Доказываем достаточные условия существования в графе гамильтоновых циклов: условия Эрдёша—Хватала, Асратяна—Хачатряна, Хватала. Доказываем необходимые условия существования гамильтонова цикла в планарном графе (теорема Гринберга). [Слайды курса, прочитанного в МФТИ в 2013 году.]

1. Основы теории графов
осень 2013
Александр Дайняк
www.dainiak.com

2. Гамильтоновы циклы
• Гамильтонов цикл — через каждую вершину графа проходит
ровно по одному разу
• Гамильтонов граф — граф, в котором есть гамильтонов цикл

3. Гамильтоновы циклы
• В отличие от эйлеровых циклов, пока нет ни хороших критериев
гамильтоновости, ни быстрых алгоритмов построения г.ц.
• Есть некоторые достаточные условия существования
гамильтоновых циклов.
В основном, утверждения типа «если граф «достаточно плотный»,
то в нём есть г.ц.»

4. Теорема Хватала—Эрдёша
Теорема. (Erdős, Chvátal ’1972)
Если 훼 퐺 ≤ 휅 퐺 , то граф 퐺 гамильтонов.
Доказательство:
Допустим, что 퐺 негамильтонов и покажем, что в этом случае
훼 퐺 > 휅 퐺 .
Рассмотрим цикл 퐶 в 퐺, имеющий максимальную длину.
По предположению, 푉 퐶 ≠ 푉 퐺 .

5. Теорема Хватала—Эрдёша
Пусть 퐵 ⊂ 퐺 — одна из компонент связности (возможно,
единственная) графа 퐺 − 퐶 .
Так как 퐺 связный, то есть рёбра между 퐵 и 퐶.
퐵
퐶

6. Теорема Хватала—Эрдёша
+ — вершины
Пусть 퐶퐵 — вершины 퐶, смежные с 퐵, и пусть 퐶퐵
цикла 퐶, «следующие» за вершинами из 퐶퐵 (в некоторой
ориентации 퐶).
퐶퐵
+
퐶퐵
Удаление из 퐺 всех вершин, входящих в 퐶퐵 , нарушает
связность 퐺, поэтому
+
휅 퐺 ≤ 퐶퐵 = 퐶퐵

7. Теорема Хватала—Эрдёша
+ не смежны между собой, так как иначе цикл 퐶 можно было бы
Вершины из 퐶퐵
увеличить:
+ и 퐵 рёбер нет, иначе длину цикла можно увеличить:
Также, между 퐶퐵

8. Теорема Хватала—Эрдёша
+ добавить любую вершину из 퐵,
Следовательно, если к 퐶퐵
+ + 1 в 퐺.
получится независимое множество размера 퐶퐵
Отсюда
+ ≥ 휅 퐺 ,
훼 퐺 > 퐶퐵
что и требовалось.

9. Теорема Асратяна—Хачатряна
Теорема. (А. С. Асратян, Н. К. Хачатрян ’1990)
Пусть граф 퐺 связен и пусть для любой тройки 푢, 푣, 푤 ∈ 푉 퐺 ,
такой, что 푢푣, 푣푤 ∈ 푉 퐺 и 푢푤 ∉ 푉 퐺 выполнено неравенство
푑 푢 + 푑 푤 ≥ 푁 푢 ∪ 푁 푣 ∪ 푁 푤 .
Тогда граф 퐺 гамильтонов.
푢 푣 푤 푢, 푣, 푤 образуют
порождённую цепь в 퐺

10. Теорема Асратяна—Хачатряна
Для любой порождённой цепи 푢푣푤 выполнены неравенства
푁 푢 ∩ 푁 푤 = 푑 푢 + 푑 푤 − 푁 푢 ∪ 푁 푤 ≥
≥ 푁 푢 ∪ 푁 푣 ∪ 푁 푤 − 푁 푢 ∪ 푁 푤 =
= 푁 푣 − 푁 푣 ∩ 푁 푢 ∪ 푁 푤 = 푁 푣 ∖ 푁 푢 ∪ 푁 푤 =
= 푁 푣 ∖ 푁 푢, 푤
В переходе «≥» мы использовали условие теоремы, во всех остальных
переходах — теоретико-множественные простые свойства.

11. Теорема Асратяна—Хачатряна
Для любой порождённой цепи 푢푣푤 имеем
푁 푢 ∩ 푁 푤 ≥ 푁 푣 ∖ 푁 푢, 푤
В частности, 푁 푢 ∩ 푁 푤 ≥ 푢, 푤 = 2, следовательно в 퐺 есть
циклы.
Пусть 퐶 —максимальный простой цикл в 퐺.
Предположив, что 푉 퐺 ∖ 푉 퐶 ≠ ∅, придём к противоречию.

