STATISTIK MATEMATIKA

1. TUGAS
STATISTIK MATEMATIKA
OLEH
NAMA : ANI AGUSTINA
NPM : A1C011007
DOSEN : NURUL ASTUTI YENSY B, S.Si, M.Si
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS BENGKULU
2013

2. A. Jenis-jenis Distribusi Diskrit
a. Distribusi Binomial
Apabila sebuah eksperimen mempunyai dua hasil yang muncul, seperti “sukses”
dan “gagal”, dengan masing-masing peluangnya p dan (1 - p), maka peristiwa yang
diperhatikan, baik sukses maupun gagal akan berdistribusi Bernoulli.
Definisi 8.1: FUNGSI PELUANG BERNOULLI
Peubah acak X dikatakan berdistribusi Bernoulli, jika dan hanya jika fungsi
peluangnya berbentuk:
x
1-x
p(x) = P(X = x) = p (1 - p)
; x = 0, 1
Peubah acak X yang berdistribusi Bernoulli dikatakan juga peubah acak Bernoulli.
Penulisan notasi dari peubah acak yang berdistribusi Bernoulli adalah
B(x;1,p),
artinya peubah acak X berdistribusi Bernoulli dengan peristiwa yang
diperhatikan, baik sukses maupun
gagal
dinyatakan
dengan
x,
banyak
eksperimen yang dilakukan satu kali, dan peluang terjadinya peristiwa yang
diperhatikan, baik sukses maupun gagal sebesar p.
Sebuah eksperimen dikatakan mengikuti distribusi Bernoulli, jika eksperimen itu
memenuhi sifat-sifat sebagai berikut:
1. Eksperimennya
diperhatikan
terdiri
atas
dua
peristiwa,
yaitu
peristiwa
yang
(sering disebut peristiwa sukses) dan peristiwa yang tidak
diperhatikan (sering disebut peristiwa gagal).
2. Eksperimennya hanya dilakukan sekali saja.
Dalil Rataan, varians, dan fungsi pembangkit momen dari distribusi Bernoulli
8.1: PARAMETER DISTRIBUSI BERNOULLI
bisa dilihat dalam
Rataan, varians, dan fungsi pembangkit momen dari distribusi Bernoulli
sebagai berikut:
1. µ = p
2
2. σ = p(1 - p)

3. Grafik dari fungsi peluang distribusi Bernoulli sebagai berikut:
GAMBAR 8.1
GRAFIK FUNGSI PELUANG DISTRIBUSI BERNOULLI
b. Distribusi Binomial
Misalnya kita melakukan suatu eksperimen yang hanya menghasilkan dua
peristiwa, seperti peristiwa sukses (S) dan peristiwa gagal (G).
Peluang terjadinya peristiwa S, P(S), sebesar p dan peluang terjadinya
peristiwa G, P(G), sebesar 1 - p.
Kemudian eksperimen itu diulang sampai n kali secara bebas. Dari n kali

4. pengulangan itu, peristiwa S terjadi sebanyak x kali dan sisanya (n - x) kali
terjadi peristiwa G. Kita akan menghitung besar peluang bahwa banyak peristiwa
sukses dalam eksperimen itu sebanyak x kali.
Dalam hal ini, salah satu susunan dari pengulangan eksperimen sampai n kali itu
adalah:
S S S...S G G G...G
x kali
(n-x) kali
Karena setiap pengulangan bersifat bebas, P(S) = p dan P(G) = 1 - p
berharga tetap untuk setiap pengulangan percobaan, maka besar peluang dari
peristiwa susunan di atas adalah:
P(S S S…S G G G…G) = P(S).P(S).P(S). … . P(S).P(G).P(G).P(G). … . P(G)
= (p)(p)(p)…(p)(1 - p)(1 - p)(1 - p)…(1 - p)
x
n-x
= p (1 - p)
Karena banyak susunan keseluruhan peristiwa S terjadi ada
cara, maka peluang
bahwa peristiwa S terjadi dalam x kali adalah:
Berdasarkan uraian diatas , kita peroleh definisi distribusi binomial berikut:
Definisi 8.2: FUNGSI PELUANG BINOMIAL
Peubah acak X dikatakan berdistribusi binomial, jika dan hanya jika fungsi
peluangnya berbentuk:
Peubah acak X yang berdistribusi binomial dikatakan juga peubah acak binomial.

