35039799 cours-commande-2009-2010

Département Automatique-Robotique
COMMANDE
COURS
Franck PLESTAN
Année 2009/2010

SOMMAIRE GENERAL
COURS ------------------------------------------------------------------------------------------ 1
EXEMPLES DE SYNTHESES DE CORRECTEURS--------------------------------- 111
Commande SOMMAIRE GENERAL

SOMMAIRE
Chapitre 1: Généralités sur les Systèmes Asservis.................................................... 1
A. Un exemple................................................................................................................ 1
B. Chaîne de commande................................................................................................. 2
1. Chaîne de commande sans amplification de puissance .................................... 2
2. Chaîne de commande avec amplification de puissance.................................... 2
3. Entrées "secondaires" : les perturbations.......................................................... 2
C. Système en boucle fermée ......................................................................................... 2
D. Qualités d'un système asservi.................................................................................... 3
1. Stabilité............................................................................................................. 3
2. Précision............................................................................................................ 4
3. Rapidité............................................................................................................. 4
E. Synthèse d'un asservissement .................................................................................... 4
F. Quelques types de régulateurs ................................................................................... 5
Chapitre 2: Modélisation des systèmes dynamiques linéaires continus.................. 7
A. Comportement d'un système dynamique................................................................... 7
B. Transformée de Laplace ............................................................................................ 9
1. Définition.......................................................................................................... 9
2. Propriétés .......................................................................................................... 10
3. Transformées classiques de Laplace................................................................. 11
C. Fonction de transfert.................................................................................................. 11
1. Définition.......................................................................................................... 11
2. Standardisation de l'écriture des fonctions de transfert .................................... 12
3. Principe de l'analyse des systèmes, entrées typiques........................................ 12
a. Entrées pour analyse temporelle.............................................................. 13
b. Entrée pour une analyse harmonique ...................................................... 13
D. Exemples de fonction de transfert............................................................................. 15
1. Circuit RC......................................................................................................... 15
2. Circuit RLC....................................................................................................... 15
Chapitre 3: Systèmes linéaires continus du premier ordre...................................... 17
A. Processus à constante de temps................................................................................. 17
1. Définition.......................................................................................................... 17
2. Analyse temporelle ........................................................................................... 17
a. Réponse impulsionnelle........................................................................... 17
b. Réponse indicielle ................................................................................... 18
c. Réponse en vitesse................................................................................... 19
3. Analyse harmonique ......................................................................................... 21
a. Représentations de Bode et de Black ...................................................... 21
b. Représentation de Nyquist ...................................................................... 22
4. Conclusions....................................................................................................... 23
B. Un 1er
ordre particulier : l'intégrateur........................................................................ 23
1. Définition.......................................................................................................... 23
Cours de Commande SOMMAIRE

2. Analyse temporelle ........................................................................................... 24
a. Réponse impulsionnelle........................................................................... 24
b. Réponse indicielle ................................................................................... 24
3. Analyse harmonique ......................................................................................... 24
C. Système asservi du 1er
ordre...................................................................................... 25
1. Réponse indicielle............................................................................................. 26
2. Réponse en vitesse............................................................................................ 26
Chapitre 4: Systèmes linéaires continus du second ordre ........................................ 27
A. Définition................................................................................................................... 27
B. Réponse à un échelon - dépassements, temps de réponse......................................... 27
1. Cas n° 1 : ξ > 1................................................................................................. 27
2. Cas n° 2 : ξ = 1 ................................................................................................. 29
3. Cas n°3 : ξ < 1 ................................................................................................. 29
a. Calcul du temps de montée...................................................................... 31
b. Calcul du temps du 1er
maximum............................................................ 31
c. Calcul des dépassements successifs ........................................................ 32
d. Coefficient d'amortissement ξ................................................................. 32
e. Temps de réponse à 5%........................................................................... 33
C. Réponse harmonique ................................................................................................. 33
1. Etude du gain .................................................................................................... 35
a. Pulsation de résonance ............................................................................ 35
b. Facteur de surtension............................................................................... 35
c. Pulsation de coupure................................................................................ 36
2. Etude de la phase .............................................................................................. 36
3. Lieux de Black et de Nyquist............................................................................ 36
4. Conclusions....................................................................................................... 37
D. Système du second ordre bouclé ............................................................................... 37
Chapitre 5: Systèmes de degré quelconque-systèmes à retard ................................ 39
A. Fonction de transfert et forme canonique.................................................................. 39
B. Réponse harmonique, lieux de transferts................................................................... 39
1. Représentation dans le plan de Bode................................................................ 40
2. Représentation dans le plan complexe : lieu de Nyquist .................................. 44
3. Représentation dans le plan de Black ............................................................... 44
4. Caractéristiques de la réponse fréquentielle ..................................................... 45
C. Système à déphasage minimal (ou non-minimal)...................................................... 45
1. Problème ........................................................................................................... 45
2. Définition.......................................................................................................... 45
3. Réponse indicielle d’un système à déphasage non minimal............................. 45
4. Exemple ............................................................................................................ 46
D. Système du second ordre équivalent à un système d’ordre quelconque .................. 49
E. Système à retard......................................................................................................... 50
1. Etude harmonique du retard pur ....................................................................... 50
2. Lieux de transfert.............................................................................................. 51
a. Lieu de Nyquist ....................................................................................... 51
b. Plan de Bode............................................................................................ 51

c. Lieu de Black........................................................................................... 52
Chapitre 6: Systèmes asservis linéaires continus ...................................................... 53
A. Fonction de transfert en boucle fermée..................................................................... 53
1. Introduction....................................................................................................... 53
2. Sensibilité et sensibilité complémentaire.......................................................... 53
a. Sensibilité aux perturbations ................................................................... 53
b. Sensibilité aux erreurs de modèles.......................................................... 54
c. Sensibilité complémentaire...................................................................... 54
B. Réduction des schémas blocs .................................................................................... 54
C. Détermination graphique du lieu de transfert d’un système en boucle fermée ......... 56
1. Transformation transfert de boucle–transfert de sensibilité complémentaire... 56
2. Détermination graphique du lieu de transfert de la sensibilité complé. ........... 57
3. Détermination des paramètres du système en boucle fermée........................... 58
D. Intérêt de la boucle fermée........................................................................................ 60
1. Cas du 1er
ordre................................................................................................. 60
2. Cas d'un intégrateur. ......................................................................................... 61
3. Cas d'un deuxième ordre................................................................................... 61
E. Conclusions................................................................................................................ 61
Chapitre 7: Performances des systèmes linéaires asservis continus........................ 63
STABILITE DES SYSTEMES BOUCLES
A. Définition................................................................................................................... 63
B. Exemples ................................................................................................................... 63
1. Système du 1er
ordre ......................................................................................... 63
2. Système du 2ème
ordre....................................................................................... 63
C. Critères de stabilité d'un système bouclé................................................................... 64
1. Méthodes algébriques ....................................................................................... 65
2. Méthodes graphiques........................................................................................ 68
a. Critère de Nyquist.................................................................................... 68
(1) Théorème de Cauchy.................................................................... 68
(2) Application à l’analyse de la stabilité .......................................... 68
(3) Cas des pôles de L(s) appartenant au contour de Nyquist............ 71
b. Critère du revers...................................................................................... 74
(1) Critère du revers dans le plan de Bode......................................... 76
(2) Critère du revers dans le plan de Black-Nichols.......................... 76
3. Influence du gain statique sur la stabilité ......................................................... 77
D. Degré de stabilité d'un système bouclé ..................................................................... 77
PRECISION STATIQUE DES SYSTEMES ASSERVIS
E. Introduction................................................................................................................ 78
F. Système sans perturbation et entrée variable............................................................. 78
1. Système de classe 0........................................................................................... 79
G. Système avec perturbations seules ............................................................................ 80

PRECISION DYNAMIQUE DES SYSTEMES ASSERVIS
H. Introduction ............................................................................................................... 81
I. Critères de performance.............................................................................................. 82
1. Critère IAE (Integral of Absolute Error) .......................................................... 82
2. Critère ISE (Integral of Square Error) .............................................................. 82
3. Critère ITAE (Time Multiplied by Absolute Error) ......................................... 82
4. Critère ITSE (Time Multiplied by Square Error) ............................................. 83
Chapitre 8: Synthèse de régulateurs dans le domaine fréquentiel .......................... 85
A. Introduction ............................................................................................................... 85
B. Régulateur à action proportionnelle .......................................................................... 86
C. Régulateur à action proportionnelle et dérivée.......................................................... 87
1. Correcteur à action P.D..................................................................................... 87
2. Correcteur à avance de phase ........................................................................... 88
D. Régulateur à action proportionnelle et intégrale ....................................................... 92
1. Correcteur à action P.I. ..................................................................................... 92
2. Correcteur à retard de phase ............................................................................. 94
3. Correcteur à retard de phase ou correcteur P.I. ?.............................................. 95
E. Régulateur à action proportionnelle, intégrale et dérivée.......................................... 95
1. Correcteur à action P.I.D. ................................................................................. 95
2. Correcteur à avance-retard de phase................................................................. 100
F. Conclusion générale................................................................................................... 101
Chapitre 9: Introduction aux techniques de régulation industrielle....................... 103
A.Structures des régulateurs industriels......................................................................... 103
1. Régulateur en cascade....................................................................................... 103
2. Régulateur de tendance..................................................................................... 103
3. Chaîne d’anticipation........................................................................................ 104
B. Méthodes industrielles de synthèse d’un PID ........................................................... 104
1. Méthodes empiriques........................................................................................ 105
a) Méthode de Ziegler-Nichols ................................................................... 105
b) Méthode de Chien-Hrones-Reswick....................................................... 106
2. Réglages après identification du processus ...................................................... 106
a) Modèle non évolutif ................................................................................ 106
b) Modèle évolutif....................................................................................... 106
3. Structure des régulateurs PID ........................................................................... 107
Bibliographie................................................................................................................. 109

I. GENERALITES SUR LES SYSTEMES ASSERVIS
A. UN EXEMPLE
Il y a asservissement d'une grandeur y à une grandeur de consigne yc lorsqu'on force par un
dispositif particulier la grandeur y à suivre au mieux l'évolution de la grandeur yc.
Lorsque la consigne est constante, on parle en général de régulation ; si la constante est
variable dans le temps, on parle de poursuite, ou d’asservissement.
REGULATION DE TEMPERATURE
On considère une douche dont le réglage est assuré par un mitigeur à commande manuelle, et
on s'intéresse à la température de l'eau.
• Réglage de la température à l'extérieur (par exemple, vestiaires sportifs) : la personne se
douchant n'a aucune possibilité d'agir sur la température de l'eau → Commande en boucle
ouverte → il peut y avoir une différence importante entre la température souhaitée
(consigne) et la température réelle.
• Le réglage se fait maintenant par une personne plaçant la main dans le jet de la douche :
cette personne a ainsi une information directe sur la température de l'eau (par une mesure)
et agit alors de façon à diminuer l'erreur entre la température réelle et la consigne.
• Si la douche n'a pas été utilisée récemment, il s'écoule un certain laps de temps entre le
moment où on règle le mitigeur et celui où l'eau arrive à la bonne température. Le retard
dû à la longueur des tuyauteries est un retard pur indépendant de la température de l'eau.
Une deuxième cause de retard correspondant au refroidissement de l'eau chaude dû aux
échanges thermiques avec les tuyauteries froides : ce refroidissement d'abord important
diminue progressivement jusqu'au moment où les tuyauteries se sont réchauffées et où
s'établit un équilibre thermique. On met ici en évidence la notion de constante de temps et
de temps de réponse du système.
• Si, l'équilibre étant atteint, la température est trop chaude ou trop froide, l'utilisateur adapte
son réglage pour atteindre la température souhaitée : on a alors une réaction et mise en
oeuvre d'une commande en boucle fermée.
• Si une autre personne tire de l'eau pendant l'utilisation de la douche, il peut y avoir des cas
de perturbations.
Cours de Commande 1

B. CHAINE DE COMMANDE
1. Chaîne de commande sans amplification de puissance
Ex : Braquage de la roue d'un vélo. L'angle de braquage de la roue est égal à l'angle entre la
position finale et la position de départ.
PROCESSUS
Signal
d'entrée
Signal
de Sortie
→ Transmission directe du signal d'entrée vers la sortie.
2. Chaîne de commande avec amplification de puissance
Ex : Commande d'un four. Le réglage d'un four se fait par l'intermédiaire d'un gradateur qui
va commander un organe permettant de dissiper suffisamment de chaleur.
x
Position du
Potentiomètre
Courant
Potentiomètre i Résistance
Q
Puissance
Calorifique
Four
T
Température
Amplification de puissance
3. Entrées "secondaires" : les perturbations
Ex : Commande d'un four → fuites thermiques.
x
Position du
Potentiomètre
Courant
Potentiomètre i Résistance
Q
Puissance
Calorifique
Four
T
Température
+
-
Q'
En sortie du sommateur, on a alors (Q-Q'). En fait, cela montre bien qu'en boucle ouverte, on
n'est pas du tout sûr d'avoir la température désirée dans le four : la commande en boucle
ouverte n'est donc ni sûre, ni précise.
C. SYSTEME EN BOUCLE FERMEE
Dans le cas général, un système asservi peut être représenté de la manière suivante :
Cours de Commande 2

