1. Bài tập chuyên toán 9
Bài 1: BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT
————————–
• Một số lưu ý: Kỹ năng biến đổi đồng nhất là một phần quan trọng trong các bài toán
thi vào lớp 10 chuyên. Biến đổi đồng nhất là cố gắng biến đổi từ giả thuyết đến kết luận
của bài toán thông qua một số phương pháp sau:
1. Phương pháp thế.
Ví dụ 1: Chứng minh rằng nếu x + y + z = 0 thì: x3
+ y3
+ z3
= 3xyz.
Ví dụ 2: (Chuyên toán - PTNK) Cho các số a, b, c khác 0 và thỏa mãn điều kiện:
a + 2b − 3c = 0
bc + 2ac − 3ab = 0
Chứng minh rằng: a = b = c.
Ví dụ 3: (Chuyên toán - PTNK) Tìm các số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện:
a + b + c = 0
ab + 2bc + 3ca = 0
2. Phương pháp đặt ẩn phụ.
Ví dụ 4: Giải phương trình: (x2
+ 3x − 4)
3
+ (2x2
− 5x + 3)
3
= (3x2
− 2x − 1)
3
.
Ví dụ 5: (Chọn đội tuyển Trần Đại Nghĩa) Phân tích đa thức thành nhân tử:
x2
+ x + 4
2
+ 8 x3
+ x2
+ 4x
+ 15x2
3. Phân tích đa thức thành nhân tử.
Ví dụ 6: Cho a b 0 thỏa mãn: 2a2
+ 2b2
= 5ab. Tính: P =
a + b
a − b
.
Ví dụ 7: (Chuyên toán TP. HCM 2016 - 2017) Cho |a| 6= |b| và a, b 6= 0 và:
a − b
a2 + ab
+
a + b
a2 − ab
=
3a − b
a2 − b2
Tính giá trị biểu thức: P =
a3
+ 2a2
b + 3b3
2a3 + ab2 + b3
.
Ví dụ 8: Cho a + b + c = 2021 và
1
a
+
1
b
+
1
c
=
1
2021
. Chứng minh rằng trong ba
số a, b, c có ít nhất một số bằng 2021.
4. Phương pháp cộng, trừ các biểu thức để tạo thành nhân tử chung.
Ví dụ 9: Cho 3 số x, y, z thỏa mãn:



x2
+ 2y + 1 = 0
y2
+ 2z + 1 = 0
z2
+ 2x + 1 = 0
. Tính giá trị biểu thức:
T = x2020
+ y2021
+ z2022
Ví dụ 10: (Chuyên toán - PTNK)
a) Tìm các số dương x, y thỏa:



1
x
+
4
y
≤ 3
x + y = 3
Thầy Lương Xuân Vinh 1 0934 012 748

2. Bài tập chuyên toán 9
b) Tìm tất cả các số dương x, y, z thỏa:



1
x
+
4
y
+
9
z
= 6
x + y + z ≤ 6
5. Các hằng đẳng thức cần nhớ:
a) (a + b + c)2
= a2
+ b2
+ c2
+ 2ab + 2bc + 2ca
b) a3
+ b3
+ c3
− 3abc = (a + b + c) (a2
+ b2
+ c2
− ab − bc − ca)
c) (a + b)4
= a4
+ 4a3
b + 6a2
b2
+ 4ab3
+ b4
Ví dụ 11: Cho các số thực a, b, c thỏa a + b + c = 0. Chứng minh rằng:
a) a2
+ b2
− c2
= −2ab;
b) a2
+ b2
+ c2
= −2 (ab + bc + ca);
c) a3
+ b3
+ c3
= 3abc;
d) a4
+ b4
+ c4
= 2 (a2
b2
+ b2
c2
+ c2
a2
).
Ví dụ 12: Cho a + b + c = 2p. Chứng minh rằng: 2bc + b2
+ c2
− a2
= 4p (p − a).
Ví dụ 13: Cho x + y + z = xy + yz + zx = 0. Tính x2
+ y2
+ z2
và suy ra x, y, z.
Ví dụ 14: Cho 3 số x, y, z thỏa mãn x + y + z = 0 và x2
+ y2
+ z2
= a2
. Tính
a4
+ b4
+ c4
theo a.
6. Phân tích đa thức thành nhân tử ở mẫu thức để rút gọn phân thức hoặc tạo thành
mẫu số chung.
Lưu ý: Các biểu thức dạng phân thức phức tạp thông thường luôn có nhân tử ở tử
và mẫu để rút gọn phân thức, chúng ta cần cố gắng biển đổi giả thuyết để rút gọn
biểu thức trước khi tính toán.
Ví dụ 15: (Chuyên toán - Hà Nội) Cho a, b, c là các số thực khác 0 thỏa mãn:
a + b + c = 0. Tính giá trị biểu thức:
A =
a4
a4 − (b2 − c2)2 +
b4
b4 − (c2 − a2)2 +
c4
c4 − (a2 − b2)2
Ví dụ 16: (Chuyên toán TP. HCM 2013 - 2014) Biết x, y, z là ba số thực khác
nhau thỏa: xy + yz + zx = 0. Tính giá trị biểu thức:
P =
yz
x2 + 2yz
+
zx
y2 + 2zx
+
xy
z2 + 2xy
• Bài tập áp dụng:
1. Cho các số thực a, b, c, x, y, z ∈ R. Chứng minh các đồng nhất thức Lagrange sau:
a) (a2
+ b2
) (x2
+ y2
) = (ax + by)2
+ (ay − bx)2
b) (a2
+ b2
+ c2
) (x2
+ y2
+ z2
) = (ax + by + cz)2
+(ay − bx)2
+(bz − cy)2
+(az − cx)2
2. Cho n là một số tự nhiên bất kì.
a) Chứng minh rằng: n4
+ (n + 1)4
là số lẻ.
b) Khai triển biểu thức n4
+ (n + 1)4
thành dạng 2K + 1
c) Phân tích K thành tích các thừa số.
Thầy Lương Xuân Vinh 2 0934 012 748

3. Bài tập chuyên toán 9
3. Chứng minh rằng nếu x + y + z = 0 thì:
a) x4
+ y4
+ z4
= 2 (x2
y2
+ y2
z2
+ z2
x2
)
b) 2 (x5
+ y5
+ z5
) = 5xyz (x2
+ y2
+ z2
)
4. Phân tích đa thức thành nhân tử:
a) 3x2
−
1
3
y2
+
2
3
y −
1
3
b) x3
− 5x2
+ 8x − 4
5. Cho
x
x2 − x + 1
= a. Tính M =
x2
x4 + x2 + 1
theo a.
6. (Chọn đội tuyển Trần Đại Nghĩa) Cho ba số a, b, c thỏa mãn (a + b + c) (ab + bc + ca) =
abc. Tính giá trị biểu thức:
T = a29
+ b29
b2020
− c2020
c2019
+ a2019
7. a) Tìm a, b biết x3
+ ax2
+ b chia hết cho đa thức x2
+ 4x + 4.
b) Cho các số a, b thỏa a3
+ b3
+ 3ab = 1. Tìm a + b.
8. Cho x + y = a + b và x2
+ y2
= a2
+ b2
. Chứng minh rằng: x3
+ y3
= a3
+ b3
. Điều
này còn đúng với: xn
+ yn
= an
+ bn
không?
9. Cho a + b + c = 0 và a2
+ b2
+ c2
= 6. Tính giá trị biểu thức: P = a4
+ b4
+ c4
10. Cho a; b thỏa: a3
+ b3
+ 3ab = 1. Tính S = a + b.
11. (Chuyên toán - PTNK) Cho a, b, c thỏa: (a + b) (b + c) (c + a) 6= 0 và
a2
a + b
+
b2
b + c
+
c2
c + a
=
a2
b + c
+
b2
c + a
+
c2
a + b
Chứng minh rằng: a = b = c.
12. Cho a, b, c là các số thực đôi một khác nhau. Đặt: x =
a + b
a − b
, y =
b + c
b − c
, z =
c + a
c − a
.
Chứng minh rằng: x2
+ y2
+ z2
≥ 2
13. Cho các số thực dương a, b, c thõa mãn: abc = 1. Chứng minh rằng:
a
ab + a + 1
+
b
bc + b + 1
+
c
ca + c + 1
= 1
14. Cho x, y, z là các số thực đôi một khác nhau và khác 0 thỏa mãn điều kiện:
x3
+ y3
+ z3
= 3xyz
Tính giá trị biểu thức: A =
x + y
z
+
y + z
x
+
z + x
y
15. (Chuyên toán TP. HCM 2012 - 2013) Cho x, y, z là ba số dương thỏa mãn điều
kiện: xyz = 2. Thu gọn biểu thức:
B =
x
xy + x + 2
+
y
yz + y + 1
+
2z
zx + 2z + 2
Thầy Lương Xuân Vinh 3 0934 012 748