5. Penulisan notasi dari peubah acak X yang berdistribusi binomial adalah B(x;n,p),
artinya peubah acak X berdistribusi binomial dengan banyak pengulangan
eksperimen sampai n kali, peluang terjadi peristiwa sukses sebesar p, dan banyak
peristiwa sukses terjadi ada x.
Sebuah eksperimen dikatakan mengikuti distribusi binomial, jika eksperimen itu
memenuhi sifat-sifat sebagai berikut:
1. Eksperimennya terdiri atas dua peristiwa, seperti sukses dan gagal.
2. Eksperimennya diulang beberapa kali dan ditentukan banyak pengulangannya.
3. Peluang terjadinya peristiwa sukses dan gagal pada setiap pengulangan
eksperimen bersifat tetap.
4. Setiap pengulangan eksperimen bersifat bebas.
Rataan, varians, dan fungsi pembangkit momen dari distribusi binomial bisa
dilihat dalam
Dalil 8.2: PARAMETER DISTRIBUSI BINOMIAL
Rataan, varians, dan fungsi pembangkit momen dari distribusi binomial
sebagai berikut:
1. µ = np
2
2. σ = np(1 - p)
t n
3. MX(t) = [(1 - p) + p.e ] ; t ∈ℜ

6. Grafik dari fungsi peluang distribusi binomial bisa dilihat dalam Gambar 8.2.
GAMBAR 8.2
GRAFIK FUNGSI PELUANG DISTRIBUSI BINOMIAL
c. Distribusi Trinomial
Distribusi binomial bisa diperluas menjadi distribusi trinomial.
Definisi 8.3: FUNGSI PELUANG TRINOMIAL
Peubah acak X dan Y dikatakan berdistribusi trinomial, jika dan hanya jika
fungsi peluangnya berbentuk:
Peubah acak X yang berdistribusi trinomial dikatakan juga peubah acak trinomial.
Penulisan notasi dari peubah acak X dan Y yang berdistribusi trinomial adalah
T(x,y;n,p1,p2), artinya peubah acak X dan Y berdistribusi trinomial dengan banyak
pengulangan eksperimennya sampai n kali, peluang terjadi peristiwa sukses
pertama dan kedua berturut - turut p1(x) dan p2(y), dan banyak peristiwa sukses

7. pertama dan kedua masing-masing x dan y.
Fungsi pembangkit momen dari distribusi trinomial bisa dilihat dalam Dalil 8.3.
Dalil 8.3: FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN GABUNGAN TRINOMIAL
Fungsi pembangkit momen dari distribusi trinomial adalah:
Berdasarkan fungsi pembangkit momen gabungan dari X dan Y, kita bisa
menentukan fungsi pembangkit momen marginal masing-masing dari X dan Y.
Fungsi pembangkit momen marginal dari X adalah:
Ternyata bentuk di atas merupakan fungsi pembangkit momen dari distribusi
binomial dengan banyak pengulangan eksperimennya sampai n kali dan peluang
terjadinya peristiwa sukses pertama sebesar p1, sehingga bisa ditulis:
X ~ B(x; n,p1)
Maka fungsi peluang dari X berbentuk:
Rataan dan varians dari X adalah:
•
E(X) = n.p1
•
Var(X) = n.p1(1 - p1)
Fungsi pembangkit momen marginal dari Y adalah:

8. Ternyata bentuk di atas merupakan fungsi pembangkit momen dari distribusi
binomial dengan banyak pengulangan eksperimennya sampai n kali dan peluang
terjadinya peristiwa sukses kedua sebesar p2, sehingga bisa ditulis:
Y ~ B(y;n,p2)
Maka fungsi peluang dari Y berbentuk:
Rataan dan varians dari Y adalah:
•
E(Y) = n.p2
•
Var(Y) = n.p2(1 - p2)
Dari uraian di atas, kita dapat menyimpulkan bahwa jika X dan Y berdistribusi
trinomial, maka distribusi marginal masing-masing dari X dan Y adalah distribusi
binomial.
Distribusi bersyarat dari X diberikan Y = y berasal dari distribusi binomial
dengan banyak pengulangan eksperimennya sampai (n - y) dan peluang terjadinya
peristiwa sukses sebesar
sehingga bisa ditulis:
Dan distribusi bersyarat dari Y diberikan X = x berasal dari distribusi
binomial dengan banyak pengulangan eksperimennya sampai (n - x) dan peluang
terjadinya peristiwa sukses sebesar
, sehingga bisa ditulis:

9. d. Distribusi Poisson
Distribusi Poisson ini diperoleh dari distribusi binomial, apabila dalam distribusi
binomial berlaku syarat-syarat sebagai berikut:
a. banyak pengulangan eksperimennya sangat besar (n → ∞).
b. peluang terjadinya peristiwa yang diperhatikan mendekati nol (p → 0).
c. Perkalian
Berikut ini akan diberikan penurunan fungsi peluang distribusi Poisson
berdasarkan fungsi peluang distribusi binomial dengan menggunakan persyaratan di
atas.
Kita akan menghitung harga limitnya satu persatu.
•
•

10. •
Sehingga akan diperoleh :
Jadi distribusi pendekatannya adalah:
Dalam praktiknya, distribusi Poisson akan merupakan distribusi pendekatan yang
baik dari distribusi binomial, jika dalam distribusi binomial berlaku:
•
n ≥ 100 dan np ≤ 10
•
n ≥ 20 dan p ≤ 0,05
Berdasarkan uraian diatas, kita peroleh definisi distribusi Poissin berikut.
Definisi 8.4: FUNGSI PELUANG POISSON
Peubah acak X dikayakan berdistribusi Poisson, jika dan hanya jika fungsi
peluangnya berbentuk:
Peubah acak X yang berdistribusi Poisson dikatakan juga peubah acak poisson.
Penulisan notasi dari peubah acak X yang berdistribusi Poisson adalah P(x; ),
artinya peubah acak X berdistribusi Poisson dengan parameter .
Rataan, varians, dan fungsi pembangkit momen dari distribusi Poisson bisa dilihat
dalam Dalil 8.4.
Dalil 8.4: PARAMETER DISTRIBUSI POISSON
Rataan, varians, dan fungsi pembangkit momen dari distribusi Poisson
sebagai berikut:
1. 1.
2. 2.

11. e. Distribusi Geometrik
Misalnya kita melakukan suatu eksperimen yang hanya menghasilkan dua
peristiwa, seperti peristiwa sukses (S) dan peristiwa gagal (G).
Peluang terjadinya peristiwa S, P(S), sebesar p dan peluang terjadinya peristiwa
G, P(G) sebesar 1 - p.
Kemudian eksperimen itu diulang beberapa kali sampai peristiwa S terjadi pertama
kali. Jika peubah acak X menyatakan banyak eksperimen dan pengulangannya yang
dilakukan sampai peristiwa S terjadi pertama kali, maka X = x artinya banyak
eksperimen dan pengulangannya yang dilakukan sampai menghasilkan peristiwa
S terjadi pertama kali, adalah x kali. Ini berarti bahwa sampai pengulangan ke-(x 2) menghasilkan peristiwa G dan pada pengulangan ke-(x-1) menghasilkan peristiwa
S. Kita akan menghitung peluang bahwa peristiwa S terjadi pertama kali pada
pengulangan eksperimen ke-(x-1). Susunan yang akan terjadi pada eksperimen itu
adalah:
x kali
G
G
G …
1-p 1-p 1-p
Pengulangan ke-
1
2
G
G
1-p 1-p
G
p
x-3 x-2 x-1
Karena setiap pengulangan bersifat bebas, P(S) = p dan P(G) = 1 - p berharga
tetap untuk setiap pengulangan eksperimen, maka peluang dari peristiwa susunan di
atas adalah:
P(G G G … G G S) = P(G).P(G).P(G). … . P(G).P(G).P(S)
= (1 - p)(1 - p)(1 - p)…(1 - p)(1 - p)(p)
P(G G G … G G S) = (1 - p)
x-1
.p
Sehingga peluang bahwa peristiwa sukses terjadi pertama kali pada pengulangan
eksperimen ke-x adalah:

