O documento discute intervalos de confiança para estimar parâmetros populacionais a partir de amostras. Apresenta como construir intervalos de confiança para a média usando a distribuição normal para amostras grandes e a distribuição t de Student para amostras pequenas. Também mostra como estimar intervalos de confiança para proporções populacionais usando uma aproximação binomial.

1. Estatística e Probabilidade
er
ei mac Aula 10 – Cap 06
he r
n St
eima
ch
o n St s o
ss Alys
Dr . Aly D r.
rof. Prof.
P
Intervalos de
confiança
Estatística Inferencial
er er
ch ch
ima eima
on S
te
s o n St
. Aly
ss r. Alys
Dr f. D
Pro
f. Pro

2. Estatística e Probabilidade
Definições
Estimativa Intervalar:
r
é um intervalocher a (ou amplitude) de valores usadoteimache para
teim S
estimar sso
um n S parâmetro populacional. ly s so n
Aly . r. A D
Dr rof.
Prof. P
Estimativa pontual
x = 12,9
•
9 10 11 12 13 14 15 16 17
11,4 14,5
Extremo esquerdo Extremo direito
11,4 < x < 14,5
Estimativa intervalar
her er
ac ma ch
Nível deoconfiança c é a probabilidade de que osson
Steim Stei
intervalo
ly s s n ly
estimado contenha o parâmetro populacional.r. A
D r. A f. D
Prof. Pro

3. Estatística e Probabilidade
Intervalos de Confiança para a Média
(amostras grandes)
r ch er
Definição: mac
he
eima
n St
ei
s o n St
s so Alys
. Aly
Uma estimativa pontual é uma estimativaDde um único
Dr f.
r.
Prof. Pro
valor para um parâmetro populacional.
A melhor estimativa pontual da média populacional μ é a
media amostral x
er ch er
a ch eima
eim n St
o n St s o
. Aly
ss r. Alys
Dr f. D
Pro
f. Pro

4. Estatística e Probabilidade
Exemplo: Estimativa Pontual
A Tabela abaixo apresenta os dados de uma amostra aleatória com
35 preços de passagens (em dólares) para um vôo só de ida de
r er
a ch e ma ch
Atlanta a Chicago. Determine a estimativa pontual para a média tei
teim on S
nS ly s s
populacional
ly sso μ. .A
f. D
r. A f. Dr
Pro Pro
A média amostral é:
er ch er
a ch eima
eim n St
o n St s o
. Aly
ss r. Alys
Dr f. D
Pro
f. Pro

5. Estatística e Probabilidade
Estimativa Intervalar
Estimativa Intervalar é um intervalo (ou amplitude) de
r
valores usadoapara estimar um parâmetro populacional.che
im
ch e
r
teim
a
te on S
s s on S ly s s
r. A
ly D r. A
f. D Estimativa pontual rof.
Pro P
x = 101,77
•
97 98 99 100 101 102 103 104 105
99,35 102,5
Extremo esquerdo Extremo direito
99,35 < x < 102,5
Estimativa intervalar
er er
a ch a ch
Nível de Stconfiança c
eim é a probabilidade den Steim o que
ss o n ly sso
intervalo estimado contenha o
Dr . Aly parâmetro populacional.
f. D
r. A
Prof. Pro

6. Estatística e Probabilidade
Distribuição de Médias amostrais
r ch er
he ima
mac e
n St
ei
s o n St
s so Alys
Dr . Aly D r.
rof. Prof.
P
O nível de confiança c é a
1 área sob a curva normal
(1 − c ) padrão entre os valores
2
críticos –Zc e + Zc.
er ch er
a ch eima
eim n St
o n St s o
. Aly
ss r. Alys
Dr f. D
Pro
f. Pro

7. Estatística e Probabilidade
Erro máximo da estimativa
r ch er
he ima
mac e
n St
ei
s o n St
s so Alys
Dr . Aly D r.
rof. Prof.
P
er ch er
a ch eima
eim n St
o n St s o
. Aly
ss r. Alys
Dr f. D
Pro
f. Pro

8. Estatística e Probabilidade
Erro máximo da estimativa
r ch er
he ima
mac e
n St
ei
s o n St
s so Alys
Dr . Aly s=desvio padrão. amostral
of. D
r
σ
f. Pr
Pro
E = zcσ x = zc
n
2,22
er ch er
a ch eima
eim n St
o n St s o
. Aly
ss r. Alys
Dr f. D
Pro
f. Pro

