12η διάλεξη - Ανάλυση LU, 1η εξέταση προόδου

Γινόμενο Πινάκων

Παραγοντοποίηση LU

Γραμμική ΄Αλγεβρα
1η Εξέταση Προόδου, Ανάλυση LU
Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας

8 Νοεμβρίου 2013

Εξέταση Προόδου




Κάθε στήλη του γινομένου των δύο πινάκων A B ισούται με το
γινόμενο του A με την αντίστοιχη στήλη του B.
 


.
.
.
.
.
.
.
.
. 
.
.   .

···
A · Bστn 
···
Bστn  = A · Bστ1
A · Bστ1
 


.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Κάθε γραμμή του γινομένου των δύο πινάκων A B ισούται με το
γινόμενο της αντίστοιχης γραμμής του A επί τον B.




· · · Aγρ1 · · ·
· · · Aγρ1 · B · · ·




.
.
.
.

·B =

.
.




· · · Aγρn · · ·
· · · Aγρn · B · · ·




Παραγοντοποίηση A = LU

Κάθε τετραγωνικός πίνακας A μπορεί να αναλυθεί
σε γινόμενο ενός κάτω τριγωνικού πίνακα L με
μονάδες στην διαγώνιο και ενός άνω τριγωνικού
πίνακα U.
Ο L έχει τους πολλαπλασιαστές της απαλοιφής
κάτω απο την διαγώνιο
Ο U τα στοιχεία του A όπως αυτά προκύπτουν
μετά την απαλοιφή



Παράδειγμα




−1 −1 1 2
 2
1 −3 6 

A=
 0
0 −1 2 
0
1 −1 4









−1 −1 1 2
−1 −1 1 2


 2
1 −3 6 
 →  0 −1 −1 10 
A=
 0
 0

0 −1 2 
0 −1 2
0
1 −1 4
0
1 −1 4









−1 −1 1 2
−1 −1 1 2


 2
1 −3 6 
 →  0 −1 −1 10 
A=
 0
 0

0 −1 2 
0 −1 2
0
1 −1 4
0
1 −1 4





−1 −1 1 2
 0 −1 −1 10 

→
 0
0 −1 2 
0
0 −2 14








−1 −1 1 2
−1 −1 1 2


 2
1 −3 6 
 →  0 −1 −1 10 
A=
 0
 0

0 −1 2 
0 −1 2
0
1 −1 4
0
1 −1 4




−1 −1 1 2
−1 −1 1 2
 0 −1 −1 10
 0 −1 −1 10 
 →
→
 0
 0
0 −1 2
0 −1 2 
0
0
0 10
0
0 −2 14










A = LU




−1 −1 1 2
 2
1 −3 6 


 0
0 −1 2 
0
1 −1 4










A = LU


1
0
−1 −1 1 2
 2
1 −3 6   −2 1

 =
 0
0
0 −1 2   0
0 −1
0
1 −1 4

0
0
1
2


−1 −1 1 2
0
0   0 −1 −1 10

0 −1 2
0  0
0
0
0 10
1










Επίλυση Συστήματος με Παραγοντοποίηση A = LU

Να λυθεί το Ax αν γνωρίζουμε την LU
παραγοντοποίηση του





Ax = b ⇒ LUx = b ⇒ L(Ux) = b





Ax = b ⇒ LUx = b ⇒ L(Ux) = b
Θέτω y = Ux και έχω Ly = b





Ax = b ⇒ LUx = b ⇒ L(Ux) = b
Λύνω το Ly = b για να υπολογίσω το y





Ax = b ⇒ LUx = b ⇒ L(Ux) = b
Λύνω το Ly = b για να υπολογίσω το y
Λύνω το Ux = y για να υπολογίσω το x






1
−1 −1 1 2
 6
 2

1 −3 6 
x =
Να λυθεί το 
 1
 0
0 −1 2 
4
0
1 −1 4












1
−1 −1 1 2
 6
 2

1 −3 6 
x =
 1
 0
0 −1 2 
4
0
1 −1 4

 

y1
1
0 0 0
 −2 1 0 0   y2  

=
Ly = b ⇒ 
 0
0 1 0   y3  
y4
0 −1 2 1







1
6 

1 
4






1
−1 −1 1 2
 6
 2

1 −3 6 
x =
 1
 0
0 −1 2 
4
0
1 −1 4

 

y1
1
0 0 0
 −2 1 0 0   y2  

=
Ly = b ⇒ 
 0
0 1 0   y3  
y4
0 −1 2 1








1
1
 8
6 
 ⇒y =
 1
1 
10
4











1
−1 −1 1 2
 6
 2

1 −3 6 
x =
 1
 0
0 −1 2 
4
0
1 −1 4

 

y1
1
0 0 0
 −2 1 0 0   y2  

=
Ly = b ⇒ 
 0
0 1 0   y3  
y4
0 −1 2 1





−1 −1 1 2
x1
 0 −1 −1 10   x2

Ux = y ⇒ 
 0
0 −1 2   x3
x4
0
0
0 10









1
1
 8
6 
 ⇒y =
 1
1 
10
4



1
  8 
=

  1 
10











1
−1 −1 1 2
 6
 2

1 −3 6 
x =
 1
 0
0 −1 2 
4
0
1 −1 4

 