CAPTEUR
SYSTEME
PROCESSUS
ACTIONNEUR
DETECTEUR
D'ECART
REGULATEUR
Consigne
Entrée du
Système
Sortie du
Système
yc
yu
On distingue :
• Le calcul de l’erreur permet de comparer la valeur de la consigne à la valeur réelle de
la sortie (grandeur à réguler),
• un régulateur qui calcule la commande de façon à ce que le système atteigne
l'objectif fixé,
• un actionneur qui réalise l'interface de puissance,
• un capteur permettant la mesure (ou l'estimation) de la valeur à réguler.
D. QUALITES D'UN SYSTEME ASSERVI
Tous les systèmes asservis ont pour but d'assurer l'égalité (ou au moins la plus petite erreur)
entre la consigne et la sortie. Le cahier des charges de tout système bouclé s'énonce au moins
en 3 points :
STABILITE PRECISION RAPIDITE DE REPONSE
1. Stabilité
Un des risques majeurs de tout système bouclé dans un asservissement est l'oscillation. On
considère le système suivant :
SYSTEME
PROCESSUS
Consigne
yc
y
K
uε
+
−
e
Si K est très grand, une faible erreur e impose une commande u importante. Dans ce cas, la
sortie y peut dépasser la consigne yc, entraînant ainsi une réaction en sens oppose mais toute
aussi importante. Le système peut alors fortement osciller sans jamais trouver une position
d'équilibre.
Cours de Commande 3

2. Précision
Sur la figure précédente, l'écart e mesure la précision du système asservi. Or, puisque la
commande u est déterminée à partir de l'erreur e, il est aisé de voir qu'une loi de commande
du type u = K.e exigera un grand gain pour avoir une erreur e faible (e = u/K). Il faudra alors
trouver un compromis pour le choix du gain afin d'éviter que le système ne devienne instable
(voir précédemment).
3. Rapidité
C'est l'inertie propre du processus qui limite sa rapidité de réponse. On ne peut donc espérer
rendre un processus plus rapide qu'en modifiant son signal de commande u (u grand de façon
à faire réagir très vite le système). Néanmoins, il convient là encore de faire attention à des
dépassements ou des saturations.
ASSERVIR UN SYSTEME CONSISTE A CHERCHER UN REGULATEUR FAISANT
UN COMPROMIS ENTRE RAPIDITE, PRECISION ET STABILITE : CELA
SIGNIFIE QU'IL FAUT BIEN CONNAITRE LE SYSTEME.
E. SYNTHESE D'UN ASSERVISSEMENT
Identification
Modélisation
Choix de la
Commande
Synthèse du
régulateur
Essais
Expérimentaux
Modélisation du processus
Lois physiques ou essais en BO / BF
Continue ? Echantillonnée ?
Quelle stratégie de calcul ?
Choix des paramètres du régulateur
REGLAGE
Validation par simulation et
essais réels
Cours de Commande 4

F. QUELQUES TYPES DE REGULATEURS
On distingue trois grandes classes de régulateurs :
• Analogique : il est réalisé avec des composants analogiques et son signal de sortie
évolue de manière continue avec le temps → système asservi continu.
• Numérique : il est réalisé à partir d'un système programmable et son signal de sortie
est le résultat d'un algorithme de calcul → système asservi échantillonné.
• T.O.R. (Tout ou Rien).
Cours de Commande 5

II. MODELISATION DES SYSTEMES DYNAMIQUES LINEAIRES
CONTINUS
Pour effectuer la commande et le réglage d'un système dynamique, il est important d'en
connaître le comportement, et donc les relations mathématiques existant entre les grandeurs
d'entrées et les grandeurs de sortie : on cherche le modèle mathématique du système.
On peut distinguer deux sortes de modèles :
• Modèle de connaissance. C'est le modèle du physicien qui est obtenu en écrivant
toutes les équations différentielles régissant le fonctionnement du système.
• Modèle de commande. C'est le modèle de l'ingénieur qui n'est qu'un modèle
approché plus simple, mais suffisant pour appréhender le comportement dynamique
du système.
A. COMPORTEMENT D'UN SYSTEME DYNAMIQUE
SYSTEME
e sSortie y
Entrée u
Le but est de déterminer la relation reliant l'entrée de commande u et la sortie y du système.
Définition Un système dynamique linéaire admet une relation entre son entrée u et sa sortie y
de la forme d'une équation différentielle à coefficients constants :
m
m
mi
i
in
n
n
dt
ud
b
dt
dububya
dt
dy
a
dt
yd
a
dt
yd
a ⋅++⋅+⋅=⋅+⋅++⋅++⋅ 1001
(1)
La réalisation physique impose d'avoir m ≤ n, n étant l'ordre du système.
On introduit ci-dessous la notion de régimes transitoire et permanent. On suppose que les
dérivées de l'entrée u(t) n'interviennent pas :
ubya
dt
dy
a
dt
yd
a
dt
yd
a i
i
in
n
n ⋅=⋅+⋅++⋅++⋅ 001
(2)
Solution de l'équation sans second membre (ESSM)
001 =⋅+⋅++⋅++⋅ ya
dt
dy
a
dt
yd
a
dt
yd
a i
i
in
n
n
(3)
Cours de Commande 7

Equation caractéristique
a r a r a r an
n
i
i
⋅ +⋅⋅⋅+ ⋅ +⋅⋅⋅+ ⋅ + =1 0 0 (4)
Comme tous les coefficients sont réels, on a alors n racines réelles ou complexes conjuguées :
a r r r r r rn n n⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅⋅⋅ ⋅ − =−( ) ( ) ( )1 1 0 (5)
Solution de l'ESSM
tr
n
trtr n
eKeKeKty ⋅⋅⋅
⋅++⋅+⋅= 21
211 )(
(6)
où les coefficients Ki sont les constantes d'intégration.
ri réel.
Si ri < 0, alors lorsque t → ∞, → 0 : stable.K ei
r ti
⋅ ⋅
Si ri > 0, alors lorsque t → ∞, → ∞ : instable.K ei
r ti
⋅ ⋅
ri complexe conjugué. Il existe alors une autre racine ri+1 complexe conjuguée. On a
donc :
r j
r j
i i i
i i i i
=
j i
+ ⋅
= + ⋅ = − ⋅+ + +
α ω
α ω α1 1 1 ω
n
(7)
D'où :
K e K e M e ti
r t
i
r t
i
t
i
i i i
⋅ + ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ +⋅
+
⋅ ⋅+
1
1 α
ω φcos( ) (8)
On obtient un terme sinusoïdal modulé en amplitude par un terme exponentiel. Si
αi<0, alors lorsque t → ∞, → 0 : stable. Si αe i tα ⋅
i>0, alors lorsque t → ∞, →
∞ : instable.
e i tα ⋅
∑∑ ==
+⋅⋅⋅+⋅=
⋅⋅
l
i
iii
k
i
i teMeKty
t
i
t
i
r
11
1 )cos()( ϕω
α
avec Mi réel et k l+ ⋅ =2
Conséquences
• Racines réelles uniquement → régime libre apériodique. Stable si racines négatives.
• Racines complexes uniquement → régime oscillatoire (instable). Disparaît si partie réelle
des racines négative.
Solution particulière de l'équation complète (SPEC) (a0 ≠ 0).
Cette solution correspond en fait au régime permanent.
• ')()( 2 KtyKtu =→=
• )sin(')()sin()( 2 ϕωω +⋅⋅=→⋅⋅= tKtytKtu
Cours de Commande 8

→ Le régime permanent a la même forme que l'excitation.
• Tout système (2) a une réponse en sortie composée d'un régime transitoire et d'un régime
permanent.
• Le régime transitoire tend vers 0 si les racines de l'équation caractéristique sont à partie
réelle négative. Dans le cas contraire, le système est instable
La résolution d'équation par cette voie peut être assez vite difficile et fastidieuse. Une façon
de simplifier les calculs est d'utiliser la transformée de Laplace. En fait, la transformée de
Laplace fournit un outil puissant de résolution dans un espace "fréquentiel" de problèmes
posés dans l'espace "temporel" sous forme d'équations différentielles linéaires et à
coefficients constants : elle permet en fait de transformer les équations différentielles en
une simple équation algébrique.
B. TRANSFORMEE DE LAPLACE
1. Définition
Soit f(t) une fonction du temps, définie pour tout t ≥ 0. Soit s une variable complexe. On
appelle Transformée de Laplace de la fonction f(t) la fonction de la variable complexe notée
F(s) telle que :
F s f t e f t dts t
( ) [ ( )] ( )= = ⋅− ⋅
∞
∫L
0
⋅ (9)
L'existence de F(s) suppose bien sûr que l'intégrale converge. Cette transformation est
bijective ; f(t) est dite transformée inverse de F(s) :
f t F s( ) [ ( )]= L-1
(10)
Exemple 1. Calculer la transformée de Laplace de f(t) =1 avec f(0)=0. On obtient alors :
F s e dt
s
e
s
s t s t
( ) [ ]= = − ⋅− ⋅
∞
− ⋅ ∞
∫0
0
1 1
=
⋅
Exemple 2. Calculer la transformée de Laplace de f(t) = t avec f(0)=0.
F s e t dts t
( ) = ⋅− ⋅
∞
∫0
On pose :
u t u
v e v
s
es t s t
= =
= = −− ⋅ − ⋅
'
'
1
1
⋅
On obtient alors :
Cours de Commande 9

F s u v dt u v u v dt
s
e t
s
e d
s s
e
s
s t s t
s t
( ) ' [ ] '
[ ]
[ ]
= ⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅ ⋅
= − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅
= ⋅ − ⋅ =
t
∞
∞
∞
− ⋅ ∞ − ⋅
∞
− ⋅ ∞
∫ ∫
∫
0
0
0
0
0
0 2
1 1
1 1 1
2. Propriétés
• La Transformation de Laplace est une transformation linéaire :
L[ ( ) ( )] ( ) ( )f t f t F s F s1 2 1 2+ = +
L[ ( )] ( )a f t a F s⋅ = ⋅
• La Transformée de Laplace de la dérivée d'une fonction f(t) est égale à :
L[ ] ( ) ( )
df
dt
s F s f= ⋅ − 0
• La Transformée de Laplace de la dérivée seconde d'une fonction f(t) est égale à :
L[ ] ( ) ( ) ( )
d f
dt
s F s s f
df
dt
2
2
2
0 0= ⋅ − ⋅ −
• La Transformée de Laplace de l'intégrale d'une fonction f(t) est égale à :
L[ ( ) ] ( ) ( ) ( )f t dt G s
s
F s
s
g⋅ = = ⋅ + ⋅∫
1 1
0 , avec
dg t
dt
f t
( )
( )=
• Théorème du retard. Soit une fonction f(t) nulle pour t<0 et admettant une transformée
de Laplace F(s). Alors, si on retarde cette fonction d'un temps T, on obtient :
L[ ( )] ( )f t T e F ss T
− = ⋅− ⋅
L− − ⋅
+ = ⋅1
[ ( )] ( )F s a e f ta t
• Théorème de la valeur initiale. lim ( ) lim ( )
t s
f t s F s
→ →∞+
= ⋅
0
• Théorème de la valeur finale. lim ( ) lim ( )
t s
f t s F s
→∞ →
= ⋅
0
Ce dernier théorème est utilisé de manière fréquente dans la suite de ce cours pour
déterminer la valeur de la sortie du système en régime permanent (une fois le régime
transitoire terminé).
Cours de Commande 10

3. Transformées classiques de Laplace
f(t) pour t>0 F(s)
δ(t) 1
1 1
s
t 1
2
s
t
n
n−
−
1
1( )!
1
sn
e a t− ⋅ 1
s a+
t e a t
⋅ − ⋅ 1
2
( )s a+
cos( )ω ⋅t s
s2 2
+ω
sin( )ω ⋅t ω
ωs2 2
+
e ta t− ⋅
⋅ ⋅cos( )ω s a
s a
+
+ +( )2 2
ω
e ta t− ⋅
⋅ ⋅sin( )ω ω
ω( )s a+ +2 2
e ta t− ⋅
⋅ ⋅ +cos( )ω φ ( ) cos sin
( )
s a
s a
+ ⋅ − ⋅
+ +
φ ω φ
ω2 2
C. FONCTION DE TRANSFERT
1. Définition
On considère un système dont toutes les conditions initiales sont nulles (conditions initiales
des fonctions d'entrées et de sorties, ainsi que de leurs dérivées nulles. Dans la suite de ce
cours, sauf précision explicite, cette hypothèse sur les conditions initiales sera toujours vraie).
Le système est donc régi par l’équation :
m
m
mi
i
in
n
n
dt
ud
b
dt
dububya
dt
dy
a
dt
yd
a
dt
yd
a ⋅++⋅+⋅=⋅+⋅++⋅++⋅ 1001 (11)
En appliquant la Transformée de Laplace des dérivées, on obtient (Y(s) (resp. U(s)) représente
la transformée de Laplace de y(t) (resp. u(t))
)()()()()()( 1001 sUsbsUsbsUbsYasYsasYsa
m
m
n
n ⋅⋅++⋅⋅+⋅=⋅+⋅⋅++⋅⋅ (12)

