1. เอกสารประกอบการบรรยาย
คณิตศาสตร์เสริม หลักสูตร EP
◙ โรงเรียนสตรีศึกษา จังหวัดร้อยเอ็ด
4 ประกอบสาระการเรียนรู้ พื้นฐาน
ระดับมัธยมศึกษาตอนปลาย
ความสัมพันธ์ และ ฟังก์ชน
ั
(Relation and Function)
อ.วัฒนา เถาว์ทิพย์
◙ ภาควิชาคณิตศาสตร์
มหาวิทยาลัยขอนแก่น

2. คณิ ตศาสตร์ เสริ ม หลักสู ตร EP โรงเรี ยนสตรี ศึกษา จังหวัดร้ อยเอ็ด ระดับมั ธยมศึ กษาปี ที่ 4 หน้ า 1
1 ความสั มพันธ์ และ ฟังก์ ชัน (Relation and Function)
ความรู้พื้นฐาน (Basic Background)
Who is George
Cantor? ความหมายของเซต
ในวิชาคณิ ตศาสตร์ เราใช้คาว่า “เซต” เพื่อบ่งบอกถึงกลุ่มของสิ่ งต่างๆ โดย
ต้องทราบอย่างแน่ชดว่า สิ่ งใดอยูในกลุ่ม และ สิ่ งใดไม่อยูในกลุ่มที่เรากล่าว และ เรี ยก
ั ่ ่
สิ่ งที่อยูในเซตนั้นว่า สมาชิก
่
สั บเซต(Subset)
บทนิยาม A เป็ นสับเซตของ B ก็ต่อเมื่อ สมาชิกทุกตัวของ A เป็ นสมาชิกของ B
………………… A เป็ นสับเซตของ B เขียนแทนด้วย A  B
…………………
………………… แต่ B  A เรี ยกว่า B เป็ น Supper set ของ A
………………… และ A ไม่เป็ นสับเซตของ B เขียนแทนด้วย A  B
…………………
…………………
ข้ อตกลงเบืองต้นเกียวกับเซต
้ ่
………………… (1) เซตว่าง เป็ นสับเซตของทุกๆ เซต นันคือ   A เมื่อ A เป็ นเซตใดๆ
่
(2) เซตทุกเซตเป็ นสับเซตของตัวมันเอง นันคือ A  A เมื่อ A เป็ นเซตใดๆ
่
◙True or False ?
การหาจานวนสับเซต
1. a  a
2 เซตที่มีสมาชิก k ตัว มีจานวนสับเซตทั้งหมด 2k สับเซต
2. 3.99999… is an integer เพาเวอร์ เซต (Power set)
3. 27 is an integer.
9 บทนิยาม ถ้า A เป็ นเซตใด เพาเวอร์ เซตของ A คือเซตของสับเซตของ A และเขียนแทน
4. 121 is an integer. ด้วย P(A)
5. 1.21 is a rational
number. นันคือ P(A) ={x x  A}
่
6. 12 is a rational ยูเนียน (Union)
number.
7. 2 is an irrational ให้ A และ B เป็ นเซตใดๆ
number.
A  B  {x x  A หรื อ x  B หรื อ x เป็ นสมาชิกของทั้งสองเซต}
8. 3.99999...  2
อินเตอร์ เซกชัน (Intersection)
☼ How to prove that ให้ A และ B เป็ นเซตใดๆ
3.9999...  4 A  B  {x x  A และ x  B}
………………………… ผลต่ าง และ คอมพลีเมนต์ (Difference and Complement)
………………………… ให้ A และ B เป็ นเซตใดๆ และ U เป็ นเอกภพสัมพัทธ์
…………………………
………………………… A  B  {x x  A และ x  B}
…………………………
………………………… A  B  {x x  B และ x  A}
…………………………
………………………… และ A = U - A
………………………
………………………
………………………
เรื่ อง Relations
………………………and Functions 1 ดร.วัฒนา เถาว์ ทิพย์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยขอนแก่ น
………………