12. P(X = x) = (1 - p)
x-1
.p
Berdasarkan uraian di atas, kita dapat mendefinisikan distribusi geometrik.
Definisi 8.5: FUNGSI PELUANG GEOMETRIK
Peubah acak X dikatakan berdistribusi geometrik, jika dan hanya jika fungsi
peluangnya berbentuk:
p(x) = P(X = x) = (1 - p)
x-1
.p ; x = 1, 2, 3, …
Peubah acak X yang berdistribusi geometrik disebut juga peubah acak geometrik.
Penulisan notasi dari peubah acak X yang berdistribusi geometrik adalah X ~ G(x;p),
artinya peubah acak X berdistribusi geometrik dengan banyak pengulangan
eksperimennya sampai x kali dan peluang terjadinya peristiwa sukses sebesar p.
Sebuah eksperimen dikatakan mengikuti distribusi geometrik, jika eksperimen itu
memenuhi sifat-sifat sebagai berikut:
1. Ekeperimennya terdiri atas dua peristiwa, seperti sukses dan gagal.
2. Eksperimennya diulang beberapa kali sampai peristiwa sukses terjadi pertama kali.
3. Peluang terjadinya peristiwa sukses dan gagal pada setiap pengulangan eksperimen
bersifat tetap.
4. Setiap pengulangan eksperimen bersifat bebas.
Rataan, varians, dan fungsi pembangkit momen dari distribusi geometrik bisa dilihat
dalam Dalil 8.5.
Dalil 8.5: PARAMETER DISTRIBUSI GEOMETRIK
Rataan, varians, dan fungsi pembangkit momen dari distribusi geometrik sebagai
berikut:
1.
2.
f. Distribusi Hipergeometrik

13. Misalnya sebuah populasi suatu barang yang berukuran N terdiri atas k buah barang
baik dan sisanya (N - k) buah barang rusak. Kemudian diambil sebuah sampel acak
berukuran n (n
N) secara sekaligus, ternyata dari sampel acak itu berisi x buah
barang baik dan sisanya (n - x) buah barang rusak. Dalam hal ini, kita akan
menghitung peluang bahwa dari sampel acak itu akan berisi x buah barang baik.
Banyak susunan yang mungkin untuk mendapatkan x buah barang baik dari k buah
barang baik ada
cara yang berbeda.
Banyak susunan yang mungkinuntuk mendapatkan (n-x) buah barang rusak ada
cara yang berbeda.
Banyak susunan yang mungkin untuk mendapatkan n buah barang dari N buah barang
ada
cara yang berbeda.
Maka peluang bahwa sampel acak itu akan berisi x buah barang baik adalah:
Berdasarkan uraian di atas, ita peroleh definisi distribusi hipergeometrik berikut.
Definisi 8.6: FUNGSI PELUANG HIPERGEOMETRIK
Peubah acak X dikatakan berdistribusi hipergeometrik, jika dan hanya jika
fungsi peluangnya berbentuk:

14. Peubah acak X yang berdistribusi hipergeometrik disebut juga peubah acak
hipergeometrik. Penulisan
hipergeometrik
adalah
notasi
X
dari
peubah
acak
X
yang
berdistribusi
~ H(x;N,n,k), artinya peubah acak X berdistribusi
hipergeometrik dengan banyak barang baik dari sampel acak sebanyak x, banyak
barang dari populasi sebanyak N, banyak barang dari sampel acak sebanyak n, dan
banyak barang baik dari populasi sebanyak k.
Rataan dan varians dari distribusi hipergeometrik bisa dilihat dalam Dalil 8.6.
Dalil 8.6: PARAMETER DISTRIBUSI HIPERGEOMETRIK
Rataan dan varians dari distribusi hipergeometrik sebagai berikut:
1.
2.
B. Jenis-jenis Distribusi Kontinu
a. Distribusi Seragam
Peubah acak yang berdistribusi seragam ini mempunyai fungsi densitas berupa
konstanta yang didefinisikan atas sebuah interval nilai peubah acaknya. Jadi fungsi
densitas seragam ini mempunyai nilai yang sama sepanjang interval nilai yang
diberikan.
Definisi 9.1: FUNGSI DENSITAS SERAGAM
Peubah acak X dikatakan berdistribusi seragam, jika dan hanya jika fungsi
densitasnya berbentuk:

