Ap trigonometria numeros complexo

Universidade do Sul de Santa Catarina

Trigonometria e
Números Complexos
Disciplina na modalidade a distância

Palhoça
UnisulVirtual
2007

Créditos
Unisul - Universidade do Sul de Santa Catarina
UnisulVirtual - Educação Superior a Distância

Campus UnisulVirtual Diva Marília Flemming Monitoria e Suporte Equipe Didático-
Rua João Pereira dos Santos, 303 Itamar Pedro Bevilaqua Rafael da Cunha Lara pedagógica
Palhoça - SC - 88130-475 Janete Elza Felisbino (Coordenador)
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com o Mercado Lamuniê Souza
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Coordenação dos Cursos
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Aloísio José Rodrigues Ricardo Alexandre Bianchini
Ana Luisa Mülbert Jeferson Cassiano Almeida da
Costa (Coordenador) Rodrigo de Barcelos Martins
Ana Paula Reusing Pacheco
Cátia Melissa S. Rodrigues Eduardo Kraus
(Auxiliar)
Charles Cesconetto

Apresentação

Este livro didático corresponde à disciplina Trigonometria e
Números Complexos.

O material foi elaborado visando a uma aprendizagem autônoma,
abordando conteúdos especialmente selecionados e adotando uma
linguagem que facilite seu estudo a distância.

Por falar em distância, isso não signiﬁca que você estará
sozinho. Não esqueça que sua caminhada nesta disciplina
também será acompanhada constantemente pelo Sistema
Tutorial da UnisulVirtual. Entre em contato sempre que sentir
necessidade, seja por correio postal, fax, telefone, e-mail ou
Espaço UnisulVirtual de Aprendizagem - EVA. Nossa equipe
terá o maior prazer em atendê-lo, pois sua aprendizagem é nosso
principal objetivo.

Bom estudo e sucesso!

Equipe UnisulVirtual.

Rosana Camilo da Rosa
Eliane Darela
Paulo Henrique Ruﬁno

Trigonometria e
Números Complexos
Livro didático

Design Instrucional
Karla Leonora Dahse Nunes

2ª edição revista e atualizada

Palhoça
UnisulVirtual
2007

Copyright © UnisulVirtual 2007
Nenhum a partedesta publicação podeser reproduzida por qualquer m eio sem a prévia autorização desta instituição.

Edição - Livr Didático
- o

Pr essor Conteudistas
of es
Rosana Cam ilo da Rosa
ElianeDarela
Paulo HenriqueRu. no

Design I ucional
nstr
Karla Leonora DahseNunes

I 978-85-60694-32-7
SBN

Pr eto Gr ico e Capa
oj áf
EquipeUnisulVirtual

Diagr ação
am
Fernando Roberto Dias Zim m erm ann

Revisão Or áf
togr ica
B2B

516.24
R69 Rosa, Rosana Camilo da
Trigonometria e números complexos : livro didático / Rosana Camilo
da Rosa, Eliane Darela, Paulo Henrique Rufino ; design instrucional Karla
Leonora Dahse Nunes. – 2. ed. rev. e atual. – Palhoça : UnisulVirtual, 2007.
326 p. : il. ; 28 cm.

Inclui bibliografia.
ISBN 978-85-60694-32-7

1. Trigonometria. 2. Números complexos. I. Darela, Eliane. II. Rufino,
Paulo Henrique. III. Nunes, Karla Leonora Dahse. IV. Título.

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Sumário

Apresentação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3
Palavras dos professores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9
Plano de estudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

UNIDADE 1 –
Estudando a Trigonometria nos Triângulos . . . . . . . . . . . . . 17
UNIDADE 2 –
Conceitos Básicos da Trigonometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
UNIDADE 3 –
Estudando as Funções Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . 95
UNIDADE 4 –
Estudando as Relações, Equações e Inequações
Trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
UNIDADE 5 – Números Complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

Para concluir o estudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
Sobre os professores conteudistas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
Respostas e comentários das atividades de auto-avaliação . . . . . . . . . . . . 251
Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
Anexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323

Palavras dos professores

Estamos apresentando os conteúdos relativos à disciplina
Trigonometria e Números Complexos. Os assuntos
apresentados são de fundamental importância para sua
formação profissional e são abordados de forma clara
e objetiva, sempre salientando aspectos da História da
Matemática, conforme preconiza o Projeto Pedagógico
do Curso de Matemática Licenciatura.

É indiscutível que o uso das tecnologias deve estar
presente na sala de aula, logo a formação de um
profissional com competência para desenvolver atividades
didáticas num contexto informatizado torna-se
necessária. No decorrer desta disciplina, vamos incentivá-
lo e orientá-lo para o uso de diferentes softwares
matemáticos.

Utilizamos uma linguagem acessível, pois estamos
inseridos num contexto de Educação a Distância, e uma
linguagem mais técnica poderia prejudicar o andamento
das atividades.

Você terá a oportunidade de desenvolver atividades e
leituras num ambiente virtual, e poderá refletir sobre
aspectos didáticos na abordagem dos tópicos estudados
com a utilização de recursos tecnológicos.

Finalizando, gostaríamos de desejar um ótimo trabalho,
e dizer que nossa relação didática será no ambiente
virtual, mas estaremos sempre em contato para sanar
suas dúvidas. Procure manter suas atividades em dia e
conte conosco.

Profª. Eliane Darela, Msc.
Prof . Paulo Henrique Rufino.
Profª. Rosana Camilo da Rosa, Msc.

Plano de estudo

O plano de estudos visa a orientá-lo/a no desenvolvimento
da disciplina. Nele, você encontrará elementos que
esclarecerão o contexto da disciplina e sugerirão formas de
organizar o seu tempo de estudos.

O processo de ensino e aprendizagem na UnisulVirtual
leva em conta instrumentos que se articulam e se
complementam. Assim, a construção de competências se dá
sobre a articulação de metodologias e por meio das diversas
formas de ação/mediação.

São elementos deste processo:

 o livro didático;
 o Espaço UnisulVirtual de Aprendizagem (EVA);
 as atividades de avaliação (auto-avaliação, a
distância e presenciais).

Carga Horária

60 horas – 4 créditos.

Ementa

Arcos e ângulos. Funções trigonométricas. Relações
trigonométricas. Equações e inequações trigonométricas.
Números Complexos. Operações e representações dos
números complexos. Trigonometria e os números complexos.


Objetivo(s)

Geral
A disciplina objetiva a reflexão e construção de conhecimentos
no contexto da Trigonometria e dos Números Complexos,
propiciando ao universitário a oportunidade de: investigar,
observar, analisar e delinear conclusões testando-as na resolução
de problemas, formando uma visão ampla e científica da
realidade.

Específicos
 Desenvolver o conceito de razões trigonométricas no triângulo
retângulo.
 Resolver problemas aplicando as relações fundamentais entre as
razões trigonométricas.
 Reconhecer e aplicar a lei dos cossenos e a lei dos senos na
resolução de triângulos.
 Expressar e converter a medida de um ângulo de graus para
radianos e vice-versa.
 Introduzir o conceito das funções circulares.
 Reduzir arco ao 1º quadrante.
 Construir, ler e interpretar gráficos das funções
trigonométricas utilizando, corretamente, procedimentos e
ferramentas tecnológicas.
 Resolver equações e inequações trigonométricas.
 Resolver e simplificar expressões trigonométricas, aplicando as
relações trigonométricas.
 Aplicar as fórmulas da adição, subtração e arco duplo.
 Compreender o conceito de números complexos.
 Identificar um número complexo na sua forma algébrica e
representá-lo no plano de Argand-Gauss.