3. คณิ ตศาสตร์ เสริ ม หลักสู ตร EP โรงเรี ยนสตรี ศึกษา จังหวัดร้ อยเอ็ด ระดับมั ธยมศึ กษาปี ที่ 4 หน้ า 2
1.1 ความสัมพันธ์ และฟังก์ชัน (Relation and Function)
ความสั มพันธ์ (Relation )
True or False?
ให้ A และ B เป็ นเซตใดๆ
(1) 1, 2,3  3, 2,1 A  B  (a, b) a  A and b  B
(2) 1, 2,3  1, 2,3,1 ถ้า r  A  B จะเรี ยก r ว่าความสัมพันธ์จาก A ไป B
(3) 1, 2,3  1, 2,1 หมายเหตุ
(4) 1, 2,3  1, 2, 2,3
ถ้า A มีสมาชิก m และ B มีสมาชิก n ตัว
(5) 1, 2,3  1,1, 2, 2,3,3
จะมีความสัมพันธ์จาก A ไป B ทั้งหมด ................... ความสัมพันธ์
และมีความสัมพันธ์จาก A ไป A ทั้งหมด ................... ความสัมพันธ์
(6) a a , b, a, b
โดเมน และ เรนจ์ (Domain and Range)
(7) a a , b, a, b
ให้ r ว่าความสัมพันธ์จาก A ไป B โดยที่ r  A  B
(8) b a , b, a, b
โดเมนของ r เขียนแทนด้วย Dr โดยที่ Dr   x ( x, y)  r
(9) b a , b, a, b
(10) b a , b, b , a, b เรนจ์ของ r เขียนแทนด้วย Rr โดยที่ Rr   y ( x, y)  r
(11) a, b a , b, a, b Ex: ให้หาโดเมนและ เรนจ์ของความสัมพันธ์ที่กาหนดให้
(12) a a , b, a, b ฟังก์ ชัน (Function)
ฟังก์ชน คือ ความสัมพันธ์ที่สมาชิกในโดเมนแต่ละตัวจับคู่กบสมาชิกในเรนจ์ ของ
ั ั
ความสัมพันธ์เพียงตัวเดี่ยวเท่านั้น
◙ Names of set of หมายเหตุ
number: 1) ถ้า ( x, y)  f แล้วเราจะกล่าวว่า ค่าของฟังก์ชน f ที่ x เท่ากับ y
ั
และเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ y  f ( x)
I  : Positive Integer
2) ถ้า y  f ( x) เป็ นฟังก์ชน แล้วเส้นตรงที่ขนานกับแกน y จะตัดกราฟได้เพียงจุด
ั
I  : Negative Integer
I : Integer เดียวเท่านั้น
N : Natural Number Ex: 1) ให้วิเคราห์การเป็ นฟังก์ชน ั
P : Prime Number 2) ให้ยกตัวอย่างกราฟที่เป็ น และ ไม่เป็ นฟังก์ชน
ั
Q : Rational Number
R : Positive Integer โดเมน และ เรนจ์ (Domain and Range)
True or False? ให้ f ว่าความสัมพันธ์จาก A ไป B โดยที่ f  A  B
(1) N  I โดเมนของ f เขียนแทนด้วย D f โดยที่ D f  x ( x, y)  f 
(2) I  R เรนจ์ของ f เขียนแทนด้วย R f โดยที่ R f   y ( x, y)  f 
(3) 9  I Ex: 1) ให้หาโดเมน และ เรนจ์ โดยการวิเคราะห์
(4) 2 Q  หาโดเมน โดยจัดค่าของ y ให้อยูในรู ปของ x
่
(5) 2.9999...  Q  หาเรนจ์ โดยจัดค่าของ x ให้อยูในรู ปของ y
่
(6) Q  R 2) ให้โดเมนและเรนจ์จากกราฟของฟังก์ชน
ั
เรื่ อง Relations and Functions 2 ดร.วัฒนา เถาว์ ทิพย์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยขอนแก่ น

4. คณิ ตศาสตร์ เสริ ม หลักสู ตร EP โรงเรี ยนสตรี ศึกษา จังหวัดร้ อยเอ็ด ระดับมั ธยมศึ กษาปี ที่ 4 หน้ า 3
Who is Venn? 1.2 ฟังก์ชันเชิงเส้ น (LinearFunction)
Who is Euler?
…………………….. ฟังก์ ชันเชิงเส้ น คือฟังก์ชนที่อยูในรู ป y  ax  b เมื่อ a, b เป็ นจานวนจริ ง และ
ั ่
…………………….. a0
หมายเหตุ
1) กราฟของฟังก์ชน y  ax  b จะเป็ นเส้นตรงที่มีความชัน เท่ากับ a และตัด
ั
◙ Which is empty set ?
แกน y ที่จุด (0, b)
(1)  x x  2  2 2) ฟังก์ชน y  ax  b เมื่อ a  0 จะอยูในรู ป y  b และเรี ยกว่า ฟังก์ ชันคงตัว
ั ่
(2)  x x  2  x
(Constant function)
Ex: ให้เขียนกราฟของฟังก์ชนที่กานด
ั
(3)  x x  2  x 1. y  x  1