Aussi, on déduit (pour les processus physiques m ≤ n) :
01
1
1
01
1
1
)(
)(
)(
asasasa
bsbsbsb
sU
sY
sF n
n
n
n
m
m
m
m
+⋅++⋅+⋅
+⋅++⋅+⋅
== −
−
−
−
(13)
F(s) est appelée Fonction de Transfert ou Transmittance du système.
H(s)E(s) SU (s)YF(s)
La Fonction de Transfert est l'expression reliant les variations, vis à vis d'un régime initial
ou d'un point de fonctionnement, du signal de sortie par rapport au signal d’entrée.
2. Standardisation de l'écriture des fonctions de transfert
Du fait de l'usage de la fonction de transfert, l'habitude a été prise de présenter les fonctions
de transfert sous forme normalisée. On ne verra ici que la représentation type "Bode". Elle
consiste à mettre en évidence les racines du dénominateur (appelées pôles) et les racines du
numérateur (appelées zéros). On a
n
n
m
m
s
a
as
a
a
s
b
bs
b
b
a
b
sU
sY
sF
⋅++⋅+
⋅++⋅+
⋅==
00
1
00
1
0
0
1
1
)(
)(
)(
Donc, la fonction de transfert peut être écrite sous la forme :
∏ ∏
∏ ∏
= =
= =
⋅+⋅+⋅⋅+
⋅+⋅+⋅⋅+
⋅= k
j
l
j
jjj
p
i
q
j
jji
sbsas
sbsas
KsF
1 1
2
1 1
2
)1()1(
)1()1(
)(
τ
τ
(14)
avec n=k+2l et m=p+2q.
•
0
0
a
bF(0)K == est le gain statique du système.
• Les τi et τj sont les constantes de temps (réelles) du système. Une constante de temps rend
compte de la dynamique d'un système : plus elle est faible, plus le système est rapide.
• Les termes du second ordre doivent être laissés ainsi, s'ils ne sont pas décomposables en
termes avec constantes de temps (regroupant les racines complexes conjuguées).
3. Principe de l'analyse des systèmes, entrées typiques
Le but de l'automaticien est, dans un premier temps, de connaître le système qu'il doit
asservir. Afin de déterminer la fonction de transfert du système, on fait appel soit aux lois de
la physique, soit à des systèmes dont on connaît le comportement pour certaines entrées. Le
but est alors de mettre sur l'entrée du système un signal permettant de tester sa réaction afin
de voir s'il ne se "rapproche" pas de systèmes connus. Comme il n'est pas possible de prévoir

tous les types de situations rencontrés, ni tous les types de signaux d'entrée, on a pris
l'habitude de se référer à certains signaux. Ces derniers correspondent à des situations
rencontrées lors de l'évolution d'un système d'un état à l'autre et concernent donc l'analyse
transitoire du système. Par opposition, l'analyse harmonique permet l'étude de la réponse
du système à une entrée sinusoïdale en fonction de la fréquence.
a) Entrées pour analyse transitoire
• L'impulsion de Dirac (u(t)=δ(t)). La réponse est dite impulsionnelle. L’impulsion de
Dirac est la limite lorsque ∆t tend vers 0 d'un créneau rectangulaire de hauteur de 1/∆t et
de durée ∆t. Sa transformée de Laplace est égale à 1.
• L'échelon unité (u(t)=0, t<0, u(t)=1, t≥0). La réponse est dite réponse indicielle ou
réponse à un échelon de position.
• La fonction rampe (u(t)=0, t<0 ; u(t)=a.t, t≥0). La réponse est dite réponse à une rampe
ou réponse à un échelon de vitesse.
Lors de l'analyse transitoire, on caractérise la rapidité (temps de réponse), la nature plus ou
moins oscillante du système (dépassement ou non), et la précision.
b) Entrée pour analyse harmonique
Si on applique un signal sinusoïdal à un système linéaire, on sait que la réponse est
sinusoïdale (voir précédemment). On montre également qu'une fois le régime transitoire
établi, la sortie est sinusoïdale, de même pulsation que l'entrée, mais d'amplitude et de phase
différente. La fonction de transfert s'écrit alors (avec s = jω, ω étant la pulsation du signal
d’entrée)
01
01
)()(
)()(
)(
ajaja
bjbjb
jF nn
mm
+⋅++⋅
+⋅++⋅
=⋅
ωω
ωω
ω (16)
La représentation pour l'analyse harmonique peut se faire des trois manières différentes mais
équivalentes :
• Plan de Bode. Il représente le gain FdB=20 log[|F(jω)|] et φ=Arg[F(jω)] en fonction
de ω dans un plan semi-logarithmique. (Ci-dessous, représentation d’un système du
premier ordre de gain statique 10 et de constante de temps 0.01 sec.).

• Plan de Black. Il s'agit d’une représentation équivalente à celle de Bode, mais tracée
dans un seul plan, φ=Arg[F(jω)] étant placé en abscisse et FdB=20 log[|F(jω)|] en
ordonnée, chaque point du plan correspondant à une pulsation. Le lieu est donc
gradué en ω croissantes. (Ci-dessous, représentation d’un système du premier ordre
de gain statique 10 et de constante de temps 0.01 sec.).
• Plan de Nyquist. Il s'agit de la représentation graphique paramètrée par ω de l'affixe
de F(jω) . Le lieu est gradué en ω croissantes. (Ci-dessous, représentation d’un
système du premier ordre de gain statique 10 et de constante de temps 0.01 sec.).

L'analyse harmonique permet d'avoir accès aux notions de fréquence de coupure, de gain en
fonction de la fréquence, … , et donc de rapidité et de précision.
D. EXEMPLES DE FONCTION DE TRANSFERT
1. Circuit RC
R
CE S
i
On a les relations suivantes :
∫ ⋅=⇒⋅⋅=+⋅=
dt
tdy
Ctidtti
C
tytytiRtu
)(
)()(1)(),()()(
u(t)
D'où :
)()(
)(
tuty
dt
tdy
CR =+⋅⋅
En supposant le condensateur déchargé à t=0, la passage en transformée de Laplace permet
d'écrire la fonction de transfert du circuit :
sCRsU
sY
sF
⋅⋅+
==
1
1
)(
)(
)(
2. Circuit RLC
R
C
E S
L i
On a les relations suivantes :
dt
tdy
Ctidtti
Cdt
tdi
LtiRtu
)(
)()(1)(
)()( ⋅=→⋅⋅+⋅+⋅= ∫
y(t)
y(t)u(t)

D'où :
)(
)()(
)( 2
2
ty
dt
tdy
CR
dt
tyd
CLtu +⋅⋅+⋅⋅=
En prenant la transformée de Laplace de cette expression, on obtient la fonction de transfert
du circuit :
1
1
)(
)(
)( 2
+⋅⋅+⋅⋅
==
sCRsCLsU
sY
sF

III. SYSTEMES LINEAIRES CONTINUS DU PREMIER ORDRE
A. PROCESSUS A CONSTANTE DE TEMPS
1. Définition
Un système du 1er
ordre à constante du temps est un système régi par l'équation différentielle :
)()(
)(
tuKty
dt
tdy
⋅=+⋅τ
En supposant que les conditions initiales soient nulles, la fonction de transfert de ce type de
système s'écrit :
s
K
sU
sY
sF
⋅+
==
τ1)(
)(
)(
K est le gain statique et τ est la constante de temps (voir par exemple le circuit RC du
chapitre précédent).
2. Analyse temporelle
a) Réponse impulsionnelle
On applique à l'entrée du système une impulsion de Dirac (u(t)=δ(t) - U(s)=1). La sortie Y(s)
du système s'écrit alors :
τττ 1
1
1
)(
+
⋅=
⋅+
=
s
K
s
KsY
La sortie y(t) est obtenue en appliquant la transformée de Laplace inverse :
τ
τ
t
eKty
−
⋅=)(
Exemple. Soit un système décrit par la fonction de transfert
F s
s
( )
.
=
+ ⋅
1
1 01
La réponse impulsionnelle de ce système est décrite par la figure suivante :

K ⋅τ
b) Réponse indicielle
On applique à l'entrée du système un échelon unité (u(t)=1- U(s)=1/s). La sortie Y(s) s'écrit
alors :
)1(
)(
ss
KsY
⋅+⋅
=
τ
A partir de la ré-écriture de cette fonction sous la forme )11()( 1
τ+
−⋅=
ss
KsY , et en appliquant
la transformée de Laplace inverse, on obtient :
)1()( τ
t
eKty
−
−⋅=
La réponse indicielle d’un système du premier ordre est décrite par la figure ci-après. On
caractérise à partir de cette courbe :
• le temps de réponse à 5% tr. Il s'agit du temps que met le système à atteindre l’amplitude
finale à ± 5%. Ici, on a tr = 3τ.
• le temps de montée tm. Il s'agit du temps mis pour que le signal atteigne 90% de
l’amplitude finale. Ici, on a tm=2.3τ.
Il est important de noter que le système atteint 63% de la valeur finale au bout d'un temps
égale à la constante de temps τ. De plus, le gain statique peut être facilement trouvé par la
formule (∆y = y(∞)-y(0) ; ∆u = u(∞) – u(0))
u
y
K
∆
∆
=

Toutes ces remarques montrent que l'identification (c’est à dire la détermination des
paramètres K et τ) d'un système de 1er
ordre peut être faite avec un essai indicielle.
Remarque. Si la constante est faible, alors le temps de réponse est faible et le système est
rapide. Si la constante est élevée, le système est lent.
c) Réponse en vitesse
On applique à l'entrée du système une rampe unitaire (u(t)=t - U(s)=1/s2
). La sortie Y(s)
s'écrit alors :
)1(
)( 2
ss
KsY
⋅+⋅
=
τ
En ré-écrivant la fonction de transfert sous la forme )1()( 12
τ
ττ
+
+−⋅=
sss
KsY , la sortie
y(t) est obtenue en appliquant la transformée de Laplace inverse :

)()( τ
ττ
t
etKty
−
⋅+−⋅=
Exemple. La réponse en vitesse du système F s
s
( )
.
.
=
+ ⋅
15
1 01
est donnée par
L'écart de traînage
augmente
Remarque. La réponse en vitesse du système
s
sF
+
=
1
1)(
est donnée ci-dessous.
τ

On voit que, si K est différent de 1, la sortie ne suit pas : on dit qu'elle "traîne". En effet,
l'écart entre y(t) et u(t) augmente quand t tend vers l’infini. En effet, comme on a
)()( τ
ττ
t
etKty
−
⋅+−⋅= , on obtient
• Si K = 1, τ=−∞→
)()(lim tutyt
• Si K ≠ 1, ∞=−⋅+− −
∞→
tetK t
t
)(lim /τττ
3. Analyse harmonique
On envoie sur l'entrée du système un signal sinusoïdal. On utilise la fonction de transfert :
F j
K
j
c
( )ω
ω
ω
=
+1
avec ω τc = 1 . Le gain et l'argument de cette fonction de transfert s’écrivent :
F j
K
c
( )
( )
ω
ω
ω
=
+1 2 c
ArcjFArg
ω
ωωφ tan)]([ −==
a) Représentations de Bode et de Black
Le gain est exprimé en dB :
))(log(20 ωjFFdB ⋅=
La représentation dans le plan de Bode se fait sur 2 tracés (gain et phase) en fonction de ω.
Dans le plan de Black, on trace le lieu dans le plan [FdB,φ], ce qui impose de le graduer en ω
et de l'orienter.
Exemple. Analyse harmonique d'un système du 1er
ordre (avec K = 10 et τ = 0.01 sec)

Le système est caractérisé par :
• son gain statique K (pour une
pulsation nulle),
• sa pulsation de coupure ωc
(correspondant à un gain égal à
20log10(K)- 3, et à une phase φ = –
45°),
• sa bande passante BP = 2πfc = ωc.
20 log K
20 log K
Un système du 1er
ordre est un filtre passe-bas
b) Représentation de Nyquist
C'est le lieu de l'extrémité du vecteur image du nombre complexe F j( )⋅ω .
ω 0 ωc/2 ωc 2ωc ∞
⎜F(jω)⎜ K 0.89K 0.707K 0.44K 0
φ 0 -26.5° -45° -63.5° -90°
Exemple. Analyse harmonique d'un système du 1er
ordre (avec K = 10 et τ = 0.01 sec)

ω = ∞
ω = 0
ωc
Pour ω ω τ= =c
1 , alors on a Arg[ ( )]F jω = − °45 .
4. Conclusions
Le comportement dynamique d'un système est entièrement décrit par sa constante de temps τ.
La fréquence de coupure d'un système est définie par :
fc =
⋅ ⋅
1
2 π τ
• Un système du 1er
ordre est un filtre passe-bas.
• Un système rapide est un système ayant une large bande passante (faible constante de
temps).
• Une système lent a une bande passante étroite.
B. UN 1ER
ORDRE PARTICULIER : L'INTEGRATEUR
1. Définition
L'intégrateur est régi par l'équation différentielle :
)(
)(
tuK
dt
tdy
⋅=⋅τ
La fonction de transfert est alors déduite en utilisant la Transformée de Laplace :

s
K
sU
sY
sF
⋅
==
τ)(
)(
)(
2. Analyse temporelle
a) Réponse impulsionnelle
On applique à l'entrée du système une impulsion de Dirac (u(t)=δ(t) - U(s)=1). La sortie Y(s)
du système s'écrit alors :
s
KsY
⋅
=
τ
)(
La sortie y(t) est obtenue en appliquant la Transformée de Laplace inverse :
τ
Kty =)(
La réponse est donc un échelon. Le système ne revient pas à son état d'origine.
b) Réponse indicielle
On applique à l'entrée du système un échelon unité (u(t)=1 - U(s)=1/s). La sortie Y(s) s'écrit
alors :
2)(
s
KsY
⋅
=
τ
La sortie y(t) est obtenue en appliquant la transformée de Laplace inverse :
tKty ⋅=
τ
)(
On obtient donc une rampe. Le régime permanent tend vers l'infini : on a donc instabilité.
3. Analyse harmonique
La fonction de transfert est la suivante :
ωτω
ωω
⋅⋅
==
j
K
jU
jY
jF
)(
)(
)(
La figure ci-après présente le tracé de la fonction de transfert ωτ
ω
⋅⋅
=
j
jF 1)( dans le plan
de Bode.

