1. 1. Il rapporto incrementale
2. La derivata di una funzione
3. Il significato geometrico della derivata
1

2. Consideriamo la funzione
Il rapporto
y = x2+1 e un punto del suo
incrementale grafico A(3; 10) 
f(3)= 32+1 = 10
Incrementando l’ascisse di
0,1 si ottiene il punto B di
coordinate: xB=3+0,1=3,1 
yB= f(xB) = 3,12+1=10,61
Chiamiamo xB - xA= 0,1
l’incremento di x e
yB - yA=10,61-10 = 0,61
l’incremento di y.
y B − y A 10,61 − 10
= = 6,1 Il rapporto tra questi due
xB − x A 3,1 − 3 valori sarà chiamato 2

3. Coefficiente angolare Consideriamo la retta
della retta passante per passante per AB e calcoliamo
AB la sua equazione.
La retta ottenuta ha
coefficiente angolare uguale
al rapporto incrementale
Ricordiamo che …
l’equazione esplicita della
retta è y = mx + q
m è chiamato coefficiente
angolare della retta
yB − y A
m= ⇒
xB − x A
y − y A = m( x − x A ) ⇒ y − 10 = 6,1( x − 3) ⇒
y = 6,1x − 18,3 + 10 ⇒ y = 6,1x − 8,3
3

4. Definizione di rapporto Data una funzione y=f(x),
incrementale definita in un intervallo [a; b],
e due numeri reali c e c + h
interni all’intervallo, si chiama
rapporto incrementale di f
(relativo a c), il numero
f ( c + h ) − f (c )
h
Infatti se consideriamo
A(c; f(c)) B(c+h; f(c+h))
xB = c + h yB = f(xB)= f(c + h)
Si ottiene
y B − y A f ( c + h ) − f (c ) f ( c + h ) − f (c )
= =
xB − x A c+h−c h
4

5. Esempio. Calcoliamo il rapporto
incrementale della funzione
y = 2x2 - 3x relativo al suo punto
A di ascissa 1.
Applichiamo la formula e
troviamo
f ( c + h ) − f (c) f ( 1 + h ) − f (1
)
=
h h
f (1 + h) = 2(1 + h) 2 − 3 1 + h) = 2(1 + 2h + h 2) − 3 − 3h =
(
= 2 + 4h + 2h 2 − 3 − 3h = 2h 2 + h − 1
f (1 = 2 ⋅ 12 − 3 ⋅ 1 = −1
)
f (1 + h) − f (1 = 2h 2 + h − 1 + 1 = 2h 2 + h
)
f ( c + h ) − f (c) f ( 1 + h ) − f (1
) 2h 2 + h h(2h + 1
)
= = = = 2h + 1
h h h h
In generale, il valore del rapporto incrementale dipende dal valore di h.
Nell’esempio, se h=0,2 il rapporto incrementale vale 2(0,2)+1=1,4… 5 con
h=0,1 allora il rapporto vale 1,2

6. Esercizio. Calcola il rapporto incrementale della funzione
nel punto c = -1 e con h = 0,25
2x +1
f ( x) =
x
f ( c + h ) − f (c)
c = −1 h = 0,25 c + h = −0,75
h
2( −0,75) + 1 − 1,50 + 1 − 0,50 50 2
f ( −0,75) = = = = =
− 0,75 − 0,75 − 0,75 75 3
2( −1) + 1 − 2 + 1
f ( −1) = = =1
−1 −1
2 1
−1 −
3 = 3 =− 1 ⋅4 =− 4
0,25 1 3 3
4 6

7. 2x + 1
f ( x) =
x
 2
A(− 1; 1) B − 0,75; 
 3
4
c = − 1 h = 0,25 c + h = − 0,75 m=−
3
4
y − 1 = − ( x + 1)
3
7

