3. บนระนาบและบนทรงกลม และมีทฤษฎีที่สาคัญและได้รับการยกย่องคือ ทฤษฎีบทเมเนเลาส์
(Menelaus’ theorem) ซึ่งกล่าวว่า
“ในรูปสามเหลี่ยม ABC บนระนาบ ลากเส้นตรงผ่านให้ตัดด้าน (หรือส่วนต่อ) BC,
CA, AB ที่จุด D, E, F ตามลาดับ ดังนั้น 1
FB
AF
EA
CE
DC
BD ”
http://cache.eb.com/eb/image?id=67397&rendTypeId=4
และ “รูปสามเหลี่ยม ABC บนทรงกลม ลากเส้นตรงผ่านให้ตัดส่วนโค้ง (หรือส่วนต่อ) BC,
CA, AB ที่จุด L, M, N ตามลาดับ ดังนั้น 1
sin
sin
sin
sin
sin
sin
MA
CM
LC
BL
NB
AN ”
ซึ่งเป็นทฤษฎีบทที่ใช้ในการพิสูจน์ทฤษฎีอื่นๆ บนทรงกลม
www.kcl.ac.uk/.../exhibitions/gsci/men.jpg
4. Trigonometry มาจากภาษากรีก trigonon มุม 3 มุม และ metro การวัด
Trigonometry เป็นสาขาของคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับการวัดและหาความสัมพันธ์ระหว่าง
ด้าน มุม และพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม ในภาษาไทย “ตรีโกณมิติ” มาจากคาว่า ตรี(แปลว่า
สาม)+ โกณ(อ่านว่า โกนะ แปลว่ามุมหรือเหลี่ยม)+มิติ(แปลว่า การวัด) เป็นวิชาเกี่ยวกับการวัด
รูปสามเหลี่ยมต่างๆ โดยหาความสัมพันธ์ระหว่าง ด้าน มุม และพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม ซึ่ง
คาว่า Trigonometry เริ่มใช้ในศตวรรษที่ 17
ค่า chord หรือ cd คือความยาวของ chord ของวงกลมหนึ่งหน่วยเมื่อมีมุมที่จุด
ศูนย์กลางเท่ากับ และแบ่งรัศมีวงกลมหนึ่งหน่วยเป็นส่วนย่อยที่เท่ากัน แล้วให้ค่าของ cd
เป็นจานวนเท่าของส่วนย่อยนี้ ยกตัวอย่างเช่น ถ้าแบ่งรัศมีของวงกลมหนึ่งหน่วยเป็น 60 ส่วน
เท่ากัน แล้ว cd
60 = 60 และ cd
180 = 120 เป็นต้น ที่จริงแล้ว cd
60 = 60/60 = 1 และ cd
180 = 120/60 =2 ดังรูป
จากนั้นจึงนิยามฟังก์ชัน sin จากฟังก์ชัน cd ดังนี้
2
)2(
sin
cd
แรกเริ่มนั้น Aryabhata (c. 150) เรียกฟังก์ชัน sine ว่า jya ซึ่งหมายถึงคอร์ดในภาษาฮินดี
ต่อมา jya เพี้ยนเป็น jaib ในภาษาฮาหรับ จากนั้นชื่อฟังก์ชันดังกล่าวกลายมาเป็น sinus ซึ่ง
เป็นคาในภาษาละตินที่มีความหมายเช่นเดียวกับ jaib ตัวย่อ sin ถูกใช้เป็นครั้งแรกใน
ภาพประกอบงานเขียนของ Gunter(1620)
θ
θ
sin θ
cd (2θ)
1
1
5. เมื่อพิจารณารูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีมุมแหลมมุมหนึ่งเท่ากับ θ เราสามารถหาค่า
sine ของมุมแหลมอีกมุมหนึ่งได้ ค่าดังกล่าวนี้เรียกเป็นภาษาอังกฤษว่า sine of the
complementary angle (sin ของมุมประกอบหนึ่งมุมฉาก) ซึ่งเขียนอย่างสั้นได้เป็น cosine ตัวย่อ