y1
1
0 0 0
 −2 1 0 0   y2  

=
Ly = b ⇒ 
 0
0 1 0   y3  
y4
0 −1 2 1





−1 −1 1 2
x1
 0 −1 −1 10   x2

Ux = y ⇒ 
 0
0 −1 2   x3
x4
0
0
0 10









1
1
 8
6 
 ⇒y =
 1
1 
10
4









1
1
  8 
 1
=


  1  ⇒x = 1
10
1









΄Ασκηση




1 0 0
2 2 4
EA = 0 1 π   0 1 −3 =??
0 0 1
−2 7 4




2
2
4
2
2
4
1
−3 
Α) −2π 1 + 7π −3 + 4π  Β)  0
−2
7
4
2π − 2 2π + 7 4π + 4



2 2 4 + 2π
Γ)  0 1 −3 + π 
−2 7 4 + 7π




2
2
4
1
−3 
Δ)  0
−2 π + 7 4 − 3π



΄Ασκηση
Ο αντίστροφος του πίνακα

3
1 3
−2 2
είναι ο
.
2 4
1 −1
2




΄Ασκηση

3
1 3
−2 2
είναι ο
.
2 4
1 −1
2

Ποιά είναι η λύση του συστήματος
2x1 + 4x2 = 2
x1 + 3x2 = 1





΄Ασκηση
3
1 3
−2 2
είναι ο
.
2 4
1 −1
2


2x1 + 4x2 = 2
x1 + 3x2 = 1

Α)

1 2
3 1

Β)

1
0

Γ)

0
3

Δ)

1
2

0
−0 1




΄Ασκηση
3
1 3
−2 2
είναι ο
.
2 4
1 −1
2


2x1 + 4x2 = 2
x1 + 3x2 = 1

Α)

1 2
3 1

Β)

1
0

Γ)

0
3

Δικαιολογήστε την απάντησή σας

Δ)

1
2

0
−0 1




΄Ασκηση
3
1 3
−2 2
είναι ο
.
2 4
1 −1
2


2x1 + 4x2 = 2
x1 + 3x2 = 1

Α)

1 2
3 1

Β)

1
0

Γ)

0
3

Δ)

1
2

0
−0 1

Δικαιολογήστε την απάντησή σας
Απάντηση: Το σύστημα σε μορφή πινάκων
λύση είναι η Β):

−2 3
2
1 −1
2

1
1
=
2
0

1 3
1
x=
άρα
2 4
2



΄Ασκηση

Αποδείξτε ότι για κάθε αντιστρέψιμο πίνακα A για κάθε
πραγματικό αριθμό r = 0 ισχύει
1
(rA)−1 = A−1
r




΄Ασκηση

Αποδείξτε ότι για κάθε αντιστρέψιμο πίνακα A για κάθε
πραγματικό αριθμό r = 0 ισχύει
1
(rA)−1 = A−1
r

1
1
( A−1 )rA = (r ( A−1 ))A = A−1 A = I
r
r




΄Ασκηση

Είναι ο πίνακας


1 2 3
A = 1 2 4
1 2 5
Αντιστρέψιμος;
Α Ναι.
Β ΄Οχι.
Γ ΄Ισως.




΄Ασκηση

Είναι ο πίνακας


1 1 1
B = 2 2 2
3 4 5
αντιστρέψιμος;
Α Ναι.
Β ΄Οχι.
Γ ΄Ισως.




΄Ασκηση
Αν γνωρίζουμε ότι το σύστημα

1 1
2 −1
3 4


 
1
0
0 x = 0
5
0

έχει σαν λύση μόνον την x = 0 τι ισχύει για το σύστημα


 
1 1 1
−1
2 −1 0 x =  7 ?
3 4 5
−3




΄Ασκηση
Αν γνωρίζουμε ότι το σύστημα

1 1
2 −1
3 4


 
1
0
0 x = 0
5
0

έχει σαν λύση μόνον την x = 0 τι ισχύει για το σύστημα


 
1 1 1
−1
2 −1 0 x =  7 ?
3 4 5
−3
Α
Β
Γ
Δ

Υπάρχει τουλάχιστον μία λύση x.
Υπάρχει το πολύ μια λύση x.
Και τα δύο απο τα παραπάνω
Τίποτε απο τα παραπάνω.





΄Ασκηση

Η ισότητα (A + B)T = AT + B T ισχύει
Α Για κάθε ζεύγος n × n πινάκων A και B.
Β Για κανένα ζεύγος n × n πινάκων A και B.
Γ Για μερικά μόνον ζεύγη n × n πινάκων A και B ενώ για
άλλα δεν ισχύει




΄Ασκηση

Η ισότητα (A + B)−1 = A−1 + B −1 ισχύει
Α Για κάθε ζεύγος n × n αντιστρέψιμων πινάκων A και B.
Β Για κανένα ζεύγος n × n αντιστρέψιμων πινάκων A και B.
Γ Για μερικά μόνον ζεύγη n × n αντιστρέψιμων πινάκων A και
B ενώ για άλλα δεν ισχύει

12η διάλεξη - Ανάλυση LU, 1η εξέταση προόδου

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Viewers also liked

Viewers also liked (20)

12η διάλεξη - Ανάλυση LU, 1η εξέταση προόδου