C. SYSTEME ASSERVI DU 1ER
ORDRE
On considère un système du 1er
ordre bouclé. Le retour est composé d'un gain A. Yc est la
consigne.
ε(s)+
-
E )(s K
s1+ ⋅τ
A
S(s)
La fonction de transfert s'écrit :
YUYc
sAK
K
s
KA
s
K
sY
sY
c ⋅+⋅+
=
⋅+
⋅+
⋅+=
τ
τ
τ
1
1
1
1
)(
)(
Après la mise en forme "standart", on obtient alors un système du 1er
ordre de la forme :
s
AK
AK
K
s
K
sU
sY
⋅
+⋅
+
⋅
⋅+
=
⋅+
=
1
1
1
1'1
'
)(
)(
ττ
On a donc :
τ
τ
' =
⋅ +K A 1
K
K
K A
' =
+ ⋅1
Le système bouclé est plus rapide : sa constante de temps est plus faible que celle du
système en boucle ouverte. L'analyse est exactement la même que pour un système en
boucle ouverte.

1. Réponse indicielle
On note ep(t) = yc(t) – Ay(t) (Transformée de Laplace = Ep(s)) avec la consigne égale à un
échelon unitaire, i.e.
s
sYty cc
1)(1)( =→=
On a donc :
)(
'1
')(
'1
'
)(
)(
sY
s
KsY
s
K
sY
sY
c
c
⋅
⋅+
=⇒
⋅+
=
ττ
Aussi, on obtient :
)
'1
'1(1)
'1
'1()()()(
s
AK
ss
AK(s)YsYAsYsE ccp
⋅+
−⋅=
⋅+
−⋅=⋅−=
ττ
On applique le théorème de la valeur finale :
AK
AK
s
AKseste s
p
s
p
t ⋅+
=−=
⋅+
−=⋅= →→∞→ 1
1'1)
'1
'1(lim)]([lim)]([lim 00 τ
2. Réponse en vitesse
On note et(t) = yc(t) – Ay(t) (Transformée de Laplace = Et(s)) avec la consigne égale à une
rampe unitaire, i.e.
2
1)()(
s
sYtty cc =→=
Aussi, on obtient :
)
'1
'1(1)( 2 s
AK
s
sEt
⋅+
−⋅=
τ
On applique le théorème de la valeur finale :
∞=
⋅+
−=⋅= →→∞→
)
'1
'1(1lim)(lim)(lim 00 s
AK
s
sEste s
t
s
t
t τ

IV. SYSTEMES LINEAIRES CONTINUS DU SECOND ORDRE
A. DEFINITION
Un système du 2nd
ordre est décrit par l'équation différentielle suivante :
)()(
)()(
0012
2
2
tubtya
dt
tdy
a
dt
tyd
a ⋅=⋅+⋅+⋅
En supposant que les conditions initiales sont nulles, la transformée de Laplace de ce système
donne :
F s
b
a a
a
s
a
a
s
( ) = ⋅
+ ⋅ + ⋅
0
0 1
0
2
0
2
1
1
On définit alors :
• K
b
a
= 0
0
: gain statique,
• ωn
a
a
=
0
2
: pulsation propre non amortie,
• ξ = ⋅
⋅
a
a a
1
0 2
2
1
: coeff. d'amortissement.
2
2
21
)(
nn
s
s
KsF
ωω
ξ +⋅+
=
N.B. On suppose que les coefficients a0, a1et a2 sont positifs.
B. REPONSE A UN ECHELON - DEPASSEMENTS, TEMPS DE
REPONSE
L'entrée du système u(t) est = 0 pour t ≤ 0 , = 1 pour t > 0 (U(s) = 1/s). En utilisant la
fonction de transfert définie plus haut, on obtient :
)2()
2
1(
)( 22
2
2
2
nn
n
nn
sss
K
sss
KsY
ωωξ
ω
ωω
ξ +⋅⋅+⋅
⋅
=
+⋅+⋅
=
Afin d'étudier la réponse indicielle de ce système, on souhaite factoriser le dénominateur. On
calculer alors le discriminant réduit du dénominateur :
∆' (= ⋅ −ω ξn
2 2
1)
On remarque alors que, si ξ ≥ 1, le dénominateur admet deux racines réelles (ou une racine
double). Par contre, si ξ < 1, le dénominateur admet deux racines complexes conjuguées.
1. Cas n° 1 : ξ > 1
Les deux racines réelles sont de la forme :

s n
n
1
2
1
= − ⋅ +
= ⋅ − + −
ξ ω
ω ξ ξ
∆'
( )
s n
n
2
2
1
= − ⋅ −
= ⋅ − − −
ξ ω
ω ξ ξ
∆'
( )
On obtient alors :
)(
)()(
)(
2121
2
ss
C
ss
B
s
AK
sssss
K
sY n
−
+
−
+⋅=
−⋅−⋅
⋅
=
ω
On identifie les coefficients A, B et C :
A = 1 B
s s s
n
=
⋅ −
ω 2
1 1 2( )
C
s s s
n
=
⋅ −
ω 2
2 2 1( )
La fonction y(t) peut alors s'écrire (à noter que les termes exponentiels sont décroissants étant
donné que les racines s1 et s2 sont strictement négatives) :
)1()( 21 tsts
eCeBKty
⋅⋅
⋅+⋅+⋅=
La Figure ci-dessous représente la réponse indicielle d’un système du second ordre avec K =
1, ωn = 10 rad/s, et différentes valeurs supérieures à 1 pour le coefficient d’amortissement.

2. Cas n° 2 : ξ = 1
La racine réelle double est de la forme s s n1 2= = − ⋅ξ ω < 0. Comme le coefficient
d'amortissement est égal à 1, on a alors s s n1 2= = −ω . Donc, on obtient :
)
)(
(
)(
)( 22
2
nnn
n
s
C
s
B
s
AK
ss
K
sY
ωωω
ω
+
+
+
+⋅=
+⋅
⋅
=
A = 1 B = −1 C n= −ω
La fonction y(t) peut alors s'écrire :
))1(1()1()( +⋅⋅−⋅=⋅⋅−−⋅=
⋅−⋅−⋅−
teKeteKty n
tt
n
t
nnn
ωω
ωωω
1, ωn = 10 rad/s, et ξ = 1.
3. Cas n°3: ξ < 1
Les deux racines complexes conjuguées sont de la forme (à notre que Re(s1)<0 et Re(s2)<0) :
s j
j
n
n
1
2
1
= − ⋅ + ⋅
= ⋅ − + ⋅ −
ξ ω
ω ξ ξ
∆'
( )
s j
j
n
n
2
2
1
= − ⋅ − ⋅
= ⋅ − − ⋅ −
ξ ω
ω ξ ξ
∆'
( )
Au dénominateur, on peut faire apparaître :

( )⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−++
++=
+⋅⋅+⋅
⋅
= 22
2
22
2
1)()2(
)(
ξωξωωωξ
ω
nnnn
n
s
CBs
s
AK
sss
K
sY
A = 1 B = −1 C n= − ⋅2 2
ξ ω
La fonction Y(s) peut alors s'écrire :
)
)1()(
21()( 2
2
2
ξωωξ
ωξ
−⋅+⋅+
⋅+
−⋅=
nn
n
s
s
s
KsY
En utilisant les transformées inverses de Laplace, on en déduit la fonction y(t) (on a donc un
régime oscillatoire amorti) :
)
1
())1cos(
1
1()( 2
2
2
ξ
ξφφξω
ξ
ωξ
−
−=+⋅−⋅⋅
−
−⋅=
⋅⋅−
arctgt
e
Kty n
t
n
1, ωn = 10 rad/s, et différentes valeurs inférieures à 1 pour le coefficient d’amortissement.

a) Calcul du temps de montée
Le temps de montée tm est le temps que met le système à atteindre, pour la 1ère
fois, la valeur
finale K :
s t K
e
t K
e
t
t
t k
n m
n m
t
n m
t
n m
n m
n m
( ) ( cos( ))
cos( )
cos( )
= ⋅ −
−
⋅ ⋅ − ⋅ + =
⇒
−
⋅ ⋅ − ⋅ + =
⇒ ⋅ − ⋅ + =
⇒ ⋅ − ⋅ + = + ⋅
− ⋅ ⋅
− ⋅ ⋅
1
1
1
1
1 0
1 0
1
2
2
2
2
2
2
2
ξ ω
ξ ω
ξ
ω ξ φ
ξ
ω ξ φ
ω ξ φ
ω ξ φ
π
π
y(t)
A chaque valeur k correspond un point d'intersection avec la droite y(t) = K. Le temps de
montée correspond donc au 1er
point d'intersection, i.e. à la valeur k = 0. Donc, on a :
⇒ =
⋅ −
⋅ −tm
n
1
1 22
ω ξ
π
φ( )
b) Calcul du temps du 1er
maximum
Les valeurs de t correspondant aux maxima et aux minima correspondent aux instants pour
lesquels la dérivée de y(t) s'annule. On obtient alors :
ξ ω
ξ
ω ξ φ
ξ
ω ξ ω ξ φ
ξ ω ξ φ ξ ω ξ φ
ω ξ φ
ξ
ξ
φ
ω ξ φ φ π
ξ ω
ξ ω
⋅
−
⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ + +
−
⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ + =
⇒ ⋅ ⋅ − ⋅ + + − ⋅ ⋅ − ⋅ + =
⇒ ⋅ − ⋅ + = −
−
=
⇒ ⋅ − ⋅ + = + ⋅
− ⋅ ⋅
− ⋅ ⋅
n t
n
t
n n
n n
n
n
e t
e
t
t t
t
t k
n
n
1
1
1
1 1
1 1 1 0
1
1
1
2
2
2
2 2
2 2 2
2
2
2
cos( ) sin( )
cos( ) sin( )
tan( ) tan( )
0
⇒ =
⋅
⋅ −
t
k
Max
n
π
ω ξ1 2
Le premier dépassement correspond au 1er
maximum (k=1) :
⇒ =
⋅ −
tMax
n
π
ω ξ1 2

c) Calcul des dépassements successifs
Donc, en notant yk la valeur du k-ième maxima (ou minima), on obtient :
s K
e k
s K
e
k
s K
e
k k
k
k
n
n
k
k
k
k
n
n
= ⋅ −
−
⋅ ⋅ − ⋅
⋅
⋅ −
+
⇒ = ⋅ −
−
⋅ ⋅ +
⇒ = ⋅ −
−
⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅
⋅ ⋅
⋅
⋅ −
− ⋅
⋅
−
− ⋅
⋅
−
( cos(
[ cos( )]
[ (cos( ) cos( ) sin( ) sin( ))]
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
ξ ω
π
ω ξ
ξ
π
ξ
ξ
π
ξ
ξ
ω ξ
π
ω ξ
φ
ξ
π φ
ξ
π φ π φ
)yk
yk
yk
⇒ = ⋅ − − ⋅
−
⋅⋅ −
− ⋅
⋅
−
s K
e
k
k
k
[ ( ) cos( )]1 1
1
2 1
1
2
2
ξ
π
ξ
ξ
φyk
Or, comme cos( )φ = −1 2
ξ , on obtient alors :
])1(1[
2
1
12
ξ
πξ
−
⋅⋅−
−⋅
⋅−−⋅=⇒
k
k
k
eKy
On peut ainsi prédéterminer le niveau de
chacun des dépassements. Le 1er
dépassement
a lieu pour k = 1 :
]1[
2
1
1
ξ
πξ
−
⋅−
+⋅= eKy
Le dépassement relatif est noté X1 et s’écrit :
2
1
1
ξ
πξ
−
⋅−
= eX
d) Coefficient d'amortissement ξ
D'après l'expression des dépassements, on a :

( ) 22
1
1
3
1
2
1
1
2
ln
2
2
ξ
πξ
ξ
πξ
ξ
πξ
−
⋅⋅
=⇒=
−
⋅⋅
−
−
⋅
−
X
X
e
e
X
X
On peut donc déterminer le coefficient d'amortissement d'un système du second ordre à partir
d'un essai indiciel :
)ln4(
ln
2
2
1
2
2
2
1
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+⋅
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=⇒
X
X
X
X
π
ξ
e) Temps de réponse à 5%
Pour déterminer tr, il faut trouver l'instant au bout duquel la réponse indicielle est entrée et
reste dans le canal des 5%. Les équations résultantes de cette affirmation n'étant pas triviales à
résoudre, on utilise alors l'abaque suivant, donnant le facteur d'amortissement ξ en fonction du
produit .nrt ω⋅
On note que le compromis entre temps de réponse faible et dépassement raisonnable se fait
pour un coefficient d'amortissement ξ égal à 0.707. En effet, pour cette valeur, on a :
%32.43 1
=⇒=⋅ Xt rn
ω
C. REPONSE HARMONIQUE
La fonction de transfert harmonique d'un système du second ordre s'écrit :

F j
K
j
j
n n
( )ω
ξ
ω
ω
ω
ω
=
+ ⋅ ⋅ +
⋅⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟1 2
2
On pose
n
w
ω
ω= . On obtient alors
( )2
21
)(
wjwj
KjwF
⋅+⋅⋅+
=
ξ
.
Le module et l'argument de la fonction de transfert s'écrivent alors :
2222
4)1(
)(
ww
KwjF
⋅⋅+−
=⋅
ξ ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
⋅⋅
−=⋅= 2
1
2
))((
w
w
arctgwjFArg
ξφ
On considère maintenant les variations de )( wjF ⋅ , de )(log20 wjF ⋅⋅ et de .))(( wjFArg ⋅
w )( wjF ⋅ ( )wjF ⋅⋅ (log20 ))(( wjFArg ⋅
0 K 20⋅log( )K 0
∞ 0 -∞ -π
Ces données peuvent se résumer par des diagrammes asymptotiques :
♦ Diagramme d'amplitude :
• Pour w < 1, on a une asymptote horizontale en 20⋅log( )K .
• Pour w >1, on a une asymptote à -40dB/décade.
♦ Diagramme de phase :
• En hautes fréquences, on a une asymptote horizontale en 0°.
• En basses fréquences, on a une asymptote horizontale en -180°.