12

Trigonometria e Números Complexos

 Compreender os conceitos de módulo e argumento de um
número complexo z. Apresentar a forma trigonométrica de z.
 Operar com números complexos na forma algébrica e
trigonométrica.

Conteúdo programático/objetivos

Os objetivos de cada unidade definem o conjunto de
conhecimentos que você deverá deter para o desenvolvimento de
habilidades e competências necessárias a sua formação. Neste
sentido, veja a seguir as unidades que compõem o Livro Didático
desta disciplina, bem como os seus respectivos objetivos.

Unidades de estudo: 5

Unidade 1 - Estudando a Trigonometria nos Triângulos
Nesta unidade, apresentam-se as razões trigonométricas nos
triângulos retângulos, bem como as leis dos senos e cossenos
em triângulos quaisquer. O estudo desta unidade nos permite a
resolução de problemas que envolvem situações reais.

Unidade 2 - Conceitos Básicos da Trigonometria
Nesta unidade, são apresentados conceitos relativos à
trigonometria na circunferência. Estes conceitos são
fundamentais para definir o seno e o cosseno na circunferência
trigonométrica, o que também será abordado nesta unidade.

Unidade 3 - Estudando as Funções Trigonométricas
As funções trigonométricas, também conhecidas como funções
circulares, serão discutidas nesta unidade, possibilitando a
leitura gráfica e a modelagem de problemas práticos. Os recursos
tecnológicos serão indispensáveis, pois facilitam as representações
gráficas.

13


Unidade 4 - Estudando as Relações, Equações e Inequações Trigonométricas
O estudo das relações e transformações trigonométricas
será abordado nesta unidade, salientando-se que as relações
trigonométricas são decorrentes do seno e cosseno de um arco,
estudados na unidade 2. Amplia-se o estudo, nesta unidade,
abordando equações e inequações trigonométricas.

Unidade 5 - Números Complexos
Nesta unidade, apresenta-se um novo conjunto, chamado
conjunto dos números complexos. Serão abordadas as operações
na forma algébrica e trigonométrica, bem como a representação
gráﬁca desse número.

Agenda de atividades/ Cronograma

 Veriﬁque com atenção o EVA. Organize-se para acessar
periodicamente o espaço da Disciplina. O sucesso nos
seus estudos depende da priorização do tempo para a
leitura; da realização de análises e sínteses do conteúdo; e
da interação com os seus colegas e tutor.
 Não perca os prazos das atividades. Registre as datas no
espaço a seguir, com base no cronograma da disciplina
disponibilizado no EVA.
 Use o quadro para agendar e programar as atividades
relativas ao desenvolvimento da Disciplina.

14


Atividades

Avaliação a Distância

Avaliação Presencial

Avaliação Final (caso necessário)

Demais atividades (registro pessoal)

15

1
UNIDADE 1

Estudando a Trigonometria nos
Triângulos

Objetivos de aprendizagem
 Desenvolver o conceito de razões trigonométricas no
triângulo retângulo.

 Resolver problemas aplicando as relações fundamentais
entre as razões trigonométricas.
 Reconhecer e aplicar a lei dos cossenos e a lei dos senos

na resolução de triângulos.

Seções de estudo
Seção 1 Introdução à Trigonometria
Seção 2 Deﬁnindo as razões trigonométricas no
triângulo retângulo
Seção 3 Relações trigonométricas em um triângulo
qualquer: lei dos senos e lei dos cossenos


Para início de conversa
Sabe-se que algumas medidas podem ser obtidas diretamente,
outras são obtidas de modo indireto. A largura de uma sala,
por exemplo, pode ser medida com uma trena, o comprimento
de uma estrada pode ser medido, por meio de um hodômetro
instalado em um automóvel que percorra a estrada do início
ao ﬁm. Em ambos os casos essa medida é encontrada de modo
direto. Já a distância da Terra até a Lua só pode ser obtida de
modo indireto.

A Trigonometria é uma ferramenta importante para a resolução
de problemas que envolvem grandes distâncias como os de
engenharia, navegação e astronomia.

Nesta unidade, você estudará a trigonometria no triângulo
retângulo, bem como as leis dos senos e cossenos em triângulos
quaisquer. A contextualização da trigonometria, por ser de suma
importância, será abordada no desenvolvimento das atividades.

SEÇÃO 1 – Introdução à trigonometria

O que é trigonometria?
Tri = três
gonos = ângulos
metria = medição

Logo, trigonometria signiﬁca medição de três ângulos.

18


Você sabia...
Triângulo retângulo é um triângulo que possui um ângulo
reto (90º).

O estudo da trigonometria foi impulsionado pela necessidade
de evolução da Agrimensura, Navegação e Astronomia, já que
as dimensões do universo sempre fascinaram os cientistas. O
astrônomo grego Aristarco de Samos (310 a.C. - 230 a.C.) foi Para compreender, acesse
um dos primeiros a calcular as distâncias que separam a Terra, o site sugerido na seção
a Lua e o Sol. Para isso, ele usou relações entre as medidas dos ‘saiba mais’ ao ﬁnal desta
lados dos triângulos retângulos com seus ângulos internos. unidade.

Acredita-se que, como ciência, a trigonometria nasceu com
o astrônomo grego Hiparco de Nicéia (190 a.C. - 125 a.C.),
também conhecido como o Pai da Trigonometria por ter
estudado e sistematizado algumas relações entre os elementos
de um triângulo.

A relação entre as medidas dos lados de um triângulo com as
medidas de seus ângulos é de grande utilidade na medição de
distâncias inacessíveis ao homem, como a altura de montanhas,
torres e árvores, ou a largura de rios e lagos.

Também encontra-se aplicações da trigonometria na Engenharia,
na Mecânica, na Eletricidade, na Acústica, na Medicina e até na
Música.

Unidade 1 19


SEÇÃO 2 - Definindo as razões trigonométricas no
triângulo retângulo
Do ponto de vista matemático, o desenvolvimento da
trigonometria está associado à descoberta de constantes nas
relações entre os lados de um triângulo retângulo.

Suponha que a Figura 1.1 represente uma rampa, em uma pista
de skate, que forma um ângulo de α graus com o solo:

 Quando o skatista percorre 50m sobre a rampa, o mesmo
fica a uma altura de 30 metros e o seu deslocamento na
horizontal é de 40 metros;
 Quando o skatista percorre 75m sobre a rampa, o mesmo
fica a uma altura de 45 metros e o seu deslocamento na
horizontal é de 60 metros;
 Quando o skatista percorre 100m sobre a rampa,
o mesmo fica a uma altura de 60 metros e o seu
deslocamento na horizontal é de 80 metros.

Figura 1.1: Representação da situação problema

Na figura 1.2, tem-se os triângulos retângulos ABS, ACT e
ADU semelhantes entre si. Escreva a razão entre a altura que o
skatista atinge e a distância percorrida sobre a rampa, para os três
momentos considerados.

20


Figura 1.2: Representação da distância percorrida e da altura

Temos: ∆ ABS ~ ∆ ACT ~ ∆ ADU
BS CT DU 30 45 60
Logo: AS = AT = AU → = =
50 75 100
= 0, 6 (valor

constante).