12. Теорема Асратяна—Хачатряна
Пусть 푥 ∈ 푉 퐺 − 퐶 , и 푁 푥 ∪ 푉 퐶 ≠ ∅.
Зафиксируем некоторую ориентацию цикла 퐶.
Положим 퐶푥 ≔ 푉 퐶 ∩ 푁 푥 , и пусть 퐶푥
+ — множество
«последователей» вершин из 퐶푥 на цикле 퐶:
푥
퐶
퐶푥
+
퐶푥
퐺
+ = ∅.
Из максимальности 퐶 следует, что 퐶푥 ∩ 퐶푥

13. Теорема Асратяна—Хачатряна
+ не смежна:
Никакая пара вершин из 푥 ∪ 퐶푥
Если 푥 смежна с
вершиной из 퐶푥
+ 푥 푥
Если вершины
из 퐶푥
+ смежны 푥 푥

14. Теорема Асратяна—Хачатряна
+ не имеет общих соседей вне
Никакая пара вершин из 푥 ∪ 퐶푥
цикла 퐶:
Если сосед вне 퐶 есть
у 푥 и вершины из 퐶+
푥
Если сосед вне 퐶 есть
у пары вершин из 퐶+
푥
푥 푥
푥 푥

15. Теорема Асратяна—Хачатряна
+ не смежны, а значит,
Никакие две вершины из 푥 ∪ 퐶푥
порождённой цепью в 퐺 является каждая тройка вершин 푥푦푦+, где
푦 ∈ 퐶+ + + 푥 и 푦∈ 퐶푥
(푦— последователь 푦 на 퐶).
Тогда 푁 푥 ∩ 푁 푦+ ≥ 푁 푦 ∖ 푁 푥, 푦+ .
Так как 퐶+ 푥
∪ 푥 ∩ 푁 푥, 푦+ = ∅, то
푁 푦 ∖ 푁 푥, 푦+ ≥ 푁 푦 ∩ 퐶푥
+ ∪ 푥 = 푁 푦 ∩ 퐶푥
+ + 1.
+ ≤ 푁 푥 ∩ 푁 푦+ − 1.
Отсюда 푁 푦 ∩ 퐶푥

16. Теорема Асратяна—Хачатряна
Итак, для каждой тройки вида 푥푦푦+ имеем
+ ≤ 푁 푥 ∩ 푁 푦+ − 1.
푁 푦 ∩ 퐶푥
+ — число рёбер 퐺, соединяющих вершины из 퐶푥 и
Пусть 퐶푥 , 퐶푥
+. Получаем
퐶푥
+ =
퐶푥 , 퐶푥
푦∈퐶푥
+ ≤
푁 푦 ∩ 퐶푥
푦∈퐶푥
푁 푥 ∩ 푁 푦+ − 1 =
= − 퐶푥 +
푦∈퐶푥
푁 푥 ∩ 푁 푦+

17. Теорема Асратяна—Хачатряна
+ не имеют общих соседей вне 퐶,
Никакие две вершины из 푥 ∪ 퐶푥
поэтому
푁 푥 ∩ 푁 푦+ = 퐶푥 ∩ 푁 푦+
Отсюда
+ ≤ − 퐶푥 +
퐶푥 , 퐶푥
푦∈퐶푥
푁 푥 ∩ 푁 푦+ =
= − 퐶푥 +
푦∈퐶푥
퐶푥 ∩ 푁 푦+ = − 퐶푥 + 퐶푥 , 퐶푥
+
—противоречие.

18. Теоремы Дирака и Оре
Теорема. (Асратян, Хачатрян ’1990)
Если граф 퐺 связен и для любой порождённой цепи 푢푣푤
выполнено неравенство
푑 푢 + 푑 푤 ≥ 푁 푢 ∪ 푁 푣 ∪ 푁 푤 ,
то граф 퐺 гамильтонов.
Следствие. (Ore ’1960)
Если для любых несмежных 푢, 푣 ∈ 푉 퐺 выполнено неравенство
푑 푢 + 푑 푣 ≥ 퐺 , то граф 퐺 гамильтонов.
Следствие. (Dirac ’1952)
Если 훿 퐺 ≥ 퐺 2, то граф 퐺 гамильтонов.

