Moviment harmònic simple. Física 2n de batxillerat.

1. 1
Física 2n Batxillerat
Lurdes Morral
MOVIMENTS
VIBRATORIS

2. 2
1- Moviment vibratori harmònic simple
2- Comparació del mhs amb mcu
3- Equacions del moviment harmònic simple
3.1-Equació de l’elongació
3.2-Equació de la velocitat
3.3-Equació de l’acceleració
4- Dinàmica de l’oscil·lador harmònic simple
5- Energia de l’oscil·lador harmònic simple
5.1- Energia cinètica
5.2-Energia potencial
5.3-Energia mecànica
6- El pèndul simple com oscil·lador harmònic
7- Altres moviments vibratoris 7.1- Amortiment
7.2- Ressonància

3. 3
Una partícula, descriu un moviment periòdic quan
els valors de la posició, la velocitat, i l’acceleració es
repeteixen després d’un interval de temps anomenat
període.
1-MOVIMENT VIBRATORI HARMÒNIC SIMPLE
Exemple: Moviment circular uniforme
(MCU).

4. 4
Una partícula descriu un moviment
oscil·latori o vibratori quan es
desplaça successivament a un
costat i l’altre de la seva posició
d’equilibri i repetint a intervals
regulars de temps, les seves
variables cinemàtiques.
Exemple: Un pèndul, una molla, un
gronxador.
1-MOVIMENT VIBRATORI HARMÒNIC SIMPLE

5. 5
En aplicar una força Fext , a la molla, desplacem el
cos una posició x de la seva posició inicial de repòs
O,fins al punt D. Quan cessa la força:
-Va de D a O i fins a B
-S’atura momentàniament a B
-Torna a A i repeteix tot l’anterior.
La força recuperadora de la molla, és la que
provoca el moviment d’oscil·lació i és de sentit
contrari al vector posició (origen = posició
d’equilibri).
→→
−= rkF
El moviment oscil·latori d’un cos sobre una
trajectòria recta és harmònic simple quan està
sotmès a l’acció d’una força d’atracció
proporcional al vector posició, amb origen en el
punt d’equilibri, i de sentit contrari.
Moviment rectilini oscil·latori al voltant del
punt O.
1-MOVIMENT VIBRATORI HARMÒNIC SIMPLE
Hooke applet
applet
Ne
wt
on
Ne
wt
on

6. 6
• Una partícula descriu un M.H.S
quan <<oscil·la>> entre dos punts
A1 i A2 equidistants, situats a
ambdós costats del centre
d’oscil·lació o punt d’equilibri
• En apropar-se al centre
d’oscil·lació, el cos augmenta la
seva velocitat, passant per ell, a la
velocitat màxima
• En allunyar-se del centre
d’oscil·lació, va disminuint la seva
velocitat, de manera que en els
extrems es deté i canvia el sentit
del moviment.
A
A
A 2
A 1
Posició d’
equilibri
1-MOVIMENT VIBRATORI HARMÒNIC SIMPLE

7. 2- COMPARACIÓ DEL MHS AMB MCU youtube

8. 8
L’equació d’un m.h.s. s’obté a partir de la projecció d’un moviment circular sobre un
diàmetre de la circumferència
x = A cos (ωt+ϕ0)
Vector velocitat
Vector acceleració
2- COMPARACIÓ DEL MHS AMB MCU
applet applet

9. 9
- Si la projecció es realitza sobre l’eix x, resulta: x = A cos (ωt+ϕ0)
- Si la projecció es realitza sobre l’eix y, resulta: y = A sin (ωt+ϕ0)
• Elongació x: Distància en un instant donat al centre d’oscil·lació. A la dreta valors positius.
• Amplitud A: Elongació màxima. El valor de x varia entre −A i +A
• Centre d’oscil·lació,O : Punt mig.
• Fase inicial ϕ0: Determina l’elongació inicial: x (t = 0) = x0 = A sin ϕ0 . En radiants
• Vibració o oscil·lació: Distància recorreguda per la partícula en un moviment complet de vaivé.
3.1-Equació de l’elongació
x (t)= A sin (ωt+ϕ0)
Característiques d’un MHS
• Període, T: Temps que tarda en fer una oscil·lació completa. Es mesura en segons (s)
• Freqüència, f o ν: Inversa del període i indica el nombre d’oscil·lacions efectuades
cada segon. Es mesura en (s-1
) o Hertz (Hz)
3- EQUACIONS DEL MOVIMENT HARMÒNIC SIMPLE

