Tải thêm nhiều tài liệu khác tại www.mientayvn.com

1. Chöông III
DAO ĐỘNG MẠNG TINH THỂ

2. • Các nguyên tử (ion) nằm ở nút mạng luôn dao động
quanh vị trí cân bằng của nó. Dao động này truyền khắp
tinh thể => sóng đàn hồi. Sóng này phụ thuộc vào 2 yếu tố
chính : loại liên kết và cấu trúc mạng tinh thể.
• Đặc trưng của dao động mạng tinh thể giải thích cho các
tính chất nhiệt dung, độ dẫn nhiệt, hệ số dãn nở.
• Dao động mạng và sự tương tác của e-
với mạng tinh thể
đều liên quan chặt chẽ đến nhiều hiện tượng vật lý trong vật
rắn : hấp thụ photon hồng ngoại, nơtron, siêu dẫn, hiệu ứng
nhiệt điện,…

3. Khảo sát các mô hình dao động mạng
đơn giản => sự truyền sóng trong mạng
3.1 Lý thuyết cổ điển
- Chuỗi nguyên tử một loại
- Chuỗi nguyên tử hai loại
- Mạng tinh thể ba chiều
- Phân bố dao động theo tần số
3.2 Lý thuyết lượng tử:
- Lượng tử hóa dao động mạng
- Phonon.
3.3 Nhiệt dung của chất rắn
3.4 Độ dẫn nhiệt và sự dãn nở nhiệt

4. Dao động của mạng một chiềuDao động của mạng một chiều
 Bài toán của một hệ hạt có tương tác vớiBài toán của một hệ hạt có tương tác với
nhau vànhau và dao động với biên độ nhỏdao động với biên độ nhỏ quanh viquanh vi
trí cân bằng là một dạng bài toán cơ bản củatrí cân bằng là một dạng bài toán cơ bản của
Cơ học cổ điểnCơ học cổ điển
Trong thực tế, thường gặp các mạng tinh thể
3 chiều.
 Trong trường hợp nào thì mạng tinh thể 3Trong trường hợp nào thì mạng tinh thể 3
chiều được xét như mạng tinh thể 1 chiều ?chiều được xét như mạng tinh thể 1 chiều ?

5.  Kết quả của bài toán 1 chiều cũng áp dụng được cho
tinh thể 3 chiều nếu ta xét trong một số trường hợp
đặc biệt, khi sóng đàn hồi là thuần tuý dọc hoặc thuần
tuý ngang.
 Trong sóng dọc, các nguyên tử dịch chuyển song
song với phương truyền sóng
 Trong sóng ngang, các nguyên tử dịch chuyển vuông
góc với phương truyền sóng. Trong các trường hợp
này, các nguyển tử nằm trên cùng một mặt phẳng tinh
thể vuông góc với phương truyền sóng thì dao động
giống nhau
 Vì thế, thay cho nghiên cứu chuyển động của mọi
nguyên tử trong tinh thể ta chỉ cần xét chuyển động
của mỗi mặt phẳng tinh thể nguyên tử. Bài toán được
qui về trường hợp mạng tinh thể một chiều.

6. Trường hợp đơn giản nhất : “mạng tinh thể một chiều”
gồm các nguyên tử giống nhau, đặt cách đều nhau trên
một đường thẳng.

8. Các gần đúng nào nào đã được đưa vào
để giải bài toán dao động?
chỉ xét sóng ngang (hoặc sóng dọc), và coi
như chỉ có tương tác giữa nguyên tử đang xét
với hai nguyên tử gần nó nhất.
Các nguyên tử cách đều nhau một khoảng a nên
ô mạng có kích thước là a.
lực tương tác là lực đàn hồi, tức là tỷ lệ với độ
dời khỏi vị trí cân bằng.