(4) x x 2  x  2. y  x  2
3. y   x  3
(5)  x x 2
 x 4. y   x  3
(6)  x x 2
 x 5. y  2 x  1
6. y  3x  1
x
◙ Which is finite set ? 7. y   3
2
(1)  x x  2  2
3
8. y   x  5
4
(2)  x x  2  x 9
9. F  C  32
(3)  x x  2  x 5

(4) x x 2  x  1.3 ฟังก์ชันกาลังสอง (Quadratic Function)
(5)  x x 2
 x ฟังก์ ชันเชิงเส้ น คือฟังก์ชนที่อยูในรู ป y  ax2  bx  c เมื่อ a, b, c เป็ นจานวนจริ ง
ั ่
(6)  x x 2
 x และ a  0
หมายเหตุ
◙ Which is infinite set ? 1) กราฟของฟังก์ชน y  ax 2  bx  c จะเป็ นเส้นโค้งพาราโบลา ชนิดที่
ั
 หงาย เมื่อ a  0
(1)  x x  2  2  คว่า เมื่อ a  0
(2)  x x  2  x 2) ฟังก์ชน y  ax 2  bx  c เมื่อ a  0 จะอยูในรู ป y  bx  c ซึ่ งก็คือ
ั ่
(3)  x x  2  x ฟังก์ ชันเชิงเส้ น (Linear function)

(4) x x 2  x  3) ฟังก์ชน y  ax 2  bx  c เมื่อ a, b, c เป็ นจานวนจริ ง และ a  0 จะมีจุด
ั
 b 4ac  b 2 
(5)  x x 2
 x วกกลับที่  ,  และจุดวกกลับนี้จะเป็ น
 2a 4a 
(6)  x x 2
 x  จุดสู งสุ ด เมื่อ a  0
 จุดต่าสุ ด เมื่อ a  0
เรื่ อง Relations and Functions 3 ดร.วัฒนา เถาว์ ทิพย์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยขอนแก่ น

5. คณิ ตศาสตร์ เสริ ม หลักสู ตร EP โรงเรี ยนสตรี ศึกษา จังหวัดร้ อยเอ็ด ระดับมั ธยมศึ กษาปี ที่ 4 หน้ า 4
กราฟของฟังก์ ชันกาลังสอง (Graph of Quadratic Function)
The vertex of a
parabola Ex: ให้เขียนกราฟของฟังก์ชนกาลังสองต่อไปนี้ พร้อมทั้งบอกจุดวกกลับ และระบุว่าจุด
ั
y  ax 2  bx  c วกกลับเป็ นจุดสู งสุ ดหรื อจุดต่าสุ ด พร้อมทั้งหาโดเมน และ เรนจ์
b b 2  4ac 1) y  x2  2 x  5
is ( , )
2a 2a
2) y  x2  2 x  5
True or False?
3) y   x2  2 x  5
4) y  2 x2  4 x  3
? 5) y  2 x2  4 x  3
6) y  2 x2  4 x  3
7) y  2 x2  4 x
8) y  4 x2  4 x
การแก้ สมการโดยใช้ กราฟของฟังก์ ชั น (Solving Equation using Graph)
พิจารณาว่ากราฟของฟังก์ชน y  ax2  bx  c ในรู ปใดที่ตดกับแกน X ซึ่ งจะทาให้
ั ั
สมการ ax2  bx  c  0 เป็ นจริ ง และพิจารณาว่ามี x กี่ค่าที่ทาให้สมการเป็ นจริ ง
หมายเหตุ : การแก้สมการ ax2  bx  c  0 เป็ นการหาจุดตัดที่แกน X ของกราฟของ
ฟังก์ชน y  ax2  bx  c
ั
Ex: จงแก้สมการต่อไปนี้โดยใช้กราฟ
1) x2  5  0
2) x2  5  0
3) x2  2 x  5  0
4) x2  x  6  0
5) 2( x  1)2  2  0
6) 2( x  1)2  2  0
7) 2  2( x  1)2  0
8) 6  5x  x2  0
เรื่ อง Relations and Functions 4 ดร.วัฒนา เถาว์ ทิพย์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยขอนแก่ น