Você pode observar que, em qualquer um dos triângulos
retângulos considerados, a razão entre a medida dos lados BS,
CT e DU, opostos ao ângulo α, e a medida dos lados AS, AT e
AU, opostos ao ângulo reto é igual a 0,6, independentemente das
medidas dos lados considerados.

Esse valor constante é chamado seno do ângulo α e simbolizamos
por sen α.

Agora, vamos escrever a razão entre o deslocamento na
horizontal e a distância percorrida sobre a rampa pelo skatista,
para os três momentos considerados.

Figura 1.3: Representação da distância percorrida e do deslocamento na horizontal

AB AC AD 40 60 80
Temos: AS = AT = AU → = =
50 75 100
= 0, 8 (valor

constante).

Unidade 1 21


Você pode observar que, em qualquer um dos triângulos
retângulos da ﬁgura 1.3, a razão entre a medida dos lados AB,
AC e AD, adjacentes ao ângulo α, e a medida dos lados AS, AT e
AU, opostos ao ângulo reto é igual a 0,8, independentemente das
medidas dos lados considerados.

Esse valor constante é chamado cosseno do ângulo α e
simbolizamos por cos α.

Ainda há uma terceira igualdade que podemos estabelecer: a
razão entre a medida da altura que o Skatista atinge e o seu
deslocamento na horizontal.

Figura 1.4: Representação da altura e do deslocamento na horizontal

BS CT DU 30 45 60
Temos: AB = AC = AD → = =
40 60 80
= 0, 75 (valor

constante).

Você pode observar, na ﬁgura 1.4, que em qualquer um
dos triângulos retângulos, a razão entre a medida dos
lados BS, CT e DU, opostos ao ângulo α, e a medida dos
lados AB, AC e AD, adjacentes ao ângulo α é igual a 0,75,
independentemente das medidas dos lados considerados.

Esse valor constante é chamado tangente do ângulo α e
simbolizamos por tg α.

Os números que expressam o seno, cosseno e tangente do ângulo
agudo α, são denominados razões trigonométricas do triângulo
retângulo.

22


Generalizando, tem-se:

Figura 1.5: Triângulo retângulo

Na ﬁgura, 1.5 tem-se:

 O triângulo ABC é retângulo em A;
 O lado oposto ao ângulo reto denomina-se
hipotenusa (a);
 Os lados b e c denominam-se catetos;
 O cateto b é oposto ao ângulo β e adjacente ao ângulo α ;
 O cateto c é oposto ao ângulo α e adjacente ao ângulo β.

Você lembra do Teorema de Pitágoras?

O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos
quadrados dos catetos:
a2=b2+c2

Unidade 1 23


Desta forma, tem-se:
cateto oposto b
senβ = =
hipotenusa a
cateto adjacente c
cos β = =
hipotenusa a
cateto oposto b
tg β = =
cateto adjacente c

De modo análogo, pode-se estabelecer as razões para o ângulo α.

Que tal você rever agora alguns aspectos que
caracterizaram a vida de Pitágoras e a história da
matemática?

Retrospectiva histórica

Pitágoras viveu há 2.500 anos e não deixou obras
escritas. O que se sabe de sua biograﬁa e de suas
idéias é uma mistura de lenda e história real.

Acerca de 50 Km de Mileto, na ilha Jônia de Samos,
por volta de 589 aC. nasceu Pitágoras, que também
esteve no Egito e, por desavenças com o tirano
Polícrates, de Samos, mudou-se para Crotona ao
sul da Península Itálica onde fundou uma sociedade
voltada ao estudo da Filosoﬁa, das Ciências Naturais
e da Matemática, chamada Escola Pitagórica.
Rapidamente, os membros desta sociedade passaram
a ver números por toda a parte concluindo que o
Universo era regido por uma inteligência superior
essencialmente matemática.

24


Figura 1.6 – Pitágoras
Fonte: http://centros5.pntic.mec.es/ies.sierra.minera/dematesna/demates45/op-
ciones/sabias/escuela%20pitagorica/escuela%20pitagorica.htm.
Capturado em 09/04/2006

Atualmente não há documentos que justifiquem a afirmação
de que o Teorema de Pitágoras foi demonstrado pela primeira
vez pelos Pitagóricos. Conjetura-se que os membros da mais
antiga escola pitagórica conheciam muito bem a geometria dos
babilônios, portanto, as idéias básicas do teorema poderiam ter
suas origens em outras épocas bem mais remotas.

O maior feito teórico dos pitagóricos foi a descoberta dos
irracionais, mas seu mérito máximo consiste em haverem
provocado uma verdadeira epidemia de interesse pela matemática,
que contagiou a maioria das cidades-estado da Grécia.

Saiba mais
Você poderá enriquecer mais esta leitura, lendo:
Boyer, Carl Benjamin, 1906- História da Matemática.

Ângulos notáveis

Os ângulos de 30º, 45º e 60º são considerados notáveis uma
vez que aparecem freqüentemente nos problemas de geometria.
Apresentamos a dedução dos valores do seno, do cosseno e da
tangente do ângulo de 45º. Os outros dois ângulos você mesmo
fará resolvendo o exercício 1 das atividades de auto-avaliação ao
final da unidade.

Unidade 1 25


Podemos resumir as razões trigonométricas dos ângulos notáveis
em uma única tabela:

26


Considerando as definições das razões trigonométricas e
utilizando processos mais sofisticados de medidas de ângulos
e segmentos, podemos construir uma tabela de valores
trigonométricos para consultar quando encontrarmos situações
que não envolvam ângulos notáveis. Em anexo encontra-se uma
tabela que fornece as razões trigonométricas dos ângulos de 1º a
89º.

Você pode, também, obter diretamente valores trigonométricos
utilizando as funções de uma calculadora científica ou softwares
matemáticos.

Você sabia...
Nas calculadoras científicas, o seno que abreviamos por sen é
identificado por sin e a tangente, tg, é identificada por tan.

Unidade 1 27


Nos exemplos a seguir você irá utilizar as razões trigonométricas
para descobrir as medidas desconhecidas indicadas por x. Será
um bom exercício para veriﬁcar a sua compreensão do assunto até
o presente momento.

1) Calcule o valor de x:


Na ﬁgura 1.7, você pode observar que a medida desconhecida x
é o cateto oposto ao ângulo de 55º e que 3 cm corresponde ao
cateto adjacente. Logo, a razão trigonométrica que iremos utilizar
será a tangente.

cateto oposto
tg 55º =
cateto adjacente
x
tg 55º =
3
x
1, 428 =
3
x = 4, 284cm

2) Determine o valor de x:


28


Agora você observa na ﬁgura 1.8, que a medida desconhecida é o
cateto oposto ao ângulo de 30º e a hipotenusa vale
16 cm. Portanto, utilizaremos a razão trigonométrica seno para
encontrar a medida x.

cateto oposto
sen 30º =
hipotenusa
x
sen 30º =
16
1 x
=
2 16
2 x = 16
x = 8cmm

3) Encontre o valor de x:


Na ﬁgura 1.9 você pode observar que o cateto adjacente mede 10
cm e a medida desconhecida x é a hipotenusa. Assim, usaremos a
razão cosseno para descobrir o valor de x.

cateto adjacente
cos 60º =
hipotenusa
10
cos 60º =
x
1 10
=
2 x
x = 20 cm

Unidade 1 29


E então?
Você sentiu dificuldade para compreender os
exemplos?
Se sim, retorne à leitura buscando sanar suas dúvidas.
Caso não compreenda, entre em contato com o(a)
professor(a) tutor(a), via EVA (Espaço UnisulVirtual de
Aprendizagem).