8. Esercizio. Calcola il rapporto incrementale della funzione
nel punto c = -3 e con h generico.
f ( x) = x 2 − 4 x + 8
f ( c + h ) − f (c )
c = − 3 h generico c + h = − 3 + h
h
f (− 3 + h) = (− 3 + h) 2 − 4(− 3 + h) + 8 = 9 − 6h + h 2 + 12 − 4h + 8 = h 2 − 10h + 29
f (− 3) = (− 3) 2 − 4(− 3) + 8 = 9 + 12 + 8 = 29
f ( c + h ) − f (c) h 2 − 10h + 29 − 29 h(h − 10)
= = = h − 10
h h h
8

9. Esercizio. Calcola il rapporto incrementale della funzione in
un punto generico c e un incremento generico h.
f ( x) = x 2 − 2 x
f ( c + h ) − f (c )
c e h generici
h
f (c + h) = (c + h) 2 − 2(c + h) = c 2 + 2ch + h 2 − 2c − 2h
f (c) = c 2 − 2c
f ( c + h ) − f (c) c 2 + 2ch + h 2 − 2c − 2h − c 2 + 2c
= =
h h
h 2 + 2hc − 2h h(h + 2c − 2)
= = h + 2c − 2
h h
9

10. Il rapporto incrementale
Il rapporto
incrementale si
indica in generale
con i simboli
∆y f (c + h) − f (c)
=
∆x h 10

11. La derivata di una funzione
f (c + h) − f (c)
f '(c) = lim
h→0 h
11

12. Significato geometrico della
derivata
La derivata di f in un punto c
rappresenta il coefficiente
angolare della retta tangente
al grafico di f nel suo punto di
ascissa c.
12

13. Significato geometrico della
derivata
Quando h  0
la retta secante s
tende alla
tangente t
13

18. Il calcolo della derivata in un punto
particolare
f ( c + h ) − f (c )
f (c) = lim
'
con f ( x) = x 2 − 1 e c = 3
h →0 h
f ( 3 + h ) − f (3)
f (3) = lim
'
=
h →0 h
lim
( 3 + h ) 2 − 1 − (9 − 1) =
h →0 h
9 + 6h + h 2 − 1 − 8
lim =
h →0 h
h 2 + 6h h(h + 6)
lim = lim =6
h →0 h h →0 h
18

19. f ( x) = x 2 − 1 A(3 ; 8) x A = 3 y A = 8 f ' (3) = 6
fascio di rette y − y A = m( x − x A ) m = f ' (3) = 6
retta tangente y − 8 = 6( x − 3)
19

20. Il calcolo della derivata in un punto
generico
f ( c + h ) − f (c )
f (c) = lim
'
con f ( x) = 3 x 2 − 4 x
h →0 h
f ( c + h ) − f (c )
f ' (c) = lim =
h →0 h
lim
3 ( c + h ) 2 − 4(c + h) − (3c 2 − 4c) =
h →0 h
3c 2 + 6ch + 3h 2 − 4c − 4h − 3c 2 + 4c
lim =
h →0 h
3h 2 + 6ch − 4h h(3h + 6c − 4)
lim = lim =
h →0 h h →0 h
lim(3h + 6c − 4) = 6c − 4
h →0
20

21. F’ (c) = 6c - 4 è la derivata
della funzione f(x) = 3x2 - 4x .
Al variare di c si ottengono i
coefficienti angolari delle
rette tangenti nel punto c.
f ( x ) = 3 x 2 − 4 x f ' ( c ) = 6c − 4 ⇒ f ' ( x ) = 6 x − 4
Se x = 2 y = f (2) = 12 − 8 = 4 f ' (2) = 6(2) − 4 = 8
La retta tangente in (2; 4) è y - 4 = 8(x - 2)
Se x = −1 y = f (−1) = 7 f ' (−1) = 6(−1) − 4 = −10
La retta tangente in (-1;7) è y - 7 = -10(x + 1) 21

22. 2
2 2 2 2 4 2 4 8 4
Se x = y = f   = 3  − 4  = 3  − 4  = − = −
3 3 3 3 9 3 3 3 3
2 2
f '  = 6 − 4 = 0
3 3
2 4 4  2 4
La retta tangente in  ; −  è y + = 0 x −  ⇒ y + = 0
3 3 3  3 3
La retta tangente
calcolato in quest’ultimo
esempio è parallela
all’asse delle x e
individua un punto
particolare della funzione:
22
un punto di minimo

