Fet per R.Brufau

1. EXPRESSIONS DE LA RECTA ¡Tots som trilobits!

2. Només amb un punt qualsevol de la recta i un vector director, en tenim suficient per a trobar totes les equacions de la recta. Veiem el procés a continuació: P(x,y) = (a,b) Vector director Punt cartesià

3. Ens donen les següents dades: El punt P(2,1) I el vector director = (1,2) Veiem la representació gràfica d’aquestes dades:

4. Component vertical del vector director Component horitzontal del vector director

5. En primer lloc, trobarem l’equació vectorial de la recta: Només substituint els valors que ens han donat en l’equació, en tenim suficient per a trobar-la: Coeficient lambda per a trobar infinits punts Component x d’un del punt P de la recta Component y d’un del punt P de la recta Component horitzontal del vector director Component vertical del vector director Coordenades del punt a determinar

6. L’equació vectorial: P(2,1) = (1,2) Eq. vectorial (x,y) = (2,1) + 𝛌(1,2)

7. A partir de l’equació vectorial, podem trobar totes les altres fent algunes modificacions matemàtiques. Veiem-les a continuació:

8. De la vectorial, passem a les paramètriques: Eqs. paramètriques *Podem fer això ja que en la vectorial, els components x i y no estan relacionats directament per cap operació matemàtica i per tant podem separar la vectorial en els paràmetres que modifiquen els components horitzontals i verticals.

9. Passem de la vectorial a les paramètriques: * Si ho pensem, podem substituir els valors de les coordenades de P i dels components del vector director en les paramètriques sense passar per la vectorial.

10. Hem de trobar una manera de relacionar ambdós paràmetres entre si; Per a fer això, tenim l’equació contínua. Veiem com funciona i com la podem trobar:

11. De les paramètriques a la contínua: Encara que les paramètriques siguin dues equacions separades, les podem relacionar a través de λja que en ambdues equacions ha de tenir el mateix valor per a obtenir un punt real de la recta:

12. L’equació contínua: Tot veien el procediment anterior, podem afirmar el següent: I per tant: Doncs bé, aquesta és l’equació contínua!

13. La contínua Si ho pensem bé, no fa falta passar per la vectorial ni la paramètrica per a trobar les altres equacions de la recta ja que directament podem substituir les coordenades del punt P i els components del vector director en aquesta equació: Component x d’un del punt P de la recta Component y d’un del punt P de la recta Component horitzontal del vector director Component vertical del vector director

14. Aquí tenim l’equació contínua de la nostra recta: Eq. contínua

15. El següent pas, consisteix a igualar a 0 la contínua. L’equació resultant, es coneix com a general o implícita.

16. De la contínua a la general Un cop hem arribat aquí, hem d’establir unes pautes per a poder continuar:

17. Equació general o implícita Seguint les pautes abans citades, arribem a l’equació general: I tot seguint-les, arribem a l’equació general de la nostra recta: Eq. general

18. Parem un moment i examinem les propietats d’aquesta equació: Ens permet estudiar la posició relativa entre rectes: Condició d’igualtat Condició de paral·lelitzat Condició de tall en el pla Condició de perpendicularitat

19. Propietats de l’equació general: Ens permet saber quin angle forma amb l’horitzontal: Ens permet trobar el vector director de la recta i el vector director de la recta que li és perpendicular: Angle amb l’horitzontal Vector director de la recta Vector director de la recta perpendicular

20. Per últim, podem trobar distàncies amb aquesta equació i una fórmula ben simple: Distància punt-recta: Distància recta-recta: Estudiem la posició relativa de les rectes i si són paral·leles, trobem un punt qualsevol d’una d’elles i utilitzem la fòrmula punt-recta. Coordenades del punt Propietats de l’equació general: Coeficients de l’equació general de la recta

21. De la general a l’explícita: A continuació, aïllarem la y tot trobant l’equació explícita de la recta: Un cop hem arribat aquí, establim unes igualtats:

22. Equació explícita: I finalment, obtenim l’equació explícita: On m representa el pendent de la recta i n l’ordenada a l’origen*. Eq. explícita * Valor d’y quan x = 0; Punt de tall amb l’eix vertical

23. De nou, aquesta d’aquesta equació, podem trobar algunes propietats: Ens permet estudiar la posició relativa entre dues rectes: I conèixer l’angle d’inclinació de la recta: Condició de paral·lelitzat Condició de perpendicularitat Angle amb l’horitzontal

24. L’expressió punt-pendent d ela recta: Partint de la contínua i fent petites modificacions, arribem a l’expressió punt-pendent: Un cop hem arribat aquí, hem d’establir una igualtat: Expressió punt-pendent

25. De la general a la canònica: Quan A, B i C ≠ 0 podem dur a terme el següent procés: Un cop hem arribat aquí, hem d’establir les següents igualtats: p = Abcisa a l’origen (valor d’x quan y = 0 o punt de tall amb l’eix horitzontal) n = ordenada a l’origen Eq. explícita

27. + ∞ Fins aquí el treball, ara us deixo que m’han dit que si segueixo escalant per aquesta recta, arribaré a l’infinit. y = 2x - 3 - ∞