9. Trường hợp chuỗi thẳng dài vô hạnTrường hợp chuỗi thẳng dài vô hạn
các nguyên tử có cùng khối lượngcác nguyên tử có cùng khối lượng
Ta có:
 Với:
xn – là độ lệch khỏi vị trí cân bằng của nguyên tử thứ n
f – là he so đàn hồi
Lực tác động lên ng tử thứ n do sự dịch chuyển của ngtử(n-1)
tđộng lên n và (n+1) tđộng lên n => Fn = C(xn+1 -xn)+C(xn-1 -xn)
Nghiệm của phương trình trên có dạng:
 Với : L = na ; q – số sóng
Xn = Aexp i (qna – ωt)

10. Thay nghiệm vào phương trình chuyển động:
 Phương trình trên cho thấy sự phụ thuộc của tần số
dao động ω vào số sóng q và được gọi là hệ thức
tán sắc của dao động
 ω là hàm tuần hoàn của q với chu kỳ 2π/a
Như vậy ta chỉ cần xét q trong khoảng
 khoảng này chứa mọi giá trị khả dĩ của ω
)(sin
2
4 22 qa
m
f
=ω
)()(
)sin(
qq
qa
m
f
−=
=
ωω
ω
2
2

11. q có thứ nguyên nghịch đảo chiều dài, nên nó
chính là đại lượng được xét trong không gian
mạng đảo.

12.  Trong trường hợp đang xét, mạng thuận có chu kỳ a
thì mạng đảo có chu kỳ 2π/a. Mạng đảo của mạng một
chiều cũng là mạng một chiều.
Khoảng giá trị:
trong mạng đảo (ở đây là trường hợp một chiều) gọi
là vùng Brillouin thứ nhất.
Định nghĩa vùng Brillouin thứ nhất như thế nào ?

13. Vùng BrillouinVùng Brillouin
 Cũng giống như với mạng thuận, trong mạng đảo,
có thể xây dựng ô sơ cấp dạng đối xứng trung tâm
(kiểu ô WIGNER – SEITZ của mạng thuận). Trong
mạng đảo, ô này được gọi là vùng Brillouin thứ nhất
 Nó được giới hạn bởi các mặt phẳng trung trực của
các vectơ mạng đảo nối nút đang chọn với các nút
lân cận.
 Khái niệm về mạng đảo và vùng Brillouin được sử
dụng rất thuận tiện để nghiên cứu các vấn đề có liên
quan đến các quá trình sóng trong vật rắn như lý
thuyết về cung năng lượng, lý thuyết về dao động
của mạng tinh thể, hiện tượng nhiễu xạ trong tinh thể
v.v…

14. CAÙCH VEÕ OÂ WIGNER – SEITZ
CHO MAÏNG 2 CHIEÀU

16. ĐỊNH NGHĨA VÙNG BRILLOUIN THỨ NHẤTĐỊNH NGHĨA VÙNG BRILLOUIN THỨ NHẤT
TRONG KG ĐẢOTRONG KG ĐẢO

17. Những vectơ cơ sở của
mạng CFC trong KG
thực
* Ví dụ vùng Brillouin thứ 1
của FCC trong KG đảo, chúng
trở thành mạng I
.*
ijji aa πδ2=

nTGhkl π2=

Nhắc lại :

18. a) Vùng Brillouin thứ 1
cho FCC (Al)
b) Vùng Brillouin thứ 2
cho FCC (Al)

19. Mạng TT trong mạng thực và đảo. Vectơ cơ sở trong mạng
đảo là vectơ b, |b| = 2π/a. Những đường phân đôi vuông góc
của 2 vectơ ngắn nhất ± b của mạng đảo tạo thành những
đường biên giới của vùng Brillouin thứ 1, với k = ± π/a

20.  Nếu xét tại một thời điểm, thì trạng thái dao động của tinh
thể lặp lại một cách tuần hoàn trong không gian, với chu kỳ
là bước sóng λ.
 Ở tâm vùng Brillouin thứ nhất, tức là với qa<<1 (vùng
bước sóng dài, tần số thấp), thì
 Do đó: const
qa
m
f
==
2
2ω
 Như vậy với giá trị q nhỏ, tức là với dao động có bước sóng λ
rất lớn, lớn hơn hằng số mạng a thì ω ∝ q, giống như sóng
truyền trên sợi dây liên tục.
0
0
v
dq
d
v
va
m
f
q
v
gr
ph
==
===
ω
ω
 Vận tốc phase và vận tốc nhóm :

21.  Kết luận nêu trên đúng với dải tần số kéo dài đến 10Kết luận nêu trên đúng với dải tần số kéo dài đến 101212
Hz, đó làHz, đó là
dải tần số của sóng âm và sóng siêu âm, vì vậy các dao độngdải tần số của sóng âm và sóng siêu âm, vì vậy các dao động
ứng với trường hợp này được gọi là dao động âmứng với trường hợp này được gọi là dao động âm
Xn = Aexp iq(xn – v0t) là sóng truyền với vận tốc không đổi
và không phụ thuộc vào vector sóng (q nhỏ).
Khi đó sóng phẳng đơn sắc trở thành :
 Hơn nữa vận tốc pha vHơn nữa vận tốc pha vpp = a(f/m)= a(f/m)1/21/2
= HS và bằng vận tốc truyền= HS và bằng vận tốc truyền
âm trong tinh thể (~ 3.10âm trong tinh thể (~ 3.1055
cm/s)cm/s)