10. 10
ω
π2
=T
El m.h.s. es repeteix cada període:
fπω 2=T
f
1
=
π
ω
2
=f
• Pulsació o freqüència angular, ω, nombre de períodes en 2π unitats de temps, es
mesura (radiants/segon)
)T(sinAAsinx oo ϕωϕ +==
Per tant, ωT + ϕo= 2 π + ϕo
T
π
ω
2
=
El període, la freqüència i la pulsació de l’MHS, són independents de l’amplitud.
Període i freqüència del MHS:
P
o
A
ϕo + 2π
ϕo
x
+ A− A
La freqüència és l’inversa del període:
)Asin(2 oϕπ +=
x = A sin (ωt+ϕ0)
3- EQUACIONS DEL MOVIMENT HARMÒNIC SIMPLE
ϕ = ωt
Fase: angle (rad)

11. 11
Si ϕo =π/2, sin(π/2 ) =1 llavors per t=0, x=A
la partícula està en el centre d’oscil·lació
Si ϕo =0, llavors per t=0, x=0
la partícula està en l’extrem
3- EQUACIONS DEL MOVIMENT HARMÒNIC SIMPLE
x (t)= A sin (ωt+ϕ0) Fase inicial: Caldrà quan la posició inicial no
sigui la d’equilibri.
x(0) = A sin (ϕ0) = A
sin ϕ0= 1
ϕ0= π/2 rad
x(0) = A sin (ϕ0)
Exemple:

12. 12
t (s) ωt (rad) sin ωt x(m)
0 0 0 0
T/4
π/2
+1 +A
T/2
π
0 0
3T/4
3π/2
-1 -A
T
2π
0 0
x (t)= A sin (ωt+ϕ0)
3- EQUACIONS DEL MOVIMENT HARMÒNIC SIMPLE
L’elongació és màxima quan el sin és 1, i
això passa quan la fase és π/2

13. 13
Si prenem com a funció
harmònica el cosinus, estarà
desfassat π/2 rad respecte al
sinus.
x (t)= A cos (ωt+ϕ0)
3- EQUACIONS DEL MOVIMENT HARMÒNIC SIMPLE
x (t) = A sin (ωt+ϕ0)

14. 14
Derivant l’equació de la posició del m.h.s., resulta:
dt
dx
v =
)ωt(sinAAω)ωt(sin1ωAv o
222
o
2
ϕϕ +−±=+−±=
sin2
α + cos2
α = 1 ⇒ cos (ωt+ϕ0) = )t(sin2
oϕω +−± 1
Com x = A sin (ωt+ϕ0) ⇒ x2
= A2
sin2
(ωt+ϕ0)
xAv 22
−±= ω
La velocitat és màxima quan x = 0, en el
centre
Vmàx = ± A ω
El gronxador es para en els extrems.
En el centre aconsegueix la seva
màxima velocitat
L’equació de la posició del m.h.s. és: x = A sin (ωt+ϕ0)
3.2-Equació de la velocitat
v = A ω cos (ωt+ϕ0)
Podem expressar la velocitat en funció de la posició:
La velocitat és 0 quan x = A, en els
extrems
ωAV =max
3- EQUACIONS DEL MOVIMENT HARMÒNIC SIMPLE