Les 2 asymptotes du diagramme d'amplitude se coupent en ( log( ), )20⋅ K nω . La Figure ci-
avant décrit, dans le plan de Bode, le lieu de transfert d’un système du second ordre avec un
gain statique K = 10, une pulsation propre ωn = 100 rad/s, et différentes valeurs du coefficient
d’amortissement.
1. Etude du gain
On souhaite maintenant savoir la valeur de w pour laquelle on obtient un module maximum.
On calcule la dérivée du module par rapport à w :
2
32222
23
]4)1[(
)21(44)(
ww
ww
dw
wjFd
⋅⋅+−
⋅−⋅⋅−⋅
−=
⋅
ξ
ξ
On a donc un module maximum pour w annulant :
0)21(44
23
=⋅−⋅−⋅ ξww
Une des solutions est w = 0. En posant que , on a alors0>w
2
21 ξ⋅−=w . La condition
d'existence de cette solution est queξ < 0 707. .
a) Pulsation de résonance
On dit alors qu'il y a résonance si ξ < 0.707, la pulsation de résonance étant égale à :
ω ω ξr n= ⋅ − ⋅1 2 2
La pulsation de résonance ωr est inférieure à la pulsation propre non amortie ωn . Ces deux
pulsations deviennent plus proches quand le coefficient d'amortissement diminue, pour être
égales quand ξ = 0 : le système est alors un oscillateur libre.
b) Facteur de surtension (ou de résonance)
Ce facteur permet de quantifier la valeur du "pic" de gain à la fréquence de résonance. On
suppose donc que le coefficient d'amortissement ξ est inférieur à 0.707. La valeur maximum
du gain est atteinte pour la fréquence de résonance, i.e.
2
21 ξ⋅−=w . Donc, on a :
2
12
)(
ξξ −⋅⋅
=⋅ KwjF MAX
On appelle facteur de surtension (ou de résonance) le rapport Q défini par :
)12log(20
12
1)( 2
2
ξξ
ξξ
−⋅⋅⋅−=⇒
−⋅⋅
=
⋅
= dBMAX Q
K
ujF
Q

c) Pulsation de coupure
Il s'agit de la pulsation pour laquelle le gain chute de 3dB par rapport au gain statique (ou une
division par 2 du gain naturel par rapport au gain statique). En posant wc=ωc/ωn, on a alors :
01)12(224)1(
24)1(
2242222
2222
=−−⋅⋅⋅+⇒=⋅⋅+−⇒=
⋅⋅+−
ξξ
ξ
cccc
cc
wwwwK
ww
K
Cette équation a deux solutions réelles en wc
2
. Seule la positive est conservée :
1)12(21
2222
+−⋅+⋅−= ξξcw
Donc, la pulsation de coupure est égale à :
ω ω ξ ξc n= ⋅ − ⋅ + ⋅ − +1 2 2 1 12 2 2
( )
2. Etude de la phase
On a
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
⋅⋅
−=⋅ 2
1
2
))((
w
w
arctgwjFArg
ξ . Pour le diagramme de phase, on a vu précédemment que :
• En hautes fréquences, on a une asymptote horizontale en 0°.
• En basses fréquences, on a une asymptote horizontale en -180°.
• Pour ω ω= n , on a une phase égale à -90°.
Il faut de plus noter que la jonction des 2 asymptotes se fait par l'intermédiaire d'une droite
dont la pente dépend de ξ (voir plan de Bode).
3. Lieux de Black et de Nyquist
La Figure ci-après décrit, dans les plan de Nyquist (gauche) et de Black (droite), le lieu de
transfert d’un système du second ordre avec un gain statique K = 10, une pulsation propre ωn
= 100 rad/s, et différentes valeurs du coefficient d’amortissement.

4. Conclusions
ξ Réponse unitaire Réponse harmonique tr
0.26 Réponse très oscillatoire amortie QdB = 6 dB 10.72/ωn
0.4235 Réponse oscillatoire amortie QdB = 2.3 dB 7.1/ωn
0.43 Réponse oscillatoire amortie QdB = 2.3 dB 5.22/ωn
0.7 Réponse à peine oscillatoire QdB = 0 dB 2.89/ωn
> 0.7 Réponse monotone - 6ξ/ωn
Pour la valeur ξ = 0.43, on réalise le meilleur compromis entre bande passante et temps de
réponse.
D. SYSTEME DU SECOND ORDRE BOUCLE
On considère le système du second ordre avec une fonction de transfert F(s) bouclé par un
retour A :
F(p)
G
+
−
) )Ε(p S(p)YUYc ε(pU
F(s
A
On obtient donc :
)(1
)(
)(
)(
)()()(
sAF
sF
sY
sY
sAYsYsU
c
c
+
=⇒−=
La fonction de transfert du système en boucle fermée s'écrit donc :

2'
2
'2
2
'
21
'
)1()1(
2
1
1
)(
)(
)('
nnnn
c s
s
K
KA
s
s
KA
KA
K
sY
sY
sF
ωω
ξ
ωω
ξ +⋅⋅+
=
⋅+⋅
+⋅
⋅+⋅
⋅
+
⋅+==
Les paramètres du système du second ordre s'écrivent :
KA
KK
⋅+
=
1
' KAnn
⋅+⋅= 1
'
ωω
KA⋅+
=
1
'
ξξ
• Précision dynamique Un système bouclé du second ordre est plus rapide qu'un système en
boucle ouverte.
• Précision statique : calcul de l’écart ep(t) = yc(t) –Ay(t) , avec yc(t) = échelon unitaire
)
)
'
(
'
'21
'1()()()()( 2
nn
ccp
ss
AKsYs- AYsYsE
ωω
ξ +⋅⋅+
−⋅==
⇒
KA
AKsEste p
s
p
t ⋅+
=−=⋅= →∞→ 1
1'1))((lim))((lim 0
Si on considère qu'on a un retour unitaire (A=1), on a alors :
K
tep
t +
=∞→ 1
1))((lim

V. SYSTEMES DE DEGRE QUELCONQUE – SYSTEMES A RETARD
A. FONCTION DE TRANSFERT ET FORME CANONIQUE
Soit un système linéaire ayant la fonction de transfert H(s) défini par
D(s)
N(s)
H(s)=
avec d°(N) = n et d°(D) = m. La forme canonique de ce système s’écrit
F(s)
s
KH(s) c
=
avec K le gain statique, F(0) = 1 et c un entier appelé « classe du système » tel que
c > 0 : c = nombre de pôles à l’origine (nombre d’intégrateurs)
c < 0 : c = nombre de zéros à l’origine (nombre de dérivateurs)
La fonction de transfert de F(s) est défini par
s) ...s)
s) ...τs)τ
T(T(
((
F(s)
21
21
11
11
++
++
=
où TB
iB et τB
jB peuvent être à parties réelles positives ou négatives.
Si Re[TB
iB] > 0 pour tout i, alors H(s) est stable,
S’il existe des TB
iB (ou des τB
jB ) complexes, ils apparaissent par paires conjuguées. Dans
ce cas, on les rassemble dans un terme du second ordre de la forme : )ω
s
ω
sξ(
ii
i 2
2
21 ++ .
L’entier ξB
iB peut être positif, négatif, ou nul. Si ξB
iB > 0 pour tout i, alors H(s) est stable
Pour résumer, la fonction de transfert peut être écrite sous la forme d’un produit de polynôme
d’ordre 0, 1 ou 2 tel que
∏=
=
N
i
i(s)FF(s)
1
avec
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
++
+∈
i
ii
γ
i
βα )
ω
s
iω
s
i(
,)isT(,s,iK(s)iF 2
2
21
1
ξ
et αB
ιB, βB
ιB, γB
ιB entiers relatifs
B. REPONSE HARMONIQUE, LIEUX DE TRANSFERTS
Comme il a été mentionné précédemment, l’analyse harmonique d’un système se fait en
mettant sur l’entrée du système un signal sinusoïdal. En notant u(t) l’entrée du système, on a
t)(ωUu(t) sin1=
Pour la classe de systèmes considérée, une entrée sinusoïdale implique une sortie sinusoïdale,
à savoir

)ωtsin(Yy(t) 1 Φ+=
avec
[ ] ])(jωArg[F)F(jωArgΦ)(jωF)F(jω
U
Y N
i
i
N
i
i ∑==∏==
== 111
1
Les gains étant exprimés habituellement en dB, on obtient
[ ] [ ] ∑==∑=
==
N
i
i
N
i
i )](jωArg[F)F(jωArgΦ)(jωFLogdBF
11
1020
Pour résumer
Le gain en dB du système soumis à une entrée sinusoïdale est égal à la somme des gains en
dB des systèmes élémentaires composants ce système.
La phase du système soumis à une entrée sinusoïdale est égale à la somme des phases des
systèmes élémentaires composants ce système.
1. Représentation dans le plan de Bode
• USous-système proportionnelU F(s) = K > 0
[ ] [ ] °=== 01020 KArgΦKLogdBF
Les courbes d’amplitude et de phase sont :
ω
dB FdB
20logK
0
1 100.1
Φ°
ω0
1 100.1
• USous-systèmeU F(s) = sP
α
P
°×== 90][1020 αΦωLogαdBF
La courbe d’amplitude est une droite de pente 20α dB par décade (ou 6α dB/octave).
La courbe de phase est une horizontale à °×90α
EXEMPLE. Pour α > 0, les courbes d’amplitude et de phase sont :

ω
dB FdB
20α
0
1 100.1
-20α
Φ°
ω0
1 100.1
90α
• USous-systèmeU F(s) = (1+ sT)P
β
P :
[ ]TωAβΦ]Tω[LogβdBF tan11010
22
=+=
Les courbes d’amplitude et de phase se déduisent de celles du premier degré : pour le gain,
pente de [sign(β)20dB] par décade à partir de la pulsation de coupure … (voir Chapitre III).
EXEMPLE. Si β > 0 et T > 0, les courbes d’amplitude et de phase sont
0.1 1 10
0
45β
90β
0
10β
20β
ωT
ωT
dB FdB
Φ°
3β
6β
7β
0.1
1
10
β
REMARQUE . Si T < 0, alors
β
Tjω1+ =
β
Tjω1− : le gain est donc inchangé ; on obtient donc
la même courbe d’amplitude. Par contre, on a T]jωArg[1+ =− T]jωArg[1− : ceci implique
alors une symétrie de la courbe de phase par rapport à l’axe des ω.

• USous-systèmeU
γ
)
ω
s
ω
s(sF 2
2
21)( ++= ξ
Les courbes se déduisent de celles du second degré :
La courbe de gain en dB en fonction de log(ω) a 2 asymptotes (ω est porté en
échelle logarithmique): une asymptote horizontale FB
dBB = 0 quand ω → 0 et une
asymptote oblique de pente 40γ dB par décade (ou 12γ dB/octave) quand ω
→ ∞ . On démontre que ces 2 asymptotes se coupent au point [ω = ωB
nB ; FB
dBB =
0].
La courbe Φ( ω) a 2 asymptotes horizontales : Φ = 0 quand ω → 0 et Φ =
γ x180° quand ω → ∞
UExempleU. Tracer dans le plan de Bode, en utilisant les approximations asymptotiques et
pseudo- asymptotiques, les courbes d’amplitude et de phase de la fonction de transfert :
s)s)(s(
F(s)
5121
10
++
=
UAMPLITUDEU. On trace les amplitudes des 4 termes élémentaires en utilisant les approximations
asymptotiques pour les 2 constantes de Temps .
5s1
1
+ 5s1
1
+
5s1
1
+
0.01 0.1 1 10
-60
-40
-20
0
20
40
60
0.2
34
18
0.5
dB FdB
ω
K=10
1/s
1/1+5s
1/1+2s
La somme des 4 termes élémentaires présente donc une pente de -20dB/décade (-6dB/octave)
entre 0 et 0.2 rd/s, de –40dB/décade (-12dB/octave) entre 0.2 rd/s et 0.5 rd/s, et de –60
dB/décade (-18dB/octave) entre 0.5 rd/s et ∞.

