Μεθοδολογία επίλυσης εκθετικών και λογαριθμικών εξισώσεων με παραδείγματα από τις ασκήσεις του σχολικού βιβλίου της Άλγεβρας Β' Λυκείου

1. Επηκέιεηα: Αρηιιέαο Παπαηζίκπαο – Μαζεκαηηθόο M.Sc.
1
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΠΙΛΤ΢Η΢ ΕΚΘΕΣΙΚΩΝ ΚΑΙ
ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΩΝ ΕΞΙ΢Ω΢ΕΩΝ – ΑΝΙ΢Ω΢ΕΩΝ
I. Εκθετικέρ εξισώσειρ
1η
περίπτωση:
 ( )
f x
  αλ  
  (δειαδή ην  λα γξάθεηαη ωο δύλακε ηνπ  )
( )
( )
( )
f x
f x
f x

 
 

 
 

Παξάδεηγκα: Να ιπζεί ε εθζεηηθή εμίζωζε 2 64.x
 (Σχ. βιβλίο, άζκηζη 2 i, ζελ. 170)
6
2 64
2 2
6
x
x
x
 
 

 ( )
f x
 
Aλ ην  δελ γξάθεηαη ωο δύλακε ηνπ  , ηόηε ινγαξηζκνύκε:
( )
( )
log log
( ) log log
( ) log
f x
f x
f x
f x
 
 

 
 
 

 
 
  

Παξάδεηγκα: Να ιπζεί ε εθζεηηθή εμίζωζε 1 1
3 2 .x x 
 (Σχ. βιβλίο, άζκηζη 6 ii Ά
ομάδας, ζελ. 185)
1 1
1 1
3 2
log3 log 2
( 1)log3 ( 1)log 2
log3 log3 log 2 log 2
(log3 log 2) log 2 log3
log(2 3)
3
log
2
log6
log1,5
4,41902
x x
x x
x x
x x
x
x
x
x
 
 
 
 
   
   
   

 
 
 
 
 

2. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΠΙΛΤ΢Η΢ ΕΚΘΕΣΙΚΩΝ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΩΝ ΕΞΙ΢Ω΢ΕΩΝ - ΑΝΙ΢Ω΢ΕΩΝ
Επηκέιεηα: Αρηιιέαο Παπαηζίκπαο – Μαζεκαηηθόο M.Sc.
2
2η
περίπτωση: ( ) ( )f x g x
 
Αθνινπζνύκε ηελ ίδηα κεζνδνινγία όπωο ζηελ 1ε
πεξίπηωζε.
Παξάδεηγκα: Να ιπζεί ε εθζεηηθή εμίζωζε
2
2
3 1.x x 
 (Σχ. βιβλίο, άζκηζη 2 viii, ζελ.
170)
2
2
2
2 0
2
3 1
3 3
2 0
2 ή -1
x x
x x
x x
x x
 
 
 
 
   
 
3η
περίπτωση: ( ) ( ) ( ) 
   3 2
0f x f x f x
   
Θέηνπκε ( )f x
  θαη κεηαηξέπνπκε ηελ παξαπάλω εθζεηηθή εμίζωζε ζε
πνιπωλπκηθή ηελ νπνία ιύλνπκε κε ζρήκα Horner ή κε παξαγνληνπνίεζε.
Παξάδεηγκα: Να ιπζεί ε εθζεηηθή εμίζωζε 2 1
3 26 3 9 0.x x
    (Σχ. βιβλίο, άζκηζη
3 iii, ζελ. 170)
Είλαη:
 
2 1
2
2
3 26 3 9 0
3 3 26 3 9 0
3 3 26 3 9 0
x x
x x
x x

    
     
    
Θέηνπκε 3x
 .
Η εμίζωζε γίλεηαη: 2 2
1 2
1
3 26 9 0 26 108 784, 9,
3
             
 Γηα 1 9  έρνπκε:
2
3 9
3 3
2
x
x
x
 
 

 Γηα 2
1
3
   έρνπκε:
1
3
3
x
  Αδύλαηε
4η
περίπτωση: ( )
( ) 1g x
f x
Οη ιύζεηο ηεο παξαπάλω εμίζωζεο πξνθύπηνπλ από ηηο:

3. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΠΙΛΤ΢Η΢ ΕΚΘΕΣΙΚΩΝ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΩΝ ΕΞΙ΢Ω΢ΕΩΝ - ΑΝΙ΢Ω΢ΕΩΝ
Επηκέιεηα: Αρηιιέαο Παπαηζίκπαο – Μαζεκαηηθόο M.Sc.
3
( ) 1f x  ή
( ) 0
( ) 0
g x
f x



ή
( ) 1
( ) άξηηνο
f x
g x
 


Παξάδεηγκα: Να ιπζεί ε εθζεηηθή εμίζωζε  
5 72
3 1 1.
x
x x

  
Είλαη:
2
2
3 1 1
3 0
0 ή 3
x x
x x
x x
   
  
 
