1. Grammik 'Algebra
ParagontopoÐhsh me od ghsh
ParagontopoÐhsh gia summetrikoÔc pÐnakec
Tm ma Hlektrolìgwn Mhqanik¸n kai Mhqanik¸n Upologist¸n
Panepist mio JessalÐac
22 OktwbrÐou 2014

2. ParagontopoÐhsh AÆ PLU
Kˆje tetragwnikìc pÐnakac A mporeÐ na analujeÐ
se ginìmeno enìc pÐnaka antimetˆjeshc P, enìc
kˆtw trigwnikoÔ pÐnaka L me monˆdec sthn diag¸nio
kai enìc ˆnw trigwnikoÔ pÐnaka U.
Ï O P kajorÐzetai apo tic enallagèc gramm¸n pou
apaiteÐ h diadikasÐa thc apaloif c me od ghsh.
Ï O L èqei touc pollaplasiastèc thc apaloif c
kˆtw apo thn diag¸nio.
Ï O U ta stoiqeÐa tou A ìpwc autˆ prokÔptoun
metˆ thn apaloif .

3. Parˆdeigma
AÆ
2
664
0 0 ¡1 2
0 1 ¡1 4
¡1 ¡1 1 2
2 1 ¡3 6
3
775

4. Parˆdeigma
AÆ
2
664
0 0 ¡1 2
0 1 ¡1 4
¡1 ¡1 1 2
2 1 ¡3 6
3
775
!
2
664
¡1 ¡1 1 2
0 1 ¡1 4
0 0 ¡1 2
2 1 ¡3 6
3
775

5. Parˆdeigma
AÆ
2
664
0 0 ¡1 2
0 1 ¡1 4
¡1 ¡1 1 2
2 1 ¡3 6
3
775
!
2
664
¡1 ¡1 1 2
0 1 ¡1 4
0 0 ¡1 2
2 1 ¡3 6
3
775
!
2
664
¡1 ¡1 1 2
0 1 ¡1 4
0 0 ¡1 2
0 ¡1 ¡1 10
3
775

6. Parˆdeigma
AÆ
2
664
0 0 ¡1 2
0 1 ¡1 4
¡1 ¡1 1 2
2 1 ¡3 6
3
775
!
2
664
¡1 ¡1 1 2
0 1 ¡1 4
0 0 ¡1 2
2 1 ¡3 6
3
775
!
2
664
¡1 ¡1 1 2
0 1 ¡1 4
0 0 ¡1 2
0 ¡1 ¡1 10
3
775
!
2
664
¡1 ¡1 1 2
0 1 ¡1 4
0 0 ¡1 2
0 0 ¡2 14
3
775

7. Parˆdeigma
AÆ PLU 2
664
0 0 ¡1 2
0 1 ¡1 4
¡1 ¡1 1 2
2 1 ¡3 6
3
775
Æ

8. Parˆdeigma
AÆ PLU 2
664
0 0 ¡1 2
0 1 ¡1 4
¡1 ¡1 1 2
2 1 ¡3 6
3
775
Æ
2
664
0 0 1 0
0 1 0 0
1 0 0 0
0 0 0 1
3
775
2
664
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
¡2 ¡1 2 1
3
775
2
664
¡1 ¡1 1 2
0 1 ¡1 4
0 0 ¡1 2
0 0 0 10
3
775

9. EpÐlush Sust matoc me ParagontopoÐhsh AÆ PLU
Na lujeÐ to Ax Æ b an gnwrÐzoume thn PLU
paragontopoÐhsh tou

10. EpÐlush Sust matoc me ParagontopoÐhsh AÆ PLU
Na lujeÐ to Ax Æ b an gnwrÐzoume thn PLU
paragontopoÐhsh tou
Ï Ax Æ b)PLUx Æ b)L(Ux) Æ P¡1b

11. EpÐlush Sust matoc me ParagontopoÐhsh AÆ PLU
Na lujeÐ to Ax Æ b an gnwrÐzoume thn PLU
paragontopoÐhsh tou
Ï Ax Æ b)PLUx Æ b)L(Ux) Æ P¡1b
Ï Jètw y Æ Ux kai èqw Ly Æ P¡1b