Pour ω = 0.01 rd/s : la somme des 4 termes élémentaires est : 20 + 40 + 0 + 0 = 60
db
Pour ω = 1 rd/s : la somme des 4 termes élémentaires est : 20 + 0 – 6 –14 = 0 db
Pour ω = 0.2 rd/s : l’amplitude est : 40 – 6 = 34 db
Pour ω = 0.5 rd/s : l’amplitude est : 0 + 3x6 = 18 db
Les coordonnées des points caractéristiques peuvent être résumées dans le tableau suivant :
ω 0 0.01 0.2 0.5 10 ∞
|H| ∞ 60 34 18 -60 ∞
UPHASEU. On trace les phases des 4 termes élémentaires en utilisant les approximations pseudo-
asymptotiques pour les 2 constantes de Temps .
0.01 0.1 1 10
-270
-225
-180
-135
-90
-45
0
2
-108
-252
50.02 0.05
K=10
1/s
1/1+2s
1/1+5s
Φ° ω
La somme des 4 termes élémentaires présente donc une horizontale à –90° entre 0 et 0.02
rd/s, une droite de pente de –45°/décade (–13.5°/octave) entre 0.02 rd/s et 0.05 rd/s, de
–90°/décade (–27°/octave) entre 0.5 rd/s et 2 rd/s, de de –45°/décade (–13.5°/octave) entre 2
rd/s et 5 rd/s, enfin une horizontale à –270° entre 5 rd/s et ∞.
Pour ω = 0.05 rd/s : l’amplitude est : -90° –(45° –13.5° –13.5°) = –108°
Pour ω = 0.5 rd/s : l’amplitude est : -270° +(45° –13.5° –13.5°) = –252°
Les coordonnées des points caractéristiques peuvent être résumées dans le tableau suivant :

ω 0 0.02 0.05 2 5 ∞
Arg[H] −90° −90° −108° −252° −270° −270°
2. Représentation dans le plan complexe : lieu de Nyquist
La construction point par point est longue et fastidieuse. On utilise donc, en pratique, les
tracés dans le plan de Bode.
⇒ Variations de F(ω) et Φ(ω)
⇒ Lieu de Nyquist
EXEMPLE.
s)s)(s(
F(s)
5121
10
++
= . Des tracés (pseudo) asymptotiques précédents, on déduit le
tableau des variations suivant :
ω 0 ∞
|F| ∞ 0
Arg[F] -90° - -270°
Quand ω varie de 0 à ∞, on se rapproche de l’origine en tournant dans le sens inverse
trigonométrique de –90° à –270°. Le lieu de Nyquist a donc l’allure suivante :
Re
Im
ω=∞
ω=0
3. Représentation dans le plan de Black
La représentation dans Black est basée sur les mêmes outils que la représentation dans le plan
de Bode. Il s’agit donc d’un outil parfaitement adapté à la représentation fréquentielle de
systèmes d’ordre quelconque (en particulier pour la synthèse des correcteurs - voir chapitres
suivants).

4. Caractéristiques de la réponse fréquentielle
Pour les systèmes de degré quelconque les définitions (Chapitre 2) de pulsation de coupure,
ωB
cB , bande passante, pulsation de résonance, ωB
RB , et coefficient de surtension, Q , restent
valables.
C. SYSTEME A DEPHASAGE MINIMAL (OU NON MINIMAL)
1. Problème
Soit un système linéaire de fonction de transfert F(s) inconnue dont on ne connaît que la
courbe de module )F(jω . Le problème est de déterminer
[ ])F(jωArgΦ(ω) =
REPONSE. Il existe une infinité de systèmes SB
0B, SB
1B, SB
2B, ,… de fonction de transfert FB
0B(s), FB
1B(s),
FB
2B(s),… qui possèdent la même courbe de module )F(jω . Ces systèmes ne différent que par
la présence de facteurs
τ
τ
s1
s-1
(s)D1
+
= τ > 0 ou (et)
2
2
2 2
2
21
21
nn
i
nn
i
ω
s
ω
s
ω
s
ω
s
(s)D
++
+−
=
ξ
ξ
ζ > 0 et ωB
nB > 0
En effet :
1
ωj1
ωj-1
ω)(jD
τ
τ
1 =
+
= et )(ωAω)](jArg[D τtan21 −=
1
21
21
2
2
2
2
2 =
+
−
=
nn
nn
ω
ωj
ω
ω
-
ω
ωj
ω
ω
-
ω)(jD
ξ
ξ
et =ω)](jArg[D2
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
≥−−
≤−
n2
n
2
n
n2
n
2
n
ωω;2
ω/ω-1
ω/ως2
Atan2
ωω;
ω/ω-1
ω/ως2
Atan2
π
Il existe alors un seul système SB
0B, de fonction de transfert FB
0B(s), sans termes déphaseurs tel
que :
)F(jω)(jωF =0 ⇒ ∫
−
=
∞+
∞−
du
ωu
ω)F(jF(ju)-LnLnω(ωΦ
π 220
2)
2. Définition
Un système est à déphasage minimal s’il ne possède pas de zéro à partie réelle positive. Il est
à déphasage non minimal s’il possède un (ou plusieurs) zéro à partie réelle positive.
3. Réponse indicielle d’un système à déphasage non minimal
La réponse indicielle, y(t), d’un système à non minimum de phase possédant un seul zéro à
partie réelle positive (cas le plus fréquent) « démarre dans le mauvais sens ».

0
t
y
t
y
Système SB
0B à minimum de phase Système SB
1B à non minimum de phase
UPreuveU. Le système SB
0B admet pour fonction de transfert
1
10
++
++=
...sa
...sbK(s)F n
n
m
m
avec K > 0 (non
restrictif), et
aB
nB > 0 → le système SB
0 Best supposé stable
bB
mB > 0 → le système SB
0 Best à minimum de phase
Le système SB
1B admet comme fonction de transfert
τ
τ
s
-s(s)F(s)F
+
=
1
101
Pour le système SB
0B, la première dérivée non nulle est positive
dt
dy(0)
> 0 ; ou si
dt
dy(0)
= 0 alors 2
2
dt
y(0)d
> 0 …
En effet, d’après les théorèmes de la dérivée et de la valeur initiale sur la transformée de
Laplace
n
m
n
n
m
mm-n
sm-n
m-n
a
b
K)]
s
1
1...sa
1...sb
Ks(s[lim
dt
y(0)d
=⋅
++
++
=
∞→
> 0
Pour le système SB
1B,B Bla première dérivée non nulle est négative
τ
τ
τ
τ -
a
b
K)]
s
1
s1
s-1
1...sa
1...sb
Ks(s[lim
dt
y(0)d
n
m
n
n
m
mm-n
sm-n
m-n
⋅=⋅
+
⋅
++
++
=
∞→
< 0
4. Exemple
Tracer dans le plan de Bode, en utilisant les approximations asymptotiques et pseudo-
asymptotiques, les courbes d’amplitude et de phase des deux fonctions de transfert
s).s)((
s.(s)F
1011
5010
++
+= et
s).(s
s)s)(.(
(s)F
101)1(
1501
21
++
−+
=
FB
0B(s) est à minimum de phase et FB
1B(s) est à non minimum de phase (un terme déphaseur du
premier ordre)
s
s(s)F(s)F
+
−=
1
101

GAINS. Les courbes d’amplitude des deux fonctions de transfert sont évidemment
identiques. On trace les amplitudes des 3 constantes de Temps en utilisant les approximations
asymptotiques. La somme des 3 termes élémentaires présente donc une horizontale à 0 dB
entre 0 et 1 rd/s, une droite de pente de –20dB/décade (-6dB/octave) entre 1 rd/s et 2 rd/s,
une horizontale à –6 dB entre 2 et 10 rd/s, et une droite de pente de -20dB/décade (-
6dB/octave) entre 10 rd/s et ∞.
PHASES. Les On trace les phases des 3 constantes de Temps en utilisant les approximations
pseudo-asymptotiques. Arg[FB
0B(s)] présente donc une horizontale à 0° entre 0 et 0.1 rd/s, une
droite de pente –45° /décade (–13.5°/octave) entre 0.1 rd/s et 0.2 rd/s, une horizontale à –
13.5° entre 0.2 et 1 rd/s, une droite de pente de –90°/décade (–27°/octave) entre 1 rd/s et 10
rd/s, une horizontale à –58.5° entre 10 et 20 rd/s, une droite de pente –45°/décade (–
13.5°/octave) entre 20 rd/s et 100 rd/s, enfin une horizontale à –90° entre 100 rd/s et ∞. On
trace la phase du terme déphaseur en utilisant les approximations pseudo-asymptotiques.
Arg[FB
1B(s)] présente donc une horizontale à 0° entre 0 et 0.1 rd/s, une droite de pente –135°
/décade (–40.5°/octave) entre 0.1 rd/s et 0.2 rd/s, de –90° /décade (–27°/octave) entre 0.2 et 1
rd/s, de –135° /décade (–40.5°/octave)entre 1 rd/s et 10 rd/s, une horizontale à –238.5° entre
10 et 20 rd/s, une droite de pente –45°/décade (–13.5°/octave) entre 20 rd/s et 100 rd/s, enfin
une horizontale à –270° entre 100 rd/s et ∞.
La phase FB
0B(s) de varie entre 0 et –90° et celle de FB
1B(s) entre 0 et –270°. Le déphasage de
FB
0B(s) de varie donc entre 0 et 90° et celui de FB
1B(s) entre 0 et 270°. Ceci justifie l’appellation
de système à non minimum de phase pour FB
0B(s).
Les courbes d’amplitude et de phase exactes (tracées avec la boîte à outils « commande » de
Matlab) sont données par la figure page suivante. On constate un écart faible avec les
constructions (pseudo) asymptotiques.
Remarque. Les réponses indicielles yB
0B(t) et yB
1B(t) de FB
0B(s) et FB
1B(s) (tracées avec la boîte à
outils « commande » de Matlab) sont les suivantes
0 1 2 3 4 5 6 s
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
y0
y1
t
y1
(t)
y0
(t)

-30
-20
-10
0
10
20
10
-1 1 10 100
-270
-180
-90
0
90
ω
ω
dB F0dB = F1dB
Φ°
1+0.5s
1/1+0.1s
1/1+s
0.1
1+0.5s
1/1+0.1s
1/1+s
1-s/1+s
F0(s)
F1(s)
-6
-103.5
-238.5
-40.5
-13.5
-58.5

D. SYSTEME DU SECOND ORDRE EQUIVALENT A UN
SYSTEME D’ORDRE QUELCONQUE
De nombreux systèmes asservis ou régulés présentent une surtension en régime harmonique,
tout comme les systèmes du second ordre.
DEFINITION. Le système du second ordre équivalent à un système d’ordre quelconque,de
fonction de transfert F(s) est le système du second ordre présentant la même surtension Q, la
même pulsation de résonance ωR et le même gain statique |F(0)|.
Notons F2(s) la fonction de transfert du système du second ordre équivalent
2
2
21
2
nn ω
s
ω
s
K(s)F
++
=
ξ
La différence principale entre les lieux de transfert du système réel et du système équivalent
apparaît principalement en hautes fréquences, c’est à dire pour les pulsations supérieures à la
pulsation de coupure.
ω
ωR ωn
Q
dB F
|F|
|F 2|
Généralement, les réponses temporelles sont relativement voisines l’une de l’autre. Par
exemple, pour les deux réponses indicielles y(t) et y2(t) (réponses du système réel et du
système équivalent), les dépassements X1 et X12 et les instants mis pour atteindre les
dépassements tp et tp2 seront proches. En conséquence, on utilise pour les systèmes de degré
quelconque la relation X1 = X1(Q) calculée pour les systèmes du second degré :
Q (valeur naturelle) →
2
111
2
/Q--
=ξ → )
-
π
(-X 2
1
1
exp
ξ
ξ=
2 2
1
1
[ln( )]
2 ln( )
π X
Q
π X
+
= ⇔ )]1-Q-(Qexp[-πX 2
1 =

Les valeurs numériques les plus utilisées sont
QB
dBB 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8
X1 % 19.9 20.6 21.2 21.8 22.4 23.0 23.6 24.2 24.8 25.4 26.0
E. SYSTEME A RETARD
Un système à retard pur (égal à τ) est défini par y(t) = u(t-τ).
yu
Retard pur τ
D’après le théorème du retard sur la transformée de Laplace, on obtient
U(s)s-eY(s) τ=
Si on compare avec la définition de la fonction de transfert d’un système linéaire :
U(s)F(s)Y(s) ⋅= (conditions initiales nulles).
on pourrait conclure (trop) rapidement que la fonction de transfert du retard pur = τ s’écrit
τseH(s) −= , ce qui n’est pas juste car τs-e n’est pas une fraction rationnelle.
1. Etude harmonique du retard pur
Soit l’entrée de la cellule retard pur, t)(ωUu(t) sin1= . La sortie s’écrit alors
)](t-[ωUy(t) τsin1=
On retrouve donc ici un régime permanent sinusoïdal :
( )Φ+= tYy(t) ωsin1
avec 1
jω-
e
U
Y
1
1
==
τ et ττ ω
jω-
eArg −=⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡=Φ
Par convention on choisit comme diagramme fonctionnel du retard pur
yu τs-e
EXEMPLE. Soit l’asservissement ci dessous dont on désire étudier la stabilité en boucle
fermée.

sT1
s-e
+
τ
La « fonction de transfert » en asservissement est :
D(s)
N(s)
eKsT
eK
F(s)
(s)Y
Y(s)
-sτ
-sτ
C
=
++
==
1
Il est impossible d’appliquer certains critères « classiques » (critère de Routh, par exemple ;
voir chapitres suivants) à la fonction D(s). En effet, D(s) n’est pas un polynôme. Il faut
néanmoins noter qu’il existe une théorie de la stabilité des systèmes à retard.
2. Lieux de transfert
a) Lieu de Nyquist
C’est un cercle centré autour de l’origine, de rayon 1, parcouru une infinité de fois.
π/τ , 4π/τ , …ω= 0, 2
ω= π/2τ , 5π/2τ , …
ω= π/τ , 3π/τ , …
ω= 3π/2τ , 7π/2τ , …
0
Im
Re
b) Plan de Bode
La courbe d’amplitude est une horizontale à 0 db. La courbe de phase décroît de 0° à -∞.
yu
K
yB
C +B
_

-1
-0.5
0
0.5
1
db A
ωτ
ωτ
0.1 1 10
-630
-540
-450
-360
-270
-180
-90
0
Φ°
c) Lieu de Black
C’est une horizontale à 0db, parcourue une infinité de fois de 0° à –360°.
0
db A
Φ°
+
-180°-360°
ω = 0 , 2π/τ , 4π/τ , …
ω = 2π/τ , 4π/τ , …
ω = π/τ , 3π/4τ , 5π/4τ , ...