6. คณิ ตศาสตร์ เสริ ม หลักสู ตร EP โรงเรี ยนสตรี ศึกษา จังหวัดร้ อยเอ็ด ระดับมั ธยมศึ กษาปี ที่ 4 หน้ า 5
การแก้ อสมการโดยใช้ กราฟของฟังก์ ชั น (Solving Inequality using Graph)
พิจารณาอสมการกาลังสองที่อยูในรู ป
่
◙ Some of the most
beautiful mathematical ax2  bx  c  0
formulas:
ax2  bx  c  0
9 The roots of a สามารถหาคาตอบได้โดยการเขียนกราฟของฟังก์ชน
ั
quadratic equation :
If ax  bx  c  0
2 y  ax 2  bx  c
where a  0 , then ช่วงของ x ที่ทาให้ y  0 จะเป็ นคาตอบของอสมการ ax2  bx  c  0
ช่วงของ x ที่ทาให้ y  0 จะเป็ นคาตอบของอสมการ ax2  bx  c  0
b  b 2  4ac
x .
2a
10 The golden ratio:
1 5
2
11 Imaginary numbers: Ex: จงแก้อสมการต่อไปนี้โดยใช้กราฟ
i  1 1) x2  5  0
2) x2  5  0
3) x2  x  6  0
4) x2  x  6  0
5) 2( x  1)2  2  0
6) 2( x  1)2  2  0
7) 2  2( x  1)2  0
8) 6  5x  x2  0
การประยุกต์ ของฟังก์ ชันกาลังสอง (Applications of Quadratic Function)
การเคลื่อนที่ที่มีจุดวกกลับเพียงครั้งเดียว สามารถอธิบายได้ดวยกราฟของฟังก์ชนกาลัง
้ ั
สอง และปัญหาในโลกของความเป็ นจริ ง ที่มีตวแบบเชิงคณิ ตศาสตร์ (Mathematical
ั
Model) เป็ นฟังก์ชนกาลังสอง สามารถวิเคราะห์หาค่าต่าสุ ด หรื อค่าสู งสุ ด ได้โดยย
ั
พิจารณาจากจุดวกกลับของพาราโบลาหงาย หรื อ พาราโบลาคว่า ตามลาดับ ดังตัวอย่าง
ต่อไปนี้
Ex: โยนลูกบอลขึ้นไปในแนวดิ่ง ถ้าความสู งของลูกบอลหาได้จากสู ตร
f (t )  t 2  4t เมื่อ t แทนเวลาเป็ นวินาที
1) จงหาเวลาในขณะที่ลกบอลอยูสูงที่สุดจากพื้น
ู ่
2) จงหาว่านานเท่าใดลูกบอลจึงจะตกถึงพื้น
เรื่ อง Relations and Functions 5 ดร.วัฒนา เถาว์ ทิพย์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยขอนแก่ น

