O documento discute geometria espacial, especificamente paralelepípedos e pirâmides. Define paralelepípedos e seus tipos, além de descrever como calcular área da base, área lateral, área total e volume. Também define pirâmides, lista seus elementos e como classificá-las. Explica como calcular área da base, área lateral, área total e volume de pirâmides. Há exercícios para fixar os conceitos.

1. Geometria Espacial
(Paralelepípedo e Pirâmide)
Paralelepípedo: Definição, Tipos, Área da
Base (AB), Área Lateral (AL), Área Total (AT) e
Volume (V). Pirâmide: Definição, Elementos,
Classificação, Planificação, Área da Base (AB),
Área Lateral (AL), Área Total (AT) e Volume (V).
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2. Paralelepípedos – Definição
Paralelepípedo é um prisma composto por 6
faces as quais são paralelogramos.
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3. Tipos de Paralelepípedos
Os paralelepípedos podem ser:
Paralelepípedo Oblíquo:
Paralelepípedo Reto:
Paralelepípedo Reto-retângulo:
(ou Paralelepípedo Retângulo, ou Ortoedro ou Bloco
Retangular)
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4. Tipos de Paralelepípedos
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 01
Classifique os paralelepípedos oblíquo ou reto:
(A) (B)
(C) (D)
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5. Tipos de Paralelepípedos
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 01
Classifique os paralelepípedos oblíquo ou reto:
(A) Oblíquo (B) Reto
(C) Reto (D) Oblíquo
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6. Área da Base (AB)
Como o paralelepípedo é composto por quadriláteros,
então a área da base será a área do quadrilátero (que
depende do caso).
Retângulo Quadrado
2
A = b×h A=l
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7. Área Lateral (AL)
Para o exemplo a seguir a área lateral de um
paralelepípedo é dada por:
AL = 2(ac + bc)
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8. Área Total (AT)
Para o exemplo a seguir a área total de um
paralelepípedo é dada por:
AT = 2(ab + ac + bc)
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9. Área Total (AT)
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 02
Deseja-se confeccionar um cubo utilizando para tanto
uma folha de zinco com 24 dm2. Qual será a medida da
aresta do cubo em centímetros?
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10. Área Total (AT)
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 02
Deseja-se confeccionar um cubo utilizando para tanto
uma folha de zinco com 24 dm2. Qual será a medida da
aresta do cubo em centímetros?
SOLUÇÃO
AT = 2(a2 + a2 + a2) = 24 dm2
2(3a2) = 24
6a2 = 24
a2 = 4
a = 2 dm x 10 a = 20 cm
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11. Volume
Assim como os prismas o volume do
PARALELEPÍPEDO é dado pelo produto da área da
base (AB) pela altura do paralelepípedo (h).
V = AB x h
No exemplo acima o volume é: V = abc
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12. Volume
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 03
Qual o volume, em litros, de uma caixa d’água que tem a
forma de um paralelepípedo reto-retângulo e possui 1
metro de largura, 2 metros de comprimento e 1,5 metros
de altura?
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13. Volume
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 03
Qual o volume, em litros, de uma caixa d’água que tem a
forma de um paralelepípedo reto-retângulo e possui 1
metro de largura, 2 metros de comprimento e 1,5 metros
de altura?
SOLUÇÃO
a = 1 m x 10 = 10 dm V = 10 x 20 x 15
b = 2 m x 10 = 20 dm V = 3000 dm3
c = 1,5 m x 10 = 25 dm OU
V = abc = ? V = 3000 L
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14. Pirâmide – Definição
Pirâmide é a reunião dos segmentos de reta com
extremidades em V (no vértice) e a outra nos pontos do
polígono contido no plano.
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15. Elementos do Pirâmide (Parte I)
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16. Elementos do Pirâmide (Parte II)
Altura: É a distância entre o vértice e a base.
Aresta da Base: Os segmentos que unem os vértices
do polígono da base.
Aresta Lateral: Os segmentos que unem os vértices do
polígono da base ao vértice da pirâmide.
Base: É a região poligonal na qual a pirâmide se apoia.
Face: É a região triangular delimitada pelas aresta da
base, aresta lateral e o vértice da pirâmide.
Vértice: É o ponto mais distante da base da pirâmide.
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17. Elementos do Pirâmide (Parte II)
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 04
Identifique os elementos da pirâmide a seguir:
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18. Elementos do Pirâmide (Parte II)
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 04
Identifique os elementos da pirâmide a seguir:
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19. Classificação da Pirâmide (Parte I)
A pirâmide pode ser classificada quanto:
Polígono da base:
A projeção ortogonal do vértice:
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20. Classificação da Pirâmide (Parte II)
OBS.:
Na Pirâmide Reta a projeção ortogonal (ou vertical) do
vértice sobre o plano da base coincide com o centro da
base, enquanto na Pirâmide Oblíqua a projeção
ortogonal (ou vertical) do vértice sobre o plano da base
NÃO coincide com o centro da base.
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21. Classificação da Pirâmide (Parte II)
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 05
Classifique as pirâmides abaixo quanto ao polígono da
base e quanto a projeção ortogonal do vértice.