Se não sentiu dificuldades quanto à compreensão dos exemplos,
observe os problemas abaixo:

P1) Um eletricista deseja conhecer a altura de um poste, sabendo
que quando o ângulo de elevação do sol é de 68º, a sombra do
mesmo projetada no solo, mede 2,4 m.

Modelo real Modelo matemático

Figura 1.10: Modelo real e matemático do problema P1

Solução:

A partir da figura 1.10, você pode observar a situação apresentada
no problema P1 e perceber que a solução será encontrada por
meio da razão trigonométrica tangente. Observe que a altura do
poste, representada por x, é o cateto oposto ao ângulo de 68º e
a medida do cateto adjacente ao mesmo ângulo é de 2,4 m, que
corresponde a sombra do poste.

30


cateto oposto
tg 68º =
cateto adjacente
x
tg 68º =
2, 4
x
2, 475 =
2, 4
x = 5, 94 m

Lembre-se:

A tg 68º= 2,475 é obtida pela calculadora ou pela tabela
trigonométrica.

Resposta: A altura do poste é de 5,94 m.

P2) Uma família desejando realizar um passeio de ﬁm de
semana, parte da sua cidade situada no nível do mar seguindo por
uma estrada em aclive de 36º. Após percorrer 80 m a que altitude
esta família estará?



Solução:

Observando a ﬁgura 1.11, você observa a situação apresentada
no problema P2 e percebe que a solução será encontrada por
meio da razão trigonométrica seno. A altitude em que a família
se encontra, está representada por x, sendo denotada por
cateto oposto ao ângulo de 36º. A medida da hipotenusa, que
corresponde a distância percorrida pelo carro é de 80 metros.

Unidade 1 31


cateto oposto
sen 36º =
hipotenusa
x
sen 36º =
80
x
0, 588 =
80
x = 47, 04 m

Resposta: A família estará a uma altitude 47,04 metros.

P3) Desejando saber qual a altura de uma torre, uma empresa
de telefonia utilizou um teodolito, aparelho óptico de precisão
utilizado para medir ângulos. O teodolito foi colocado a uma
distância de 50 m da base da torre, num nível de observação de
1,50 m e o ângulo marcado foi de 20º.



Solução:

A situação apresentada no problema P3 está representada na
ﬁgura 1.12 e você pode perceber que a solução será encontrada
por meio da razão trigonométrica tangente. A altura da torre está
representada por x, é denotada por cateto oposto ao ângulo de
20º. A medida do cateto adjacente, que corresponde a distância
entre o teodolito e a base da torre é de 50 metros.

cateto oposto
tg 20º =
cateto adjacente
x
tg 20º =
50
x
0, 364 =
50
x = 18, 20 m
32


Note que o nível de observação do teodolito é de 1,50 metros,
logo devemos acrescentá-lo ao resultado encontrado: h= 18,20 +
1,50 = 19,70 metros.

Resposta: A altura da torre é de 19,70 metros.

Você sabia...

Teodolito é um instrumento óptico de precisão para medir
ângulos horizontais e verticais.
Em áreas de grande extensão, o topógrafo precisa, muitas
vezes imaginar triângulos em pontos inacessíveis. Medindo
três elementos desses triângulos, sendo que pelo menos um
deles é um lado, ele pode encontrar as demais dimensões
necessárias para uma aplicação prática.

Veja a seguir, alguns aspectos históricos sobre Hiparco...

Retrospectiva Histórica

Acredita-se que, como ciência, a Trigonometria nasceu com o
astrônomo grego Hiparco de Nicéia (190 a.C. - 125 a.C.). Este
grande astrônomo criou uma matemática aplicada para prever os
eclipses e os movimentos dos astros, permitindo a elaboração de
calendários mais precisos e maior segurança na navegação.

Hiparco estudou e sistematizou algumas relações entre os
elementos de um triângulo, foi ele o primeiro a construir a tabela
trigonométrica.

Unidade 1 33


Da vida de Hiparco sabe-se apenas que nasceu em Nicéia, em
data desconhecida, e que trabalhou em Alexandria e Rodes.

No tempo de Hiparco a filosofia pitagórica havia estabelecido
um preconceito meramente especulativo: o de que os astros
descrevem movimentos circulares perfeitos. E havia também o
preconceito aristotélico, segundo o qual a natureza dos corpos
celestes é imutável. Meteoritos e cometas não eram tidos como
fenômenos astronômicos, mas atmosféricos, coisas deste mundo
imperfeito e não da eterna impassividade celeste.

Foram idéias como essa que Hiparco refutou, com base nas
observações efetuadas ao longo de uma carreira científica de
mais de trinta anos, provavelmente entre os anos 161 e 127 a.C.
No curso desses trabalhos, Hiparco viria a desvendar um novo
campo da matemática, a trigonometria.

Infelizmente, é impossível avaliar hoje toda a extensão e o
valor da obra deixada por Hiparco. Admite-se que tenha
sido importante, pela influência que exerceu sobre cientistas
posteriores.

SEÇÃO 3 - Relações trigonométricas em um triângulo
qualquer: lei dos senos e lei dos cossenos
As razões trigonométricas estudadas até agora foram utilizadas
em triângulos retângulos. Esta seção tem por finalidade mostrar
outras relações que valem para quaisquer triângulos, assim, você
estudará a seguir, valores de senos e cossenos de ângulos obtusos.

Como esse assunto ainda não foi abordado, você aprenderá neste
momento apenas como lidar com eles na prática e deixaremos a
parte teórica, desses ângulos, para a próxima unidade.

Você sabia...
Ângulo obtuso é um ângulo cuja medida é maior que 90º.

34


Lei dos senos
Um fazendeiro deseja instalar energia elétrica em uma parte de
sua fazenda que é cortada por um rio. Para tanto, precisa colocar
dois postes em lados opostos deste rio para permitir a passagem
do ﬁo.

Para fazer este projeto é necessário saber a distância entre
os postes, e a presença do rio impede a sua medição direta.
Utilizando um aparelho apropriado, o teodolito, o fazendeiro
posicionou-se em um local em que era possível visualizar os dois
postes e medir a distância entre eles, o ângulo obtido entre a
linha de visão dele e os postes foi de 120º. Seu ajudante mediu a
distância entre o poste mais afastado e o fazendeiro obteve 100
metros. Mediu também o ângulo entre a linha do poste mais
próximo do fazendeiro e a linha entre os postes, obtendo 45º.


Figura 1.13: Modelo real e matemático do problema enunciado

Note que no modelo matemático da ﬁgura 1.13, temos o
triângulo AÔB obtusângulo e descobrir a medida do lado AB é
a resolução do problema. Para encontrarmos esta medida vamos
estudar a lei dos senos cujo teorema é enunciado abaixo.

Teorema
Em todo o triângulo, as medidas dos lados são
proporcionais aos senos dos ângulos opostos:
a b c
^
= ^
= ^
sen A sen B sen C

Unidade 1 35


Considere o triângulo ABC representado na ﬁgura 1.14:

Figura 1.14: Lei dos senos

Agora observe a resolução do problema!
100 d
=
sen 45º sen120º
100 d
=
2 3
2 2
d 2 100 3
=
2 2
100 3
d=
2
100 3 2
d= .
2 2
100 6
d=
4
100 6
d=
2
d = 50 6
d = 122, 47 m

Resposta: A distância entre os postes é de aproximadamente
122,47 metros.