7. คณิ ตศาสตร์ เสริ ม หลักสู ตร EP โรงเรี ยนสตรี ศึกษา จังหวัดร้ อยเอ็ด ระดับมั ธยมศึ กษาปี ที่ 4 หน้ า 6
Ex: ต้องการทารั้วให้เป็ นรู ปสี่ เหลี่ยมผืนผ้า โดยที่ดานหนึ่งติดกับแม่น้ าซึ่ งไม่ตองกั้นรั้ว
้ ้
ถ้ามีวสดุที่จะทารั้วได้ยาว 100 เมตร
ั
If a x  a y
then x  y 1) จงหาความสัมพันธ์ระหว่างพื้นที่ และ ด้านกว้างของบริ เวณที่ก้ นรั้ว
ั
2) จงหาด้านกว้างที่ทาให้ได้พ้ืนที่มากที่สุด
? 3) จงหาพื้นที่ที่มากที่สุดที่เป็ นไปได้ในการกั้นรั้ว
Ex: ถ้าอัตราการตายของทารกในระหว่างปี พ.ศ. 2540 – 2550 ของประเทศหนึ่งหา
ได้จากสู ตร
y  0.2 x 2  0.5x  12.5
………………… เมื่อ y แทนจานวนทารกที่เสี ยชีวิตจากทารกที่เกิดมา 1000 คน และให้ x เป็ น
…………………
………………… จานวนปี ที่นบจากปี พ.ศ. 2540
ั
………………… 1) จงหาว่าในปี พ.ศ. 2545 จะมีทารกรอดชีวิตกี่เปอร์ เซนต์
………………… 2) จงหาว่าแนวโน้วในการเสี ยชีวิตของทารกในปี 2551 จะเป็ นกี่เปอร์ เซ็นต์
…………………
…………………
………………… Ex: จงหาค่าต่าสุ ดของ m2  n2 เมื่อ m  n  4 โดยใช้ความรู ้เรื่ องกราฟของ
……………….... ฟังก์ชนกาลังสอง
ั
Ex: จงหาจานวนเต็มสองจานวนที่ต่างกัน 16 และมีผลคูณมากที่สุด
1.4 ฟังก์ชันเอกซ์ โพเนนเชียล (Exponential Function)
หมายถึง ฟังก์ชนที่อยูในรู ป
ั ่
y  a x เมื่อ a  0 และ a  1
หมายเหตู : พิจารณากรณี ที่
1) a  0
2) a  0
3) a  1
Ex: จงเขียนกราฟของฟังก์ชนเอกซ์โพเนนเชียลต่อไปนี้พร้อมทั้งพิจารณาโดเมน และ
ั
เรนจ์ของฟังก์ชนในแต่ละข้อ
ั
1) y  2 x
2) y  3x
1
3) y  ( ) x
2
2
4) y  ( ) x
3
3
5) y  ( ) x
2
เรื่ อง Relations and Functions 6 ดร.วัฒนา เถาว์ ทิพย์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยขอนแก่ น

8. คณิ ตศาสตร์ เสริ ม หลักสู ตร EP โรงเรี ยนสตรี ศึกษา จังหวัดร้ อยเอ็ด ระดับมั ธยมศึ กษาปี ที่ 4 หน้ า 7
ข้ อสังเกต
1) กราฟของฟังก์ชน y  a x เมื่อ a  0 และ a  1 จะผ่านจุด (0,1)
ั
ax  a y  x  y
เสมอทั้งนี้เพราะ a  1
0
Right ?
2) ถ้า a  1 เมื่อ x มี่ค่าเพิ่ม แล้ว y จะมีค่าเพิ่ม
ถ้า 0  a  1 เมื่อ x มี่ค่าเพิ่ม แล้ว y จะมีค่าลด
…………………
…………………
………………… 3) a x  a y ก็ต่อเมื่อ x  y
…………………
…………………
…………………
…………………
…………………
Ex. จงแก้สมการต่อไปนี้
……………….... 1) 1
 81
3x
2) 4x  2
3) 8x  4
การประยุกต์ ของฟังก์ ชันเอกซ์ โพเนนเชียล
(Applications of Exponential Function)
1) ดอกเบียทบต้น
้
Sn  P(1  i)n
2) การเพิม และ การลด ของประชากร
่
A(t )  kat
1.5 ฟังก์ชันค่าสมบูรณ์ (Absolute Value Function)
เรื่ อง Relations and Functions 7 ดร.วัฒนา เถาว์ ทิพย์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยขอนแก่ น