19. Гамильтоновы последовательности
Степенной последовательностью графа 퐺 называется набор
чисел 푑 푣 푣∈푉 퐺 , упорядоченный по возрастанию.
Последовательность чисел 푎1 ≤ 푎2 ≤ ⋯ ≤ 푎푛 называется
гамильтоновой, если гамильтоновым является любой граф 퐺,
такой, что его степенная последовательность 푑푖 푖=1
푛 удовлетворяет
условиям 푑1 ≥ 푎1, … , 푑푛 ≥ 푎푛.

20. Теорема Хватала
Теорема. (Chvátal ’1972)
Последовательность 0 < 푎1 ≤ ⋯ ≤ 푎푛 < 푛 гамильтонова, если и
только если для каждого 푘 ∈ 1, 푛 2 выполнено условие:
푎푘 ≤ 푘 ⇒ 푎푛−푘 ≥ 푛 − 푘.

21. Необходимость условий Хватала
Доказательство необходимости:
Допустим, для некоторого 푘 < 푛
2 условия нарушены, то есть 푎푘 ≤
푘 и 푎푛−푘 ≤ 푛 − 푘 − 1.
Построим негамильтонов граф 퐺 со следующей степенной
последовательностью:
• 푑1 = ⋯ = 푑푘 ≔ 푘
• 푑푘+1 = ⋯ = 푑푛−푘 ≔ 푛 − 푘 − 1
• 푑푛−푘+1 = ⋯ = 푑푛 ≔ 푛 − 1
(Очевидно, ∀푖 푑푖 ≥ 푎푖.)

22. Необходимость условий Хватала
Негамильтонов граф 퐺:
• 푑1 = ⋯ = 푑푘 ≔ 푘
• 푑푘+1 = ⋯ = 푑푛−푘 ≔ 푛 − 푘 − 1
• 푑푛−푘+1 = ⋯ = 푑푛 ≔ 푛 − 1
푣푘
푣1
⋮
푣푛
푣푛−푘+1
⋮
푣푛−푘
푣푘+1
⋮
Полный двудольный подграф на вершинах 푣1, … , 푣푘 ; 푣푛−푘+1, … , 푣푛,
клика на вершинах 푣푘+1, … , 푣푛.
Никакой простой цикл в 퐺 не может содержать одновременно
вершины 푣1, … , 푣푘 ; 푣푛−푘+1, … , 푣푛 и 푣푘+1.

23. Достаточность условий Хватала
Допустим, что нашёлся негамильтонов граф, удовлетворяющий
условиям Хватала:
∀푘 < 푛
2 푑푘 ≤ 푘 ⇒ 푑푛−푘 ≥ 푛 − 푘
Добавление рёбер в граф не нарушает условий Хватала. Будем
добавлять в наш граф рёбра, пока не получим граф 퐺, такой, что
• 퐺 удовлетворяет условиям Хватала,
• 퐺 негамильтонов,
• 퐺 + 푥푦 гамильтонов для любых 푥, 푦 ∈ 푉 퐺 , таких, что 푥푦 ≠
퐸 퐺 .

24. Достаточность условий Хватала
Выберем в 퐺 пару несмежных вершин 푥, 푦, таких, что 푑 푥 ≤ 푑 푦
и что сумма 푑 푥 + 푑 푦 максимально возможная.
В 퐺 есть гамильтонов путь из 푥 в 푦:
푥 푣1 푣푖 푣푖+1 푦
⋯ ⋯
Вершина 푦 не может быть смежна с «левыми соседями»
вершин из 푁 푥 , иначе в 퐺 был бы гамильтонов цикл.
Поэтому 푑 푦 ≤ 푛 − 1 − 푑 푥 , то есть 푑 푥 + 푑 푦 < 푛.

25. Достаточность условий Хватала
Положим 푘 ≔ 푑 푥 < 푛
2.
Так как 푉 퐺 ∖ 푁 푦 ≥ 푑 푥 = 푘 и 푑 푥 + 푑 푦 максимальна, то
푣 ∈ 푉 퐺 ∣ 푑 푣 ≤ 푘 ≥ 푘.
Значит, в степенной последовательности графа 퐺 имеем
푑1 ≤ 푘, … , 푑푘 ≤ 푘. Следовательно,
푑푛−푘 ≥ 푛 − 푘, … , 푑푛 ≥ 푛 − 푘.
Отсюда 푣 ∈ 푉 퐺 ∣ 푑 푣 ≥ 푛 − 푘 ≥ 푘 + 1 > 푑 푥 и найдётся 푧 ∈
푉 퐺 ∖ 푁 푥 такая, что 푑 푧 ≥ 푛 − 푘.
Но тогда 푑 푥 + 푑 푧 ≥ 푛 > 푑 푥 + 푑 푦 , — противоречие.