ή
2
2
5 7 0
3 1 0
7
5
3 1 0
x
x x
x
x x
 

  



   
ή
2
3 1 1
5 7 άξηηνο
1, 2 (απνξξίπηεηαη)
x x
x
x x
    


 
Άξα νη ιύζεηο είλαη:
7
0, , 1, 3.
5
x x x x   
5η
περίπτωση: Εθζεηηθέο εμηζώζεηο ηεο κνξθήο:
( ) ( )
 


   
2 2
0
x x
f x f x
x x x x
 
 
   
Λύλνληαη κε ηελ αληηθαηάζηαζε
x



 
 
 
ή
( )f x



 
 
 
θαη αλάγνληαη ζε
πνιπωλπκηθέο εμηζώζεηο.
Παξάδεηγκα: Να ιπζεί ε εθζεηηθή εμίζωζε 3 4 2
21 3 5 3 5 .x x x x  
    (Σχ. βιβλίο,
άζκηζη 2 iii, ζελ. 171)
3 4 2 3 4 2
21 3 5 3 5 21 3 5 5 3 3 5 5x x x x x x x x  
           

4. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΠΙΛΤ΢Η΢ ΕΚΘΕΣΙΚΩΝ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΩΝ ΕΞΙ΢Ω΢ΕΩΝ - ΑΝΙ΢Ω΢ΕΩΝ
Επηκέιεηα: Αρηιιέαο Παπαηζίκπαο – Μαζεκαηηθόο M.Sc.
4
Δηαηξνύκε κε 3x
όινπο ηνπο όξνπο, νπόηε έρνπκε:
5 5
21 125 81 25
3 3
x x
   
       
   
Θέηνπκε
5
3
x

 
 
 
θαη ε εμίζωζε γίλεηαη:
21 125 81 25
125 25 81 21
100 60
3
5
 
 


   
   
 

Άξα:
5 3
3 5
3 3
5 5
1
1
x
x
x
x

 
  
 
 
  
 
  
 
II. Εκθετικέρ ανισώσειρ
Υξεζηκνπνηνύκε θάπνηα από ηηο παξαπάλω κεζόδνπο πνπ αλαθέξακε θαη
θαηαιήγνπκε ζηε κνξθή:
( ) ( ) ( ) ( ), αλ 0 1
( ) ( ), αλ 1
f x g x f x g x
f x g x

 

  
  
 
Παξάδεηγκα 1: Να ιπζεί ε εθζεηηθή αλίζωζε 2 4 1
7 7 .x x 
 (Σχ. βιβλίο, άζκηζη 4 ii,
ζελ. 170)
2 4 1
7 7x x 
  (7x
γλεζίωο αύμνπζα)
2 4 1
5
x x
x
   

Παξάδεηγκα 2: Να ιπζεί ε εθζεηηθή αλίζωζε
1 2 4
1 1
.
2 2
x x 
   
   
   
(Σχ. βιβλίο, άζκηζη
4 iii, ζελ. 170)

5. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΠΙΛΤ΢Η΢ ΕΚΘΕΣΙΚΩΝ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΩΝ ΕΞΙ΢Ω΢ΕΩΝ - ΑΝΙ΢Ω΢ΕΩΝ
Επηκέιεηα: Αρηιιέαο Παπαηζίκπαο – Μαζεκαηηθόο M.Sc.
5
1 2 4
1 1
2 2
x x 
   
    
   
(
1
2
x
 
 
 
γλεζίωο θζίλνπζα)
1 2 4
5
5
x x
x
x
   
 

III. Εκθετικά σςστήματα
Σα ζπζηήκαηα ηεο κνξθήο:
x y
x y
  
  
  

 
ιύλνληαη κε ηελ αληηθαηάζηαζε x
  θαη .y
 
Παξάδεηγκα: Να ιπζεί ην εθζεηηθό ζύζηεκα (Σχ. βιβλίο, άζκηζη 5 ii, ζελ. 170)
3 2 11
3 2 7
x y
x y
  

 
Θέηνπκε 3x
 θαη 2 .y

Σν ζύζηεκα γίλεηαη ηόηε:
11
7
2 18
7
9
2
 
 

 


 

 


 



Άξα:
2
3 9
3 3
2
x
x
x
 
 

θαη
1
2 2
2 2
1
y
y
y
 
 


6. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΠΙΛΤ΢Η΢ ΕΚΘΕΣΙΚΩΝ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΩΝ ΕΞΙ΢Ω΢ΕΩΝ - ΑΝΙ΢Ω΢ΕΩΝ
Επηκέιεηα: Αρηιιέαο Παπαηζίκπαο – Μαζεκαηηθόο M.Sc.
6
IV. Λογαπιθμικέρ εξισώσειρ
Γηα λα ιύζνπκε κηα ινγαξηζκηθή εμίζωζε πξνζπαζνύκε λα ηε θέξνπκε ζηε κνξθή:
log ( ) log ( )f x g x νπόηε ( ) ( ).f x g x
Πξέπεη επίζεο λα πξνζέρνπκε ηνπο πεξηνξηζκνύο. ΢πγθεθξηκέλα, πξέπεη όιεο νη
παξαζηάζεηο ηωλ ινγαξίζκωλ λα είλαη ζεηηθέο. Απηό ζεκαίλεη όηη πξέπεη λα
ζπλαιεζεύνπλ όινη νη πεξηνξηζκνί.
Παξάδεηγκα: Να ιπζεί ε ινγαξηζκηθή εμίζωζε log( 1) log( 1) log2.x x    (Σχ.
βιβλίο, άζκηζη 5 i, Ά ομάδας ζελ. 185)
Οη πεξηνξηζκνί είλαη:
1 0
1
1 0
x
x
x
 
 
 
Άξα:
 
2
2
2
log( 1) log( 1) log 2
log ( 1)( 1) log 2
log( 1) log 2
1 2
3
3 ή 3
x x
x x
x
x
x
x x
    
   
  
  
 
  
Επεηδή ηζρύεη 1x  από ηνπο πεξηνξηζκνύο, δεθηή είλαη κόλν ε 3.x 
V. Λογαπιθμικέρ ανισώσειρ
΢θνπόο καο είλαη λα ηηο θέξνπκε ζηε κνξθή log ( )f x  ή log ( )g x . Γλωξίδνληαο
όηη νη ζπλαξηήζεηο log ( )f x θαη ln ( )f x είλαη γλεζίωο αύμνπζεο έρνπκε:
log ( ) log ( ) ( ) ( )f x g x f x g x   ή ln ( ) ln ( ) ( ) ( )f x g x f x g x  
Φπζηθά, δελ μερλάκε ηνπο πεξηνξηζκνύο!
Παξάδεηγκα: Να ιπζεί ε αλίζωζε  2
log 4 log3 .x x  (Σχ. βιβλίο, άζκηζη 8 ii, ΄Β
ομάδας, ζελ. 185)
Οη πεξηνξηζκνί είλαη:

7. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΠΙΛΤ΢Η΢ ΕΚΘΕΣΙΚΩΝ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΩΝ ΕΞΙ΢Ω΢ΕΩΝ - ΑΝΙ΢Ω΢ΕΩΝ
Επηκέιεηα: Αρηιιέαο Παπαηζίκπαο – Μαζεκαηηθόο M.Sc.
7
2
4 0
2
3 0
x
x
x
  
 

Άξα:
 2
2
2
log 4 log3
4 3
3 4 0
( 1)( 4) 0
1 4
x x
x x
x x
x x
x
  
  
   
   
  
Επεηδή ηζρύεη 2x  από ηνπο πεξηνξηζκνύο, ε αλίζωζε αιεζεύεη αλ 2 4.x 
VI. Λογαπιθμικά σςστήματα
Λνγαξηζκηθά ζπζηήκαηα είλαη ηα ζπζηήκαηα πνπ κία ηνπιάρηζηνλ από ηηο εμηζώζεηο
ηνπο είλαη ινγαξηζκηθή. Γηα ηε ιύζε ηνπο βαζηδόκαζηε ζηηο ηδηόηεηεο:
logx
x      θαη 1 2 1 2log logx x x x   
θαζώο επίζεο θαη ζηηο ηδηόηεηεο ηωλ ινγαξίζκωλ.
Έηζη θαηαιήγνπκε ζε ζπζηήκαηα ρωξίο ινγαξίζκνπο, ηα νπνία ιύλνπκε κε ηνπο
γλωζηνύο ηξόπνπο.
Προζοχή! Δελ μερλάκε ηνπο πεξηνξηζκνύο.
Παξάδεηγκα: Να ιπζεί ην ινγαξηζκηθό ζύζηεκα (Σχ. βιβλίο, άζκηζη 7 iii, ΄Β ομάδας,
ζελ. 185)
2
2log log log2
y x
y x


 
Οη πεξηνξηζκνί είλαη: 0x  θαη 0.y  Άξα:

8. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΠΙΛΤ΢Η΢ ΕΚΘΕΣΙΚΩΝ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΩΝ ΕΞΙ΢Ω΢ΕΩΝ - ΑΝΙ΢Ω΢ΕΩΝ
Επηκέιεηα: Αρηιιέαο Παπαηζίκπαο – Μαζεκαηηθόο M.Sc.
8
2
2
2
2
2log log log 2
2
log log 2
2
2
2
2
1, αθνύ 0
1
2
1
y x
y x
y x
y x
y x
y x
y x
y y
y x
y y
x
y


 











 



 