9. คณิ ตศาสตร์ เสริ ม หลักสู ตร EP โรงเรี ยนสตรี ศึกษา จังหวัดร้ อยเอ็ด ระดับมั ธยมศึ กษาปี ที่ 4 หน้ า 8
Exercise
xa  y a  x  y จงเขียนกราฟ ของฟังกัชนต่อไปนี้พร้อมทั้ง บอกโดเมน และ เรนจ์
ั
1) y  2 x  1
Right ? 2) y  3x  1
1
3) y  ( ) x  2
2
4) y  2 x 1
3
5) y  ( ) x 1
2
…………………
………………… จงแก้สมการต่อไปนี้
…………………
………………… 1) 2x  1  0
………………… 2) 3x  1  0
………………… 1
3) x  2  0
………………… 2
………………… 4) 32 x  3  0
……………….... 5) 32 x  4(3x )  3  0
จงใช้สูตรดอกเบี้ยทบต้น แก้ปัญหาโจทย์ต่อไปนี้
1) จงหาเงินรวม และ ดอกเบี้ยของเงินต้น 2,000 บาท ที่ลงทุนเป็ นเวลา 2 ปี
โดยได้รับดอกเบี้ยในอัตราร้อยละ 7 คิดทบต้นทุกปี
2) จงหาเงินรวม และ ดอกเบี้ยของเงินต้น 20,000 บาท ที่ลงทุนเป็ นเวลา 5
ปี โดยได้รับดอกเบี้ยในอัตราร้อยละ 8 คิดทบต้นไตรมาส
< กาหนดให้ (1  0.02)20  1.4859 >
3) จงหาดอกเบี่ยจากการลงทุนเงินต้น 60,000 บาท เป็ นเวลา 20 ปี และ
ได้รับดอกเบี้ยในอัตราร้อยละ 6 คิดทบต้นทุกครึ่ งปี
< กาหนดให้ (1  0.03)40  3.2620 >
4) ถ้าต้องการฝากเงินจานวนหนึ่งโดยได้รับดอกเบี้ยในอัตราร้อยละ 4 คิด
ทบต้นทุกไตรมาสเป็ นระยะเวลา 10 ปี และต้องการได้รับเงินรวมทั้งสิ้น
20,000 บาท จะต้องฝากเงินต้นครั้งแรกเป็ นจานวนเท่าใด
< กาหนดให้ (1  0.01)40  1.4888 >
5) ถ้าผลตอบแทนจากการลงทุนเป็ นดอกเบี้ยอัตราร้อยละ 8 คิดทบต้นทุก
ครึ่ งปี จะต้องลงทุนนานเท่าใดจึงจะได้เงินรวมเป็ นสองเท่าของเงินต้น
< กาหนดให้ (1  0.04)17  1.9479 และ (1  0.04)18  2.0258 >
เรื่ อง Relations and Functions 8 ดร.วัฒนา เถาว์ ทิพย์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยขอนแก่ น

10. คณิ ตศาสตร์ เสริ ม หลักสู ตร EP โรงเรี ยนสตรี ศึกษา จังหวัดร้ อยเอ็ด ระดับมั ธยมศึ กษาปี ที่ 4 หน้ า 9
x x 1.5 ฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์ (Absolute Value Function)
Right ? ฟังก์ชนค่าสัมบูรณ์ที่จะกล่าวถึงต่อไปนี้อยูในรู ป y  x  h  k เมื่อ h และ k เป็ น
ั ่
ค่าคงที่ที่เป็ นจานวนจริ งใดๆ
จงเขียนกราฟ ของฟังกัชนต่อไปนี้พร้อมทั้ง บอกโดเมน และ เรนจ์
ั
1) y  x
2) y  x  1
…………………
3) y  x  2
…………………
………………… 4) y  x  1
………………… 5) y  x  2
…………………
………………… 6) y  x  2  3
………………… 7) y  x  2  3
…………………
………………....
◙รุปลักษณะของกราฟของฟังก์ ชัน y  x  h  k
ส
Exercise
จงเขียนกราฟ ของฟังกัชนต่อไปนี้พร้อมทั้ง บอกโดเมน และ เรนจ์
ั
8) y   x
9) y  x  1  1
10) y  x  2  2
11) y  x  1  2
12) y  x  2  3
13) y  x  2  3
14) y  2 x  3  4
จงแก้สมการต่อไปนี้
15) x  2  0
16) x  3  0
17) x  1  2
18) x  2  3  0
19) x  2  3  0
เรื่ อง Relations and Functions 9 ดร.วัฒนา เถาว์ ทิพย์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยขอนแก่ น