26. Гамильтоновость и связность
Утверждение.
• Каждый гамильтонов граф двусвязен
• Для любого 푘 существуют 푘-связные негамильтоновы графы

27. Гамильтоновость и планарность
Утверждение.
Существуют негамильтоновы планарные трёхсвязные графы. Их
можно найти даже среди триангуляций.
Для графа справа 훼 퐺 = 6 и 퐺 = 11,
в то время как у гамильтоновых
графов 훼 퐺 ≤ 퐺 2.

28. Гамильтоновость и планарность
Теорема. (Whitney ’1932)
Если 퐺 триангуляция, и если в 퐺 каждый цикл длины 3
ограничивает некоторую грань, то 퐺 является гамильтоновым.
Теорема. (Tutte ’1946)
Каждый 4-связный планарный граф является гамильтоновым.

29. Гамильтоновость и планарность
Планарность+трёхсвязность+регулярность тоже не гарантирует
гамильтоновости. (Tutte ’1946)
Пример графа (Гринберг ’1968):

30. Теорема Гринберга
Теорема. (Э. Я. Гринберг ’1968)
Для любой укладки планарного гамильтонова графа 퐺 и для
любого гамильтонова цикла 퐶 выполняется соотношение
퐺
푘=1
푖푛푡 =
푘 − 2 푓푘
퐺
푘=1
푒푥푡 = 퐺 − 2,
푘 − 2 푓푘
푖푛푡 и 푓푘
где 푓푘
푒푥푡 — число граней периметра 푘, лежащих внутри и вне
퐶 соответственно.

31. Теорема Гринберга
Доказательство:
Пусть 퐸푖푛푡 — множество рёбер графа 퐺, попадающих внутрь цикла 퐶.
Пусть 퐹푖푛푡 — грани 퐺, лежащие внутри 퐶.
Заметим, что выполнено равенство
퐹푖푛푡 = 퐸푖푛푡 + 1
퐶

32. Теорема Гринберга
Каждое ребро из 퐸푖푛푡 отграничивает две грани из 퐹푖푛푡 , а каждое
ребро в 퐶 лежит на границе ровно одной грани из 퐹푖푛푡 , поэтому
сумма периметров всех граней из 퐹푖푛푡 равна
퐸 퐶 + 2 퐸푖푛푡 = 퐺 + 2 퐹푖푛푡 − 1 =
= 퐺 − 2 + 2 ⋅
푛
푘=1
푖푛푡
푓푘
С другой стороны, та же сумма периметров равна
푛
푘=1
푖푛푡
푘 ⋅ 푓푘

33. Теорема Гринберга
Получаем
푛
푘=1
푖푛푡 = 퐺 − 2 + 2 ⋅
푘 ⋅ 푓푘
푛
푘=1
푖푛푡
푓푘
Отсюда
푛
푘=1
푖푛푡 = 퐺 − 2.
푘 − 2 ⋅ 푓푘
Второе равенство из утверждения теоремы доказывается точно так
же.

34. Теорема Гринберга
Следствие из теоремы Гринберга.
Граф Гринберга негамильтонов.
Доказательство: из теоремы следует, что для гамильтонова графа
должно быть выполнено
푛
푘=1
푖푛푡 − 푓푘
푘 − 2 ⋅ 푓푘
푒푥푡 = 0
В графе Гринберга грани имеют периметры только 4,5,8, поэтому
для него нулю равнялась бы сумма
푖푛푡 − 푓4
2 푓4
푖푛푡 − 푓5
푒푥푡 + 3 푓5
푒푥푡 + 6 푓8
푖푛푡 − 푓8
푒푥푡

35. Теорема Гринберга
Из равенства нулю суммы
푖푛푡 − 푓4
2 푓4
푖푛푡 − 푓5
푒푥푡 + 3 푓5
푒푥푡 + 6 푓8
푖푛푡 − 푓8
푒푥푡
푖푛푡 − 푓4
следует, что 2 푓4
푒푥푡 делится на 3.
Но в графе Гринберга только одна грань периметра 4 (внешняя),
поэтому
푖푛푡 − 푓4
2 푓4
푒푥푡 ∈ −2, 2
Получаем противоречие. Следовательно, граф Гринберга
негамильтонов.