15. 15
X=A
t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8
X=0
X=−A
a >0
x >0
v >0
a <0
x >0
v =0
a <0
x >0
v <0
a <0
x =0
v <0
a =0 x <0
v <0
a >0
x <0
v >0
a >0
x =0
v >0
a =0
x <0
v =0
3.3-Equació de l’acceleració
Derivant l’equació de la velocitat: v = A ω cos (ωt + ϕ0)
resulta:
)t(sinωA
td
xd
dt
dva o
2
2
2
ϕω +−===
Com x = A sin (ωt + ϕ0) a = − ω2
x
El valor màxim s’aconsegueix en els extrems, on x = ± A ⇒
És proporcional a l’elongació, màxima en els extrems i nul·la en el centre.
)t(sinωAa o
2
ϕω +−=
2
ωAa =max
3- EQUACIONS DEL MOVIMENT HARMÒNIC SIMPLE
amàx = ± A ω2

16. 16
3- RESUM EQUACIONS DEL MOVIMENT HARMÒNIC SIMPLE
L’acceleració és una
funció oscil.lant
harmònica desfasada π
rad respecte a la posició.

17. 17
F = − kx
Per la segona llei de Newton: F = m a
a = - ω2
x
m i ω no varien, apareix un constant k ( k = m ω2
), anomenada constant elàstica o
recuperadora
• Si no desplacem l’oscil·lador x = 0 ⇒ Fext = 0
(no apareixen forces)
• Si el mòbil es troba fora de la posició d’
equilibri, la força que actua sobre ell
està dirigida des del punt on es troba
fins la posició d’ equilibri
La força és proporcional al desplaçament i de sentit contrari.
ω
π
=
2
T
m
k
=ω
m
k
2
1f
T
1f
π
=⇒=
k
m
2T π=
F= -m ω2
x
k = m ω2
4-DINÀMICA DE L’OSCIL·LADOR HARMÒNIC SIMPLE

18. 18
Aplicant la definició d’energia cinètica: )+t(cosAωm
2
1
=vm
2
1
=E o
2222
c ϕω
Per les relacions trigonomètriques:
Si x = 0 ⇒ energia cinètica màxima
Am
2
1
E 22
máx,c ω=
Am
2
1 22
ω
[ ]xAm
2
1
E
222
c −ω=
k = m ω2
)+t(cosAk
2
1
=vm
2
1
=E 0
222
c ϕω
2
máxc, Ak
2
1
E =
5.1- Energia cinètica:
xAv 22
−±= ω
5-ENERGIA DE L’OSCIL·LADOR HARMÒNIC SIMPLE

19. 19
Integrant entre dues posiciones A i B:
)k
2
1
k
2
1
k
2
1
k
2
1
W xx(xxx
2
B
2
A
2
B
2
A
2
AB −=−=



−=
Per cada posició, la Ep és de la forma:
)ωtsinAωm
2
1 o
222
PE ϕ+= (
Es màxima quan sin (ωt + ϕ0) = ± 1
AAE KmmáxP
222
2
1
2
1
== ω,
Aωm
2
1 22
∆Ep= EpB-EpA= - WAB ∫∫∫ −=−==
B
A
B
A
B
AAB )Kxdx()idx)(iKx(rdFW
Origen xA=xo=0 (EpA= Epo = 0)
Energia potencial en x=xB
x
2
P k
2
1
E =
5.2-Energia potencial:
Ep= -W
F conservativa
5-ENERGIA DE L’OSCIL·LADOR HARMÒNIC SIMPLE

20. 20
• L’energia total que té l’oscil·lador harmònic en cada instant és la suma de
l’energia cinètica i potencial
Traient factor comú:
E = Ec + Ep
)t(cosAm
2
1
0
222
ϕ+ωω= )t(senAm
2
1
0
222
ϕ+ωω+
[ ])t(sen)t(cosAm
2
1
E 00
2222
ϕ+ω+ϕ+ωω=
Simplificant:
Am
2
1
EEE
22
cp ω=+=
En l’oscil·lador harmònic, l’energia
mecànica resta constant en qualsevol
instant
)xA(ωm
2
1
E 222
c −=
22
xωm
2
1
E =p
Aωm
2
1 22
2
Ak
2
1
E =
5.3-Energia mecànica:
5-ENERGIA DE L’OSCIL·LADOR HARMÒNIC SIMPLE