cos ถูกใช้เป็นครั้งแรกในงานเขียนของ Moore (ค.ศ.1674)
แม้ในปัจจุบันฟังก์ชัน tangent มีนิยามว่าเป็นอัตราส่วนของฟังก์ชัน sin กับฟังก์ชัน
cosine แรกเริ่มนั้น tan θ คืออัตราส่วนระหว่างความสูงของวัตถุและความยาวของเงาของวัตถุ
นั้น โดย θ คือมุมเงยของยอดของวัตถุเมื่อวัดจากจุดปลายของเงาของวัตถุ ชื่อ tangent ได้มา
จากข้อสังเกตในงานเขียนของ Finck (ค.ศ.1583) ว่า tan θ คือ ความยาวของด้านตรงข้ามมุม θ
ของสามเหลี่ยมมุมฉาก โดยด้านตรงข้ามมุม θ นี้สัมผัส (tangent) กับวงกลมหนึ่งหน่วยที่มีจุด
ศูนย์กลางอยู่ที่จุดยอดของมุม θ ดังรูป
นอกจากนั้นแล้ว Fincke ยังเรียกความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากในรูปว่า secant
ของ θ ตัวย่อ tan และ sec ถูกใช้เป็นครั้งแรกโดย Girard (ค.ศ.1626) ส่วนฟังก์ชัน cotangent
และ cosecant นั้นมีต้นกานิดจากฟังก์ชัน tangent และ secant ในลักษณะเดียวกับที่ฟังก์ชัน
cosine มีต้นกาเนิดจากฟังก์ชัน sine
cos θ = sin (90O
-θ)
90O
-θ
θ
θ
sec θ
tan θ
1
6. ศตวรรษที่ 17 Georg Joachim Rhaeticus นักดาราศาสตร์ชาว Teutonic เป็นผู้นิยาม
ฟังก์ชันตรีโกณมิติของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากบนวงกลมหนึ่งหน่วยโดยขยายมุมรอบวงกลมที่
เราใช้มาจนถึงทุกวันนี้
นอกจากนั้น Brook Taylor (ค.ศ.1685–1731) เป็นนักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษได้นิยาม
ค่าฟังก์ชันตรีโกณอยู่ในรูปอนุกรมอนันต์ ดังนี้
และเรียกอนุกรมนี้ว่า “อนุกรมเทเลอร์” (Taylor’s series) ทาให้การหาค่าของตารางค่า
อัตราส่วนทางตรีโกณมิติสมบูรณ์ แม่นยาจนถึงหลักทศนิยมที่ต้องการ
จากที่กล่าวมาทั้งหมด จะเห็นได้ว่าข้อมูลตรีโกณมิติในอดีตส่วนใหญ่มาจากตาราของ
ชาวอาหรับโบราณ ที่ได้แปลไว้ ซึ่งแสดงให้เห็นว่าชนชาตินี้ได้ให้ความสนใจและมีส่วนในการ
พัฒนาแขนงวิชาตรีโกณมิติให้มีความก้าวหน้าและสามารถนามาประยุกต์ใช้ให้เกิดประโยชน์
ต่าง ๆ มากมายดังที่เห็นในปัจจุบัน
ที่มา :
สารานุกรมไทย ฉบับราชบัณฑิตยสถาน (เล่ม๑๒) และ สารานุกรมไทยสาหรับเยาวชน
โดยพระราชประสงค์ในพระบาทสมเด็จพระเจ้าอยู่หัว (เล่ม ๖)
David Smith. History of Mathematics, Volume II. Dover, New York, 1958.
http://www.algebralab.org/lessons/lesson.aspx?file=Trigonometry_TrigNameOrigins.xml
http://en.wikipedia.org/wiki/Trigonometric_functions
http://tu-mathmania.blogspot.com/2007/09/blog-post_5607.html