VI. SYSTEMES ASSERVIS LINEAIRES CONTINUS
A. FONCTION DE TRANSFERT EN BOUCLE FERMEE
1. Introduction
D'une manière générale, un système asservi peut se mettre sous la forme suivante :
yc
Rc(s) C(s)
-
+
+
+
u
eyr
Régulateur ou Correcteur
Gw(s) Actionneur
+ Processus
+ Capteur
w d
F(s) y
On note :
yc la consigne (détermine l’objectif à atteindre),
yr la référence (mise en forme de la consigne, de manière à la comparer à la sortie
mesurée),
e l’erreur (l’objectif est de l’annuler),
u la commande,
w perturbation,
y la sortie.
Les deux blocs composant le régulateur/correcteur sont :
Rc(s) le précompensateur. Ce système a pour rôle de mettre en forme la consigne
suivant différents objectifs (par exemple non-saturation de la commande u en filtrant
la consigne : le précompensateur peut alors être un filtre passe-bas ; annulation de
l’écart statique entre la sortie et la consigne : le précompensateur est alors un gain).
C(s) la loi de commande.
Définition
Consigne
Mesure
Y
Y
c
= = Fonction de transfert en asservissement,
onPerturbati
Mesure
W
Y = = Fonction de transfert en régulation.
2. Sensibilité et sensibilité complémentaire
a) Sensibilité aux perturbations
L’objectif est de quantifier l’influence de la perturbation w sur la sortie y. On suppose que
yc=0. A partir du schéma précédent, la fonction de transfert entre la perturbation d et l’écart e
s’écrit

)(
)()(1
1)( sd
sFsC
se
+
−=
Par définition, on a
La sensibilité S(s) :
)()(1
1)(
sFsC
sS
+
= ,
Le transfert de boucle : L(s) = C(s)F(s) ,
La différence de retour : [1 + L(s)] .
b) Sensibilité aux erreurs de modèles
L’objectif est de quantifier l’influence des erreurs de modèles sur la sortie y. On suppose que
w=0. La fonction de transfert en asservissement est
)()(1
)()()(
)(
sFsC
sRsFsC
sH
Y
Y c
c
+
==
Supposons que la consigne yc soit sinusoïdale, de pulsation ω. La fonction de transfert
précédente s’écrit
)()(1
)()()(
)(
ωω
ωωωω
jFjC
jRjFjC
jH c
+
=
La variation ∆F(jω) sur F(jω) entraîne une variation ∆H(jω). A partir de l’approximation du
premier ordre de ∆H(jω)
F
CF
CRF
dF
dHH c
∆
+
=∆≅∆ 2)1(
,
on obtient
F
F
CFH
H ∆⋅
+
=∆
1
1
La variation relative du lieu de transfert du processus se transmet sur la variation relative du
lieu de transfert en asservissement par l’intermédiaire, à nouveau, de la sensibilité S(s).
c) Sensibilité complémentaire
L’objectif est de minimiser la sensibilité S(s) grâce à un réglage judicieux de C(s). Cette
minimisation revient, d’une façon équivalente, à avoir (1-S) proche de 1. Ainsi, la sensibilité
complémentaire est définie par
L
L
CF
CFsSsT
+
=
+
=−=
11
)(1)(
La fonction de transfert en asservissement s’écrit alors
)()()( sRsTsH c=
B. REDUCTION DES SCHEMAS BLOCS
La représentation des éléments d'un système par leur fonction de transfert permet de les
combiner pour réduire les schémas fonctionnels. Une liste non exhaustive des simplifications
induites par ces réductions est donnée ci-après :

REGLE 1
E(s)
A(s) B(s)
S(s) E(s) S(s)
A(s).B(s)
REGLE 2
E(s)
A(s) +
+-
B(s)
S(s) E(s) S(s)
A(s)-B(s)+
REGLE 3
E(s)
A(s)
S(s) E(s) S(s)
A(s)
S'(s)
S'(s)
A(s)
REGLE 4
E(s)
A(s) +
+
A(s)
S(s)
E'(s)
E(s)
+
+
E'(s)
A(s)
S(s)
REGLE 5
H1(s)+
-
E(s) S(s)
H2(s)
E(s) H1(s)
1+H1(s).H2(s)
-+
REGLE 6
B(s)+
-
E(s) S(s)
C(s)
A(s) B(s)+
-
E(s) S(s)
C(s)
A(s)
A(s)
REGLE 7
A(s)+
-
E(s) S(s)
B(s)
B(s)+
-
E(s)
A(s)
A(s)
S(s)1

C. DETERMINATION GRAPHIQUE DU LIEU DE TRANSFERT
D’UN SYSTEME EN BOUCLE FERMEE
On considère la forme suivante de système bouclé
+
+
-
+
L(s)Rc(s)
y
d
eyryc
L(s) est le transfert de boucle, et les fonctions de transfert en asservissement et en régulation
sont respectivement
)()(
)(1
)(
)( sTsR
sL
sL
sR
Y
Y cc
c
=
+
⋅= , )(
)(1
1 sS
sLD
Y =
+
=
Pour discuter des performances du système bouclé, on pourrait développer le calcul en
recherchant les racines du dénominateur des deux fonctions de transfert précédentes. Mais,
cela est peu intéressant car le calcul serait à refaire à chaque fois qu'on modifierait un
paramètre dans le transfert de boucle (rappel : le transfert de boucle est composé des fonctions
de transfert du correcteur et du système L(s) = C(s)F(s)). On utilise alors une méthode
graphique plus rapide et plus sûre. Le résultat sera utilisé dans le chapitre pour l’analyse des
systèmes.
1. Transformation Transfert de Boucle – Transfert de
sensibilité complémentaire
Dans le but de simplifier l’exposé, on suppose que Rc(s)=1. Donc, la sensibilité
complémentaire s’écrit
)(1
)(
)(
sL
sL
sT
+
=
L’idée est de chercher un moyen simple permettant de passer du lieu de transfert de boucle
L(s) (qui caractérise le système en boucle ouverte) au lieu de transfert de sensibilité
complémentaire T(s) (qui caractérise le système en boucle fermée). On suppose que L(s) est
caractérisé en régime harmonique par :
• un module )(ωLA = dépendant de la pulsation,
• un argument ϕ ω( ) dépendant de la pulsation.
On peut montrer que T(jω) est aussi un complexe dont le module et l'argument dépendent
directement de et deA ϕ ω( ) . En effet, T(jω) est caractérisé en régime harmonique par :
• un module
ϕcos21
2
⋅++
=
AA
AB ,

• un argument )
cos
sin
tan(
ϕ
ϕψ
+
=
A
A .
Démonstration On calcule T(jw) en posant )sin(cos)( ϕϕω ⋅+⋅= jAjL .
FTBF
A j
A j
A j A j A
A A
A
A j A j j A A
A A
A
A j
A A
A
=
⋅ + ⋅
+ ⋅ + ⋅
=
⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅
+ ⋅ + ⋅
= ⋅
+ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅
+ ⋅ + ⋅
= ⋅
+ + ⋅
+ ⋅ +
=
(cos sin )
(cos sin )
(cos sin ) ( cos sin )
( cos ) sin
cos cos sin cos sin sin cos sin
( cos ) sin
cos sin
cos
ϕ ϕ
ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ
ϕ ϕ
ϕ
1
1
1
1
1 2
2 2 2
2 2
2 2 2
2
ϕ
1 2 2
+ ⋅ +
⋅ + + ⋅
A A
A j
cos
[( cos ) sin ]
ϕ
ϕ ϕ
T(jω)
On en déduit alors le module
A
A A
A
A
A A
A A
A
A A
=
+ ⋅ +
⋅ + +
=
+ ⋅ +
⋅ + ⋅ +
=
+ ⋅ +
1 2
1 2
1 2
1 2
2
2 2
2
2
2
cos
( cos ) sin
cos
cos
cos
ϕ
ϕ ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
FTBF|T(jω)|
ainsi que l’argument
ψ
ϕ
ϕ
=
+
arctg
A
[
sin
cos
]
CONCLUSION Pour tout ω, à un point du lieu de transfert de boucle L(jω) de coordonnées
[ A( ), ( )ω ϕ ω ] correspond un point du lieu de transfert de la sensibilité complémentaire T(jω)
de coordonnées [ B( ), ( )ω ψ ω ].
Pour réaliser cette transformation, on utilise l'abaque de Black-Nichols, sur lequel
apparaissent des contours en gain et des contours en phase. Cet abaque réalise la
transformation :
X
X
X
( )
( )
( )
ω
ω
ω
→
+1
2. Détermination graphique du lieu de transfert de la sensibilité
complémentaire

Dans un premier temps, on trace le lieu de transfert de boucle dans le plan de Black-Nichols.
A un point M quelconque de ce lieu correspondant à une pulsation ω, on lit :
• sur les axes, le gain et la phase du transfert de boucle AM et ϕM ,
• les valeurs des contours d'amplitude passant par le point M : ces valeurs correspondent
au gain et à la phase de la sensibilité complémentaire BM et Mψ .
Exemple (voir page suivante). Le tracé noir est le lieu de transfert de boucle tracé point-à-
point. A partir de ce tracé, on en déduit qu’au point M,
Le transfert de boucle (qui caractérise le système en boucle ouverte) a un gain de
8dB et une phase de –100°,
La sensibilité complémentaire (qui caractérise le système en boucle fermée) a un gain
de 0dB et une phase d’environ 23°.
3. Détermination des paramètres du système en boucle fermée
On suppose que le système admet un gain statique K, c’est à dire F(0) = K, et que le
correcteur admet un gain statique KC, c’est à dire C(0) = KC. L’un des paramètres réglables du
correcteur est le gain statique du correcteur. Cela implique alors que le gain statique du
transfert de boucle L(s) est modifiable. Dans le plan de Black, multiplier le gain du correcteur
Kc d’un facteur α > 1 à partir d’un réglage donné revient à translater le lieu de transfert de
boucle verticalement vers le haut de 20 Log10(α). Au contraire, si α < 1, on translate le lieu de
transfert de boucle verticalement vers le bas de -20 Log10(α).
A partir de la lecture du lieu de transfert de la sensibilité complémentaire dans le plan de
Black-Nichols, on peut déterminer :
• la pulsation de résonance de la sensibilité complémentaire (donc, du système en boucle
fermée), correspondant à la pulsation pour laquelle la sensibilité complémentaire a un gain
maximum. Cette pulsation est égale à celle pour laquelle le lieu est le plus proche du point
centrale de l'abaque. Exemple (voir page suivante). La pulsation de résonance du transfert
de boucle est ωR (pulsation pour laquelle le transfert de boucle a un module de gain
maximum, ), alors que la pulsation de résonance de la sensibilité
complémentaire est ω
dBA MAXdB 10=
R’ (pulsation pour laquelle la sensibilité complémentaire a un module
de gain maximum, ). A noter que ωdBB MAXdB 5.6≅ R’> ωR.
• le facteur de résonance de la sensibilité complémentaire. Exemple (voir page suivante). Le
facteur de résonance du transfert de boucle est égal à QLdB = 5 dB (Gain statique = 5 dB,
Gain max = 10 dB), alors que le facteur de résonance de la sensibilité complémentaire est
égal à QTdB = 10.5 dB (Gain statique = -4 dB, Gain Max = 6.5 dB).
On peut ainsi déduire :
• le coefficient d'amortissement du système du second degré équivalent à la sensibilité
complémentaire à partir de
2
12
1
ξξ −⋅
=TdBQ

ABAQUE DE BLACK-NICHOLS

• la pulsation propre non amortie du système du second degré équivalent à la sensibilité
complémentaire à partir de
2
'
1 ξ
ωω
−
= R
Tn
A partir de ces informations, on est capable de déduire les valeurs du premier dépassement X1,
du temps de montée tm, du temps du 1er
pic tpic et du temps de réponse tr de la sensibilité
complémentaire, donc du système bouclé.
Enfin, on peut déduire la pulsation de coupure de la sensibilité complémentaire (et donc du
système en boucle fermée) : on rappelle qu’il s'agit de la pulsation correspondant à
l'intersection du lieu de transfert de la sensibilité complémentaire avec le contour d'amplitude
(Gain Statique - 3 dB). Exemple (voir page suivante). La pulsation de coupure du transfert de
boucle est la pulsation pour laquelle le module du transfert de boucle est égal à 2 dB (Gain
statique du transfert de boucle = 5 dB), alors que la pulsation de résonance de la sensibilité
complémentaire est la pulsation pour laquelle le module de la sensibilité complémentaire est
égal à –7 dB (Gain statique du transfert de boucle = -4 dB). Il apparaît clairement que, pour
cet exemple, la pulsation de coupure de la sensibilité complémentaire est supérieure à celle du
transfert de boucle : cela signifie que le système en boucle fermée a une bande passante plus
large que celle du système en boucle ouverte. Le système en boucle fermée sera donc plus
rapide, mais également plus sensible aux bruits.
D. INTERET DE LA BOUCLE FERMEE
Dans toute cette partie, on suppose que le système est bouclé de la manière suivante
L(s)
y
eyc
+
-
1. Cas du 1er
ordre
Soit un système défini par un transfert de boucle L(s)(on suppose K > 0)
s
KsL
⋅+
=
τ1
)(
On boucle le système avec un retour unitaire. La sensibilité complémentaire (caractérisant la
fonction de transfert en boucle fermée) s’écrit
s
K
K
K
sL
sL
Y
Y
c ⋅
+
+
+=
+
=
1
1
1
)(1
)(
τ
• Le gain statique de la sensibilité complémentaire est K / ( K+1 ), est donc inférieur à 1, et
tend vers 1 quand K tend vers l’infini: pour avoir une bonne précision, il faut donc
augmenter le gain K de façon à obtenir, après le régime transitoire, Y = Yc.