(A) (C)
(B) (D)
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22. Classificação da Pirâmide (Parte II)
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 05
Classifique as pirâmides abaixo quanto ao polígono da
base e quanto a projeção ortogonal do vértice.
(A) (C)
Quadrangular Reta Pentagonal Oblíqua
(B) (D)
Quadrangular Oblíqua Hexagonal Reta
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23. Planificações de Pirâmides
Até o presente momento mostramos as pirâmides,
apenas, em perspectiva. Agora iremos apresentar
algumas representações planas de pirâmides.
Abaixo temos as planificações de Pirâmides de base:
Triangular Quadrangular Pentagonal Hexagonal
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24. Planificações de Pirâmides
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 06
Classifique as planificações das pirâmides abaixo quanto
ao seu polígono da base.
(A) (C)
(B) (D)
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25. Planificações de Pirâmides
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 06
Classifique as planificações das pirâmides abaixo quanto
ao seu polígono da base.
(A) Triangular (C) Quadrangular
(B) Hexagonal (D) Pentagonal
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26. Área da Base (AB)
Nesse caso a área da base da pirâmide é a área do
polígono que compõe sua base.
Retângulo Quadrado Triângulo Hexágono
A = b×h A=l 2 b×h 3l 2
3
A= A=
2 2
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27. Área da Base (AB)
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 07
Calcule a área da base de uma pirâmide de base
quadrada cuja aresta da base mede 8 cm.
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28. Área da Base (AB)
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 07
Calcule a área da base de uma pirâmide de base
quadrada cuja aresta da base mede 8 cm.
SOLUÇÃO
l = 8 cm
AB = l² = 8² = 64 cm²
l = 8 cm
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29. Área Lateral – AL (Parte I)
Para começo de história devemos saber encontrar a
apótema da pirâmide regular. Para só então
encontrarmos a área lateral.
Antes vejamos um exemplo:
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30. Área Lateral – AL (Parte II)
Perceba que o apótema da pirâmide será a hipotenusa
do triângulo VMN e também será a altura do triângulo
que compõe a face BCV.
Note que na pirâmide regular as face são congruente.
Portanto a área lateral (AL) da pirâmide é a soma das
áreas da face da pirâmide que é dada por:
1
AL = 4 × A∆ ⇒ AL = 4 ⋅ la
perímetro 2
1 2p
AL = 4l × a ⇒ AL = ×a
2 2
AL = p × a
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31. Área Lateral – AL (Parte III)
Onde:
AL : área lateral;
A : área de um face;
l : lado do polígono da base;
a : apótema da pirâmide;
2p : perímetro;
p : semiperímetro.
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32. Área Lateral – AL (Parte IV)
Generalizando a área lateral para uma pirâmide regular
de “n” lados temos:
AL = pa
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33. Área Lateral – AL (Parte IV)
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 08
Uma pirâmide regular de base
quadrada tem área da base 36
4 cm
cm² e altura 4 cm. Qual a área
lateral da pirâmide dada?
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34. Área Lateral – AL (Parte IV)
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 08
Uma pirâmide regular de base
quadrada tem área da base 36
4 cm
cm² e altura 4 cm. Qual a área
lateral da pirâmide dada?
SOLUÇÃO
Encontrando o lado do quadrado (l):
A = l² = 36 cm² l = 6 cm
Encontrando o apótema (a)
h = 4 cm
a² = h² + (l/2)² = 4² + 3² = 16 + 9
a² = 25 a = 5 cm
Encontrando a área lateral (AL):
AL = pa = 8x5 AL = 40 cm² l/2 = 3 cm
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35. Área Total (AT)
A área total de uma pirâmide regular é dada pela mesma
equação da área total do prisma, ou seja, a soma da
área da base (AB) com a área lateral (AL).
Desse modo obtemos o seguinte:
AT = AB + AL
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36. Área Total (AT)
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 09
De posse das informações do exercício anterior. Calcule
a área total.
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37. Área Total (AT)
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 09
De posse das informações do exercício anterior. Calcule
a área total.
SOLUÇÃO
AB = 36 cm² AT = AB + AL
AL = 40 cm² AT = 36 + 40
AT = ? AT = 76 cm²
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38. Volume (V)
O volume da pirâmide é um terço do volume do prisma
que tem mesma base da pirâmide. Não é tão elementar
ver isso, mas esta observação ajuda consideravelmente
no cálculo do volume da pirâmide.
1
V = AB × h
3
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39. Volume (V)
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 10
Calcule o volume do sólido (octaedro) que é a união de
duas pirâmides regulares de bases quadradas conforme
a figura a seguir:
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40. Volume (V)
EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 10
Calcule o volume do sólido (octaedro) que é a união de
duas pirâmides regulares de bases quadradas conforme
a figura a seguir:
SOLUÇÃO
AB = l² = 4² = 16 cm²
h = 6/2 = 3 cm
1 2 × 16 × 3
V = 2 × AB × h ⇒ V =
3 3
V = 32 cm3
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