等温滴定型熱測定法の概論②です。

1. 120924 ver. 1.0
等温滴定型熱測定法(ITC)の概論 ②
１対２ 独立結合部位モデル解析式 for ITC
Presented by Satoshi Kume
Osaka Prefecture University

2. １対２ 独立結合部位モデル解析式 for ITC
1対2
独立結合モデル (1:1
Binding
at
each
site)
Ka1
P
+
L1
PL1
(1)
Kd1
Ka2
P
+
L2
PL2
(2)
Kd2
[PL1 ] [PL1 ]
K a1 = =
[Pf ][Lf ] ([Pt ] − [PL1 ])[Lf ]
Ka: 結合定数, Kd: 解離定数, [Pf]: 遊離タンパク質濃度,
[Pt]: 総タンパク質濃度, [Lf]: 遊離リガンド濃度, [Lt]: 総リガンド濃度
[PL]: タンパク質-リガンド複合体濃度

3. ⇔ K a1 ([Pt ] − [PL1 ])[Lf ] = [PL1 ]
⇔ K a1[Pt ][Lf ] − [PL1 ][Lf ] = [PL1 ]
KaをKdに変換する
K a1[Pt ][Lf ] [Pt ][Lf ]
⇔ [PL1 ] = =
€ K a1[Lf ] +1 ⎛ 1 ⎞
K d1⎜ [Lf ] +1⎟
⎝ K d1 ⎠
[Pt ][Lf ]
⇔ [PL1 ] =
[Lf ] + K d1
€ 同様にして
[PL2 ] [Pt ][Lf ]
K a2 = ⇔ [PL2 ] =
€ [Pf ][Lf ] [Lf ] + K d2

4. Ltは以下のように表される
[Lt ] = [Lf ] + [PL1 ] + [PL2 ]
[Pt ][Lf ] [Pt ][Lf ]
⇔ [Lt ] = [Lf ] + +
[Lf ] + K d1 [Lf ] + K d2
€
3 2
⇔ [Lf ] + a[Lf ] + b[Lf ] + c = 0
係数a、b、cは以下のようになる
€
⎧ a = K d1 + K d2 + 2[Pt ] − [Lt ]
⎪
€ ⎨b = (K d1 + K d2 )([Pt ] − [Lt ]) + K d1K d2
⎪
⎩ c = −K d1K d2 [Lt ]

5. a
[Lf ] = u − とおく
3
3 2
⎛ a ⎞ ⎛ a ⎞ ⎛ a ⎞
⇔ ⎜ u − ⎟ + a⎜ u − ⎟ + b⎜ u − ⎟ + c = 0
€ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠
上記の式を展開する
⎛ 3 2 2 1 2 1 2 2 2 1 3 ⎞
⇔ ⎜ u − au + a u − au + a u − a ⎟
€ ⎝ 3 9 3 9 27 ⎠
⎛ 2 2 1 2 ⎞ ⎛ a ⎞
+a⎜ u − au + a ⎟ + b⎜ u − ⎟ + c = 0
⎝ 3 9 ⎠ ⎝ 3 ⎠

6. 3
⎛ a 2 ⎞ ⎛ 2 3 1 ⎞
⇔ u = ⎜ − b⎟u + ⎜ − a + ab − c ⎟
⎝ 3 ⎠ ⎝ 27 3 ⎠
⎧ a 2
⎪ p= −b
⎨ 3 とおく
3
u = pu + q
€ ⎪q = − 2 a 3 + 1 ab − c
⎩ 27 3
また
⎧ 2 a 2 1 2
⎧ p = 3α 2 ⎪ 3α =
€ −b ⇔ α = a − 3b
⎨ とおくと
⎨ 3 3
⎩ q = α 2β ⎪ 2 2 3 1
α β = − a + ab − c
⎩ 27 3
3 2 2
⇔ u = 3α u + α β

7. さらに
u = 2α cos θ とおく
3 2 2
(2α cosθ ) = 3α (2α cosθ ) + α β
3 3 3 2
€ ⇔ 8α cos θ = 6α cos θ + α β
3 3 β
€ ⇔ cos θ = cos θ +
4 8α
€ 三倍角の公式より
⎛ 3 1 ⎞ 3 β
⇔ ⎜ cos θ + cos 3θ ⎟ = cos θ +
€ ⎝ 4 4 ⎠ 4 8α
β 1 β
⇔ cos 3θ = ⇔ θ = arccos
2α 3 2α

8. Uで解くと以下の解が求まる
⎧ ⎛ 1 β ⎞
⎪ u1 = 2α cosθ = 2α cos⎜ arccos ⎟
⎪ ⎝ 3 2α ⎠
⎪ ⎛ 2 ⎞
⇔ ⎨ u2 = 2α cos⎜θ + π ⎟
⎪ ⎝ 3 ⎠
⎪ ⎛ 4 ⎞
⎪ u3 = 2α cos⎜θ + π ⎟
⎩ ⎝ 3 ⎠
2 3 1 β −2a 3 + 9ab − 27c
α 2 β = − a + ab − c ⇔ =
27 3 2α 54 α 3
€ 3
β −2a + 9ab − 27c 3
β −2a + 9ab − 27c
⇔ = 3 ⇔ =
2α ⎛ 1 2 ⎞ 2α 2 ( a − 3b)
2 3
€ 54⎜ a − 3b ⎟
⎝ 3 ⎠

9. したがって
3
1 −2a + 9ab − 27c
θ = arccos
3 2 ( a − 3b)
2 3
⎛ ⎞
3
2 2 ⎜ 1 −2a + 9ab − 27c ⎟
⇔ u1 = a − 3b cos⎜ arccos ⎟
€ 3 ⎜ 3 3
2 ( a − 3b) ⎟
2
⎝ ⎠
a
[Lf ] = u − に代入する
3
⎛ ⎞
2 2 ⎜ 1 −2a 3 + 9ab − 27c ⎟ a
[Lf ] = a − 3b cos⎜ arccos ⎟ − 3
3 ⎜ 3 3
2 ( a − 3b) ⎟
2
⎝ ⎠

10. [Lf]を以下の式に当てはめる(省略)
[Pt ][Lf ] [Pt ][Lf ]
[PL1 ] = および
[PL2 ] =
[Lf ] + K d1 [Lf ] + K d2
Q = V0 ([PL1]ΔH1+[PL2]ΔH2)に代入する
⎛ [Pt ][Lf ]ΔH1 [Pt ][Lf ]ΔH 2 ⎞
Q = V0 ⎜ + ⎟
€
⎝ [Lf ] + K d1 [Lf ] + K d 2 ⎠
The pertinent calculated heat effect for the i inject is
ΔV (i) ⎡ Q(i) + Q(i −1) ⎤
ΔQ(i) = Q(i) − Q(i −1) + ⎢ ⎥
€ V0 ⎣ 2 ⎦
Mol濃度に補正
ΔQ(i)
ΔQi =
€
[V (i) − V (i −1)]Lsyr