11. คณิ ตศาสตร์ เสริ ม หลักสู ตร EP โรงเรี ยนสตรี ศึกษา จังหวัดร้ อยเอ็ด ระดับมั ธยมศึ กษาปี ที่ 4 หน้ า
10
1.6 ฟังก์ชันบันได(Step Function)
A B  B  A
? พิจารณา ฟังก์ชน y  [ x] เมื่อ [ x] หมายถึงจานวนเต็มที่มากที่สุดที่นอยกว่า หรื อ
ั ้
เท่ากับ x
…………………
…………………
…………………
…………………
…………………
…………………
…………………
…………………
………………....
ฟังก์ชนที่มีกราฟลักษณะดังกล่าว เรี ยกว่า ฟังก์ชนขั้นบันได (Step function)
ั ั
Ex. อัตราค่าไปรษณี ยากรสาหรับส่ งจดหมายในประเทศ มีดงนี้
ั
พิกัดน้าหนัก อัตรา (บาท)
ไม่เกิน 20 กรัม 2.00
เกิน 20 กรัม แต่ไม่เกิน 100 กรัม 3.00
เกิน 100 กรัม แต่ไม่เกิน 250 กรัม 5.00
เกิน 250 กรัม แต่ไม่เกิน 500 กรัม 9.00
เกิน 500 กรัม แต่ไม่เกิน 1000 กรัม 16.00
เกิน 1000 กรัม แต่ไม่เกิน 2000 กรัม 30.00
สามารถเขียนในรู ปฟั งก์ชนขั้นบันไดดังนี้
ั
 2.00, 0  x  20
 3.00, 20  x  100

 5.00, 100  x  250
f ( x)  
 9.00, 250  x  500
 16.00, 500  x  1000

30.00, 1000  x  2000
เรื่ อง Relations and Functions 10 ดร.วัฒนา เถาว์ ทิพย์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยขอนแก่ น

12. คณิ ตศาสตร์ เสริ ม หลักสู ตร EP โรงเรี ยนสตรี ศึกษา จังหวัดร้ อยเอ็ด ระดับมั ธยมศึ กษาปี ที่ 4 หน้ า
11
◙ ตัวอย่ างข้ อสอบที่ท้าทายเรื่องความสั มพันธ์ และฟังก์ ชัน
 ความสัมพันธ์
1. ให้ A = {0 , 1 , 2 , 3} และ P(A) คือเพาเวอร์ เซตของ A ถ้า r เป็ นความสัมพันธ์จาก A ไป
ยัง P(A) กาหนดโดย r = {(a , B) | a  2 , a  B และ a+1  B} แล้ว r มีจานวน
สมาชิกกี่จานวน
2. ถ้าความสัมพันธ์ r = {(x, y)  R  R | y = 2 4 }
(x  1) 2  4
แล้วข้อใดต่อไปนี้คือเรนจ์ของ r
1. (– , 2)  [3 , ) 2. (– , 2)  (3 , )
3. (– , 2]  [3 , ) 4. (– , 2]  (3 , )
3. กาหนดให้ r เป็ นความสัมพันธ์ในเซตของจานวนจริ ง โดยที่ r = {(x, y) | y = 1  x2 }
1  x2
ข้อใดต่อไปนี้ถูก
1. Dr = [–1 , 1] , Dr1 = [–1 , 1] 2. Dr = [–1 , 1] , Dr1 = [0 , 1]
3. Dr = [0 , 1] , Dr1 = [–1 , 1] 4. Dr = [0 , 1] , Dr1 = [0 , 1]
4. กาหนดให้ S เป็ นเซตคาตอบของอสมการ x2  8x + 20
ถ้า A = {x  S | x เป็ นจานวนเฉพาะบวก} และ B = {x S | x เป็ นจานวนเต็มคี}
่
แล้ว (A  B) – (B  A) มีจานวนสมาชิกเท่ากับข้อใดต่อไปนี้
1. 11 2. 15
3. 21 4. 23
5. กาหนดให้ r = {(x , y) | y = 9  x 2 } และ s = {(x , y) | y = 1 }
x2  9
พิจารณาข้อความต่อไปนี้
ก. D r  R 1 =  ข. R r  D 1 = (0 , )
s s
ข้อใดต่อไปนี้ถูก
1. ก ถูก และ ข ถูก 2. ก ถูก และ ข ผิด
3. ก ผิด และ ข ถูก 4. ก ผิด และ ข ผิด
เรื่ อง Relations and Functions 11 ดร.วัฒนา เถาว์ ทิพย์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยขอนแก่ น