Na seqüência, acompanhe a demonstração dessa lei.

36


Existem três casos a considerar:

 O triângulo ABC é retângulo;
 O triângulo ABC é obtusângulo;
 O triângulo ABC é acutângulo.
Faremos a demonstração quando o triângulo for acutângulo. Os
outros dois casos você irá demonstrar na resolução do exercício 19
das atividades de auto-avaliação ao ﬁnal desta unidade.

Considere o triângulo ABC acutângulo, representado na ﬁgura
1.15:

Figura 1.15: Representação do triângulo para demonstração

Sejam AH1 e BH2 as alturas relativas aos lados BC e AC
respectivamente.

No triângulo retângulo AH1C, temos que
^ h1 ^
sen C = ⇒ h1 = b.sen C . [1]
b

No triângulo retângulo AH1B, temos que
^ h1 ^
sen B = ⇒ h1 = c.sen B . [2]
c

Comparando [1] e [2], temos:
^ ^ b c
b.sen C = c.sen B ⇒ ^
= ^ [A]
sen B sen C

Unidade 1 37


No triângulo retângulo BH2C, temos que
^ h2 ^
sen C = ⇒ h2 = a.sen C . [3]
a

No triângulo retângulo AH2B, temos que
^ h2 ^
sen A = ⇒ h2 = c.sen A . [4]
c

Comparando [3] e [4], temos:
^ ^ a c
a.sen C = c.sen A ⇒ ^
= ^ [B]
sen A sen C

De [A] e [B] podemos concluir que:
a b c
^
= ^
= ^
sen A sen B sen C

Lei dos cossenos

Na duplicação da BR-101, em um dos pontos do trecho sul, é
necessário a construção de uma ponte que una os pontos A e
B conforme a ﬁgura a seguir. O engenheiro responsável pela
obra só conseguiu as seguintes medidas: AC=30m, BC=50m e a
medida do ângulo entre esses lados 120º. Ele necessita descobrir
qual a extensão da ponte.


Figura 1.16: Modelo real e matemático do problema enunciado no exemplo.

38


Perceba agora que, no modelo matemático temos o triângulo
ABC obtusângulo representado na ﬁgura 1.16, e descobrir a
medida do lado AB é a resolução do problema. A aplicação da
lei dos cossenos é a solução deste problema. Observe o que diz o
teorema:

Em todo triângulo, o quadrado da medida de um lado
é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros
dois lados, menos duas vezes o produto das medidas
desses dois lados pelo cosseno do ângulo oposto
àquele lado, ou seja:
^
a 2 = b 2 + c 2 − 2.b.c.cos A
^
b 2 = a 2 + c 2 − 2.a.c.cos B
^
c 2 = a 2 + b 2 − 2.a.b.cos C

Figura 1.17: lei do cossenos

Voltando ao problema inicial, de acordo com o triângulo na
ﬁgura 1.17, para encontrar o comprimento da ponte, precisamos
encontrar a medida d. Para isso, utilizaremos a lei dos cossenos:
AB 2 = AC 2 + BC 2 − 2. AC.BC.cos 120º
d 2 = 302 + 502 − 2.30.50.(−0, 5)
d 2 = 900 + 2500 + 1500
d 2 = 4900
d = 4900
d = 70m

Resposta: A extensão da ponte deve ser de 70 metros.

Na seqüência, acompanhe a demonstração dessa lei.

Unidade 1 39


Existem três casos a considerar:

 O triângulo ABC é retângulo;
 O triângulo ABC é obtusângulo;
 O triângulo ABC é acutângulo.
Faremos a demonstração quando o triângulo for acutângulo.
Na seleção das atividades de auto-avaliação, você resolverá a
atividade 18 que contempla o segundo e o terceito caso onde, Â é
reto e Â é obtuso respectivamente.

Considere o triângulo ABC acutângulo, representado na ﬁgura
1.18:

Figura 1.18: Representação do triângulo para demonstração

Demonstração:

O segmento CH representa a altura relativa ao lado AB do
triângulo ABC, logo CH é perpendicular a AB.

Perceba que a altura CH divide o triângulo ABC em dois
triângulos retângulos de acordo com a ﬁgura
1.19.

40


Figura 1.19: Representação dos triângulos para demonstração.

Aplicando o Teorema de Pitágoras em ambos os triângulos,
temos:

b2 = m2 + h2 a 2 = h2 +(c-m)2

h2 = b2 - m2 [1] a 2 = h2 + c2 -2.c.m + m2 [2]

Substituindo [1] em [2], temos:

a 2 = b2 - m2 + c2 -2.c.m + m2

a 2 = b2 + c2 -2.c.m [3]
^ ^ m
Note no triângulo A H C que temos: cos A =
b
Logo m = b.cosÂ [4]

Substituindo [4] em [3], temos:

a 2 = b2 + c2 -2.b.c. cosÂ

De forma análoga, você demonstra que:
^
b2 = a 2 + c2 -2.a.c. cos B .
^
c2 = a 2 + b2 -2.a.b. cos C .

Unidade 1 41


Retrospectiva Histórica

Considerado o mais eminente matemático do século
XVI, François Viète (1540-1603) contribuiu bastante
para o avanço do estudo da trigonometria. A forma
atual da expressão do teorema dos cossenos foi
estabelecida por ele.

Figura 1.20 - Fonte: http://www.sulinet.hu/ematek/html/images/arckepek/viete.jpg.
Capturado em 16/04/06.

Utilizando recursos tecnológicos na trigonometria
Você poderá encontrar o software
acessando o site: O uso de softwares no ensino é importante. No ensino da
http://www.unifra.br/cursos/ trigonometria pode ser muito interessante no que diz respeito
downloads.asp?curs=25&grad=M à visualização de vários conceitos explorados no triângulo
atem%C3%A1tica&endereco=ma
retângulo e em triângulos quaisquer. Como sugestão, indicamos
tematica
o software Thales.

Síntese

Nesta unidade você estudou as razões trigonométricas, as leis
do seno e cosseno, bem como suas aplicações. Você deve ter
observado que os conteúdos abordados são muito úteis para
calcular distâncias inacessíveis. Você deverá ter resolvido os

42


exercícios da auto-avaliação e esclarecido todas as suas dúvidas
com o professor-tutor para prosseguir seus estudos. Na próxima
unidade, trabalharemos com a trigonometria na circunferência.

Atividades de auto-avaliação

1) Considerando o triângulo eqüilátero ABC de lado a, deduza os valores
do seno, do cosseno e da tangente de 30º e 60º.

2) Qual o valor de a e c no triângulo ABC?

3) Calcule as medidas desconhecidas indicadas nos triângulos abaixo:
a)

Unidade 1 43


b)

4) Considere o trapézio retângulo ABCD da ﬁgura e determine as medidas
x e y indicadas:

5) Observando a seguinte ﬁgura, determine:

a) O valor de a;

44


b) O valor de b;

c) A medida do segmento AD.

6) Calcule o valor de x e y indicados na ﬁgura abaixo:

7) Observe o triângulo a seguir, sabendo que a medida do lado AD é
40 cm, encontre a medida do lado BC.

Unidade 1 45


8) Duas pessoas A e B estão situadas na mesma margem de um rio,
distante 60 3 m uma da outra. Uma terceira pessoa C, na outra
margem, está situada de tal modo que AB seja perpendicular a AC e a
medida do ângulo seja 60º. Determine a largura do rio.