9. Estatística e Probabilidade
Intervalo de confiança para a média populacional (m)
r ch er
he ima
mac e
n St
ei
s o n St
s so Alys
Dr . Aly D r.
rof. Prof.
P
Exemplo:
er ch er
a ch eima
eim n St
o n St s o
. Aly
ss r. Alys
Dr f. D
Pro
f. Pro

10. Estatística e Probabilidade
Intervalo de confiança para a média
populacional (m)
r ch er
he ima
mac e
n St
ei
s o n St
s so Alys
Dr . Aly D r.
rof. Prof.
P
er ch er
a ch eima
eim n St
o n St s o
. Aly
ss r. Alys
Dr f. D
Pro
f. Pro

11. Estatística e Probabilidade
Exercício
Uma amostra de 56 flufs tem altura média de 10452 m e her
er ac
desvio padrãom ach2130 m. Construa um intervalo de confiança
de eim
ei St
de 99%spara
o n St a altura média populacional de flufs. lysson
ly s A r. A
r. rof.
D
f. D
Pro
σ P
E = zcσ x = zc
n
Niveis de confiança e
escores zc usuais
C ZC
90% 1.645
er ch er
95% ach 1,96 eima
99%on S
teim o n St
2,575 s
l yss r. Alys
D r. A f. D
Pro
f. Pro

12. Estatística e Probabilidade
r ch er
he ima
mac e
n St
ei
s o n St
s so Alys
Dr . Aly D r.
rof. Prof.
P
er ch er
a ch eima
eim n St
o n St s o
. Aly
ss r. Alys
Dr f. D
Pro
f. Pro

13. Estatística e Probabilidade
Tamanho da amostra
r ch er
he ima
mac e
n St
ei
s o n St
s so Alys
Dr . Aly D r.
rof. Prof.
P
Exemplo
er ch er
a ch eima
eim n St
o n St s o
. Aly
ss r. Alys
Dr f. D
Pro
f. Pro

14. Estatística e Probabilidade
Intervalo de confiança para a média – amostras pequenas
A distribuição t de Student (n<30)
r er
Se a distribuiçãoa de che uma variável aleatória x é aproximadamente h mac
Steim on Stei
normal, sentão a distribuição amostral de X é uma distribuição t,
so n ly s s
ly .A
onde:A
f. D
r.
X − μ f. Dr
Pro Pro
t =
S
n
Propriedades da distribuição t:
1 - A distribuição t tem um formato sino e é simétrica em torno da média;
2 - t é uma família de curvas, cada uma delas é determinada por um
parâmetro chamado de grau de liberdade (g.l.), g.l. = n-1;
3 - Área total sob a curva é 1;
4 - A média, a mediana e a moda da distribuição t são iguais a zero; acher
er
a ch m
Steim n Stei
5 - Quando g.l.
ly s son cresce a distribuição t tende a distribuição Alysso
. normal.
f. D
r. A f. Dr
Pro Após g.l. = 30 a distribuição t → distribuição normal padrão
Pro

15. Estatística e Probabilidade
A distribuição t de Student
r ch er
he ima
mac e
n St
ei
s o n St
s so Alys
Dr . Aly D r.
rof. Prof.
P
A cauda da curva na distribuição t é mais alargada do
her aquela da distribuição normal padrão er
c que a ch
teima teim nS
yss on S Alys
so
r. Al f. D
r .
f. D Pro
Pro

16. Estatística e Probabilidade
A distribuição t de Student- Tabela
r ch er
he ima
g.l = n - 1 mac e
n St
ei
s o n St
s so Alys
Dr . Aly D r.
rof. Prof.
P
er ch er
a ch eima
eim n St
o n St s o
. Aly
ss r. Alys
Dr f. D
Pro
f. Pro

17. Estatística e Probabilidade
Intervalo de confiança para a média – amostras pequenas
er ch er
Distribuição
mach amostral de X eima
n Stei s o n St
Al ysso r. Alys
r. rof.
D
f. D
Pro P
Exemplo:
er ch er
a ch eima
eim n St
o n St s o
. Aly
ss r. Alys
Dr f. D
Pro
f. Pro

18. Estatística e Probabilidade
Intervalo de confiança em amostras pequenas
r ch er
he ima
mac e
n St
ei
s o n St
s so Alys
Exemplo:
r . Aly D r.
of. D Prof.
Pr
er ch er
a ch eima
eim n St
o n St s o
. Aly
ss r. Alys
Dr f. D
Pro
f. Pro

