CÁLCULO DE π EMPREGRANDO NÚMEROS ALEATORIOS E PSEUDOALEATORIOS                Manuel Vilariño Freire – IES Nosa Señora dos...
Non os podemos buscar no computador e teremos que mirar á natureza. Existensolucións en internet onde ou ben se recolle o ...
Gráfica logarítmica de lanzamentosDespois de 109 lanzamentos a aproximación obtida foi de 3.1415960120 cun erro, polotanto...
Próxima SlideShare
Cargando en…5
×

CÁLCULO DE π EMPREGRANDO NÚMEROS ALEATORIOS E PSEUDOALEATORIOS - Gamma

324 visualizaciones

Publicado el

New technologies allow free access to a large amount of random and pseudo-random numbers. With their advantages and disadvantages, we'll play with these two sets of numbers to approach PI number without any complex calculation.

Publicado en: Educación
0 comentarios
0 recomendaciones
Estadísticas
Notas
  • Sé el primero en comentar

  • Sé el primero en recomendar esto

Sin descargas
Visualizaciones
Visualizaciones totales
324
En SlideShare
0
De insertados
0
Número de insertados
20
Acciones
Compartido
0
Descargas
2
Comentarios
0
Recomendaciones
0
Insertados 0
No insertados

No hay notas en la diapositiva.

CÁLCULO DE π EMPREGRANDO NÚMEROS ALEATORIOS E PSEUDOALEATORIOS - Gamma

  1. 1. CÁLCULO DE π EMPREGRANDO NÚMEROS ALEATORIOS E PSEUDOALEATORIOS Manuel Vilariño Freire – IES Nosa Señora dos Ollos Grandes (Lugo)Resumo AbstractAs novas tecnoloxías permítennos acceder New technologies allow free access to agratuitamente a unha grande cantidade de large amount of random and pseudo-números aleatorios e pseudoaleatorios. random numbers. With their advantagesCoas súas vantaxes e inconvintes, and disadvantages, well play with these twoxogaremos con estes dous grupos de sets of numbers to approach PI numbernúmeros a achegarnos ao número PI sen without any complex calculation.realizarmos ningún cálculo complexo.Hai case 4000 anos que as antigas civilizacións de Exipto e Mesopotamía fixeran asprimeiras aproximacións da proporción determinada polo perímetro e o diámetro dunhacircunferencia. Esta proporción foi identificada pola letra grega π polos matemáticos daIlustración e ata os nosos días é empregrada na resolución de multitude de problemasmatemáticos e referenciada nunha grande cantidade de fórmulas científicas. Desde esesprimeiros anos ata os nosos días determinouse que π era un número irracional etrascendente, polo que compría unha aproximación para o seu manexo no cálculo. Aevolución das matemáticas foi parella á teima daqueles científicos que puxeron o seutalento a disposición dunhas novas cifras decimais que nos situaran máis preto de π.Neste artigo experiméntase un dos métodos de aproximación de π probablemente menosefectivo, pero, sen dúbida algunha, o máis divertido: O Método de Montecarlo.O experimento consiste en construír un panel cadrado cunha diana circular inscrita. Olado do cadrado será, polo tanto, igual ao diámetro da circunferencia. A partir de ahí,trátase de lanzar repetidamente unha pelota ao panel e contar as que tocan na diana. Aproporción das que tocan sobre o total multiplicada por 4 nos dá unha aproximación aonúmero π. Merece a pena intentalo? Se alguén adicara toda a súa vida a lanzar bolas,achegaríase moito a π?Numéros aleatorios e pseudoaleatoriosOs procesos de simulación máis comúns utilizan os algoritmos de xeración de númerospseudoaleatorios presentes na maioría de linguaxes de programación. Chámansepseudoaleatorios porque son xerados de maneira determinista a partir dun valor inicialdenominado semente (normalmente o tempo do computador). Un bo algoritmo será o quedetermine números “moi distintos” a partir de sementes moi próximas. O problema destesalgoritmos é que son cíclicos e que a partir de 10 9 xeracións os números pseudoaleatoriosrepítense e a simulación falla. Pero en pequenas doses poden ser consideradosaleatorios porque pasan con solvencia os tests de aleatoriedade.Se queremos simular empregando números aleatorios puros témolo máis complicado.
  2. 2. Non os podemos buscar no computador e teremos que mirar á natureza. Existensolucións en internet onde ou ben se recolle o ruído da atmósfera nun número nuninstante determinado, ou se constrúe o número a partir dos efectos ópticos dun protón, ouna observación de procesos radioactivos, etc. O conxunto destes números sonverdadeiros aleatorios, pero as webs ofrécenche moi poucos para chegar a unha boaaproximación de π.A solución atopada para esta simulación foi o denominado QRBG (Quantum Random BitGenerator). Trátase dun aparello que constrúe os números aleatorios detectando asituación dos fotóns ao producirse o efecto fotoeléctrico. Hai un servidor que recolle ainformación deste aparello e faina accesible directamente vía web (poucos números) oucon acceso automatizado empregrando programación (sen restriccións). Desta segundamaneira obtivéronse 107 números aleatorios puros para o noso experimento.Como curiosidade, xeráronse 100 grupos de 107 números pseudoaleatorios e, aínda quetodos pasaron o test de aleatoriedade, ningún conseguiu un valor de chi-cadrado menor(10 graos de liberdade correspondentes a unha partición de 10 subintervalos) que o grupodos aleatorios puros.A simulación con aleatoriosCon un pouquiño de programación elabourouse unha aplicación que simulaba, usando osnúmeros aleatorios achegados polo QRGB, o lanzamento de 107 bolas a nosa diana. Istocorresponde a estar ceibando bolas durante un ano, as 24 horas do día a 3 segundos porlanzamento. A aproximacións acadada foi 3.1414664 cun erro de 10 -4 e coincidindo en sótres cifras decimais. Xa Arquímedes no 250 A.C conseguira algo mellor. Aproximacións con aleatorios purosPero, son peores as aproximacións empregando números pseudoaleatorios?Para facer a comparativa simuláronse 1000 experimentos de 107 lanzamentospseudoaleatorios cada un. No 80% dos casos a aproximación obtida foi peor.A simulación con pseudoaleatoriosComo xa se comentou, o traballo con números pseudoaleatorios e moito menos custoso,pero está limitado a 109 lanzamentos polos algoritmos deterministas que os xeran. Oresultado exprésase no gráfico en escala logarítmica en base 10.
  3. 3. Gráfica logarítmica de lanzamentosDespois de 109 lanzamentos a aproximación obtida foi de 3.1415960120 cun erro, polotanto, da orde de 10-6. Noutras palabras, para achegarnos 5 cifras decimais (sen garantíaalgunha de conseguilo) deberíamos lanzar bolas á nosa diana sen pausa durante 100anos! O gran Zu Chongzhi superou esta aproximación no século V (...e só viviu 71 anos).Ao alcance dun clicCalquera pode simular a aproximación ao número π usando métodos de Montecarlo.Internet ofrece varios applets que executan os procesos empregrando os númerospseudoaleatorios xerados polas librarías de java. Os dous métodos con máis presenciason o da diana aquí explicado, e o famoso problema da agulla de Buffon, onde aprobabilidade teórica, que depende de π, coincide co límite da frecuencia na que unhaagulla toca a dúas liñas paralelas, Simulación lanzando a agulla de Buffon Simulación lanzando na web da Universidade de California State bolas na web do MEC________________________________________________________________________ mvilarinho@edu.xunta.es

×