9) Uma árvore projeta uma sombra de 30 m quando o sol se encontra a
64º acima da linha do horizonte. Qual a altura da árvore?

10) (VUNESP/99) Duas rodovias retilíneas A e B se cruzam formando
um ângulo de 45º. Um posto de gasolina se encontra na rodovia A,
a 4 Km do cruzamento. Pelo posto passa uma rodovia retilínea C,
perpendicular a rodovia B. Qual a distância, em Km, do posto de
gasolina a rodovia B, indo através de C?

11) Um estudante de matemática vê um prédio, do Campus da UNISUL
de Tubarão SC, construído em um terreno plano, sob um ângulo de
30º. Aproximando-se do prédio por mais 20 metros, passa a vê-lo sob
um ângulo de 60º. Considerando que a base do prédio está no mesmo
nível do olho do estudante, determine a altura do prédio e a que
distância está o estudante do mesmo.

12) Determine na ﬁgura a seguir, a medida do lado AB, sabendo-se a
medida do lado AC é 3 3cm .

46


13) No triângulo RPM determine o valor de x sabendo que: MP= 10 2 cm;
med( )=60º e med( )=75º.

14) Determine o valor de x na ﬁgura abaixo:

15) Qual o perímetro do quadrilátero ABCD?

16) Dois ângulos de um triângulo medem 60º e 75º. Se o lado oposto ao
menor ângulo mede 18 2 cm, qual é o comprimento do lado oposto
ao ângulo de 60º do triângulo?

Unidade 1 47


17) Os lados de um paralelogramo medem cada um 8 cm, e o menor
ângulo que eles formam mede 60º. Calcule a medida em cm da menor
das diagonais deste paralelogramo.

18) Prove a lei dos cossenos quando:
a) o ângulo Â for reto.

b) o ângulo Â for obtuso.

19) Prove a lei dos senos quando:
a) o ângulo Â for reto.

b) o ângulo Â for obtuso.

Desaﬁos na Trigonometria

1)(ITA-SP) Os lados de um triângulo medem a, b e c centímetros. Qual o
valor do ângulo interno deste triângulo, oposto ao lado que mede a
cm, se forem satisfeitos as relações 3a=7c e 3b=8c?

48


2) (Unicamp-SP) A água utilizada na casa de um sítio é captada e
bombeada do rio para uma caixa d’água a 50 m de distância. A
distância da caixa d’água e o ângulo formado pelas direções caixa
d’água/bomba e caixa d’água/casa é de 60º. Se pretendemos bombear
água do mesmo ponto de captação até a casa, quantos metros de
encanamento são necessários?

Saiba mais

Como você estudou, o uso da trigonometria não se limita apenas
a estudar triângulos. Sua aplicação é bastante difundida em
vários setores tais como Engenharia, Astronomia, Topograﬁa,
Mecânica, etc.

Para saber mais sobre estas aplicações, consulte o site:

http://www.mat.ufpr.br/~licenciar/links/f-trig.htm onde você
verá o cálculo de distâncias entre a Terra e o Sol, a Terra e a Lua
e também a aplicação da trigonometria na construção de um
túnel.

Unidade 1 49

2
UNIDADE 2

Conceitos Básicos da
Trigonometria

Objetivos de aprendizagem
 Expressar e converter a medida de um ângulo de graus
para radianos e vice-versa.

 Calcular a primeira determinação positiva de arcos
maiores que 360º.
 Introduzir o conceito de seno e cosseno para ângulo de

0º a 360º.
 Reduzir arco ao 1º quadrante.

Seções de estudo
Seção 1 Arcos e Ângulos
Seção 2 Conhecendo a Circunferência Trigonométrica
Seção 3 Seno e Cosseno na Circunferência
Trigonométrica
Seção 4 Simetrias

Seção 5 Redução ao primeiro Quadrante


Para início de conversa
Nesta unidade, você ampliará os estudos de seno e cosseno. A
Trigonometria estudada na unidade 1 passará a ocupar toda
uma circunferência, ou seja, o objeto de estudo desta unidade
é deﬁnir as razões seno e cosseno, estudadas anteriormente,
na circunferência trigonométrica, também conhecida como
circunferência unitária.

Na unidade anterior, você estudou a Trigonometria com
o objetivo de resolver problemas utilizando os triângulos
retângulos, isto é, utilizou a Trigonometria na forma com a
qual ela apareceu há milhares de anos. Nas seções a seguir,
serão abordados o seno e o cosseno de forma mais acentuada,
trabalhando a Trigonometria como uma necessidade atual da
Matemática.

SEÇÃO 1 - Arcos e Ângulos

Considere a circunferência na ﬁgura 2.1.

Figura 2.1: Arco de circunferência

Observe que os pontos A e B dividem a circunferência
em duas partes. Estas partes são denominadas arcos de
circunferência.

52


Temos:

 O arco , em que o ponto A é a origem e B é a
extremidade do arco;
 o arco , em que o ponto B é a origem e A é a
extremidade do arco.

Você sabia...

 Arco nulo é o ponto;
 Arco de uma volta é a
circunferência.

Ângulo Central

Ângulo central é o ângulo cujo vértice é o centro da
circunferência.

Observe a ﬁgura 2.2:

Figura 2.2: Ângulo Central

A medida de AÔB é α e denotamos por med(AÔB)= α.

A medida do arco AB é α e denotamos por med( )= α.

Unidade 2 53


Note que a medida de um arco não representa a medida do
comprimento desse arco.

Observe a ﬁgura 2.3:

Figura 2.3: Arcos de circunferência

Os arcos e possuem a mesma medida α, porém, possuem
comprimentos diferentes, m e n respectivamente.

Unidades de medida de arcos e ângulos

Conheça agora as unidades mais utilizadas para medir arcos e
ângulos de circunferência. São elas: o grau e o radiano.

 Grau

Você já sabe que uma circunferência é dividida em 360 partes
iguais. O grau é uma dessas 360 partes:
1
1º = da circunferência.
360

54


Você sabia...
Existe uma terceira unidade de medida de arco que é o
grado. Grado é a medida de um arco igual a 1/400 do arco
completo da circunferência na qual estamos medindo o arco.

Os submúltiplos do grau são o minuto e o segundo.
1
1`= do grau.
60

1
1``= do minuto.
60

Radiano

Radiano é um arco cujo comprimento é igual ao raio da
circunferência que o contém, cuja notação é rad. Observe a ﬁgura
2.4:

Figura 2.4: Radiano

Note que, esticando o arco , a medida do segmento obtido
será igual à do raio.

Unidade 2 55


Relação entre grau e radiano

Lembre-se que o comprimento de uma circunferência
é calculado pela fórmula C = 2 π r , onde r é o raio da
circunferência.

Como cada raio r equivale a 1 rad, ﬁca claro que o arco de uma
volta de circunferência corresponde a 2π rad. Então, tem-se a
seguinte relação:

360º → 2π rad ou 180º → π rad

É possível estabelecer os seguintes resultados entre as três
unidades:

Desenho

Grau 90 180 270 360
Grado 100 200 300 400
Radiano π/2 π 3π/2 2π

Observação:

0 graus = 0 grado = 0 radianos

Veja alguns exemplos de como é feita a conversão entre o grau e o
radiano:

1) Vamos converter 300º em radianos.
180 → π rad
300 → x
180 π rad
=
300 x
18 π rad
=
30 x
3 π rad
=
5 x
3 x = 5π rad
5π
x= rad
3
56


Note que você deverá usar a simpliﬁcação até transformar a
fração na forma irredutível, pois o resultado é expresso na forma
de fração e não em forma decimal.