19. Estatística e Probabilidade
Intervalo de confiança em amostras pequenas
r ch er
he ima
mac e
n St
ei
s o n St
s so Alys
Dr . Aly D r.
rof. Prof.
P
er ch er
a ch eima
eim n St
o n St s o
. Aly
ss r. Alys
Dr f. D
Pro
f. Pro

20. Estatística e Probabilidade
Intervalo de confiança para a média - Resumo
sim
n≥30? Usar distr. Normal
er
er ch
ma ch eima
não n Stei s o n St
ysso Se σ for desconhecido, use s Alys
r . Al D r.
f. D rof.
Pro P
A população está
normalmente distribuída ou não Não poder usar distribuição
aproximadamente distribuída? Normal nem t
sim
sim
σ é conhecido? Use distr. Normal
não
er ch er
a ch eima
eim n St
o n St s o
Use a Alyss t com g. l. = n-1
distr. r. Alys
r. f. D
f. D Pro
Pro

21. Estatística e Probabilidade
Intervalos de confiança para proporções populacionais
Aproximação binomial -> A probabilidade de sucessos p
r ch er
he ima
mac e
n St
ei
s o n St
s so Alys
Dr . Aly D r.
rof. Prof.
P
onde: x = numero de sucesso
e n = tamanho da amostra
er ch er
a ch eima
eim n St
o n St s o
. Aly
ss r. Alys
Dr f. D
Pro
f. Pro

22. Estatística e Probabilidade
Intervalos de confiança para proporções populacionais
r ch er
he ima
mac e
n St
ei
s o n St
s so Alys
Dr . Aly D r.
rof. Prof.
P
er ch er
a ch eima
eim n St
o n St s o
. Aly
ss r. Alys
Dr f. D
Pro
f. Pro

23. Estatística e Probabilidade
Intervalo de confiança para p
r ch er
he ima
mac e
n St
ei
s o n St
s so Alys
Dr . Aly D r.
rof. Prof.
P
er ch er
a ch eima
eim n St
o n St s o
. Aly
ss r. Alys
Dr f. D
Pro
f. Pro

24. Estatística e Probabilidade
Intervalo de confiança para p
r ch er
he ima
mac e
n St
ei
s o n St
s so Alys
Dr . Aly D r.
rof. Prof.
P
er ch er
a ch eima
eim n St
o n St s o
. Aly
ss r. Alys
Dr f. D
Pro
f. Pro

25. Estatística e Probabilidade
r ch er
he ima
mac e
n St
ei
s o n St
s so Alys
Dr . Aly D r.
rof. Prof.
P
er ch er
a ch eima
eim n St
o n St s o
. Aly
ss r. Alys
Dr f. D
Pro
f. Pro

26. Estatística e Probabilidade
Tamanho mínimo da amostra
r ch er
he ima
mac e
n St
ei
s o n St
s so Alys
Dr . Aly D r.
rof. Prof.
P
er ch er
a ch eima
eim n St
o n St s o
. Aly
ss r. Alys
Dr f. D
Pro
f. Pro

27. Estatística e Probabilidade
Exemplo: Tamanho mínimo da amostra
r ch er
he ima
mac e
n St
ei
s o n St
s so Alys
Dr . Aly D r.
rof. Prof.
P
er ch er
a ch eima
eim n St
o n St s o
. Aly
ss r. Alys
Dr f. D
Pro
f. Pro

28. Estatística e Probabilidade
Exemplo 2: Tamanho mínimo da amostra
r ch er
he ima
mac e
n St
ei
s o n St
s so Alys
Dr . Aly D r.
rof. Prof.
P
er ch er
a ch eima
eim n St
o n St s o
. Aly
ss r. Alys
Dr f. D
Pro
f. Pro

29. Estatística e Probabilidade
Intervalo de confiança para a proporção - Resumo
r ch er
he ima
mac e
n St
ei
s o n St
s so Alys
Dr . Aly D r.
rof. Prof.
P
er ch er
a ch eima
eim n St
o n St s o
. Aly
ss r. Alys
Dr f. D
Pro
f. Pro

30. Estatística e Probabilidade
Prró
P óx
xiima
ma a
Aimna ch e
r auullaa a ch
er
tA
m
sso
n S i in
e
ddaan :: ly s s
on Stei
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r. A . Dr
Pro
f. D nooC Caap Pro
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teerrvva
alooss
l d
deecco
onnffia
iannçça
a r
er ch e
ch ima
teima Ste
on S s on
. Aly
ss r. Alys
D r f. D
Pro
f. Pro