21. 21
Si x=0, Ep=0 i Ec màx
Si x=±A, Ec=0 i Ep màx
5-ENERGIA DE L’OSCIL·LADOR HARMÒNIC SIMPLE

22. 22
• Consisteix en un fil inextensible de massa despreciable suspès d’un
extrem; de l’altre penja un cos de massa m considerat puntual
Eix Y: T – Py = m an
Eix X: Px = m ax ⇒ – mg sin θ = m ax= -Kx
• Pot considerar-se com un m.h.s. si la
separació de A del punt d’equilibri és tan
petita como per despreciar la curvatura
de la trajectòria
mg θ = kx
Per angles petits, sin θ = θ
Simplificant resulta: – mg sin θ = -Kx
Substituint l’arc per x:
L
x
radi
arc
==θ
g
L
2T π=
m
y
P= mg θ
T
θ
Py= mg cos θ
L
x
Px = – mg sin θ
Kx=
L
mgx 2
m=K=
L
mg
ω
2
=
L
g
ω
ω
π2
=T Independent de m i A
6- EL PÈNDUL SIMPLE COM OSCIL·LADOR HARMÒNIC
http://www.youtube.com/watch?
v=k_rHZzbU8-M

23. 23
• Quan el pèndul està parat en un dels seus extrems de la trajectòria, tota la
energia emmagatzemada és Ep = mgh
• En passar pel punt més baix de la seva
trajectòria, tota l’energia emmagatzemada és
EC
• La suma de les dues indica el valor de la
seva energia en qualsevol punt de la seva
trajectòria
vm
2
1
E 2
c =
vm
2
1
hgmEEE 2
cP
+=+=
• La relació entre l’alçada màxima i la
velocitat és:
hg2vvm
2
1
hgm 2
=⇒=
h
mghEE p ==
→
v
vm
2
1
EE 2
c ==
6- EL PÈNDUL SIMPLE COM OSCIL·LADOR HARMÒNIC

24. 24
En moviments reals intervenen forces de fregament, amb el que s’ origina una
pèrdua d’ energia mecànica que es transforma en calor. Va disminuint
l’amplitud de l’oscil·lació fins que es para, llavors es diu que és una oscil·lació
amortida.
L’amortiment es deu a la resistència de l’aire i al fregament intern del sistema.
Para evitar l’amortiment cal aportar contínuament energia al sistema que vibra,
però esta energia ha d’arribar amb la mateixa freqüència que vibra el sistema.
7.1- Amortiment:7.1- Amortiment:
7-ALTRES MOVIMENTS VIBRATORIS

25. 25
Dos sistemes es diu que entren en ressonància quan vibren amb la mateixa
freqüència.
Per a que hi hagi ressonància s’ha de comunicar al sistema energia amb la mateixa
freqüència que està vibrant, d’aquesta manera es produeix un gran augment de l’amplitud d’
oscil·lació.
Per ressonància es pot arribar a augmentar tant l’amplitud d’oscil·lació d’un
sistema que inclús es pot arribar a trencar, com quan un so determinat trenca
una copa de vidre.
7.2- Ressonància:7.2- Ressonància:
7-ALTRES MOVIMENTS VIBRATORIS

26. 26
x = A sin (ωt+ϕ0)
fπω 2=T
f
1
=
v = A ω cos (ωt+ϕ0) vmàx =± A ω ωAV =max
)t(sinωAa o
2
ϕω +−=
a = − ω2
x
amàx = ± A ω2 2
ωAa =max
F = − kx
k
m
2T π=k = m ω2
)+t(cosAk
2
1
=vm
2
1
=E 0
222
c ϕω AAE Kmmáxc
222
2
1
2
1
== ω,
)ωt(sinA
2
1
x
2
1
o
222
PE ϕ+== kk AAE KmmáxP
222
2
1
2
1
== ω,
AAEE KmE cp
222
2
1
2
1
==+= ω
g
L
2T π=
Cinemàtica
Dinàmica i energia
Pèndul simple
xkAkE
22
c
2
1
2
1
−=