22.  Xét giá trị q lớn, lúc này vận tốc truyền sóng không còn là
hằng số :
 Vận tốc truyền sóng vgr = 0. Điều này chứng tỏ không có năng
lượng được truyền đi, nói cách khác tại biên vùng các kiểu dao
động này không đặc trưng cho sóng chuyển động mà đặc trưng
cho sóng dừng trong mạng.
 Như vậy ở biên vùng Brillouin vận tốc truyền sóng bằng không
ứng với sự tạo thành sóng đứng => không truyền năng lượngkhông truyền năng lượng.
2
qa
m
f
a
dq
d
vgr cos==
ω
 Ở giá trị
)(
)sin(
2
2
0
qa
qa
v
q
vph ==
ω

23.  Hiện tượng: các kiểu dao động ứng với biên vùng
Brillouin có bước sóng λ = 2a thoả mãn điều kiện
nhiễu xạ Bragg, với d = a; θ=π/2 và n = 1. Như vậy
sóng phản xạ và sóng tới giao thoa nhau sẽ tạo
thành sóng dừng

24.  Với
 Đó là giá trị bước sóng ngắn nhất có thể tồn tại
trong mạng tinh thể. Nó ứng với trường hợp hai
nguyên tử lân cận dao động ngược pha nhau.
a2min =λ Ta có
 Do đó, có tất cả N giá trị được phép của vector
sóng (và bước sóng) nằm trong khoảng: -π/a <q< π/a
 Mỗi giá trị đó tương ứng một mode dao động của
mạng. Mode đó được gọi là mode chuẩn.

25.  Trong thực tế không có tinh thể lớn vô hạn mà
chỉ có tinh thể chứa rất nhiều nguyên tử N >> 1:
xét ảnh hưởng của biên tinh thể. Trong trường
hợp mạng một chiều đó chính là đầu và cuối của
dãy nguyên tử.
 Tuy nhiên nếu mạng tinh thể đủ lớn, thì ảnh
hưởng của biên là rất nhỏ, và tính chất của tinh
thể cũng gần giống như khi là mạng vô hạn.

26. Điều kiện biên tuần hoànĐiều kiện biên tuần hoàn
 Để bảo toàn tính đối xứng tịnh tiến của mạng tinh thể, ta đưa ra
điều kiện biên tuần hoàn Born-Karman như sau: dao động
của nguyên tử ở cuối dãy (nút thứ N) giống hệt như dao động
của nguyên tử ở đầu dãy (nút thứ 1) => mạng một chiều có đầu
và cuối nối nhau thành một vòng kín.
 Giả thiết về điều kiện biên tuần hoàn giúp cho việc tính toán
được thuận lợi nhưng không ảnh hưởng gì tới kết quả vật lý.

27.  Từ điều kiện biên tuần hoàn ta có:Từ điều kiện biên tuần hoàn ta có:
Với: j - là số nguyênVới: j - là số nguyên
Trong mạng một chiều ta có:Trong mạng một chiều ta có:
Vì vậy các giá trị j nằm trong khoảng :Vì vậy các giá trị j nằm trong khoảng :
Xn = Aexp i (qna – ωt)
exp iqna = exp i(n+N)qa
⇒exp iNqa = 1 = exp 2πj
⇒ q = 2 πj/Na (j ϵ Z)
22
N
j
N
≤≤−

28. Hệ quả của điều kiện biên tuầnHệ quả của điều kiện biên tuần
hoànhoàn
 Nghiệm tổng quát thu được là:Nghiệm tổng quát thu được là:
 Các giá trị của j cho ta N giá trị khác nhau của q. Như
vậy điều kiện biên tuần hoàn đã đưa đến sự gián
đoạn của giá trị vectơ sóng q.
 Các giá trị của q cách nhau 2π/N
 Trong phổ ω(q) chỉ có các giá trị của ω ứng với N giá
trị đó của q.
∑ −=
s
ssn tj
N
n
iAx )(exp ω
π2

29. Câu hỏiCâu hỏi