos dá unha aproximación ao
número π. Merece a pena intentalo? Se alguén adicara toda a súa vida a lanzar bolas,
achegaríase moito a π?
Numéros aleatorios e pseudoaleatorios
Os procesos de simulación máis comúns utilizan os algoritmos de xeración de números
pseudoaleatorios presentes na maioría de linguaxes de programación. Chámanse
pseudoaleatorios porque son xerados de maneira determinista a partir dun valor inicial
denominado semente (normalmente o tempo do computador). Un bo algoritmo será o que
determine números “moi distintos” a partir de sementes moi próximas. O problema destes
algoritmos é que son cíclicos e que a partir de 10 9 xeracións os números pseudoaleatorios
repítense e a simulación falla. Pero en pequenas doses poden ser considerados
aleatorios porque pasan con solvencia os tests de aleatoriedade.
Se queremos simular empregando números aleatorios puros témolo máis complicado.

2. Non os podemos buscar no computador e teremos que mirar á natureza. Existen
solucións en internet onde ou ben se recolle o ruído da atmósfera nun número nun
instante determinado, ou se constrúe o número a partir dos efectos ópticos dun protón, ou
na observación de procesos radioactivos, etc. O conxunto destes números son
verdadeiros aleatorios, pero as webs ofrécenche moi poucos para chegar a unha boa
aproximación de π.
A solución atopada para esta simulación foi o denominado QRBG (Quantum Random Bit
Generator). Trátase dun aparello que constrúe os números aleatorios detectando a
situación dos fotóns ao producirse o efecto fotoeléctrico. Hai un servidor que recolle a
información deste aparello e faina accesible directamente vía web (poucos números) ou
con acceso automatizado empregrando programación (sen restriccións). Desta segunda
maneira obtivéronse 107 números aleatorios puros para o noso experimento.
Como curiosidade, xeráronse 100 grupos de 107 números pseudoaleatorios e, aínda que
todos pasaron o test de aleatoriedade, ningún conseguiu un valor de chi-cadrado menor
(10 graos de liberdade correspondentes a unha partición de 10 subintervalos) que o grupo
dos aleatorios puros.
A simulación con aleatorios
Con un pouquiño de programación elabourouse unha aplicación que simulaba, usando os
números aleatorios achegados polo QRGB, o lanzamento de 107 bolas a nosa diana. Isto
corresponde a estar ceibando bolas durante un ano, as 24 horas do día a 3 segundos por
lanzamento. A aproximacións acadada foi 3.1414664 cun erro de 10 -4 e coincidindo en só
tres cifras decimais. Xa Arquímedes no 250 A.C conseguira algo mellor.
Aproximacións con aleatorios puros
Pero, son peores as aproximacións empregando números pseudoaleatorios?
Para facer a comparativa simuláronse 1000 experimentos de 107 lanzamentos
pseudoaleatorios cada un. No 80% dos casos a aproximación obtida foi peor.
A simulación con pseudoaleatorios
Como xa se comentou, o traballo con números pseudoaleatorios e moito menos custoso,
pero está limitado a 109 lanzamentos polos algoritmos deterministas que os xeran. O
resultado exprésase no gráfico en escala logarítmica en base 10.

3. Gráfica logarítmica de lanzamentos
Despois de 109 lanzamentos a aproximación obtida foi de 3.1415960120 cun erro, polo
tanto, da orde de 10-6. Noutras palabras, para achegarnos 5 cifras decimais (sen garantía
algunha de conseguilo) deberíamos lanzar bolas á nosa diana sen pausa durante 100
anos! O gran Zu Chongzhi superou esta aproximación no século V (...e só viviu 71 anos).
Ao alcance dun clic
Calquera pode simular a aproximación ao número π usando métodos de Montecarlo.
Internet ofrece varios applets que executan os procesos empregrando os números
pseudoaleatorios xerados polas librarías de java. Os dous métodos con máis presencia
son o da diana aquí explicado, e o famoso problema da agulla de Buffon, onde a
probabilidade teórica, que depende de π, coincide co límite da frecuencia na que unha
agulla toca a dúas liñas paralelas,
Simulación lanzando a agulla de Buffon
Simulación lanzando na web da Universidade de California State
bolas na web do MEC
________________________________________________________________________
mvilarinho@edu.xunta.es