23. Negli esempi rappresentati la retta tangente al grafico è orizzontale
ed ha come equazione y = k, ossia il suo coefficiente angolare è
uguale a 0.
Quindi la derivata in quei punti è uguale a 0. m = f ‘ (x) = 0
minimo massimo punti di flesso
I PUNTI STAZIONARI
Data una funzione y = f(x) e un punto x = c,
se f ’(c) = 0, allora x = c si dice punto stazionario
o punto a tangenza orizzontale. 23

24. La derivata destra e la derivata sinistra
f ( c + h ) − f (c )
la derivata f (c) = lim
'
h →0 h
' f ( c + h ) − f (c )
la derivata destra f + (c) = lim
h→0 + h
' f ( c + h ) − f (c )
la derivata sin istra f − (c) = lim−
h →0 h
Una funzione è derivabile in un intervallo [ a ; b ] :
- è derivabile in tutti i punti interni dell’intervallo;
- le derivate sono valori finiti;
- la derivata destra è uguale alla derivata sinistra.
Inoltre se una funzione è derivabile in un punto essa è
anche continua in quel punto 24

25. Esempio in cui la derivata destra non è
uguale alla derivata sinistra
La funzione valore assoluto non è derivabile nel punto x=0
25

26. Le derivate fondamentali
 3
Dk = 0 esempi → D3 = 0;
  D −  = 0
 4
Dx n = nx n −1 esempi → Dx 4 = 4 x 3 ; Dx 7 = 7 x 6 ; Dx 2 = 2 x; Dx = 1
 
1
1 1 −1 1 − 1 1 1
D x = Dx = x 2 = x 2 = 1 =
2
con x > 0
2 2 2 x
2x 2
1 1
D = Dx −1 = −1x −1−1 = −x −2 = − 2
x x
1 2
1 1 3 −1 1 − 3 1 1
Dn x = con x > 0, n ∈ N esempio → D 3 x = D x = x = 2 =

n n x n −1 3 3 33 x 2
3x 3
2 2 3
2 5 −1 2 − 5 2 2
D x = Dx = x = x = 3 =
5 2 5
5 5 55 x 3
5x 5
26

27. Le derivate fondamentali
Le f . esponenziali e logaritmiche
Da x = a x ln a      →
esempi
 D3 x = 3 x ln 3; De x = e x ln e = e x (ln e = 1
)
1 1 1 1
D log a x = log a e     →
esempio
 D log 2 x = log 2 e; D ln x = log e e =
x x x x
le f . trigonometriche
D senx = cos x
D cos x = − senx
1 sen 2 x + cos 2 x sen 2 x cos 2
x
D tg x = = = + = 1 + tg 2 x
cos 2 x cos 2 x cos 2 x cos 2
x
1
D cotg x = − = −(1 + cotg 2 x)
sen 2 x
le f . inverse
1 1
D arctg x = D arccotg x = −
1 + x2 1 + x2
1 1
D arcsen x = D arccosen x = − 27
1 − x2 1 + x2

28. Le regole di derivazione
La derivata del prodotto di una costante per una
funzione è uguale al prodotto della costante per
la derivata della funzione
[ ]
D[ k ⋅ f ( x ) ] = k ⋅ f ' ( x )  esempio → D 3x 4 = 3 ⋅ 4 ⋅ x 3

3  3
D  x 6  = 6 x5 = 9 x5
2  2
La derivata della somma di due funzioni è uguale
alla somma delle derivate delle singole funzioni
D[ f ( x ) + g ( x)] = f ' ( x ) + g ' ( x )
[ ]
D x 5 − x 2 = Dx 5 − Dx 2 = 5 x 4 − 2 x
D[ 2 x − 3 x
6 4
]
− 5 x + 4 = 2 Dx 6 − 3Dx 4 − 5Dx + D 4 = 12 x 5 − 12 x 3 − 5
28