15. Peubah acak X yang berdistribusi seragam dikatakan juga peubah acak seragam.
Penulisan notasi dari peubah acak yang berdistribusi seragam adalah S(x; α,β),
artinya peubah acak X berdistribusi seragam dengan parameter α dan β.
Peubah acak X yang berdistribusi seragam dengan parameternya α dan β bisa juga
ditulis sebagai:
�~�(�,�)
Dalil 9.1: PARAMETER DISTRIBUSI SERAGAM
Rataan, varians, dan fungsi pembangkit momen dari distribusi seragam
Rataan, varians, dan fungsi pembangkit momen dari distribusi seragam bisa dilihat
sebagai berikut:
dalam dalil 9.1.
1.
2.
3.
b. Distribusi Gamma
Distribusi gamma ini mempunyai fungsi densitas berbentuk:
Kita akan menentukan nilai konstanta k sedemikian hingga fungsi di atas memenuhi
sebuah fungsi densitas.
•
Sifat (i) dari fungsi densitas : f(x) ≥ 0

16. Karena x > 0, α > 0, dan β > 0, maka k > 0
•
Sifat (ii) dari fungsi densitas:
Integral di atas diselesaikan dengan menggunakan bantuan fungsi gamma,
yaitu:
Keterangan lebih lanjut dari fungsi gamma ini bisa dilihat dalam Lampiran 1.
Misalnya : y = x/β , maka x = β y
dx = β dy
Batas-batas: Untuk x = 0, maka y = 0
Untuk x = ∞, maka y = ∞

17. Dari uraian di atas, kita peroleh definisi distribusi gamma, yaitu sebagai
berikut.
Definisi 9.2: FUNGSI DENSITAS GAMMA
Peubah acak X dikatakan berdistribusi gamma, jika dan hanya jika
fungsi densitasnya berbentuk:
Peubah acak X yang berdistribusi gamma disebut juga peubah acak gamma.
Penulisan notasi dari peubah acak X yang berdistribusi gamma adalah
G(x;α,β), artinya peubah acak X berdistribusi gamma dengan parameter α dan
β.
Peubah acak X yang berdistribusi gamma dengan parameternya α dan β bisa
juga ditulis sebagai:
Rataan, varians, dan fungsi pembangkit momen dari distribusi gamma bisa
dilihat dalam dalil 9.2
Dalil 9.2: PARAMETER DISTRIBUSI GAMMA
Rataan, varians, dan fungsi pembangkit momen dari distribusi gamma
sebagai berikut:
1.

18. c. Distribusi Eksponansial
Distribusi eksponensial ini diperoleh dari distribusi gamma dengan α = 1 dan β = θ.
Sehingga kita bisa mendefinisikan distribusi eksponensial.
Definisi 9.3: FUNGSI DENSITAS EKSPONENSIAL
Peubah acak X dikatakan berdistribusi eksponensial, jika dan hanya jika
fungsi densitasnya berbentuk:
Peubah acak X yang berdistribusi eksponensial disebut juga peubah acak
eksponensial.

19. Penulisan notasi dari peubah acak yang berdistribusi eksponensial adalah
,
artinya peubah acak X berdistribusi eksponensial dengan parameter θ.
Peubah acak X yang berdistribusi eksponensial dengan parameter θ bisa juga di tulis
sebagai:
Rataan, varians, dan fungsi pembangkit momen dari distribusi eksponensial bisa
dilihat dalam Dalil 9.3
Dalil 9.3: PARAMETER DISTRIBUSI EKSPONENSIAL
Rataan, varians, dan fungsi pembangkit momen dari distribusi eksponensial
sebagai berikut:
1.
d. Distribusi Khi-kuadrat
Distribusi khi-kuadrat diperoleh dari distribusi gamma dengan α = v/2 dan β = 2.
Sehingga kita peroleh definisi distribusi khi-kuadrat berikut.
Definisi 9.4: FUNGSI DENSITAS KHI-KUADRAT
Peubah acak X dikatakan berdistribusi khi-kuadrat, jika dan hanya jika
fungsi densitasnya berbentuk:

20. Peubah acak X yang berdistribusi khi-kuadrat disebut juga peubah acak khikuadrat. Penulisan notasi dari peubah acak yang berdistribusi khi-kuadrat
adalah
, peubah acak X berdistribusi khi-kuadrat dengan derajat kebebasan .
Peubah acak X yang berdistribusi khi-kuadrat dengan derajat kebebasan
bisa juga
ditulis sebagai:
Rataan, varians, dan fungsi pembangkit momen dari distribusi khi-kuadrat bisa
dilihat dalam Dalil 9.4.
Dalil 9.4: PARAMETER DISTRIBUSI KHI-KUADRAT
Rataan, varians, dan fungsi pembangkit momen dari distribusi khi-kuadrat
sebagai berikut:
1.
2.