3π
2) Transforme rad em graus.
4
Como já se viu que π rad → 180º, tem-se:
3π 3.180 540
rad = = = 135
4 4 4

3) Vamos transformar 15º 30’ em radianos.

Primeiro, transforma-se 15º 30’ em minutos:

1º = 60’

15º 30’ = 15.60’ + 30’ = 900’ + 30’ = 930’

Agora, transforma-se 180º também em minutos:

180º = 180.60’ = 10800’

Então, tem-se:
10800' → π rad
930' → x
10800' π rad
=
930' x
1080 π rad
=
93 x
360 π rad
=
31 x
360 x = 31π rad
31π
x= rad
360

Unidade 2 57


Tudo com você!
Vá até a página de auto-avaliação e resolva as
atividades referentes a este assunto.

Comprimento de arco de circunferência

Como você estudou anteriormente, a medida de um arco não
representa o seu comprimento, pois este depende do raio da
circunferência em que esteja contido.

Por exemplo, um arco 1 de 60º tomado sobre uma
circunferência de raio 15 cm, tem comprimento maior que um
arco  2 também de 60º, tomado sobre uma circunferência de
7cm de raio.

Então, tem-se:

Sendo AÔB um ângulo central de medida α rad e o arco de
comprimento  , pode-se estabelecer:

Comprimento do arco Medida do arco

r _________________________ 1 rad
 _________________________ α rad

que fornece a relação  =α . r

Essa relação permite calcular o comprimento de um arco
de circunferência em função do raio e do ângulo central
correspondente, medido em radianos.

58


Acompanhe alguns exemplos que envolvem o comprimento de
arco de circunferência.

1) Considere a circunferência representada na ﬁgura 2.5:

Figura 2.5: Comprimento de arco de circunferência

Determine, em cm, o comprimento  do arco , sabendo que
α =3 rad.

Resolução:

 =α.r

 =3.6

 =18 cm

2) Qual o valor, em rad, do arco de uma circunferência de 3m de
raio, sabendo-se que o comprimento desse arco é de 4,5 metros?
 = α .r
4,5 = α .3
4 ,5
α=
3
α = 1,5 rad

3) O pêndulo de um relógio, cujo comprimento é de 25 cm,
executa o movimento de A para B, conforme mostra a ﬁgura 2.6.
Determine o comprimento do arco descrito pela extremidade
do pêndulo. Use π=3,14.

Unidade 2 59


Figura 2.6: Pêndulo

Resolução:

O raio r é representado pelo pêndulo, então, r = 25 cm.

O ângulo α =2.35º = 70º.

Agora, veja a conversão de grau para radianos, pois, como você
sabe, para o cálculo do comprimento de um arco, não é possível
utilizar a medida em graus.
180º → π rad
70º → x
180º π rad
=
70º x
18 π rad
=
7 x
18 x = 7π rad
7π
x= rad
18

Na seqüência, calcula-se o comprimento do arco .

 =α.r
7π
= .25
18
175 π
=
18
175.3,14
=
18
 = 30 ,53 cm

60


Verifique se você realmente compreendeu esta seção,
resolvendo os exercícios propostos na auto-avaliação.
Em caso afirmativo, passe para a seção 2, onde será
abordado o ciclo trigonométrico. Se você percebeu
dificuldade em resolver os exercícios, procure
sanar suas dúvidas com o tutor, ou retome a seção
novamente.

SEÇÃO 2 - Conhecendo a circunferência trigonométrica
Quando se fala em ‘ciclo trigonométrico’, fala-se da mesma
circunferência que conhecemos, só que com características
específicas. O ciclo trigonométrico é uma circunferência de raio
unitário (r = 1), cujo centro é a origem do sistema cartesiano. Ele
é orientado positivamente no sentido anti-horário. Observe a
figura 2.7:

Figura 2.7: Ciclo Trigonométrico

 O centro da circunferência é O(0,0).
 O raio da circunferência é unitário, r = 1.
 O ponto A(1,0) é a origem dos arcos, isto é, os arcos são
medidos a partir de A.
 O sistema de coordenadas cartesianas divide a
circunferência em quatro regiões, chamadas quadrantes.
 Dizemos que um arco pertence ao quadrante no qual se
encontra sua extremidade.

Unidade 2 61


Veja alguns exemplos:

1) Identiﬁque a que quadrantes pertencem os arcos cujas medidas
são:

a) 130º

Como você pode observar, o arco de 130º, partiu do ponto A no
sentido positivo e sua extremidade está no 2º quadrante, logo, ele
pertence a este quadrante.

b) -120º

Agora, observe que o arco de -120º partiu do ponto A, no
sentido negativo e sua extremidade está no 3º quadrante, logo, ele
pertence a este quadrante.

62


5π
c))
c rad
3

Neste exemplo, você observa que o arco de 5π rad partiu
3
do ponto A no sentido positivo, e sua extremidade está no 4º
quadrante, logo, ele pertence a este quadrante.

Arcos Côngruos

Observe as circunferências representadas na ﬁgura 2.8:

Figura 2.8: Arcos Côngruos

Você pode observar que o arco permanece com a mesma
extremidade, independentemente do número de voltas completas
na circunferência.

Assim sendo, é possível deﬁnir arcos côngruos como:

Arcos que possuem a mesma extremidade e diferem,
apenas, pelo número de voltas completas na
circunferência.

Unidade 2 63


Na figura 2.9, marcamos um arco de 60º.

Figura 2.9: Arcos côngruos a 60º

É fácil observar que os arcos de 60º, 420º e 780º têm a mesma
extremidade e, ainda, que poderíamos encontrar infinitos outros
arcos com origem em A e a mesma extremidade. Para isso, basta
descrevermos voltas completas na circunferência.

Dessa forma, podemos escrever:

 60º = 60º + 0.360º
 420º = 60º + 1.360º
 780º = 60º + 2.360º

Assim:

Se um arco mede α graus, a expressão geral dos arcos côngruos a
ele é:

α + k. 360º, k ∈ Z

Se um arco mede α radianos, a expressão geral dos arcos
côngruos a ele é:

α +2kπ, k ∈ Z

É importante que você saiba que, se o arco for negativo, basta
fazer o percurso das voltas no sentido negativo e também ter-se-á
infinitos arcos côngruos com medidas negativas.

64


Faça a mesma representação gráfica 2.9 para
este caso. É uma boa forma de verificar se você
compreendeu o assunto. Não esqueça que o sentido
negativo, no ciclo trigonométrico, é o sentido horário.

Como visto, a cada ponto da circunferência, podem estar
associados infinitos arcos côngruos. Chamamos, então, de
primeira determinação positiva de um arco, a medida α do arco
côngruo a ele, tal que 0 ≤ α < 360º ou 0 ≤ α < 2 π rad.

Acompanhe alguns exemplos:

1) Calcule a primeira determinação positiva e escreva a expressão
geral dos arcos côngruos a 1240º.

Solução:

Os arcos côngruos diferem apenas pelo número de voltas
completas. Logo, deve-se fazer a divisão do arco de 1240º por
360º. Dessa forma, obtém-se o número de voltas completas e a
sua primeira determinação positiva.