4. Bài tập chuyên toán 9
16. (Chuyên toán TP. HCM 2014 - 2015) Cho x, y, z là các số thực khác 0 thỏa mãn
x + y + z = 0. Tính giá trị biểu thức:
P =
x2
y2 + z2 − x2
+
y2
x2 + z2 − y2
+
z2
x2 + y2 − z2
17. (Chuyên toán TP. HCM 2015 - 2016) Cho ab = 1 và a + b 6= 0. Thu gọn biểu thức:
P =
1
(a + b)3
1
a3
+
1
b3
+
3
(a + b)4
1
a2
+
1
b2
+
6
(a + b)5
1
a
+
1
b
18. (Chuyên toán TP. HCM 2017 - 2018) Cho các số thực a, b, c sao cho:
a + b + c = 3, a2
+ b2
+ c2
= 29; abc = 11
Tính a5
+ b5
+ c5
.
19. (Chuyên toán TP. HCM 2018 - 2019) Cho a, b, c là ba số thực thỏa mãn điều kiện
a + b + c = 0, a2
= 2 (a + c + 1) (a + b − 1). Tính giá trị biểu thức: A = a2
+ b2
+ c2
.
20. (Chuyên toán TP. HCM 2019 - 2020) Cho a, b, c là ba số thực thỏa mãn điều kiện
a + b + c = 1. Tính giá trị của biểu thức:
A = a3
+ b3
+ c3
− 3 (ab + c) (c − 1)
21. (Chuyên toán PTNK 2020 - 2021) Cho M =
1
a
+
1
b
+
1
c
, N =
1
b + c
+
1
c + a
+
1
a + b
,
K =
a
b + c
+
b
c + a
+
c
a + b
.
a) Chứng minh rằng: Nếu MK =
a2
+ b2
+ c2
abc
thì N = 0.
b) Cho M = K = 4, N = 1. Tính abc.
• Bài tập tự luyện:
1. Với mọi số thực a, b, c chứng minh rằng
2a + 2b − c
3
2
+
2b + 2c − a
3
2
+
2c + 2a − b
3
2
= a2
+ b2
+ c2
2. Cho a, b, c là các số khác 0 thoả mãn a3
+ b3
+ c3
= 3abc. Tính
A =
1 +
a
b
1 +
b
c
1 +
c
a
3. Cho a, b, c là các số thoả
−
a
2
+
b
3
+
c
6
3
+
a
3
+
b
6
−
c
2
3
+
a
6
−
b
2
+
c
3
3
=
1
8
.
Chứng minh rằng:
(a − 3b + 2c)(2a + b − 3c)(−3a + 2b + c) = 9
Thầy Lương Xuân Vinh 4 0934 012 748

