1. RELA ŢII METRICE ÎN TRIUNGHIUL DREPTUNGHIC PROBLEME REZOLVATE C lasa a VII-a .
2. P roblema 1 Fie triunghiul ABC dreptunghic î n A , AB = 10cm ş i AD = 5 3cm, AD BC. Afla ţ i lungimea lui BD, BC ş i AC. Rezolva r e: A B C D 10cm 5 3cm 1) Aplic ă m teorema lui Pitagora î n ABD pentru a afla BD: BD 2 = AB 2 – AD 2 BD 2 = 100 – 75 = 25 BD = 25 = 5 c m . 5cm 2) Aplic ă m teorema catetei (pentru cateta AB) pentru a afla BC: AB 2 = BD BC 100 = 5 BC BC = 100:5 = 20cm. 20cm 3) Pentru a afla lungimea catetei AC aplic ă m teorema lui Pitagora î n ABC: AC 2 = BC 2 – AB 2 AC 2 = 400 – 100 = 300 AC = 100 = 10 3cm. 10 3cm Pentru consolidarea tehnicii de rezolvare a unui triunghi dreptunghic, î ncercati s ă rezolva ţ i problema aplic â nd ş i teorema î nal ţ imii. .
3. Fie ABCD un p ă trat de latur ă AB = 10cm; punctul E se afl ă î n interiorul p ă tratului astfel î ncat AEB s ă fie echilateral. Afla ţ i lungimea lui [EC]. Rezolvare: Problema 2 A B C D E Construim perpendiculara FG pe AB ce trece prin E. F G Î n EGB avem: BE=10cm, BG=5cm. 10 5 GE 2 = BE 2 – BG 2 GE 2 = 100-25=75 5 3 FE = GF – GE = 10 - 5 3cm. Î n CEF: CE 2 = FE 2 + FC 2 .
4. Fie ABCD un paralelogram cu AB = 10cm, AD = 2 5cm ş i DE = 4cm , unde DE AB . Afla ţ i lungimile celor dou ă diagonale. Rezolvare: Problema 3 A B C D E 2 5 10 4 Î n ADE afl ă m pe AE: AE 2 = AD 2 – DE 2 = 20 – 16 = 4. AE = 4 = 2cm. 2 BE = AB – AE = 10 – 2 = 8cm. 8 Î n BDE afl ă m pe BD: BD 2 = BE 2 + AD 2 = 64 + 16 = 80. BD = 80 = 4 5cm. Cobor â m o perpendicular ă din C pe dreapta AB: F BF = AE = 2cm. 2 CF = DE = 4cm. 4 Î n ACF avem: AC 2 = AF 2 + CF 2 = 12 2 + 4 2 = 144+16=160. .
5. Problema 4 Fie ABCD un trapez isoscel cu diagonalele perpendiculare, bazele AB = 16cm ş i CD = 8cm. S ă se calculeze perimetrul trapezului ş i lungimile diagonalelor. Rezolvare: A B C D 16 8 O Dac ă trapezul este isoscel atunci ş i triunghiurile AOB ş i COD sunt isoscele. Aplic ă m teorema lui Pitagora î n BOC BC 2 = BO 2 + OC 2 = 128 + 32 = 160 .
6. Fie un triunghi cu lungimile a doua laturi a si b si m ă sura unghiului cuprins î ntre ele egal ă cu . S ă se afle lungimea celei de-a treia laturi. Rezolvare: Problema 5 a b Construim î nal ţ imea pe latura de lungime b . O notam cu h . h Î n triunghiul din st â nga avem: h = a sin ş i x = a cos x y c Î nseamn ă c ă y = b – x = b - a cos Aplic ă m teorema lui Pitagora î n triunghiul din dreapta: c 2 = h 2 + y 2 = (a sin ) 2 + (b - a cos ) 2 c 2 = a 2 sin 2 + b 2 – 2ab cos + a 2 cos 2 c 2 = a 2 (sin 2 + cos 2 )+b 2 – 2ab cos Dar sin 2 + cos 2 = 1, a ş adar ( Teorema lui Pitagora generalizat ă sau teorema cosinusului ) . c 2 = a 2 + b 2 – 2ab cos
7. Problema 6 Fie triunghiul ABC cu m ă sura unghiului B de 60 0 , m ă sura unghiului A de 75 0 ş i AB = 8cm. Se cere s ă se afle perimetrul ş i aria triunghiului. Rezolvare: A B C 60 0 45 0 8cm m(<BAC) = 180 0 – m(<B) – m(<C) = 180 0 – 60 0 – 45 0 = 75 0 . D Î n ABD: BD = AB cos60 = 8 0,5 = 4cm. AD = AB sin60 = 8 3/2 = 4 3cm. Î n ADC: CD = AD = 4 3cm. ( ADC=isoscel ş i dreptunghic.) AC = CD sin45 = 4 3 2/2 = 2 6cm. P ABC = AB + AC + BC = = 8 + 2 6 + 4 3 + 4 = = 12 + 4 3 + 2 6cm. .
8. Problema 7 Trapezul ABCD cu baza mic ă CD = 3cm are AD = 4cm ş i m ă sura unghiului A de 60 0 , iar m ă sura unghiului B de 30 0 . Se cere s ă se calculeze perimetrul ş i aria trapezului. Rezolvare: A B C D 4cm 3cm 8cm 60 0 30 0 E F AE = AD cos 60 = 4 0,5 = 2cm. DE = CF = AD sin 60 = 4 3/2 = 2 3cm. BC = CF:sin30 = 2 3/0,5 = 4 3cm. BF = BC cos 30=4 3 3/2=6cm. EF = CD = 3cm. .
9. Problema 8 Fie triunghiul ABC cu AB = c = 7cm, BC = a = 9cm ş i AC = b = 8cm. S ă se afle sinA, sinB si sinC. Rezolvare: A B C 7cm 9cm 8cm Folosim urm ă toarea formul ă de calcul a ariei unui triunghi: u nde p = semiperimetrul triunghiului. p = (a+b+c):2 = (7+8+9):2 = 12 Folosim alt ă formul ă de calcul a ariei unui triunghi: Analog vom calcula la fel si sin B sau sin C. Se poate aplica î n continuare si teorema sinusului: .
10. Problema 9 Printr-un anume procedeu calcula ţ i tg15 0 . Rezolvare: Lu ă m un triunghi dreptunghic cu un unghi de 30 0 si construim bisectoarea acestui unghi; stabilim, de exemplu, lungimea lui BC = 2 si apoi urmari ţ i pa ş ii de rezolvare: A B C 30 0 D bisectoarea 15 0 Dac ă BC =2, atunci: AC = 2BC = 4. AB = AC cos30 0 = 4 3/2 = 2 3. Aplic ă m teorema bisectoarei: . Calcula ţ i singuri ş i sin 15 0 ş i sin 75 0 .
11. Problema 10 Far ă a utiliza tabele trigonometrice, calcula ţ i sin 75 0 . Rezolvare: Construim un triunghi cu unghiurile de 75 0 , 45 0 ş i 60 0 . A B C 7 5 0 45 0 60 0 D Not ă m BD = 1 1 Rezult ă : AB = 2; AD = 3; CD = 3; AC = 6. 2 3 3 6 Aria triunghiului ABC: Dar aria ABC cu formula sinusului este: A ş adar avem: .