29. Le regole di derivazione
La derivata del prodotto di due funzioni è uguale
alla somma della derivata della prima funzione
per la seconda funzione non derivata con la prima
funzione non derivata per la seconda derivata
D[ f ( x ) ⋅ g ( x)] = f ' ( x ) ⋅ g ( x ) + f ( x ) ⋅ g ' ( x )
[ ]
D x x = Dx ⋅ x + x ⋅ D x = 1⋅ x + x ⋅
2 x
= x+
x 3
=
2 2
x
1
D[ x ⋅ sen x ] = Dx ⋅ sen x + x ⋅ Dsen x = sen x + x ⋅ cos x
29

30. Le regole di derivazione
La derivata del quoziente di due funzioni è uguale a una frazione che
ha:
• Per numeratore la differenza fra la derivata della funzione al
numeratore per la funzione al denominatore e la funzione al
numeratore per la derivata della funzione al denominatore
• Per denominatore il quadrato della funzione al denominatore
 f ( x)  f ' ( x) ⋅ g ( x) − f ( x) ⋅ g ' ( x)
D =
g ( x) 
 [ g ( x) ] 2
 ( x 2 − 4)  2 x ⋅ ( 2 x + 5) − ( x 2 − 4) ⋅ 2 4 x 2 + 10 x − 2 x 2 + 8 2 x 2 + 10 x + 8
D = = =
 ( 2 x + 5)  ( 2 x + 5) ( 2 x + 5) ( 2 x + 5)
2 2 2
30

31. 31

32. 32

33. [ ]
D[ k ⋅ f ( x ) ] = k ⋅ f ' ( x )  esempio→ D 3x 4 = 3 ⋅ 4 ⋅ x 3

[ ]
D[ f ( x ) + g ( x)] = f ' ( x ) + g ' ( x )  esempio → D x 5 − x 2 = Dx 5 − Dx 2 = 5 x 4 − 2 x

D[ f ( x ) ⋅ g ( x ) ] = f ' ( x ) ⋅ g ( x ) + f ( x ) ⋅ g ' ( x )
[ ]
 esempio → D x x = Dx ⋅ x + x ⋅ D x = 1⋅ x + x ⋅

2 x
1
= x+
x 3
=
2 2
x
D[ f ( x ) ] = n ⋅ [ f ( x ) ] ⋅ f ' ( x)
n n −1
 [ 2
]
 esempio → D[ ( x + 2) ] = 3 ⋅ ( x + 2) ⋅ D( x + 2) = 3 ⋅ ( x + 2) ⋅ 1 = 3( x + 2)
3 2 2
 1  f ' ( x)  1  2
D  = − 2  esempio → D 
  =−
 f ( x)  f ( x)  ( 2 x + 5)  ( 2x + ) 2
 g ( x)  f ' ( x) ⋅ g ( x) − f ( x) ⋅ g ' ( x)
D =
33
 f ( x)  g 2 ( x)

34. [ ]
D[ k ⋅ f ( x ) ] = k ⋅ f ' ( x )  esempio→ D 3x 4 = 3 ⋅ 4 ⋅ x 3

[ ]
D[ f ( x ) + g ( x)] = f ' ( x ) + g ' ( x )  esempio → D x 5 − x 2 = Dx 5 − Dx 2 = 5 x 4 − 2 x

D[ f ( x ) ⋅ g ( x ) ] = f ' ( x ) ⋅ g ( x ) + f ( x ) ⋅ g ' ( x )
[ ]
 esempio → D x x = Dx ⋅ x + x ⋅ D x = 1⋅ x + x ⋅

2 x
1
= x+
x 3
=
2 2
x
D[ f ( x ) ] = n ⋅ [ f ( x ) ] ⋅ f ' ( x)
n n −1
 [ 2
]
 esempio → D[ ( x + 2) ] = 3 ⋅ ( x + 2) ⋅ D( x + 2) = 3 ⋅ ( x + 2) ⋅ 1 = 3( x + 2)
3 2 2
 1  f ' ( x)  1  2
D  = − 2  esempio → D 
  =−
 f ( x)  f ( x)  ( 2 x + 5)  ( 2x + ) 2
 g ( x)  f ' ( x) ⋅ g ( x) − f ( x) ⋅ g ' ( x)
D =
34
 f ( x)  g 2 ( x)

35. 35