21. e. Distribusi Beta
Misalnya fungsi densitas dari peubah acak Y yang berdistribusi seragam berbentuk:
h(y) = 1 ; 0 < y < 1
= 0 ; y lainnya.
Apabila kita memperhatikan fungsi densitas di atas, maka sebenarnya fungsi densitas
tersebut merupakan hal khusus dari distribusi lain, yang disebut distribusi beta.
Definisi 9.5: FUNGSI DENSITAS BETA
Peubah acak X dikatakan berdistribusi beta, jika dan hanya jika fungsi
densitasnya berbentuk:
Peubah acak X yang berdistribusi beta disebut juga peubah acak beta.
Penulisan notasi dari peubah acak yang berdistribusi beta adalah B(x; α,β), artinya
peubah acak X berdistribusi beta dengan parameter α dan β.
Peubah acak X yang berdistribusi beta dengan parameter α dan β bisa juga ditulis
sebagai:
Rataan dan varians dari distribusi beta bisa dilihat dalam Dalil 9.5.

22. Dalil 9.5: PARAMETER DISTRIBUSI BETA
Rataan dan varians dari distribusi betas sebagai berikut:
1.
f. Distribusi Normal Umum
Distribusi normal umum ini merupakan distribusi dari peubah acak kontinu yang
paling banyak sekali dipakai sebagai pendekatan yang baik dari distribusi
lainnya
dengan persyaratan tertentu. Sifat-sifat distribusi normal umum secara
matematika dipelajari pertama kali oleh tiga orang ahli, yaitu:
1. Abraham de Moivre (1667 - 1745)
2. Pierre Laplace
(1749 - 1827)
3. Karl Gauss
(1777 - 1855)
Abraham de Moivre, seorang matematikawan dari Inggris yang menenmukan
distribusi normal pada tahun 1733 sebagai hasil dari pendekatan distribusi
binomial
bersifat
dan penggunaannya
terhadap
masalah
dalam
permainan
yang
untung-untungan. Kemudian Laplace tahun 1774 mengenal distribusi
normal sebagai hasil dari beberapa kekeliruan dalam Astronomi. Gauss tahun
1809
menggunakan
kurva
normal
untuk menggambarkan teori kekeliruan
pengukuran meliputi penghitungan orbit bintang di langit. Sepanjang abad ke-18 dan
ke-19, beberapa upaya dibuat untuk menetapkan model normal sebagai dasar hukum
untuk semua peubah acak kontinu.
Berikut ini kita akan mendefinisikan distribusi normal umum.
Definisi 9.6: FUNGSI DENSITAS NORMAL UMUM
Peubah acak X dikatakan berdistribusi normal umum, jika dan hanya jika
fungsi densitasnya berbentuk:

23. Peubah acak X yang berdistribusi normal umum disebut juga peubah acak normal
umum.
Penulisan notasi dari peubah acak yang berdistribusi normal umum adalah N(x; ,
artinya peubah acak X berdistribusi normal umum dengan rataan
Peubah acak X yang berdistribusi normal dengan rataan
dan varians
dan varians
Beberapa sifat dari kurva fungsi densitas distribusi normal umum sebagai berikut:
ii. Rataan, median, dan modus dari distribusi berimpitan.
iii. Fungsi densitas mencapai nilai maksimum di x =
sebesar
iv. Kurvanya berasimtut sumbu datar x.
v. Kurvanya mempunyai titik infleksi (x,f(x)), dengan:
g. Distribusi Normal Baku
.
bisa juga
ditulis sebagai:
i. Kurvanya berbentuk lonceng dan simetrik di x =
),

24. h. Distribusi Normal Dua Peubah Acak