13. คณิ ตศาสตร์ เสริ ม หลักสู ตร EP โรงเรี ยนสตรี ศึกษา จังหวัดร้ อยเอ็ด ระดับมั ธยมศึ กษาปี ที่ 4 หน้ า
12
6. กาหนด ความสัมพันธ์ r = { (x, y ) | | y |  21 } พิจารณาข้อความต่อไปนี้
x 1
ก. Dr = (– , –1)  (1 , ) ข. r 1  { (x, y) | y   1  x }
x
ข้อใดต่อไปนี้ถูก
1. ก ถูก และ ข ถูก 2. ก ถูก และ ข ผิด
3. ก ผิด และ ข ถูก 4. ก ผิด และ ข ผิด
7. ถ้า r = { (x , y)  R  R | 2x 3  3xy 2  x 2  y 2 = 0 แล้ว เรนจ์ของ r 1 เท่ากับข้อใด
1. (–
1 , 1] 2. [–
1 , 1)
3 2 2 3
3.
1
(–  , – )  (–
1 , ) 4. (–  , )
3 3
8. กาหนดให้ r = {(x, y) | 0  x , 0  y  5 และ x 2  y 2 – 2x + 6y  8}
พิจารณาข้อความต่อไปนี้
ก. D r = [0, 3]
ข. ถ้า 0  c และ (3, c)  r แล้ว c = 5
ข้อใดต่อไปนี้ถูก
1. ก ถูก และ ข ถูก 2. ก ถูก และ ข ผิด
3. ก ผิด และ ข ถูก 4. ก ผิด และ ข ผิด
9. ให้ r = { (x, y ) | y 
x2 4 }
x 2
พิจารณาข้อความต่อไปนี้
ก. 4  R r
ข. R 1 = [0, 4)  (4, )
r
ข้อใดต่อไปนี้ถูก
1. ก ถูก และ ข ถูก 2. ก ถูก และ ข ผิด
3. ก ผิด และ ข ถูก 4. ก ผิด และ ข ผิด
10. กาหนดให้ r = {(x, y) | x  y และ y 2 = x 2 + 2x – 3 } พิจารณาข้อความต่อไปนี้
ก. D r = [1, ) ข. R r = (–, )
ข้อใดต่อไปนี้ถูก
1. ก ถูก และ ข ถูก 2. ก ถูก และ ข ผิด
3. ก ผิด และ ข ถูก 4. ก ผิด และ ข ผิด
เรื่ อง Relations and Functions 12 ดร.วัฒนา เถาว์ ทิพย์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยขอนแก่ น

14. คณิ ตศาสตร์ เสริ ม หลักสู ตร EP โรงเรี ยนสตรี ศึกษา จังหวัดร้ อยเอ็ด ระดับมั ธยมศึ กษาปี ที่ 4 หน้ า
13
 ฟังก์ชัน
1. กาหนดให้ k เป็ นค่าคงตัว และ r = {(x, y)  R+  R+ | x + k x = y + k y }
พิจารณาข้อความต่อไปนี้
ก. ถ้า k = 1 แล้ว r เป็ นฟังก์ชน
ั ข. ถ้า k = –1 แล้ว r เป็ นฟังก์ชน
ั
ข้อใดต่อไปนี้ถก
ู
1. ก ถูก และ ข ถูก 2. ก ถูก และ ข ผิด
3. ก ผิด และ ข ถูก 4. ก ผิด และ ข ผิด
2 เมือ x   1
่

2. กาหนดให้ f(x) =  (x  1) 2 เมือ  1  x  2
่ และ g(x)  f(x)  2
 x 1 เมือ x  2
่

ถ้า k เป็ นจานวนเต็มที่นอยที่สุดที่ทาให้ g(k)  5 แล้ว g(f(k)) มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้
้
1. 5 2. 6
3. 7 4. 8
3. กาหนดให้ a  0 และ
x
f(x) = , x,a > 0
a
g(x) = x3
f (64)
ถ้า f ( g (4))  2 แล้ว มีค่าเท่ากับเท่าใด
g (64)
4. ให้ A = {1, 2, 3, 4} และ B = {1, 2, 3, 4, 5} f เป็ นฟังก์ชน จาก A ไป B
ั
โดยที่ f(1) = 2
หรื อ f(2) = m เมื่อ m เป็ นจานวนคี่
แล้ว จานวนฟังก์ชน f ที่มีสมบัติดงกล่าวเท่ากับข้อใด
ั ั
1. 75 2. 150
3. 425 4. 500
==============================
เรื่ อง Relations and Functions 13 ดร.วัฒนา เถาว์ ทิพย์ คณะวิทยาศาสตร์ มหาวิทยาลัยขอนแก่ น