5. Bài tập chuyên toán 9
4. Cho các số x, y thoả x3
+ y3
+ (x + y)3
+ 30xy = 2000. Chứng minh x + y = 10.
5. (PTNK 2002) Cho các số thực a, b, c thoả mãn điều kiện a +
1
b
= b +
1
c
= c +
1
a
.
a) Cho a = 1. Tìm b, c.
b) Chứng minh nếu a, b, c đôi một khác nhau thì a2
b2
c2
= 1.
c) Chứng minh nếu a, b, c dương thì a = b = c.
6. Cho a, b, c là các số thực dương thoả a + b + c = 1. Đặt
x =
2ab
a + b
, y =
2bc
b + c
, z =
2ca
c + a
.
Chứng minh rằng:
1
−xy + yz + zx
+
1
xy − yz + zx
+
1
xy + yz − zx
=
1
xyz
.
7. (PTNK 1999, IMO Shortlist 1963)
a) Chứng minh x + y + |x − y| = 2 max {x, y}; ∀x, y ∈ R.
b) Chứng minh rằng
a + b
ab
+ |
a − b
ab
| −
2
c
+
a + b
ab
+
a − b
ab
+
2
c
= 4 max{
1
a
,
1
b
,
1
c
}; ∀a, b, c 6= 0.
8. Chứng minh
[(a − b)2
+ (b − c)2
+ (c − a)2
]2
= 2[(a − b)4
+ (b − c)4
+ (c − a)4
].
9. Chứng minh
(a + b + c)3
= a3
+ b3
+ c3
+ 3(a + b)(b + c)(c + a).
10. Chứng minh
(a2
−bc)3
+(b2
−ca)3
+(c2
−ab)3
−3(a2
−bc)(b2
−ca)(c2
−ab) = (a3
+b3
+c3
−3abc)2
.
11. Chứng minh
(a + b)3
+ (b + c)3
+ (c + a)3
− 3(a + b)(b + c)(c + a) = 2(a3
+ b3
+ c3
− 3abc)
12. Chứng minh rằng
(a + b + c)3
= (a + b − c)3
+ (b + c − a)3
+ (c + a − b)3
+ 24abc
13. Cho a + b + c + d = 0. Chứng minh a3
+ b3
+ c3
+ d3
= 3(c + d)(ab − cd).
14. Cho a + b + c + d = 0. Chứng minh a3
+ b3
+ c3
+ d3
= 3(abc + bcd + cda + dab).
15. Cho a + b = c + d và a3
+ b3
= c3
+ d3
. Chứng minh a2021
+ b2021
= c2021
+ d2021
.
16. Cho a2
+b2
+(a+b)2
= c2
+d2
+(c+d)2
. Chứng minh a4
+b4
+(a+b)4
= c4
+d4
+(c+d)4
.
Thầy Lương Xuân Vinh 5 0934 012 748

6. Bài tập chuyên toán 9
17. Cho các số khác không a, b, c, d thoả
1
a
+
1
b
+
1
c
+
1
d
+
1
abcd
= 0 và a + b + c + d = 0.
Tính A = (ab − cd)(c + d).
18. Cho a + b + c = 0. Tính
a) A =
a2
bc
+
b2
ca
+
c2
ab
.
b) B =
a2
a2 − b2 − c2
+
b2
b2 − c2 − a2
+
c2
c2 − a2 − b2
.
19. Cho các số x, y thoả







x + y = a
x2
+ y2
= b
x3
+ y3
= c.
Chứng minh a3
+ 2c = 3ab.
20. Chứng minh rằng nếu b =
c + a
2
thì
a
a − b
+
c
c − b
= 2.
21. Cho
x
x2 + 3x + 1
= a 6= 0. Tính
x2
x4 + 3x2 + 1
.
22. Cho a, b, c là các số phân biệt thoả mãn
a2
(1 − b − c) + b2
(1 − c − a) + c2
(1 − a − b) = ab + bc + ca.
Chứng minh
1
(a − b)2
+
1
(b − c)2
+
1
(c − a)2
= 1.
23. Cho a, b, c là các số dương thoả mãn (1 +
a
b
)(1 +
b
c
)(1 +
c
a
) = 9. Chứng minh
1
a
+
1
b
+
1
c
=
10
a + b + c
.
24. Cho









a + b + c = 0
x + y + z = 0
a
x
+
b
y
+
c
z
= 0.
Chứng minh ax2
+ by2
+ cz2
= 0
25. (Chuyên Sư Phạm Hà Nội 2018 - 2019) Cho phương trình x3
− x − 1 = 0. Giả sử
x0 là một nghiệm của phương trình đã cho.
a) Chứng minh x0 0.
b) Tính giá trị của biểu thức: M =
x2
0 − 1
x3
0
p
2x2
0 + 3x0 + 2
- HẾT -
Thầy Lương Xuân Vinh 6 0934 012 748