12. EpÐlush Sust matoc me ParagontopoÐhsh AÆ PLU
Na lujeÐ to Ax Æ b an gnwrÐzoume thn PLU
paragontopoÐhsh tou
Ï Ax Æ b)PLUx Æ b)L(Ux) Æ P¡1b
Ï Jètw y Æ Ux kai èqw Ly Æ P¡1b
Ï LÔnw to Ly Æ P¡1b gia na upologÐsw to y

13. EpÐlush Sust matoc me ParagontopoÐhsh AÆ PLU
Na lujeÐ to Ax Æ b an gnwrÐzoume thn PLU
paragontopoÐhsh tou
Ï Ax Æ b)PLUx Æ b)L(Ux) Æ P¡1b
Ï Jètw y Æ Ux kai èqw Ly Æ P¡1b
Ï LÔnw to Ly Æ P¡1b gia na upologÐsw to y
Ï LÔnw to Ux Æ y gia na upologÐsw to x

14. Parˆdeigma
Qrhsimopoi ste thn anˆlush PLU tou A pou br kate parapˆnw
gia na upologÐste thn lÔsh tou sust matoc
2
6664
0 0 ¡1 2
¡1 ¡1 1 2
2 1 ¡3 6
0 1 ¡1 4
3
7775
x Æ
2
6664
1
1
6
4
3
7775

15. Anˆlush summetrikoÔ pÐnaka se LDLT
Je¸rhma
Kˆje summetrikìc pÐnakac A mporeÐ na analujeÐ sthn morf
AÆ LDLT ìpou
Ï L kˆtw trigwnikìc me monˆdec sthn diag¸nio kai touc
pollaplasiastèc kˆtw apo aut kai
˜U
Ï D diag¸nioc pÐnakac me stoiqeÐa ta odhgˆ stoiqeÐa.
Apìdeixh.
An AÆAT kai AÆ LU)AÆ LDtìte
LD˜U
Æ (LD˜U
)T Æ ˜U
TDLT

16. Anˆlush summetrikoÔ pÐnaka se LDLT
Je¸rhma
Kˆje summetrikìc pÐnakac A mporeÐ na analujeÐ sthn morf
AÆ LDLT ìpou
Ï L kˆtw trigwnikìc me monˆdec sthn diag¸nio kai touc
pollaplasiastèc kˆtw apo aut kai
˜U
Ï D diag¸nioc pÐnakac me stoiqeÐa ta odhgˆ stoiqeÐa.
Apìdeixh.
An AÆAT kai AÆ LU)AÆ LDtìte
LD˜U
Æ (LD˜U
)T Æ ˜U
TDLT
Apo thn monadikìthta thc paragontopoÐhshc LU èqoume
LD Æ ˜U
TD)L Æ ˜U
T ) ˜U
Æ LT

17. 'Askhsh
Je¸rhma
O anˆstrofoc tou ginomènou dÔo pinˆkwn isoÔtai me to
anˆstrofo ginìmeno twn anastrìfwn twn pinˆkwn.

18. 'Askhsh
Je¸rhma
O anˆstrofoc tou ginomènou dÔo pinˆkwn isoÔtai me to
anˆstrofo ginìmeno twn anastrìfwn twn pinˆkwn. Dhlad
(AB)T Æ BTAT

19. 'Askhsh
Je¸rhma
O anˆstrofoc tou ginomènou dÔo pinˆkwn isoÔtai me to
anˆstrofo ginìmeno twn anastrìfwn twn pinˆkwn. Dhlad
(AB)T Æ BTAT
Apìdeixh.
Grˆfoume to stoiqeÐo tou pÐnaka (AB)T sthn jèsh i, j to opoÐo
eÐnai to stoiqeÐo tou pÐnaka AB sthn jèsh j, i to opoÐo isoÔtai me
to eswterikì ginomeno thc j gramm c tou A me thn i st lh tou B
. . .

20. 'Askhsh
Je¸rhma
O antÐstrofoc tou anastrìfou enìc pÐnaka isoÔtai me ton
anˆstrofo tou antistrìfou.
Apìdeixh.
Prèpei na apodeÐxoume ìti
³
AT
´¡1
Æ
³
A¡1
´T