• La constante de temps de la sensibilité complémentaire τ’ = τ / (K+1) est plus faible que la
constante de temps du système en boucle ouverte. Le système en boucle fermée est donc
plus rapide qu’en boucle ouverte.
2. Cas d'un intégrateur
On considère un système dont le transfert de boucle s'écrit (K > 0)
s
KsL
⋅
=
τ
)(
On boucle le système avec un retour unitaire. La sensibilité complémentaire (caractérisant la
fonction de transfert en boucle fermée) s’écrit
s
K
sL
sL
Y
Y
c ⋅+
=
+
=
τ1
1
)(1
)(
• Le gain statique de la sensibilité complémentaire est égal à 1 : il n'y a donc pas d'écart
entre la consigne Yc et la sortie Y.
• Si l'entrée est impulsionnelle, la sortie Y est de nature exponentielle décroissante, puis
revient au repos : l'effet déstabilisateur de l'intégrateur est supprimé.
3. Cas d'un deuxième ordre
On considère un système dont le transfert de boucle s'écrit (K > 0)
2
)(21
)(
nn
ss
KsL
ωω
ξ ++
=
On boucle le système avec un retour unitaire. La sensibilité complémentaire s’écrit
22
)
'
(
'
'21
'
)(21
nnnn
c ss
K
ssK
K
Y
Y
ωω
ξ
ωω
ξ ++
=
+++
=
• Le gain statique de la sensibilité complémentaire est égal à K
K
K
'=
+1
. Le gain statique est
donc inférieur à 1, et tend vers 1 si K augmente.
• La pulsation propre non amortie de la sensibilité complémentaire est égale à
ω ωn n K'
= ⋅ +1 . La bande passante augmente : le système est alors plus rapide.
• Le coefficient d'amortissement de la sensibilité complémentaire est égal à
1
'
+
=
K
ξξ .
Le coefficient d'amortissement diminue donc : ceci est particulièrement intéressant pour le
cas des systèmes rapides.
E. CONCLUSIONS
Boucler un système par un retour proportionnel
• conserve l'ordre du système,

• améliore la précision statique, d'autant plus que le gain en boucle ouverte est élevé ; si, de
plus, le système contient un intégrateur, le gain statique est égal à 1 (en boucle fermée),
• augmente la bande passante.

VII. PERFORMANCES DE SYSTEMES ASSERVIS LINEAIRES
CONTINUS
STABILITE DES SYSTEMES BOUCLES
A. DEFINITION
Un système est dit STABLE si, au repos et excité par une impulsion de Dirac, il revient en un
temps fini à sa position de repos. Il est instable dans le cas contraire. On considère un système
de fonction de transfert F(s) excité par une impulsion de Dirac (u(t) = δ(t) - U(s) = 1) :
)()()()( sFsUsFsY =⋅=
Or, toutes le fonctions de transfert peuvent être décomposées en la somme de fractions
"simples" du 1er
et du 2nd
ordre :
∑∑
+⋅+
+⋅+
−
=
j
njnj
j
jj
i i
i
ss
CsB
ss
AsF
2
)(
2
1
)(
ωω
ξ
avec i j n+ =2 (ordre du système). On peut donc déduire la forme de y(t) :
)cos()( jj
ta
j
j
i
ts
i teAeAty
ji
φω +⋅⋅⋅+⋅=
⋅⋅
∑∑
THEOREME Un système linéaire continu n'est stable que si tous les pôles de sa fonction de
transfert sont à partie réelle négative (si < 0), donc s'ils sont situés dans le ½ plan gauche de la
variable s.
B. EXEMPLES
1. Système du 1er
ordre
On a F s
K
s
( ) =
+ ⋅1 τ
. Donc, la transformée de Laplace de la sortie s'écrit :
s
KsU
s
KsY
⋅+
=⋅
⋅+
=
ττ 1
)(
1
)(
en supposant que l'entrée est une impulsion de Dirac. Donc, la sortie y(t) s'écrit :
τ
τ
t
eKty
−
⋅=)(
2. Système du 2ème
ordre
On a
2
)(21
)(
nn
ss
KsF
ωω
ξ +⋅+
= . Donc, la transformée de Laplace de la variable de sortie s'écrit :

22
)(21
)(
)(21
)(
nnnn
ss
KsU
ss
KsY
ωω
ξ
ωω
ξ +⋅+
=⋅
+⋅+
=
en supposant que l'entrée est une impulsion de Dirac. Si le coefficient d'amortissement est
supérieur ou égal à 1, alors la réponse ne présente pas d'oscillations. Sinon, la réponse est
oscillante.
C. CRITERES DE STABILITE D'UN SYSTEME BOUCLE
On considère le système bouclé suivant :
Rc(s)
yc
L(s)
+
e
d
+ yyr +
-
Ce système est décrit par les fonctions de transfert suivantes
Transfert de boucle : L(s),
Fonction de transfert en asservissement : TR
L
LR
Y
Y cc
c
=
+
=
1
Fonction de transfert en régulation : S
LD
Y =
+
=
1
1
On rappelle que S(s) est la sensibilité, T(s) la sensibilité complémentaire, [1+L(s)] la
différence de retour et Rc(s) le précompensateur. Si on suppose que Rc(s) est une fonction de
transfert stable (on rappelle que le précompensateur est réglé par l’utilisateur, qui peut
(doit ?) le rendre donc stable), la fonction de transfert en asservissement est stable si la
fonction de transfert T(s) est stable. T(s) (et donc le système en boucle fermée) est stable si
les pôles de T(s) sont à partie réelle négative. Or, ces pôles sont les racines de l'équation
suivante :
0)(1 =+ sL (EQUATION CARACTERISTIQUE DU SYSTEME EN BOUCLE FERMEE)
Donc, étant donné la forme de la fonction de transfert de régulation, la condition de stabilité
de cette dernière est la même que la stabilité de la fonction de transfert en asservissement.
L’analyse de la stabilité du système en boucle fermée (que ce soit en asservissement ou en
régulation) revient donc à étudier les racines de l’équation 1 + L(s) = 0.
Dans le but d’analyser la stabilité du système en boucle fermée, il est nécessaire de
déterminer de façon "simple" les racines de cette équation. Pour cela, deux types d'approches
sont possibles :
• Méthodes ALGEBRIQUES,
• Méthodes GRAPHIQUES.

1. Méthodes algébriques
Ces méthodes permettent, en étudiant les coefficients de l'équation caractéristique (Méthode
de ROUTH) ou les racines de l'équation caractéristique (Méthode de MIKAÏLOV), de
conclure rapidement sur la stabilité du système en boucle fermée.
• CRITERE DE ROUTH
Ce critère permet de connaître le nombre de racines à partie réelle positive d’une équation du
type
0)( 01
1
1 bsbsbsbsP n
n
n
n =++++= −
−
sans la résoudre. Pour cela, on construit le tableau dont les deux premières lignes sont
bn bn-2 bn-4 bn-6
bn-1 bn-3 bn-5
Pour les cases correspondant à Les éléments Ai,j des lignes suivantes sont calculés à partir des
éléments des lignes précédentes
Ai-2,1 Ai-2,2 … … Ai-2,j+1 ← Ligne i-2
Ai-1,1 Ai-1,2 … … Ai-1,j+1 ← Ligne i-1
Ai,1 Ai,2 … Ai,j Ai,j+1
↑
Colonne 1
↑
Colonne 2
↑
Colonne j
↑
Colonne j+1
Le terme Ai,j est défini par
1,1
1,11,2
1,2,
−
+−−
+−
×
−=
i
jii
jiji
A
AA
AA
Le calcul s’arrête lorsque le terme de la première colonne est nul.
Le nombre de changements de signe dans la première colonne du tableau ainsi rempli est égal
au nombre de racines à partie réelle positive.
EXEMPLE 1. Soit l’équation
64)( 2 ++−= ssssP 3
On obtient le tableau suivant
1 1 0 0
-4 6 0 0
5/2 = 1 – 1×6/(-4) 0 = 0 – 1×0/(-4) 0
6 = 6 – (-4)×0/(5/2) 0 = 0 - (-4)×0/(5/2)
0
La première colonne présente 2 changements de signe : on peut donc en conclure que le
polynôme P(s) a deux racines à partie réelle positive. Cela se vérifie en le résolvant, ses
racines étant –1, +2 et +3.

EXEMPLE 2. Soit l’équation
1
2
1
2
1)( 2 +++= ssssP 3
On obtient le tableau suivant
1 1/2 0
1/2 1 0
-3/2 0
1 0
0
La première colonne présente 2 changements de signe : on peut donc en conclure que le
polynôme P(s) a deux racines à partie réelle positive. Cela se vérifie en le résolvant, ses
racines étant –1 et 4/154/1 ± .
• CRITERE DE MIKAÏLOV
L'équation caractéristique s'écrit
)()()(1 ωω BjAsL ⋅+≡+
A(ω) étant la partie réelle, et B(ω) la partie imaginaire. Il est important de remarquer qu'on
travaille désormais en harmonique. Le critère de Mikaïlov s'énonce de la manière suivante :
Un système en boucle fermée est stable si les racines des 2 polynômes A(ω) et B(ω) sont
strictement distinctes et régulièrement alternées sur l'axe des abscisses.
EXEMPLE 1. Soit un système dont le transfert de boucle est donné par :
)1.01()1(
4)(
sss
sL
⋅+⋅+⋅
=
On étudie alors la structure intrinsèque de l'équation caractéristique :
1 1
4
1 1 01
4 1 1 01
1 1 01
4 11 01
1 1 01
2 3
+ ⋅ = +
⋅ + ⋅ + ⋅
=
+ ⋅ + ⋅ + ⋅
⋅ + ⋅ + ⋅
=
+ + ⋅ + ⋅
⋅ + ⋅ + ⋅
R s F s
s s s
s s
s s s
s s s
s s s
( ) (
s
)
( ) ( . )
( ) ( . )
( ) ( . )
. .
( ) ( . )
1+L(s)
Les racines de l'équation caractéristique sont donc déterminées en résolvant l'équation :
01 11 4 03 2
. .⋅ + ⋅ + + =s s s
En remplaçant la variable complexe s par la variable jω, et en séparant explicitement la partie
réelle et la partie imaginaire de l'équation caractéristique, on a :
( . ) ( . )4 11 01 03
− ⋅ + ⋅ − ⋅ =ω ω ωj
⇒ = − ⋅ = − ⋅A B( ) . , ( ) .ω ω ω ω4 11 012 3
ω

ω étant une pulsation, la variable est donc considérée positive. A(ω) admet comme racine ω1
= 1.9 rad/s (= 4 11/ . ), et B(ω) ω2 = 0 rad/s et ω3 = 10 rad/s.
Re
Im
ω2
ω1
ω3
Les racines des parties réelles et imaginaires étant distinctes et régulièrement alternées, on
peut alors conclure que le système en boucle fermée est stable.
EXEMPLE 2. Soit un système dont le transfert de boucle est donné par :
)1.01()1(
)(
sss
KsL
⋅+⋅+⋅
=
On étudie alors la structure intrinsèque de l'équation caractéristique :
1 1
1 1 01
1 1 01
1 1 01
11 01
1 1 01
2 3
+ ⋅ = +
⋅ + ⋅ + ⋅
=
+ ⋅ + ⋅ + ⋅
⋅ + ⋅ + ⋅
=
+ + ⋅ + ⋅
⋅ + ⋅ + ⋅
R s F s
K
s s s
K s s s
s s s
K s s s
s s s
( ) ( )
( ) ( . )
( ) ( .
( ) ( . )
. .
( ) ( . )
)
1+L(s)
Les racines de l'équation caractéristique sont donc déterminées en résolvant l'équation :
01 11 03 2
. .⋅ + ⋅ + + =s s s K
En remplaçant la variable complexe s par la variable jω, et en séparant explicitement la partie
réelle et la partie imaginaire de l'équation caractéristique, on a :
( . ) ( . )K j− ⋅ + ⋅ − ⋅ =11 01 03
ω ω ω
⇒ = − ⋅ = − ⋅A K B( ) . , ( ) .ω ω ω ω11 012 3
ω
ω étant une pulsation, la variable est donc considérée positive. A(ω) admet comme racine
ω1 11= K / . rad/s, et B(ω) ω2 = 0 rad/s et ω3 = 10 rad/s.
Le système est stable en boucle fermée si :
] [
] [
ω ω ω
ω ω
1 2 3
2 311
0 11
0 11
0 11
∈
⇒ ∈
⇒ < <
⇒ < <
⇒
10
< <
,
/ . ,
/ .
K
K
K
K

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