Logo, 160º é a primeira determinação positiva e 3 representa o
número de voltas completas.

A expressão geral dos arcos côngruos a 1240º será:

β = 160º+ k. 360º, k ∈ Z

geral dos arcos côngruos a -1352º.

Solução:

Daí, -272º + 360º = 88º.

Unidade 2 65


Logo, 88º é a primeira determinação positiva de -1352º.

A expressão geral dos arcos côngruos a -1352º será:

β = 88º+ k. 360º, k ∈ Z

11π
geral dos arcos côngruos a rad .
3
Solução:

Para resolver este exercício, deve-se escrever o arco considerado
desmembrando-o de forma conveniente:

Observe que, para desmembrar a fração de forma conveniente, é
necessário pensar em um número que seja imediatamente menor
que o numerador, tal que, dividido pelo denominador, resulte em
um número par.
5π 11π
Logo, rad é a primeira determinação positiva de rad .
3 3
11π
A expressão geral dos arcos côngruos a rad será:
3
5π
β= + 2kπ ,, k ∈ Z.
3

66


4) Determine, na circunferência trigonométrica, o quadrante
onde está a extremidade dos seguintes arcos:

a) 1720º

Solução:

Para solucionar esta questão, primeiramente, divida o número
apresentado no problema por 360º. Assim, você encontrará o arco
de 280º, que é côngruo ao arco de 1720º.

Logo, eles possuem a mesma extremidade e estão, dessa
forma, no mesmo quadrante que, neste caso, é o quarto, pois
270º < 280º < 360º.

b) 19π
4

Solução:

Veja que, novamente, encontramos a primeira determinação
3π
positiva do arco, que é rad .
4
19π
Como você percebe, este arco é côngruo a rad e, portanto,
ambos possuem a mesma extremidade. 4

19π
Logo, o arco de rad está é no 2º quadrante.
4
3π
Para entender melhor, note que rad é equivalente a 135º.
4

Unidade 2 67


Você sabia...
Normalmente, as pessoas justificam que o raio da
circunferência é r=1, porque nas definições dadas para
tangente e secante, bem como nas definições de seno e
cosseno, figura sempre o raio r do círculo no denominador.
Se supusermos r=1, as fórmulas se simplificarão bastante.
Tal explicação deve ser complementada com a observação
de que tomar r=1 corresponde a escolher o comprimento
do raio como unidade de medida. Como todas as linhas
trigonométricas são quocientes entre duas medidas, o
valor de cada uma delas se mantém inalterado quando elas
passam de uma unidade para outra. Por isso, é interessante
convencionar r=1.
(Fonte adaptada do livro Matemática Ensino Médio 2ª Luiz Roberto Dante, São Paulo,
Ática, 2004)

SEÇÃO 3 - Seno e Cosseno na Circunferência
Trigonométrica
Na unidade anterior, os valores do senα e cosα foram definidos
π
apenas para ângulos agudos, ou seja, para 0 < α < .
2
Agora, nesta seção, você estudará o seno e cosseno de arcos ou
π
ângulos maiores que rad, algo impensável quando se trabalhava
2
com triângulos retângulos. Você também poderá trabalhar com
senos e cossenos de ângulos negativos. Veja só que interessante!!!

Definindo Seno e Cosseno na Circunferência Trigonométrica

Considere a figura 2.10:

68


Figura 2.10: Seno e Cosseno na Circunferência

Então:

 Seno do arco cuja medida é x é a ordenada do ponto M,
ou seja: senx=OM”;
 Cosseno do arco cuja medida é x é a abscissa do ponto
M, ou seja: cosx=OM’.
Veja por que:

Figura 2.11: Seno e Cosseno

Unidade 2 69


Observe o triângulo retângulo OM’M da ﬁgura 2.11. Neste
triângulo podem-se aplicar as razões trigonométricas, estudadas
na unidade 1.

Para isso, retira-se o triângulo do ciclo trigonométrico para
melhor visualização. Observe a ﬁgura 2.12:

Figura 2.12: Triângulo Retângulo

Aplicando-se as razões trigonométricas nesse triângulo, tem-se:
cateto oposto cateto adjacente
sen x = cos x =
hipotenusa hipotenusa
MM ' OM '
sen x = cos x =
OM OM
MM ' OM '
sen x = cos x =
1 1
sen x = MM ' cos x = OM '
sen x = OM ''
Observe, no ciclo trigonométrico, que MM’=OM”.

Dessa forma, mostramos que o seno de um arco é a
ordenada do ponto que representa a extremidade
deste arco e o cosseno é a abscissa desse ponto.

Podemos nos referir aos valores dos arcos em graus ou radianos.
Também podemos pensar em seno e cosseno de arcos maiores
que 90º, algo impensável quando trabalhávamos com triângulos
retângulos. É possível, ainda, pensar em senos e cossenos de
ângulos negativos.

70


Na unidade 1, você viu que alguns ângulos são considerados
notáveis por serem mais utilizados na resolução de problemas,
π π π
são eles: 30º ou rad, 45º ou rad e 60º ou rad. Observe a
6 4 3
representação geométrica do seno e do cosseno de cada um deles:

π 1
sen =
6 2
π 3
cos =
6 2

π 2
sen =
4 2
π 2
cos =
4 2

π 3
sen =
3 2
π 1
cos =
3 2

Agora, serão acrescentados outros arcos que também podem ser
π
considerados notáveis: 0º ou 0 rad, 90º ou rad, 180º ou π rad,
2
3π
270º ou rad e 360º ou 2π rad. Geometricamente, cada um
2
deles, representa o seno e o cosseno. Observe:

Unidade 2 71


72


Veja a tabela 2.1, onde estão reunidos os valores do seno e
cosseno representados geometricamente.

Tabela 2.1: Valores Notáveis
π π π π 3π
x (30º)
0 (45º) (60º) (90º) π (180º) (270º) 2π (360º)
6 4 3 2 2
1 2 3
senx 0 1 0 -1 0
2 2 2
3 2 1
cosx 1 0 -1 0 1
2 2 2

Você sabia...
Criada por Edmund Gunter, a palavra cosseno surgiu no
século XVII como sendo o seno do complemento de um
ângulo. Gunter sugeriu combinar os termos “complemento”
e “seno” em co-sinus, que logo foi modiﬁcado para cosinus
e, em português “co-seno”. Os conceitos de seno e cosseno
tiveram origem nos problemas relativos à Astronomia.

Acompanhe alguns exemplos, onde serão calculados os senos e
cossenos de arcos maiores que 360º.

Unidade 2 73


1) Calcule o valor de sen1845º.

Solução:

Primeiramente, calcula-se a 1ª determinação positiva:

2
Então, sen1845º = sen45º = .
2
2
Logo, sen1845º = .
2

2) Calcule o valor de cos(-900º).

Solução:

Deve-se calcular a primeira determinação positiva de (-900º).

Perceba que -180º é a primeira determinação negativa, e precisa-
se da primeira determinação positiva.

Assim: -180º + 360º = 180º.

Logo, a primeira determinação positiva é 180º.

Tem-se, então, que:

cos(-900º)=cos180º=-1

Logo, cos(-900º)=-1
19π
3) Calcule o valor de sen .
.
3
Solução: Vamos calcular a primeira determinação positiva.
19π 18π π π
= + = 6π +
3 3 3 3
π 19π
Assim, temos que 3 é a primeira determinação positiva de .
3

74

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